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课题二次函数与一元二次方程教学分析学生经历了二次函数图像与X轴的交点及与对应一元二次方程解的个数及判别式的学习。
本节课是对以上知识的应用，是求解方程解的一种全新的方法，虽难以理解且比较繁，但直观，学生学起来还是有相当深厚的兴趣的。
教学目标知识与技能能够利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。
进一步发展估算能力。
过程与方法经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验。
情感态度与价值观进一步培养学生的数形结合思想，并用这种思想解决问题。
重难点重点：探索二次函数图象与x轴的交点及一元二次方程的根的关系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
难点：利用图象法求一元二次方程的近似解。
教学过程一、温故知新用提问的方式，引导学生对以前学过的用图像法解一元一次方程的回忆，然后提问学生：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？教师活动设疑激发学生求知的欲望你能利用二次函数图象估一元二次方程的解吗？预设学生行为学生先思考、回忆讨论后找一名学生回答思考、探索相互交流设计意图引导学生找到解方程的新的方法,培养学生新旧知识的迁移能力。
二、创设问题情境---新课引入写出二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标,对称轴,并画出它的图象.教师活动巡回指导引导学生学生观察图中的景物.学生活动小组合作独立完成设计意图努力培养学生自主学习的能力三、思考、探索你的图象与x轴的交点坐标是什么？函数y＝x2－2x－3的图象与x轴两个交点为（－1，0）（3，0）方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1 ,x2＝3你发现了什么？（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根（2）二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决教师活动巡回指导引导学生学生观察图中的景物，思考回答所提出的问题学生活动小组合作独立完成归纳，总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系:二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根有两个相异的实数根有两个相等的实数根没有实数根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ= b2-4ac有两个交点b2-4ac > 0有一个交点b2-4ac = 0没有交点b2-4ac < 0教师活动：引导学生归纳学生活动：小组讨论，代表回答设计目的：训练学生由具体到一般的思维能力三、及时反馈1、方程X2+4X-5=0的根是-5，1；则函数y=X2+4X-5的图象与x 轴的交点有2个，其坐标是（-5,0）（1,0）．2、函数y=X2－10X+25的图象与x 轴的交点有_1个，其坐标是（5,0）则方程X2－10X+25=0的根是x 1=x 2=53、下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（D ）(A )y =x 2-2(C )y =-x 2+6x -9(B )y =x 2-x (D )y =x 2-x +2教师活动：巡回指导设计目的培养学生自主学习的能力四、巩固应用知识点1已知二次函数y ＝mx2－6x ＋1(m 是常数)的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．思路点拨：“只有一个交点”等价于“方程只有一个根”．解：当m ≠0时，∵函数y ＝mx2－6x ＋1的图象与x 轴只有一个交点，∴方程mx2－6x ＋1＝0有两个相等的实数根．∴(－6)2－4m ＝0，解得m ＝9.故m 的值为9.知识点2：解方程：x 2+2x-10=0你可以用几种方法求解？问:请同学观察以上作出的函数图象，由图象可得方程有两根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间X-4.1-4.2-4.3-4.4（1）先求－5和－4之间的根.利用计算器y-1.39-0.76-0.110.56进行探索：因此，x=-4.3是方程的一个近似根.填表后回答问题：1、能否说明为什么方程的一个根在-4.3和-4.4之间？你是怎样判断的？2、为什么方程的近似根选择-4.3,而不选择-4.4?（2）另一个根可以类似的求出：X y 2.1 2.2 2.3 2.4 -1.39-0.76-0.110.56因此，x=2.3是方程的另一个近似根.此根由学生独立或分组探究完成引导学生观察分析，激发学生的学习兴趣教师活动巡回指导引导学生学生观察图中的景物，思考回答所提出的问题学生活动小组合作独立完成设计意图努力培养学生自主学习的能力2:利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.(1).用描点法作二次函数y=x2+2x-10图象；(2).作直线y=3；(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).(4).确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7.教师活动巡回指导引导学生学生观察图中的景物学生活动小组合作独立完成设计意图努力培养学生自主学习的能力五、课堂小结你这节课学到了什么知识？利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解；（两种方法）（2）利用计算器估算方程的近似解（.强调函数值从正到负的变化过程，并取绝对值较小的函数值对应自变量为方程的解）（3）这节课学到的解方程的方法和以前的方法有什么区别？教师活动教师引导学生活动学生小结设计意图引导学生学生自主小结，巩固所学内容六、作业布置教学反思1、努力培养学生自主学习能力。
沪科版数学九年级上册《二次函数与一元二次方程的关系》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程的关系》是沪科版数学九年级上册的一章内容。
本章主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系，通过研究二次函数的图象和性质，引导学生理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
本章内容对于学生来说是比较抽象和难以理解的，需要教师通过生动有趣的教学方法，帮助学生理解和掌握。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经学习了二次函数的相关知识，对于二次函数的图象和性质有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系，可能还存在一定的困惑。
因此，教师需要通过教学设计，帮助学生建立起二次函数与一元二次方程之间的联系，引导学生理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.能够运用二次函数的图象和性质，解决一元二次方程的问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数的图象和性质，解决一元二次方程的问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和探究，理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.利用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质，帮助学生直观地理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
3.通过例题讲解和练习，巩固学生对知识的理解和运用。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件和教案。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.呈现（15分钟）利用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质，引导学生理解一元二次方程的解与二次函数的零点之间的关系。
3.操练（20分钟）通过一些例题和练习题，让学生运用二次函数的图象和性质，解决一元二次方程的问题。
4.巩固（10分钟）让学生通过自主学习和合作学习，巩固对二次函数与一元二次方程之间关系的理解。
21.3二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】用数形结合的思想解方程及不等式.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后回答.二、共同探究,获取新知师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后回答.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x 2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x 2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x 2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x 2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.已知抛物线y=ax 2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个根分别是.【答案】x 1=1,x 2=-52.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由.(1)y=2x 2-5x+3;(2)y=x 2+3x+5;(3)y=3x 2-7x+8;(4)y=x 2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b 2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b 2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.已知二次函数y=kx 2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.五、继续探究,层层推进师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.学生看图.师:我们可以清楚地看到二次函数y=x 2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?生1:在x轴上方时,y>0,也就是x 2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x 2+3x+2>0的解集.生2:在x轴下方时,y<0,也就是x 2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x 2+3x+2<0的解集.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答.师:你还有什么不明白的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的基础上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更体现了学好数学的重要意义.。
沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它旨在让学生通过学习二次函数与一元二次方程的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
本节内容与前面的二次函数知识紧密相连，为后续的代数学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在求解一元二次方程时，可能会对公式法和解根的判别式混淆。
因此，在教学过程中，需要引导学生明确两者之间的关系，并通过实例让学生体会二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握一元二次方程的解法，理解二次函数与一元二次方程的关系，并能运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的观察、分析、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程的关系。
2.教学难点：二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。
六.说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：讲解一元二次方程的解法，引导学生通过公式法和因式分解法求解一元二次方程。
3.探究：引导学生发现二次函数的图像与一元二次方程的解之间的关系，总结二次函数与一元二次方程的内在联系。
4.应用：通过实例，让学生运用二次函数的性质解决实际问题，体会数学在生活中的应用。
二次函数与一元二次方程教学目标1．理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化．2．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解．3．探求利用图象求一元二次方程根的过程，掌握数形结合的思想方法．教学重难点探索二次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用．教学过程导入新课出示二次函数的图象，如图所示，根据图象回答：1．x为何值时，y＝0?2．你能根据图象，求方程x2－2x－3＝0的根吗？3．函数y＝x2－2x－3与方程x2－2x－3＝0之间有何关系呢？推进新课一、合作探究【问题1】画出函数y＝x2＋3x＋2的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x轴交点的坐标是什么？(2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2＋3x＋2＝0有什么关系？(3)你能从中得到什么启发？教学设计： 1.先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2＋3x＋2的图象．2．教师巡视，与学生合作、交流．3．教师讲评，并画出函数图象．4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－1,0)和(－2,0)．5．让学生完成(2)的解答．教师巡视指导并讲评．6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2＋3x＋2的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2＋3x＋2＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2＋3x＋2的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2＋3x＋2＝0的解．更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系．【问题2】画出二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象，并根据图象观察：(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋2＝0各有几个根？用根的判别式验证一下，你有什么发现？二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况：①有两个交点；②有一个交点；③没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的个数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac有两个交点有两个相异实数根b2－4ac＞0有一个交点有两个相等实数根b2－4ac＝0没有交点没有实数根b2－4ac＜0 【问题3】根据问题1的图象回答下列问题：(1)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0?当－2＜x＜－1时，y＜0；当x＜－2或x＞－1时，y＞0.(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？能用含有x的不等式来描述(1)中的问题，即x2＋3x＋2＜0的解集是什么？x2＋3x＋2＞0的解集是什么？【问题4】想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？让学生类比二次函数与一元二次方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解．这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系．【问题5】利用函数y＝x2－2x－2的图象，求方程x2－2x－2＝0的实数根(精确到0.1)．分析：用描点法画函数y＝x2－2x－2的图象，图象要求尽可能准确(如图)．方法一：确定抛物线与x轴的两个交点的位置，估计方程x2－2x－2＝0两根的范围．观察图象，x1≈－0.7时，y的值最接近于0；x2≈2.7时，y的值最接近于0.从而估计方程的根为x1≈－0.7，x2≈2.7.方法二：观察图象发现，当自变量为2时，函数值小于0；当自变量为3时，函数值大于0，抛物线是一段连续曲线，所以在2和3之间的某个值，函数值为0，即在2和3之间有根．采用“逐渐逼近”的方法，逐步缩小两个数值的范围，直到确定符合条件的近似根：将2.5代入函数中，函数值小于0，所以方程在2.5与3之间有一个根；将2.75代入函数中，函数值大于0，所以方程在2.5与2.75之间有一个根；……最后确定这个根大约是2.7.采用同样的方法，确定另一个根大约是－0.7.点拨：此题看起来容易，实际上学生不容易理解，做起来有一定难度．故教师应多指导，理清思路．二、应用示例【例1】如图所示，(1)一元二次方程－x 2＋2x ＋3＝0的根是多少？(2)一元二次方程－x 2＋2x ＋3＝3的根是多少？(3)不等式－x 2＋2x ＋3＞3的解集是什么？(4)一元二次方程－x 2＋2x ＋3＝k 有两个根，则k 的取值范围是什么？解：根据图象知：(1)方程－x 2＋2x ＋3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝3.(2)方程－x 2＋2x ＋3＝3的两根为x 1＝0，x 2＝2.(3)不等式－x 2＋2x ＋3＞3的解集是0＜x ＜2.(4)k 的取值范围是k ＜4.点评：此题充分展示了二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系．【例2】 已知抛物线y ＝x 2＋(2k ＋1)x －k 2＋k .(1)求证：此抛物线与x 轴有两个不同的交点；(2)当k ＝0时，求此抛物线与坐标轴的交点坐标．分析：(1)证明方程x 2＋(2k ＋1)x －k 2＋k ＝0有两个不相等的实数根即可．(2)通过解方程，求值即可．点拨：(1)注意利用b 2－4ac 的值――→判断二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况――→判断y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交点的个数．(2)掌握抛物线与坐标轴交点的求法．三、巩固提高1．抛物线y ＝－x 2＋2kx ＋2与x 轴交点的个数有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．以上都不对2．小强从如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，观察得出了下面五条信息：(1)a ＜0；(2)c ＞1；(3)b ＞0；(4)a ＋b ＋c ＞0；(5)a －b ＋c ＞0.你认为其中，正确信息的个数有( )．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与y ＝－x 2＋3x ＋2的两交点关于原点对称，则a 、b 分别为__________．4．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的两个交点分别为A (－1,0)和B (2,0)，当y ＜0时，x 的取值范围是__________．5．抛物线y ＝x 2－6x ＋8与x 轴交点坐标为(2,0)，(4,0)，求方程x 2－6x ＋8＝0的根．6．已知关于x 的函数y ＝ax 2＋x ＋1(a 为常数)．(1)若函数的图象与x 轴恰有一个交点，求a 的值；(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．本课小结1．所学知识：(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与二次方程之间的关系．当y 为某一确定值m 时，相应的自变量x 的值就是方程ax 2＋bx ＋c ＝m 的根．(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(x 0,0)，则x 0是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．(3)利用二次函数图象求一元二次方程的近似解．2．思想方法是数形结合、逐渐逼近的探求方法．二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0实际上是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中y ＝0时的一种特殊情况．可列表如下：开口方向 判别式 二次函数图象 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点个数 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况 a ＞0 Δ＞0有两个交点 有两不等实根x 1，x 2 Δ＝0有一个交点 有两相等实根x 1＝x 2Δ＜0没有交点 无实根a ＜0 Δ＞0有两个交点 有两不等实根x 1，x 2Δ＝0有一个交点 有两相等实根x 1＝x 2Δ＜0没有交点 无实根奥赛链接已知点A，B的坐标分别为(1,0)，(2,0)．若二次函数y＝x2＋(a－3)x＋3的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是__________．解析：分两种情况：(1)因为二次函数y＝x2＋(a－3)x＋3的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为(1,0)，(2,0)，所以[12＋(a－3)×1＋3]×[22＋(a－3)×2＋3]＜0.解得－1＜a＜12 -.由12＋(a－3)×1＋3＝0，得a＝－1，此时x1＝1，x2＝3，符合题意；由22＋(a－3)×2＋3＝0，得a＝12-，此时x1＝2，x2＝32，不符合题意．(2)令x2＋(a－3)x＋3＝0，由判别式Δ＝0，得a＝3±23当a＝3＋23x1＝x2＝3-a＝3－23x1＝x23题意．综上所述，a的取值范围是－1≤a＜12-或a＝3－23答案：－1≤a＜12-或a＝3－23有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
二次函数与1元二次方程二次函数与一元二次方程一、二次函数的概念1. 定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。
二、二次函数的图象1. 二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0）的图象是一条抛物线- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如y=x^2，a = 1>0，其图象开口向上；y=-x^2，a=- 1<0，其图象开口向下。
2. 对称轴与顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0），其对称轴公式为x =-(b)/(2a)。
- 顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如对于二次函数y = 2x^2-4x + 1，a = 2，b=-4，c = 1。
对称轴为x =-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×1-(-4)^2}{4×2}=(8 - 16)/(8)=-1，顶点坐标为(1,-1)。
三、一元二次方程的概念1. 定义- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
- 一般形式为ax^2+bx + c = 0（a，b，c是常数，a≠0）。
例如x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=-3。
四、二次函数与一元二次方程的关系1. 二次函数y = ax^2+bx + c与一元二次方程ax^2+bx + c = 0（a≠0）的联系- 一元二次方程ax^2+bx + c = 0的解就是二次函数y = ax^2+bx + c的图象与x轴交点的横坐标。
- 当b^2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，二次函数的图象与x轴有两个交点。
22.2二次函数与一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，抛物线()²0y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A ，B ，对称轴为直线2x =-，若点A 的坐标为()50-，，则下列结论：①点B 的坐标为()10，；②420a b c ++<；③4a b =；④点()()x y x y ₁，₁，₂，₂在抛物线上，当2x x <<-₁₂时，则y y >₁₂，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，顶点为(3,6)--的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,4)--，则下列结论中正确的是（ ）A ．240b ac -<B ．若点(2,),(4,)--m n 在抛物线上，则m n >C ．当3x <-时，y 随x 的增大而减小D ．关于x 的一元二次方程27(0)++=-≠ax bx c a 有两个不相等的实数根3．下列抛物线中,过原点的抛物线是（ ）A ．y =4x 2- 1B ．y =4x 2+ 1C ．y = 4(x + 1) 2D ．y = 4x 2+ x4．无论k 为何值，直线22y kx k =-+与抛物线223y ax ax a =--总有公共点，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．23a ≤-C ．23a ≤-或0a >D ．23a ≥-5．二次函数y=mx 2+x ﹣2m （m 是非0常数）的图象与x 轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个6．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①方程20ax bx c ++=的两根之和大于0； ②；y ③随x 的增大而增大；④，⑤2a-b>0． 其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．已知二次函数2y x bx c =++的顶点为()2,1，那么关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定8．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是( )A ．B ．C ．D ．9．已知二次函数22y x x k =-+（k 为常数）的图象与x 轴的一个交点是()10-，，则关于x 的一元二次方程220x x k -+=的两个实数根是（ ）A ．11x =-，23x =-B ．11x =，23x =C ．11x =-，23x =D ．11x =，23x =-10．如图1，抛物线y=-x 2+bx+c 的顶点为P ，与x 轴交于A ，B 两点．若A ，B 两点间的距离为m ，n 是m 的函数，且表示n 与m 的函数关系的图象大致如图2所示，则n 可能为（ ）A ．PA+AB B ．PA-ABC ．AB PAD ．PA AB11．已知二次函数()220y ax ax c a =++≠图象经过点()34，，则关于x 的方程()()2212214a x a x c ++++=的两个根是（ ）A ．3或5-B ．1或1-C ．3或0.5-D ．1或3-12．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝1，甲、乙、丙、丁得出如下结论：甲：abc ＞0；乙：方程ax 2+bx +c ＝﹣2有两个不等实数根；丙：3a +c ＞0；丁：当x ≥0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c 既有最大值，也有最小值．则以上正确的是（ ）A ．甲、乙B ．乙、丙C ．甲、丁D ．乙、丙、丁二、填空题13．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的关系是21162025y x x =-++，则此运动员将铅球推出的距离是m ．14．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），且0a b c ++=，有下列结论：①该抛物线经过点（1，0）；②若a b =，则抛物线经过点（-2，0）；③若a ，c 异号，则抛物线与x 轴一定有两个不同的交点；④点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线上，且121x x <<，若0a c <<，则12y y <．其中所有正确结论的序号是 ．15．如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论：0abc <①；1030a b c ++>②；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④方程20cx bx a ++=的一个解是1x =；20am bm a ++≥⑤，其中所有正确的结论是 ．的三、解答题18．已知二次函数y=x 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x…-11234…y …830-103…（1）求该二次函数的解析式；（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？（3）若A （m,y 1）,B(m+2,y 2)两点都在该函数的图象上，计算当m 取何值时，12y y >？19．定义：将二次函数20y ax bx c a =++>（）在x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，翻折后部分与原来末翻折部分形成一个新的函数G ，那么称函数G 为原二次函数的有趣函数．(1)二次函数223y x x =++_______________（有/没有）有趣函数．(2)已知二次函数与x 轴交于点（1，0），（5，0），与y 轴交于点()0,5A ，求拋物线的解析式，并在坐标系中画出函数图像．(3)在（2）的条件下：①过点A 作x 轴的平行线与抛物线交于点B ，求线段AB 的长度．②若函数G 为原二次函数的有趣函数，画出函数G 的图像并求解当函数G 的函数值大于2时，自变量x 的取值范围（直接写出答案）．20点(1)(2)(3))，当21在点，点,A B 在抛物线上，,OA OB 关于轴对称．4OC =分米，点A 到轴的距离是2分米，,A B 两点之间的距离是12分米．(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量x 取值范围）；(2)如图③，分别延长,AO BO 交拋物线于点,E F ，请直接写出,E F 两点间距离的值；(3)如图③，以拋物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为1S ，将拋物线向左平移(0)m m >个单位，得到一条新拋物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2S ．若2112S S =，求m 的值．22．利用二次函数的图象求一元二次方程22150x x +-=的近似根．23．已知二次函数21y x bx c =+++的图象过点()21P -，(1)求证：26c b =--；(2)求证：此二次函数的图象与x 轴必有两个交点；(3)若二次函数的图象与x 轴交于点()10A x ，、()20B x ，，4AB =，求b 的值．24．已知函数y =（m +14）x 2+（2m ﹣1）x ﹣3．求证：不论m 为何值，该函数图象与x 轴必有交点．参考答案：题号12345678910答案B C D C C B C D C C 题号1112 答案DB1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10．C 11．D 12．B 13．1214．①②③15．②⑤16．x ＜-1或x ＞317．11x =-，23x =18．（1）y=x 2-4x+3；（2）当x=2时，y min =-1；（3）m ＜1．19．(1)没有(2)265y x x =-+(3)①6；②3x <33x <<3x >20．(1)()()()()4,4,3,3,4,4,3,3----(2)1t <<-1(3)48m ≤≤21．(1)21418y x =-+(2)24分米(3)6m =或m =22．13x =-，252x =23．(1)略；(2)略；(3)14b =，24b =-；24．略．。
23.4 二次函数与一元二次方程教学目标：掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。
重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A ( ， ),B( ， )(2)当x= 时，函数值y=0。
(3)求方程x2-x-6=0的解。
(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。
三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。
(1) y=x2-10x+25(2) y=3x2-4x+2(3) y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1. 如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。
(1)请写出方程ax2+bx+c=0的根(2)列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。
