1.4 有理数减法.4 有理数的减法

1.4 有理数的加减知识点一 有理数加法法则1. 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加2. 异号两数相加，绝对值相等时和为0,；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3. 一个数与0相加，扔得这个数。

【注意】（1）有理数加法运算要求按照“一定，二求，三和差”的原则计算，即第一步确定和的符号；第二步分别求加数的绝对值；第三部分析绝对值相加还是相减（2）法则的叙述体现了分类思想。

有理数加法共分三种情况：同号两数相加、异号两束相加、一个数与0相加。

其中“异号两数相加”又分为绝对值相等的异号两数相加（即互为相反数的两个数相加）和绝对值不相等的异号两数相加。

（3）同号两数相加，可推广到三个或三个以上同号数相加。

例1 计算（1）)3()7(-+- （2）)6()4(-++ （3）312)312(+- （4）0)2.3(+-知识点二 有理数减法法则法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数【注意】（1）有理数减法法则的作用是将有理数的减法转化为加法；（1）将减法装化为加法时，注意两变：一是减号变加号；二是减数变为其相反数。

例2 计算（1）)5(3-- （2）210-（3）)7()3(--- （4）)6.3(2.5+- （5）[])3()8()5(--+--知识点三 有理数加法的运算律小学学过的加法运算律在有理数范围内仍然适用（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++例3 计算（1）)9()7()4(5)2(-+++-++- （2）83)432()851()432(+-+-++知识点四 有理数加减混合运算的方法和步骤★方法和步骤：（1）减法转化成加法；（2）省略加号和括号；（3）运用加法运算律；（4）利用加法法则计算出结果。

简单地讲，就是一统一，二省略，三运用，四计算。

例4 把)2()4()5()3(---++--写成省略加号和括号的形式，并把表示和的算式读出来。

1.4有理数的加减-解析一、计算题（本大题共18小题，共108.0分）1.计算(1)(−2.4)+(−3.7)+(−4.6)+5.7(2)(−13)+13+(−23)+17．【答案】解：(1)原式=(−2.4−3.7−4.6)+5.7 =−10.7+5.7=−5；(2)原式=(−13−23)+(13+17)=−1+30=29．【解析】此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键,原式结合后,相加即可得到结果．2.计算下列各题．(1)−12+(+73)+(+88)−(+27)(2)−39−(+21)−(−76)+(−16)(3)7.5+(−213)−(+22.5)+(−623)(4)−|−35−(−25)|+(−14)+(−12)(5)(−2.25)−(−3.8)+(+0.5)−(+2.25)−(−0.2)【答案】解：(1)原式=−12+73+88−27=−39+161=122；(2)原式=−39−21+76−16=−76+76=0；(3)原式=7.5−22.5−213−623=−15−9=−24；(4)原式=−15−14−12=−1920；(5)原式=−2.25+3.8+0.5−2.25+0.2=−4+4=0．【解析】原式各项利用减法法则变形,计算即可得到结果．此题考查了有理数的加减混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．3.(+6.2)−(+4.6)−(−3.6)−(−2.8)【答案】解：(+6.2)−(+4.6)−(−3.6)−(−2.8)=6.2−4.6+3.6+2.8=12.6−4.6=8．【解析】本题考查了有理数的减法,熟记运算法则是解题的关键.根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．4. 计算：(1)(−234)+(−112) (2)(−45)+(+23)(3)23+(−17)+(+7)+(−13)(4)13+(−34)+(−13)+(−14)+1819(5)(−2.6)+(−3.4)+(+2.3)+1.5+(−2.3)(6)a −12与b +8互为相反数,求a 与b 的和．【答案】解：(1)(−234)+(−112)=−414(2)(−45)+(+23)=−45+23=−22(3)23+(−17)+(+7)+(−13)=6+7−13=0(4)13+(−34)+(−13)+(−14)+1819=(13−13)−(34+14)+1819=0−1+1819=−119(5)(−2.6)+(−3.4)+(+2.3)+1.5+(−2.3)=−6+2.3−2.3+1.5=−4.5(6)∵a −12与b +8互为相反数,∴(a −12)+(b +8)=0,∴a +b =4．【解析】(1)(2)(3)(5)根据有理数的加法的运算方法,求出每个算式的值各是多少即可．(4)应用加法交换律和加法结合律,求出算式的值是多少即可．(6)根据a −12与b +8互为相反数,可得：(a −12)+(b +8)=0,据此求出a 与b 的和是多少即可．此题主要考查了有理数的加法的运算方法,以及相反数的含义和求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确有理数的加法法则．5. ①(−525)−(−2.25)−(−235)−(+534)；②(5−12)−(13−5)．③0−(−2)+(−7)−(+1)+(−10)；④−0.5−537−1+337−412+213．【答案】解：①(−525)−(−2.25)−(−235)−(+534)=(−525+235)−(−2.25+534) =−245−3.5 =−6310；②(5−12)−(13−5)=−7−8=−15；③0−(−2)+(−7)−(+1)+(−10)=2−7−1−10=−16④−0.5−537−1+337−412+213=(−0.5−1−412)+(−537+337)+213=−6−2+213=−8+213 =−523．【解析】此题主要考查了有理数的加减混合运算,要熟练掌握,注意运算顺序,注意加法运算定律的应用．①④应用加法交换律和加法结合律,求出每个算式的值各是多少即可．②③根据有理数的加减混合运算的运算方法,求出每个算式的值各是多少即可．6. 计算：12+(−23)+47+(−12)+(−13)．【答案】解：原式=[12+(−12)]+[(−23)+(−13)]+47=0−1+47=−37．【解析】利用加法结合律变形后,相加即可得到结果．此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键．7. 计算(1)(−99)+(−103)(2)(−0.25)+(+34)(3)(+234)+(−2.75)(4)(−518+(−16))(5)(−14)+(−12)+(+12)+34(6)(+23)+(−25)+(+17)+(−14)(7)338+(−1.75)+258+(+1.75)+(−76)【答案】解：(1)原式=−202；(2)原式=−0.25+0.75=0.5；(3)原式=2.75−2.75=0；(4)原式=−818=−49；(5)原式=−26+46=20；(6)原式=40−39=1；(7)原式=338+258+1.75−1.75−76=296．【解析】此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键．(1)原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果；(2)原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果；(3)原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果；(4)原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果；(5)原式结合后,相加即可得到结果；(6)原式结合后,相加即可得到结果；(7)原式结合后,相加即可得到结果．8.计算：|−6|−7+(−3).【答案】解：原式=6−7+(−3)=(+6)+(−7)+(−3)=(+6)+(−10)=−4．【解析】本题主要考查了有理数的加减法和绝对值的知识点,解答此题的关键是熟练掌握有理数的加减法和绝对值的运算法则,先去绝对值符号,再算加减,即可解答．9.计算：517−(+9)−12−(−1217).【答案】解：517−(+9)−12−(−1217)=517−(−1217)−9−12=1−21=−20【解析】此题主要考查了有理数的减法,要熟练掌握,注意加法交换律和加法结合律的应用．根据有理数的减法的运算方法,应用加法交换律和加法结合律,求出算式的值是多少即可．10. (1)计算：10+[(−10)+(−5)] (2)(−27)−(−123)−(+57)−113【答案】(1)原式=10−10−5=−5；(2)原式=−27−57+53−43=−1+13=−23． 【解析】此题主要考查有理数的加减运算,熟练掌握法则和灵活运用运算律是解题的关键．(1)相反数的和为0,因此利用加法结合律计算简便；(2)利用同分母的分数相加计算,然后再相加即可．11. 用适当方法计算：(1)0.36+(−7.4)+0.5+(−0.6)+0.14；(2)(−51)+(+12)+(−7)+(−11)+(+36)；(3)(−3.45)+(−12.5)+(+19.9)+(+3.45)+(−7.5)；(4)334+(−816)+(+212)+(−156)； (5)+734+(−958)+(−512)+38+(−412). 【答案】解：(1)0.36+(−7.4)+0.5+(−0.6)+0.14=(0.36+0.14+0.5)+(−7.4−0.6)=1−8=−7；(2)(−51)+(+12)+(−7)+(−11)+(+36)=−69+48=−21；(3)(−3.45)+(−12.5)+(+19.9)+(+3.45)+(−7.5)=(−3.45+3.45)+(−12.5−7.5)+19.9=−20+19.9=−0.1；(4)334+(−816)+(+212)+(−156) =(334+212)+(−816−156) =614−10 =−334；(5)+734+(−958)+(−512)+38+(−412) =(+734−958+38)+(−512−412) =−112−10 =−1112． 【解析】本题考查了有理数的加法,解题关键是掌握加法法则.在进行有理数加法运算时,首先判断两个加数的符号：是同号还是异号,是否有0.从而确定用哪一条法则.在应用过程中,要牢记“先符号,后绝对值”.相关运算律交换律：a +b =b +a ； 结合律(a +b)+c =a +(b +c)．(1)(3)根据加法交换律和结合律计算即可求解；(2)先同号相加,再异号相加即可求解；(4)(5)先算同分母分数,再相加即可求解．12. (1)计算：0−12+34+(−56)+23(2)计算−14+12−(−512)−512【答案】=−14+12+112+(−112)(1)解：原式=0−12+34−56+23,=−43+23+34, =−23+34,=112．(2)解：原式=−14+12+512+(−512),=−2+0,=−2．【解析】本题考查有理数的加减混合运算,根据有理数的减法法则将减法转化为加法,利用有理数的加法法则计算即可．13. 计算下列各题：(1)(−0.8)+(+1.2)+(−0.6)+(−2.4)；(2)(−0.5)+(+214)+(−912)+(+9.75)；(3)(−357)+(+15.5)+(−1727)+(−512)． 【答案】解：(1)(−0.8)+(+1.2)+(−0.6)+(−2.4)=−0.8+1.2−0.6−2.4=−2.6；(2)(−0.5)+(+214)+(−912)+(+9.75) =−12+94−192+394=(−12−192)+(94+394) =−10+12=2；(3)(−357)+(+15.5)+(−1727)+(−512) =−267+312−1217−112 =(−267−1217)+(312−112) =−21+10 =−11．【解析】本题主要考查了有理数的加减运算,关键是熟练掌握有理数加减运算法则．(1)先去括号,再进行加减运算即可；(2)先去括号并将小数化为分数,再进行加减运算即可；(3)先去括号并将小数化为分数,再进行加减运算即可．14. 计算：(1)−3−5+4；(2)14−(−12)+(−25)−17；(3)−235−(+74)−(−612)+(−710)−(−0.3)．【答案】解：(1)原式=−8+4=−4；(2)原式=14+12−25−17=−16；(3)原式=−235+(−74+264)+(−710+310) =−235+194−25=−3+19 4=134．【解析】本题考查有理数的加减混合运算,掌握运算法则是解题关键．(1)从左向右依次计算即可；(2)将减法转化为加减,再计算即可；(3)利用运算律先计算同分母的分数,再计算即可．15.(1)比较下列各式的大小：|5|+|3|______|5+3|,|−5|+|−3|______|(−5)+(−3)|,|−5|+|3|______|(−5)+3|,|0|+|−5|______|0+(−5)|…(2)通过(1)的比较、观察,请你猜想归纳：当a、b为有理数时,|a|+|b|______|a+b|.(填入“≥”、“≤”、“>”或“<”)(3)根据(2)中你得出的结论,求当|x|+|−2|=|x−2|时,直接写出x的取值范围．【答案】(1)=；=；>；=；(2)≥；(3)根据(2)中你得出的结论,当|x|+|−2|=|x−2|时,x的取值范围x≤0．【解析】解：(1))比较下列各式的大小：|5|+|3|=|5+3|,|−5|+|−3|=|(−5)+(−3)|,|−5|+|3|>|(−5)+3|,|0|+|−5|=|0+(−5)|…(2)通过(1)的比较、观察,请你猜想归纳：当a、b为有理数时,|a|+|b|≥|a+b|.(填入“≥”、“≤”、“>”或“<”)故答案为：(1)=；=；>；=(2)≥(3)见答案．【分析】(1)利用绝对值的代数意义化简,判断即可；(2)归纳总结得到一般性规律,写出即可；(3)判断得到x的范围即可．此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简|c|−|a|+|−b|+|−a|．【答案】解：由题意得：b<c<−1<0<1<a,∴原式=−c−a−b+a=−c−b．【解析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负,利用绝对值的代数意义化简,去括号合并即可得到结果．此题考查了有理数加减混合运算,数轴,以及绝对值,熟练掌握各自的意义是解本题的关键．17.计算：|13−14|+|14−15|+⋯+|119−120|.【答案】解：原式=13−14+14−15+⋯+119−120=13−120=1760．【解析】原式利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果．此题考查了有理数的加减混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.若a、b都是有理数,且|ab−2|+|a−1|=0,求1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯⋯+1(a+2017)(b+2017)的值。

1.4 有理数的加减1．有理数的加法(1)有理数的加法法则①同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．②异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数与零相加，仍得这个数．(2)两个有理数相加的步骤第一步：有理数的加法法则分三种情况，进行有理数加法时，要先区别是哪种情况；第二步：确定和的符号；第三步：求每个加数的绝对值；第四步：根据具体的法则计算两个数的绝对值的和或差；第五步：写出最后的计算结果．析规律有理数的加法运算规律(1)有理数的加法法则是进行有理数运算的依据，进行加法运算时要先确定用哪条法则．(2)小学学过的加法中，和一定大于每一个加数，在数的范围扩大到有理数以后，这个结论就不成立了，只有两个正数的和必定大于每一个加数，而两个负数的和要小于每一个加数，一个非零数与零相加，得到的和等于非零加数．(3)如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数．即：如果a＋b＝0，那么a＝－b.例如：(－3)＋a＝0，则a＝3.(4)进行有理数的加法运算要遵循“一定二求三和差”的步骤，即第一步先确定和的符号，第二步再求加数的绝对值，第三步要分析确定是绝对值相加还是相减．【例1】计算：(1)(＋8)＋(＋5)；(2)(＋2.5)＋(－2.5)；(3)(－17)＋(＋9)；(4)(－4)＋0.分析：根据有理数的加法法则，两数相加，只要确定它适合有理数加法法则的哪一种情况，再根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值．解：(1)(＋8)＋(＋5)(同号两数相加)＝＋(8＋5)(取与加数相同的符号，并把绝对值相加)＝13.(2)(＋2.5)＋(－2.5)(异号两数相加，绝对值相等)＝0(和为0)．(3)(－17)＋(＋9)(异号两数相加，绝对值不等)＝－(17－9)(取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值)＝－8.(4)(－4)＋0(一个数与零相加)＝－4(仍得这个数)．2．有理数的减法(1)有理数的减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为a－b＝a＋(－b)．(2)有理数减法运算的基本步骤①将减法转化为加法；②按有理数的加法法则运算．(3)法则理解①有理数的减法，不像小学里的那样直接减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算．其关键是正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则计算．②学习有理数减法运算，关键在于处理好法则中两个“变”字，即注意两个符号的变化：一是运算符号——减号变为加号，二是性质符号——减数变成它的相反数．③其含义可以从以下两方面理解：(a)(b) ④并不是所有的减法运算都要转化为加法运算． 一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算． 解技巧 有理数的减法运算技巧 (1)可用口诀记忆法则：“减正变加负，减负变加正．” (2)带分数减法运算，可把带分数拆成整数和分数和的形式后再进行计算．(3)特别注意减法没有交换律．【例2】 计算：(1)3－(－5)；(2)(－3)－(－7)；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516； (4)5.2－(＋3.6)．分析：有理数减法运算，按照减法法则，将减法转化为加法，然后按有理数加法进行计算．在做减法转换为加法时，一定要注意符号的变换．解：(1)3－(－5)＝3＋(＋5)＝8；(2)(－3)－(－7)＝(－3)＋(＋7)＝4；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516＝⎝⎛⎭⎫－213＋⎝⎛⎭⎫－516＝－712； (4)5.2－(＋3.6)＝5.2＋(－3.6)＝1.6.3．有理数加法的运算律(1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a .(2)加法结合律：三数相加，先把前两个数相加或先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．【例3】 计算：(1)(－8)＋⎝⎛⎭⎫－212＋2＋⎝⎛⎭⎫－12＋12； (2)⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫＋45＋⎝⎛⎭⎫－12. 分析：进行三个以上的有理数加法运算时，常常运用加法的交换律和结合律，把同号的数相结合，把互为相反数的两个数相结合，把同号的数中的同分母的分数相结合，以达到计算简便、迅速的目的．解：(1)原式＝(2＋12)＋⎣⎡⎦⎤(－8)＋⎝⎛⎭⎫－212＋⎝⎛⎭⎫－12＝14＋(－11)＝3； (2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋45＝－1＋0＋45＝－15. 4.有理数的加、减混合运算(1)加减法统一成加法①有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式．如：(－12)－(＋8)＋(－6)－(－5)＝(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)．②在和式里，通常把各个加数的括号省略不写，写成省略加号的和的形式．如：(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)＝－12－8－6＋5.③和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“负12，负8，负6，正5的和”，即把各个数中间的符号作为后面的这个数的性质符号来读；二是按运算意义读作“负12减8减6加5”，即把各个数中间的符号作为运算符号来读．(2)有理数加、减混合运算的方法和步骤由于减法可以转化为加法，所以在进行有理数的加减混合运算时，首先要将混合运算的式子写成省略括号的和式的形式，然后按加法法则和运算律进行简便运算． 第一步：用减法法则将减法转化为加法； 第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算． (3)进行有理数的加减混合运算的注意事项 ①交换加数的位置时，一定要连同加数前的符号一起移动； ②如果需要添括号，一定要连同加数前的符号一起括进括号内，并将原来已省略的括号写出来； ③省略加号和括号的“和”与小学里的“和”是有区别的，小学里的“和”是一个具体的数，并且和一定不小于任何一个加数，而这里的“和”则是表示的是有理数的加法运算，也表示相加的结果．有理数的“和”可以大于任何一个加数，也可以小于任何一个加数，和可能是正数、负数或零． 【例4－1】 把下列各式写成省略加号的和的形式：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)．分析：先统一成加法，再省略括号和加号．在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化．解：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)＝－26＋(＋7)＋(－10)＋(＋3)＝－26＋7－10＋3. (2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)＝(－30)＋(＋8)＋(－12)＋(＋5)＝－30＋8－12＋5.【例4－2】 计算：(1)0－327－6＋1167－537； (2)⎝⎛⎭⎫－12－⎝⎛⎭⎫－16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45； (3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18；(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5.分析：(1)本题是省略括号和加号后的和的形式，在五个加数中，考虑到－327，1167，－537三个加数分母都是7，便于运算，所以把这三个加数放在一起；(2)把加减混合运算统一成加法运算后结果为⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45，考虑到⎝⎛⎭⎫－12，⎝⎛⎭⎫－23，⎝⎛⎭⎫＋16便于通分，把它们结合起来，可使计算较为简便；(3)统一成加法后，可采用同号结合法，即把正数与正数、负数与负数分别相加；(4)统一成加法后，可采用凑整结合法，即把相加得整数的加数先结合．解：(1)0－327－6＋1167－537＝(0－6)＋⎝⎛⎭⎫－327＋1167－537 ＝－6＋⎝⎛⎭⎫＋317＝－267. (2)⎝⎛⎭⎫－12－⎝⎛⎭⎫－16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝(－1)＋⎝⎛⎭⎫－45＝－145. (3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18＝－5＋21－12＋8＋4－18＝(21＋8＋4)＋(－5－12－18)＝33－35＝－2.(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5＝10.4－7.5＋12.7＋3.6－1.7－2.5＝(10.4＋3.6)＋(12.7－1.7)＋(－7.5－2.5)＝14＋11－10＝15.5．含有字母的有理数加法的运算我们可以用字母表示有理数加法的运算法则：①同号两数相加：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＝＋(|a |＋|b |)；若a ＜0，b ＜0，则a ＋b ＝－(|a |＋|b |)．②异号两数相加：若a ＞0，b ＜0，且|a |＝|b |，则a ＋b ＝0；若a ＞0，b ＜0，且|a |＞|b |，则a ＋b ＝＋(|a |－|b |)；若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a ＋b ＝－(|b |－|a |)．③一个数与0相加：a ＋0＝a .【例5－1】 根据加法法则填空：(1)如果a ＞0，b ＞0，那么a ＋b __________0；(2)如果a ＜0，b ＜0，那么a ＋b __________0；(3)如果a ＞0，b ＜0，|a |＞|b |，那么a ＋b ________0；(4)如果a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，那么a ＋b ________0.答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜【例5－2】 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，且|a |＞|b |＞|c |，则(1)|a ＋(－b )|＝__________；(2)|a ＋b |＝__________；(3)|a ＋c |＝__________；(4)|b ＋(－c )|＝__________；(5)|b ＋c |＝__________.答案：(1)|a |＋|b | (2)|a |－|b | (3)|a |＋|c | (4)|b |＋|c | (5)|b |－|c |6.有理数加减混合运算的注意事项(1)运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交换，千万不要把符号漏掉．(2)应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便．(3)若分数、小数混在一块运算时，可以把它们统一成分数或小数再运算．(4)如果有大括号和小括号应当先进行小括号里的运算，再进行大括号里的运算．反之，进行有理数的加减混合运算，有时候需要添加括号，此时一定要连同加数的符号一起括进括号内，并将原来已省略的加号写进来．辨误区 拆分负的带分数负的带分数拆分为整数与分数的和时，易将负整数与负分数的和错拆为负整数与正分数的和．【例6】 计算：(1)(－837)＋(－7.5)＋(－2147)＋(＋312)； (2)⎪⎪⎪⎪5111－3417＋4417－111.分析：把分母不同的分数的加减混合运算统一成加法之后，应用运算律使同分母分数相加可以简化运算．解：(1)(－837)＋(－7.5)＋(－2147)＋(＋312) ＝－837－7.5－2147＋312＝－837－2147－7.5＋312＝(－837－2147)－(7.5－312) ＝－30－4＝－34.(2)⎪⎪⎪⎪5111－3417＋4417－111＝5111－3417＋4417－111＝5111－111－3417＋4417＝(5111－111)－(3417－4417) ＝5＋1＝6.7．有理数加减法的运用学习有理数的加减法后，可以和前面学过的数轴、相反数、绝对值综合出题，把有理数的知识融合得更紧密，理解得更深刻．(1)有理数的加法与绝对值在有些计算中，含有绝对值符号，这就要用绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再按有理数混合运算法则进行计算．几个非负数的和等于0，则每个加数必等于0.(2)有理数的加法与有理数的大小比较学习加法后，在比较大小的数中，出现了和的形式或差的形式(差可以化成和)．特别是以字母表示的数．这就需要用加法法则来判断数的正负，或判断数对应的点在数轴上的位置关系，从而确定两个数的大小关系．(3)有理数加法在实际问题中的应用在实际问题中，要应用有理数的加法法则求解问题，注意运算技巧的使用．【例7－1】 若|x －3|与|y ＋3|互为相反数，求x ＋y 的值．解：根据题意得|x －3|＋|y ＋3|＝0.则x －3＝0，y ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝－3.所以x ＋y ＝3＋(－3)＝0.【例7－2】 一小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈利为正)：128.3元，－25.6元，－15元，－7元，36.5元，98元，27元，这一周总的盈亏情况如何？分析：正数表示盈利，负数表示亏损，这些数的代数和就是总的盈亏情况，如果代数和为正，则总的情况是盈利，否则是亏损．解：128.3＋(－25.6)＋(－15)＋(－7)＋36.5＋98＋27＝(128.3＋36.5＋98＋27)＋(－25.6－15－7)＝289.8－47.6＝242.2.答：一周总的盈亏情况是盈利242.2元．【例7－3】 一农业银行某天上午9：00～12：00办理了7笔储蓄业务；取出9.5万元，存入5万元，取出8万元，存入12万元，存入25万元，取出10.25万元，取出2万元．这天上午该银行的现金增减情况怎样？分析：可以设存入为正，取出为负，用正、负数分别表示这7笔业务，求它们的和即可判断现金的增减情况．若结果为正数，则表明现金增加了；若结果为负数，则表明现金减少了．解：(－9.5)＋(＋5)＋(－8)＋(＋12)＋(＋25)＋(－10.25)＋(－2)＝[(－9.5)＋(－8)＋(－10.25)＋(－2)]＋[5＋(＋12)＋(＋25)]＝－29.75＋42＝12.25(万元)．答：这天上午该银行的现金增加了12.25万元．8.有理数减法的应用(1)有理数减法的应用比较常见的题型有：计算高度，计算温差，计算销售利润，计算距离，计算时差等．有理数减法的应用题虽然比较简单，但却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”．因此，我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练，提高自己的能力．(2)利用有理数减法求数轴上两点间的距离求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一，数轴上任意两点之间的距离，都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示．【例8－1】如图所示的数轴上，表示－2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是______，数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是______．解析：数轴上表示－2和5两点之间的距离是|－2－5|或|5－(－2)|；数轴上表示2和－5两点之间的距离是|2－(－5)|或|－5－2|；数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是|－1－(－3)|或|－3－(－1)|.答案：77 2【例8－2】以地面为基准，A处高为＋2.5米，B处高为－17.8米，C处高为－32.4米，问：(1)A处比B处高多少米？(2)B处与C处哪个地方高？高多少米？解：(1)＋2.5－(－17.8)＝2.5＋17.8＝20.3(米)，所以A处比B处高20.3米．(2)－17.8－(－32.4)＝－17.8＋32.4＝14.6(米)，所以B处比C处高，高了14.6米．。

1.4有理数乘除混合运算（1）教学目标知识与技能：通过复习课，进一步夯实有理数的加减乘除法的运算以及运算法则。

过程与方法：通过复习同级混合运算，为有理数的乘方的学习打下基础。

情感态度、价值观：在复习课的学习过程中，培养学生的小组合作能力。

重点：有理数各种运算的运算法则难点：有理数的四则混合运算教学方法：小组合作，教师适当指导，点评教学准备：班班通、彩色粉笔教学过程一、学生阅读教材，并回答下列问题1、有理数的加法法则2、有理数的减法法则3、有理数的乘法法则4、有理数的除法法则5、有理数同级四则混合运算的运算顺序二、小组合作，完成练习1、计算：（1）－5－9+3；（2）10－17+8；（3）－3－4+19－11；（4）－8+12－16－23（5）（+3.41）－（－0.59）（6）—9+（—3 ）+32、计算：(1) - 4.2+5.7-8.4+10；(2) 6.1-3.7- 4.9+1.83、计算：（1）（—36）—（—25）—（+36）+（+72）（2）（—8）—（—3）+（+5）—（+9）；4、计算：（1）12－（－18）+（－7）－15；（2）(2)－40－28－（－19）+（－24）－（－32）；（3）4.7－（－8.9）－7.5+（－6）；（4）(－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 )三、课堂小结有理数加减混合运算方法1：有理数加减混合运算时先减法统一为加法然后计算方法2：有理数加减混合运算时先省略括号（或省略加号）然后计算四、达标测评5、有理数加法（1）、（－9）+（－13）（2）、（－12）+27（3）、（－28）+（－34）（4）、67+（－92）（5）、(－27.8)+43.9 （6）、（－23）+7+（－152）+65 （8）、38+（－22）+（+62）+（－78）（9）、（－8）+（－10）+2+（－1）（10）、（－）+0+（+ ）+（－）+（－）（11）、（－8）+47+18+（－27）（12）、（－5）+21+（－95）+29（13）、（－8.25）+8.25+（－0.25）+（－5.75）+（－7.5）（14）、6+（－7）+（9）+2（15）、72+65+（-105）+（－28）（16）、（－23）+|－63|+|－37|+（－77）（17）、（+18）+（－32）+（－16）+（+26）（18）、19+（－195）+47（19）、（－0.8）+（－1.2）+（－0.6）+（－2.4）6、有理数减法（1）、7－9（2）、―7―9（3）、0－(－9)（4）、(－25)－(－13)（5）、8.2―(―6.3)（6）、(－3 )－5（7）、(－12.5)－(－7.5)（8）、(－26)―(－12)―12―18（9）、(－20)－(+5)－(－5)－(－12)（10）、(－23)―(－59)―(－3.5)（11）、|－32|―(－12)―72―(－5)（12）、（+6.1）―（－4.3）―（－2.1）―5.1（13）、（－）―(－1 )―(－1 )―(+1.75)（14）、(－3 )―(－2) ―(－1 )―(－1.75)（15）、－8 －5 ＋4 －3（16）、0.5+（－）－（－2.75）+（17）、（+4.3）－（－4）+（－2.3）－（+4）（18）、（－0.5）－（－3 ）＋6.75－5五、课堂检测能力培养与测试微课堂讲解（四）针对练习部分六、布置作业：课本３６页习题１.4的第５题、第６题．七、中考考点分析：中考要求学生掌握有理数的加减乘除混合运算，但并不是刻意求难求繁。

有理数的减法1．有理数减法的法则(1)有理数减法的意义与小学学过的减法意义相同，已知两个数的和与其中的一个加数求另一个加数的运算叫做减法．减法是加法的逆运算．但是有理数的减法不像小学里那样直接减，而是把减法转化为加法，再按加法法则和运算律进行运算．(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为：a－b＝a＋(－b)，a－0＝a，0－a＝0＋(－a)．(3)有理数减法运算的基本步骤是：①将减法转化为加法；②按有理数加法法则运算．(4)有理数的减法法则实际上是运算的转化，它体现了数学中的一种重要思想——化归思想，将减法运算化归为加法运算来完成．学习时注意理解以下几点：①弄清减数是什么它的相反数又是什么例如，在3－5中，减数是5而不是－5，运用法则转化为加法运算后是：3－5＝3＋(－5)；同样地，在3－(－5)中，减数是－5而不是5，转化为加法运算后是：3－(－5)＝3＋(＋5)或3＋5；②将减法运算转化为加法运算时，只改变减数的符号，而被减数不变．例如，运用法则把(－6)－(－8)转化为加法运算时，被减数－6不变，减数－8改变符号为＋8(或8)，减号“－”转化为加号“＋”，即(－6)－(－8)＝(－6)＋(＋8)，不要错误地做成(＋6)＋(＋8)；③并不是所有的减法运算都要转化为加法运算．例如，计算15－5时，运用小学里学过的方法可以直接得出结果为10，而运用法则计算则要先转化为加法运算，然后再运用有理数加法法则进行计算，即15－5＝15＋(－5)＝10，如此运算反而显得复杂；④一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算．例如，0－(－2)＝0＋2＝2；3－(－3)＝3＋3＝6；(－2)－(－5)＝(－2)＋5＝3；(－6)－6＝(－6)＋(－6)＝－12；3－8＝3＋(－8)＝－5.谈重点 转化思想在减法运算中的应用 转化思想是中学数学中重要的思想方法之一，减法转化为加法便体现了这一思想．【例1】 计算：(1)(－9)－0；(2)0－(－5)；(3)0－5；(4)5－(－6)；(5)(－－(－7)；(6)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－23. 分析：回忆有理数的减法法则，把有理数的减法转化为加法时，正数前面的正号通常省略不写，但负号不能省略．解：(1)(－9)－0＝(－9)＋0＝－9；(2)0－(－5)＝0＋(＋5)＝5；(3)0－5＝0＋(－5)＝－5；(4)5－(－6)＝5＋(＋6)＝11；(5)(－－(－7)＝(－＋(＋7)＝；(6)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－76. 2．有理数减法的应用有理数减法的应用比较常见的题型有(1)计算高度；(2)计算温差；(3)计算销售利润；(4)计算距离；(5)计算时差等．有理数减法的应用题虽然比较简单，却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”．因此，我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练，提高自己的能力．【例2】 下表列出了外国几个城市与北京的时间差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的数值)(1)(2)如果现在的纽约时间是7：00，那么现在的北京时间是多少(3)远在芝加哥的姑妈，在当地时间是7：00时想给在巴黎的舅妈打 ，你认为合适吗分析：通过审题发现：同一时刻，纽约时间相当于在北京时间的基础上，减去13个小时；相反，同一时刻，北京时间相当于在纽约时间的基础上，加上13个小时；同理，同一时刻，芝加哥时间相当于在巴黎时间的基础上减去7个小时．解：(1)因为7－13＝7＋(－13)＝－6，相当于18点(－6＋24＝18)，所以北京时间7：00时，纽约时间是前一天的18：00；(2)因为7＋13＝20，所以纽约时间7：00时，北京时间是当天的20：00；(3)我认为不合适．理由如下：因为7－7＝7＋(－7)＝0，所以巴黎时间7：00时，芝加哥时间是零点，此时是睡眠时间，不适合通．3．有理数减法运算中明确符号“－”的含义我们知道，“－”号在小学里就是减号，表示两个数做减法运算，在有理数中，符号“－”有三种含义：减号、负号、表示一个数的相反数．那么，在一个式子中，遇到“－”号时应按哪种含义来理解呢例如，计算－(－5)－(＋8)时，式子中有三个“－”号，根据本题整体情况，第一个“－”号应理解为取(－5)的相反数，第二个“－”号应理解为负号，第三个“－”号可理解为减号．这样－(－5)－(＋8)＝(＋5)＋(－8)＝－3.再如，－9－5中，第一个“－”号理解为负号最为恰当，第二个“－”号可有两种理解，一是理解为负号，此时，－9－5就表示－9与－5省略了加号的和，即－9－5＝－9＋(－5)＝－14；再是理解为减号，据减法法则仍有－9－5＝－9＋(－5)＝－14.谈重点“－”号的双重身份“－”号有两个身份——性质符号、运算符号，“一号一用”是正确计算的前提．对于“－”号的含义，要结合题目的具体情况来确定，但要注意“一号一用”，即某个“－”号定为某种用途后，它就不能再来做另一种用途．【例3－1】计算：(1)(－15)－(－12)＝__________；(2)18－23＝__________；(3)25－(－25)＝__________；(4)96－69＝__________；(5)(3－7)－(9－12)＝__________.解析：(1)减数是－12，根据法则把减法化为加法时，被减数－15不变，减数－12变为它的相反数12，得(－15)－(－12)＝(－15)＋12＝－3；(2)减数是23，把“18－”化为“18＋”时，减数23要变为它的相反数－23，故18－23＝18＋(－23)＝－5；(3)被减数是25，减数是－25，先把减法运算转化为加法运算，得25－(－25)＝25＋25＝50；(4)直接用96减去69得27就可以了；(5)根据运算顺序，要先算括号里面的，再把结果相减．答案：(1)－3(2)－5(3)50(4)27(5)－1.【例3－2】计算：(1)－(－5)－(－7)－5－(－6)；(2)[(－4)－(＋8)]－[3－(－3)]．分析：(1)算式中的“－”号分别是一个数(－5)的相反数、负号、减号、负号、减号、减号、负号；(2)负号、减号、减号、减号、负号．解：(1)－(－5)－(－7)－5－(－6)＝5＋(＋7)－5＋(＋6)＝5＋7＋(－5)＋6＝13；(2)[(－4)－(＋8)]－[3－(－3)]＝[(－4)＋(－8)]－[3＋(＋3)]＝－12－6＝－18.4.“转化—求解”的思想方法有理数的减法是转化为加法来运算的，这种“转化－求解”的思想方法，是本节课应当重点掌握的．这与有理数绝对值的化简方法是一致的，例如求一个数的绝对值就要转化为求这个数本身或这个数的相反数．有理数的大小比较也可以转化为有理数的减法运算．我们知道较大的数减去较小的数，结果一定是正数；反之，较小的数减去较大的数，结果一定为负数；若两数相等，结果一定为0.即若a＞b，则a－b＞0；若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0.表现在数轴上就是右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数，结果为正数；反之，左边的点所表示的数减去右边的点所表示的数，结果为负数．解技巧求差法利用求两个有理数的差的方法可以比较有理数的大小．若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b；若a－b＝0，则a＝b.【例4－1】如果|a|＝3，|b|＝1，且a，b异号，求|a－b|的值．分析：本题是有理数减法与相反数和绝对值的综合，解题时应仔细思考它们各自的意义和运算的方法．绝对值等于3的有理数有两个，它们是3和－3；绝对值等于1的数也有两个，它们是1和－1.又根据a，b异号，可知a＝3时，b＝－1；a＝－3时，b＝1.从而求出|a－b|的值．解：∵|a|＝3，∴a＝3或－3.∵|b|＝1，∴b＝1或－1.又∵a，b异号，∴|a－b|＝|3－(－1)|＝4，或|a－b|＝|－3－1|＝4.综上|a－b|＝4.【例4－2】用“＞”或“＜”填空：(1)如果a＞0，b＜0，那么a－b______0，a______b；(2)如果a＜0，b＞0，那么a－b______0，a______b；(3)如果a＜0，b＜0，那么a－(－b)______0，a______－b；(4)如果a＝0，b＜0，那么a－(－b)______0，a______－b.解析：先按照减法法则把减法变成加法，代入特殊值求差，再根据两个数的差与其大小之间的关系判断两数的大小关系．答案：(1)＞＞(2)＜＜(3)＜＜(4)＜＜5．利用有理数减法求数轴上两点间的距离有理数的减法有着广泛的应用，求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一．数轴上任意两点之间的距离，都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示．点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A，B两点之间的距离表示为|AB|.(1)当两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|.(2)当A，B两点都不在原点时，①点A，B都在原点的右边，如图，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②点A，B都在原点的左边，如图，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③点A，B在原点的两边，如图，|AB|＝|OA|＋|OB|＝|a|＋|b|＝a＋(－b)＝|a－b|.【例5－1】如图所示的数轴上，表示－2和5的两点之间的距离是__________，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是__________，数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是__________．解析：数轴上表示－2和5两点之间的距离是|－2－5|或|5－(－2)|；数轴上表示2和－5两点之间的距离是|2－(－5)|或|－5－2|；数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是|－1－(－3)|或|－3－(－1)|.答案：77 2【例5－2】点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|，下面来探究在数轴上A，B两点之间的距离|AB|如何用数a，b来表示．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；(2)数轴上表示x和－3的两点之间的距离表示为__________；(3)数轴上表示a，b的两点之间的距离表示为________．解析：本题阅读部分将计算数轴上两点A、B之间的距离，先由特殊到一般地展示其发生发展的过程，然后归纳概括出公式|AB|＝|a－b|，即数轴上任意两点之间的距离用表示这两点的有理数的差的绝对值表示．再根据这个公式解答问题．答案：(1)334(2)|x＋3|(3)|a－b|析规律数轴上两点间的距离公式数轴上两点A，B之间的距离公式是|AB|＝|a－b|，利用此公式可以求出数轴上任意两点之间的距离．解题时，注意求两个负数之间的距离时，要添加括号．。

1.4 有理数的加减1．有理数的加法(1)有理数的加法法则①同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．②异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数与零相加，仍得这个数．(2)两个有理数相加的步骤第一步：有理数的加法法则分三种情况，进行有理数加法时，要先区别是哪种情况；第二步：确定和的符号；第三步：求每个加数的绝对值；第四步：根据具体的法则计算两个数的绝对值的和或差；第五步：写出最后的计算结果．析规律有理数的加法运算规律(1)有理数的加法法则是进行有理数运算的依据，进行加法运算时要先确定用哪条法则．(2)小学学过的加法中，和一定大于每一个加数，在数的范围扩大到有理数以后，这个结论就不成立了，只有两个正数的和必定大于每一个加数，而两个负数的和要小于每一个加数，一个非零数与零相加，得到的和等于非零加数．(3)如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数．即：如果a＋b＝0，那么a＝－b.例如：(－3)＋a＝0，则a＝3.(4)进行有理数的加法运算要遵循“一定二求三和差”的步骤，即第一步先确定和的符号，第二步再求加数的绝对值，第三步要分析确定是绝对值相加还是相减．【例1】计算：(1)(＋8)＋(＋5)；(2)(＋2.5)＋(－2.5)；(3)(－17)＋(＋9)；(4)(－4)＋0.分析：根据有理数的加法法则，两数相加，只要确定它适合有理数加法法则的哪一种情况，再根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值．解：(1)(＋8)＋(＋5)(同号两数相加)＝＋(8＋5)(取与加数相同的符号，并把绝对值相加)＝13.(2)(＋2.5)＋(－2.5)(异号两数相加，绝对值相等)＝0(和为0)．(3)(－17)＋(＋9)(异号两数相加，绝对值不等)＝－(17－9)(取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值)＝－8.(4)(－4)＋0(一个数与零相加)＝－4(仍得这个数)．2．有理数的减法(1)有理数的减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为a－b＝a＋(－b)．(2)有理数减法运算的基本步骤①将减法转化为加法；②按有理数的加法法则运算．(3)法则理解①有理数的减法，不像小学里的那样直接减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算．其关键是正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则计算．②学习有理数减法运算，关键在于处理好法则中两个“变”字，即注意两个符号的变化：一是运算符号——减号变为加号，二是性质符号——减数变成它的相反数．③其含义可以从以下两方面理解：(a)(b)④并不是所有的减法运算都要转化为加法运算．一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算． 解技巧 有理数的减法运算技巧(1)可用口诀记忆法则：“减正变加负，减负变加正．”(2)带分数减法运算，可把带分数拆成整数和分数和的形式后再进行计算．(3)特别注意减法没有交换律．【例2】 计算：(1)3－(－5)；(2)(－3)－(－7)；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516； (4)5.2－(＋3.6)．分析：有理数减法运算，按照减法法则，将减法转化为加法，然后按有理数加法进行计算．在做减法转换为加法时，一定要注意符号的变换．解：(1)3－(－5)＝3＋(＋5)＝8；(2)(－3)－(－7)＝(－3)＋(＋7)＝4；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516＝⎝⎛⎭⎫－213＋⎝⎛⎭⎫－516＝－712； (4)5.2－(＋3.6)＝5.2＋(－3.6)＝1.6.3．有理数加法的运算律(1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a .(2)加法结合律：三数相加，先把前两个数相加或先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．【例3】 计算：(1)(－8)＋⎝⎛⎭⎫－212＋2＋⎝⎛⎭⎫－12＋12； (2)⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫＋45＋⎝⎛⎭⎫－12. 分析：进行三个以上的有理数加法运算时，常常运用加法的交换律和结合律，把同号的数相结合，把互为相反数的两个数相结合，把同号的数中的同分母的分数相结合，以达到计算简便、迅速的目的． 解：(1)原式＝(2＋12)＋⎣⎡⎦⎤(－8)＋⎝⎛⎭⎫－212＋⎝⎛⎭⎫－12＝14＋(－11)＝3； (2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋45＝－1＋0＋45＝－15. 4.有理数的加、减混合运算(1)加减法统一成加法①有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式．如：(－12)－(＋8)＋(－6)－(－5)＝(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)．②在和式里，通常把各个加数的括号省略不写，写成省略加号的和的形式．如：(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)＝－12－8－6＋5.③和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“负12，负8，负6，正5的和”，即把各个数中间的符号作为后面的这个数的性质符号来读；二是按运算意义读作“负12减8减6加5”，即把各个数中间的符号作为运算符号来读．(2)有理数加、减混合运算的方法和步骤由于减法可以转化为加法，所以在进行有理数的加减混合运算时，首先要将混合运算的式子写成省略括号的和式的形式，然后按加法法则和运算律进行简便运算．第一步：用减法法则将减法转化为加法；第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算．(3)进行有理数的加减混合运算的注意事项①交换加数的位置时，一定要连同加数前的符号一起移动；②如果需要添括号，一定要连同加数前的符号一起括进括号内，并将原来已省略的括号写出来； ③省略加号和括号的“和”与小学里的“和”是有区别的，小学里的“和”是一个具体的数，并且和一定不小于任何一个加数，而这里的“和”则是表示的是有理数的加法运算，也表示相加的结果．有理数的“和”可以大于任何一个加数，也可以小于任何一个加数，和可能是正数、负数或零．【例4－1】 把下列各式写成省略加号的和的形式：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)．分析：先统一成加法，再省略括号和加号．在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化．解：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)＝－26＋(＋7)＋(－10)＋(＋3)＝－26＋7－10＋3.(2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)＝(－30)＋(＋8)＋(－12)＋(＋5)＝－30＋8－12＋5.【例4－2】 计算：(1)0－327－6＋1167－537； (2)⎝⎛⎭⎫－12－⎝⎛⎭⎫－16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45； (3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18；(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5.分析：(1)本题是省略括号和加号后的和的形式，在五个加数中，考虑到－327，1167，－537三个加数分母都是7，便于运算，所以把这三个加数放在一起；(2)把加减混合运算统一成加法运算后结果为⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45，考虑到⎝⎛⎭⎫－12，⎝⎛⎭⎫－23，⎝⎛⎭⎫＋16便于通分，把它们结合起来，可使计算较为简便；(3)统一成加法后，可采用同号结合法，即把正数与正数、负数与负数分别相加；(4)统一成加法后，可采用凑整结合法，即把相加得整数的加数先结合．解：(1)0－327－6＋1167－537＝(0－6)＋⎝⎛⎭⎫－327＋1167－537 ＝－6＋⎝⎛⎭⎫＋317＝－267. (2)⎝⎛⎭⎫－12－⎝⎛⎭⎫－16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝(－1)＋⎝⎛⎭⎫－45＝－145. (3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18＝－5＋21－12＋8＋4－18＝(21＋8＋4)＋(－5－12－18)＝33－35＝－2.(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5＝10.4－7.5＋12.7＋3.6－1.7－2.5＝(10.4＋3.6)＋(12.7－1.7)＋(－7.5－2.5)＝14＋11－10＝15.5．含有字母的有理数加法的运算我们可以用字母表示有理数加法的运算法则：①同号两数相加：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＝＋(|a |＋|b |)；若a ＜0，b ＜0，则a ＋b ＝－(|a |＋|b |)．②异号两数相加：若a ＞0，b ＜0，且|a |＝|b |，则a ＋b ＝0；若a ＞0，b ＜0，且|a |＞|b |，则a ＋b ＝＋(|a |－|b |)；若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a ＋b ＝－(|b |－|a |)．③一个数与0相加：a ＋0＝a .【例5－1】 根据加法法则填空：(1)如果a ＞0，b ＞0，那么a ＋b __________0；(2)如果a ＜0，b ＜0，那么a ＋b __________0；(3)如果a ＞0，b ＜0，|a |＞|b |，那么a ＋b ________0；(4)如果a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，那么a ＋b ________0.答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜【例5－2】 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，且|a |＞|b |＞|c |，则(1)|a ＋(－b )|＝__________；(2)|a ＋b |＝__________；(3)|a ＋c |＝__________；(4)|b ＋(－c )|＝__________；(5)|b ＋c |＝__________.答案：(1)|a |＋|b | (2)|a |－|b | (3)|a |＋|c | (4)|b |＋|c | (5)|b |－|c |6.有理数加减混合运算的注意事项(1)运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交换，千万不要把符号漏掉．(2)应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便．(3)若分数、小数混在一块运算时，可以把它们统一成分数或小数再运算．(4)如果有大括号和小括号应当先进行小括号里的运算，再进行大括号里的运算．反之，进行有理数的加减混合运算，有时候需要添加括号，此时一定要连同加数的符号一起括进括号内，并将原来已省略的加号写进来．辨误区 拆分负的带分数负的带分数拆分为整数与分数的和时，易将负整数与负分数的和错拆为负整数与正分数的和．【例6】 计算：(1)(－837)＋(－7.5)＋(－2147)＋(＋312)；(2)⎪⎪⎪⎪5111－3417＋4417－111. 分析：把分母不同的分数的加减混合运算统一成加法之后，应用运算律使同分母分数相加可以简化运算．解：(1)(－837)＋(－7.5)＋(－2147)＋(＋312) ＝－837－7.5－2147＋312＝－837－2147－7.5＋312＝(－837－2147)－(7.5－312) ＝－30－4＝－34.(2)⎪⎪⎪⎪5111－3417＋4417－111＝5111－3417＋4417－111＝5111－111－3417＋4417＝(5111－111)－(3417－4417) ＝5＋1＝6.7．有理数加减法的运用学习有理数的加减法后，可以和前面学过的数轴、相反数、绝对值综合出题，把有理数的知识融合得更紧密，理解得更深刻．(1)有理数的加法与绝对值在有些计算中，含有绝对值符号，这就要用绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再按有理数混合运算法则进行计算．几个非负数的和等于0，则每个加数必等于0.(2)有理数的加法与有理数的大小比较学习加法后，在比较大小的数中，出现了和的形式或差的形式(差可以化成和)．特别是以字母表示的数．这就需要用加法法则来判断数的正负，或判断数对应的点在数轴上的位置关系，从而确定两个数的大小关系．(3)有理数加法在实际问题中的应用在实际问题中，要应用有理数的加法法则求解问题，注意运算技巧的使用．【例7－1】 若|x －3|与|y ＋3|互为相反数，求x ＋y 的值．解：根据题意得|x －3|＋|y ＋3|＝0.则x －3＝0，y ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝－3.所以x ＋y ＝3＋(－3)＝0.【例7－2】 一小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈利为正)：128.3元，－25.6元，－15元，－7元，36.5元，98元，27元，这一周总的盈亏情况如何？分析：正数表示盈利，负数表示亏损，这些数的代数和就是总的盈亏情况，如果代数和为正，则总的情况是盈利，否则是亏损．解：128.3＋(－25.6)＋(－15)＋(－7)＋36.5＋98＋27＝(128.3＋36.5＋98＋27)＋(－25.6－15－7)＝289.8－47.6＝242.2.答：一周总的盈亏情况是盈利242.2元．【例7－3】 一农业银行某天上午9：00～12：00办理了7笔储蓄业务；取出9.5万元，存入5万元，取出8万元，存入12万元，存入25万元，取出10.25万元，取出2万元．这天上午该银行的现金增减情况怎样？分析：可以设存入为正，取出为负，用正、负数分别表示这7笔业务，求它们的和即可判断现金的增减情况．若结果为正数，则表明现金增加了；若结果为负数，则表明现金减少了．解：(－9.5)＋(＋5)＋(－8)＋(＋12)＋(＋25)＋(－10.25)＋(－2)＝[(－9.5)＋(－8)＋(－10.25)＋(－2)]＋[5＋(＋12)＋(＋25)]＝－29.75＋42＝12.25(万元)．答：这天上午该银行的现金增加了12.25万元．8.有理数减法的应用(1)有理数减法的应用比较常见的题型有：计算高度，计算温差，计算销售利润，计算距离，计算时差等．有理数减法的应用题虽然比较简单，但却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”．因此，我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练，提高自己的能力．(2)利用有理数减法求数轴上两点间的距离求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一，数轴上任意两点之间的距离，都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示．【例8－1】如图所示的数轴上，表示－2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是______，数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是______．解析：数轴上表示－2和5两点之间的距离是|－2－5|或|5－(－2)|；数轴上表示2和－5两点之间的距离是|2－(－5)|或|－5－2|；数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是|－1－(－3)|或|－3－(－1)|.答案：77 2【例8－2】以地面为基准，A处高为＋2.5米，B处高为－17.8米，C处高为－32.4米，问：(1)A处比B处高多少米？(2)B处与C处哪个地方高？高多少米？解：(1)＋2.5－(－17.8)＝2.5＋17.8＝20.3(米)，所以A处比B处高20.3米．(2)－17.8－(－32.4)＝－17.8＋32.4＝14.6(米)，所以B处比C处高，高了14.6米．。

有理数加减运算法则有理数是指可以用整数或整数分数表示的数，包括正整数、负整数、零以及正分数、负分数。

有理数的加减运算是数学中的基本运算之一，掌握有理数的加减运算法则对于学习数学具有重要意义。

下面将介绍有理数加减运算的法则和相关知识。

一、有理数的加法法则1. 同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。

即正数加正数，负数加负数，结果的绝对值等于两数的绝对值之和，符号与原数相同。

例如：3+5=8，-3+(-5)=-8。

2. 异号相加：一个正数与一个负数相加，结果的绝对值等于两数的绝对值之差，符号取绝对值大的数的符号。

例如：3+(-5)=-2，-3+5=2。

二、有理数的减法法则有理数的减法可以看作加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。

因此，有理数的减法可以转化为加法来进行计算。

例如：5-3=5+(-3)=2。

三、有理数的加减混合运算法则在有理数的加减混合运算中，可以先进行加法，然后再进行减法，也可以先进行减法，然后再进行加法。

需要注意的是，要根据运算法则先算括号内的值，再进行加减运算。

例如：3+(-5)-2=-4，-3-(-5)+2=4。

四、有理数的加减运算的性质1. 交换律：a+b=b+a，a和b为任意有理数。

2. 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，a、b、c为任意有理数。

3. 分配律：a(b+c)=ab+ac，a、b、c为任意有理数。

以上是有理数加减运算的基本法则和性质，掌握这些知识对于学习数学和解决实际问题都具有重要意义。

有理数的加减运算是数学中的基础，也是其他数学运算的基础，因此需要认真学习和掌握。

希望通过本文的介绍，能够帮助读者更好地理解和掌握有理数的加减运算法则。