关于机器人坐标系的微分变换

机器人学蔡自兴课后习题答案其余的比较简单，大家可以自己考虑。

3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。

给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵。

解：Θ坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。

∴对P A 描述有 P T P BA BA = ； 其中 ),(),(φθx Rot z Rot T AB = 。

9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。

要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。

（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。

（2）作图说明每个从右至左的变换序列。

（3）作图说明每个从左至右的变换序列。

解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：)180,()90,()90,()4,0,3(oo 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ；其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001005010000102T ； 所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10004010000121002T 对楔块2的变换步骤：① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180； ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。

方法2：如图建立两个坐标系}{1111zyxo、}{2222zyxo与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法2）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1zRotyRotT=；对楔块2进行的变换矩阵为：)90,()180,()90,()0,0,4()9,0,2(ooo2--=zRotxRotyRotTransTransT；所以：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11111T；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1911212T。

机器人坐标变换原理机器人坐标变换是机器人控制中的一个重要概念，它涉及到机器人在不同坐标系下的定位和运动控制。

机器人通常使用多个坐标系来描述其运动和操作，如世界坐标系、基座坐标系、工具坐标系等。

机器人坐标变换的原理基于坐标系之间的关系和变换矩阵的计算。

下面从多个角度来解释机器人坐标变换的原理。

1. 机器人坐标系，机器人通常由多个关节组成，每个关节都有自己的坐标系。

机器人的末端执行器也有自己的坐标系。

这些坐标系之间通过关节运动相互连接，形成了机器人的整体坐标系。

2. 坐标系关系，机器人的坐标系之间存在着一定的关系，如基座坐标系与世界坐标系之间的关系、工具坐标系与末端执行器坐标系之间的关系等。

这些关系可以通过变换矩阵来描述。

3. 变换矩阵，变换矩阵是用于描述坐标系之间关系的数学工具。

对于二维情况，变换矩阵是一个2x2的矩阵，对于三维情况，变换矩阵是一个4x4的矩阵。

变换矩阵包含了平移、旋转和缩放等变换信息。

4. 坐标变换过程，机器人坐标变换的过程可以分为两个步骤，前向变换和逆向变换。

前向变换是从基座坐标系到末端执行器坐标系的变换，逆向变换是从末端执行器坐标系到基座坐标系的变换。

5. 坐标变换公式，机器人坐标变换的公式可以通过矩阵乘法来表示。

对于前向变换，可以使用连续的变换矩阵相乘的方式计算末端执行器坐标系相对于基座坐标系的变换。

对于逆向变换，可以使用逆矩阵的方式计算基座坐标系相对于末端执行器坐标系的变换。

总结起来，机器人坐标变换的原理是基于坐标系之间的关系和变换矩阵的计算。

通过变换矩阵的乘法和逆矩阵的运算，可以实现机器人在不同坐标系下的定位和运动控制。

这种坐标变换的原理在机器人控制中起着重要的作用，能够帮助机器人实现复杂的任务和精确的定位。

第3章 微分运动和速度3.1 引言微分运动指机构（这里指机器人）的微小运动，可以用它来推导不同部件之间的速度关系。

依据定义，微分运动就是小的运动。

因此，如果在一个小的时间段内测量或计算这个运动，就能得到速度关系。

本章将学习坐标系相对于固定坐标系的微分运动、机器人关节相对固定坐标系的微分运动、雅可比矩阵以及机器人速度关系。

本章包含了相当多的速度方面的术语，它们应该在动力学课程中见过。

但是如果现在已记不起这些术语，建议在学习下面的内容之前复习有关的知识。

3.2 微分关系首先要了解什么是微分关系。

为此，先考虑如图3.1所示的具有两个自由度的简单机构。

其中每个连杆都能独立旋转，1θ表示第一个连杆相对参考坐标系的旋转角度，2θ表示第二个连杆相对第一个连杆的旋转角度。

对机器人也类似，每个连杆的运动都是指连杆相对于固连在前一个连杆上的当前坐标系的运动。

图 3.1 (a)具有两个自由度的平面机构；(b)速度图B 点的速度可以计算如下：jˆ)(cos )(i ˆ)(sin )(-j ˆcos i ˆsin ]l )[(]l [21212212121111112212111/θθθθθθθθθθθθθθθ++++⨯++-=++=+= l l l l l l V V V AB A B 垂直于垂直于 (3.1)将速度方程写为矩阵形式得出如下结果：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡212122121121221211)cos()cos(cos )sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθ l l l l l l V V Y X B B (3.2) 方程左边表示B 点速度的x 和y 分量。

可以看到，方程右边的矩阵乘以两个连杆的相应角速度便可以得到B 点速度。

接下来，通过对描述B 点位置的方程求微分（而不采用从速度关系中直接推导的方程）可以找出相同的速度关系，具体如下：⎩⎨⎧++=++=)sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθl l y l l x B B (3.3)对上述方程组中的变量1θ和2θ求微分，得：⎩⎨⎧++-=++--=)θ)(d θθ(θl d θθl dy )θ)(d θθ(θl d θθl dx B B 2121211121212111cos cos sin sin (3.4) 写成矩阵形式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212122121121221211)cos()cos(cos )sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθd d l l l l l l dy dx B B (3.5) B 点的 雅可比 关节的 微分运动 矩阵 微分运动可以注意到，式(3.2)与式(3.5)无论在内容上还是形式上都很相似。

归纳总结机器人的坐标变换的类型摘要：一、机器人坐标变换的重要性二、机器人坐标变换的类型1.齐次变换2.旋转矩阵变换3.线性变换4.非线性变换三、各类坐标变换的应用场景四、坐标变换在机器人编程与控制中的作用五、总结与展望正文：一、机器人坐标变换的重要性在机器人技术中，坐标变换起着至关重要的作用。

它为机器人编程和控制提供了方便，使得机器人在执行任务时能够准确地定位和执行相应的操作。

坐标变换是将机器人从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程，它有助于实现机器人末端执行器在不同坐标系下的定位和运动控制。

二、机器人坐标变换的类型1.齐次变换：齐次变换是一种将机器人从源坐标系变换到目标坐标系的方法，它通过一个4x4的齐次矩阵实现。

齐次变换可以保持机器人的姿态不变，仅改变其位置。

2.旋转矩阵变换：旋转矩阵变换主要用于将机器人的姿态从源坐标系变换到目标坐标系。

通过旋转矩阵，可以实现机器人末端执行器在不同坐标系下的旋转。

3.线性变换：线性变换是将机器人从一个坐标系变换到另一个坐标系的一种方法，它包括平移和缩放两个过程。

线性变换可以实现机器人末端执行器在不同坐标系下的位置和尺寸变化。

4.非线性变换：非线性变换是指在变换过程中，机器人坐标系之间的转换关系不是线性的。

非线性变换通常用于处理机器人运动过程中的摩擦力、弹簧力等非线性因素。

三、各类坐标变换的应用场景各类坐标变换在机器人技术中有着广泛的应用。

例如，在工业机器人中，齐次变换和旋转矩阵变换用于实现机器人末端执行器的定位和姿态控制；线性变换则用于处理机器人末端执行器在不同坐标系下的尺寸变化。

在机器人导航和路径规划中，非线性变换有助于解决机器人运动过程中的非线性约束。

四、坐标变换在机器人编程与控制中的作用坐标变换在机器人编程与控制中起到了关键作用。

通过对机器人进行坐标变换，可以使机器人更好地适应不同的工作环境，提高其在各种任务中的性能。

同时，坐标变换为机器人编程提供了便利，使得开发者可以更轻松地编写机器人控制程序，降低机器人编程的难度。

最新机器人学蔡自兴课后习题答案3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。

给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵。

解： 坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。

∴对P A 描述有 P T P BA B A = ；其中 ),(),(φθx Rot z Rot T AB = 。

9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。

要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。

（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。

（2）作图说明每个从右至左的变换序列。

（3）作图说明每个从左至右的变换序列。

解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：)180,()90,()90,()4,0,3(oo 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ；其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001005010000102T ； 所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10004010000121002T 对楔块2的变换步骤：① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180； ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。

方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法2）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：)90,()180,()90,()0,0,4()9,0,2(o o o 2--=z Rot x Rot y Rot Trans Trans T ；所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10009010000121002T 。

坐标系微分变换微分变换是数学中的一种重要工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

其中，坐标系微分变换是一种常用的方法，用于描述和分析坐标系的变换规律。

本文将对坐标系微分变换进行详细的介绍和讨论，包括定义、常见的坐标系变换、坐标系变换的微分表示以及应用举例等。

1. 定义坐标系微分变换是指通过一个映射将不同坐标系之间的点进行相互转换的过程。

在二维平面内，我们通常采用笛卡尔坐标系（直角坐标系）表示点的位置，其中点的坐标由横纵坐标表示。

但在实际问题中，常常需要使用其他坐标系，如极坐标系、柱坐标系等，此时就需要进行坐标系的变换。

2. 常见的坐标系变换（1）笛卡尔坐标系与极坐标系的变换：在二维平面内，笛卡尔坐标系（x，y）与极坐标系（r，θ）之间的变换关系可以表示为：x = r*cosθy = r*sinθ（2）笛卡尔坐标系与柱坐标系的变换：在三维空间内，笛卡尔坐标系（x，y，z）与柱坐标系（ρ，θ，z）之间的变换关系可以表示为：x = ρ*cosθy = ρ*sinθz = z（3）笛卡尔坐标系与球坐标系的变换：在三维空间内，笛卡尔坐标系（x，y，z）与球坐标系（r，θ，φ）之间的变换关系可以表示为：x = r*sinφ*cosθy = r*sinφ*sinθz = r*cosφ3. 坐标系变换的微分表示在进行坐标系变换时，我们需要考虑坐标系之间的微小变化。

这种微小变化可以通过微分来描述。

以二维平面为例，设（x，y）为笛卡尔坐标系下的点，（r，θ）为极坐标系下的点，则在微小的变换过程中，两者的微分关系可以表示为：dx = dr*cosθ-r*sinθ*dθdy = dr*sinθ+r*cosθ*dθ类似地，对于三维空间内的其他坐标系变换，也可以得到相应的微分关系表达式。

4. 应用举例坐标系微分变换在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

下面以工程学中的机器人运动学为例，展示坐标系微分变换在实际问题中的应用。

全面浅析机器人坐标系用法和算法原理——最详细的解析有个朋友让我讲下坐标系，我说网上资料都开花了，你查一下！朋友说，网上的资料要么是最简单的应用，只知其表，不知其实；要么就是上来就矩阵算法，看不明白！我下面就以我的理解角度粗略分析下机器人的坐标系及原理算法！这篇文章告诉大家的是原理，没有计算公式的部分！大家理解了原理对真正了解机器人坐标系还是很有好处的！机器人坐标系基坐标系机器人都有一个不会变的坐标系，叫基坐标系或世界坐标系（每家叫法不同，原理一样）。

基坐标系是怎么来的呢？拿6轴机器人举例：第一轴的旋转轴一般都会定义机器人第一轴的旋转轴为基坐标系Z轴，旋转中心即是坐标系原点，X和Y的方向是的电机零点确定，所以只要你不更换电机的零点和机械结构，单个机器人里这个基坐标系是永远不会变的！机器人外部轴有一种情况会重新设定新（基）坐标系，新坐标系为世界坐标系（每家不同的叫法，你可以认为就是一个基坐标系），那就是机器人加外部行走轴，或外部旋转轴，用行走轴举例，这种情况会把基坐标设在行走轴的零点位置，如果有多个行走轴，那就把基坐标设定到最底层那根轴的零点处,所以机器人配置外部轴的原理就是测量一些机械参数，把机器人1轴上的基坐标系变换到外部行走轴上，这种变换也叫D-H变换，下面讲工具坐标系时候详细说明。

用户坐标系上面内容确定了一个（基）坐标系，就可以通过齐次变换推算出工具坐标系和用户坐标系了！用户坐标系先说用户坐标系，用户坐标系的本质是把（基）坐标系旋转偏移到工件上，是为了方便编程，让机器人的移动方向和工件表面的方向一致！例如，有个倾斜45度的工件表面，如果你用基坐标系，机器人就是沿着基座系方向行走，横平竖直的，很难沿着45度的表面行走，对编程来说难操作。

所以就通过齐次变换偏移旋转（基）坐标系，得到新的用户坐标系!其次变换旋转算法齐次变换平移加旋转算法齐次变换后得到新的用户坐标系工具坐标系工具坐标系又叫TCP，机器人的精度和这个关系很大。

其余的比较简单，大家可以自己考虑。

3. 坐标系}B {的位置变化如下：初始时，坐标系}A {与}B {重合，让坐标系}B {绕B Z 轴旋转θ角；然后再绕B X 旋转φ角。

给出把对矢量P B 的描述变为对P A描述的旋转矩阵。

解： 坐标系}B {相对自身坐标系（动系）的当前坐标系旋转两次，为相对变换，齐次变换顺序为依次右乘。

∴对P A 描述有 P T P BA B A = ；其中 ),(),(φθx Rot z Rot T AB = 。

9. 图2-10a 示出摆放在坐标系中的两个相同的楔形物体。

要求把它们重新摆放在图2-10b 所示位置。

（1）用数字值给出两个描述重新摆置的变换序列，每个变换表示沿某个轴平移或绕该轴旋转。

（2）作图说明每个从右至左的变换序列。

（3）作图说明每个从左至右的变换序列。

解：（1）方法1:如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o ，与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法1）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ；对楔块2进行的变换矩阵为：)180,()90,()90,()4,0,3(oo 02o 2z Rot x TRot z Rot Trans T --= ；其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100001005010000102T ； 所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10004010000121002T 对楔块2的变换步骤：① 绕自身坐标系X 轴旋转︒90； ② 绕新形成的坐标系的Z 轴旋转︒180； ③ 绕定系的Z 轴旋转︒-90； ④ 沿定系的各轴平移)4,0,3(-。

方法2：如图建立两个坐标系}{1111z y x o 、}{2222z y x o 与参考坐标系重合，两坐标系与2个楔块相固联。

图1：楔块坐标系建立（方法2）对楔块1进行的变换矩阵为：)90,()90,(1z Rot y Rot T = ； 对楔块2进行的变换矩阵为：)90,()180,()90,()0,0,4()9,0,2(o o o 2--=z Rot x Rot y Rot Trans Trans T ；所以 ：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10000010000101001T ；⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10009010000121002T 。

FANUC机器人坐标变换FANUC機器人坐標變換Pr[]式機器人内部的位置寄存器，Pr[]值有兩种形式，一種是直角坐標係座標值，另一種是關節坐標系作標值，兩者可以互相轉換。

P[]是程序中的點位，除具有上述Pr[]性質外，還記錄有坐標系號碼和工具號碼，如果P[]是關節坐標，切換到其他用戶坐標系可以正常運\動，如果P[]是直角坐標，切換到其他用戶坐標系不能運\動。

工具坐標系切換后不能運\動。

1.進行計算時，例如：(1)Pr[3]=Pr[2]+Pr[1]此時要求Pr[1]和Pr[2]為同種形式的坐標，不同形式時不能運\算。

Pr[1]和Pr[2]都是直角坐標時，Pr[3]也會得到直角坐標值。

Pr[1]和Pr[2]都是關節坐標時，Pr[3]也會得到關節坐標值。

(2) Pr[3]=Pr[2]+P[1]要求P[1]和Pr[2]為同種形式的坐標，不同形式時不能運\算。

(3) Pr[3,3]=Pr[2,5]+50此時不管Pr[2]是關節坐標值還是直角坐標值，都在Pr[2,5]的當前值上加10,如果Pr[3]是關節坐標，計算結果保存到Pr[3]的J3, 如果Pr[3]是直角坐標，計算結果保存到Pr[3]的Z。

2.運\行(1)Pr[i]是關節形式坐標時，在不同坐標系下指定移動到Pr[i]，機器人會到達同一空間位置。

(2) Pr[i]是直角形式坐標時，在不同坐標系下指定移動到Pr[i]，機器人會到達不同空間位置。

3.三點法建立用戶坐標系第一點指定用戶坐標系原點，第二點指定X軸正向，第三點確定XY平面，並指定Y軸正向，注意三點連綫不一定是直角三角形，第三點只是確定XY平面，不一定落在Y軸上，可以確定的是一定落在第一二像限内。

設定完成后得到一組類似點坐標的值，它的意義並非空間點坐標，其XYZ指該用戶坐標原點在大地坐標系中的坐標值，WPR指該用戶坐標系方向和大地坐標系方向相比繞大地坐標系的XYZ軸分別旋轉了多少度。

4.六點法設定工具坐標系六點設定完成之後得到一組類似點坐標的值，和用戶坐標系一樣並非指空間坐標。

UR5机器人运动学及奇异性分析ZHANG Fuxiang;ZHAO Yang【摘要】为了解决UR5机器人用户建立的机器人坐标系与厂家建立的机器人坐标系不一致,机器人内部有关力、角速度、角加速度等数据信息难以被直接使用的问题,在分析UR5机器人结构特点的基础上,建立与厂家数据匹配的坐标系.采用D-H 参数法建立UR5机器人的运动学方程,描述机器人各杆件的相对位姿关系,依据UR5机器人满足Pieper准则的结构特性,采用分离变量法求取UR5机器人的运动学反解,并利用微分变换法完成UR5机器人奇异位形分析,奇异性分析与仿真结果表明了UR5机器人位置奇异时各关节变量之间的关系.使用MATLAB软件编写运动学程序,并利用机器人系统对程序进行实验室测试与工程实践验证,MATLAB运动学程序实验结果与UR5系统内部数据一致,验证了运动学分析的正确性.研究结果对进一步开展UR5机器人连续轨迹规划研究具有参考价值.【期刊名称】《河北科技大学学报》【年(卷),期】2019(040)001【总页数】9页(P51-59)【关键词】工业机器人技术;坐标系;运动学;微分变换法;奇异性【作者】ZHANG Fuxiang;ZHAO Yang【作者单位】;【正文语种】中文【中图分类】TH122随着中国制造强国战略第1个十年行动纲领“中国制造2025”的提出与实施，机器人在各行各业中的应用率日益攀升。

串联机器人作为一种典型拟人化机电设备，以其结构简单、控制简单、运动空间大且灵活等特点［1－3］被广泛应用在焊接、喷漆、涂胶、搬运、装配等领域［4］。

UR5机器人是丹麦Universal Robots公司［5］推出的新型人机协作机器人［6］，它具有快速、灵敏、安全、重量轻以及易于编程等优点［7］。

作为一款新型的六自由度机器人，它能实现6个关节360°旋转，比普通的六自由度机械臂拥有更大的操作空间，同时具有更好的动力学优点和避障特性［8］。