2018届北师大版 排列组合二项式定理 检测卷

排列组合二项式定理测试题1.若展开式（ax-1）的x^3项系数为80，则实数a的值为（）A。

-2 B。

1 C。

2 D。

32.若展开式（x-5/n）的第三项系数为6，则n的值为（）A。

11 B。

4 C。

8 D。

123.若（1+mx）^6 = a + a1x + a2x^2 +。

+ a6x^6 且 a1 + a2 +。

+ a6 = 63，则实数m的值为（）A。

1 B。

-1 C。

-3 D。

1或-34.在平面直角坐标系中，x轴正半轴上有5个点，y轴正半轴上有3个点，将x轴上这5个点和y轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（）A。

30个 B。

35个 C。

20个 D。

15个5.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（）A。

240种 B。

192种 C。

96种 D。

48种6.将A、B、C、D四个球放入编号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且A、B两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有（）A。

15 B。

18 C。

30 D。

367.将5名实教师分配到高一年级的3个班实，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）A。

30种 B。

90种 C。

180种 D。

270种8.某单位邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有（）A。

84种 B。

98种 C。

112种 D。

140种9.由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于且小于的数共有（）A。

56个 B。

57个 C。

58个 D。

60个10.用1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有（）A。

48个 B。

12个 C。

36个 D。

28个11.某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有（）A。

排列、组合、二项式定理测试题班别_________ 姓名___________ 学号___________一、选择题（每小题5分，共60分）1、从某班学生中，选四个组长的不同选法有m 种，选出正、副班长各一名的选法有n 种， 若m:n=13:2,则该班学生人数为（ ）A 、10B 、15C 、20D 、222、由0，1、2，…，9这十个数组成的无重复数字的四位偶数共有（ ） A 、2240个 B 、2293个 C 、2296个 D 、4586个3、角A 的一边上有4个点，另一边上有5个点，连同A 点在内一共有10个点，它 们可连成的三角形的个数是（ ）个A 、310C -3534C C - B 、16252615C C C C ⋅+⋅ C 、25141524C C C C ⋅+⋅D 、15141115242514C C C C C C C ⋅⋅+⋅+⋅4、把四个人分配到三个办公室打扫卫生，每个办公室至少分配一人，则不同的分配有（ ） A 、36种 B 、48种 C 、24种 D 、72种5、从1，2，3，4，7，9中任取两个作分子、分母构成一个真分数，则可以构成的不同 的真分数的个数是（ ）A 、32B 、27C 、25D 、206、)(!055053636C C C P +⋅的值是（ ）A 、0B 、32C 、2D 、3 7、（1-x ）2n-1展开式，二项式系数最大项是（ ）A 、第n-1项B 、第n 项C 、第n-1项与第n 项D 、第n 项与第n+1项 8、（xx 13-）8的展开式中，x 的一次项系数是（ ）A 、28B 、-28C 、56D 、-569、5310被8除的余数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、710、在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法是 A 、4140种 B 、1081种 C 、4186种 D 、1035种 11、书架上有不同的数学书与不同的外文书共7本，现取2本数学书， 1本外文书借 给3位同学，每人一本，共有72种不同的借法，则数学书与外文书的本数分别为（ ） A ．4，3 B ．3，4 C ．5，2D ．2，512、4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在 一起，则不同的排法种数有 （ ）A ．2880B ．3080C ．3200D ．3600一、选择题：（60）二、填空题 （每小题5分，共20分）13、已知324735---=x x x P C ,则x=__________________14、（x-1）（x+2）（x-5）（x+7）（x-10）中x 4的系数为_______________15、6人站成一排，如果甲不站两端，且乙与丙必须相邻的排法有_____________（用数字回答） 16、某游人上山，从前山上山的道路有3条，从后山上山的道路有2条，那么游人从上山到下 山不同的走法共有_________________种（用数字回答） 三、解答题17、有4名男生，5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？ （1） 甲只在中间或两头位置上； （2） 甲、乙两人必须排在两头； （3） 甲不在排头，乙不在排尾；（4） 甲总排在乙的左边，乙总排在丙的左边（不一定相邻）； （5） 男生陷不能相邻； （6） 女生必须相邻。

排列组合二项式定理一、二项式定理1、（2016年山东省高考）若（a x 25的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 2、（2014年山东省高考）若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 。

3、（泰安市2016届高三二模）在二项式213nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为A. 32-B. 0C. 32D. 1 4、（德州市2016届高三二模）在（1+2x ）（1+22x ）…（1+2n x）（n ∈N +，n ≥2）的展开式中，x 的系数为1516，则x 2的系数为（ ）A ．1516B ．C ．D ．5、（威海市2016届高三二模）在二项式（9x ﹣）n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为256，则展开式中x 的系数为 84 ．6、（潍坊市2016届高三二模）（x+y ）（x ﹣y ）7的展开式中，x 3y 5的系数为 14 ．7、（德州市2016届高三上学期期末）已知1201210(1)(1)(1) (1)x a axax a x -=+++++++，则a7= A ．-l20 B ．120 C ．-960 D ．9608、（济南市2016届高三上学期期末）二项式6ax ⎛+ ⎝⎭的展开式中5x 20ax dx =⎰________9、（胶州市2016届高三上学期期末）0sin ,t m td π=⎰则31mx mx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为 . 10、（临沂市2016届高三上学期期末）若多项式()()()91031001910111x x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则9a =_______.11、（威海市2016届高三上学期期末）若()621x m x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中含2x 的项的系数为252-，则m 的值为_____. 12、（潍坊市2016届高三上学期期末） 62x⎛ ⎝的二项展开式中2x 的系数为________（用数字表示）.13、（青岛市2016高三3月模拟）在二项式6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于________（用数字作答）；14、（日照市2016高三3月模拟）()()52132x x --的展开式中，含x 次数最高的项的系数是_________（用数字作答）.15、（泰安市2016高三3月模拟）设二项式()60a x a x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为A ，常数项为B ，若B=44，则a = ▲ . 16、（烟台市2016高三3月模拟）已知0sin a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为17、（淄博市2016高三3月模拟）二项式6（的展开式中5x 的系数为20ax x d =⎰.18、（济南市2016高三3月模拟）二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 .二、排列组合 1、（2015年山东省高考）观察下列各式： C 10=40……照此规律，当n N时，C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +…+ C n-12n-1 = .2、（东营市、潍坊市2016届高三下学期第三次模拟）在一次抽奖活动中，8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中随机抽取2张，则不同的获奖情况有（）A．24种B．36种C．60种D．96种3、（滨州市2016届高三上学期期末）若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5,折5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有个.4、（青岛市2016届高三上学期期末）甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____________（用数字作答）.5、（淄博市2016届高三3月模拟）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B. 120C. 144D. 1686、（聊城市阳谷一中201届高三12月模拟）图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有( )种不同的取法．A．120 B．16 C．64 D．397、（滨州市2016高三3月模拟）某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师到3个边远地区支教，每地至少1人，其中甲和乙一定不去同一地区，甲和丙必须去同一地区，则不同的选派方案共有（A）27种（B）30种（C）33种（D）36种8、（济宁市2016高三3月模拟）将4名大学生分配到A,B,C三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人.若甲要求不到A学校，则不同的分配方案共有A.36种B.30种C.24种D.20种9、（潍坊市2016高三3月模拟）将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子和有2个连号小球的所有不同放法有___________种.（用数字作答）10、（枣庄市2016高三3月模拟）从2名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种树为 .（用数字作答）11、（淄博市2016高三3月模拟）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是A.72B. 120C. 144D. 16812、用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）7213．设集合A={－1, 0, 1}，集合B={0, 1, 2, 3}，定义A ＊B={(x, y)| x ∈A ∩B, y ∈A ∪B}，则A ＊B 中元素个数是（ ）A.7B.10C.25D.5214、值域为{2,5,10}，其对应关系为21y x =+的函数的个数 （ ）A . 1 B. 27 C. 39 D. 8 15．袋中装有m 个红球和n 个白球,4≥>n m ,现从中任取两球,若取出的两球是同色的概率等于取出的两球是异色的概率,则满足关系40≤+n m 的数组()n m ,的个数为A ．3B ．4C ．5D ．6一、二项式定理参考答案 1、【答案】-2【解析】因为5102552155()rrrrr rr T C ax C ax---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-2、答案：2解析：将62)(xbax +展开，得到rr r r r x b a C T 312661--+=，令3,3312==-r r 得. 由203336=b a C ，得1=ab ，所以2222=≥+ab b a .3、C4、【解答】解：在（1+）（1+） (1)）（n ∈N +，n ≥2）的展开式中，x 的系数=+…+==1﹣，∴1﹣=，解得n=4．∴（1+）（1+）的展开式中x 2的系数为： +×+×+×=．故选：C ．5、【分析】根据二项式展开式中，偶数项与奇数项的二项式系数之和相等，求出n的值；再利用二项展开式的通项公式，即可求出展开式中x的系数．【解答】解：二项式展开式中，偶数项与奇数项的二项式系数之和相等，所以2n﹣1=256，解得n=9；所以二项式（9x﹣）9的展开式中，通项公式为T r+1=（9x）9﹣r=99﹣r；令9﹣=1，解得r=6；所以展开式中x的系数为93=84．故答案为：84．6、【解答】解：（x﹣y）7的展开式的通项公式T r+1=，令r=5，满足7﹣r=2，此时T6=﹣，令r=4，7﹣r=3，此时T5=，∴x3y5的系数为+=14．故答案为：14．7、C8、139、52-10、－1011、1212、1513、121514、－6415、－316、－8017、1 318、【答案】20【解析】61 xx⎛⎫+⎪⎝⎭中的通项为61rr n rC xx-⎛⎫⎪⎝⎭，若为常数项，则3r=，366120rr n rC x Cx-⎛⎫==⎪⎝⎭.二、排列组合参考答案1、14n-解析：.具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++ 021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= 2、C3、204、2105、B6、B 考点：排列、组合及简单计数问题． 专题：计算题；排列组合．分析：利用分类加法原理，即可得出结论．解答：解：由于书架上有3+5+8=16本书，则从中任取一本书，共有16种不同的取法．故选B ．7、B 8、C 9、18 10、44 11、B 12、D 13、【答案】B【解析】A ∩B ={ 0, 1}，A ∪B {－1, 0, 1, 2, 3}，x 有2种取法, y 有5种取法由乘法原理得2×5=10，故选B 。

排列组合与二项式定理（1）【基本知识】1.甲班有四个小组，每组10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选1人担任校团委部，不同的选法种数为 852．6人站成一排，甲、乙 、丙三人必须站在一起的排列种数为 1444．用二项式定理计算59.98，精确到1的近似值为（ 99004 ）5．若2)nx 的项是第8项，则展开式中含1x的项是第 9项6．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 34种7．已知8()a x x-展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 1或288．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有 38A 种9．设34550500150(1)(1)(1)(1)x x x x a a x a x ++++++++=+++L L ，则3a 的值是 451C10．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有____24______．11．102(2)(1)x x +-的展开式中10x 的系数为____179______．（用数字作答）若1531-++++n n n n n C C C C ΛΛ=32，则n = 612．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第____10_____个数。

13、体育老师把9个相同的足球放入编号为1、2、3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放法有___10___种。

三、解答题15、已知n 展开式中偶数项的二项式系数之和为256，求x 的 系数．【解】由二项式系数的性质：二项展开式中偶数项的二项式系数之和为2n －1，得n =9，由通项92923199C (C (2)r rrrrr r r T x---+==-g g g ，令92123r r --=，得r =3，所以x 的二项式为39C =84， 而x 的系数为339C (2)84(8)672-=⨯-=-g．16、有5名男生，4名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？ （3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？ （4）若4名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？【解】（1）39504A = （2）287280 （3）17280 （4）211217．从7个不同的红球，3 个不同的白球中取出4个球，问：（1）有多少种不同的取法？（2）其中恰有一个白球的取法有多少种？ （3）其中至少有现两个白球的取法有多少种？ 【解】（1）210 （2）105 （3）7018、 已知n展开式中偶数项二项式系数和比()2na b +展开式中奇数项二项式系数和小120，求：（1）n展开式中第三项的系数;（2）()2na b +展开式的中间项。

【高考真题解读】1.【2016高考新课标1卷】执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =【答案】C2.【2016高考新课标3理数】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】B3.【2016年高考四川理数】秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35 【答案】B【解析】程序运行如下3,21,201224,10n x v i v i ==→==≥→=⨯+==≥4219,0092018,10,v i v i →=⨯+==≥→=⨯+==-<结束循环，输出18v =，故选B.4.【2016高考新课标2理数】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n ==，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ）（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34【答案】C5.【2016年高考北京理数】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】输入1=a ，则0=k ，1=b ；进入循环体，21-=a ，否，1=k ，2-=a ，否， 2=k ，1=a ，此时1==b a ，输出k ，则2=k ，选B.6.【2016高考山东理数】执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________.【答案】3【解析】第一次循环：a 1,b 8==；第二次循环：a 3,b 6==；第三次循环：a 6,b 3==；满足条件，结束循环，此时，i 3=.7.【2016高考天津理数】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ） （A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【答案】B【解析】依次循环：8,n 2;S 2,n 3;S 4,n 4S ======结束循环，输出S 4=，选B. 8.【2016高考江苏卷】如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .【答案】9【解析】第一次循环：5,7a b ==，第二次循环：9,5a b ==，此时a b >循环结束9a =。

专题 排列组合、二项式定理一、选择题1．【2018 ）A. 15B. -15C. 17D. -17 【答案】C2×66ð+1×46ð=17故选：C.点睛：二项展开式求常数项问题主要是利用好通项公式，在进行分类组合很容易解决，注意系数的正负.2．【2018湖南省两市九月调研】若()2018201801201813,x a a x a x x R -=+++∈ ，则22018122018333a a a ⋅+⋅++⋅ 的值为（ ） A. 201821- B. 201881- C. 20182 D. 20188【答案】B【解析】令0x =，得01a =.令3x =，得()20182201820180122018333198a a a a +⋅+⋅++⋅=-= .所以22018201820181220180333881a a a a ⋅+⋅++⋅=-=- . 故选B.3．【2018辽宁省辽南协作校一模】()4x y z ++的展开式共（ ）项 A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】因为()()()()()()444x y⎡⎤++=++=++++++++⎣⎦所以再运用二项式定理展开共有5432115++++=项，应选答案B 。

4．【2018广东省海珠区一模】()()62x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（ ） A. 80- B. 40- C. 40 D. 80 【答案】D5．【20184项的二项式系数为20，则） A. 60 B. 60- C. 80 D. 80- 【答案】A【解析】由题意可得3n ð=20，求得n=6，的展并式的通项公式为T r+1=6rð• r=4，展并式中的常数项为46ð•4=60.点睛：利用二项式系数的性质求得n=6，在（x 6的展并式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求得r 的值，可得展并式中的常数项．6．【2018 ）A. －15B. 15C. －20D. 20 【答案】B【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式：.要使其为常数，则,即，常数项为.考点：二项式定理.7．【2018河南省新乡市三模】在的展开式中，系数为有理数的项为（ ）A. 第二项B. 第三项C. 第四项D. 第五项 【答案】B8．【2018内蒙古包钢一中一模】把5名师范大学的毕业生分配到A 、B 、C 三所学校，每所学校至少一人。

第十章 计数原理 10.3 二项式定理试题 理 北师大版1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)0≤r ≤n 时，C rn 与C n －rn 的关系是C rn ＝C n －rn . (2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n 2＋1项的二项式系数最大，最大值为2C nn ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为12C n n -和12C n n +. (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.【知识拓展】二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)C r n an －r b r是二项展开式的第r 项．( × )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (3)(a ＋b )n的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ ) (4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( × )(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( × )1．(教材改编)(x －y )n的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C mn B ．C m ＋1n C ．C m －1n D ．(－1)m －1C m －1n答案 D解析 (x －y )n展开式中第m 项的系数为 C m －1n (－1)m －1.2．(2016·四川)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4答案 A解析 由题意可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.故选A.3．(2016·南昌模拟)已知n ＝611e d x x⎰，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x n 展开式中含x 2项的系数为( )A ．130B ．135C ．121D ．139 答案 B解析 根据题意，n ＝66111e e d ln |6x x x ==⎰，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x 6中，由二项式定理得通项公式为T r ＋1＝C r6(－3)r x6－2r，令6－2r ＝2，得r ＝2，所以系数为C 26×9＝135.4．在(x 2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案 7解析 由题意知n2＋1＝5，解得n ＝8，(x 2－13x)8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r(－13x)r ＝38848(1)2C r rr rx-－－，令8－4r3＝0，得r ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.题型一 二项展开式命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1 (1)(2016·全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______________．(用数字填写答案)(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60答案 (1)10 (2)C解析 (1)(2x ＋x )5展开式的通项公式，r ∈{0,1,2,3,4,5}，令5－r2＝3，解得r ＝4，得 ∴x 3的系数是10. (2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5， 含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C. 方法二 利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23＝30.故选C.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.(2)(2016·山东)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________.答案 (1)3 (2)－2解析 (1)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.(2)∵()5105252155C C r rrr r r r T axa x -－－＋＝， ∴10－52r ＝5，解得r ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2.思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母5552551C (2)C 2,r rrrr rr x x T ---+==454543255C 210,x x T --==的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．(1)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 (1)－20 (2)12解析 (1)x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20. (2)设通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r，令10－r ＝7，∴r ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15， ∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210. (2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29. (4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f＋f －2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f－f －2.(1)(2017·北京海淀区月考)设m 为正整数，(x ＋y )2m展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 B解析 由题意得a ＝C m2m ，b ＝C m ＋12m ＋1， ∴13C m2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴m ！m ！·m ！＝m ＋！m ！m ＋！， ∴m ＋m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验符合题意，故选B.(2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的结果是多少？解 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016. 即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1. 题型三 二项式定理的应用 例4 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( )A ．0B ．1C ．11D ．12(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位)答案 (1)D (2)1.172 解析 (1)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除，∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12.(2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172.思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．(1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)r 90r C r 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)r 90r C r 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数是1. (2)已知2n ＋2·3n＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值．解 原式＝4·6n＋5n －a ＝4(5＋1)n＋5n －a ＝4(C 0n 5n＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C nn )＋5n －a ＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.15．二项展开式的系数与二项式系数典例 (1)(2016·河北武邑中学期末)若(x －3x)n展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)(2016·河北邯郸一中调研)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 错解展示解析 (1)(x ＋3x)n 展开式中，令x ＝1可得4n＝1 024，∴n ＝5，∴(x －3x)n 展开式的通项53215··Crrrr T x＋＝(-3)，令5－3r2＝1，得r ＝1. 故展开式中含x 项的系数为C 15＝5. (2)a 1＋a 2＋…＋a 7＝C 17＋C 27＋…＋C 77＝27－1. 答案 (1)5 (2)27－1 现场纠错解析 (1)在(x ＋3x)n的展开式中，令x ＝1，可得(x －3x)n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5.故(x －3x)5展开式的通项为53215··C rrrr T x ＋＝(-3)，令5－3r2＝1，得r ＝1， 故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4的系数是－35，∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1.∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中， 令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7， 即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1. 答案 (1)－15 (2)1纠错心得 和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和．1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10答案 C解析 因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.2．(2016·江西于都三中月考)在二项式(x －1x)8的展开式中，含x 5的项的系数是( )A ．－28B ．28C ．－8D ．8答案 B 解析 (x －1x)8展开式的通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ×(－1)r×(12x-)r＝3828(1)C r r r x-⨯－，由幂指数是5，即8－32r ＝5，得r ＝2，则系数为C 28(－1)2＝28.3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20答案 C解析 设展开式中的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )6－r·(－2－x )r ＝C r 6·(－1)r ·212x －2rx·2－rx＝C r 6·(－1)r ·212x －3rx，∵12x －3rx ＝0恒成立，∴r ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15.4．(2015·湖北)已知(1＋x )n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A ．29B ．210C ．211D ．212答案 A解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A.5．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( ) A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4.6．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n 等于( ) A.34(3n－1) B.34(3n－2) C.32(3n－2) D.32(3n－1) 答案 D解析 在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝－3n1－3＝32(3n－1)． 7．若(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( )A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或9答案 D解析 由于(x ＋a )2＝x 2＋2ax ＋a 2，而(1x－1)5的展开式通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5·x r －5，其中r＝0,1,2，…，5.于是(1x－1)5的展开式中x －2的系数为(－1)3C 35＝－10，x －1项的系数为(－1)4C 45＝5，常数项为－1，因此(x ＋a )2(1x－1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a ×5＋a 2×(－1)＝－a 2＋10a －10，依题意－a 2＋10a －10＝－1，解得a 2－10a ＋9＝0，即a ＝1或a ＝9. 8．(2016·北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答) 答案 60解析 展开式的通项T r ＋1＝C r 6·16－r·(－2x )r ＝C r 6·(－2)r ·x r .令r ＝2，得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.9．(2016·天津)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)答案 －56解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1xr ＝(－1)r C r 8x 16－3r ，当16－3r ＝7时，r ＝3，则x7的系数为(－1)3C 38＝－56.10．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5， 它的通项为T r ＋1＝C r5(1＋x )5－r·(－1)r，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.11．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________． 答案 168解析 ∵(1＋x )8的通项为C r 8x r ，(1＋y )4的通项为C t 4y t ，∴(1＋x )8(1＋y )4的通项为C r 8C t 4x r y t，令r ＝2，t ＝2，得x 2y 2的系数为C 28C 24＝168. 12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7 ＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|， 即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187. 13．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N ＋)能被31整除．证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n－12－1＝25n－1＝32n －1＝(31＋1)n－1 ＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C0n×31n－1＋C1n×31n－2＋…＋C n－1n为整数，∴原式能被31整除．14.若(x＋124x)n展开式中前三项的系数成等差数列，求：(1)展开式中所有x的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解(1)易求得展开式前三项的系数为1，12C1n，14C2n.据题意得2×12C1n＝1＋14C2n⇒n＝8.设展开式中的有理项为T r＋1，由163841881()C2C rr r r r rrT x-－＋＝＝，∴r为4的倍数，又0≤r≤8，∴r＝0,4,8.故有理项为1630004181()C2T x-⨯＝＝x4，1634444581()C2T x-⨯＝＝358x，1638884981()C2T x-⨯＝＝1256x2.(2)设展开式中T r＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧12r C r 812r＋1C r＋18，12r C r812r－1C r－18⇒r＝2或r＝3.故展开式中系数最大的项为1632224381()C2T x-⨯＝＝527x，1633334481()C2T x-⨯＝＝747x.11。

【热点集训】1. 【河北唐山市2017届高三年级期末,8】在()102x -展开式中， 二项式系数的最大值为a ，含7x 项的系数为b ，则ba=（ ） A ．8021 B ．2180 C.2180- D ．8021- 【答案】D【解析】由题意，得510a C=，3310(2)b C=-，所以3310510(2)8021C b a C -==-，故选D ． 2.【福建省泉州市2016届高三下学期3月质量检查】()622--x x 的展开式中2x 的系数等于（ ）A.-48B.48C.234D.432 【答案】B 【解析】2666(2)(2)(1)x x x x --=-+06152420122666666(222...)(...)C C x C x C C x C x =-+-+++所以展开式中2x 的系数为06215124066666622248C C C C C C -+=.选B.3.【山东省实验中学2017届高三第一次诊，6】现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，问这样的分法有（ ）种 A ．36 B ．9C ．18D ．15【答案】B4.【河北邯郸2017届9月联考，9】如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有（ ）A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种 【答案】B .【解析】由图可知，区域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有720246=⨯A 种，故应选B .5.【甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考】设k 是一个正整数，1+)k xk（的展开式中第四项的系数为116，记函数2y x =与y kx =的图象所围成的阴影部分为S ，任取[0,4]x ∈，[0,16]y ∈，则点(,)x y 恰好落在阴影区域S 内的概率是 （ ） A ．23B ．13C ．25D ．16【答案】D. 【解析】6.【河南省广东省佛山市2017届高三教学质量检测（一），10】二项式()*nn N +∈展开式中只有一项的系数为有理数，则n 的可能取值为（ ） A ．6 B ．7 C.8 D ．9 【答案】B【解析】因为二项式n的展开式的通项公式为321)32r n r rrn rr n r r nnT C C x ---+==，因为该展开式中只有一项的系数为有理数，当A 、C 中0,6r =、D 中3,9r =时展开式的系数均为有理数，只有B 满足题意，故选B ． 7. 【广东省汕头市2017届高三上学期期末，9】将二项式6)2(xx +展开式各项重新排列，则其中无理项互不相邻的概率是（ ）A ．72 B ．351 C. 358 D ．247 【答案】A【解析】由36621662r r rr r rr T C xC x --+==，知当0,2,4,6r =时为有理项，则二项式6)2(xx +展开式中有4项有理项，3项无理项，所以基本事件总数为77A ，无理项互为相邻有4345A A ，所以所求概率434577A A P A =＝72，故选A ． 8. 【广东2017届高三上学期阶段测评（一），10】若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（ ）A ．2-B ．3- C.253 D ．126 【答案】C【解析】令1x =，得01283a a a a ++++=…，()7822256a =⨯-=-，∴0783253a a a ++=--=….选C.9. 【广西柳州市2017届高三10月模拟，7】在5(2)x a +的展开式中，含2x 项的系数等于320，则(2)ax e x dx +⎰等于（ ）A ．23e +B ．24e +C ．1e +D ．2e +【答案】A【解析】由题意得323523202C a a =⇒=，所以222(2)()30ax x e x dx e x e +=+=+⎰，选A.10.【2017届广东七校联合体高三理上学期联考二】把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且,A B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．18种 【答案】B11. 【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考，6】()()5121x x -+的展开式中3x 的系数为（ ）A ．10B ．-30 C.-10 D ．-20 【答案】C【解析】由题意得展开式中3x 的系数为32552102010C C -=-=-,选C.12.【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断，6】已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有1人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（ ）A. 72种B. 78种C. 48种D. 84种 【答案】C【解析】方法一：4842233444455=+--A A A A 方法二：a,a,c 23212⨯⨯= c,a,a,23212⨯⨯=, a,c,a 24224A ⨯=，故共有12122448.++=选C.13. 【河南百校联考2017届高三9月质检，7】6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（ ） A ．60 B ．96 C ．48 D ．72 【答案】C【解析】先把乙和丙，丁和戊看作两个整体，四个人进行排列：332A ,再考虑乙和丙，丁和戊排法得322322248A A A =,选C.14.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，10】若二项式261)x x+的展开式中的常数项为m ，则21(2)mx x dx -=⎰（ ）A ．13 B ．13- C ．23- D ．23【答案】D15.【2017届重庆市第一中学高三上学期一诊模】的展开式中，的系数为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】展开式中含项为展开式中项的系数为项的系数为展开式中的系数为，故选B.16.【广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末】已知，则a 3= ． 【答案】﹣25【解析】∵（1+x ）•（2﹣x ）6=[（x ﹣1）+2]•（1﹣x+1）6=[（x ﹣1）+2]•[（x ﹣1）﹣1]6=[（x ﹣1）+2][•（x ﹣1）6﹣•（x ﹣1）5+•（x ﹣1）4﹣•（x ﹣1）3+•（x ﹣1）2﹣•（x ﹣1）+]，且，故a 3=﹣2+=﹣25，故答案为﹣25．17. 【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试，15】若()()201622016012201621x a a x a x a xx R -=++++∈…， 记2016201612ii i a S ==∑，则2016S 的值为 ． 【答案】1-【解析】令12x =，有201620162016120220161121122222i i i a a a a a =⎛⎫⨯-=++++=+ ⎪⎝⎭∑…，所以20162016112iii a S ===-∑. 18. 【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为 . 【答案】36【解析】分两步完成:第一步将4名调研员按2,1,1分成三组,其分发有21142122C C C A 种；第二步将分好的三组分配到三个学校,其分发有33A 种,所以不同的分配方案种数211342132236C C C A A =种,故填36.19.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,14】两所学校分别有2名、3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是__________. 【答案】15【解析】5名学生要排成一排合影共有55A 种不同的排法，同校学生排在一起共有232232A A A 种不同的排法，所以所求概率为2322325515A A A P A ==. 20.【贵州遵义市2017届高三第一次联考，14】若512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和2，则该展开式中的常数项为__________． 【答案】40【解析】由题意得()()512121a a +-=⇒=，因此该展开式中的常数项为223232552(1)2(1)40C C -+-=21.【河北衡水中学2017届高三上学期五调，13】若6(n x +的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________. 【答案】522. 【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，13】若二项式21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开工的二项式系数之和为64，则含3x 项的系数为 ． 【答案】20【解析】由题意，得264n =，所以6n =，所以22611()()n x x x x+=+展开式的通项公式为261231661()()r r r r r r T C x C x x--+==．令1233r -=，得3r =，所以展开式中含3x 项的系数为3620C =．23.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，13】5)(x ax +的展开式中3x 项的系数为20，则实数a =．【答案】4 【解析】二项式5)(x ax +展开式的通项为210551r rrr xC aT --+=，令3210=-r，解得4=r ，故展开式中3x 项的系数为2045=aC ，解得4=a .24.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，12】821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中的7x 的系数是 ． 【答案】56- 【解析】281631881()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，由1637r -=得3r =，系数是338(1)56.C -=-25.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，14】在32nx⎛ ⎝的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________． 【答案】14.26.【河南百校联考2017届高三9月质检，14】若()1021x a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为30，则()231axdx +=⎰____________．【答案】10【解析】由题意得321010302C aC a -=⇒=，所以()()()2223023131100ax dx x dx x x +=+=+=⎰⎰27.【云南省、四川省、贵州省2017届高三上学期百校大联考数学，15】 61(21)()x x x-+的展开式中3x 的系数为______________. 【答案】30【解析】因为61()x x +的通项公式为6216r rr T C x -++=，所以61(21)()x x x-+的展开式中含x 的奇数次方的通项为5262r r C x -+，令523r -+=，解得4r =.从而所求的系数为46230C =.28.【2017届河北枣强中学高三12月月考】在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有（ ） A ．420种 B ．260种 C ．180种 D ．80种 【答案】B【解析】若3人中有2名中国记者和1名国外记者，则不同的提问方式的种数是21254280C C A =，若3人中有1名中国记者和2名国外记者，则不同的提问方式的种数是123543180C C A =，故所有的不同的提问方式的种数是80180260+=.故选B ．29.【2017届山西省怀仁县第一中学高三上学期期末】已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得，所以,由题意得直线与曲线有四个交点，因为直线过定点，且过点时，由图:知实数的取值范围是为30.【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，16】将三项式()21nx x ++展开，当1,2,3,n = 时，得到如下左图所示的展开式，右图所示的广义杨辉三角形：()0211x x ++= 第0行 1()12211x x x x ++=++ 第1行 1 11()2243212321xx x x x x ++=++++ 第2行 1 2 32 1()32654321367631x x x x x x x x ++=++++++ 第3行 1 3 6 76 3 1()42876543214101619161041xx x x x x x x x x ++=++++++++ 第4行 1 4 10 1619 16 10 4 1 ……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k 行共有21k +个数．若在()()5211ax x x +++的展开式中，8x 项的系数为75，则实数a 的值为___________． 【答案】2【解析】()521x x ++展开式中系数为1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1，所以在()()5211ax xx +++的展开式中，8x 项的系数为15+3075 2.a a =⇒=。

二项式定理测试题及答案二项式定理测试题一、选择题1.(x-1)的10次方的展开式的第6项的系数是（）．A。

C10B。

-C10C。

C10D。

-C102.(2x+x)的展开式中x的3次方的系数是（）．A。

6B。

12C。

24D。

483.(1-x的3次方)(1+x)的10次方的展开式中x的5次方的系数是（）．A。

-297B。

-252C。

297D。

2074.(Ax+B)的展开式中，各项都含有x的奇次幂，则n（）．A。

必为偶数B。

必为奇数C。

奇偶数均可D。

不存在这样的正整数5.二项式的展开式中二项式系数最大的项为（）．A。

第6项B。

第5、6项C。

第7项D。

第6、7项6.设(2+x) = a + a1/x + a2/x的10次方 + a10/x的10次方，则(a+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值是（）A。

1B。

-1C。

0D。

(2-1)7.把(x-1)的9次方按x降幂排列，系数最大的项是（）A。

第四项和第五项B。

第五项C。

第五项和第六项D。

第六项8.若(3x-4)的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A。

-540B。

-162C。

162D。

540二、填空题9.9192被100除所得的余数为92.+3Cn+5Cn+n+(2n+1)Cn=2n+3Cn。

11.在(x2+x-1)的7次方(2x+1)的4次方的展开式中，奇数项的系数的和为0.12.(x+4)的展开式中系数最大的项为C4.三、解答题13.(3x+4)的展开式为：81x的4次方+108x的3次方+54x 的2次方+12x+1.14.已知二项式(3x-1/3)：1) 展开式第四项的二项式系数为35.2) 展开式第四项的系数为-80/27.15.在(5x-2y)的20次方的展开式中，系数最大的项是C10*(5x)的10次方*(-2y)的10次方，系数最小的项是C20*(-2y)的20次方。

2.由题意可得，4-r+r=3，解得r=2.因此，223x的系数为C4-2=6，乘以2得到答案为12.3.展开(1-x)(1+x)，得到1-x^2.展开式中含x项的系数为-1，因此，1-x^2中含x项的系数为0.而1-x^2=(1+x)-(x^2)，因此，含x项的系数为1，含x^2项的系数为-1.因此，x项系数为-C10=-207.4.展开式中的一般项为Tr+1=C(Ax)^r+1，其中A=5，x=-1.要使展开式中含有x^10，必须使n为奇数。

高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?排列、组合二项式定理?1 / 412021届高三数学专项训练〔 09〕?排列、组合二项式定理?一、选择题〔此题每题 5分，共60 分〕1．以下各式中，假设 1 k n, 与C n k不等的一个是〔〕A ．k 1C n k 11B ．nC n k 11 C ． n n C n k1D ．kn C n k 11n 12 kk n 12．二项式(x)7展开式的第 4项与第5项之和为零，那么x 等于 〔〕xA ．1B ．2C ．2D ．463．设(12x)10 a 1 a 2x a 3x 2a 11x 10，那么a 3 a 5 a 7 a 9 a 11等于 〔 〕A ． 10 1 B． 1 10 C ． 1 10 1) ． 1310 1 3 3 (3 () 2 D 24．从10名女学生中选 2名，40 名男生中选 3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 〔 〕A ．A 102A 403 ．C 102C 403A 42A 33 C ．C 102C 403A 55． 2 3 1040 B D CC5．用1，2，3，4，5，6，7七个数字排列组成七位数，使其中偶位数上必定是偶数，那么可得七位数的个数是 〔 〕 A ． 4 B ． 4 3 3 D ． 1 74 43 C ．6A 3 7AAAA26．假设( 3 2x)12 a 0 a 1xa 2x 2 a 12x 12，那么(a 1a 3 a 5 a 11)2 (a 0a 2 a 4 a 12)2的值是 〔 〕A ．1B ．－1 C ．2 D ．－27．在某次数学测验中，学号 i(i 1,2,3,4)的四位同学的考试成绩 f(i) {90,92,93,96,98} ，且满足f(1) f(2) f(3) f(4) ，那么这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 〔 〕 A ．9种 B ．5种 C ．23种 D ．15种 8．如果一个三位正整数形如“ a1a2a3〞满足a1 a 2且a 3 a 2 ，那么称这样的三位数为凸数〔如120、 363、374等〕，那么所有凸数个数为 〔 〕 A ．240 B ．218 C ．729 D ．920 9．使得多项式81x 4108x 3 54x 2 12x1能被5整除的最小自然数x 为 〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．410．假设( x 2 )n 展开式中存在常数项 ,那么n 的值可以是 〔 〕A ．8 3xB ．9C ．10 D ．1211．在 AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点〔均除O 点外〕，连同O 点m 点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有 〔A ．C m 1 1Cn 2 Cn 11Cm 2B ．C m 1C n 2C n 1C m 2 C ．C m 1C n 2C n 1C m 2 C m 1C n 1D ．Cm 1Cn 21 C 12．二项式(2x2)9(x R)的展开式的第7项为 21,那么lim(xx 2x n )的2 4 nA ．1B． 1 C ． 3 D ． 344 44高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?排列、组合二项式定理?2 / 42二、填空题〔此题每题 4分，共 16分〕13．二项式(1 1)10的展开式中含 15的项的系数________〔请用数字作答〕2x x14．某学校要从高三的 6个班中派 9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派 1人，那么这9 个名额的分配方案共有 种.〔用数字作答〕15．在(1 x x 2)(1x)10的展开式中，x 4项的系数是.16．(理)有四个好友A,B,C,D 经常通 交流信息,在通了三次 后这四人都得悉某一条高考信息,那么第一个 是 A 打的情形共有 种.(文)甲、乙、丙、丁、戊5 名学生进行投篮比赛，决出了第 1至第5名的不同名次，甲、乙两 人向裁判询问成绩。

核心素养测评七十排列、组合与二项式定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.2020年寒假期间,有A,B,C,D,E,F6位同学到甲、乙、丙三个贫困村去支教,每两位同学一个村,考虑到同学们到贫困村的距离问题,同学A不去甲村,同学B不去乙村,则安排方法共有( )A.30种B.40种C.42种D.48种【解析】选C.6位同学到甲、乙、丙三个贫困村去支教,每两位同学一个村,共有:=90种安排方法,其中A去甲村的情况有:=30种,B去乙村的情况有:=30种,A去甲村,同时B去乙村的情况有:=12种,所以符合题意的安排方法有:90-30-30+12=42种.2.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种【解析】选D.由题意可得其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为··=36(种).【一题多解】选D.··=3××2=36(种).3.甲、乙、丙、丁、戊5个人去某景区游玩,已知该景区仅有A、B两个景点,若这两个景点都必须有人去游玩且每人只能游玩一个景点,则所有的情况有( )A.15种B.30种C.45种D.60种【解析】选B.依题意,所有的情况有·=30(种).4.(+)100的展开式中,无理数项的个数是( )A.84B.85C.86D.87【解析】选A.(+)100展开式的通项为T r+1=()100-r·()r=·×,r=0,1,2,…,100,所以当r是6的倍数时,T r+1为有理项,所以r=0,6,12,…,96,共17项,因为展开式共有101项,所以展开式中无理项的个数是101-17=84.【变式备选】在的展开式中,x2的系数为________________.【解析】的展开式中,通项公式为T r+1=(2x)5-r=(-1)r25-r,令5-r=2,解得r=2,所以x2的系数=23=80.答案:805.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有( )A.30种B.50种C.60种D.90种【解析】选B.若同学甲选牛,那么同学乙只能选狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有·=20种选法,若同学甲选马,那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10种任意选,所以共有·=30种选法,所以共有20+30=50种.【变式备选】第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,为了保护各国元首的安全,将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作,且这三个区域每个区域至少有一个安保小组,则这样的安排方法共有( )A.96种B.100种C.124种D.150种【解析】选D.因为三个区域每个区域至少有一个安保小组,所以可以把5个安保小组分成三组,有两种分组的情况:一种是1,1,3,另一种是1,2,2.当按照1,1,3来分时,共有N1=·=60(种),当按照1,2,2来分时,共有N2=·=90(种),根据分类加法计数原理知N=N1+N2=150种.6.设(1+x)n=a0+a1x+…+a n x n,若a1+a2+…+a n=63,则展开式中系数最大的项是( )A.15x3B.20x3C.21x3D.35x3【解析】选B.在(1+x)n=a0+a1x+…+a n x n中,令x=1得2n=a0+a1+a2+…+a n;令x=0,得1=a0,所以a1+a2+…+a n=2n-1=63,所以n=6.而(1+x)6的展开式中系数最大的项为T4=x3=20x3.【变式备选】已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为( )A.39B.310C.311D.312【解析】选D.由题意得,因为(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,两边同时求导,可得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-4a4+…+9a9=9,又(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7+8a8+9a9)·(a1-2a2+3a3-4a4+5a5-6a6+7a7-8a8+9a9)=310×9=312.7.在航天员进行一项太空实验中,要先后实施6个程序,其中程序A只能出现在第一或最后一步,程序B和C 在实施时必须相邻,问实验顺序的编排方法共有( )A.34种B.48种C.96种D.144种【解析】选C.根据题意,程序A只能出现在第一步或最后一步,则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列,有=2种结果,又由程序B和C实施时必须相邻,把B和C看成一个元素,同除A外的3个元素排列,注意B和C之间还有一个排列,共有=48种结果,根据分步乘法计数原理知共有2×48=96种结果.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________________种.(用数字填写答案)【解析】恰有1位女生,有=12种,恰有2位女生,有=4种,所以不同的选法共有12+4=16种.答案:16【变式备选】有编号为1,2,3,4,5,6的六辆货车排队出发,要求1号车必须在3号车前出发,共有________________种出发顺序.【解析】编号为1,2,3,4,5,6的六辆货车排队出发,共有种出发顺序,要求1号车必须在3号车前出发,所以有=6×5×4×3=360(种)出发顺序.答案:3609.在二项式的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为________________.【解析】在二项式的展开式中,令x=1得各项系数之和为4n,即A=4n,二项展开式中的二项式系数之和为2n,即B=2n.因为A+B=72,所以4n+2n=72,解得n=3,所以=的展开式的通项为T r+1=()3-r=3r,令=0,得r=1,故展开式中的常数项为T2=3×=9.答案:910.平面上有9个红点,5个黄点,其中2个红点,2个黄点共4个点在同一条直线上,其余再无三点共线,以这些点为顶点且三个顶点颜色不完全相同的三角形的个数是____________________.【解题指南】先考虑全部14个点确定的三角形,再排除不符合条件的情形.【解析】由9+5=14个点中选取3个点有种方法,其中3个点共线的情形有种,3个点都是红色的情形有种,3个点都是黄色的情形有种,所以满足要求的三角形的个数为---=266.答案:266(25分钟45分)1.(5分)把一排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是( )A.168B.96C.72D.144【解析】选D.根据题意,有2个人各得1张,有2个人各得2张,先把这6张电影票分成4种情形,有种方法,再把这4种情况全排列,有种方法,所以不同的分法种数是=144.【一题多解】选D.先把6张票分成4份,有以下情况:12,34,5,6;12,3,45,6;12,3,4,56;1,23,45,6;1,23,4,56;1,2,34,56共6种方法,再把每一种情形对应分给4个人,有种方法,所以不同的分法种数是6=144.2.(5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.56B.84C.112D.168【解析】选D.根据(1+x)8和(1+y)4的展开式的通项公式可得,x2y2的系数为=168.3.(5分)大数据时代出现了滴滴打车服务,二孩政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个小孩共8人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自一个家庭的乘坐方式共有( )A.18种B.24种C.36种D.48种【解析】选B.当A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时,则另两个小孩,是另外两个家庭的一个小孩,有2××22=24种方法.4.(10分)如表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?学校专业1 1 22 1 23 1 2【解析】填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并排列,共有种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有··种.综合以上两步,由分步乘法计数原理得不同的填表方法有:···=5 184种.5.(10分)已知的展开式中的常数项等于的展开式中的二项式系数和.(1)求的展开式的各项系数和.(2)求55n除以8的余数.【解析】因为的展开式中的通项公式为T r+1=(4)5-r=45-r,所以当r=2时取得常数项, 常数项T3=43=27,因为的展开式中的二项式系数和为2n,所以2n=27即n=7.(1)令a=1,可得展开式的各项系数和为27=128.(2)557=(56-1)7=·567-·566+…+·56-,所以其除以8的余数为7.6.(10分)有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内,(1)共有多少种放法?(2)恰有1个盒子不放球,有多少种放法?(3)恰有1个盒子放2个球,有多少种放法?(4)恰有2个盒子不放球,有多少种放法?【解析】(1)一个球一个球地放到盒子里去,每个球都可有4种独立的放法,由分步乘法计数原理知,放法共有44=256(种).(2)为保证“恰有1个盒子不放球”,先从4个盒子中任意拿走1个,即将4个球分成2,1,1的三组,有种分法;然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球,2个盒子,全排列即可.由分步乘法计数原理知,共有放法···=144(种).(3)“恰有1个盒子放2个球”,即另外的3个盒子放剩下的2个球,而每个盒子至多放1个球,即另外3个盒子中恰有1个空盒.因此,“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事,故也有144种放法.(4)先从4个盒子中任意拿走2个,有种拿法,问题转化为:“4个球,2个盒子,每盒必放球,有几种放法”,从放球数目看,可分为(3,1),(2,2)两类:第1类,可从4个球中先选3个,然后放入指定的一个盒子中即可,有·种放法;第2类,有种放法.因此共有·+=14(种).由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有×14=84(种).。

第十章排列、组合与二项式定理1．（2018年北京卷）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ C ） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种2．（2018年全国卷）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有72 种.（以数字作答）3．（2018年江苏卷）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 120 种.（以数字作答） 4．（2018年天津卷）92)21(x x -展开式中9x 的系数是 221- . 5．（2018年上海卷）已知数列}{n a （n 为正整数）是首项是a 1，公比为q 的等比数列.（1）求和：;,334233132031223122021C a C a C a C a C a C a C a -+-+-（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.[解]（1）0122212223211112(1),a C a C a C a a q a q a q -+=-+=-0123233132333431111133(1).a C a C a C a C a a q a q a q a q -+-=-+-=-（2）归纳概括的结论为：若数列}{n a 是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则nn n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n q a C q C q C q qC C a C q a C q a C q a qC a C a C a C a C a C a C a n q a C a C a C a C a C a )1(])1([)1()1(:.,)1()1(13322101133122111011342312011134231201-=-++-+-=-++-+-=-++-+--=-++-+-++ 证明为正整数。

[限时规范训练] 单独成册A 组——高考热点强化练一、选择题1．(2017·河南八市质检)将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．42解析：四个篮球中两个分到一组有C 24种分法，三组篮球进行全排列有A 33种，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A 33种分法，所以有C 24A 33－A 33＝36－6＝30种分法，故选C. 答案：C2.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54 B.54 C ．－1516D.1516解析：T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4.∴常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516.故选D.答案：D3．A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( ) A ．60种 B ．48种 C ．30种D ．24种解析：A 22A 44＝48.答案：B4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 6＋b x 4的二项展开式中，如果x 3的系数为20，那么ab 3＝( )A ．20B ．15C ．10D ．5解析：T r ＋1＝C r 4·(ax 6)4－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 4a 4－r b r x 24－7r，令24－7r ＝3，得r ＝3，则4ab 3＝20，∴ab 3＝5. 答案：D5．(2017·河北质量监测)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472D ．484解析：由题意，不考虑特殊情况，共有C 316种取法，其中同一种颜色的卡片取3张，有4C 34种取法，3张卡片中红色卡片取2张有C 24·C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24·C 112＝560－16－72＝472种，选C. 答案：C6．(2017·漳州模拟)已知(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9＋a 10x 10，则a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10的值为( ) A ．－20 B ．0 C ．1D ．20解析：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝1，再令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝0，又易知a 1＝C 910×21×(－1)9＝－20，所以a 2＋a 3＋…＋a 9＋a 10＝20. 答案：D7．从数字1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( ) A.15 B.25 C.35D.45解析：构成的两位数共有A 25＝20(个)，其中大于40的两位数有C 12C 14＝8(个)，所以所求概率为820＝25，故选B.答案：B8．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74D ．－121解析：展开式中含x 3的项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 38(－1)3＝－121. 答案：D9．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是( ) A ．216 B ．420 C ．720D ．1 080解析：先分组，每组含有2户家庭的有2组，则有C 26C 24A 22种分组方法，剩下的2户家庭可以直接看成2组，然后将分成的4组进行全排列，故有C 26C 24A 22×A 44＝1 080种不同的分配方案． 答案：D10．(2017·厦门海沧实验中 等联考)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，含x 2项的系数为( ) A ．10 B ．30 C ．45D ．120解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 2 01510＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋1x 2 01510＝(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2 015＋…＋C 1010⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2 01510，所以x 2项只能在(1＋x )10的展开式中，所以含x 2的项为C 210x 2，系数为C 210＝45.答案：C11．(2017·衡水二中检测)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有3×2×1×C 12×C 12＝24种，若前三个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有3×2＝6种，综上可得不同的涂色方案的种数是30. 答案：C12．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0，3)＝( ) A ．45 B ．60 C ．120D ．210解析：在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3,0)＝C 36＝20，f (2,1)＝C 26·C 14＝60，f (1,2)＝C 16·C 24＝36，f (0,3)＝C 34＝4，故f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝120. 答案：C 二、填空题13．(2017·广西质检)包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为________．解析：4个人的全排列种数为A 44，甲与乙、丙都相邻的排法有A 22A 22种，则所求概率为A 22A 22A 44＝16.答案：1614．(2017·安徽安庆模拟)将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开后的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝ (－2)k ·C k 6(x )6－2k.令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项是C36(－2)3＝－160.答案：－16015．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．解析：若1,3不同色，则1,2,3,4必不同色，有3A44＝72种涂色法；若1,3同色，有C14C13A22＝24种涂色法．根据分类计数原理可知，共有72＋24＝96种涂色法．答案：9616．C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n＋1)C n n＝________.＋(2n＋1)C n n，解析：设S＝C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n－1)·C n－1n＋…＋3C1n＋C0n，∴S＝(2n＋1)C n n＋(2n－1)C n－1n∴2S＝2(n＋1)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝2(n＋1)·2n，∴S＝(n＋1)·2n.答案：(n＋1)·2nB组——12＋4高考提速练一、选择题1．(2016·高考四川卷)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为() A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x4解析：利用二项展开式的通项求解．T r＋1＝C r6x6－r i r，由6－r＝4得r＝2.故T3＝C26x4i2＝－15x4.故选A.答案：A2．(2016·高考四川卷)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24 B．48C．60 D．72解析：利用排列组合知识求解．第一步，先排个位，有C13种选择；第二步：排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．答案：D3．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：展开式中含x2的系数为C25＋a C15＝5，解得a＝－1.答案：D4．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5 B．6C．7 D．8答案：B5．在5×5的棋盘中，放入3颗相同的黑子和2颗相同的白子，它们均不在同一行也不在同一列，则不同的排列方法有()A．150种B．200种C．600种D．1 200种解析：首先选出3行3列，共有C35×C35种方法，然后放入3颗黑子，共有3×2×1种方法，然后在剩下的2行2列中放2颗白子，共有2×1种方法，所以不同的排列方法为C35×C35×3×2×1×2×1＝1 200(种)．故选D.答案：D6．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个解析：分两类进行分析：第一类是万位数字为4，个位数字分别为0,2；第二类是万位数字为5，个位数字分别为0,2,4.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A34个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有C13A34个偶数．故符合条件的偶数共有2A34＋C13A34＝120(个)．答案：B7．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．29B．210C．211D．212解析：先利用展开式中第4项与第8项的二项式系数相等建立关于n的方程，求出n；再利用二项式系数的性质求出奇数项的二项式系数和．由C3n＝C7n，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29.答案：A8．(2016·高考全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18C．12 D．9解析：先确定从E到G的步骤，再分别考虑每一步中最短路径的条数，最后求出最短路径的总条数．从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G，从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G 的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A 到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F 的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.答案：B9．三名男生和三名女生站成一排，若男生甲不站在两端，任意两名女生都不相邻，则不同的排法种数是()A．120 B．96C．84 D．36解析：依题意，得不同的排法种数是A33A34－2A22A33＝120，故选A.答案：A10．4名大生到三家企业应聘，每名大生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大生的情况有()A．24种B．36种C．48种D．60种解析：每家企业至少录用一名大生的情况有两种：一种是一家企业录用一名，有C34A33＝24(种)；一种是其中有一家企业录用2名大生，有C24A33＝36(种)，故一共有24＋36＝60(种)，故选D.答案：D11．8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有() A．360种B．4 320种C．720种D．2 160种解析：先从8个数字中取出3个连续的数字共有6种方法，将指定的3名运动员安排在这3个编号的泳道上，剩下的5名运动员安排在其他编号的5条泳道上，共有6A33A55＝4 320(种)安排方式．答案：B12．(2016·高考全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个解析：首先明确“规范01数列”的含义，根据组合知识求解．由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a1＝0，a8＝1，不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数少于1的个数的情况有：①若a2＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.答案：C二、填空题13．(2017·高考山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝__________.＝C r n(3x)r.令r＝2，得T3＝9C2n x2.由题意得解析：(1＋3x)n的展开式的通项为T r＋19C2n＝54，解得n＝4.答案：414．(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有__________个．(用数字作答)解析：①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．答案：1 08015．(2017·高考浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝__________，a5＝__________.解析：a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C33·C12·2＋C23·C22·22＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C33·C22·22＝4.答案：16 416．(2017·高考浙江卷)从6男2女共8名生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．(用数字作答)解析：不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．答案：660。

排列、组合、二项式定理与概率测试题（理）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1、如下图的是2008年奥运会的会徽，其中的“中国印”的外边是由四个色块构成，可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥)，如果用三条线段将这四个色块连接起来，不同的连接方法共有 ( ) A. 8种 B. 12种C. 16种D. 20种2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作，则不同的选排方法共有（ ） A ．96种 B ．180种C ．240种 D ．280种3、五种不同的商品在货架上排成一排，其中a 、b 两种必须排在一起，而c 、d 两种不能排在一起，则不同的选排方法共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种5、设a 、b 、m 为整数（m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod m )。

已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·219，b ≡a (mod 10)，则b 的值可以是（ ）A.2015 B.2011 C.2008 D.20066、在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场)，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数)．赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为（ ） A ．22种 B ．23种C ．24种 D ．25种7、令1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x项的系数，则数列}1{na 的前n 项和为（）A ．2)3(+n n B ．2)1(+n n C ．1+n n D ．12+n n8、若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ，则0a = （ ）A ．32B ．1C ．-1D ．-329、二项式23nx ⎛⎝*()n N ∈展开式中含有常数项，则n 的最小取值是 （ ）A5 B6 C7 D 810、四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A ．150种B ．147种C ．144种D ．141种11、两位到旅游的外国游客要与2008奥运会的吉祥物福娃（5个）合影留念，要求排成一排，两位游客相邻且不排在两端，则不同的排法共有（） A ．1440 B ．960 C ．720 D ．480 12、若x∈A 则x 1∈A，就称A 是伙伴关系集合，集合M={－1，0，31，21，1，2，3，4} 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A ．15B ．16C ．28D ．25二、填空题(每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13．四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有_________种． 14、在72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3的系数是 ．15、已知数列{n a }的通项公式为121+=-n n a ，则01n C a +12n C a + +33n C a +n n n C a 1+=16、对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时， n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2005!!)·(2006!!)=2006!；②2006!!=21003·1003!；③2006!!的个位数是0；④2005!!的个位数是5．正确的命题是________．三、解答题(本大题共6小题，前5小题每小题12分，最后1小题14分，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17、某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法．那么该小组中男、女同学各有多少人？18、设m，n∈Z＋，m、n≥1，f(x)=(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中，x的系数为19．（1）求f(x)展开式中x2的系数的最值；（2）对于使f(x)中x2的系数取最小值时的m、n的值，求x7的系数．19、7位同学站成一排．问：(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种?20、已知1()2nxx的展开式中前三项的系数成等差数列．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项．21、由0，1，2，3，4，5这六个数字。

质量检测(七)测试内容：排列组合、二项式定理、统计、概率(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为( )A ．70户B ．17户C ．56户D ．25户解析：总体容量为125＋280＋95＝500，样本容量为100，则中等收入家庭中应抽选出的户数为280×100500＝56户．故选C.答案：C2．(2013年青岛质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中x 2的系数为( )A ．－240B ．240C ．－60D ．60解析：由二项式定理通项公式，得T r ＋1＝C r6(－1)r 26－r·x6－2r，所以r ＝2，系数为C 2624×(－1)2＝240.答案：B3．(2012年西安模拟)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A.13B.12C.23D.34解析：甲、乙参加兴趣小组各有3种选择，故共有C 13·C 13＝9种，而参加同一兴趣小组有3种选择，故概率为39＝13，选A.答案：A4．(2012年武汉调研)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15解析：三天中恰有两天下雨的情况有：191,271,932,812,393等5种，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为P ＝520＝0.25.故选B. 答案：B5．(2012年南昌模拟)某项测试成绩满分为10分，先随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m e ，平均值为x ，众数为m 0，则A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x解析：依图形可知，m e ＝5＋62＝112，x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930， m 0＝5，所以m 0<m e <x ，选D.答案：D6．(2013年武汉调研测试)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17解析：依题意，正方形的面积为S ＝1×1＝1，阴影部分的面积，∴点P 恰好取自阴影部分的概率P ＝S 1S ＝161＝16，选C.答案：C7．(2013年黄冈质检)将5名支教志愿者分配到3所学校，每所学校至少分1人，至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方法共有( )A ．78种B ．36种C ．60种D ．72种解析：C15C 24C 22A22·A 33－C 22C 23A 33＝72. 答案：D8．(2013年沈阳期末)袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为A.59B.49C.29D.23解析：事件A 表示第1次摸出红球，事件B 表示第2次也摸出红球，P (B |A )＝P ABP A＝1335＝59，即在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为59. 答案：A9．(2013年广州质检)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x ，y ，z )，若x ＋y ＋z 是3的倍数，则满足条件的点的个数为( )A ．252B ．216C ．72D ．42解析：先按从小到大的顺序选择3个不同的数字，再进行全排列A 33，所以四个选择答案可以变化为42,36,12,7.(1)首数选0，则后续两个数为(1,2)，(1,5)，(1,8)，(2,4)，(2,7)，(3,6)，(3,9)，(4,5)，(4,8)，(5,7)，(6,9)，(7,8)，有12种；(2)首数选1，则后续两个数为(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,5)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，(5,9)，(6,8)，(8,9)，有10种；(3)首数选2，则后续两个数为(3,4)，(3,7)，(4,6)，(4,9)，(5,8)，(6,7)，(7,9)，有7种；(4)首数选3，则后续两个数为(4,5)，(4,8)，(5,7)，(6,9)，(7,8)，有5种； (5)首数选4，则后续两个数为(5,6)，(5,9)，(6,8)，(8,9)，有4种； (6)首数选5，则后续两个数为(6,7)，(7,9)，有2种； (7)首数选6，则后续两个数为(7,8)，有1种； (8)首数选7，则后续两个数为(8,9)，有1种． 综上可知，共有42种． 答案：A10．(2012年合肥质检)建立从集合A ＝{1,2,3,4}到集合B ＝{5,6,7}的所有函数，从中随机抽取一个函数，则其值域是B 的概率为( )A.916B.316C.49D.89解析：从A 到B 的函数一共有34＝81个，其中值域是B 的有C 24A 33＝36个，所以概率是49.答案：C11．(2012年长沙联考)某校在模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为A ．200B ．300C ．400D ．600解析：由ξ～N (90，a 2)，得正态曲线关于直线x ＝90对称，所以P (ξ≥110)＝P (ξ≤70)＝12[1－P (70<ξ<110)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝15.所以此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为1 000×15＝200.答案：A12．(2012年武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x(x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22B.1－ln22 C.1＋ln22D.2－ln22解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2，故由几何概型得，点M 取自E 内的概率为.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2012年武汉调研)已知⎝⎛⎭⎪⎫33x 2－1x n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是________．解析：由题意，2n＝256，解得n ＝8.故⎝⎛⎭⎪⎫33x 2－1x n即⎝⎛⎭⎪⎫33x 2－1x 8展开式中第7项为C 68⎝⎛⎭⎫33x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝9(－1)6C 68 ＝252 ，故展开式中第7项的系数是252.答案：25214．某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如下图)．若规定长度在[97,103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格率是________．解析：依题意，可估计这批产品的合格率是1－(0.027 5×4＋0.045 0×2)＝0.8＝80%. 答案：80%15．(2012年东北四校质检)在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．解析：该题属于几何概型．根据题意，到正方体中心的距离小于或等于1的点构成了以半径R ＝1的实心球，如图所示，其体积V 球＝43πR 3＝43π，则正方体内到正方体中心的距离大于1的点所构成图形的体积为V ′＝V正方体－V 球＝8－43π，则随机取的点到正方体中心的距离大于1的概率为P (d >1)＝V ′V 正方体＝8－43π8＝1－π6.答案：1－π616．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业某段时间内的产品销量x (千箱)与单位成本y (元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16x i y i ＝1 481，b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本约下降________元．解析：依据题意可得回归直线方程为y ^＝－1.818 2x ＋ 77．36，故销量每增加1千箱，单位成本约下降1.818 2元． 答案：1.818 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年浙江金华十校联考)某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：两组技工的技术水平；(2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．解：(1)依题中的数据可得x 甲＝15(4＋5＋7＋9＋10)＝7， x 乙＝15(5＋6＋7＋8＋9)＝7，s 2甲＝15[(4－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝265＝5.2， s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2]＝2.因为x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，所以两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大．(2)设事件A 表示该车间“质量合格”，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(7,5)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共25种．事件A 包含的基本事件为(4,9)，(5,8)，(5,9)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共17种．所以P (A )＝1725.18．下图是某校从参加高三体育考试的学生中抽出的60名学生体育成绩(均为整数)的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70,80)内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：(1)求成绩在区间[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(3)假设成绩在[80,90)内的学生中有23的成绩在85分以下(不含85分)，从成绩在[80,90)内的学生中选两人，求恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率．解：(1)因为各组的频率和等于1，故成绩在[70,80)内的频率为f 4＝1－(0.01×2＋0.015＋0.020＋0.005)×10＝0.4.频率分布直方图如右图．(2)依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，故其频率和为(0.02＋0.04＋0.01＋0.005)×10＝0.75，所以抽样学生成绩的及格率是75%.45·f 1＋55·f 2＋65·f 3＋75·f 4＋85·f 5＋95·f 6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.1＋95×0．05＝69.所以估计这次考试的平均分是69分．(3)因为成绩在[80,90)内的人数＝0.01×10×60＝6，所以成绩在[80,85)和[85,90)内的人数分别为4人和2人．假设[80,85)段的学生的编号为1,2,3,4；[85,90)段的学生编号为5,6.记第一次抽到的学生编号为x ，第二次抽到的学生编号为y ，用数对(x ，y )表示基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其基本事件总数n ＝15.解法一：记恰有1人成绩在[85,90)内的事件为A .事件A 包含基本事件：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，事件A 包含的基本事件数m ＝8.故所求概率为P (A )＝m n ＝815，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是815. 解法二：记恰有1人成绩在[85,90)内的事件为A ，则事件A －包含的基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(5,6)，事件A －包含的基本事件数m ＝7，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－715＝815，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是815.19．(2012年石家庄质检)某工科院校对A ，B 两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：专业A 专业B 总计 女生 12 4 16 男生 38 46 84 总计5050100(1)关系呢？(2)从专业A 中随机抽取2名学生，记其中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 注：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋dP (χ2≥k 0)0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k 01.3232.0722.7063.8415.024解：(1)χ2＝100×12×46－4×38216×84×50×50≈4.762，由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．(2)专业A 中女生12人，男生38人，P (X ＝0)＝C 238C 250＝7031 225，P (X ＝1)＝C 138C 112C 250＝4561 225，P (X ＝2)＝C 212C 250＝661 225.所以X 的分布列为X 0 1 2 P7031 2254561 225661 225所以E (X )＝1×4561 225＋2×1 225＝1 225＝25.20．(2012年昆明模拟)从某学校高三年级的甲、乙两个班各抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)分别计算甲、乙两班样本的平均数和方差，估计甲、乙两班同学的身高情况，并说明理由；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取3名同学，设身高在(160,170)之间的同学被抽到的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)x 甲＝170，x 乙＝170，s 2甲＝53，s 2乙＝37.4，估计甲、乙两班的平均身高相同，且乙班同学的身高相对整齐些，而甲班同学的身高差距大些．(2)X ＝0,1,2,3.P (X ＝0)＝C 37C 310＝724，P (X ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (X ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (X ＝3)＝C 33C 310＝1120.所以X 的分布列为所以E (X )＝0×427＋1×40＋2×40＋3×120＝10.21．“天宫一号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善．据悉，担任“天宫一号”发射任务的是长征二号FT1火箭．为了确保发射万无一失，科学家对长征二号FT1运载火箭进行了170余项技术状态更改，增加了某项新技术．该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为23，23，12，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(2)记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．解：(1)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A ，B ，C ，则事件“得分不低于8分”表示为ABC ＋A B C .因为ABC 与A B C 为互斥事件，且A ，B ，C 为彼此独立，所以P (ABC ＋A B C )＝P (ABC )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝23×23×12＋23×13×12＝13.(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数ξ的取值为0,1,2,3. 因为P (ξ＝0)＝P (A B C )＝13×13×12＝118，P (ξ＝1)＝P (A B C ＋A B C ＋A B C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518， P (ξ＝2)＝P (AB C ＋A B C ＋A BC )＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＝818， P (ξ＝3)＝P (ABC )＝23×23×12＝418，所以随机变量ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×118＋1×518＋2×818＋3×418＝518＋1618＋1218＝116.22．某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销．(1)试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；(2)该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m 元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是12，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ，请写出X 的分布列，并求X 的数学期望；(3)在(2)的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？ 解：(1)从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有C 37种选法．选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C 34种， 所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为 P ＝1－C 34C 37＝3135.(2)X 的所有可能的取值为0，m,2m,3m .X ＝0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， 同理可得P (X ＝m )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (X ＝2m )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝38，P (X ＝3m )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18， 所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为E (X )＝0×18＋m ×38＋2m ×38＋3m ×18＝1.5m .(3)要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5m <150，所以m <100.故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．。

专题17 二项式定理1．在二项式3nx ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且72A B +=，则展开式中常数项的值为（ ）A ． 6B ． 9C ． 12D ． 18 【答案】B【解析】在二项式3nx ⎫⎪⎭的展开式中，令1x =得各项系数之和为4,4n n A ∴=，二项展开式的二项式系数和为2,2n n B ∴=， 4272n n∴+=，解得3n =，333nx x ⎫⎫∴=⎪⎪⎭⎭的展开式的通项为333213333rr rrr rr T C C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3302r -=得1r =，故展开式的常数项为12339T C ==，故选B ． 2．52431x xx ⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎝⎭⎝的展开式中常数项为( ) A ． 30- B ． 30 C ． 25- D ． 25 【答案】C【点睛】求解与二项式相关的复杂式子的一般方法及步骤是：将复杂式子分解转化成与简单的二项式相关的式子根据条件找到符合条件的二项式的项，利用二项式的通项求出符合条件的项，整合最终得出所求 3．展开式中，项的系数为（ ）A ．30B ．70C ．90D ．-150 【答案】B【解析】∵（1﹣2x ）5展开式的通项公式为T r+1=C 5r •（﹣2x ）r，∴（2+x ）（1﹣2x ）5展开式中，x 2项的系数为2C 52•（﹣2）2+C 51•（﹣2）=70，故选：B ． 4．若()2018201801201813,x a a x a x x R -=+++∈ ，则22018122018333a a a ⋅+⋅++⋅ 的值为（ ） A ．201821- B ．201881- C ．20182 D ．20188【答案】B【解析】令0x =，得01a =．令3x =，得()20182201820180122018333198a a a a +⋅+⋅++⋅=-= ．所以22018201820181220180333881a a a a ⋅+⋅++⋅=-=- ． 故选B ． 5．使（x 2+）n （n∈N）展开式中含有常数项的n 的最小值是A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 【答案】C6．若多项式()210011x x a a x +=++ ()()91091011a x a x +++++ ，则9a =（ ）A ． 9B ． 10C ． -9D ． -10 【答案】D 【解析】()()9011010019910999991...1...nn n x C C x C x a x a C C x C x ⎡⎤+=++⇒+=++⎣⎦，()10101a x +=()019910101010101010...a C C x C x C x++++，根据已知条件得9x的系数为0，10x 的系数为19999910101010101010{{ 11a a C a C a a C =-⋅+⋅=⇒⇒=⋅=，故选D ．7．()4x y z ++的展开式共（ ）项 A ． 10 B ． 15 C ． 20 D ． 21【答案】B 【解析】 因为()()()()()()444x y⎡⎤++=++=++++++++⎣⎦，所以再运用二项式定理展开共有5432115++++=项，应选答案B ． 8．()()62x y x y +-的展开式中43x y 的系数为（ ） A ． 80- B ． 40- C ． 40 D ． 80 【答案】D9．在()62x -展开式中，二项式系数的最大值为m ，含5x 项的系数为n ，则nm=（ ） A ．53 B ． 53- C ． 35 D ． 35- 【答案】D【解析】因为6n =是偶数，所以展开式共有7项，其中中间一项的二项式系数最大，其二项式系数为3620m C ==时，含5x 项的系数为()161212n C =-⨯=-，则123205n m =-=-，应选答案D ．10．若()6x a +的展开式中3x 的系数为160，则1axdx ⎰的值为 ．【答案】73【解析】试题分析：因160336=a C ，即160203=a ，故83=a ，所以2=a ，故37)18(3112313212=-==⎰x dx x ，应填73．考点：二项式定理和定积分的计算公式的运用． 11．8(2)x -的展开式中，5x 的系数为______． 【答案】448- 【解析】试题分析：8(2)x -的通项为：()rrr r x C T 2881-=-+，令58=-r ，得3=r ，故展开式中，5x 的系数为()4482338-=-C ，故答案为448-．考点：二项式定理． 12．二项式6(2x的展开式中常数项为 ． 【答案】60【解析】考点：二项展开式的通项公式．。

排列组合、二项式定理、概率单元测试卷 （时间：100分钟）一、选择题（每小题有四个选项，只有一个是正确的，共40分）1．某公司员工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的有10人，A 型血的有5人，B 型血的有8人，AB 型血的有3人，从四种血型的人中各选1人去献血，不同的选法种数为( D )A 、26B 、300C 、600D 、1200 2．n ∈N *，则（20-n ）(21-n)……(100-n)等于（ C ）A ．80100n A -B ．nn A --20100C ．81100n A - D ．8120n A -3、设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应 （D ） A 、从东边上山 B 、从西边上山 C 、从南西上山 D 、从北边上山4、在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是 ( C ) A 、－5 B 、 5 C 、10 D 、－105、有4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有 （ A ） A 、2880B 、3080C 、3200D 、36006．若()4234012341+=++++x a a x a x a x a x ，则1234+++a a a a 的值为 ( B )A ．0B ．15C ．16D ．177．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有 ( A ) A ．9种B ．10种C ．12种D ．20种8．三张卡片的正反面上分别写有数字0与2，3与4，5与6，把这三张卡片拼在一起表示一个三位数，则三位数的个数为 ( B) A ． 36 B ．40C ．44D ．489、12展开式中含x 的正整数次幂的项共有 （ C ）（A ）1项 （B ）2项 （C ）3项 （D ）4项10、从6人中选4人分别去北京，上海，广州，重庆四个城市游览，每人只去一个城市游览，但甲，乙两人都不去北京，则不同的选择方案有 （ B ） A 、300种 B 、240种 C 、144种 D 、96种二、填空题（每小题4分，共20分）11、在10)(a x -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a = -0.5 ；12、310(1)(1)x x -+的展开式中，5x 的系数是 207 ；（用数字作答）13、3名老师带领6名学生平均分成三个小组到三个工厂进行社会调查，每小组有1名老师和2名学生组成，不同的分配方法有 540 种。

专题排列组合、二项式定理一、选择题1．【2018河北武邑中点高三上学期五调】3个单位从4名大学毕业生中选聘工作人员，若每个单位至少选聘1人（4名大学毕业生不一定都能选聘上），则不同的选聘方法种数为（）A. 60B. 36C. 24D. 42【答案】A【解析】当4名大学毕业都被选聘上，则有23436636C A=⨯=种不同的选聘方法，当4名大学毕业生有3位被选聘上，则有3424A=种不同的选聘方法，由分类加法计数原理，得不同的选聘方法种数为362460+=.故选A. 2．【2018河北廊坊八中高三模拟试题】为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4名学生参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么不同的朗诵顺序的种数为（）A. 320B. 324C. 410D. 416【答案】B【解析】6名学生选派4名参加，共有46360A=种，当甲乙丙都参加且甲乙朗诵次序相邻时，共有种数132 33236C A A=，由去杂法可知所求不同的朗诵顺序的种数为324,选B.3．【2018湖南株洲高三质检一】()1021x x+-展开式中3x的系数为（）A. 10B. 30C. 45D. 210【答案】B4．【2018贵州遵义高三上学期联考二】下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的a b 、分别为16、18，输出的结果为a ，则二项式开式中常数项是（ ）A. -20B. 52C. -192D. -160 【答案】D5．【2018 ）A. 73-B. 61-C. 55-D. 63- 【答案】A【解析】令1x =，得，而常数项为0166329C C -⨯+⨯=，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为64973--=-，故选A.6．【2018的展开式中3x 的系数为160-，则m 的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】C令1233r -=，解得3r =，则系数为()()33366C C 20160r r m m m =-=-=-.解得2m =. 故选C.7．【2018四川广安高三一诊】()()5x y x y -+的展开式中， 24x y 的系数为（ ） A. 10- B. 5- C. 5 D. 10 【答案】B【解析】因为()5x y +展开式中， 4x y ， 23x y 的系数分别为43555,10C C ==，所以()()5x y x y -+的展开式中，24x y 的系数为5105-=-,故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1rn rrr n T C ab-+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.8．【2018四川广元高三第一次适应性统考】在0x =处的切线与直线0n x y -=平行，则二项式()()211nx xx ++-展开式中4x 的系数为（ ）A. 120B. 135C. 140D. 100 【答案】B故()()10211x x x ++-展开式中4x 的系数为4199135C C += ，故选B ．9．【2018广西南宁九月摸底】（2x 5的展开式中x 3项的系数为（ ）A. 80B. ﹣80C. ﹣40D. 48 【答案】B，令523r -=，解得1r =，∴展开式中3x 项的系数415280C =-=-，故选B.10．【2018河南郑州高三质检一】在3x⎛+⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则2x 的系数为（ ）A. 50B. 70C. 90D. 120 【答案】C令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ． 11．【2018四省名校联考一】()()6222a ba b +-的展开式中44a b 的系数为（ ）A. 320B. 300C. 280D. 260 【答案】B【解析】()62a b -展开式的通项为： ()()6616622rrr r r r r r T C a b C a b --+=-=-， 则： ()4464424562240T C a b a b -=-=， ()226224236260T C a b a b -=-=， 据此可得： 44a b 的系数为24060300+=. 本题选择B 选项.12．【2018四川成都七中高三上学期一诊】已知S 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式【答案】A【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图以及二项式定理，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.13．【2018上海徐汇区一模】现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三从两两不相邻的排法的种数为（）A. 3353P P ⋅B. 863863P P P -⋅C. 3565P P ⋅D. 8486P P -【答案】C【解析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即3565P P ⋅，选C.14．【2018陕西西安长安区一中高三上学期质检八】如图，三行三列的方阵中有9个数ij a （i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）111213212223313233a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦【答案】D本题选择D 选项.点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．15．【2018广东广州高三上学期一调】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有A. 36种B. 24种C. 22种D. 20种 【答案】B【解析】第一类：男生分为1,1,1，女生全排，男生全排得323212A A ⋅=，第二类：男生分为2,1，所以男生两堆全排后女生全排22232212C A A ⋅=，不同的推荐方法共有121224+= ，故选B.16．【2018河南洛阳高三第一次统测】若0s in a x d x π=⎰，则二项式 ）A. -15B. 15C. -240D. 240【答案】D二、填空题17．【2018河北武邑高三上学期五调】若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则1278a a a a ++++的值__________． 【答案】3-【解析】令1x =，得012782a a a a a +++++=-，令0x =，得01a =，则1278213a a a a ++++=--=-.点睛：本题考查二项式定理的应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1，0,或1-.18．【2018__________．，得4r =，19.【2018百校联盟一月联考】．若()()()()()()5234540123451222222x x a a x a x a x a x a x --=+-+-+-+-+-，则2a =__________． 【答案】-38【解析】令2x t -=，则2x t =+．由条件可得()()542345012345122t t a a t a t a t a t a t +-+=+++++，故2t 的系数为322542238C C -⋅=-，即238a =-．答案： 38-20．【2018江苏如皋高三上学期质检三】从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，则事件“对数值大于2”的概率为_______. 【答案】225【解析】从集合{}1,2,3,4,5,6A =中分别取两个不同的数,a b 作为对数的底数和真数，若不含1共有2520A =种，若含1共有5种（注意尽管这五种取法对数值相同，却是不同的抽取方法），所以共有25种，其中大于2的共有2种，所以“对数值大于2”的概率为225，故答案为225.21．【2018河北涞水高三联考】两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分法方式共有__________种． 【答案】1422．【2018湖南长沙二模】若()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，则5a =__________． 【答案】251【解析】令1x t -= ，则()()1052100121011.......t t a a t a t a t +-+=++++， 5a 为5t 的系数，其中()101t +展开式中5t 的系数为510C ， ()51t +展开式中5t 的系数为05C ，则5051052521251a C C =-=-=.【点睛】解决二项式定理问题，第一常利用通项公式，求出展开式的某些指定项，第二要熟悉二项式系数及性质，弄清楚二项式系数和项的系数，第三要掌握赋值法求系数和，第四要学会利用换元法转化问题. 23．【2018四川内江一模】()()611x x +-的展开式中， 3x 的系数是_____________.（用数字作答） 【答案】5-【解析】由题意可知， ()61x -展开式的通项为()()616611r rrrr rr T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅则()()611x x +-的展开式中，含3x 的项为()()323322333661120155C x x C xx x x -+-=-+=-，所以3x 的系数是5-24．【2018江西重点中学联盟联考一】从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________.25．【2018的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________. 【答案】112256，令x =1可得：2n=256，解得n =8，即r =2时,常数项为()22382112T C =-=.故答案为：112.26．【2018上海崇明区一模】从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成 4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_____种不同的选法．（用数字作答） 【答案】78027．【2018河南洛阳高三第一次统测】某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）． 【答案】36【解析】先选出学生选报的社团，共有24C 种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有22226⨯⨯-=，故恰有2个社团没有同学选报数有36．。

排列、组合、二项式定理典型题一、选择题（共24题）1．（北京卷）在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（A ）36个 （B ）24个 （C ）18个（D ）6个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有33A 种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有1333C A ，故共有33A ＋1333C A ＝24种方法，故选B2．（福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（A ）108种 （B ）186种 （C ）216种 （D ）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有3374A A -=186种，选B.3．（湖北卷）在24(x -的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项解：72424312424rr rr rr T C x C x －－r ＋＝（＝(-1)，当r ＝0，3，6，9，12，15，18，21，24时，x 的指数分别是24，20，16，12，8，4，0，－4，－8，其中16，8，4，0，－8均为2的整数次幂，故选C4．（湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有123436C A ⋅=种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有3424A =种方案，共计有60种方案，选D.5．（湖南卷）若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 A ．-2 B . 22 C. 34 D . 2解析：5)1-ax （的展开式中3x 的系数332335()(1)10C ax a x ⋅-=80x 3， 则实数a 的值是2，选D 6．（湖南卷）在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是A ．6B . 12 C. 18 D . 24解析：先排列1，2，3，有336A =种排法，再将“＋”，“－”两个符号插入，有222A =种方法，共有12种方法，选B.7．（江苏卷）10)31(x x -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6 【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.【正确解答】1031⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x的展开式通项为31010102121011()()33r r r r r r C C x x ---=，因此含x 的正整数次幂的项共有2项.选B【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别. 8．（江西卷）在（x）2006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x时，S 等于（ ）A.23008B.-23008C.23009D.-23009 解：设（x）2006＝a 0x 2006＋a 1x 2005＋…＋a 2005x ＋a 2006则当x时，有a 0）2006＋a 1）2005＋…＋a 2005）＋a 2006＝0 （1） 当x时，有a 0）2006－a 1）2005＋…－a 2005）＋a 2006＝23009 （2） （1）－（2）有a 1）2005＋…＋a 200523009÷2＝－23008，故选B9．（江西卷）在2nx ⎫⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于（ ）Ａ．3Ｂ．6Ｃ．9Ｄ．12解：n 3rrn rr r r 2r 1nn r rn 2T C 2C x x n 3r 02C 60⨯⎧⎨⎩－－＋＝（）＝－＝＝，由r r n n 3r 02C 60⎧⎨⎩－＝＝解得n ＝6故选B10．（辽宁卷）1234566666C C C C C ++++的值为（ ）Ａ．61 Ｂ．62Ｃ．63 Ｄ．64解：原式＝62262-=，选B11．（全国卷I ）设集合{}1,2,3,4,5I =。

排列、组合、二项式定理一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）5位高中毕业生，准备报考3所高校，每人报且仅报一所，不同的报名方法有（ ）．A ．35种B ．53种C ．A 35种D ．C 35种（2）若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、保洁、展厅讲解员四项不同工作，则选派方案共有（ ）．A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种 （3）用1g ，2g ，3g ，4g 四个砝码可以称不同重量的种数是（ ）．A ．44342414C C C CB ．44342414C C C C +++ C ．4C C C C 44342414-+++ D ．5C C C C 44342414-+++（4）集合{}6,5,4,3,2,1=A ，集合A B ⊆，B 中含有3个元素，且其中至少有一个偶数，那么集合B 共有（ ）．A ．30个B ．20个C ．19个D ．9个 （5）6)2(xx -展开式的常数项是（ ）．A ．－160B ．－40C ．40D ．160 （6）已知55443322105)31(x a x a x a x a x a a x +++++=-，那么||||||||||54321a a a a a ++++的值为（ ）．A ．1024B ．1023C ．32D ．31（7）5种不同的商品排成一排，要求其中A 、B 两件商品必须排在一起；C 、D 两种商品不能排在一起，则不同的排法种数为（ ）．A ．12B ．20C ．24D ．48 （8）设二项式nxx )13(3+的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为S ．若p ＋S ＝272，则n 等于（ ）．A ．4B ．5C ．6D ．8（9）现有男、女生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科的竞赛．已知这里可能的参赛方案共90种，那么现有男生、女生的人数分别是（ ）． A ．2，6 B ．3，5 C ．5，3 D ．6，2（10）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分．一球队打完15场，积33分．若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）． A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种 （11）二项式503)32(x + 展开式中系数为有理数的项共有（ ）. A ．6项 B ．7项 C ．8项 D ．9项（12）平面直角坐标系中共有六个点：1A （0，0），2A （1，2），3A （2，4），4A（6，3），)21(5--，A ，)12(6--，A ．由这六个点可确定的不同三角形的个数共为（ ）． A ．20 B ．16 C ．15 D ．12二、填空题：（13）满足64C C n n >的n 的值所组成的集合是________．（14）从1至8这八个数字中，任取二个不同的数字作和，其中和是奇数的种数比和是偶数的种数多________个（用数字作答）．（15）在8)1)(1(+-x x 的展开式中，5x 的系数是________．（16）用0，1，2，3，4五个数字组成没有重复数字的五位数，再从小到大排列起来，则23140是其中的第________个数． 三、解答题：（17）若50件产品中有3件是次品，从中任意抽取4件，试问： （Ⅰ）其中至少有1件次品的抽法共有多少种？ （Ⅱ）其中至多有2件次品的抽法共有多少种？（18）由1，2，3，4，5这五个数字可组成多少个没有重复数字且符合下列条件的数？ （Ⅰ）能被5整除的五位数；（Ⅱ）大于2000的四位偶数．（19）在7)1(+ax 展开式中3x 的系数是2x 的系数及4x 的系数的等差中项，且实数a >1，求a 的值．（20）求9923331++++ 被4除所得的余数．（21）已知*),()1()1(N ∈+++n m x x mn展开式中x 的系数是19，求当m 、n 各取什么值时，展开式中x 2的系数最小，最小值是多少？（22）已知集合=A {1，2，3，4，5}，=B {－1，0，1}． （Ⅰ）求可以构成多少个不同的从A 到B 的映射f ：A →B ．（Ⅱ）对于从A 到B 的映射f ：A →B ，若A 中元素的象的集合正好是B ，求此时不同映射的个数．（Ⅲ）对于从A 到B 的映射f ：A →B ，若A 中任意元素A x ∈，都有)()(x xf x f x ++为奇数，求此时不同映射的个数．参考答案一、选择题：（1）A （2）B （3）D （4）C （5）A （6）B （7）C （8）A （9）B （10）A （11）D （12）C提示：（1）360A 46=（3）注意321=+，431=+，3241+=+，42321+=++，43421+=++五种相同情况．（4）集合B 中含有偶数的个数可能是1，2，3．于是组成集合B 的3个元素只能是：1个偶数、2个奇数；2个偶数，1个奇数；3个偶数．于是有19C C C C C 3313232313=++．（6）在已知等式中，令1-=x 得10244||||||5510==+++a a a ．再令0=x ，得10=a ．（7）24A A A 232222=．（8）n n P 4)13(=+=，n S 2=．由27224=+n n ，得162=n．（9）设有男生x 人，则女生)8(x -人，则由90C C 182=-x x 解得．（10）经分析，试算，胜、平、负的场次只能是11，0，0；10，3，2；9，6，0．（11）展开式中k k k k x T )3()2(C 350501-+=，其系数为32255032C k kk-，它是有理数，则k 是l 的倍数，且500≤≤k ．于是0=k ，6，12，18，24，30，36，42，48． （12）注意5321A A A A 、、、在一直线上，641A A A 、、在一直线上．151C C C 241214=-+．二、填空题：（13）{6，7，8，9} （14）4 （15）14 （16）40 提示：（13）由64C C nn >可得01092<--n n ．且6≥n ，∈n Z ． （14）41216)C C (C C 24241414=-=+-．（15）888)1()1()1)(1(--+=+-x x x x x ，所求为14C C 5848=-．（16）形如1××××的数共有24A 44=个．形如21×××，20×××的数共有12A 233=个．形如230××的数有2A 22=个．三、解答题：（17）（Ⅰ）这里至少有1件次品，即有1件次品，2件次品，3件次品，故有51935C C C C C C 147332472334713=++（种）． （Ⅱ）这里至多有2件次品，即2件次品，1件次品，没有次品，故有230253C C C C C 4473471324723=++（种）．（18）（Ⅰ）能被5整除的数，即个位数字是5的整数．故所求个数为24A 44=． （Ⅱ）大于2000的四位偶数，即其4位数字只能是2，3，4，5，个位数字只能是2，4于是所求个位数为36A A A 122313=⋅⋅．（19）由题意有4472273372a C a C a C +=，于是有031052=+-a a ．又a >1，故得5105+=a ． （20）]1)14[(21)13(213331100100992--=-=++++ ＝]4444[2199100982100991100100C C C --+-＝]444[2149910097210098110099C C C --+-⨯＝]100444[297210098110099--+- C C∴ 它可被4整除，余数为0．（21）由已知有1911=+-m m n C C 故n m -=19且1≥m ，181≤≤n ．设2x 的系数为y ，+-=-+-=+=-)1(21)1(21)1(2122n n m m n n C C y m mn )18)(19(21n n --＝ 4323)219(111922+-=>+-n n n ．由于∈n N *，且181≤≤n ．于是当9=n 或10时，y 最小． 由此可得当⎩⎨⎧==.10,9m n 或⎩⎨⎧==.9,10m n 时，y 最小，为81．（22）（Ⅰ）8134=（个）．（Ⅱ）36A C 3324=（个）．（Ⅲ）363232=⨯⨯⨯（个）．。