18.2.3 正方形(第2课时) 教案1

18.2.3 正方形第2课时 正方形的判定导入新课复习引入:问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？问题2 你是如何判断是矩形、菱形？思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？学习目标:1．掌握正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .学习重点：掌握正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；学习难点：运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .教学过程讲授新课：正方形的判定活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？证一证对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图,在矩形ABCD 中,AC , DB 是它的两条对角线, AC⊥DB.求证：四边形ABCD 是正方形.正方形 正方形 矩形 A B C D O活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？证一证对角线相等的菱形是正方形.已知：如图,在菱形ABCD 中,AC , DB 是它的两条对角线, AC=DB.求证：四边形ABCD 是正方形.总结归纳:正方形判定的几条途径：A B C D O +矩形条件(二选一) + 先判定矩形 菱形条件(二选一)练一练在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）A．AC=BD ，AB∥CD，AB=CD B ．AD∥BC，∠A=∠C C ．AO=BO=CO=DO ，AC⊥BD D ．AO=CO ，BO=DO ，AB=BC典例精析例1 在正方形ABCD 中，点E 、F 、M 、N 分别在各边上，且AE=BF=CM=DN ．四边形EFMN 是正方形吗?为什么?分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN 是菱形，再证有一个角是直角即可.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中，AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四边形EFMN 是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF） =180°－（∠AEN+∠ANE） =180°－90°=90°. ∴四边形EFMN 是正方形 .例2 如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B 的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF 为正方形.证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ，∴∠DEC= ∠DFC=90°. 又∵ ∠C=90 °，∴四边形ADFC 是矩形.过点D 作DG⊥AB，垂足为G.∵AD 是∠CAB 的平分线DE⊥AC，DG⊥AB， ∴ DE=DG.同理得DG=DF ，∴ED=DF，∴四边形ADFC 是正方形. A B C D O D FA B C E G当堂练习1.下列命题正确的是（ ）A.四个角都相等的四边形是正方形B.四条边都相等的四边形是正方形C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形2.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB=BC 时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形C ．当∠ABC=90°时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC=BD 时，四边形ABCD 是正方形3、如图，四边形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个 条件____________________，可得出该四边形是正方形．4.已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．5、如图，在四边形ABCD 中, AB=BC ,对角线BD 平分是BD 上一点,过点P作垂足分别为M 、N.(1) 求证：∠ADB=∠CDB; (2) 若求证：四边形MPND 是正方形.AB C D O C A B D P M N作业:教材P67页复习题18第6题教学反思：。

第 2 课时正方形的判断1．掌握正方形的判断条件；( 要点 )2．能娴熟运用正方形的性质和判断进行相关的证明和计算． ( 难点 )一、情境导入老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．小明剪完后，这样查验它：比较了边的长度，发现 4 条边是相等的，小明就判断他达成了这个任务．这类查验可信吗？小兵用另一种方法查验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就以为他正确地剪出了正方形．这类查验对吗？小英剪完后，比较了由对角线互相分红的 4 条线段，发现它们是相等的．依据小英的建议，这说明剪出的四边形是正方形．你的建议如何？你以为应当如何查验，才能又快又正确呢？二、合作研究研究点一：正方形的判断【种类一】利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的均分线，DE⊥BC于点E，DF⊥ AC于点 F.求证：四边形 CEDF是正方形．分析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形 CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可．证明：∵ CD均分∠ ACB，DE⊥ BC，DF⊥ AC，∴DE＝ DF，∠ DFC＝90°，∠ DEC＝90°.又∵∠ ACB＝90°，∴四边形 CEDF是矩形．∵ DE ＝DF，∴矩形 CEDF是正方形．方法总结：要注意判断一个四边形是正方形，一定先证明这个四边形为矩形或菱形．【种类二】利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形如图，在四边形ABFC中，∠ ACB ＝90°，BC的垂直均分线EF交BC于点D，交 AB于点 E，且 CF＝ AE.(1)试判断四边形 BECF是什么四边形？并说明原因；(2)当∠ A的大小知足什么条件时，四边形 BECF是正方形？请回答并证明你的结论．分析： (1) 依据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE ＝EC， BF＝ FC.又∵ CF＝ AE，∴可证 BE＝ EC ＝BF＝ FC.依据“四边相等的四边形是菱形”，∴四边形 BECF是菱形；(2)菱形对角线均分一组对角，即当∠ABC＝45°时，∠ EBF＝90°，有菱形为正方形．依据“直角三角形中两个角锐角互余”得∠ A＝45°.解：(1) 四边形BECF是菱形．原因以下：∵EF垂直均分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1. ∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠ 2＝∠ 4，∴EC＝AE，∴ BE＝ AE.∵ CF＝ AE，∴ BE＝ EC＝ CF＝ BF，∴四边形 BECF是菱形；(2)当∠ A＝45°时，菱形 BECF是正方形．证明以下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ 3＝45°，∴∠EBF＝2∠3＝90°，∴菱1形是正方形．题的关键是证得BECF方法总结：正方形的判断方法：①先判△ APF≌△ DFE≌△ CEQ≌△ BQP.定四边形是矩形，再判断这个矩形有一组邻【种类二】与正方形的判断相关的综边相等；②先判断四边形是菱形，再判断这合应用题个菱形有一个角为直角；③还能够先判断四如图，△ ABC中，点 O是 AC上的边形是平行四边形，再用判断定理 1 或判断一动点，过点作直线∥ ，设交∠BCAO MN BC MN定理 2 进行判断．的平研究点二：正方形的判断的应用【种类一】正方形的性质和判断的综合应用分线于点 E，交∠ BCA的外角∠ ACG的平分线于点 F，连结 AE、 AF.(1) 求证：∠ECF＝90°；(2) 当点O运动到哪处时，四边形AECF是矩形？请说明原因；如图，点 E， F， P， Q分别是正方(3) 在 (2)的条件下，要使四边形AECF 形 ABCD的四条边上的点，而且AF＝ BP＝CQ为正方形，△ABC应当知足条件：＝ DE.求证：______________________( 直接增添条件，(1)EF＝ FP＝ PQ＝ QE；无需证明 ) ．(2) 四边形是正方形．分析： (1) 由、分别均分∠和EFPQ CE CF BCO 解析：(1)证明∠ GCO，可推出∠ BCE＝∠ OCE，∠ GCF＝△APF≌△ DFE≌△ CEQ≌△ BQP，即可证得 EF＝FP＝PQ＝QE；(2)由EF＝FP＝PQ＝QE，可判断四边形EFPQ是菱形，又由△APF≌△BQP，易得∠FPQ＝90°，即可证得四边形 EFPQ是正方形．证明： (1) ∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ B＝∠ C＝∠ D＝90°，AB＝ BC＝CD＝AD.∵ AF＝ BP＝ CQ＝ DE，∴ DF＝ CE＝ BQ＝AP.在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，AF＝ DE＝CQ＝ BP，∠ A＝∠ D＝∠ C＝∠ B，AP＝ DF＝CE＝ BQ，∴△ APF≌△ DFE≌△ CEQ≌△ BQP(SAS)，∴ EF＝ FP＝ PQ＝ QE；(2)∵ EF＝ FP＝PQ＝ QE，∴四边形 EFPQ 是菱形．∵△ APF≌△ BQP，∴∠ AFP＝∠ BPQ.∵∠ AFP＋∠ APF＝90°，∴∠ APF＋∠ BPQ＝90°，∴∠ FPQ＝90°，∴四边形EFPQ是正方形．方法总结：本题考察了正方形的判断与性质以及全等三角形的判断与性质．注意解1∠ OCF，则∠ ECF＝2×180°＝90°；(2)由MN∥ BC，可得∠ BCE＝∠ OEC，∠ GCF＝∠ OFC，可推出∠ OEC＝∠ OCE，∠ OFC＝∠ OCF，得出EO＝ CO＝ FO，点 O运动到 AC的中点时，则EO＝CO＝ FO＝ AO，这时四边形 AECF是矩形；(3)由已知和 (2) 获得的结论，点O运动到AC 的中点时，且△ ABC知足∠ ACB为直角时，则推出四边形 AECF是矩形且对角线垂直，因此四边形AECF是正方形．(1)证明：∵ CE 均分∠ BCO， CF 均分∠GCO，∴∠ OCE＝∠ BCE，∠ OCF＝∠ GCF，1∴∠ ECF＝×180°＝90°；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形 AECF是矩形．原因以下：∵ MN∥BC，∴∠ OEC＝∠ BCE，∠OFC＝∠ GCF.又∵∠ OCE ＝∠ BCE，∠ OCF＝∠ GCF，∴∠ OCE＝∠ OEC，∠OCF＝∠ OFC，∴ EO＝CO，FO＝CO，∴ OE＝OF.又∵当点 O运动到 AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．2(3)∠ ACB＝90°.方法总结：在解决正方形的判断问题时，可从与其判断相关的其余知识点下手，比如等腰三角形，平行线和角均分线．从中发现与正方形相关系的条件求解．三、板书设计1．正方形的判断方法一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．2．正方形性质和判断的应用本节课采纳研究式教课，让学生产生学习兴趣，经过实践活动调换学生的踊跃性，给学生着手操作的时机，变被动为主动学习，指引经过感官的思想去察看、研究、分析知识形成的过程，以此深入知识、更深刻理解知识、主动获得知识，养成优秀的学习习惯．3。

人教版数学八年级下册《18.2.3 正方形》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《18.2.3 正方形》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握正方形的性质、判定以及正方形与其他图形的区别。

本节课的内容在学生的认知发展过程中具有承上启下的作用，为后续学习几何知识奠定基础。

教材从正方形的定义、性质、判定三个方面展开，通过丰富的实例和图示，引导学生探索正方形的特征，从而培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了矩形、菱形等平行四边形的性质，对平行四边形的判定有一定的了解。

但是，正方形作为一种特殊的平行四边形，其性质和判定方法与其他平行四边形有所不同，需要学生进一步探究和理解。

此外，正方形在实际生活中的应用广泛，如建筑设计、电路板设计等，学生需要将所学知识与实际应用相结合，提高学习的兴趣和积极性。

三. 教学目标1.知识与技能：理解正方形的定义，掌握正方形的性质、判定方法，能够运用正方形的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生在探究过程中体验到成功的喜悦。

四. 教学重难点1.重点：正方形的性质、判定方法及其应用。

2.难点：正方形性质的证明，正方形与其他平行四边形的区别。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生关注正方形在实际中的应用，提高学生的学习兴趣。

2.探究式教学法：学生进行小组讨论、动手操作，培养学生的自主学习能力。

3.讲解法：对正方形的性质、判定方法进行详细讲解，引导学生理解并掌握。

六. 教学准备1.教学课件：制作正方形的相关课件，包括图片、动画、实例等，以便于生动展示正方形的性质和应用。

2.学具：准备一些正方形的模型或图片，供学生观察和操作。

3.练习题：挑选一些有关正方形的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如建筑设计、电路板设计等，引出正方形的概念，激发学生的学习兴趣。

第十八章平行四边形§18.2.3 正方形（一）教学目标：1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力．2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性．教学重、难点：重点：理解正方形的定义和性质．难点：正方形的性质及其应用．教学工具：直尺，三角板，PPT课件，几何画板，A4纸等教学过程：一、正方形的定义师：同学们，上节课我们学习了特殊的平行四边形矩形和菱形，在现实生活中有没有其它的特殊的平行四边形呢？生：有，正方形。

师：对，小学我们已经学习了正方形。

什么是正方形呢？学生回答正方形的定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形.二、情境引入，实践探究探究一：矩形与正方形的关系师：在现实生活中存在很多正方形，也有很多正方形的实际应用。

比如折纸，大家还记得小时候折的青蛙、飞机吗？折它们的第一步常常是把矩形纸折成什么图形？生：折成正方形。

师：你能将我们的A4纸折成正方形吗？生：能。

（学生折纸，并叫一个学生示范）学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．师：为什么这样折出的是正方形？你能说出理由吗？生：因为折了一个等腰直角三角形，它们的两条直角（邻边）边相等。

教师用几何画板动态演示矩形变成正方形学生探究并得出结论：结论1：正方形是一组邻边相等的矩形. 即正方形是特殊的矩形.设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程．探究二：菱形与正方形的关系师：同学们，生活中除了矩形可以变成正方形外，还可由其它图形能变成正方形吗？你能举出生活中的实例吗？生：菱形，如菱形衣架、伸缩门等。

18.2.3 正方形第2课时正方形的判定说课稿 2021—2022学年人教版数学八年级下册一、教材背景本节课是《数学八年级下册》中的第18章几何与变换的第2节课，讲解正方形的判定。

通过本节课的学习，学生能够理解什么是正方形，能够判断一个图形是否为正方形，并能解决与正方形相关的问题。

二、教学目标1.知识与技能：•理解正方形的定义及性质。

•掌握判断一个图形是否为正方形的方法。

•能够解决与正方形相关的问题。

2.过程与方法：•通过观察、比较和思考，理解正方形的概念。

•通过实例演练，掌握判断正方形的方法。

•引导学生自主探究，解决与正方形相关的问题。

3.情感、态度与价值观：•培养学生学习数学的兴趣和动力。

•提高学生的观察能力和判断能力。

•培养学生团队合作意识和探究精神。

三、教学重点与难点•教学重点：正方形的定义及性质，判断正方形的方法。

•教学难点：通过观察和判断，解决与正方形相关的问题。

四、教学过程1. 导入新知识•利用幻灯片或板书呈现一个图形，引导学生观察该图形的特点，让学生尽量用恰当的词汇进行描述。

•引导学生思考，这个图形是否为正方形？为什么？2. 引入正方形的定义•学生根据观察得出的结论，引导他们总结正方形的特点，从而引出正方形的定义。

•引导学生快速回顾并介绍正方形的定义：正方形是一种特殊的四边形，它的四条边相等且两两平行，四个内角都为90度。

3. 判断正方形的方法•通过几个实例的展示，引导学生探究判断正方形的方法。

–实例一：给出一个图形，让学生观察并判断是否为正方形。

依次引导学生通过测量边长和角度，以及边长和对角线的关系来判断是否为正方形。

–实例二：给出另一个图形，让学生用上述方法判断是否为正方形，并找出不是正方形的理由。

–实例三：让学生自行找一个图形，用上述方法判断是否为正方形，并解释判断的依据。

4. 解决正方形相关的问题•提出一些与正方形相关的问题，让学生尝试解决。

例如：如果一个图形是正方形，那么它的周长和面积有什么特点？如果一个四边形的对角线相等，那么它一定是正方形吗？5. 拓展延伸•引导学生进一步思考：如何判断一个图形是否为矩形？如何判断一个图形是否为菱形？激发学生对图形判定的深入思考。

18.2.3 正方形第2课时一、教学目标【知识与技能】1.理解并运用正方形的定义进行证明.2.理解并运用正方形的判定进行计算和证明.3.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系.【过程与方法】经历正方形的定义及其判定定理的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.【情感态度与价值观】让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.二、课型新授课三、课时第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.【教学难点】会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？（二）探索新知1.出示课件4-7，探究正方形的判定教师问：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形呢？学生答：是正方形.教师问：菱形满足怎样的条件是正方形？学生1答：当菱形有一个角是直角时是正方形.学生2答：当菱形的对角线相等时是正方形.教师问：你能证明：“对角线相等的菱形是正方形.”吗？学生回答：写出已知、求证，画出图形，并且证明.师生一起解答：已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB,∴AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.教师问：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到是一个正方形吗？学生回答：是一个正方形.教师问：你能验证得到的四边形是正方形吗？学生回答：可量一量四条边是否都相等，角是不是直角，加以验证.教师问：矩形的边满足怎样的条件是正方形？学生回答：有一组邻边相等的矩形是正方形.教师问：矩形的对角线满足怎样的条件是正方形？学生回答：对角线互相垂直的矩形是正方形.教师总结归纳：教师问：你能把命题“对角线互相垂直的矩形是正方形.”用几何语言描述吗？学生回答：已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB.求证：矩形ABCD是正方形.教师问：你能证明上边的问题吗？学生回答：证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴矩形ABCD是正方形.总结点拨：（出示课件8）正方形常见的判定方法：先证明是矩形再证明是菱形或先证明是菱形再证明是矩形.（观看课件演示过程）总结归纳：（出示课件9）平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结考点1：由矩形到正方形的识别已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．（出示课件10）师生共同讨论解答如下：证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F,∴∠DEC=90°，∠DFC=90°，∴四边形CFDE有三个直角，它是矩形.又∵CD平分∠ACB,∴DE=DF.∴四边形CFDE是正方形.出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正.考点2：由菱形到正方形的识别如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.学生独立思考后，师生共同解答.证明：∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO ≌△BEO,∴OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四边形EFGH为菱形.∵EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,∴四边形EFGH为正方形.出示课件13，学生自主练习后口答，教师订正.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习（出示课件15-24）练习课件第15-24页题目，约用时20分钟.（四）课堂小结（出示课件25）（五）课前预习预习下节课（19.1.1第1课时）的相关内容.知道常量、变量的定义七、课后作业1、教材第59-60页练习第1,2,3题.2、七彩课堂第88-89页第6、9题.八、板书设计正方形第2课时1．正方形的判定方法：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形．一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形；考点1 考点22.例题讲解九、教学反思成功之处：本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手操作的机会，变被动为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯．不足之处：对于正方形的判定，用到了前面平行四边形、矩形、菱形的性质和判定，教学中应该培养学生的读图能力，逐渐养成数形结合解决问题的习惯，在以后的练习中要进行强化训练.。

《正方形》教案教学目标：1．掌握正方形的概念、性质，并会用它们进行有关的论证和计算．2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用．教学过程：一．复习提问叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质．几种特殊四边形的定义及性质：二．新课讲解设问：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形．1．矩形怎样变化后就成了正方形呢？2．菱形怎样变化后就成了正方形呢？问题：什么样的平行四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一个角是直角的平行四边形（矩形）（2）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）问题：正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．归纳、总结正方形的性质：因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，引导学生从角、边、对角线、对称性上归纳总结．正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？例：求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO 、△BCO 、△CDO 、△DAO 是全等的等腰直角三角形．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC =BD ，AC ⊥BD ，AO =CO =BO =DO （正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴△ABO 、△BCO 、△CDO 、△DAO 都是等腰直角三角形，并且△ABO ≌△BCO ≌△CDO ≌△DAO ．拓展讨论：正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？（结论：分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC 、△ADC 、△ABD 、△BCD ；△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA ．）三．课堂练习补充练习：1．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 cm2．2．如图，在等腰R t △ABC 中，∠C=90°，正方形DEFG 的顶点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上．（1）求证AE =BF ；（2）若BC =2cm ，求正方形DEFG 的边长．四．课堂小结：1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．2．正方形有哪些性质：五．课外作业：1．已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求PE+PB 的最小值．2．在正方形ABCD中，AC是对角线，AE平分∠BAC，试猜想AB、AC、BE之间的关系，并证明你的猜想．E D。

人教版数学八年级下册18.2.3《正方形》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册18.2.3《正方形》是学生在学习了矩形、菱形的基础上，对正方形的性质和判定进行深入探讨的一节课。

本节课的主要内容有：正方形的性质，正方形的判定，以及正方形在实际生活中的应用。

正方形是四边相等、四角为直角的四边形，具有独特的性质和判定方法。

通过本节课的学习，使学生掌握正方形的性质和判定，提高他们的空间想象能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了矩形和菱形的性质和判定，对平行四边形的性质也有了一定的了解。

但正方形作为特殊的长方形和菱形，其性质和判定方法与它们有所不同，需要学生进行进一步的探究。

此外，正方形在实际生活中的应用也是学生需要了解和掌握的内容。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握正方形的性质和判定，能运用正方形的性质和判定解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.正方形的性质和判定。

2.正方形在实际生活中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置情境，让学生在实际问题中感受正方形的特点和作用。

2.启发式教学法：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等方法，自主探究正方形的性质和判定。

3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论、交流，共同解决问题，提高他们的合作能力。

六. 教学准备1.教具：正方形模型、矩形模型、菱形模型、多媒体课件。

2.学具：学生用书、练习册、笔记本、铅笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示正方形模型、矩形模型、菱形模型，引导学生观察它们的特点，提出问题：“你能找出这些图形的共同点和不同点吗？”学生在观察和思考后，得出正方形的特殊性质。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，呈现正方形的性质和判定方法，引导学生进行学习。

正方形（课题）正方形的判定教学目标（一）知识与技能：掌握正方形的判定方法(二)数学思考：思考正方形的判定用了那些方法（三）问题解决：能用正方形的判定解决实际问题（四）情感态度：培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值教学重点：熟练掌握正方形的判定方法教学难点：能运用正方形的判定方法解决实际问题教具准备：多媒体课件教学时数：2课时教学过程：第 2 课时一、基本训练激趣导入复习导入：正方形的性质：边：_________________________角：_________________________对角线：_______________________二、提出目标指导自学1、根据正方形既具有____________的特征，也具有____________的特征，我们可以得出正方形有如下判定方法：①___________________的矩形是正方形。

②__________________的菱形是正方形。

③对角线_____________的矩形是正方形。

④对角线______________的菱形是正方形。

正方形的判定方法：（1）矩形＋ ______（2）菱形＋ ______（3）矩形＋对角线正方形（4）菱形＋对角线三、合作学习引导发现2、例题讲解：例题1、判断下列命题是真命题还是假命题？假命题请举出反例。

（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；（）反例：（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（）反例：（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（）反例：（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（）反例：ABCDEF例题2、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ， DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．求证： 四边形CFDE 是正方形． 证明：四、反馈调节 变式训练 1、判断下列命题是否正确．（1） 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．（ ） （2） 对角线互相垂直的矩形是正方形．（ ） （3） 对角线相等的菱形是正方形．（ ）（4） 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．（ ） 2、把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？3、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F.求证： 四边形CFDE 是正方形．五、分层测试 效果回授4、如图，在矩形ABCD 中，∠A 的平分线交BC 于E ，∠B 的平分线交AD 于F 。

人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质教案【教学目标】知识与技能目标1．理解并运用正方形的定义计算和证明；2．理解并运用正方形的性质进行计算和证明；3．体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系,理解一般与特殊的关系．过程与方法目标经历正方形的定义及其性质的探究过程,丰富认识图形的经验,进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力．情感、态度与价值观目标让学生在发现、归纳、概括中逐步提高思维能力,培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯．【教学重点】正方形性质定理的运用．【教学难点】正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系．【教学准备】教师准备：教学中出示的教学插图、问题和例题.学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形的定义、性质和判定.【教学过程设计】一、情境导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？二、合作探究知识点一：正方形的性质【类型一】特殊平行四边形的性质的综合例1菱形，矩形，正方形都具有的性质是()A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直平分C．对角线互相平分D．四条边相等，四个角相等解析：选项A不正确，菱形的对角线不相等；选项B不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不互相垂直；选项C正确，三者均具有此性质；选项D 不正确，矩形的四条边不相等，菱形的四个角不相等．故选C.方法总结：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质．【类型二】利用正方形的性质解决线段的计算或证明问题例2如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.(1)求证：BE＝CF；(2)求BE的长．解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，即可证BE＝CF；(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE.由BC＝1，可列出方程，即可求得BE.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.∵EF⊥AC，∴∠EF A＝90°.∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF.又∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE＝45°，∴EF＝FC，∴BE＝CF；(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，CE＝1－x.在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE＝2x.∴2x＝1－x，解得x＝2－1，即BE的长为2－1.方法总结：正方形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．【类型三】利用正方形的性质解决角的计算或证明问题例3 在正方形ABCD 中，点F 是边AB 上一点，连接DF ，点E 为DF 的中点．连接BE 、CE 、AE .(1)求证：△AEB ≌△DEC ；(2)当EB ＝BC 时，求∠AFD 的度数．解析：(1)根据“正方形的四条边都相等”可得AB ＝CD ，根据“正方形每一个角都是直角”可得∠BAD ＝∠ADC ＝90°，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，根据“等边对等角”可得∠EAD ＝∠EDA ，再得出∠BAE ＝∠CDE ，然后利用“SAS ”证明即可；(2)根据“全等三角形对应边相等”可得EB ＝EC ，再得出△BCE 是等边三角形．根据等边三角形的性质可得∠EBC ＝60°，然后求出∠ABE ＝30°.再根据“等腰三角形两底角相等”求出∠BAE ，然后根据“等边对等角”可得∠AFD ＝∠BAE .(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°.∵点E 为DF中点，∴AE ＝EF ＝DE ＝12DF ，∴∠EAD ＝∠EDA .∵∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ，∠CDE ＝∠ADC －∠EDA ，∴∠BAE ＝∠CDE .在△AEB 和△DEC 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEB ≌△DEC (SAS)；(2)解：∵△AEB ≌△DEC ，∴EB ＝EC .∵EB ＝BC ，∴EB ＝BC ＝EC ，∴△BCE 是等边三角形，∴∠EBC ＝60°，∴∠ABE ＝90°－60°＝30°.∵EB ＝BC ＝AB ，∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.又∵AE ＝EF ，∴∠AFD ＝∠BAE ＝75°.方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段等．探究点二：正方形性质的综合应用【类型一】 利用正方形的性质解决线段的倍、分、和、差关系例4 如图，AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，AE 分别交BD 、BC 于F 、E ，AC 、BD 相交于O .求证：(1)BE ＝BF ；(2)OF ＝12CE . 解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE ＝∠AOF ＝90°.由于AE 是正方形ABCD 中∠BAC 的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO ＝∠AEB .根据“对顶角相等”即可求得∠BFE ＝∠AEB ，BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .根据三角形的中位线的性质即可证得OG ∥BC ，OG ＝12CE .根据平行线的性质即可求得∠OGF ＝∠FEB ，从而证得∠OGF ＝∠AFO ，OG ＝OF ，进而证得OF ＝12CE .证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∴∠ABE ＝∠AOF ＝90°，∴∠BAE ＋∠AEB ＝∠CAE ＋∠AFO ＝90°.∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠CAE ＝∠BAE ，∴∠AFO ＝∠AEB .又∵∠AFO ＝∠BFE ，∴∠BFE ＝∠AEB ，∴BE ＝BF ；(2)连接O 和AE 的中点G .∵AO ＝CO ，AG ＝EG ，∴OG ∥BC ，OG ＝12CE ，∴∠OGF ＝∠FEB .∵∠AFO ＝∠AEB ，∴∠OGF ＝∠AFO ，∴OG ＝OF ，∴OF ＝12CE .方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．【类型二】 有关正方形性质的综合应用题例5 如图，正方形AFCE 中，D 是边CE 上一点，B 是CF 延长线上一点，且AB ＝AD ，若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是________cm.解析：∵四边形AFCE 是正方形，∴AF ＝AE ，∠E ＝∠AFC ＝∠AFB ＝90°.在Rt △AED 和Rt △AFB 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AE ＝AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFB (HL)，∴S △AED ＝S△AFB.∵S四边形ABCD＝24cm2，∴S正方形AFCE＝24cm2，∴AE＝EC＝26cm.根据勾股定理得AC＝（26）2＋（26）2＝43(cm)．故答案为4 3.方法总结：在解决与面积相关的问题时，可通过证三角形全等实现转化，使不规则图形的面积转变成我们熟悉的图形面积，从而解决问题．三、教学小结师生共同归纳小结.1.本节课,我们学习了正方形的性质和判定,弄清了正方形、平行四边形、矩形、菱形的关系:2.分小组进行讨论,整理所学的性质:正方形是特殊的平行四边形,它也是特殊的矩形、特殊的菱形,因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.请回忆学过的内容,回答下面的问题(从边、角、对角线、轴对称性四方面考虑):(1)平行四边形有哪些性质?(2)矩形有哪些性质?(3)菱形有哪些性质?(4)正方形有哪些性质?图形对边对角对角线对称性平行四边形平行、相等相等互相平分不是轴对称图形矩形平行、相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称图形,有两条对称轴菱形平行、四条边都相等相等互相垂直且平分,每条对角线平分一组对角轴对称图形,有两条对称轴正方形平行、四条边四个角都是直互相垂直、平分且相轴对称图形,有四条对称都相等角等,每条对角线平分一轴组对角四、学习检测1.下列命题是真命题的是( )A.矩形的对角线互相垂直B.菱形的对角线相等C.正方形的对角线相等且互相垂直D.四边形的对角线互相平分解析:根据矩形的对角线相等,可判断选项A错;根据菱形的对角线互相垂直,可判断选项B错;根据正方形的对角线互相垂直、平分且相等,可判断选项C正确;四边形的对角线无特性,可判断选项D错.故选C.2.如图所示,E是正方形ABCD的边AD上任意一点,EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AB=10 cm,则四边形EFOG的周长是.解析:先由题意证明四边形EFOG是矩形,进而可知矩形EFOG的周长为OD 的长的2倍,然后根据勾股定理得OD的长为5 cm.故填10 cm.3.如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证AE=CF.(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大小.【解析】本题考查了等腰直角三角形、正方形的性质,“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”,全等三角形的性质与判定,解题的关键是证明△ABE≌△CBF.(1)用SAS证明△ABE≌△CBF.(2)∠EGC=∠EBG+∠BEF,而∠EBG=90°-∠ABE,△BEF是等腰直角三角形,从而可求∠EGC的度数.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°.∵BE⊥BF,∴∠EBF=90°,从而可知∠ABE=∠CBF.∵AB=BC,∠ABE=∠CBF,BE=BF,∴△ABE≌△CBF,∴AE=CF.解:(2)∵BE=BF,∠EBF=90°,∴∠BEF=45°,∵∠ABC=90°,∠ABE=55°,∴∠GBE=35°,∴∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°.[归纳总结]证明线段相等,通常转化成证明这两条线段所在的三角形全等得到对应线段相等.本题要充分利用正方形的性质“四条边相等;四个内角都等于90°;对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组对角;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形等”,并根据题意选取合适的性质加以运用.等腰直角三角形的两锐角相等,为45°,底边上的高、中线、顶角的平分线重合.三角形全等的判定方法:SAS,ASA,AAS,SSS,HL(只适用于直角三角形),根据图中的条件选取合适的方法证明三角形全等是关键.【板书设计】18.2 特殊的平行四边形 18.2.3 正方形课时1 正方形的性质1．正方形的定义和性质四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．对边平行，四条边都相等；四个角都是直角；对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．2．正方形性质的综合应用3．学习检测【教学反思】在本节数学课的教学中，通过学生动手操作得出的结论归纳矩形和菱形的性质，继而得到正方形的性质，激起了学生的学习热情和兴趣．创设有意义的数学活动，使枯燥乏味的数学变得生动活泼．让学生觉得学习数学是快乐的，使学生保持一颗健康、好学、进取的心及一份浓厚的学习兴趣．人教版八年级下册数学第18章平行四边形18.2 特殊的平行四边形18.2.3 正方形课时1正方形的性质学案【学习目标】1．理解正方形的概念；2．探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；3．会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【学习重点】探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．【学习难点】会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题．【自主学习】一、知识回顾1．你还记得长方形有哪些性质吗？2.菱形的性质又有哪些？二、新知探究知识点1：正方形的性质想一想 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？邻边_____2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？一个角是_____要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形.想一想正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.2.正方形的对角线________且互相______________.证一证已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=____°, AB_____AC.又∵正方形是平行四边形.∴正方形是______,亦是______.∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°,AB___BC___CD___AD.已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.证明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO___BO___CO___DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC___BD.想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 【典例探究】例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.DAB CE变式题 1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求证：∠BAP=2∠PAC．例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.【跟踪练习】1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO＝2,求正方形的周长与面积．三、知识梳理内容正方形的性质定义：有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分四、学习过程中我产生的疑惑【学习检测】1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2.如图,正方形ABCD中,CE⊥MN,∠MCE=35°,那么∠ANM是()A.45°B.55°C.65°D.75°B(解析:因为CE⊥MN,所以∠MCE+∠NMC=90°.所以∠NMC=90°-∠MCE=55°.由题意得AD∥BC,所以∠ANM=∠NMC=55°.故选B.)3.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm24. 在正方形ABC中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.5. 在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________.6.如图,正方形ABCD中,AC是对角线,E是BC延长线上一点,CE=AC,则∠E=度.22.5(解析:由正方形的性质得∠ACB=45°,又CE=AC,所以∠E=∠EAC,因为∠E+∠EAC=45°,所以∠E=∠EAC=22.5°.)第4题图第5题图7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．8. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,∠OCF=∠OBE.试猜想OE与OF的大小关系,并说明理由.解:OE=OF.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OB=OC,∴∠AOB=∠BOC=90°.又∵∠OCF=∠OBE,∴△OCF≌△OBE,∴OE=OF.9. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.10.如左下图,正方形ABCD中,M是BC上任意一点,E在BC的延长线上,MN⊥AM,MN交∠DCE的平分线于N,试猜想AM与MN有怎样的数量关系,并说明理由.【解析】猜想AM=MN,要证AM=MN,如右上图,只需构造并证明△APM≌△MCN即可.解:AM=MN.理由如下:在AB上取一点P,使BP=BM,连接PM,如右上图.∵AB=BC,BP=BM,∴AP=MC,∠BPM=45°,∴∠APM=135°.∵CN平分∠DCE,∴∠MCN=∠APM=135°.∵MN⊥AM,∴∠AMB+∠CMN=90°.∵∠AMB+∠BAM=90°,∴∠BAM=∠CMN.∴△APM≌△MCN.∴AM=MN.。