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根据拉普拉斯变换的微分定理

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laplace拉普拉斯变换,拉普拉斯定理

laplace拉普拉斯变换,拉普拉斯定理
j
二、拉氏变换的几个基本性质 （1）线性性质
设L[ f1 (t )] F1 ( s )，L[ f 2 (t )] F2 ( s )，a、b为常数，则有 L[ af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s ) L1[aF1 ( s ) bF2 ( s )] aL1[ F1 (t )] bL1[ F2 (t )] af1 (t ) bf2 (t )
利用本公式可得： L[ u (t )] 1 / s L[t 2 ] 2 / s 3 L[t ] 1 / s 2
5、指数函数
e f (t ) 0

at
t0 t0
f(t)
a0
F (s) e e
at 0

st
dt
0
a0
t
e
0

( s a )t
1
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [(s s1 ) m F ( s )] ( m 1)! s s ds
1
f (t ) L1 [ F ( s )]
n Cm C m 1 m 2 st m 1 [ t t C 2 t C1 ]e Ci e s t ( m 1)! ( m 2)! i m 1
（2）微分性质
设L[ f (t )] F ( s )，则有 df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f ' (0) dt 2 L[ d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f ' (0) f dt n

拉普拉斯变换微分定理

拉普拉斯变换微分定理

拉普拉斯变换微分定理拉普拉斯变换微分定理引言：在数学中，拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，可以将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)，从而方便地求解一些复杂的微积分方程。

在实际应用中，拉普拉斯变换经常被用来解决电路、控制系统、信号处理等领域的问题。

本文将介绍拉普拉斯变换的微分定理，这是应用最广泛的定理之一。

第一部分：定义与性质1.1 定义设f(t)为t≥0上的一个连续函数，则其Laplace变换F(s)定义为：F(s)= L{f(t)}=∫0∞e^(-st)f(t)dt其中s为复数。

1.2 性质（1）线性性：对于任意常数a,b和函数f(t),g(t)，有：L{af(t)+bg(t)}=aL{f(t)}+bL{g(t)}（2）时移性：对于任意常数a和函数f(t)，有：L{e^(at)f(t)}=F(s-a)（3）频移性：对于任意常数a和函数f(t)，有：L{f(at)}=1/aF(s/a)（4）导数定理：设f'(t)为f(t)的导数，则有：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)（5）积分定理：设F(s)为f(t)的Laplace变换，则有：L{∫0^tf(u)du}=1/sF(s)第二部分：微分定理2.1 定义设f(t)为t≥0上的一个连续函数，其Laplace变换为F(s)，则有：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)这个公式称为拉普拉斯变换的微分定理。

它表明，对于连续可导的函数f(t)，它的导数在Laplace域中可以通过对其Laplace变换进行简单的运算得到。

2.2 推导我们来推导一下这个公式。

设F(s)=L{f(t)}，则有：F'(s)=d/ds L{f(t)}=d/ds ∫0∞e^(-st)f(t)dt=∫0∞d/ds(e^(-st))f(t)dt=-∫0∞te^(-st)f(t)dt注意到这里用到了求导和积分的交换顺序，这是由于假设了函数在一定范围内连续可导。

拉普拉斯变换性质

拉普拉斯变换性质

F ( s a)
注： 这个性质表明了一个象原函数乘以指数函数 e 后取Laplace变换等于将其象函数作位移。
at
例5：求 L[eat t m ]
解：
已经知道：
m L t
(m 1) s m 1
根据上述位移性质可知：
(m 1) L e t ( s a)m1
•在半平面Re(s)>c上一定存在, •右端的积分在Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, •并且在Re(s)>c的半平面内, F(s)为解析函数。
§2.2 拉普拉斯变换的性质
1、线性性质 2、微分性质 3、积分性质 4、位移性质 5、延迟性质 6、初值定理与终值定理
*
1 线性性质
若 , 是常数， 设 f1 t , f2 t , 满足拉普拉斯变换存在条件，
4 位移性质
设 L f t F s
,
at L e 则有： f t F s a
, (Re( s a ) 0)
证： 有如下
L[e f (t )] eat f (t ) e st d t
at 0


0
f (t ) e ( s a )t d t
F1 s F2 s
f1 t f2 t .
注： 这个性质表明函数线性组合的Laplace变换等于各函数Laplace变换 的线性组合。
设 f1 t , f2 t , 满足拉普拉斯变换存在条件，
L f1 t F1 s ,
L f1 t F1 s
则有：
,
L f2 t F2 s

第2章 2.1拉普拉斯变换

第2章 2.1拉普拉斯变换

注意：在某一域内复 变函数 F(s) 及其所有 导数皆存在，则称该 复变函数 F(s) 在该域 内是解析的。
∞ −( s +a )t
L[ f (t )] = ∫ Ae e dt = ∫ Ae
0
dt
A −(s+a )t ∞ A =− e = 0 s+a s+a
在复平面上 有一个极点
为使积分收敛，这里假设(s+a)的实部大于零
1 = s + 0.5
2.2 拉普拉斯变换
Laplace变换的主要定理 三. Laplace变换的主要定理 5. 微分定理
若
L[ f (t )] = F ( s )
∞
则
df (t ) L[ ] = sF (s) − f (0) dt
df (t ) df (t ) −st 证明 L[ ]=∫ e dt dt dt 0
1 jωt − jωt sin ωt = (e − e ) jωt 2j e = cos ωt + j sin ωt 1 jωt e − jωt = cos ωt − j sin ωt cos ωt = (e + e − jωt ) 2 ω 1 1 1 1 ( s + jω ) − ( s − jω ) L[ sin ωt ] = − = = 2 2 j s − jω s + jω 2 j ( s − jω ) ( s + jω ) s + ω2
− at
复频域位移-------时域指数乘积
2.2 拉普拉斯变换
Laplace变换的主要定理 三. Laplace变换的主要定理 4. 时间比例尺定理
若
L[ f (t )] = F ( s )

拉普拉斯变换微分定理三阶

拉普拉斯变换微分定理三阶

拉普拉斯变换微分定理三阶一、拉普拉斯变换简介拉普拉斯变换是一种数学变换，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。

拉普拉斯变换源于法国数学家拉普拉斯在18世纪末的研究成果，它是一种将复杂数学问题简化求解的方法。

1.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是将一个函数f(t)变换为另一个函数F(s)的运算，定义如下：F(s) = ∫(e^(-st) * f(t) * dt)，其中s为变换域变量，t为时域变量。

2.拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换具有以下基本性质：(1) 线性性质：拉普拉斯变换具有线性性质，即变换后的函数是原函数的线性组合。

(2) 尺度变换：拉普拉斯变换具有尺度变换性质，变换后的函数与变换前的函数在尺度上存在一定的关系。

(3) 移位性质：拉普拉斯变换具有移位性质，变换后的函数通过平移原函数得到。

二、拉普拉斯变换微分定理三阶的推导拉普拉斯变换微分定理是拉普拉斯变换在微分方程求解中的应用。

以下是拉普拉斯变换微分定理三阶的推导过程：1.拉普拉斯变换微分定理一阶设f(t)为t的函数，对其进行一阶导数，得到f"(t)。

将f(t)和f"(t)进行拉普拉斯变换，得到F(s)和F"(s)。

2.拉普拉斯变换微分定理二阶对拉普拉斯变换后的函数F"(s)进行一阶导数，得到F""(s)。

3.拉普拉斯变换微分定理三阶对拉普拉斯变换后的函数F""(s)进行一阶导数，得到F"""(s)。

三、拉普拉斯变换微分定理三阶的应用拉普拉斯变换微分定理三阶在求解微分方程、信号处理与系统分析、工程与应用等领域具有广泛的应用。

1.求解微分方程利用拉普拉斯变换微分定理三阶，可以将复杂微分方程转化为更易于求解的线性微分方程。

2.信号处理与系统分析拉普拉斯变换微分定理三阶在信号处理与系统分析中具有重要意义，可以帮助分析信号的频率特性和系统的稳定性。

拉普拉斯变换性质

拉普拉斯变换性质

lim f (t ) lim sF (s )
t s 0
河南科技大学
Henan University of Science & Technology
6
2.4 拉氏变换的性质
8 终值定理
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有
d f (t ) d f (t ) L e st d t sF ( s) f (0 ) d t 0 d t 令 s 0 时，对上式两边取极限
注意：当 f (t ) 是周期函数，如正弦函数 没有终值，故终值定理不适用。
sinω t时，由于它
河南科技大学
Henan University of Science & Technology
8
2.4 拉氏变换的性质
例1： F ( s )
1 , 求f () s 5
t
f (t ) e5t , lim f (t )不存在， 不能应用终值定理。
9
2.4 拉氏变换的性质
例2： F ( s)
1 , 求f () s( s a)
F(s)的极点s=0, s=-a，其中一个极点在原点，另一个
位于S平面的左半平面，可以应用终值定理。 1 1 f () lim sF ( s) lim s 0 s 0 s a a
2s 1 例3：F ( s) , 求f () 2 s( s 1)
F(s)的极点s=0, s=j，s=-j，有一对极点在虚轴，不满足终值定理
使用条件，f(t)的终值不存在。
河南科技大学
Henan University of Science & Technology
10
河南科技大学
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2-3 用拉普拉斯变换求解线性微分方程

ε ε 当A=1时，即面积为1的脉冲函数称 为单位脉冲函数，记为δ（t）
−∞ 0 ε →0
∫
∞
r ( t ) dt =
∫
ε
lim
A
dt = lim
A
ε →0
t |ε = A 0
A – ε
δ (t ) =
{
0
t
0 ∞
t≠0 t=0
ε
δ（t）函数的图形如下图所示。 脉冲函数的积分就是阶跃函数。 脉冲函数的拉氏变换为
0
存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后 的函数是复变量s的函数，记作F(s)或L[f(t)]即
L[ f ( t )] = F ( s ) =
∫
∞
f ( t )e − st dt
0
常称F(s)为f(t) 的变换函数或象函数，而f(t)为 F(s) 的原函数。 在上式中，其积分下限为零，但严格说有0-和 0+之分 。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的 函数，0-和0+型的拉氏变换是相同的，但对于在 t=0处有无穷跳跃的函数，两种拉氏变换的结果是 不一致的。为了反映这些函数在[0-，0+]区间的表 现，我们约定式中的积分下限为0-。 二、几种典型函数的拉氏变换 ㈠阶跃函数 阶跃函数的定义是
r (t ) =
{
0 A
t <0 t ≥0
对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加 上一个恒值输入量。其图形如下图所示。 若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即
1(t ) =
{
0 1
t <0 t ≥0
A 0
阶跃函数的拉氏变换为
R ( s ) = L[ r (t )] =

拉普拉斯变换


Fx2 Fy2
1
பைடு நூலகம்
F(s)的角度为： tan (Fx / Fy ) ，从实轴开始， 逆时针方向计算。
F F(s)的共扼复数为： ( s) Fx jFy
尤拉定理
cosθ和sin θ的泰勒展开式分别为：
2! 4! 6! 3 5 7 sin 3! 5! 7! ( j ) 2 ( j )3 ( j ) 4 cos 因此： j sin 1 j
e-atf(t)的拉普拉斯变换
因为，f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则：
£ [
e-atf(t)
]= 0


e at f (t )e st dt f (t )e
( s a ) t
例如： £sinωt ] 2 [ 2 s £e-at sinωt ] [ 2


0
d £ dt f (t )]= sF(s)-f(0) [ d 当f(0)=0时： £ f (t )]= sF(s) [ dt
d f (t ) ： 令g(t)= dt d d2 [g(t)]-g(0) [ £ 2 f (t )]= £ dt g (t )]= s£ [ dt d = s£ [ dt f (t ) ]-f/(0)
终值定理
lim
s 0 0
d st [ f (t )]e dt lim[ sF ( s ) f (0)] s 0 dt lim[ sF ( s )] f (0)
s 0
lim
s 0

0
d d st [ f (t )][lim e st ]dt [ f (t )]e dt 0 s 0 dt dt d [ f (t )]dt 0 dt f () f (0)

根据拉普拉斯变换的微分定理


两 e jt cost jsin t
式
f
(t)

0 sin
t,
t0 t0
相 减
e-jt cost jsin t
由欧拉公式，正弦函数表达为：sin t 1 e jt e-jt
2j
其拉普拉斯变换为：
L sin t sin t estdt 1 e jt e-jt estdt
(b) 当s=-pj时，G(s)→∞，则sj=-pj称为G(s)的 极点 。
分母为零
上海大学 机电工程与自动化学院
2.2.1 复数和复变函数
例：
当s= +j时，求复变函数G(s) =s2+1的实部u和虚部v。
解：
G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1
使积分式绝对收敛，故Res >a是拉普拉斯变换的定义域， a称 为收敛坐标。
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2.2 拉普拉斯变换
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(1) 单位阶跃函数
单位阶跃函数定义：
1(t)

0, 1,
t0 t0
其拉普拉斯变换为：
L 1(t)

1(t
fns的拉氏反变换很容易由拉氏变换表查得那么当fs不能很简单地分解成各个部分之和时可采用部分分式展开将fs分解成各个部分之和然后对每一部分查拉氏变换表得到其对应的拉氏反变换函数其和就是要得的fs的拉氏反变换ft函数
2. 数学模型与传递函数
2.2 拉普拉斯变换
系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关 系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。

拉普拉斯变换微分定理三阶

拉普拉斯变换微分定理三阶（最新版）目录1.拉普拉斯变换的定义与性质2.微分定理的概念与应用3.三阶拉普拉斯变换微分定理的求解方法4.总结与展望正文一、拉普拉斯变换的定义与性质拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将一个函数从一个域（如时域）转换到另一个域（如频域）。

拉普拉斯变换的基本公式为：L{f(t)} = F(s) = ∫[e^(-st) * f(t)]dt，其中 s 为复变量，t 为自变量。

拉普拉斯变换具有以下性质：1.时域的线性变换：如果 f(t) 和 g(t) 是时域的函数，那么 L{f(t) + g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)}。

2.时域的微分：如果 f(t) 是时域的函数，那么 L{f"(t)} = s * F(s) - f(0)。

3.时域的积分：如果 f(t) 是时域的函数，那么 L{∫f(τ)dτ} = F(s) / s。

二、微分定理的概念与应用微分定理是拉普拉斯变换中的一个重要定理，它表示拉普拉斯变换和微分运算之间的关系。

微分定理的公式为：L{f"(t)} = s * F(s) - f(0)。

微分定理在求解微分方程、优化控制问题、信号处理等领域具有广泛的应用。

三、三阶拉普拉斯变换微分定理的求解方法对于三阶拉普拉斯变换微分定理，其求解方法较为复杂。

一般采用部分分式分解法，将三阶微分方程转化为一阶微分方程，然后通过求解一阶微分方程得到三阶微分方程的解。

四、总结与展望拉普拉斯变换微分定理是信号与系统、自动控制等领域的重要工具，对于解决实际问题具有重要意义。

三阶拉普拉斯变换微分定理作为其中的一种，其求解方法的研究有助于提高解决实际问题的能力。

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拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变 换存在的条件：
① 当t≥0时，f(t) 分段连续，只有有限个间断点； ② 当t →∞时，f(t) 的增长速度不超过某一指数函数，即
f (t) Meat
式中：M、a为实常数。 在复平面上，对于Res >a的所有复数s (Res表示s的实部)都
使积分式绝对收敛，故Res >a是拉普拉斯变换的定义域， a称 为收敛坐标。
复变函数的虚部 v 2
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2.2 拉普拉斯变换
2.2.2 拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。
设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函
2. 数学模型与传递函数
2.2 拉普拉斯变换
系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关 系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。
时域分析法
求解数学模型微分方程，获得系统 输出随时间变化的规律。
频域分析法
借助于系统频率特性分析系统的性 能，拉普拉斯变换是其数学基础。
频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方 法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。
1 2
o

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2.2.1 复数和复变函数
② 复数的三角函数表示法与指数表示法
根据复平面的图示可得： = r cos ， = r sin
复数的三角函数表示法：
s = r (cos + j sin )
欧拉公式：
j
e j cos jsin
s1
复数的指数表示法：
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2.2 拉普拉斯变换
2.2.1 复数和复变函数 复数的概念
复数 s= +j
j 1 称为虚数单位
（有一个实部 和一个虚部， 和 均为实数）
两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。
一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。
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数 f(t) 的拉普拉斯变换为：
F (s) L f (t) f (t)estdt 0
象函数
拉氏变换符号
原函数 复变量
拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变 换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。
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2.2.2 拉普拉斯变换的定义
0
0
sa
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2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
分母为零
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2.2.1 复数和复变函数
例：
当s= +j时，求复变函数G(s) =s2+1的实部u和虚部v。
解：
G(s)＝s2+1＝( +j)2 + 1 ＝ 2 + j(2 ) - 2 + 1
＝( 2 - 2 + 1) + j(2 )
复变函数的实部 u 2 2 1
o
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1 2
2.2.1 复数和复变函数
① 复数的向量表示法
复数 s= +j 可以用从原点指向点( , )的向量表示。
向量的长度称为复数的模：
s r 2 2
j
向量与 轴的夹角 称
为复数s的复角：
s1 s2
arctan( / )
estdt
0


1 s2
est
0

1 s2
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2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(4) 指数函数
指数函数表达式：
式中：a是常数。
f (t) eat
其拉普拉斯变换为：
L eat eatestdt e(sa)tdt 1
2.2.1 复数和复变函数
复数的表示法
对于复数 s= +j
复平面：以 为横坐标(实轴)、 为纵坐标(虚轴)所构成
的平面称为复平面或[s]平面。复数 s= +j 可在复平面[s]中用
点( , )表示：一个复数对应于复平面上的一个点。
j
复平面[s]
1
s1=1+j1
2
s2=2+j2
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2.2 拉普拉斯变换
2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(1) 单位阶跃函数
单位阶跃函数定义：
1(t)

0, 1,
t0 t0
其拉普拉斯变换为：
L 1(t)

1(t
)est
dt

estdt 1 est
0
0
s0
lim 1 est 1 e0 1 t s s s
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2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(2) 单位脉冲函数
单位脉冲函数定义：

(t)

, 0,
t 0 t0

且：
(t)dt 1

(t) f (t)dt f (0)
其拉普拉斯变换为：
L (t)


(t )e st dt
函数。即：对应于s的一个给定值，G(s)就有一个唯一确定的
值与之相对应。
当复变函数表示成 G(s) k(s zi )
(s pj)
分子为零
(a) 当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为G(s)的 零点 ；
(b) 当s=-pj时，G(s)→∞，则sj=-pj称为G(s)的 极点 。

est
1
0
t 0
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2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换
(3) 单位速度函数（单位斜坡函数）
单位速度函数定义：
f
(t)

0 t,
t0 t0
其拉普拉斯变换为：
L t testdt 1 tdest
0
s0
1 test 1 s 0s
பைடு நூலகம்
s2
s re j
1 2
o

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2.2.1 复数和复变函数
③ 复变函数、极点与零点的概念
以复数s= +j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数：
G(s) = u + jv
式中：u、v 分别为复变函数的实部和虚部。
通常，在线性控制系统中，复变函数G(s)是复数s的单值