2020版高考数学一轮复习第二章函数课时规范练4简单的逻辑联结词全称量词与存在量词文北师大版

课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固组1.设命题p:存在n∈N,n2>2n,则¬p为()A.任意n∈N,n2>2nB.存在n∈N,n2≤2nC.任意n∈N,n2≤2nD.存在n∈N,n2=2n≤0”是假命题,则实数a的2.(2020辽宁沈阳二中五模,文3)已知命题“存在x∈R,使2x2+(a-1)x+12取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,3)C.(-3,+∞)D.(-3,1)3.(2020广东广州一模,理4)已知命题p:任意x∈R,x2-x+1<0;命题q:存在x∈R,x2>2x,则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.¬p且qC.p且¬qD.¬p且¬q4.命题p:存在x∈R,x-2>0;命题q:任意x∈R,√x<x,则下列命题中为真命题的是()A.p或qB.p且qC.(¬p)或qD.(¬p)且(¬q)5.(2020河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:任意f(x)∈A,|f(x)|∈B,则¬p为()A.任意f(x)∈A,|f(x)|∉BB.任意f(x)∉A,|f(x)|∉BC.存在f(x)∈A,|f(x)|∉BD.存在f(x)∉A,|f(x)|∉B6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;命题q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(¬p)且qC.p且(¬q)D.(¬p)且(¬q)7.已知命题p:存在x∈R,2x<x-1;命题q:在△ABC中,“BC2+AC2<AB2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.则下列命题中的真命题是()A.¬qB.p且qC.p或(¬q)D.(¬p)且q8.(2020湖南永州二模,理5)下列说法正确的是()A.若“p或q”为真命题,则“p且q”为真命题B.命题“任意x>0,e x-x-1>0”的否定是“存在x≤0,e x-x-1≤0”≤1”的逆否命题为真命题C.命题“若x≥1,则1xD.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件9.已知命题“任意x∈R,x2-5x+15a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是.210.下列结论:>0,则命题“p且(¬q)”是假命题;①若命题p:存在x∈R,tan x=2,命题q:任意x∈R,x2-x+12=-3;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是ab③命题“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.其中正确结论的序号为.综合提升组11.(2020广东江门4月模拟,理5)已知命题p:任意x∈R,x2+x-1>0;命题q:存在x∈R,sin x+cos x=√2.则下列判断正确的是()A.¬p是假命题B.q是假命题C.p或q是假命题D.(¬p)且q是真命题12.(2020湖南百校联考,10改编)设命题p:存在a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上是增加的,则下列结论正确的是()A.p为假命题B.¬p为任意a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上是减少的C.p的逆命题为假命题D.¬p为任意a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上不是增加的13.给出如下四个命题:①若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题;②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a ≤2b-1”;③“任意x∈R,则x2+1≥1”的否定是“存在x∈R,则x2+1<1”;④在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件.其中正确的命题的个数是()A.1B.2C.3D.414.(2020山东潍坊模拟)下列三个说法:①若命题p:存在x∈R,x2+x+1<0,则¬p:任意x∈R,x2+x+1≥0;”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;②“φ=π2”是真命题.③命题“若0<a<1,则log a(a+1)<log a1+1a其中正确的是(填序号).x-m,若任意x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的15.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12取值范围是.创新应用组16.下列说法错误的是()A.“m>1”是“函数f(x)=m+log2x(x≥1)不存在零点”的充分不必要条件B.命题“在△ABC中,若sin A=sin B,则△ABC为等腰三角形”是真命题C.设命题p:任意x∈[1,3),函数f(x)=log2(tx2+2x-2)恒有意义,若¬p为真命题,则t的取值范围为(-∞,0]D.命题“存在x∈R,e x≤0”是真命题的定义域为R;命题q:不等式17.(2020全国百强名校联考,理17)设命题p:函数f(x)=1√x2-4x+a2a2-5a-6≥0恒成立,如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.参考答案课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.C∵p:存在n∈N,n2>2n,∴¬p:任意n∈N,n2≤2n.故选C.>0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4<0,即|a-1|<2,解得2.B由题意,“任意x∈R,使2x2+(a-1)x+12-1<a<3,故选B.3.B对于命题p,可知Δ=(-1)2-4<0,所以任意x∈R,x2-x+1>0,故命题p为假命题,对于命题q,取x=3,可知32>23,所以存在x∈R,x2>2x,故命题q为真命题,所以¬p且q为真命题,故选B.4.A命题p:存在x∈R,x-2>0为真命题,命题¬p:任意x∈R,x-2≤0为假命题;命题q:任意x∈R,√x<x为假命题,命题¬q:存在x∈R,√x≥x为真命题,故选A.5.C全称命题的否定为特称命题,即改写量词,否定结论.所以¬p:存在f(x)∈A,|f(x)|∉B.6.D命题p:对任意x∈R,总有2x>x2,它是假命题,例如取x=2时,2x与x2相等..q:由a>1,b>1得到ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=12∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分条件,即q是假命题.∴真命题是(¬p)且(¬q).故选D.7.D对于命题p,注意到y=2x图像在y=x-1图像的上方,故命题为假命题.对于命题q,BC2+AC2<AB2只是说明C为钝角,故为充分不必要条件,所以q为真命题,故(¬p)且q为真命题.故选D.8.C“p或q”为真,则命题p,q有可能一真一假,则“p且q”为假,故选项A错误;命题“任意x>0,e x-x-1>0”的否定应该是“存在x>0,e x-x-1≤0”,故选项B错误;因为命题“若x ≥1,则1x ≤1”为真命题,所以其逆否命题为真命题,故选项C 正确;若x=-1,则x 2-5x-6=0;若x 2-5x-6=0,则x=-1或x=6.所以“x=-1”是“x 2-5x-6=0”的充分不必要条件,选项D 错误.故选C.9.(56,+∞) 由“任意x ∈R ,x 2-5x+152a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x 2-5x+152a>0对任意实数x 恒成立.设f (x )=x 2-5x+152a ,则其图像恒在x 轴的上方,所以Δ=25-4×152a<0,解得a>56.故实数a 的取值范围为(56,+∞). 10.①③ 在①中,命题p 是真命题,命题q 也是真命题,故“p 且(¬q )”为假命题,故①正确;在②中,l 1⊥l 2等价于a+3b=0,而a b=-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出a b=-3,故②不正确;在③中,“设a ,b ∈R ,若ab ≥2,则a 2+b 2>4”的否命题为“设a ,b ∈R ,若ab<2,则a 2+b 2≤4”,所以③正确. 11.D 由x 2+x-1=(x +12)2−54≥-54,所以命题p :任意x ∈R ,x 2+x-1>0为假命题;由sin x+cos x=√2sin x+π4得,当x=π4时,sin x+cos x=√2.所以命题q :存在x ∈R ,sin x+cos x=√2是真命题. 则p 或q 是真命题;(¬p )且q 是真命题.故选D.12.D 当a=1时,f'(x )=3x 2-1>0对x ∈(1,+∞)恒成立,故p 为真命题,故A 错误;当f (x )=x 3-ax+1在(1,+∞)上是增加的,则f'(x )=3x 2-a ≥0,所以a ≤3x 2,3x 2>3,即存在a ∈(0,+∞),故命题p 的逆命题也为真命题,故C 错误;因为“是增加的”的否定为“不是增加的”,所以¬p 为任意a ∈(0,+∞),f (x )=x 3-ax+1在(1,+∞)上不是增加的,故D 正确.13.C 根据复合命题真假的判断,若“p 且q ”为假命题,则p 或q 至少有一个为假命题,所以①错误;根据否命题的定义,命题“若a>b ,则2a >2b -1”的否命题为“若a ≤b ,则2a ≤2b -1”为真命题,所以②正确;根据含有量词命题的否定,“任意x ∈R ,x 2+1≥1”的否定是“存在x ∈R ,x 2+1<1”,所以③正确;根据正弦定理,“A>B ”能推出“sin A>sin B ”且“sin A>sin B ”能推出“A>B ”,所以④正确.综上,正确的有②③④,所以选C .14.① ①显然正确;“φ=π2”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,故②错误;因为0<a<1,所以1+1a >1+a ,所以log a (a+1)>log a 1+1a ,故③错误. 15.14,+∞ 当x ∈[0,3]时,f (x )min =f (0)=0,当x ∈[1,2]时,g (x )min =g (2)=14-m ,由f (x )min ≥g (x )min ,得0≥14-m ,所以m ≥14. 16.D 因为当x ≥1时,log 2x ≥0,所以当m>1时,f (x )=m+log 2x>1不存在零点,当函数f (x )=m+log 2x 在区间[1,+∞)上不存在零点时,解得m>0,所以m>1是此函数不存在零点的充分不必要条件,故A 正确;在三角形中,内角在(0,π)内,故sin A=sin B 等价于A=B ,故B 正确;若¬p为真命题,则p为假命题,即不等式tx2+2x-2≤0在[1,3)上有解,即t≤2x2−2x在[1,3)上有解,设g(x)=2x2−2x,故t≤g(x)max,当1≤x<3时,13<1x≤1,所以g(x)=2x2−2x=21x−122-12∈-12,0,所以t≤g(x)max=0.故C正确;因为任意x∈R,e x>0,所以命题“存在x∈R,e x≤0”是假命题.故D错误.故选D.17.解因为命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,所以p,q一真一假.若p假q真,则¬p:函数f(x)=1√x2-4x+a2的定义域不为R,所以Δ=16-4a2≥0,解得-2≤a≤2;由a2-5a-6≥0,解得a≤-1或a≥6,所以a的取值范围是[-2,-1].若p真q假,则p:函数f(x)=1√x2-4x+a2的定义域为R,所以Δ=16-4a2<0,解得a<-2或a>2.¬q:不等式a2-5a-6<0,解得-1<a<6.所以a的取值范围是(2,6).综上可得,a∈[-2,-1]∪(2,6).。

专题 1.3简单的逻辑联络词、全称量词与存在量词1.认识逻辑联络词“或”“且”“非”的含义。

2.理解全称量词和存在量词的意义。

3.能正确地对含一个量词的命题进行否认。

知识点一简单的逻辑联络词1．简单的逻辑联络词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联络词．(2)命题 p 且 q、 p 或 q、非 p 的真假判断p q p 且 q p 或 q非 p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真知识点二全称量词和存在量词2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“全部的”“随意一个”等在逻辑中往常叫做全称量词，用符号“? ”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“起码有一个”等在逻辑中往常叫做存在量词，用符号“? ”表示．知识点三全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否认3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否认命题名称语言表示符号表示命题的否认对 M 中随意一个全称命题? x∈ M，p(x)?x00x，有 p(x)建立∈ M，┐p(x )存在 M 中的一个特称命题00? x∈M ，┐p(x)?x ∈ M， p(x )x0，使 p(x0)建立考点一含有逻辑联络词的命题的真假判断【典例 1】 (2019 ·河北石家庄一中模拟) 设 a，b，c 是非零向量 .已知命题p: 若 a·b＝ 0，b·c＝0，则 a·c ＝ 0；命题 q：若 a∥b， b∥ c，则 a∥ c.则以下命题中真命题是()A. p∨ qB. p∧ qC.( ┐p)∧ ( ┐q)D. p∧( ┐q)【答案】 B【分析】取a＝c＝ (1， 0)， b＝(0， 1)，明显 a·b＝0， b·c＝ 0，但 a·c＝ 1≠0，∴ p 是假命题 .又 a，b， c 是非零向量，由 a∥b 知 a＝xb(x∈ R)，由 b∥ c 知 b＝yc( y∈R) ，∴ a＝xyc，∴ a∥c，∴ q 是真命题 .综上知 p∨ q 是真命题， p∧ q 是假命题 .┐p 为真命题，┐q 为假命题 .∴( ┐p)∧ ( ┐q)，p∧ ( ┐q)都是假命题 .【规律方法】1.“p∨q”、“p∧ q”、“┐p”形式命题真假的判断重点是对逻辑联络词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是： (1)明确其组成形式； (2) 判断此中命题 p，q 的真假； (3)确立“p∨ q”“p∧q”“┐p形式命题的真假 .2.p∧q 形式是“一假必假，全真才真”，p∨ q形式是“一真必真，全假才假”，┐p则是“与p的真假相反”.【变式1】 (2017 ·山东卷 )已知命题 p：?x∈ R，x2－ x＋ 1≥0；命题 q：若 a2<b2，则 a<b.以下命题为真命题的是 ()A. p∧ qB.p∧ ┐qC. ┐p∧qD. ┐p∧ ┐q【答案】 B【分析】∵一元二次方程x2－ x＋ 1＝ 0 的鉴别式＝(－1)2－4×1×1<0，∴ x2－x＋1>0恒建立，∴ p 是真命题，┐p 为假命题 .∵当 a＝－ 1，b＝－ 2 时， (－ 1)2<( －2)2，但－ 1>－ 2，∴q 为假命题，┐q 为真命题 .∴p∧┐q 为真命题， p∧ q，┐p∧ q，┐p∧ ┐q 为假命题 .考点二全称 (特称 )命题的真假判断【典例 2】 (2019 ·江西师大附中月考)已知定义域为R 的函数 f(x)不是偶函数，则以下命题必定为真命题的是()A. ?x ∈ R ， f(－ x) ≠f(x)B.?x ∈ R ， f(－ x) ≠－ f(x)C.?x 0∈ R ， f(－x 0) ≠f(x 0)D.?x 0∈R ， f(－ x 0) ≠－ f(x 0)【答案】 C【分析】 ∵定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数， ∴ ? x ∈ R ，f(－ x)＝ f(x)为假命题， ∴ ?x 0∈ R ，f(－ x 0) ≠f(x 0)为真命题 .【规律方法】1.全称命题与特称命题的否认与命题的否认有必定的差别， 否认全称命题和特称命题时， 一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否认结论，而一般命题的否认只需直接否认结论 .2.判断全称命题 “? x ∈ M ， p(x) ”是真命题，需要对会合 M 中的每一个元素 x ，证明 p(x)建立；要判断特称命题是真命题，只需在限制会合内起码找到一个x ＝ x 0，使 p(x 0)建立 .【变式 2】 (2019 ·山东潍坊一中模拟 )已知命题 p ：?x 0 ∈ (－ ∞，0)，2x0<3 x0；命题 q ：? x ∈ 0，π，sin x<x ，2则以下命题为真命题的是 ()A. p ∧ qB.p ∧ ( ┐q)C.( ┐p)∧ qD.( ┐p)∧ ( ┐q)【答案】 C【分析】 由于当 x<0 时， 2xπ>1，即 2x >3x ，因此命题 p 为假命题， 进而 ┐p 为真命题； 由于当 x ∈ 0， 2 3时， x>sin x ，因此命题 q 为真命题，因此 ( ┐p)∧ q 为真命题 .考点三由命题的真假求参数的取值范围【典例 3】 (2019 ·湖南长沙一中模拟 )已知命题 p ：? x ∈ R ， log 2(x 2＋ x ＋ a)>0 恒建立，命题 q ： ?x 0∈ [－a x 0a 的取值范围为 ________.2， 2]， 2 ≤2，若命题 p ∧ q 为真命题，则实数【答案】5，24【分析】 由题知， 命题 p ：?x ∈ R ，log 2 (x 2＋ x ＋ a)>0 恒建立， 即 x 2＋ x ＋ a －1>0 恒建立， 因此＝1－ 4(a5－ 1)<0 ，解得 a> 5；命题 q ：? x 0ax0，则 a ≤2当.p ∧ q 为真命题时，须知足a>4，故实数4∈[－2，2] ，使得 2≤2a ≤2，a 的取值范围为5，2 . 4【规律方法】1.由含逻辑联络词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(2)依据每个命题的真假状况，求出参数的取值范围.2.全称命题可转变为恒建立问题 .含量词的命题中参数的取值范围，可依据命题的含义，利用函数的最值解决.1x【变式 3】 (2019 ·河北衡水中学调研 )已知 f(x)＝ ln( x2＋ 1)，g(x)＝－ m，若对 ?x1∈[0， 3]， ?x2∈[1，22]，使得 f(x ) ≥g( x )，则实数 m 的取值范围是 ________.121【答案】4，＋∞【分析】当 x∈ [0， 3]时， f(x)min＝ f(0)＝ 0，当 x∈[1 ，2]时， g(x)min＝ g(2) ＝1－ m，对 ?x1∈ [0， 3]， ?x2 411∈ [1， 2]使得 f(x1 ) ≥g( x2)等价于 f(x)min≥g(x)min，得 0≥－ m，因此 m≥ .44。

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，¬p：真假相反．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(√)(2)命题p和¬p不可能都是真命题．(√)(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(×)(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(×)题组二教材改编2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析 p 和q 显然都是真命题，所以¬p ，¬q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________________________． 答案 存在一个正方形，这个正方形不是矩形 题组三 易错自纠4．已知命题p ，q ，“¬p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由¬p 为真知，p 为假，可得p ∧q 为假；反之，若p ∧q 为假，则可能是p 真q 假，从而¬p 为假，故“¬p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件，故选A.5．已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则( ) A ．(¬p )∨q 为真命题 B ．p ∨q 为真命题 C ．p ∧q 为真命题 D ．p ∧(¬q )为假命题答案 B解析 由函数y ＝2x 是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当x ＋1≥0，即x ≥－1时，|x ＋1|＝x ＋1>x ；当x ＋1<0，即x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，由－x －1≤x ，得x ≥－12，无解，因此命题q 是假命题．所以(¬p )∨q 为假命题，A 错误；p ∨q 为真命题，B 正确；p ∧q 为假命题，C 错误；p ∧(¬q )为真命题，D 错误．6．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．q D ．¬p 答案 B解析 取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 是假命题；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 是真命题，故¬p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题．2．设命题p ：函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0,1)，则下列命题是真命题的为( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．p ∧(¬q ) D ．¬q 答案 B解析 函数y ＝log 2(x 2－2x )的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p 为假命题．由3x>0，得0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(¬q)为假命题，¬q为假命题．故选B.3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(¬p)∨(¬q)为假．其中，正确的是________．(填序号)答案②解析命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．思维升华“p∨q”“p∧q”“¬p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∧q”“p∨q”“¬p”等形式命题的真假．题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、存在性命题的真假例1 (1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是()A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2<nD．∀n∈R，n2<n答案 B解析对于选项A，令n＝12，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.(2)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2答案 B解析当x∈N＋时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B. 命题点2 含一个量词的命题的否定例2 (1)已知命题p ：“∃x ∈R ，e x －x －1≤0”，则¬p 为( ) A ．∃x ∈R ，e x －x －1≥0 B ．∃x ∈R ，e x －x －1>0 C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0 D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0答案 C解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得¬p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. (2)(2018·福州质检)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则¬p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 答案 C解析 已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则¬p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全称(存在性)命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1 (1)下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x ∈(－∞，0)，2x <3xD ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x 答案 B解析 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0， ∴∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D 错误．故选B.(2)已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 答案 B解析 因为3x >0，所以3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，所以p 是假命题；¬p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0.故选B.题型三 命题中参数的取值范围例3 (1)(2018·包头质检)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 答案 [e,4]解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2 (1)已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫56，＋∞ 解析 由“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a >0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a <0，解得a >56，即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫56，＋∞. (2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 解析 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号) ①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0；②∀x ∈R ，|x |>x ；③∀x ，y ∈Z,2x －5y ≠12；④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．(2)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝12x 是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∨(¬q ) B ．p ∧q C ．(¬p )∨q D ．(¬p )∧(¬q )答案 A解析 命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x 2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此¬p 为假命题；命题q ：y ＝12x 在定义域上是增函数，故命题q 是假命题，¬q 是真命题．因此选项A 是真命题，选项B ，C ，D 是假命题，故选A. 二、充要条件的判断例2 (1)(2018·北京)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |.所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充要条件． 故选C.(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0<r <3，故p 是q 的充要条件，故选C. 三、求参数的取值范围例3 (1)(2018·周口模拟)若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,3]B ．(－1,3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 因为命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.(2)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1， 由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2， 因为p ∧q 为假命题，所以p ，q 中至少有一个为假命题， 当p 真q 假时，m ≤－2； 当p 假q 真时，－1<m <2； 当p 假q 假时，m ≥2， 所以m ≤－2或m >－1.1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．¬q 为假 C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.2．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x >2答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是存在性命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．3．设命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x ＋1x >3，命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( ) A ．p ∧(¬q ) B ．(¬p )∧q C ．p ∧q D ．(¬p )∨q答案 A解析 命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x ＋1x >3，当x ＝3时，x ＋1x ＝103>3，命题p 为真；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，当x ＝4时，42＝24，命题q 为假．所以p ∧(¬q )为真，故选A. 4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N ＋，使得n ≤x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N ＋，使得n >x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N ＋，使得n >x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N ＋，使得n >x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N ＋，使得n >x 2 答案 D解析 ∀改写为∃，∃改写为∀，n ≤x 2的否定是n >x 2，则该命题的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N ＋，使得n >x 2”．故选D.5．若∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，22] B ．(22，3] C.⎣⎡⎦⎤22，92 D ．{3}解析 因为∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎡⎭⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎦⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫22＝22，则λ≤2 2.6．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]答案 A解析 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0； 当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0， 解得m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.7．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，e x ≤0 B ．∀x ∈R ,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．“a >1，b >1”是“ab >1”的充分条件 答案 D解析 因为y ＝e x >0，x ∈R 恒成立，所以A 不正确； 因为当x ＝－5时，2－5<(－5)2，所以B 不正确；“ab ＝－1”是“a ＋b ＝0”的充分不必要条件，C 不正确； 当a >1，b >1时，显然ab >1，D 正确．8．(2018·鄂尔多斯模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，cos x ＝54；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则下列结论正确的是( ) A ．命题p ∧q 是真命题 B ．命题p ∧(¬q )是真命题C ．命题(¬p )∧q 是真命题D ．命题(¬p )∨(¬q )是假命题 答案 C解析 因为对任意x ∈R ，都有cos x ≤1成立，而54>1，所以命题p ：∃x ∈R ，cos x ＝54是假命题；因为对任意的x ∈R ，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 所以命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0是真命题． 由此对照各个选项，可知命题(¬p )∧q 是真命题．9．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为_____________________． 答案 ∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋1解析 因为p 是¬p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 10．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]． 11．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.12．已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(¬p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(¬p 2)中，真命题是________． 答案 q 1，q 4解析 因为y ＝⎝⎛⎭⎫32x在R 上是增函数，即y ＝⎝⎛⎭⎫32x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以命题p 2是假命题，¬p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(¬p 2)是真命题．13．(2018·鞍山模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}．现有以下结论： ①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且¬q ”是假命题； ③命题“¬p 或q ”是真命题； ④命题“¬p 或¬q ”是假命题． 其中正确结论的序号为____________． 答案 ①②③④解析 ∵命题p ，q 均为真命题，∴“p 且q ”是真命题，“p 且¬q ”是假命题，“¬p 或q ”是真命题，“¬p 或¬q ”是假命题，故①②③④都正确．14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(¬q )为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 若p ∨(¬q )为假命题，则p 假q 真． 由e x－mx ＝0，可得m ＝e xx，x ≠0，设f (x )＝e xx ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e xx 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(¬q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3. 16．已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫817，1解析 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，即m <2x x 2＋1＝2x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立，当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x max＝174，∴⎝⎛⎭⎫2x x 2＋1min ＝817， ∴由p 真得m <817.设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以由q 真得m <1. 又“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 一真一假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥817，m <1或⎩⎪⎨⎪⎧m <817，m ≥1，解得817≤m <1.故所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫817，1.。

考点规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固1.下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,>0B.∀x∈N,x2>0C.∃x∈R,ln x<1D.∃x∈N*,sin=1B,当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.2.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)B.∀x∈R,f(-x)=-f(x)C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)D.∃x0∈R,f(-x0)=-f(x0),定义域为R的偶函数的定义:∀x∈R,f(-x)=f(x),这是一个全称命题,故它的否定为特称命题:∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0),故选C.3.命题“∃x0<0,(x0-1)(x0+2)≥0”的否定是()A.∃x0>0,(x0-1)(x0+2)<0B.∃x0<0,(x0-1)(x0+2)<0C.∀x>0,(x-1)(x+2)≥0D.∀x<0,(x-1)(x+2)<04.下列命题中,正确的是()A.命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x0∈R,-x0≥0”B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件C.“若am2≤bm2,则a≤b”的否命题为真D.若实数x,y∈[-1,1],则满足x2+y2≥1的概率为项中的否定是“∃x0∈R,-x0>0”故A错误;B项中命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件,故B错误;D项中概率为-,故D错误;故选C.5.以下四个命题中,为真命题的是()A.∃x∈(0,π),使sin x=tan xB.“对任意的x∈R,x2+x+1>0”的否定是“存在x0∈R,+x0+1<0”C.∀θ∈R,函数f(x)=sin(2x+θ)都不是偶函数D.△ABC中,“sin A+sin B=cos A+cos B”是“C=”的充要条件项中,若sin x=tan x,则sin x=tan x=.∵x∈(0,π),∴sin x≠0.∴1=,即cos x=1.∵x∈(0,π),∴cos x=1不成立,故A错误;B项中的否定是“存在x0∈R,+x0+1≤0”,故B错误;C项中,当θ=时,f(x)=sin(2x+θ)=sin=cos 2x为偶函数,故C错误;故选D.6.若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞),则()A.p∧q是真命题B.p∨q是假命题C.p是真命题D.q是真命题y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;因为函数y=x-的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题,q为真命题.7.下列命题的否定为假命题的是()A.∃x0∈R,+2x0+2≤0B.任意一个四边形的四个顶点共圆C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1A中,命题的否定是“∀x∈R,x2+2x+2>0”.由于x2+2x+2=(x+1)2+1>0对∀x∈R恒成立,故为真命题;选项B,C中的命题都是假命题,故其否定都为真命题;而选项D中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选D.8.已知命题p:∀x∈R,x3<x4;命题q:∃x0∈R,sin x0-cos x0=-.则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(p)∧qC.p∧(q)D.(p)∧(q)x3<x4,则x<0或x>1,故命题p为假命题;若sin x-cos x=sin-=-,则x-+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),故命题q为真命题.因此(p)∧q为真命题.9.若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.m≥(tan x)max.∵x∈,∴tan x∈[0,1],∴m≥1.故m的最小值为1.10.(2018云南昆明期中)由命题“存在x0∈R,使+2x0+m≤0”是假命题,求得m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是.命题“存在x0∈R,使+2x0+m≤0”是假命题,∴命题“∀x∈R,x2+2x+m>0是真命题”,故Δ=22-4m<0,即m>1,故a=1.能力提升11.已知命题p:若不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,则实数a∈(0,4);命题q:“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,则下列命题正确的是()A.p∧qB.p∧(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)a=0时,不等式ax2+ax+1>0化为1>0,满足条件.当a≠0时,由不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,解得0<a<4.可得-综上可知实数0≤a<4,因此命题p是假命题.由x2-3x>0解得x>3或x<0.故“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,因此命题q是真命题.综上可得,(p)∧q是真命题.故选C.12.不等式组-的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1,其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3.作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.13.已知命题p1:设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-a,则f(x)在[0,2]上必有零点;p2:设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的充分不必要条件.则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(p1)∨p2,q4:p1∧(p2)中,真命题是()A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q4:因为f(1)=-a,所以a+b+c=-a,即c=-b-2a.1又因为f(0)=c=-b-2a,f(2)=4a+2b+c=4a+2b-b-2a=2a+b,所以f(0)f(2)=(-b-2a)(2a+b)=-(b+2a)2≤0.所以f(x)在[0,2]上必有零点,故命题p1为真命题.p2:设f(x)=x|x|=-画出f(x)的图象(图象略)可知函数f(x)在R上为增函数.所以当a>b时,有f(a)>f(b),即a|a|>b|b|.反之也成立.故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故命题p2为假命题.则q1:p1∨p2为真命题.q2:p1∧p2为假命题.q3:(p1)∨p2为假命题.q4:p1∧(p2)为真命题.故选C. 14.已知命题“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是.“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.设f(x)=x2-5x+a,则其图象恒在x轴的上方,所以Δ=25-4×a<0,解得a>.故实数a的取值范围为.15.已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2-2x+m>0对任意x恒成立.若命题q∨(p∧q)为真,p为真,则实数m的取值范围是.p为真,所以p为假.所以p∧q为假.又q∨(p∧q)为真,所以q为真,即命题p为假、q为真.命题p为假,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-4<0,解得-2<m<2;命题q为真,则4-4m<0,解得m>1.故所求的m的取值范围是1<m<2.高考预测16.下列说法正确的是()A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B.若p:∃x0∈R,-x0-1>0,则p:∀x∈R,x2-x-1<0C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.“若α=,则sin α=”的否命题是“若α≠,则sin α≠”A,函数f(x)=是定义域上的奇函数,但f(0)不存在,故A不正确;对于B,若p:∃x0∈R,-x0-1>0,则p:∀x∈R,x2-x-1≤0,故B不正确;对于C,若p∧q为假命题,则p,q至少有一个假命题,故C不正确;对于D,“若α=,则sin α=”的否命题是“若α≠,则sin α≠”,故D正确.。

考点测试3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词高考概览本考点是高考的常考知识点，题型为选择题，分值5分，低难度考纲研读1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2．理解全称量词与存在量词的意义3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定一、基础小题1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数★答案★D解析根据全称命题的否定为特称命题知，把“所有”改为“至少有一个”，“是”的否定为“不是”，故命题“所有实数的平方都是正数”的否定为“至少有一个实数的平方不是正数”，故选D．2．若命题(綈p)∧q为真命题，则命题p，q的真假情况是()A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假★答案★B解析因为命题(綈p)∧q为真命题，所以綈p真且q真，所以p假，q真．3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则()A．綈p：∀x∈A，2x∉B B．綈p：∀x∉A，2x∉BC．綈p：∃x∉A，2x∈B D．綈p：∃x∈A，2x∉B★答案★D解析因全称命题的否定是特称命题，故命题p的否定为綈p：∃x∈A，2x∉B．故选D．4．命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是()A．∃x<0，xx－1≤0 B．∃x>0，0≤x≤1C．∀x>0，xx－1≤0 D．∀x<0，0≤x≤1★答案★B解析命题“∀x>0，xx－1>0”的否定是“∃x>0，xx－1≤0或x＝1”，即“∃x>0，0≤x≤1”，故选B．5．已知集合A＝{x|x>2}，集合B＝{x|x>3}，以下命题正确的个数是()①∃x0∈A，x0∉B；②∃x0∈B，x0∉A；③∀x∈A，都有x∈B；④∀x∈B，都有x∈A．A．4 B．3 C．2 D．1★答案★C解析因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x>3}，所以B A，即B是A的真子集，所以①④正确，②③错误，故选C．6．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1 x>2★答案★B解析选项A中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A是假命题；选项B中，当x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；选项C中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C是假命题；选项D中，对于任意一个负数x，都有1x <0，不满足1x >2，所以D 是假命题．故选B ．7．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x <y ，则x 2>y 2．给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q ． 其中的真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ ★答案★ C解析 由题意可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题．故p ∧q 为假，p ∨q 为真，p ∧(綈q )为真，(綈p )∨q 为假，故真命题为②③．故选C ．8．下列命题中的假命题为( ) A ．∀x ∈R ，e x >0 B ．∀x ∈N ，x 2>0C ．∃x 0∈R ，ln x 0<1D ．∃x 0∈N *，sin πx 02＝1 ★答案★ B解析 由函数y ＝e x 的图象可知，∀x ∈R ，e x >0，故选项A 为真命题；当x ＝0时，x 2＝0，故选项B 为假命题；当x 0＝1e 时，ln 1e ＝－1<1，故选项C 为真命题；当x 0＝1时，sin π2＝1，故选项D 为真命题．综上选B ．9．已知命题p ：∀a ∈R ，方程ax ＋4＝0有解；命题q ：∃m >0，直线x ＋my －1＝0与直线2x ＋y ＋3＝0平行．给出下列结论，其中正确的有( )①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是真命题； ③命题“(綈p )∨q ”是真命题； ④命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 ★答案★ B解析 因为当a ＝0时，方程ax ＋4＝0无解，所以命题p 是假命题；当1－2m ＝0，即m ＝12时两条直线平行，所以命题q 是真命题．所以綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以①②错误，③④正确．故选B ．10．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q★答案★A解析綈p表示甲没有降落在指定范围，綈q表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围或乙没有降落在指定范围”．故选A．11．已知p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0，若p是假命题，则实数a的取值范围是________．(用区间表示)★答案★(1，＋∞)解析由题意知∀x∈R，x2＋2x＋a>0恒成立，∴关于x的方程x2＋2x＋a＝0的根的判别式Δ＝4－4a<0，∴a>1．∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)．12．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：x∈(A∩B)，那么綈p是________．★答案★x∉A或x∉B解析x∈(A∩B)即x∈A且x∈B，所以其否定为：x∉A或x∉B．二、高考小题13．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为()A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n★答案★C解析根据特称命题的否定为全称命题，所以綈p：∀n∈N，n2≤2n，故选C．14．(2016·浙江高考)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是() A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 ★答案★ D解析 先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D ．15．(2015·湖北高考)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( ) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 ★答案★ A解析 特称命题的否定为全称命题，所以∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1的否定是∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1，故选A ．16．(2015·浙江高考)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 ★答案★ D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D ．17．(2017·山东高考)已知命题p ：∀x >0，ln (x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2．下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q ) ★答案★ B解析 ∵∀x >0，x ＋1>1，∴ln (x ＋1)>0，∴命题p 为真命题；当b <a <0时，a 2<b 2，故命题q 为假命题．由真值表可知B 正确，故选B ．18．(2015·山东高考]若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．★答案★ 1解析 ∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1． ∵“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1，∴实数m 的最小值为1． 三、模拟小题19．(2018·河南适应性考试)已知f (x )＝sin x －tan x ，命题p ：∃x 0∈0，π2，f (x 0)<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈0，π2，f (x )≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈0，π2，f (x 0)≥0 ★答案★ C解析 x ∈0，π2时，sin x <tan x 恒成立，所以命题p 是真命题，排除A ，B ；綈p ：∀x ∈0，π2，f (x )≥0，故选C ．20．(2019·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0) ★答案★ C解析 由题意知∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )是假命题，则其否定为真命题，即∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)是真命题，故选C ．21．(2018·湖南雅礼月考八)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，x2＋x＋1>0B．存在四边相等的四边形不是正方形C．“存在实数x，使x>1”的否定是“不存在实数x，使x≤1”D．若x，y∈R且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1★答案★C解析x2＋x＋1＝x＋122＋34≥34，A是真命题；菱形的四边相等，但不是正方形，B是真命题；“存在实数x，使x>1”的否定是“对于任意实数x，有x≤1”，C是假命题；“若x，y∈R且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题是“若x，y均不大于1，则x＋y≤2”是真命题，D是真命题，故选C．22．(2018·湖南湘东五校4月联考)已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，则实数a的取值范围为() A．(－∞，0) B．[0，4]C．[4，＋∞) D．(0，4)★答案★D解析因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋14≤0”是假命题，所以其否定命题“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋14>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×14＝a2－4a<0，解得0<a<4，故选D．23．(2019·太原五中阶段测试)已知命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0>x20；命题q：∀x∈12，＋∞，2x＋21－x>22．则下列命题中是真命题的为()A．綈q B．p∧(綈q) C．p∧q D．(綈p)∨(綈q)★答案★C解析取x0＝12，可知12>122，故命题p为真；因为2x＋21－x≥22x·21－x＝22，当且仅当x＝12时等号成立，故命题q为真；故p∧q为真，即选项C正确，故选C ．24．(2018·湖北八市3月联考)已知平面α，β，直线a ，b ．命题p ：若α∥β，a ∥α，则a ∥β；命题q ：若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b ，下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q ★答案★ D解析 命题p 中，直线a 与平面β可能平行，也可能在平面β内，所以命题p 为假命题，綈p 为真命题；由线面平行的性质定理知命题q 为真命题，綈q 为假命题，所以(綈p )∧q 为真命题，故选D ．25．(2018·江西赣州摸底)已知命题m ：“∀x 0∈0，13，12x 0<log 13x 0”，n ：“∃x 0∈(0，＋∞)，12x 0＝log 13x 0>x 0”，则在命题p 1：m ∨n ，p 2：m ∧n ，p 3：(綈m )∨n 和p 4：m ∧(綈n )中，真命题是( )A ．p 1，p 2，p 3B ．p 2，p 3，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 4 ★答案★ A解析 如图，由指数函数y ＝12x 与对数函数y ＝log 13x 的图象可以判断命题m 是真命题，命题n 也是真命题，根据复合命题的性质可知p 1，p 2，p 3均为真命题，故选A ．26．(2018·广东华南师大附中测试三)设有两个命题： p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}； q ：函数y ＝lg (ax 2－x ＋a )的定义域为R ．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________． ★答案★ 0<a ≤12或a ≥1解析 当命题p 是真命题时，0<a <1．当命题q 是真命题时，ax 2－x ＋a >0，x ∈R 恒成立，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝1－4a 2<0，解得a >12．由p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题可得命题p ，q 中一真一假，若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a >12，则0<a ≤12或a ≥1．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2018·河南郑州月考)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．解 p 或q 为真，p 且q 为假，由这句话可知p ，q 命题为一真一假． ①当p 真q 假时，⎩⎨⎧m 2－4>0，16(m －2)2－16≥0，解得m <－2或m ≥3．②当p 假q 真时，⎩⎨⎧m 2－4≤0，16(m －2)2－16<0， 解得1<m ≤2．综上所述，m 的取值范围是{m |m <－2或1<m ≤2或m ≥3}．2．(2018·山西联考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2．若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，求m 的取值范围．解 由题意知m ≠0，∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数，若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，必须抛物线开口向下，即m <0．f (x )＝0的两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3，则x 1－x 2＝3m ＋3．(1)当x1>x2，即m>－1时，必须大根x1＝2m<1，即m<1 2．(2)当x1<x2，即m<－1时，大根x2＝－m－3<1，即m>－4．(3)当x1＝x2，即m＝－1时，x1＝x2＝－2<1也满足条件．∴满足条件①的m的取值范围为－4<m<0．若∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，则满足方程f(x)＝0的小根小于－4．(1)当m>－1时，小根x2＝－m－3<－4且m<0，无解．(2)当m<－1时，小根x1＝2m<－4且m<0，解得m<－2．(3)当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，∴不满足②．∴满足①②的m的取值范围是{m|－4<m<－2}．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词命题中的、、叫作逻辑联结词,分别表示为、、.2.全称量词与存在量词(1)短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作,用符号“”表示.(3)含有一个量词的命题的否定:全称命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是.特称命题q:∃x0∈M,q(x0),它的否定是.常用结论1.否命题是把原命题的条件与结论都否定,命题的否定只需否定命题的结论.2.记忆口诀:(1)“p或q”,有真则真;(2)“p且q”,有假则假;(3)“非p”,真假相反.3.命题p∧q的否定是(p)∨(q);命题p∨q的否定是(p)∧(q).题组一常识题1.[教材改编]命题p:x∈R,x2+1≥0,命题q:函数y=ax2+x的图像是抛物线,则p∨q是命题,p∧(q)是命题,(p)∨(q)是命题,(p)∧(q)是命题.(以上各空填“真”或“假”)2.[教材改编]命题“∃x0∈R,log2x0+2<0”的否定是.3.[教材改编]命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是.4.[教材改编]在一次驾照考试中,甲、乙两名学员各试驾一次.设p是“甲试驾成功”,q是“乙试驾成功”,则“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为.题组二常错题◆索引:全称命题或特称命题的否定出错;不会利用真值表判断命题的真假;复合命题的否定中出现逻辑联结词错误;判断命题真假时忽视对参数的讨论.5.命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是.6.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是.(填序号)①(p)∨q;②p∧q;③(p)∧(q);④(p)∨(q).7.已知命题“若ab=0,则a=0或b=0”,则其否命题为.8.已知p:∀x∈R,ax2+4x+1>0,则p:.若p是假命题,则实数a的取值范围是.探究点一含逻辑联结词的命题及其真假例1 (1)在一次射击训练中,甲、乙两位运动员各射击一次.设命题p是“甲击中目标”,q是“乙击中目标”,则命题“两位运动员都没有击中目标”可表示为()A.(p)∨(q)B.p∨(q)C.p∨qD.(p)∧(q)(2)[2018·福建三明5月质检]已知函数f(x)=cos2x+.命题p:f(x)的图像关于点-对称,命题q:f(x)在区间-上为减函数,则()A.p∧q为真命题B.(p)∧q为假命题C.p∨q为真命题D.(p)∨q为假命题[总结反思]判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤:(1)判断复合命题的结构;(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假;(3)依据“‘或’:一真即真;‘且’:一假即假;‘非’:真假相反”作出判断即可.变式题(1)[2018·太原三模]设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为π,命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=对称,则下列结论正确的是()A.p为假命题B.q为假命题C.p∨q为假命题D.p∧q为假命题(2)已知命题p:方程e x-1=0有实数根,命题q:不等式x2-x+1≤0有解,则p∧q,p∨q,(p)∨q,p∧(q)这四个命题中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4探究点二全称命题与特称命题例2 (1)命题p:对任意x∈R,都存在m>1,使得mx>e x成立,则p为()A.对任意x∈R,都存在m>1,使得mx≤e x成立B.对任意x∈R,不存在m>1,使得mx>e x成立C.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0≤成立D.存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0>成立(2)[2018·大同质检]下列说法正确的是()A.命题“∃x0∈R且x0≠1,-<0”的否定是“∀x∈R,-≥0”B.∀x>0,ln(x+1)>0C.∀φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数D.∀x∈R,2x>x2[总结反思](1)全称命题与特称命题的否定:①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.②否定结论:对原命题的结论进行否定.(2)变式题[2018·西安质检]已知命题p:∃x0∈R,log2(+1)≤0,则()A.p是假命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命题;p:∀x∈R,log2(3x+1)>0探究点三根据命题的真假求参数的取值范围例3 (1)已知命题p:∃x0∈[1,e],ln x0-a≥0,若p是真命题,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(0,1)C.(1,e)D.(1,+∞)(2)已知命题p:∃x0∈R,m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)B.[-2,0)C.(0,2)D.(-2,0)[总结反思]根据命题真假求参数的方法步骤:(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.变式题(1)若命题“∀x∈(0,+∞),x+≥m”是假命题,则实数m的取值范围是.(2)设p:∃x0∈,g(x0)=log2(t+2x0-2)有意义,若p为假命题,则t的取值范围为.第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试说明 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【课前双基巩固】知识聚焦1.“且”“或”“非”∧∨2.(1)全称量词∀(2)存在量词∃(3)∃x0∈M,p(x0)∀x∈M,q(x)对点演练1.真真真假[解析]命题p是真命题,当a=0时,函数图像是直线,所以命题q是假命题,所以p 是假命题,q是真命题,所以p∨q是真命题,p∧(q)是真命题,(p)∨(q)是真命题,(p)∧(q)是假命题.2.∀x∈R,log2x+2≥0[解析]这是一个特称命题,特称命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称量词,再将结论否定,所以命题的否定是“∀x∈R,log2x+2≥0”.3.有些表面积相等的三棱锥体积不相等[解析]命题为全称命题,即“所有表面积相等的三棱锥体积相等”,所以其否定是“有些表面积相等的三棱锥体积不相等”.4.(p)∨(q)[解析]p:甲没有试驾成功,q:乙没有试驾成功,所以“两名学员至少有一人没有试驾成功”可表示为(p)∨(q).5.“存在一个奇数,它的立方不是奇数”[解析]利用全称命题的否定是特称命题即可得出.6.④[解析]显然命题p为真命题,命题q为假命题,从而只有(p)∨(q)为真命题.7.若ab≠0,则a≠0且b≠08.∃x0∈R,a+4x0+1≤0(-∞,4][解析]根据全称命题的否定为特称命题,得p:∃x0∈R,a+4x0+1解得a≤0或0<a≤4,所以a≤4.≤0.若p为假命题,则p是真命题,所以a≤0或-【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)两位运动员都没有击中目标,即甲、乙都没有击中目标;(2)由题意首先确定命题p 和q的真假,然后逐一判断所给选项的真假即可求得最终结果.(1)D(2)C[解析](1)由题意可得,命题p:甲没有击中目标,q:乙没有击中目标,所以两位运动员都没有击中目标可表示为(p)∧(q).故选D.(2)结合函数的解析式可得f-=cos-=cos≠0,则f(x)的图像不关于点-对称,命题p是假命题,则p是真命题.x∈-,则2x+∈,故函数f(x)在区间-上为减函数,命题q是真命题.故p∧q为假命题,(p)∧q为真命题,p∨q为真命题,(p)∨q为真命题,故选C.变式题(1)D(2)B[解析](1)易知命题p是真命题,命题q是假命题,所以p∧q是假命题,故选D. (2)∵e0-1=0,∴x=0是方程e x-1=0的根,故命题p为真命题.∵x2-x+1=-+>0恒成立,所以命题q为假命题.根据复合命题真假性的判断可得,p∧q为假,p∨q为真,(p)∨q为假,p∧(q)为真,即真命题的个数为2,故选B.例2[思路点拨](1)直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可;(2)逐一判断,如不正确可以举一反例.(1)C(2)B[解析](1)∵全称命题的否定是特称命题,∴命题“对任意x∈R,都存在m>1,使得mx>e x成立”的否定是“存在x0∈R,对任意m>1,都有mx0≤成立”.故选C.(2)命题“∃x0∈R且x0≠1,-<0”的否定是“∀x∈R且x≠1,-≥0”,所以A错;当x>0时,x+1>1,所以ln(x+1)>0,所以B正确;当φ=时,f(x)=cos 2x为偶函数,所以C错;当x=-2时,2x>x2不成立,所以D错.变式题B[解析]因为3x+1>1,所以log2(3x+1)>0恒成立,所以命题p是假命题.p:∀x∈R,log2(3x+1)>0,所以选B.例3[思路点拨](1)若p是真命题,则p是假命题,求出a的取值范围即可;(2)据p∧q为真得到p,q全真,利用不等式的性质及不等式恒成立得到m的取值范围.(1)D(2)D[解析](1)若p是真命题,则p是假命题,即ln x-a<0在[1,e]上恒成立,即a>ln x在[1,e]上恒成立,∴a>1.(2)∵p∧q为真命题,∴p,q全真.若p真,则m<0;若q真,则m2-4<0,解得-2<m<2.∴m的取值范围为(-2,0).变式题(1)(2,+∞)(2)t>-[解析](1)由题意得,命题“∃x0∈(0,+∞),x0+<m”是真命题.∵x∈(0,+∞)时,x+≥2,∴m∈(2,+∞).(2)若p为假命题,则p为真命题.因此不等式tx2+2x-2>0有属于的解,即t>-有属于的解,又1<x<时,<<1,所以-=2--∈-.故t>-.【备选理由】例1考查含有逻辑联结词的命题的真假的判断;例2考查对含有量词的命题的否定;例3是根据命题的真假求参数的取值范围问题.例1[配合例1使用][2018·威海二模]已知命题p:∀a>b,|a|>|b|,命题q:∃x0<0,>0,则下列为真命题的是()A.p∧qB.(p)∧(q)C.p∨qD.p∨(q)[解析] C对于命题p,当a=0,b=-1时,0>-1,但是|a|=0,|b|=1,|a|<|b|,所以命题p是假命题.对于命题q,如x0=-1,2-1=>0,所以命题q是真命题.所以p∨q为真命题.故答案为C.例2[配合例2使用][2018·咸阳一模]已知命题p:存在x0∈[1,+∞),使得(log23>1,则下列说法正确的是()A.p:对任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1B.p:不存在x0∈[1,+∞),使得(log23<1C.p:对任意x∈[1,+∞),都有(log23)x≤1D.p:对任意x∈(-∞,1),都有(log23)x≤1[解析] C根据全称命题与特称命题的关系,可得命题p:对任意x∈[1,+∞),都有(log23)x≤1,故选C.例3[配合例3使用]已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点,命题q:函数y=x2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围是.[答案](1,2][解析]命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点,若p为真命题,则f(0)f(1)=-(2a-2)<0,解得a>1.命题q:函数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数,若q为真命题,则2-a<0,解得a>2.∵p且q为真命题,∴p与q都为真命题,∴∴1<a≤2,则实数a的取值范围是(1,2].。

课时练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题“存在实数x 0,使x 0>1”的否定是( )A.对任意实数x ,都有x>1B.不存在实数x 0,使x 0≤1C.对任意实数x ,都有x ≤1D.存在实数x 0,使x 0≤1,所以将“存在”改为“任意”,将“x>1”改为“x ≤1”.故选C .2.(2019内蒙古赤峰一中月考)设命题p :f (x )=1x 在定义域上为减函数;命题q :g (x )=cos (x +π2)为奇函数,则下列命题中真命题是( ) A.(¬p )且q B.(¬p )且(¬q )¬ C .p 且q D.p 且(¬q )(x )=1x 在定义域上不是减函数,故命题p 是假命题,g (x )=cos (x +π2)=-sin x 是奇函数,故命题q 是真命题,则(¬p )且q 为真命题,其余为假命题.故选A .3.(2019山东济南外国语学校一月模拟,2)已知命题p :存在x ∈R ,sin x>1,命题q :任意x ∈(0,1),ln x<0,则下列命题中为真命题的是( ) A.p 且q B.p 且(¬q ) C.p 或(¬q ) D.(¬p )且q-1≤sin x ≤1,故命题p 是假命题,又命题q 是真命题,故p 且q 为假,p 且(¬q )为假,p 或(¬q )为假,(¬p )且q 为真命题,故选D .4.(2019福建德化一中期中)命题p :存在x 0∈R ,x 0-2>0,命题q :任意x ∈R ,√x <x ,则下列命题中为真命题的是( ) A.p 或q B.p 且q C.(¬p )或q D.(¬p )且(¬q )p :存在x 0∈R ,x 0-2>0为真命题,命题¬p :任意x ∈R ,x-2≤0为假命题;命题q :任意x ∈R ,√x <x 为假命题,命题¬q :存在x ∈R ,√x 0≥x 0为真命题,故选A .5.若命题“存在x 0∈R ,x 02+(a-1)x 0+1<0”是真命题,则实数a 的取值范围是( )A.[-1,3]B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)“存在x 0∈R ,x 02+(a-1)x 0+1<0”等价于x 02+(a-1)x 0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a 2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.故选D .6.已知命题p :对任意x ∈R ,总有2x >x 2;q :“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A.p 且q B.(¬p )且qC.p 且(¬q )D.(¬p )且(¬q )p :对任意x ∈R ,总有2x >x 2,它是假命题,例如取x=2时,2x 与x 2相等.q :由a>1,b>1⇒ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=12.∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分条件,即q 是假命题.∴真命题是(¬p )且(¬q ).故选D .7.下列命题正确的是( )A.“x<1”是“x 2-3x+2>0”的必要不充分条件B.若给定命题p :存在x ∈R ,使得x 2+x-1<0,则¬p :任意x ∈R ,均有x 2+x-1≥0C.若p 且q 为假命题,则p ,q 均为假命题D.命题“若x 2-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x 2-3x+2=0,则x ≠2”x 2-3x+2>0,所以x>2或x<1,因此“x<1”是“x 2-3x+2>0”的充分不必要条件,故A 项错误;命题p :存在x ∈R ,使得x 2+x-1<0的否定为:任意x ∈R ,均有x 2+x-1≥0,故B 项正确; 若p 且q 为假命题,则p ,q 至少有一个为假命题,故C 项错误;命题“若x 2-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x 2-3x+2≠0,则x ≠2”,故D 项错误.故选B .8.(2019河南名校联盟调研三)已知命题p :存在x 0∈R ,2x 0<x 0-1;命题q :在△ABC 中,“BC 2+AC 2<AB 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件.则下列命题中的真命题是( ) A.¬q B.p 且q C.p 或(¬q ) D.(¬p )且qp ,注意到y=2x 图像在y=x-1图像的上方,故命题为假命题.对于命题q ,BC 2+AC 2<AB 2只是说明C 为钝角,故为充分不必要条件,所以q 为真命题,故(¬p )且q 为真命题.故选D . 9.(2019湖南湖北十二校联考一)已知命题p :任意x 1,x 2∈R ,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)≥0,则¬p 是( ) A.存在x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B.任意x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C.存在x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D.任意x 1,x 2∈R ,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0p :任意x ∈M ,p (x ),则否定为¬p :存在x 0∈M ,¬p (x 0),故选C .10.已知命题“任意x ∈R ,x 2-5x+152a>0”的否定为假命题,则实数a 的取值范围是 . (56,+∞)“任意x ∈R ,x 2-5x+152a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x 2-5x+152a>0对任意实数x 恒成立.设f (x )=x 2-5x+152a ,则其图像恒在x 轴的上方,所以Δ=25-4×152a<0,解得a>56.故实数a 的取值范围为(56,+∞).11.(2019河南平顶山模拟)命题p :任意x ∈R ,x 2-ax+1>0;命题q :存在x ∈R ,x 2+2ax+2-a ≤0.若p 且q 为假命题,p 或q 为真命题,则实数a 的取值范围是 .-∞,1)∪[2,+∞)x 2-ax+1>0恒成立,则判别式Δ=a 2-4<0,得-2<a<2,即p :-2<a<2,若存在x ∈R ,x 2+2ax+2-a ≤0, 则判别式Δ=4a 2-4(2-a )≥0,得a 2+a-2≥0,得a ≥1或a ≤-2,即q :a ≥1或a ≤-2,若p 且q 为假命题,p 或q 为真命题,则p ,q 一个为真命题,一个为假命题,若p 真q 假,则{-2<a <2,-2<a <1,得-2<a<1;若p 假q 真,则{a ≥2或a ≤-2,a ≥1或a ≤-2,得a ≤-2或a ≥2,综上,a ≥2或a<1. 12.下列结论:①若命题p :存在x 0∈R ,tan x 0=2,命题q :任意x ∈R ,x 2-x+12>0,则命题“p 且(¬q )”是假命题; ②已知直线l 1:ax+3y-1=0,l 2:x+by+1=0,则l 1⊥l 2的充要条件是ab =-3;③“设a ,b ∈R ,若ab ≥2,则a 2+b 2>4”的否命题为“设a ,b ∈R ,若ab<2,则a 2+b 2≤4”.其中正确结论的序号为 .①中,命题p 是真命题,命题q 也是真命题,故“p 且(¬q )”为假命题是正确的;在②中,l 1⊥l 2⇔a+3b=0,而a=-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出a=-3,故②不正确;在③中,“设a ,b ∈R ,若ab ≥2,则a 2+b 2>4”的否命题为“设a ,b ∈R ,若ab<2,则a 2+b 2≤4”,所以③正确. 13.(2019河北邯郸第一中学期末)给出如下四个命题:①若“p 且q ”为假命题,则p ,q 均为假命题;②命题“若a>b ,则2a >2b -1”的否命题为“若a ≤b ,则2a ≤2b -1”;③“任意x ∈R ,则x 2+1≥1”的否定是“存在x ∈R ,则x 2+1<1”;④在△ABC 中,“A>B ”是“sin A>sin B ”的充要条件.其中正确的命题的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,若“p 且q ”为假命题,则p 或q 至少有一个为假命题,所以①错误;根据否命题的定义,命题“若a>b ,则2a >2b -1”的否命题为“若a ≤b ,则2a ≤2b -1”为真命题,所以②正确;根据含有量词的否定,“任意x ∈R ,x 2+1≥1”的否定是“存在x ∈R ,x 2+1<1”,所以③正确;根据正弦定理,“A>B ”⇒“sin A>sin B ”且“A>B ”⇐“sin A>sin B ”,所以④正确.综上,正确的有②③④,所以选C .14.(2019甘肃静宁第一中期末)下列说法正确的是( ) A.若命题p ,¬q 都是真命题,则命题“p 且q ”为真命题 B.命题“任意x ∈R ,2x >0”的否定是“存在x 0∈R ,2x 0≤0”C.命题:“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题为“若xy ≠0,则x ≠0或y ≠0”D.“x=-1”是“x 2-5x-6=0”的必要不充分条件p ,¬q 都是真命题,则命题q 为假命题,因此“p 且q ”为假命题,A 不正确;“任意x ∈R ,2x >0”的否定是“存在x 0∈R ,2x 0≤0”,B 正确;“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题为“若xy ≠0,则x ≠0且y ≠0”,C 不正确;“x=-1”是“x 2-5x-6=0”的充分不必要条件,D 不正确,综上可得只有B 正确. 15.(2019齐鲁名校教科研协作体联考一)下列命题中正确的是 ( )A.若p 或q 为真命题,则p 且q 为真命题B.若x>0,则x>sin x 恒成立C.命题“存在x 0∈(0,+∞),ln x 0=x 0-1”的否定是“任意x ∉(0,+∞),ln x ≠x-1”D.命题“若x 2=2,则x=√2或x=-√2”的逆否命题是“若x ≠√2或x ≠-√2,则x 2≠2”或q 为真命题,则只要求p 或者q 中有一个是真命题即可,p 且q 为真命题,则要求两者均为真命题,故A 不正确;令f (x )=x-sin x ,f'(x )=1-cos x ≥0恒成立,f (x )=x-sin x 在(0,+∞)上是增加的,∴f (x )>f (0)=0,∴x>sin x ,B 为真命题;命题“存在x 0∈(0,+∞),ln x 0=x 0-1”的否定是任意x ∈(0,+∞),ln x ≠x-1,故选项C 不正确;命题“若x 2=2,则x=√2或x=-√2”的逆否命题是“若x ≠√2且x ≠-√2,则x 2≠2”,故选项D 不正确,故选B .16.(2019四川眉山一中月考)已知命题p :存在x ∈R ,ax 2+2ax+1≤0是假命题,则实数a 的取值范围是 .命题p :存在x ∈R ,ax 2+2ax+1≤0是假命题,∴其否定“任意x ∈R ,ax 2+2ax+1>0”为真命题.当a=0时,显然成立;当a ≠0时,ax 2+2ax+1>0恒成立可化为{a >0,4a 2-4a <0,解得0<a<1,综上所述,实数a 的取值范围是[0,1).17.(2019江苏徐州一中模拟)已知命题p :存在x 0∈R ,e x 0-mx 0=0,命题q :任意x ∈R ,x 2+mx+1≥0,若p 或(¬q )为假命题,则实数m 的取值范围是 .p 或(¬q )为假命题,则p 假q 真.由e x -mx=0,可得m=e x x,x ≠0.设f (x )=e x x,x ≠0,则f'(x )=xe x -e xx2=(x -1)e xx 2, 当x>1时,f'(x )>0,函数f (x )=e xx 在(1,+∞)上是增加的; 当0<x<1或x<0时,f'(x )<0,函数f (x )=e xx 在(0,1)和(-∞,0)上是减少的,所以当x=1时,函数取得极小值f (1)=e, 所以函数f (x )=e xx的值域是(-∞,0)∪[e,+∞),由p 是假命题,可得0≤m<e .当命题q 为真命题时,有Δ=m 2-4≤0,即-2≤m ≤2. 所以当p 或(¬q )为假命题时,m 的取值范围是0≤m ≤2.18.(2019河南八市联考二,17)已知命题p :函数f (x )=ax 2+4x+2有零点;命题q :函数f (x )=sin π2x 在区间(0,a )内只有一个极值点.若(¬p )且q 为真命题,求实数a 的取值范围.f (x )=ax 2+4x+2有零点,则a=0或Δ=16-8a ≥0,即a ≤2;函数f (x )=sin π2x 的周期T=4,若函数f (x )=sin π2x 区间(0,a )内只有一个极值点,则T 4<a<3T 4,即1<a<3.∵(¬p )且q 为真命题,∴p 假q 真,则{a >2,1<a <3,即2<a<3.∴实数a 的取值范围是(2,3).。

课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固组1。

设命题p:∃n∈N，n2〉2n，则p为()A。

∀n∈N，n2〉2n B.∃n∈N,n2≤2nC。

∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2=2n2.(2020辽宁沈阳二中五模,文3）已知命题“∃x∈R,使2x2+（a—1)x+1≤0”是假命题,则实数a的取值范围是（)2A.（—∞，—1)B.(—1,3)C。

（-3,+∞) D。

（-3,1）3。

（2020广东广州一模，文5）已知命题p：∀x∈R，x2—x+1〈0;命题q:∃x∈R,x2〉x3,则下列命题中为真命题的是（）A。

p∧q B.p∧q C.p∧q D.p∧q4.命题p:∃x0∈R,x0-2〉0；命题q:∀x∈R,√x<x,则下列命题中为真命题的是(）A.p∨qB.p∧qC.(p)∨qD.(p）∧(q）5。

(2020河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B 是偶函数集。

若命题p:∀f(x)∈A，|f（x)｜∈B,则p为（)A.∀f（x）∈A,｜f（x)|∉BB.∀f(x)∉A,|f(x)|∉BC.∃f（x)∈A,|f（x）|∉BD.∃f（x）∉A，|f（x)｜∉B6。

已知命题p：对任意x∈R,总有2x〉x2；命题q：“ab>1"是“a>1,b>1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(）A。

p∧q B。

（p)∧qC.p∧(q) D。

（p）∧(q)7。

已知命题p:∃x0∈R，2x0<x0-1;命题q：在△ABC中,“BC2+AC2〈AB2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.则下列命题中的真命题是（)A。

q B.p∧qC.p∨（q） D。

（p）∧q8.（2020湖南永州二模，理5)下列说法正确的是()A.若“p∨q"为真命题，则“p∧q”为真命题B。

命题“∀x>0,e x-x—1>0”的否定是“∃x0≤0，e x0—x0-1≤0”C。

课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固组1.命题“存在实数x0,使x0>1”的否定是()A.对任意实数x,都有x>1B.不存在实数x0,使x0≤1C.对任意实数x,都有x≤1D.存在实数x0,使x0≤12.下列特称命题中真命题的个数为()①存在实数x0,使+2=0;②有些角的正弦值大于1;③有些函数既是奇函数又是偶函数.A.0B.1C.2D.33.设命题p:存在x0∈(0,+∞),x0+>3;命题q:任意x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是()A.p且(q)B.(p)且qC.p且qD.(p)或q4.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()A.任意x∈R,f(-x)≠f(x)B.任意x∈R,f(-x)=-f(x)C.存在x0∈R,f(-x0)≠f(x0)D.存在x0∈R,f (-x0)=-f(x0)5.若命题“存在x0∈R,+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是()A.[-1,3]B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(p)且qC.p且(q)D.(p)且(q)7.(2018北京十四中月考,6)下列命题正确的是()A.“x<1”是“x2-3x+2>0”的必要不充分条件B.若给定命题p:存在x∈R,使得x2+x-1<0,则p:任意x∈R,均有x2+x-1≥0C.若p且q为假命题,则p,q均为假命题D.命题“若x2-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x2-3x+2=0,则x≠2”8.已知命题p:任意x∈R,x3<x4;命题q:存在x0∈R,sin x0-cos x0=-,则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(p)且qC.p且(q)D.(p)且(q)9.(2018湖南长郡中学一模,2)下列判断正确的是()A.若命题p为真命题,命题q为假命题,则命题“p且q”为真命题B.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0”C.“sin α=”是“α=”的充分不必要条件D.命题“对任意x∈R,2x>0成立”的否定是“存在x0∈R,≤0成立”10.已知命题“任意x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是.11.已知命题p:任意x∈[0,1],a≥e x;命题q:存在x0∈R,使得+4x0+a=0.若命题“p且q”为真命题,则实数a的取值范围是.12.下列结论:①若命题p:存在x0∈R,tan x0=2,命题q:任意x∈R,x2-x+>0,则命题“p且(q)”是假命题;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.其中正确结论的序号为.综合提升组13.(2018河南郑州三模,2)下列命题中,正确的是()A.存在x0∈R,sin x0+cos x0=B.复数z1,z2,z3∈C,若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z3C.“a>0,b>0”是“≥2”的充要条件D.命题“存在x∈R,x2-x-2≥0”的否定是“任意x∈R,x2-x-2<0”14.若命题p:函数y=x2-2x的递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的递增区间是[1,+∞),则()A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.p是真命题D.q是真命题15.已知命题p:关于x的不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,则实数a∈(0,4);命题q:“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,则下列命题正确的是()A.p且qB.p且(q)C.(p)且qD.(p)且(q)16.已知命题p:存在x0∈R,-mx0=0,q:任意x∈R,x2+mx+1≥0,若p或(q)为假命题,则实数m的取值范围是()A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.[0,2]C.RD.⌀创新应用组17.(2018河北衡水中学十模,5)下面四个命题中,假命题是()A.“若a≤b,则2a≤2b”的否命题B.“任意a∈(0,+∞),函数y=a x在定义域内递增”的否定C.“π是函数y=sin x的一个周期”或“2π是函数y=sin 2x的一个周期”D.“x2+y2=0”是“xy=0”的必要条件18.将不等式组的解集记为D,有下面四个命题:p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2;p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2;p3:任意(x,y)∈D,x+2y≤3;p4:存在(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是.参考答案课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.C特称命题的否定为全称命题,所以将“存在”改为“任意”,将“x>1”改为“x≤1”.故选C.2.B因为x2+2≥2,所以①是假命题;因为任意x∈R均有|sin x|≤1,所以②是假命题;f(x)=0既是奇函数又是偶函数,③是真命题.故选B.3.A命题p:存在x0∈(0,+∞),x0+>3,是真命题,例如取x0=4;命题q:任意x∈(2,+∞),x2>2x,是假命题,例如取x=4时,x2=2x.则命题为真的是p且(q).故选A.4.C不是偶函数是对偶函数的否定,定义域为R的偶函数的定义:任意x∈R,f(-x)=f(x),这是一个全称命题,所以它的否定为特称命题:存在x0∈R,f(-x0)≠f(x0).故选C.5.D因为命题“存在x0∈R,+(a-1)x0+1<0”等价于+(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.故选D.6.D命题p:对任意x∈R,总有2x>x2,它是假命题,例如取x=2时,2x与x2相等.q:由a>1, b>1⇒ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=.∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分条件,即q是假命题.∴真命题是(p)且(q).故选D.7.B因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1,因此“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故A项错误;命题p:存在x∈R,使得x2+x-1<0的否定为:任意x∈R,均有x2+x-1≥0,故B项正确;若p且q为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故C项错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x2-3x+2≠0,则x≠2”,故D项错误.故选B.8.B由x3<x4,得x<0或x>1,∴命题p为假命题;由sin x-cos x=sin=-,得x-=+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),∴命题q为真命题,∴(p)且q为真命题.9.D对A项,若命题p为真,命题q为假,则“p且q”为假,故A错;对B项,因否命题是既否定条件也否定结论,故B错;对C项,“sin α=”是“α=”的必要不充分条件,故C错;对D项,根据全称命题的否定,换量词否结论,故选项正确.故选D.10. 由“任意x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.设f(x)=x2-5x+a,则其图像恒在x轴的上方,所以Δ=25-4×a<0,解得a>.故实数a的取值范围为.11.[e,4]由命题“p且q”是真命题,得命题p,q都是真命题.由任意x∈[0,1],a≥e x,得a≥e;由存在x0∈R,使+4x0+a=0,知Δ=16-4a≥0,得a≤4,因此e≤a≤4.12.①③在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p且(q)”为假命题是正确的;在②中,l1⊥l2⇔a+3b=0,而=-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出=-3,故②不正确;在③中,“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”,所以③正确.13.D选项A中,因sin x+cos x的最大值为,故A错;选项B中,由(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,得不出z1=z2,z2=z3,所以也得不出z1=z3;选项C中,a<0,b<0, +≥2也成立,故C错;由特称命题的否定知,D 正确.14.D因为函数y=x2-2x的递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;因为函数y=x-的递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p且q为假命题,p或q为真命题,p为假命题,q为真命题.15.C命题p:当a=0时,不等式ax2+ax+1>0化为1>0,满足条件,当a≠0时,由不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,得解得0<a<4,所以实数a∈[0,4),因此p是假命题.命题q:由x2-3x>0,解得x>3或x<0.所以“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,即q是真命题.由以上可得(p)且q是真命题.故选C.16.B由p或(q)为假命题,知p为假命题,q为真命题.由e x-mx=0,得m=.设f(x)=,则f' (x)==,当x>1时,f'(x)>0,此时函数递增;当0<x<1时,f'(x)<0,此时函数递减;当x<0时,f'(x)<0,此时函数递减,∴当x=1时,f(x)=取得极小值f(1)=e,∴函数f(x)=的值域为(-∞,0)∪[e,+∞),∵p是假命题,∴0≤m<e.当命题q为真命题时,有Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2.∴m的取值范围是0≤m≤2.17.D对A项,“若a≤b,则2a≤2b”的否命题是“若a>b,则2a>2b”,A是真命题;对B项,“任意a∈(0,+∞),函数y=a x在定义域内单调递增”的否定为“存在a0∈(0,+∞),函数y=a x在定义域内不单调递增”,正确,例如a=时,函数y=在R上单调递减,B为真命题;对C项,“π是函数y=sin x的一个周期”,不正确,“2π是函数y=sin 2x的一个周期”正确,根据“或”命题的定义可知,C为真命题;对D项,“x2+y2=0”⇒“xy=0”,反之不成立,因此“x2+y2=0”是“xy=0”的充分不必要条件,D 是假命题,故选D.18.p1,p2画出题中不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示.作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过点A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2为真.。

《简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词》专题一、相关知识点 1.简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“且”“或”“非”． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断（1）含有逻辑联结词的命题真假的判断规律：p 或q ：有真则真； p 且q ：有假则假； p 与﹁p ：真假相反． （2）含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． （3）命题p 且q 的否定是“﹁p 或﹁q ”；命题p 或q 的否定是“﹁p 且﹁q ”．3．全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词． (2)含有全称量词的命题，叫作全称命题． 4．存在量词与特称命题(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题． 5．全称命题和特称命题的否定题型一 含逻辑联结词复合命题的真假判断1．已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；命题q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则( )A ．(﹁p )∨q 为真命题B ．p ∧(﹁q )为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题2．已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(﹁p )∧(﹁q )C ．(﹁p )∧qD ．p ∧(﹁q )3．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a <b ，则1a >1b.则下列为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(﹁q ) C ．(﹁p )∧q D ．(﹁p )∧(﹁q )4．已知命题p ，q ，则“﹁p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如果命题“(﹁q )∨p ”与“(﹁p )∨q ”都是真命题，则下列结论中一定不成立的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题B ．命题“p ∨q ”是假命题C ．命题“(﹁p )∧q ”是假命题D ．命题“(﹁p )∧q ”是真命题6．如果命题“p 且q ”的否定为假命题，则( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 中至少有一个为真命题C ．p ，q 均为假命题D ．p ，q 中至多有一个为真命题7．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(﹁p )∨(﹁q )B ．p ∨(﹁q )C ．(﹁p )∧(﹁q )D ．p ∨q8．已知命题p ：任意x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p 且qB ．p 且(﹁q )C ．(﹁p )且qD ．(﹁p )且(﹁q )9．设命题p ：任意x ＜1，x 2＜1，命题q ：存在x ＞0,2x ＞1x，则下列命题中是真命题的是( )A ．p 且qB ．(﹁p )且q C ．p 且(﹁q ) D ．(﹁p )且(﹁q )题型二 根据复合命题的真假求参数1．已知命题“存在x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为2.已知p ：若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋m ，则数列{a n }是等差数列，当﹁p 是假命题时，则实数m 的值为________．3．已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是4．已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x －a >0.若“﹁p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是5．给定命题p ：对任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1>0成立；命题q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，若p ∧q 为真，则a 的取值范围是________．6．设命题p ：函数y ＝log a (x ＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减，q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同的交点．若p ∧(﹁q )为真命题，求实数a 的取值范围．7．已知命题p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．8．已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数 f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求c 的取值范围．题型三 全(特)称命题的否定1．命题“任意n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．任意n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞nB ．任意n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞nC ．存在n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞nD ．存在n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n 2．已知命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0，则﹁p 是______________．3．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是____________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为﹁p ：________________________.4．命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是( )A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1C ．∀x >0，xx －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤15．命题“∃x >0，使得ln x >0”的否定为( )A ．∀x >0，均有ln x ≤0B ．∀x ≤0，均有ln x ≤0C ．∀x >0，均有ln x <0D ．∃x >0，均有ln x ≤06．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n >x 2”的否定形式是( )A ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≤x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ≤x 2C ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ≤x 2D ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≤x 27．已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16>8x ，则命题p 的否定为( )A ．﹁p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16≤8xB ．﹁p ：∀x ∈(1，＋∞)，x 2＋16<8xC ．﹁p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16≤8x 0 D ．﹁p ：∃x 0∈(1，＋∞)，x 20＋16<8x 0题型四 全(特)称命题的真假判断 1．下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈R ，sin 2⎝⎛⎭⎫x 03＋cos 2⎝⎛⎭⎫x 03＝13B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－2D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x>x ＋12.下列命题中的假命题是( )A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝0C ．∀x ∈R,3x >0D ．∀x ∈R ，x 2>03.已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(3x 0＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；﹁p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>04.下列命题中，真命题是( )A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos β题型五 根据全(特)称命题的真假求参数1．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．2．已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是3．已知命题“∃x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为4．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为5．若∃x 0∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是6．已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________．。

课时跟踪检测（三） 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．命题“函数y ＝f (x )(x ∈M )是偶函数”的否定可表示为( ) A ．∃x 0∈M ，f (－x 0)≠f (x 0) B ．∀x ∈M ，f (－x )≠f (x ) C ．∀x ∈M ，f (－x )＝f (x ) D ．∃x 0∈M ，f (－x 0)＝f (x 0)解析：选A 命题“函数y ＝f (x )(x ∈M )是偶函数”即“∀x ∈M ，f (－x )＝f (x )”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x 0∈M ，f (－x 0)≠f (x 0)”．2．(2018·合肥质检)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为真命题解析：选D 全称命题的否定是将“任意”改为“存在”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题，故选D.3．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D 因为有理数集合是实数集合的真子集，所以命题p 是真命题，綈p 是假命题．因为lg 10＝1＞0，所以命题q 是假命题，綈q 是真命题，所以D 项(綈p )∨(綈q )是真命题，A 、B 、C 都是假命题．4．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧(綈q ) B ．(綈p )∧q C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∧q解析：选A 由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q )是真命题．5．若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( ) A ．(－∞，22]B ．(22，3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92 D ．{3}解析：选A 因为∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则f ′(x )＝2－1x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，2时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝22，则λ≤2 2. 6．下列四种说法中，正确的是( ) A ．集合A ＝{－1,0}的子集有3个 B ．“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真C ．“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件D ．命题“∀x ∈R ，x 2－3x －2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，使得x 20－3x 0－2≥0” 解析：选C 对于选项A ，A ＝{－1,0}的子集有∅，{－1}，{0}，{－1,0}，共4个，A 错；对于选项B ，“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为“若a ＜b ，则am 2＜bm 2”，当m ＝0时为假命题，B 错；对于选项C ，“命题p ∨q 为真”，表示命题p 与q 至少有一个为真，而“命题p ∧q 为真”，表示命题p 与q 全为真，C 正确；对于选项D ，命题“∀x ∈R ，x 2－3x－2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，使得x 20－3x 0－2＜0”，D 错．综上，选C.7．命题p 的否定是“对所有正数x ，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为_______________． 解析：因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋18．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________． 解析：“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]9．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“綈q ”同时为假命题，则x ＝________.解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3， 因为“綈q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3＜x ＜－1， 由题意，得x ＝－2. 答案：－210．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2＞lg x 0；命题q ：∀x ∈R ，－x 2＋x －1＜0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是假命题； ③命题“(綈p )∨q ”是真命题； ④命题“p ∨(綈q )”是假命题． 其中所有正确结论的序号为________．解析：对于命题p ，取x ＝10，则有10－2＞lg 10成立，故命题p 为真命题；对于命题q ，由－x 2＋x －1<0，得x 2－x ＋1>0，由Δ＝－3<0，知命题q 为真命题．综上“p ∧q ”是真命题，“p ∧(綈q )”是假命题，“(綈p )∨q ”是真命题，“p ∨(綈q )”是真命题，即正确的结论为①②③.答案：①②③B 级——中档题目练通抓牢1．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题解析：选D 因为函数y ＝x 2－2x 在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题．故选D.2．(2018·贵州适应性考试)已知命题p ：∀x ∈R ，log 2(x 2＋4)≥2，命题q ：y ＝x 12是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∨(綈q )B ．p ∧qC ．(綈p )∨qD ．(綈p )∧(綈q )解析：选A 命题p ：函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，x 2＋4≥4，所以log 2(x2＋4)≥log 24＝2，即命题p 是真命题，因此綈p 为假命题；命题q ：y ＝x 12在定义域上是增函数，故命题q 是假命题，綈q 是真命题．因此选项A 是真命题，选项B 、C 、D 都是假命题，故选A.3．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0” B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22”的充要条件D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y ，知C 正确；对于D ，命题“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．4．已知命题“∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4a ＜0”为真命题，则实数a 的取值范围为______________．解析：“∃x 0∈R ，x 20＋ax 0－4a ＜0”为真命题的充要条件是Δ＝a 2＋16a ＞0，解得a ＜－16或a ＞0.答案：(－∞，－16)∪(0，＋∞)5．已知命题p ：a 2≥0(a ∈R)，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④(綈p )∨q . 其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p 为真命题，綈p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，綈q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨q 为假命题． 答案：②③④6．设t ∈R ，已知命题p ：函数f (x )＝x 2－2tx ＋1有零点；命题q ：∀x ∈[1，＋∞)，1x－x ≤4t 2－1.(1)当t ＝1时，判断命题q 的真假； (2)若p ∨q 为假命题，求t 的取值范围．解：(1)当t ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x max ＝0，1x－x ≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q 为真命题．(2)若p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题． 当p 为假命题时，Δ＝(－2t )2－4<0，解得－1<t <1；当q 为真命题时，⎝⎛⎭⎪⎫1x－x max ≤4t 2－1，即4t 2－1≥0，解得t ≤－12或t ≥12，∴当q 为假命题时，－12<t <12，∴t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12. 7．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R ，16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，∴0<a ≤1.若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根． ∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32.∵命题“p ∧q ”为真命题，∴命题p ，q 都为真， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. C 级——重难题目自主选做1．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：选A 由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )min ＝g (2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.2．设函数f (x )＝a x＋b x－c x，其中c >a >0，c >b >0.若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论中正确的个数是( )①对于∀x ∈(－∞，1)，都有f (x )>0；②存在x >0，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则存在x ∈(1,2)，使f (x )＝0. A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A ①因为a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，所以a ＋b >c ，因为c >a >0，c >b >0，所以0<a c <1,0<b c<1，当x ∈(－∞，1)时，f (x )＝a x ＋b x －c x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x －1>c x ⎝⎛⎭⎪⎫a c ＋bc－1＝c x ·a ＋b －cc>0，故①正确；②令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a ，b ，c 可以构成三角形，但a 2＝4，b 2＝9，c 2＝16却不能构成三角形，所以②正确；③已知c >a >0，c >b >0，若△ABC 为钝角三角形，则a 2＋b 2－c 2<0，因为f (1)＝a ＋b －c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0，根据零点的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，所以存在x ∈(1,2)，使f (x )＝0，故③正确．。