例谈构造法解题(1)

例谈 构造法 在高中数学解题中的应用曾㊀智(光泽县第一中学ꎬ福建南平３５４１００)摘㊀要:高中数学新课程提出ꎬ高中数学的教学重点之一就是空间形式与数量关系ꎬ这两点数学知识是探讨研究自然规律与社会规律的基础工具.构造法ꎬ一方面ꎬ它是高中数学学习的一种重要方法ꎬ能够有效帮助学生理解空间形式与数量关系ꎻ另一方面ꎬ它也是培养学生 构造思维 的重要基础ꎬ是高中数学教育的关键之一.本文在此背景下ꎬ总结了在高中数学解题中应用 构造法 的原则ꎬ又进一步分类总结了具体应用 构造法 的解题案例ꎬ以期为我国高中数学教师开展 构造法 教学提供参考.关键词:构造法ꎻ高中数学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０３－００６０－０３收稿日期:２０２３－１０－２５作者简介:曾智(１９８４.１－)ꎬ男ꎬ福建省光泽人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高中数学知识相对于初中而言难度更高ꎬ高中生在学习中不免会面临许多难以解决的问题ꎬ尤其是高中生本身解题经验较少ꎬ解题时常常会出现无法找到题目提供的各项条件与问题间的联系的情况ꎬ进而使解题变得十分艰难[１].这种情况一方面会导致学生解题效率降低ꎬ数学考试成绩下降ꎬ另一方面也会使学生长期承受较大的学习压力ꎬ导致对数学学习的兴趣降低ꎬ甚至抵触数学学习[２].此时ꎬ若学生掌握了 构造法 ꎬ则能够以新的角度审视难题ꎬ通过分析问题条件构造与题目本不相关的知识或模型ꎬ间接地解决难题[３].在这一过程中ꎬ高中生的数学思维能力与逻辑推理能力也得到了提高.因此ꎬ对 构造法 在高中数学解题中的应用进行研究ꎬ是具有一定的理论与现实价值的.１在高中数学解题中应用 构造法 的原则在高中数学解题中应用 构造法 是具有一定的原则的ꎬ其具体内容包括:相似性原则㊀在实际应用 构造法 进行解题时ꎬ需要仔细分析题目中提供的条件或题目本身特征ꎬ展开具有相似性的联想ꎬ进而构造出合理的数学对象ꎬ最终通过该数学对象完成数学解题[４].直观性原则㊀高中生在以 构造法 解题时ꎬ应遵循直观性原则ꎬ通过构造某种辅助解题的数学形式ꎬ使得题目中的条件与结论间形成直观的联系ꎬ进而快速地完成解题.熟悉化原则㊀这一原则指的是高中生在解题时应仔细分析题目的结构特征ꎬ并将其与自身熟悉的某种数学式㊁形㊁方程等进行对比ꎬ进而构造出能够与题目相对应的数学形式ꎬ从而解决问题[５].２应用 构造法 进行高中数学解题的案例应用 构造法 进行高中数学解题的重点在于:(１)应用 构造法 的目的ꎬ即想要通过该方法得到的结论是什么ꎻ(２)构造哪种数学形式才能实现应用 构造法 的目的.只有有效实现上述两个重点ꎬ高中生才能够应用 构造法 解决问题[６].本文通过展示几类高中数学常见问题的 构造法 解法ꎬ展示 构造法 的具体应用方法ꎬ如下所示.２.１ 函数构造法 解题案例在高中数学学习中ꎬ函数是重点学习的内容之一ꎬ而在实际题目中ꎬ包含函数的题目往往还会与方０６程㊁数列㊁图形等其他数学知识结合ꎬ使高中生解题难度增大.在这一类问题中应用 构造法 能够有效降低解题难度ꎬ进而加快学生解题速度[７].具体案例如下.案例１㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ｘ－１ꎬ讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎬ并证明ｆ(ｘ)有且仅有两个零点.解㊀ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ１)ɣ(１ꎬ＋¥)ꎬ因为ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋２(ｘ－１)２>０ꎬ则ｆ(ｘ)在０ꎬ１()和(１ꎬ＋ɕ)这两个区间上单调递增.通过分析题意发现该函数有两个零点ꎬ因为ｆ(ｅ)＝１－ｅ＋１ｅ－１<０ꎬｆ(ｅ２)＝２－ｅ２＋１ｅ２－１＝ｅ２－３ｅ２－１>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)有唯一零点ｘ１ꎬ即ｆ(ｘ１)＝０.又因为０<１ｘ１<１ꎬ则ｆ(１ｘ１)＝－ｌｎｘ１＋ｘ１＋１ｘ１－１＝－ｆ(ｘ１)＝０.故ｆ(ｘ)在０ꎬ１()有唯一零点１ｘ１.综上所述ꎬｆ(ｘ)有且仅有两个零点.２.２ 方程构造法 解题案例在 构造法 中ꎬ方程是一种较为常见的数学形式. 方程构造法 是高中数学解题中的常用方法之一ꎬ尤其是在函数相关题目的解题中.这种方法主要是通过分析题目中的数量关系或特征结构ꎬ构造出一组等量的关系式ꎬ并通过解析关系式找到题目中几个未知量间的关系ꎬ进而得到方程中包含的等量关系[８].具体案例如下.案例２㊀若ａ１ꎬａ２ꎬａ３ꎬａ４均为非零的实数ꎬ且(ａ２１＋ａ２２)ａ２４－２ａ２(ａ１＋ａ３)ａ４＋ａ２２＋ａ２３＝０ꎬ证明四个非零实数中ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.证明㊀分析题目可推导得出ꎬ在四个非零实数中ꎬａ４这一非零实数是一元二次方程(ａ２１＋ａ２２)ｘ２－２ａ２(ａ１＋ａ３)ｘ＋(ａ２２＋ａ２３)＝０的实数根ꎬ则可以推出关系式:ә＝４ａ２２(ａ１＋ａ３)２－４(ａ２１＋ａ２２)(ａ２２＋ａ２３)＝４(２ａ１ａ２２ａ３－ａ２１ａ２３－ａ４２)＝－４(ａ２２－ａ１ａ３)２ȡ０ꎬ因此ꎬ只有当ａ２２－ａ１ａ３＝０时ꎬ关系式才能成立ꎬ则可推导出ａ２２＝ａ１ａ３ꎬ同时由于题中表明ａ１ꎬａ２ꎬａ３均为非零实数.则可得出ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成等比数列.且通过构造的求根公式可知ａ４＝２ａ２(ａ１＋ａ３)２(ａ２１＋ａ２２)＝ａ２(ａ１＋ａ３)ａ２１＋ａ１ａ３＝ａ２ａ１ꎬ则ａ４为该等比数列的公比.综上所述可以证明ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.２.３ 向量构造法 解题案例在高中数学的所有知识点中ꎬ向量的相关知识是教学与学习的重难点之一.在高中数学考试中ꎬ与这一知识点相关的题目大多相对简单ꎬ以选择题或填空题为主ꎬ但当这一知识点出现在解答题中时ꎬ常常与立体几何相联系ꎬ解题难度增加许多ꎬ对学生的数学能力要求也相对较高[９].应用 向量构造法 进行解题ꎬ能够引导高中生将日常学习的向量知识点与三角函数㊁复数㊁函数等知识点联系起来ꎬ进而更加轻松地解决问题ꎬ案例如下.案例３㊀已知ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ求ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ的值.解㊀设Ｐ(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＱ(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＲ(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ)为单位圆上的三个点ꎬ则根据题意可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ的外心.由此可以得到关系式:ＯＰң＝(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＯＱң＝(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＯＲң＝(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ).因为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ则ＯＰң＋ＯＱң＋ＯＲң＝(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣꎬｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ)＝０ꎬ可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ重心ꎬ也是әＰＱＲ的外心ꎬ则әＰＱＲ为正三角形.由此可得出关系式Ｂ＝Ａ＋２π３＋２ｋπꎬＣ＝Ａ－２π３＋２ｋπꎬ则ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ａ＋２π３æèçöø÷＋ｓｉｎ２Ａ－２π３æèçöø÷＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３＋ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３－ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２１６＝ｓｉｎ２Ａ＋１２ｓｉｎ２Ａ＋３２ｃｏｓ２Ａ＝３２综上所述可得ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝３２.２.４ 复数构造法 解题案例复数构造法 的应用ꎬ简单来说可以主要分为两类ꎬ一类题目本身就是复数问题ꎬ通过应用复数本身的性质就可以完成解题ꎻ另一类则是非复数问题ꎬ需要间接构造复数形式来完成解题[１０].案例如下.案例４㊀求函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－５)２＋１６＋(ｘ－１)２＋４的最小值.证明:构造复数ｚ１＝５－ｘ＋４ｉꎬｚ２＝ｘ－１＋２ｉꎬ则ｆ(ｘ)＝ｚ１＋ｚ２ȡｚ１＋ｚ２＝４＋６ｉ＝２１３.当ｚ１＝ｋｚ２ꎬ即５－ｘ＋４ｉ＝ｋ(ｘ－１)＋２ｉ[]时取等号ꎬ解得ｘ＝７３ꎬ即ｘ＝７３时ꎬｆ(ｘ)有最小值２１３.２.５ 图形构造法 解题案例数形结合思维是高中数学思维培养中的关键ꎬ这一思维的形成与 图形构造法 的应用有着密不可分的关系.应用 图形构造法 进行解题的案例具体如下所示.案例５㊀证明正弦两角和公式ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ.证明:如图１所示ꎬ在线段ＣＤ上任取一点Ａꎬ以Ａ为圆心ꎬ１为半径做圆弧分别过Ｃ点和Ｄ点ꎬ且和ＣＤ垂直的直线相交于点Ｂ与点Ｅꎬ令øＢＡＣ＝αꎬøＥＡＤ＝βꎬ则øＢＡＥ＝π－(α＋β)ꎬＢＣ＝ｓｉｎαꎬＡＣ＝ｃｏｓαꎬＤＥ＝ｓｉｎβꎬＡＤ＝ｃｏｓβ.图１㊀案例５证明示意图梯形ＢＣＤＥ＝әＡＢＣ＋әＡＤＥ＋әＡＢＥꎬ考虑面积相等可得:１２(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝１２ｓｉｎαｃｏｓα＋１２ｓｉｎβｃｏｓβ＋１２ˑ１２ˑｓｉｎ(π－α－β)即(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎβｃｏｓβ＋ｓｉｎ(α＋β)ꎬ展开整理得ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ即可得证.３结束语«普通高中数学课程标准»中提出ꎬ数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力ꎬ是数学知识㊁技能㊁思想㊁经验及情感㊁态度㊁价值观的综合体现. 构造法 作为高中最常使用的数学思想方法之一ꎬ能够有效培养高中生的创造思维与创新意识ꎬ综合提升其数学学科思维ꎬ但目前我国高中生对于 构造法 的了解大多有限.本文探讨了 构造法 在高中数学解题中的应用ꎬ为 构造法 在我国高中的推广应用贡献力量.㊀参考文献:[１]吴玉辉.构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０２１(３５):３１－３２.[２]顾建华.基于 构造法 的高中数学解题思路探索[Ｊ].科学咨询(教育科研)ꎬ２０２０(１０):１６６.[３]吴建文.构造法在高中数学教学中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０１９(１９):４０.[４]袁胜蓝ꎬ袁野.高中数学数列通项公式的几种求法[Ｊ].六盘水师范学院学报ꎬ２０１９ꎬ３１(０３):１１７－１２０.[５]杨丽菲.高中数学解题中应用构造法的实践尝试[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(１２):７.[６]何婷.构造函数求解高中数学问题[Ｊ].科学咨询(科技 管理)ꎬ２０１８(０６):１４４.[７]李正臣.高中数学解题中应用构造法之实践[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(０２):３４.[８]罗杰.分析高中数学三角函数的解题技巧[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１７(２２):１０２.[９]洪云松.高中数学圆锥曲线解题中构造法的使用[Ｊ].农家参谋ꎬ２０１７(１３):１６０.[１０]刘米可.构造函数法在高中数学解题中的应用[Ｊ].经贸实践ꎬ２０１６(２３):２２６.[责任编辑:李㊀璟]２６。

浅谈构造法解题在高中数学竞赛中的应用苏 传 忠在数学竞赛辅导过程中，需要长期给学生进行有针对性的数学思想方法的训练。

其中构造法解题的思想，就是一种值得推广的解题思想方法。

通过构造，可以建立起各种数学知识之间的联系与相互转化，让学生在熟练掌握各种数学知识的前提下交互使用，融会贯通。

一、构造几何模型，使代数问题几何化。

代数运算虽然直接，但有时会比较抽象且运算复杂，构造合乎要求的几何图形，可以是所求解的问题变得直观明朗，从而找到一个全新的接替办法。

例一，设a 为实数，证明：以1,1,34222+++-+a a a a a 为边长可以构成一个三角形，且三角形的面积为定值。

分析：从题目给出的三个根式我们知道，当实数a 去互为相反的两数时，只是其中两式角色互换，实质一样，故只需争对非负实数a 展开讨论即可。

()()︒⨯⨯⨯-+=++︒⨯⨯⨯-+=+-+=+120cos 121160cos 12113234222222222a a a a a a a a a a 构造合乎要求的几何图形如图所示：︒=∠︒=∠======120601CBE DAB CD BE AB a BC DF AD于是：()()3432,3,2222+=+===a a EF AE a AF1120cos 121,1,160cos 121,1,222222++=︒⨯⨯⨯-+===+-=︒⨯⨯⨯-+====a a a a CE BE a BC a a a a DB FC AB a AD所以：以1,1,34222+++-+a a a a a 为边长可以构成一个三角形，即ECF ∆。

则：AEF AECF ECF S S S ∆∆-=433221120sin 121120sin 112160sin 12133=⨯⨯-︒⨯⨯⨯+︒⨯⨯⨯+︒⨯⨯⨯⨯=-++=∆∆∆∆a a a S S S S AEFBCE ABE ABD 二、构造方程模型，使几何问题代数化。

浅议构造法在数学中的作用1. 引言1.1 构造法的定义构造法是数学中一种重要的解题方法，它是通过构造出具体的对象或者结构来解决问题的方法。

在数学中，构造法通常包括直接构造出所需对象、通过归纳法逐步构造出解、通过反证法推导出矛盾等方式。

构造法的基本思想是通过建立数学对象之间的关系，从而达到解决问题的目的。

通过构造法，我们可以更清晰地理解问题的本质，找到问题的解决方案。

构造法在数学中具有广泛的应用，涉及代数、几何、组合数学、数论、概率论等多个领域。

构造法的核心是通过建立有效的构造方法和技巧，解决一系列复杂的数学问题。

通过构造法，我们可以深入理解数学的内在规律，提高解决问题的效率和准确性。

构造法在数学领域中具有重要的地位和作用，对于推动数学的发展和教育具有积极的意义。

1.2 构造法在数学中的重要性构造法在数学中起着至关重要的作用。

它不仅是数学研究中常用的方法，也是数学教学中的重要内容。

构造法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，促进数学领域的发展。

构造法在数学中的重要性体现在它对解决问题的作用上。

通过构造法，我们可以借助具体的步骤和方法找到问题的解决方案，为数学理论的发展提供实际的指导。

构造法不仅可以用于证明定理和命题，还可以用于解决实际问题，推动数学领域的研究进展。

构造法在数学教育中的重要性也不可忽视。

通过教授构造法，可以帮助学生培养逻辑思维和创造性思维能力，提高他们解决问题的能力和数学素养。

构造法可以激发学生对数学的兴趣，让他们更好地理解和掌握数学知识，为将来深入研究数学打下坚实的基础。

2. 正文2.1 构造法在代数中的应用构造法在代数中的应用是一种重要的数学方法，通过构造法，我们可以更好地理解和解决代数问题。

在代数中，构造法常常被用于证明存在性和唯一性问题，以及构造出满足特定条件的对象。

一种常见的代数问题是求解某种结构的存在性问题，比如群、环、域等代数结构。

通过构造法，我们可以构造出满足特定条件的结构，从而证明其存在性。

二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。

在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。

应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。

常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。

1 构造直角三角形例1 设x ∈[4π，2π]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。

作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4π时成立。

2 构造单位圆例 2若0<β<α<2π，求证：α-β<tg α-tg β 思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。

作单位圆O ，AP 1=β，AP 2=α，∴ P 1P 2=α-β，AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =21tg α，S ⊿AP O =21tg β，由于S 扇形OAP=21α，S 扇形OAP =21β。

∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21tg β。

则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P即 21（α-β）<21（tg α－tg β） 所以 α-β<tg α-tg β3 构造函数表达式例3已知x 、y ∈[-4π，4π]，a ∈R ，且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）思路分析：由x 3+sinx 与2（4y 3+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。

构造法在中学数学问题中的解题应用摘要：本文主要是在前人研究的基础上通过收集大量资料，对用构造法解题的形式进行分类，介绍在中学数学中用构造思想方法解题的典型例子，并归纳整理出构造法在代数和几何中的应用,使得构造法在解题的应用有一个比较系统、清晰且全面的结论。

关键词：构造法中学数学问题思想方法应用一、构造法在代数问题中的应用1.构造函数解代数问题。

如何构造一个函数，构造一个什么样的函数才能解决问题？关键在于分析问题的结构，充分利用问题所提供的信息，善于进行联想。

(1)构造函数证明不等式。

根据代数式的特征(如结构的对称性)，构造适当的函数，借助函数的性质，来证明不等式，是一种常用的构造方法。

构造函数证明不等式是不等式证明的一种重要方法，它要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征，联想一些特殊函数所蕴涵的不等式关系，从而合理选择恰当的函数模型。

利用构造函数证明不等式，不仅能使解题过程简捷、明快，而且使解题方法新颖、精致，使数学解题思路突破常规，具有很强的创造性，体现独特的数学价值。

(2)构造函数证明等式。

例2 已知 a，b，c互不相等，求证：分析：如果把式子左边展开来证，是非常繁琐的,注意到a，b，c互不相等这一特性，巧构函数f(x)能富有创造性地证明本题.证明：构造函数f(x)=由于a，b，c互不相等，可知-a，-b，-c也互不相等。

因为f(x)是二次函数，而f(-a)=f(-b)=f(-c)=0，故f(x)=0恒成立，即原式成立。

2.构造方程解代数问题。

在应用方程思想解题时，主要是运用方程的两个性质，即韦达定理及其逆定理、一元二次方程根的判别式。

根据韦达定理及其逆定理构造一元二次方程解代数题。

有些数学问题未必是方程问题，但我们可以构造辅助的方程进行求解。

用方程思想构造方程解题非方程问题有一定的规律性：已知两个或多个数之和、之积的对称式，利用韦达定理的逆定理构造两次或高次方程；当问题中出现形如“b2-4ac”的式子时，可构造出以“b2-4ac”为判别式的二次方程ax2+bx+c=0的形式。

例谈三角问题的突破技巧作者：贾海军来源：《考试周刊》2013年第82期在高中求解一些三角问题时，学生会觉得繁、难，教师应教学生学会避免繁、难、易错的解题思路与方法，用转化后的巧妙方法快速有效地解决问题.本文就以三角问题为例来说明用构造法解三角题的方法与技巧，以供学习者参考.一、构造向量例1：求参数a的范围，使得方程cosx+asinx=2（a≠0）在[0，■]上有解.分析：设u=cosxv=sinx（它表示一个单位圆），则原方程可化为v=-■+■（它表示过点（2，0）的直线系），如图1，原方程有解等价于直线v=-■+■与■圆弧AP有交点，即斜率-■应满足-■≤-■≤0，于是a≥■.小结：选用常规方法不可避免地要进行分类讨论，显然较繁，而利用单位圆求解，则完全避免了对参数a的分类讨论.例2：证明两角和的余弦公式C■：cos（α+β）=cosα+cosβ-sinαsinβ.分析：设■、■是角α、β终边上的单位向量，■是角-β终边上的单位向量，则A、B′坐标分别为A（cosα，sinα），B′（cos（-β），sin（-β）），所以cos（α+β）=■=cosα·cos（-β）+sinα·sin（-β），即cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ成立.小结：构造向量巧妙证明此公式，显然比课本的证明方法简单多了，将向量与单位圆结合起来，达到了简洁明了的效果.二、构造单位圆例3：计算cos10°-cos50°-cos70°分析：由cos10°-cos50°-cos70°=cos10°+cos130°+cos250°，联想到单位圆上的点A（cos10°，sin10°），B（cos130°，sin130°），C（cos250°，sin250°），易知△ABC是正三角形且中心在坐标原点.由重心坐标公式得■（cos10°+cos130°+cos250°）=0，故cos10°-cos50°-cos70°=0.小结：把原式进行转化，联想到单位圆上的三点，进而用三角形的重心坐标公式求解，很巧妙.三、构造几何模型例4：在△ABC中，如果a=10，c-b=6，求证：■=■.分析：由a=10，c-b=6，由双曲线定义知，动点A在以B（-5，0），C（5，0）为焦点的双曲线■-■=1的右支上，由双曲线的性质得：|AB|=■x+3，|AC|=■x-3，故■=■·■=■·■=■·■=■=■.小结：本题虽然可以通过综合运用三角公式来证明，但构造双曲线方程，利用解析法证明更富想象力，更直观、明了.四、构造对偶式例5：化简sin■35°+sin■85°-sin35°sin85°分析：构造对偶式，设M=sin■35°+sin■85°-sin35°sin85°，N=cos■35°+cos■85°-cos35°cos85°.则M+N=2-cos50°；N-M=cos70°+cos170°-cos120°=cos（120°-50°）+cos（120°+50°）+■=-cos50°+■.所以2M=2-cos50°+cos50°-■=■，即M=■，故sin■35°+sin■85°-sin35°s in85°=■.小结：在求解或证明一些三角问题时，如果能灵活运用对偶的数学思想，注意到问题的结构特征，巧妙地构建出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的运算，问题就可以巧妙地得以解决.五、构造斜率例6：求函数y=■的最值.分析：设点A（cos■x-sinx，sin■x+sinx），B（3，-1），则y表示AB两点连线的斜率.点A的轨迹方程是x=cos■x-sinxy=sin■x+sinx，即x+y=1（-1≤x≤■），故点A的轨迹为线段MN：x+y=1（-1≤x≤■），其中M（-1，2），N（■，■）如图2所示，因为k■=-■，k■=-■，所以-■≤y≤-■.例7：化简■分析：设A（cos20°，sin20°），B（cos40°，sin40°），则原式的几何意义是单位圆上的两点A、B连线的斜率，如图3，故原式=K■=tan∠BCD=tan（40°+80°）=-■.小结：利用斜率求解分式三角函数问题，解法直观、简便，对创新思考问题，开阔解题思路，提高解题能力十分有益.六、构造参数例8：设n∈N■，且sinα+cosα=-1，求sin■α+cos■α的值.分析：设sinα=-■-t，cosα=-■+t，由（-■-t）■+（-■+t）■=1，解得：t=±■，当t=■时，sinα=-1，cosα=0；当t=-■时，sinα=0，cosα=-1，故sin■α+cos■α=（-1）■.例9：已知△ABC三个内角满足A+C=2B，■+■=■，求cos■的值.分析：由题设知B=■，cosB=■，可设A=■+α，C=■-α（-■小结：构造新的“量”—参数，可以把原来较复杂的数学问题转化为较简单的或更常规的数学问题来求解，更简便.七、构造函数例10：已知函数f（x）=sinxcosx+■+3，若f（lga）=4，则f（lg■）的值为？摇？摇？摇？摇.分析：直接求解显然不可取，构造新函数g（x）=sinxcosx+■，显然g（x）是奇函数，则f（x）=g（x）+3，所以f（-x）=-g（x）+3，所以f（x）+f（-x）=6，则f（lga）+f（-lga）=6，又因为f（lga）=4，所以f（lg■）=2.例11：已知x，y∈[-■，■]，a∈R，且x■+sinx-2a=04y■+sinycosy+a=0，求cos（x+2y）的值.分析：若用三角公式则不易求解，观察题设的两个等式可得：x■+sinx=（-2y）■+sin（-2y），此式有相同的结构，于是可引入函数：f（t）=t■+sint，t∈[-■，■]，则有f（x）=f（-2y）.因为当时t∈[-■，■]时，f（t）=t■+sint是增函数，所以有x=-2y，故cos（x+2y）=cos0=1.小结：构造函数，整体思考，这是整体观念与构造思维的一种应用，整体处理可使问题简单化.八、构造直线例12：求证：（cosα-■）■+（sinα-■）■≥9.分析：这是一道三角证明题，如果滥用公式有一定的运算量，不如回过头来，认真分析一下题目，发现只要证明■≥3，问题就会不攻自破.构造直线：xcosα+ysinα-1=0，因为点M（cosα，sinα）在直线xcosα+ysinα-1=0上，而点P（■，■）不在此直线上，所以点P（■，■）到点M（cosα，sinα）的距离不小于它到此直线的距离3，即■≥3成立，故（cosα-■）■+（sinα-■）■≥9.小结：巧妙构造直线证明三角不等式，避免了繁琐的运算，这是一种行之有效的解题方法.九、构造方程例13：已知α、β为两相异锐角，且满足方程acos2x+bsin2x=c，求证：cos■（α-β）=■.分析：由题设知，点A（cos2α，sin2α）和点B（cos2β，sin2β）所在的直线方程是ax+by-c=0.（1）.而经过A、B两点的直线方程还可以表示为：■=■，即xcos（α+β）+ysin（α+β）-cos（α-β）=0.（2）由于（1）、（2）表示同一条直线，因而原点到两直线的距离相等.所以■=■，即cos■（α-β）=■.小结：数学题目的特点是形式多变，思路纵横，解法繁简迥异.本题通过适当构造方程，弃繁就简，找到了一条解决问题的捷径.。

构造法在初中数学解题中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。

构造法是一种富有创造性的数学思想方法。

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。

充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。

下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

构造法解题一例构造法解题是数学中常用的一种解题思路，是深入分析、正确思维以及丰富联想的产物，请看下面的这道例题：例：正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足条件a+A=b+B=c+C=k求证：aB+bC+cA<k 2证明一：这是一道代数不等式的证明题，可用代数法求解。

将条件式代入，有a(k-b)+b(k-c)+c(k-a)<k 2，且有a 、b 、c ∈(0，k)即：(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k 2<0当k-a-b ≥0时，运用放缩法，取c=k ，则左边≤-ab<0；当k-a-b<0时，运用放缩法，取c=0，则左边≤-(k-a)·(k-b)<0得证。

下面我们可用构造法，将数形结合，得出此不等式的巧妙证法。

证明二：由求证的不等式联想到面积关系，由所设条件联想到构造以边长为k 的正三角形，如下图所示：cb aCB A L NM Q P由S △LRM +S △MPN +S △NQL <S △PQR 即证。

证明三：由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为k 的正方形。

如下图所示。

bCcA aB B b c baC BA由图即证。

证明四：以上两种证法是联想到面积，那么联想到体积可以吗？不妨构造棱长为k 的正方形，则有k 3=(a+A)·(b+B)·(c+C)ss=abc+ABC+k(aB+bC+cA)显然k 3>k(aB+bC+cA)得证。

证明五：还可联想函数式，构造以c（或a或b）为变量字母的一次函数式： f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2 (0<c<k)此函数式的图象是无端点的线段，且f(0)<0，f(k)<0∴f(c)<0得证。

浅谈“构造法”解题一. 构造函数解题例1. （1）在实数范围内解04x 8x 4x )1x x (2552=+-+-+-。

（2）解不等式0)2)1x (1)(1x ()2x 1(x 22>+++++++方程与不等式都是高次的，展开求解是不现实的。

根据其自身特点，分别作适当的变形，然后构造函数，再利用函数的有关性质求解。

（1）原方程变形为x 4x )1x x (41)x -(x 5252+=+-++。

设函数t 4t f(t)5+=，上述方程即为)x (f )1x x (f 2=+-。

由于)t (f 在R t ∈上是单调增函数，故若)t (f )t (f 21=，则必有21t t =成立。

因此x 1x x 2=+-，即1x =，故原方程有唯一解1x =。

（2）设)2x 1(x )x (f 2++=，R x ∈，易证f(x)在区间],0[+∞上为增函数。

)x (f )2x 1(x )x (f 2-=++-=- ，)x (f ∴为奇函数，从而f(x)在区间),(-+∞∞上为增函数，∴原不等式可化为0)1x (f )x (f >++，即)x (f )x (f )1x (f -=->+，即21x ,x 1x ->->+。

点评：函数的单调性和奇偶性是函数的两个十分重要的性质，要熟练掌握函数的图象的几何特征和代数含义，它们在研究方程、不等式中经常用到。

二. 构造一元二次方程解题例2. 已知ABC ∆三内角A 、B 、C 的大小成等差数列，且32C tan A tan +=，求A 、B 、C 的大小。

由题知32C tan A tan +=，联想到Ctan A tan 1C tan A tan )C A tan(-+=+，由A 、B 、C 成等差数列，得32C A ,3πB π=+=，故33C tan A tan +=+。

tanC A tan 、∴是方程032x )33(x 2=+++-的两根，得,1x 1=32x 2+=。

例谈构造法求递推数列的通项公式作者：陈祖文来源：《中学教学参考·理科版》2012年第04期数列问题历年来都是高考命题的热点，由于所给的递推形式千变万化，从而使其通项公式成为教学难点，本文主要谈谈如何构造辅助数列去求解析几何类常见数列的递推公式一、-型形如-为常数且a≠0,1,b≠0)的数列，求解此类线性关系的数列的通项公式一般可用待定系数法，通过化归，转化为新的等比数列-，最后通过新的等比数列进行求解和转化【例1】已知数列｛｝中，-，求数列｛｝的通项公式解：设-，所以t=1，所以-，即-1，所以数列｛｝是以为首项，以2-1为公比的等比数列，所以通项公式为--，从而---评析：根据、的线性关系，用待定系数法构造一个新的等比数列，最终求出通项公式.这种类型的递推关系在高考中是比较常见的，属于常规题二、型若a=1，用累加法进行求解；若a≠1，则对f(n)进行分类：1.当f(n)=pn+q时，将原式变形为，根据待定系数法和系数对比得：A=pa-1,B=qa-1+p(a-，从而构造一个新的等比数列｛｝，首项为，公比为a，从而求出--An-2.当时，将原式变形为，从而构造一个新的等比数列｛｝，余下步骤同上【例2】设数列中，，，求数列的通项公式解：设，∴-A，与原式系数对比得：A=1，B=1,∴，数列是以为首项，3为公比的等比数列，∴-，即--n--n-【例3】数列中，-∈，求数列的通项公式解：设--，∴--B，系数对比得：A=1,B=1，所以--，数列-是以-为首项，公比为2的等比数列，∴--，即--评析：此类题目通过待定系数法巧妙确定参数A、B的值，把递推关系式加以转化和化归为熟悉的等比数列问题，再用相应的等比数列性质来求解通项公式三、-型此类递推类型的通项公式，一般可以通过左右两边同时除以或同时加上，使其化归为求由形如确定的数列的通项公式【例4】设数列中，，求的通项公式解法1：∵，两边除以得＝，令，所以，再利用上面-型”进行求解解法2：设，展开得，系数对比得λ=1，所以，数列{是以为首项，3为公比的等比数列，∴-即-四、型此类型是两边取倒数，运算中注意新数列的首项、公差或公比的变化【例5】数列满足，且--，求其通项公式解：∵--≥2)，两边取倒数得-，所以数列是以为首项，13为公差的等差数列，∴-1)×13，即评析：在学习数列中，常会遇到一些用常规方法很难解决的分式问题，对于此类问题，若能根据题目所给的条件巧取倒数，再求解，往往会立竿见影，事半功倍五、＞＞0)型这种类型一般是两边取对数，得：【例6】设正项数列，其中且-，求数列的通项公式解：两边取对数得：--，∴-设∴-，所以数列是以为首项，公比为2的等比数列，故--，即---1,∴--评析：本题解决的关键是等式两边同时取对数，从而将原来的次幂降低，而对数底数的选取可以因题而灵活处理，像本题也可以取以10为底的对数六、-、μ是不为零的常数）型此类型可变形为-，则数列是公比为k的等比数列，就把问题转为类型一【例7】已知数列满足∈(1) 令-，证明是等比数列(2) 求的通项公式解：(1)由已知得：---∴-，即数列是以--1=1为首项，公比为-12的等比数列(2)由(1)知，---，当n≥2时，---------=1+(----3--=1+1-(--1-(-12)=1+23［1-(--］=53-23(--；当n=1时，53-23(--所以-23(--∈用构造法求数列递推式的通项公式的类型较多，本文结合一些例子总结了常见的几种类型，旨在对此类知识归纳总结，为数列内容的复习提供一些帮助(责任编辑金铃）。

思路探寻
双变量函数不等式问题较为复杂，其难度一般较大，对同学们的运算能力和分析能力有较高的要求.解答此类问题，往往要将不等式进行适当的变形，合理处理双变量，将问题转化为简单的函数最值问题或者不等式问题来求解.而构造法是求解此类问题的重要方法.运用构造法，
题，1.对不等式进行适当的变形.式子作差、移项；变量消元或换元，子；
2.根据不等式的结构特征，一侧为0，不等式的两侧均含有变量，造成两个函数式；
3.根据函数单调性的定义，
4.根据函数的单调性，立使不等式恒成立的关系式；
5.式求得参数的取值范围.
下面举例说明.
例1.已知函数f ()x =x ln x ,g ()x (1)求函数f ()x 在éëêùû
ú1e 2,1(2)若对b >a >0，总有m [g ()b -成立，求实数m 的取值范围.
解：(1)f ()x min =-1
e
，f ()x max =0.((2)由题意可得m []g ()b -g ()a >f mg ()b -f ()b >mg ()a -f ()a ，
令h ()x =mg ()x -f ()x =
m 2
x 2-x ∵b >a >0，∴h ()x 在()0,+∞即h ′()x =mx -ln x -1≥0在()0,+∞上恒成立，
分离参数得m ≥ln x +1x
在()0,+∞上恒成立，令ϕ()x =ln x +1x
，ϕ()x max
=ϕ()1=1
，∴m 的取值范围为[)1,+∞.
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刘建祖
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思路探寻。