中考一轮复习：第10讲分式方程及其应用

专题10分式方程【考查题型】【知识要点】解分式方程的一般步骤：1）去分母(方程两边同乘最简公分母，约去分母，把分式方程化成整式方程)。

2）解整式方程。

3）验根(把整式方程的解代入最简公分母，情况一：最简公分母为0，则该根不是分式方程的解，这个根叫原分式方程的增根；情况二：若最简公分母不为0，则该根是分式方程的解。

分式的化简求值：1）分式通过化简后，代入适当的值解决问题，注意代入的值要使分式的分母不为0； 2）灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要先分解因式；3）化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义。

分式方程解决实际问题的步骤：1）根据题意找等量关系2）设未知数3）列出方程4）解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）5） 写答案考查题型一 解分式方程题型1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程322x x =-的解是（ ） A ．2x =B ．6x =-C ．6x =D ．2x =-题型1-1．（2022·海南·中考真题）分式方程2101x -=-的解是（ ）A ．1x =B ．2x =-C ．3x =D ．3x =-题型1-2．（2022·山东济南·中考真题）代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______． 题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x的值为 _____．题型1-4．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程2101x x -=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．题型1-5．（2022·湖南常德·中考真题）方程()21522x x x x +=-的解为________．题型1-6．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____． 先化简，再求值：314xx -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4xx x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-题型1-7．（2022·四川泸州·中考真题）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．题型1-8．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x，则x 的值为___________． 题型1-9．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：22430x x x x-=+-．题型1-10．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：24133x x -=--题型1-11．（2022·青海·中考真题）解分式方程：241244x x x x -=--+．易错点总结：考查题型二 根据分式方程解的情况求值 题型2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2题型2-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的分式方程：121222k x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．2k < B ．2k <且0k ≠ C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠题型2-2．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程23111x m x x--=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠题型2-3．（2022·重庆·中考真题）关于x 的分式方程31133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．13B ．15C ．18D ．20题型2-4．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y ay y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．－26 B ．－24 C ．－15 D ．－13题型2-5．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x 的方程111(1)x ax x x x ++=++的解为负数，则a 的取值范围是__________． 易错点总结：考查题型三 分式方程无解的情况题型3．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x 的方程221mx x =+无解，则m 的值为（ ）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4题型3-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x 的分式方程2233x a x x++=--无解，则a 的值为（ ） A ．3B ．0C ．1-D ．0或3题型3-2．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x 的分式方程322x mx x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2题型3-3．（2021·西藏·中考真题）若关于x 的分式方程21x x -﹣1＝1m x -无解，则m ＝___． 易错点总结：考查题型四 列分式方程题型4．（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x 万人，根据题意，所列方程正确的是（ ） A ．3030201.2x x -= B ．3030 1.220x x -=- C ．3030201.2x x-= D ．30301.220x x-=- 题型4-1．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x 元，则下列方程中正确的是（ ） A ．2000020000(115%)10x x ⨯-=-B ．2000020000(115%)10x x ⨯-=- C ．2000020000(115%)10x x ⨯-=+D ．2000020000(115%)10x x⨯-=+ 题型4-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km ，一部分学生乘慢车先行，出发30min 后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km ，根据题意，所列方程正确的是（ ） A ．60x ﹣601.5x ＝3060 B ．601.5x ﹣60x ＝3060 C ．60x ﹣601.5x＝30 D ．601.5x ﹣60x＝30题型4-3．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（）A．363024x x=⨯-B．363024x x=⨯+C．363024x x=⨯-D．363024x x=⨯+题型4-4．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（）A．4271100%14.0%4271x-⨯=-B．4271100%14.0%4271x-⨯=-C．4271100%14.0%xx-⨯=-D．4271100%14.0%xx-⨯=-题型4-5．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是（）A．144963030v v=+-B．1449630v v=-C．144963030v v=-+D．1449630v v=+题型4-6．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A．1.482.413xx-=-B．1.482.413xx+=+C．1.4282.4213xx-=-D．1.4282.4213xx+=+题型4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min．．．到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h ．．．．，则依题意可列方程为（ ） A ．6110334x x+= B ．6102034x x+= C ．6101343x x -= D ．6102034x x-= 题型4-8．（2022·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N 95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N 95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N 95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x 元，则列方程正确的是（ ） A ．960010x -＝1600xB ．960010x +＝1600xC ．9600x ＝160010x - D ．9600x ＝1600x+10 题型4-9．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg 浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水kg x ，根据题意可列方程为（ ） A ．0.9850.75x ⨯= B ．0.9850.755x ⨯=+ C ．0.7550.98x ⨯=D ．0.7550.985x⨯=- 题型4-10（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量 D ．篮球的数量题型4-11（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x 天，则可列方程为（ ） A ．900900213x x =⨯+- B ．900900213x x ⨯=+- C ．900900213x x =⨯-+ D ．900900213x x ⨯=-+ 题型4-12．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x 米/分，那么x 满足的分式方程为__________． 易错点总结：考查题型五分式方程的实际应用题型5．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．题型5-1．（2022·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？题型5-2．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？题型5-3．（2022·山东东营·中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？题型5-4．（2022·贵州安顺·中考真题）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？题型5-5．（2022·贵州铜仁·中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？题型5-6．（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小题型5-7．（2022·吉林长春·中考真题）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？题型5-8．（2022·山东聊城·中考真题）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？题型5-9．（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．题型5-10．（2022·山西·中考真题）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费．题型5-11．（2022·四川自贡·中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．考查题型一 解分式方程题型1．（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程322x x =-的解是（ ） A ．2x = B ．6x =- C ．6x = D ．2x =-题型1-1．（2022·海南·中考真题）分式方程2101x -=-的解是（ ） A ．1x = B ．2x =- C ．3x = D ．3x =-题型1-2．（2022·山东济南·中考真题）代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______． 【答案】7题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝11a b-，若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为_____．题型1-4．（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程211x x-=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______．题型1-5．（2022·湖南常德·中考真题）方程()22x x x x +=-的解为________． 【答案】4x =【提示】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解故答案为：4x =【名师点拨】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验．题型1-6．（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____． 先化简，再求值：314x x -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4x x x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-去分母得：3-x +2(x -4)=0，去括号得：3-x +2x -8=0，解得：x =5，经检验，x =5是方程的解，故答案为：5．【名师点拨】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．题型1-7．（2022·四川泸州·中考真题）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________．题型1-8．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a ⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x ，则x 的值为___________． 【答案】12-##0.5-题型1-9．（2022·青海西宁·中考真题）解方程：22430x x x x -=+-． 【答案】7x =【提示】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：方程两边同乘()()11x x x +-，得()()41310x x --+=，解得7x =，检验：当7x =时，()()110x x x +-≠，所以，原分式方程的解为7x =．【名师点拨】本题主要考查了解分式方程，掌握求解的方法是解题的关键，注意解分式方程一定要验根． 题型1-10．（2022·广西梧州·中考真题）解方程：24133x x -=-- 【答案】5x =【提示】先方程两边同时乘以(3)x -，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．【详解】解：方程两边同时乘以(3)x -得到：324x -+=，解出：5x =，当5x =时分式方程的分母不为0，∴分式方程的解为：5x =．【名师点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基础题，计算过程中细心即可．题型1-11．（2022·青海·中考真题）解分式方程：241244x x x x -=--+．考查题型二 根据分式方程解的情况求值题型2．（2022·四川德阳·中考真题）关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－2 【答案】D【提示】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案．【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x -1，得2x +a =x -1．解得：x =-a -1且x 为正数．所以-a -1＞0，解得a ＜-1，且a ≠-2.（因为当a =-2时，方程无意义）．故答案为：D【名师点拨】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a ≠-2这个信息．题型2-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x 的分式方程：121222k x x--=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ）A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠题型2-2．（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x 的分式方程23111x m x x --=--的解是正数，则m 的取值范围是（ ）A ．4m >B ．4m <C ．4m >且5m ≠D ．4m <且1m ≠关于题型2-3．（2022·重庆·中考真题）关于x 的分式方程31133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．13B ．15C ．18D ．20题型2-4．（2022·重庆·中考真题）若关于x 的一元一次不等式组411351x x x a-⎧-≥⎪⎨⎪-⎩＜的解集为2x ≤-，且关于y 的分式方程1211y a y y -=-++的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．－26B ．－24C ．－15D ．－13【答案】D 【提示】根据不等式组的解集，确定a ＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a ＜1，根据分式方程的增根，确定a ≠-2，计算即可．题型2-5．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x 的方程1(1)x x x x +=++的解为负数，则a 的取值范围是__________．关于考查题型三 分式方程无解的情况题型3．（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程221mx x=+无解，则m的值为（）A．0B．4或6C．6D．0或4原方程无解，题型3-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）若关于x的分式方程2233x ax x++=--无解，则a的值为（）A．3B．0C．1-D．0或3故选：C ．【名师点拨】本题考查了分式方程无解，解题关键是明确分式方程无解的条件，解方程，再根据分母为0列方程．题型3-2．（2021·四川宜宾·中考真题）若关于x 的分式方程322x m x x -=--有增根，则m 的值是（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣2题型3-3．（2021·西藏·中考真题）若关于x 的分式方程21x x -﹣1＝1m x -无解，则m ＝___．考查题型四列分式方程题型4．（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（）A．3030201.2x x-=B．30301.220x x-=-C．3030201.2x x-=D．30301.220x x-=-【详解】解：实际每天接种人数是原计划的又结果提前题型4-1．（2022·山东淄博·中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x 元，则下列方程中正确的是（）A．2000020000(115%)10x x⨯-=-B．2000020000(115%)10x x⨯-=-C．2000020000(115%)10x x⨯-=+D．2000020000(115%)10x x⨯-=+的关键．题型4-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶x km，根据题意，所列方程正确的是（）A．60x﹣601.5x＝3060B．601.5x﹣60x＝3060C．60x﹣601.5x＝30D．601.5x﹣60x＝30题型4-3．（2022·贵州黔西·中考真题）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（）A．363024x x=⨯-B．363024x x=⨯+C．363024x x=⨯-D．363024x x=⨯+题型4-4．（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：267100% 6.6%4036⨯≈）．2022年3月当月增速为14.0%-，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（）A．4271100%14.0%4271x-⨯=-B．4271100%14.0%4271x-⨯=-C．4271100%14.0%xx-⨯=-D．4271100%14.0%xx-⨯=-题型4-5．（2022·湖北恩施·中考真题）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是（）A．144963030v v=+-B．1449630v v=-C．144963030v v=-+D．1449630v v=+题型4-6．（2022·广西·中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A．1.482.413xx-=-B．1.482.413xx+=+C．1.4282.4213xx-=-D．1.4282.4213xx+=+题型4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min．．．到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h．．．．，则依题意可列方程为（）A．6110334x x+=B．6102034x x+=C．6101343x x-=D．6102034x x-=题型4-8．（2022·四川广元·中考真题）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（）A ．960010x -＝1600x B ．960010x +＝1600x C ．9600x ＝160010x - D ．9600x ＝1600x+10题型4-9．（2022·山东临沂·中考真题）将5kg 浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水kg x ，根据题意可列方程为（ ）A ．0.9850.75x ⨯=B ．0.9850.755x ⨯=+C ．0.7550.98x ⨯=D ．0.7550.985x⨯=-题型4-10（2022·浙江丽水·中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价B ．篮球的单价C ．足球的数量D ．篮球的数量题型4-11（2022·湖北襄阳·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．900900213x x=⨯+-B．900900213x x⨯=+-C．900900213x x=⨯-+D．900900213x x⨯=-+题型4-12．（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为__________．【名师点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．考查题型五分式方程的实际应用题型5．（2022·重庆·中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________．题型5-1．（2022·西藏·中考真题）某班在庆祝中国共产主义青年团成立100周年活动中，给学生发放笔记本和钢笔作为纪念品．已知每本笔记本比每支钢笔多2元，用240元购买的笔记本数量与用200元购买的钢笔数量相同．(1)笔记本和钢笔的单价各多少元？(2)若给全班50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为本次活动的纪念品，要使购买纪念品的总费用不超过540元，最多可以购买多少本笔记本？【答案】(1)笔记本每本12元，钢笔每支10元题型5-2．（2022·宁夏·中考真题）某校购进一批篮球和排球，篮球的单价比排球的单价多30元．已知330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．(1)篮球和排球的单价各是多少元？(2)现要购买篮球和排球共20个，总费用不超过1800元．篮球最多购买多少个？【答案】(1)篮球的单价为110元，排球的单价为80元(2)最多购买6个篮球【提示】（1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，由题意：330元购进的篮球数量和240元购进的排球数量相等．列出分式方程，解方程即可；（2）设购买排球y个，则购买篮球（20-y）个，由题意：购买篮球和排球的总费用不超过1800元，列出一元一次不等式，解不等式即可．。

第10课时分式方程【知识管理】1．分式方程的概念定义：分母中含的方程叫做分式方程.2．分式方程的解法去分母法：方程两边同乘各分式的，化为方程，再求根、验根.检验方法：解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原主程中分母为0，因此应作如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.换元法：用将原方程变形，然后去分母，化为整式方程，求出新方程的解，最后代入的式子，求方程的根，最后验根.3．列分式方程解决应用问题易错点：列分式方程的应用题要检验两次，第一次是对原方程检验，第二次是对实际意义检验.【典例分析】类型之一分式方程的有关概念例1．关于x的分式方程311x ax x--=-无解，则a= .【点悟】本题主要考查增根的含义，所谓分式方程的增根就是原分式方程化简成整式方程的根，同时又使分式方程分母为零的根.类型之二解分式方程例2．解分式方程：31 2422xx x-=--.【点悟】解分式方程的关键是化分式方程为整式方程，解完整式方程后，不要忘了验根.对于复杂的分式方程中作为整体出现的部分可用换元法，将原方程转化为简易方程，从而求解. 类型之三分式方程的应用例3．如图10-1，点A，B在数轴上，它们所对的数分别是－3和12xx--，且点A，B到原点的距离相等，求x的值.【点悟】（1）数轴上的点到原点的距离用这点所表示的数的绝对值来表示；（2）利用分式方程解决问题，关键是要分析题意，弄清实际意义或几何意义，但求出未知数的值后既要检验根，又要考虑实际意义.【过关训练】一、选择题1．分式方程242xx-=+的根是（）A．2-=x B．0=x C．2=x D．无实根2．分式方程312x=-的解是（）A．5=x B．1=x C．1-=x D．2=x 3．分式方程131x xx x+=--的解为（）A．1=x B．1-=x C．3=x D．3-=x 4．用换元法解分式方程13101x xx x--+=-时，如果设1xyx-=，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（）A．032=-+yy B．0132=-+yyC．0132=+-yy D．0132=--yy5．货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/时，依题意列方程正确的是（）A．253520x x=-B．253520x x=-C．253520x x=+D．253520x x=+2。

第10课 分式方程及应用【课标要求】1．了解分式方程的概念。

2. 会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程。

3. 能根据具体问题的实际意义，列分式方程解决实际问题。

【知识要点】1.方程的分类：2.解分式方程的步骤：1、 去分母 化为 整式方程 。

2、解这个 整式方程 。

3、检验。

【典型例题】【例1】解下列方程：（1）11322x x x -=--- （2）22011x x x -=+- 【例2】(1)分式方程112x x =+的解是（ ） A. x=1 B. x=－1 C. x=2 D. x=－2 (2)方程22123=-+--xx x 的解是=x __________. (3)当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--有增根． 【例3】轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_____________________．【例4】某企业组织员工外出旅游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好座满；如果单独租用60座客车，也刚好座满，且可以少租一辆，求该企业参加旅游的人数.【课堂检测】▲1.方程21011x x x-+=--的解是（ ） A.2 B.0 C.1 D.3▲2.分式方程992-x -32-x =31+x 的解为（ ） A ．3 B ．-3 C ．无解 D ．3或-3 ▲3.把分式方程x x 142=+转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A.x B.2x C.x+4 D.x （x+4）▲4.若关于x 的方程2x-2 +x+m 2-x=2有增根,则m 的值是_____ ▲5.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是有理方程分式方程：分母中含有未知数的方程是分式方程。

整式方程 一元一次方程 一元二次方程A ．30x ＝4015x -B ．3015x -＝40xC ．30x ＝4015x +D ．3015x +＝40x ▲6.解分式方程：（1）2112323x x x -=-+ （2）21124x x x -=--▲7. A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？▲8.一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元。

中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用复习目标1、了解分式方程的概念。

2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。

考点梳理一、分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.二、分式方程的解法去分母法，换元法．例1、解分式方程：=﹣．【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得x+1=3(2x-1)-2(2x+1)x+1=2x-5，解得x=6．检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6． 三、解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 例2、解分式方程：21233x x x -+=--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=，2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 四、解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【要点诠释】方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 综合训练1．（2022·陕西西安市·交大附中分校九年级模拟预测）某修路队计划x 天内铺设铁路120km ，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km ，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（ ） A ．12012032x x =+- B ．12012032x x=+- C ．12012032x x=++ D ．12012032x x =++ 【答案】B 【分析】表示出原计划和实际的工作效率，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km ，列出方程即可． 【详解】解：原计划每天修建道路120xm ，则实际用了（x ﹣2）天，每天修建道路为1202x -m ，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km 得，12012032x x=+-． 故选：B ．2．（2022·连云港市新海实验中学九年级二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x 小时，据题意可列出方程为（ ） A ．1.2 1.216x+= B ．1.2 1.213x+= C ．1.2 1.2162x += D ．1.2 1.2132x += 【答案】C 【分析】根据题意可以得到甲乙两队的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半， ∴甲队的工作效率为16设乙队单独完成此项工程需要x 小时， ∴甲队的工作效率为1x由题意可得，1.2 1.2162x +=， 故选：C ．3．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级开学考试）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A 【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可． 【详解】 解：112x x x ++-＝1， 去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得： （x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2）， x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ， x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解． 故选：A ．4．（2022·福建省厦门第六中学）某次列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ，则方程50ss v xx++= 所表达的等量关系是（ ）A ．提速前列车行驶s km 与提速后行驶(s ＋50)km 的时间相等B ．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v kmC ．提速后列车行驶(s ＋50)km 的时间比提速前列车行驶s km 多v hD ．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km 【答案】B 【分析】根据题意可以知道s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案， 【详解】解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ∴s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程， ∵某次列车平均提速v km/h ，路程=速度×时间 ∴方程50s s v xx++=表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km ， 故选B.5．（2022·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程2m xx+--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ≠﹣2 C ．m ＝2 D ．m ≠2【答案】B 【分析】解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠. 【详解】 解：302m xx+-=- 方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，∴46x m=-，∵分式方程有解，∴20x-≠，∴2x≠，∴68m-≠，∴2m≠-，故选B.6．（2022·全国九年级单元测试）一个不透明的布袋里装有3个红球、2个黑球、若千个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是310，袋中白球共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【分析】设白球有x个，根据摸出的球是红球的概率是310，利用概率公式列出方程，解之可得．【详解】设白球有x个，由题意得：33 3210x=++，解得x=5．经检验，x=5是方程的解，故答案为：C．7．（2022·哈尔滨市第六十九中学校九年级一模）分式方程2152x x =+-的解是______． 【答案】9x = 【分析】方程两边都乘(5)(2)x x +-得出2(2)5x x -=+，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】 解：2152x x =+-， 方程两边同乘(5)(2)x x +-，得2(2)5x x -=+， 去括号，得245x x -=+ 移项得：9x =，经检验，9x =是原方程的解， 故答案为：9x =．8．（2022·西安市铁一中学九年级开学考试）若关于x 的分式方程2x x -﹣2＝3mx -有增根，则m ＝___． 【答案】0 【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x ，代入求值即可； 【详解】2x x -﹣2＝3mx -， ()()()()32232x x x x m x ----=-， 223210122x x x x mx m --+-=-，∴()271220x m x m -+--+=， ∵方程有增根， ∴()()230x x --=， ∴2x =或3x =，当2x =时，41421220m m -+--+=，不存在； 当3x =时，92131220m m -+--+=，解得0m =； 故答案是0．9．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元． （1）求一件A 、B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A 、B 型商品共160件进行试销，其中A 型商品的件数不小于B 型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？（3）已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）一件A 型商品的进价为160元，一件B 型商品的进价为150元；（2）有5种进货方案；（3）购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元 【分析】（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x +10）元，根据数量=总价÷单价结合用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，根据“A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案；（3）利用总利润=每件的利润×销售数量，可分别求出五个进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，依题意得：160007500210x x=⨯+，解得：x=150，经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，∴x+10=160．答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，依题意得：160160150(160)24840m mm m≥-⎧⎨+-≤⎩，解得：80≤m≤84，又∵m为整数，∴m可以为80，81，82，83，84，∴共有5种进货方案，方案1：购进80件A型商品，80件B型商品；方案2：购进81件A型商品，79件B型商品；方案3：购进82件A型商品，78件B型商品；方案4：购进83件A 型商品，77件B 型商品；方案5：购进84件A 型商品，76件B 型商品．（3）方案1可获得的销售利润为（240-160）×80+（220-150）×80=12000（元）；方案2可获得的销售利润为（240-160）×81+（220-150）×79=12010（元）；方案3可获得的销售利润为（240-160）×82+（220-150）×78=12020（元）；方案4可获得的销售利润为（240-160）×83+（220-150）×77=12030（元）；方案5可获得的销售利润为（240-160）×84+（220-150）×76=12040（元）．∵12000＜12010＜12020＜12030＜12040，∴购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元．10．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）解方程： （1）225x x +=；（2）14733x x x-+=--．【答案】（1）11x =-21x =-（2）无解．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．【详解】解：（1）225x x +=，2(1)6x ∴+=，1∴+=x∴11x =-21x =-（2）去分母得，17(3)(4)x x +-=--， 解得3x =，检验：当3x =时，30x -=， ∴3x =是方程的增根，所以，原分式方程无解．。