浅谈构造法解题在高中数学竞赛中的应用

例谈 构造法 在高中数学解题中的应用曾㊀智(光泽县第一中学ꎬ福建南平３５４１００)摘㊀要:高中数学新课程提出ꎬ高中数学的教学重点之一就是空间形式与数量关系ꎬ这两点数学知识是探讨研究自然规律与社会规律的基础工具.构造法ꎬ一方面ꎬ它是高中数学学习的一种重要方法ꎬ能够有效帮助学生理解空间形式与数量关系ꎻ另一方面ꎬ它也是培养学生 构造思维 的重要基础ꎬ是高中数学教育的关键之一.本文在此背景下ꎬ总结了在高中数学解题中应用 构造法 的原则ꎬ又进一步分类总结了具体应用 构造法 的解题案例ꎬ以期为我国高中数学教师开展 构造法 教学提供参考.关键词:构造法ꎻ高中数学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０３－００６０－０３收稿日期:２０２３－１０－２５作者简介:曾智(１９８４.１－)ꎬ男ꎬ福建省光泽人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀高中数学知识相对于初中而言难度更高ꎬ高中生在学习中不免会面临许多难以解决的问题ꎬ尤其是高中生本身解题经验较少ꎬ解题时常常会出现无法找到题目提供的各项条件与问题间的联系的情况ꎬ进而使解题变得十分艰难[１].这种情况一方面会导致学生解题效率降低ꎬ数学考试成绩下降ꎬ另一方面也会使学生长期承受较大的学习压力ꎬ导致对数学学习的兴趣降低ꎬ甚至抵触数学学习[２].此时ꎬ若学生掌握了 构造法 ꎬ则能够以新的角度审视难题ꎬ通过分析问题条件构造与题目本不相关的知识或模型ꎬ间接地解决难题[３].在这一过程中ꎬ高中生的数学思维能力与逻辑推理能力也得到了提高.因此ꎬ对 构造法 在高中数学解题中的应用进行研究ꎬ是具有一定的理论与现实价值的.１在高中数学解题中应用 构造法 的原则在高中数学解题中应用 构造法 是具有一定的原则的ꎬ其具体内容包括:相似性原则㊀在实际应用 构造法 进行解题时ꎬ需要仔细分析题目中提供的条件或题目本身特征ꎬ展开具有相似性的联想ꎬ进而构造出合理的数学对象ꎬ最终通过该数学对象完成数学解题[４].直观性原则㊀高中生在以 构造法 解题时ꎬ应遵循直观性原则ꎬ通过构造某种辅助解题的数学形式ꎬ使得题目中的条件与结论间形成直观的联系ꎬ进而快速地完成解题.熟悉化原则㊀这一原则指的是高中生在解题时应仔细分析题目的结构特征ꎬ并将其与自身熟悉的某种数学式㊁形㊁方程等进行对比ꎬ进而构造出能够与题目相对应的数学形式ꎬ从而解决问题[５].２应用 构造法 进行高中数学解题的案例应用 构造法 进行高中数学解题的重点在于:(１)应用 构造法 的目的ꎬ即想要通过该方法得到的结论是什么ꎻ(２)构造哪种数学形式才能实现应用 构造法 的目的.只有有效实现上述两个重点ꎬ高中生才能够应用 构造法 解决问题[６].本文通过展示几类高中数学常见问题的 构造法 解法ꎬ展示 构造法 的具体应用方法ꎬ如下所示.２.１ 函数构造法 解题案例在高中数学学习中ꎬ函数是重点学习的内容之一ꎬ而在实际题目中ꎬ包含函数的题目往往还会与方０６程㊁数列㊁图形等其他数学知识结合ꎬ使高中生解题难度增大.在这一类问题中应用 构造法 能够有效降低解题难度ꎬ进而加快学生解题速度[７].具体案例如下.案例１㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ｘ－１ꎬ讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎬ并证明ｆ(ｘ)有且仅有两个零点.解㊀ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ１)ɣ(１ꎬ＋¥)ꎬ因为ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋２(ｘ－１)２>０ꎬ则ｆ(ｘ)在０ꎬ１()和(１ꎬ＋ɕ)这两个区间上单调递增.通过分析题意发现该函数有两个零点ꎬ因为ｆ(ｅ)＝１－ｅ＋１ｅ－１<０ꎬｆ(ｅ２)＝２－ｅ２＋１ｅ２－１＝ｅ２－３ｅ２－１>０ꎬ则ｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)有唯一零点ｘ１ꎬ即ｆ(ｘ１)＝０.又因为０<１ｘ１<１ꎬ则ｆ(１ｘ１)＝－ｌｎｘ１＋ｘ１＋１ｘ１－１＝－ｆ(ｘ１)＝０.故ｆ(ｘ)在０ꎬ１()有唯一零点１ｘ１.综上所述ꎬｆ(ｘ)有且仅有两个零点.２.２ 方程构造法 解题案例在 构造法 中ꎬ方程是一种较为常见的数学形式. 方程构造法 是高中数学解题中的常用方法之一ꎬ尤其是在函数相关题目的解题中.这种方法主要是通过分析题目中的数量关系或特征结构ꎬ构造出一组等量的关系式ꎬ并通过解析关系式找到题目中几个未知量间的关系ꎬ进而得到方程中包含的等量关系[８].具体案例如下.案例２㊀若ａ１ꎬａ２ꎬａ３ꎬａ４均为非零的实数ꎬ且(ａ２１＋ａ２２)ａ２４－２ａ２(ａ１＋ａ３)ａ４＋ａ２２＋ａ２３＝０ꎬ证明四个非零实数中ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.证明㊀分析题目可推导得出ꎬ在四个非零实数中ꎬａ４这一非零实数是一元二次方程(ａ２１＋ａ２２)ｘ２－２ａ２(ａ１＋ａ３)ｘ＋(ａ２２＋ａ２３)＝０的实数根ꎬ则可以推出关系式:ә＝４ａ２２(ａ１＋ａ３)２－４(ａ２１＋ａ２２)(ａ２２＋ａ２３)＝４(２ａ１ａ２２ａ３－ａ２１ａ２３－ａ４２)＝－４(ａ２２－ａ１ａ３)２ȡ０ꎬ因此ꎬ只有当ａ２２－ａ１ａ３＝０时ꎬ关系式才能成立ꎬ则可推导出ａ２２＝ａ１ａ３ꎬ同时由于题中表明ａ１ꎬａ２ꎬａ３均为非零实数.则可得出ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成等比数列.且通过构造的求根公式可知ａ４＝２ａ２(ａ１＋ａ３)２(ａ２１＋ａ２２)＝ａ２(ａ１＋ａ３)ａ２１＋ａ１ａ３＝ａ２ａ１ꎬ则ａ４为该等比数列的公比.综上所述可以证明ａ１ꎬａ２ꎬａ３能够形成一个等比数列ꎬ且该数列的公比为ａ４.２.３ 向量构造法 解题案例在高中数学的所有知识点中ꎬ向量的相关知识是教学与学习的重难点之一.在高中数学考试中ꎬ与这一知识点相关的题目大多相对简单ꎬ以选择题或填空题为主ꎬ但当这一知识点出现在解答题中时ꎬ常常与立体几何相联系ꎬ解题难度增加许多ꎬ对学生的数学能力要求也相对较高[９].应用 向量构造法 进行解题ꎬ能够引导高中生将日常学习的向量知识点与三角函数㊁复数㊁函数等知识点联系起来ꎬ进而更加轻松地解决问题ꎬ案例如下.案例３㊀已知ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ求ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ的值.解㊀设Ｐ(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＱ(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＲ(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ)为单位圆上的三个点ꎬ则根据题意可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ的外心.由此可以得到关系式:ＯＰң＝(ｃｏｓＡꎬｓｉｎＡ)ꎬＯＱң＝(ｃｏｓＢꎬｓｉｎＢ)ꎬＯＲң＝(ｃｏｓＣꎬｓｉｎＣ).因为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ＝０ꎬ则ＯＰң＋ＯＱң＋ＯＲң＝(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣꎬｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ)＝０ꎬ可以推导得出Ｏ是әＰＱＲ重心ꎬ也是әＰＱＲ的外心ꎬ则әＰＱＲ为正三角形.由此可得出关系式Ｂ＝Ａ＋２π３＋２ｋπꎬＣ＝Ａ－２π３＋２ｋπꎬ则ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ａ＋２π３æèçöø÷＋ｓｉｎ２Ａ－２π３æèçöø÷＝ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３＋ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２＋ｓｉｎＡｃｏｓ２π３－ｃｏｓＡｓｉｎ２π３æèçöø÷２１６＝ｓｉｎ２Ａ＋１２ｓｉｎ２Ａ＋３２ｃｏｓ２Ａ＝３２综上所述可得ꎬｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ＝３２.２.４ 复数构造法 解题案例复数构造法 的应用ꎬ简单来说可以主要分为两类ꎬ一类题目本身就是复数问题ꎬ通过应用复数本身的性质就可以完成解题ꎻ另一类则是非复数问题ꎬ需要间接构造复数形式来完成解题[１０].案例如下.案例４㊀求函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－５)２＋１６＋(ｘ－１)２＋４的最小值.证明:构造复数ｚ１＝５－ｘ＋４ｉꎬｚ２＝ｘ－１＋２ｉꎬ则ｆ(ｘ)＝ｚ１＋ｚ２ȡｚ１＋ｚ２＝４＋６ｉ＝２１３.当ｚ１＝ｋｚ２ꎬ即５－ｘ＋４ｉ＝ｋ(ｘ－１)＋２ｉ[]时取等号ꎬ解得ｘ＝７３ꎬ即ｘ＝７３时ꎬｆ(ｘ)有最小值２１３.２.５ 图形构造法 解题案例数形结合思维是高中数学思维培养中的关键ꎬ这一思维的形成与 图形构造法 的应用有着密不可分的关系.应用 图形构造法 进行解题的案例具体如下所示.案例５㊀证明正弦两角和公式ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ.证明:如图１所示ꎬ在线段ＣＤ上任取一点Ａꎬ以Ａ为圆心ꎬ１为半径做圆弧分别过Ｃ点和Ｄ点ꎬ且和ＣＤ垂直的直线相交于点Ｂ与点Ｅꎬ令øＢＡＣ＝αꎬøＥＡＤ＝βꎬ则øＢＡＥ＝π－(α＋β)ꎬＢＣ＝ｓｉｎαꎬＡＣ＝ｃｏｓαꎬＤＥ＝ｓｉｎβꎬＡＤ＝ｃｏｓβ.图１㊀案例５证明示意图梯形ＢＣＤＥ＝әＡＢＣ＋әＡＤＥ＋әＡＢＥꎬ考虑面积相等可得:１２(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝１２ｓｉｎαｃｏｓα＋１２ｓｉｎβｃｏｓβ＋１２ˑ１２ˑｓｉｎ(π－α－β)即(ｓｉｎα＋ｓｉｎβ)(ｃｏｓα＋ｃｏｓβ)＝ｓｉｎαｃｏｓα＋ｓｉｎβｃｏｓβ＋ｓｉｎ(α＋β)ꎬ展开整理得ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ即可得证.３结束语«普通高中数学课程标准»中提出ꎬ数学核心素养包含具有数学基本特征的思维品格和关键能力ꎬ是数学知识㊁技能㊁思想㊁经验及情感㊁态度㊁价值观的综合体现. 构造法 作为高中最常使用的数学思想方法之一ꎬ能够有效培养高中生的创造思维与创新意识ꎬ综合提升其数学学科思维ꎬ但目前我国高中生对于 构造法 的了解大多有限.本文探讨了 构造法 在高中数学解题中的应用ꎬ为 构造法 在我国高中的推广应用贡献力量.㊀参考文献:[１]吴玉辉.构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０２１(３５):３１－３２.[２]顾建华.基于 构造法 的高中数学解题思路探索[Ｊ].科学咨询(教育科研)ꎬ２０２０(１０):１６６.[３]吴建文.构造法在高中数学教学中的应用[Ｊ].华夏教师ꎬ２０１９(１９):４０.[４]袁胜蓝ꎬ袁野.高中数学数列通项公式的几种求法[Ｊ].六盘水师范学院学报ꎬ２０１９ꎬ３１(０３):１１７－１２０.[５]杨丽菲.高中数学解题中应用构造法的实践尝试[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(１２):７.[６]何婷.构造函数求解高中数学问题[Ｊ].科学咨询(科技 管理)ꎬ２０１８(０６):１４４.[７]李正臣.高中数学解题中应用构造法之实践[Ｊ].科学大众(科学教育)ꎬ２０１８(０２):３４.[８]罗杰.分析高中数学三角函数的解题技巧[Ｊ].中国高新区ꎬ２０１７(２２):１０２.[９]洪云松.高中数学圆锥曲线解题中构造法的使用[Ｊ].农家参谋ꎬ２０１７(１３):１６０.[１０]刘米可.构造函数法在高中数学解题中的应用[Ｊ].经贸实践ꎬ２０１６(２３):２２６.[责任编辑:李㊀璟]２６。

浅谈构造法在高中数学解题中的应用摘要构造法就是根据题设条件和结论所具有的特征和性质，构造出一些新的满足条件或结论的数学形式，并借助它来认识与解决原数学问题的一种思想方法.构造法作为一种重要的数学思想方法，在数学产生时就存在,历史上有不少数学家都曾用构造法解决过数学上的很多难题.另外,构造法在中学数学教学中有着十分重要的地位，特别是在高中数学教学中，合理地运用构造法可以更快捷、更简单的解决比较复杂的数学问题，提高解题效率,同时也能够提高学生的思维能力、培养学生的创新意识.可见构造法对于数学理论的研究,发展和数学问题的解决都具有重要的意义，尤其在中学数学教学中，构造法的研究和学习显得非常重要。

本文主要分成两个部分：第一部分主要是对构造法的概念、历史、特征、常用到的思想方法和类型、优点、注意事项作出简单的介绍；第二部分是从构造向量、函数、数列、方程、几何模型、复数、等价命题这些在高中数学中常见的构造出发，通过举例分析来探讨分析构造法在高中数学中的应用.关键词解题构造法应用高中数学目录1.引言 (2)2.构造法概述 (2)2.1构造法 (2)2.2构造法的历史 (2)2.3构造法的特征 (3)2.4构造法中常用到的思想方法 (3)2.5构造法中常用到的类型 (3)2.6构造法的优点 (4)2.7构造法的注意事项 (4)3.构造法在解题中的应用 (5)3.1构造向量 (5)3.2构造函数 (6)3.3构造数列 (6)3.4构造方程 (8)3.5构造几何模型 (9)3.6构造复数 (10)3.7构造等价命题 (11)4.结束语 (12)致谢 (13)参考文献 (14)浅谈构造法在高中数学解题中的应用摘要构造法作为一种数学思想方法，在高中数学教学中有着重要的地位，利用构造法可以更快捷、更简单的解决比较复杂的数学问题，在解题中被广泛运用.鉴于此，本文主要对构造法作了简单的介绍，并从构造向量、函数、数列、方程、几何模型、复数、等价命题这些常见的构造出发，通过举例探讨分析构造法在高中数学中的应用.关键词解题构造法应用高中数学1 引言波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒.”解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手.在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径.构造法就是这样的手段之一，它是一种新颖独特、快捷灵活的解题方法.本文将对构造法及其在中学数学中的应用做简单探讨，通过示例，不断加深对构造法的理解.2 构造法概述2.1 构造法构造法就是综合运用已有的知识和方法，根据题设条件和结论所具有的特征和性质，构造出一些新的满足条件或结论的数学形式，并借助它来认识与解决原数学问题的一种思想方法.其解题模式如下：对题设条件或所求结论进行充分细致的分析，然后通过创造性的思维构造出函数、图形、方程、数列等相应的模型，最后进行推演，实现转化得出结论.2.2 构造法的历史构造法作为一种重要的数学思想方法，在数学产生时就存在，它的研究主要经历了三个阶段：直觉数学阶段、算法数学阶段、现代构造数学阶段.历史上有不少数学家都曾用构造法解决过数学上的很多难题，如欧几里得在《几何原本》中证明“素数的个数是无限的”就是一个典型的范例.随着科学技术的发展，计算机科学及现代数学将对数学的构造性提出新的要求，使构造性数学具有突出的重要地位.如现在的组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都应用了构造的思想，尤其是图论，更是应用了构造的思想，此外，在拓扑学、维数理论等的研究中，许多数学家应用构造法来发展他们的理论.2.3 构造法的特征构造思想方法作为一种常用的数学思想方法，具有其自身独特的显著特征，主要表现在：构造性、直观性、可行性、灵活性以及思维的多样性.⑴构造性体现在构造法是通过构造一个辅助问题而使原问题得到转化；⑵直观性体现在构造法解决问题的步骤比较直观；⑶可行性体现在构造法不仅能判定某种数学对象的存在，而且在有限步骤内能具体找到它；⑷灵活性体现在用构造法解题，针对某一具体问题，怎样去进行构造，这与学生的数学基本功和解题经验都密切相关；⑸思维的多样性体现在构造法不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维，解题常要用到分析、综合、观察、比较、联想、想象等多种思维形式.2.4 构造法中常用到的思想方法构造法中常用到一些数学思想方法，例如：⑴类比构造：由于问题中研究对象有着形式上、本质上的相同或相似，通过构造类似的数学形式，运用新数学形式的丰富内涵达到解决问题的目的；⑵归纳构造：对于与n有关的问题，直接不容易构造出，而以具体的特殊的如()()()3ff进而推进到()n f等；,1f,2⑶逆向构造：是指按逆向思维方式，向原有数学形式的相反方向去探求，通过构造(形式上，关系上或程度上)对立的数学形式来解决问题；⑷联想构造：联想是由一事物想另一事物的思维方式和过程，这种联想通常是事物的形式、结构、范围、关系等因素作用的结果.2.5 构造法中常用到的类型下面介绍一些常用的构造方法：⑴构造数学命题法：如果遇到的数学问题直接证明有困难时，可构造其等价命题，并通过证明其等价命题成立从而使所论命题获证；⑵构造数学关系法：由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方法称为构造数学关系法；⑶构造几何图形法：在解题时若以数形结合的思想作指导，对于某些较复杂的问题，通过构造图形启发思维，借助于图形的直观来解题往往使解题方法简捷，几何证题中的辅助线，代数方程应用题中的示意图都属于这一类；⑷构造结论法：就是按照命题的条件和要求构造出符合结论的数学对象，从而断定命题正确性的证题方法。

构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法是一种具有实用性和创造性的解题方法，它在高考数学解题中起着重要的作用。

本文将从几何、代数和组合三个方面探究构造法在高考数学解题中的应用。

构造法在几何题中的应用广泛而重要。

在解决平面几何问题时，构造法可以通过描绘
图形、连接线段等方式，帮助我们直观地理解问题，并且可以有助于我们发现问题中隐藏
的规律和特点。

在解决圆心角问题时，我们可以通过画圆和连接线段来辅助解题。

在解决
相似三角形问题时，我们可以通过画出高度、中位线等辅助线，来构造相似的三角形，从
而解决问题。

构造法使我们的解题过程更加直观、灵活，能够帮助我们更好地理解和解决
几何问题。

构造法在代数题中的应用也非常重要。

在解决代数方程和方程组问题时，构造法可以
帮助我们建立等式、推导关系，并通过构造特殊的数值来验证和求解问题。

在解决二次方
程问题时，我们可以通过构造法将二次方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。

在解
决线性方程组问题时，我们可以通过构造法构造出满足条件的数值，从而求解方程组。

构
造法可以帮助我们深入理解代数的性质和运算规律，并通过具体的数值分析和验证来解决
问题。

构造法在高考数学解题中具有重要的应用价值。

在几何、代数和组合这三个方面，构
造法帮助我们直观地理解问题、建立等式和推导关系，并通过构造特殊的数值或图形来解
决问题。

它不仅提高了解题的效率和准确性，还培养了我们的创造思维和解决问题的能力。

在高考数学备考过程中，我们应该充分利用构造法，并通过大量的练习和实践来提升解题
能力。

浅谈结构法解题在高中数学比赛中的应用苏 传 忠在数学比赛指导过程中， 需要长久给学生进行有针对性的数学思想方法的训练。

此中结构法解题的思想， 就是一种值得推广的解题思想方法。

经过结构， 能够成立起各样数学知识之间的联系与互相转变， 让学生在娴熟掌握各样数学知识的前提下交互使用，举一反三。

一、 结构几何模型，使代数问题几何化。

代数运算固然直接，但有时会比较抽象且运算复杂，结构符合要求的几何图形， 能够是所求解的问题变得直观明亮，进而找到一个崭新的接替方法。

例一 ，设 a 为实数，证明：以4a 2 3, a 2 a 1, a 2 a 1 为边长能够构成一个三角形，且三角形的面积为定值。

剖析 ：从题目给出的三个根式我们知道，当实数a 去互为相反的两数时，不过此中两式角色交换，本质同样，故只要争对非负实数 a 睁开议论即可。

4a 232a 223Fa 2a 1a 2 2 2 a 1 cos60a1 aa 2 a1 a 22 2 a1 cos1201C1Daaa结构符合要求的几何图形以下图：60 1aAAD DFBCa30 a120BAB BE CD 1 1DAB60aCBE 120E于是：AF 2 , AE3,EF2 23 24 23aaaAD a, AB 1, FC DBa 2 12 2a 1cos60a 2 a 1BCa, BE 1, CEa 2 122 a1 cos120a 2 a 1因此：以4 a 23, a 2a 1, a 2a 1 为边长能够构成一个三角形，即ECF。

则： S ECFSAECFSAEF3S ABD S ABE S BCE S AEF3 1 a1 sin 601 1 1 sin120 1 a 1 sin 120 1 2a 32 22234二、结构方程模型，使几何问题代数化。

例二， 周长为 6，面积为整数的直角三角形能否存在？若不存在，则给出证明，若存在，请证明一共有几个？剖析：设两直角边长为a, b ，斜边为 c ，面积 s 为整数。

构造法在高中数学解题中的应用方法构造法是一种常用的解题方法，在高中数学中有着广泛的应用。

它通过巧妙地构造一些数学对象或者利用某些数学性质，来解决问题。

下面将介绍构造法在高中数学解题中的常见应用方法。

1.构造图形构造图形是构造法的一种常见应用方法。

在解决几何问题时，我们可以通过构造一些特殊的图形，来辅助求解。

要证明一个角为直角，可以通过构造一个等腰直角三角形；要证明两条线段相等，可以构造两个相等的线段等等。

通过构造图形，我们可以更加直观地理解问题，并且根据构造出的特殊图形进行推理和证明。

2.构造等式构造等式是构造法的另一种常见应用方法。

在解决代数问题时，我们可以通过构造一些特殊的等式，利用等式的性质和关系来推导和求解。

要解方程组可以通过构造一个与原方程组等价的等式，从而利用等式的性质消去未知数。

又要证明两个多项式恒等，可以通过构造一个等式，使得等式两边的多项式进行运算后得到相同的结果。

通过构造等式，我们可以把复杂的问题转化为更简单的等式求解问题。

3.构造序列4.构造方法构造方法是构造法的一个重要应用。

在解决问题时，我们可以通过构造一种方法或者算法，来找到问题的解决思路。

要证明一个命题成立，可以通过构造一个反证法，假设命题不成立，然后推导出矛盾；要解决一个最优化问题，可以通过构造一个函数或者模型，然后利用函数的性质进行优化。

通过构造方法，我们可以建立问题与数学方法之间的联系，从而解决问题。

构造法是一种重要的解题方法，在高中数学中有着广泛的应用。

通过构造图形、构造等式、构造序列和构造方法等，我们可以更加直观地理解问题，利用数学性质和关系进行推理和证明，以达到解决问题的目的。

希望通过这些介绍，能够帮助到学生在高中数学中更好地运用构造法解题。

构造法在竞赛数学中的应用摘要纵观多年来国内外数学奥林匹克竞赛试题，很大一部分试题都可以用构造法进行解答。

同时构造法是中学数学中一种重要的解题方法。

它不仅使学生的综合运用知识能力和应变能力得到加强，而是对于培养学生的创新思维能力也是非常重要的。

本文主要从构造函数、构造几何模型、构造对偶式、构造方程来阐述构造法的思想。

关键词构造法创新数学模型应用竞赛数学构造法解题贵在“创新”，解题时要打破常规，另辟蹊径，体现出简捷、明快、精巧等特色。

构造法的核心是“构造”，即直接构造有关结论、指标、算法、程序等而立即将问题解决或构造中介辅助元素、沟通数学题的条件与结论间的内在联系而使问题得以解决。

构造法的关键是：（1）要有明确的方向，即为什么构造；（2）必须弄清楚条件的本质特点，从而明确构造什么，如何构造，以达到解题的目的。

下面就从一些例题来看看构造法在数学竞赛中的应用：一、构造函数在求解某些数学问题时，以题设条件为对象，构想组合一种新的函数关系，使问题在新的观点下实行转化，利用函数的有关性质的研究而解决原问题。

三、构造对偶式对称式数学规律的一个重要的外在表现。

通常我们研究数学对称仅局限在数式和图形上的对称上。

实际上，数学对称蕴含着深刻的内容如数学概念引入的对称，数学各分支结构的对称。

曲线与方程的对称等。

由于对称很好的体现了数学规律。

所以利用对称性时常可得到简便的解题方法。

但是很多数学问题并不是一对称形式出现，我们可采用结构的策略，而简便地解题。

在求解某些数学问题时，利用矛盾对立统一性，充分揭示条件与结论的内在联系。

探索构造适宜的对偶式，来架设解题的通道也是值得重视的。

例7 证明：如果n是自然数，那么写成十进制小数时，从小数部分开始，n个数字都是相同的。

（匈牙利奥林匹克竞赛题）构造法对培养学生敏锐的观察力、丰富的想象力和创造性的思维能力有着不可低估的作用，所以我们在教学中应加强对学生这方面能力的培养。

参考文献【1】唐永明巧妙联想构造速解竞赛题[J] ，中学数学月刊2004，9【2】王远征构造二次函数求参数取值范围[J]，高中数学教与学2002，4【3】袁拥军从一道竞赛题谈构造法解题[J] ，高中数学教与学2003，11【4】朱明辉构造单位圆巧解三角题[J]，高中数学教与学2003，10【5】赵绪昌构造共轭根式解竞赛题[J]，中学数学研究2004，1【6】谢春雷冯彩霞巧用构造法解三角问题[J]，数学通报2004，11 【7】单樽熊斌高一年级奥数教程[M]，华东师范大学出版社2006 【8】单樽数学奥林匹克[M]，北京大学出版社。

向量法．
１ ． 构 造 方 程
中， 采用 构 造 函数 ， 可 以 将数 学 问题 转 化 为简 单 的 函 数 问题 ， 然后进行求解 ， 在 这个 函数构造 的转化过程 中， 学生的思维和创造性将会逐渐的形成．
例２ 已知ｍ、 凡 、 ０ ∈ ， 其中ｎ ＜ ｍ， 求证 ＜
一
高 中数学 中函数 和方程之 间有着 密切 的联系 ， 与方
程一样是高 中数学 的重要组 成部分． 采用构 造 函数 的方 法进行数 学解题 ， 可 以对 学生 的解题思 想进行 培养 ， 提 高学生 的实 际解 题能力． 这不仅仅 需要教会 学生解题 技 巧， 还需 要培养 学生 的解 题思想 ， 解题 思想是 数学解 题 中的 主线 ， 在数 学题 中 ， 代数类 型 的数学 题 和几何类 型
Ｄ
向量是高 中数学解题 中应用较 为广泛 的知识点 ， 通 过构 造 向量 能够 提 高解 题效 率 ． 尤 其对 于 不等 式 的结
构， 如 ＋ ｙ ， 可采 用 向量 的数量 积 的坐标来 表示 ， 将
的取值设定 为４ ， １ ， ２ 时， 在 Ｂ
上会 出现一个 新动点０， 为此 图１
例３ 、 ／ 代数式的最小值．
＋ 、 ／
， 其 中０ ≤ ≤４ ， 求解 这个
十。 ７ 教・ ？高 中 版
２ ０ １ ４年 ６月
教育 纵横
５ ． 构 造 向量
坛
线
解析： 根据题 意可 以对 该题进行 图形构 造 ， 利 用直 角三角形 的构造 ， 将这个问题简单化． 从 图１ 中， 可 以得 出Ａ Ｂ上 Ｂ Ｄ， Ａ Ｂ＿ Ｌ ＡＣ ，ｇＡ Ｂ， ＡＣ ， Ｂ Ｄ ｃ
例１ 已知 （ ｍ— ｎ ） 一 ４ （ ｎ — ） （ — ｍ） ＝ ０ ， 求 证ｍ， ｎ ， 为

构造法在高中数学解题中的应用方法构造法是一种解决问题的方法，它主要是通过构造出一些特殊的例子或模型，来推导出问题的一般结论。

在高中数学中，构造法通常运用于解决代数、几何、概率等方面的问题。

以下是构造法在高中数学解题中的应用方法。

1. 代数问题在解决代数问题时，构造法常常要求我们构造出一些具有特殊性质的数，或者通过构造公式来实现目标。

例如，在解决求根式值的问题时，我们可以通过构造一些恰当的分母，使问题化简为有理式，然后再运用有理化技巧解决问题。

同时，在解决分式、数列、函数等问题时，构造法也常常发挥重要的作用。

例如，在求分式的极限时，我们可以通过构造一些满足特定条件的分式数列来逼近极限值；在证明柯西-施瓦茨不等式时，我们可以通过构造分母为1的分式来使不等式满足等号条件。

2. 几何问题在解决几何问题时，构造法常常要求我们构造一些特殊的图形，通过特殊图形的性质来推导出结论。

例如，在证明三角形边长之和大于第三边时，我们可以通过构造一条垂足线来将三角形划分成两个直角三角形，然后再应用勾股定理证明结论。

同时，在解决圆的性质、向量运算、解析几何等问题时，构造法也常常发挥重要的作用。

例如，在求圆心角所对的弧长、向量的模长、直线的方程等问题时，我们可以通过构造特殊的图形和向量来化简问题。

3. 概率问题在解决概率问题时，构造法常常要求我们构造一些概率模型，通过模型的性质来推导出结论。

例如，在求事件总概率时，我们可以通过构造一个具有完备事件的概率空间，然后应用加法原理求出事件总概率。

而在解决独立、互斥事件发生概率的问题时，我们可以通过构造一个特殊的随机事件集合，然后应用乘法原理和加法原理来求解。

总之，在高中数学解题过程中，构造法是一个非常有用的工具。

通过构造出一些特殊的数、图形、概率模型等，我们可以将原问题化为易于解决的子问题，从而实现解题的目的。

因此，掌握构造法的应用技巧对于提高数学解题能力和水平，具有重要的意义。

构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是一种常用于高中数学解题的方法，尤其在解题思路不清晰或证明题目时，常常使用这种方法。

构造法是通过构造一个满足题意的合适的例子来证明或解决问题，它已成为高考数学解题的重要部分。

本文将从构造法的概念入手，介绍构造法在高考数学解题中的应用，探讨其特点、优缺点以及注意事项。

一、构造法的概念构造法是利用构造出符合问题条件的具体例子或图形，从而得出问题的解或证明的过程。

它是以例证代替证明，通过示范具体可行的方法，达到论证问题目的的方法。

1、数列在数列问题解决时，通过构造一个符合题目要求的数列，例如构造等差数列、等比数列等，从而证明某一结论的正确性。

例如，在数列求和问题中，我们可以通过构造一个等差数列，通过计算其首项、公差、项数，进而得到总和的公式，从而解决求和问题。

2、平面几何在平面几何问题解决中，通过构造各种形状的图形，例如三角形、四边形等，推导出某一结论的正确性。

例如，在三角形内角和问题中，我们可以构造一个等腰直角三角形，在此基础上，通过计算正弦余弦等，得出三角形内角和公式。

3、导数和极值在导数和极值问题解决中，通过构造某一函数的图像，推导出其导数的性质及极值的存在性。

例如，在实数域上函数值问题中，我们可以通过构造一个分段函数，分别讨论其左极限、右极限、存在的极限或间断点，从而解决函数值问题。

1、具体且易于理解：构造法是一种通过具体的例子或图形来证明或解决问题的方法，因此易于理解和掌握。

2、简化问题：构造法在解决复杂问题时，通过构造相关的例子或图形，可以化繁为简，使问题更易于处理。

3、不唯一性：构造法解决问题时，构造的例子或图形是不唯一的，因此需要通过多种方式来构造，从而得到可靠的结论。

四、构造法的优缺点1、优点（1）易于理解和掌握。

（2）简化复杂问题，使问题更易于处理。

（3）可以解决一些推理性问题，在证明和建立数学结论中常常有应用。

2、缺点（1）构造法不能得到普遍的规律，只是在某个特定条件下成立的例子。

构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种在数学解题中常用的方法，它通过构造特定的数、图形或形式来解决问题。

构造法在高中数学中的应用十分广泛，不仅能够帮助学生理解问题，还能够培养学生
的逻辑思维和创造力。

一、构造法在代数问题中的应用
1. 构造特殊的数：通过构造特殊的数来解决问题，如通过构造一个满足条件的整数、有理数或无理数等。

在解方程问题中，可以通过构造特殊的数来找到解的规律或确定解的
范围。

2. 构造函数式：通过构造合适的函数式来解决问题。

在函数的极值问题中，可以通
过构造一个函数式来描述问题，并通过分析函数式的性质来确定极值点。

3. 构造方程组：通过构造一组方程来解决问题。

在线性方程组的解题中，可以通过
构造一组满足条件的方程来确定未知数的值。

三、构造法在概率与统计问题中的应用
1. 构造样本空间：通过构造合适的样本空间来解决概率问题。

在求解随机事件的概
率问题中，可以通过构造一个恰当的样本空间来确定事件发生的可能性。

2. 构造频数表或频率分布图：通过构造频数表或频率分布图来解决统计问题。

在统
计一组数据的分布特征时，可以通过构造一个频数表或频率分布图来描述数据的分布情
况。

3. 构造统计模型：通过构造合适的统计模型来解决概率与统计问题。

在求解样本均值、方差等问题时，可以通过构造一个适当的统计模型来计算所需的统计量。

高中数学解题中“构造法”的应用探讨作者：***
来源：《中学生数理化·自主招生》2020年第04期
构造法是比较常见的一种数学解题方法，将其应用到高中数学解题中，可以有效降低解题难度，提高解题的准确性。

下面就构造法在高中数学解题中的具体应用策略展开探究。

1.构造函数解决数学问题
在解决一些数学问题时，可以结合题目中的已知条件，构建新的函数关系式，让原来的问题转变成函数问题，并利用函数性质解决原来的问题。

构造函数解题是一种创新过程，其本身具有很强的技巧性，同学们在应用的过程中，需要盯紧要证、要解的目标。

2.构造方程解决数学问题
在高中数学中，方程是十分重要的内容，与函数有着十分紧密的联系。

在数学解题中，同学们可以结合题目中的数量关系、结构特征，构造相应的方程，利用方程理论解决原来的问题。

3.构造向量解决数学问题
由于向量本身的性质，使得向量可以在数形之间灵活转变，在高中数学解题中，不管是几何问题，还是代数问题，或者是三角问题，都可以用向量这一工具来解决。

因此，在实际解題中，同学们可以构造相应的向量来解决数学问题。

构造法在高中数学解题中的应用方法1. 引言1.1 介绍构造法在高中数学解题中的重要性构造法在高中数学解题中扮演着重要的角色，它是一种重要的解题方法，可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。

构造法在高中数学学习中扮演着至关重要的角色，不仅仅是因为它可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，更重要的是，构造法可以培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力。

通过构造法解题，学生需要分析问题的特点，寻找问题的根本规律，然后根据规律进行构造推导，最终达到解题的目的。

构造法的应用不仅可以让学生更好地理解和应用数学知识，还可以培养他们的逻辑思维能力和创造性思维能力，提高他们的问题解决能力和创新能力。

构造法在高中数学解题中具有重要的应用价值，对学生的数学学习和发展起着积极的促进作用。

2. 正文2.1 什么是构造法构造法是一种数学解题方法，通常用于解决几何、代数和概率等问题。

它是一种通过构造特定形状或对象来达到解题目的目的的方法。

在解决问题时，我们可以通过构造法来建立一定的几何图形或特定的代数表达式，从而找到问题的解决方案。

构造法的核心思想是通过构造特定的结构或对象，来揭示问题的本质并找到解决问题的方法。

构造法有许多种形式，比如利用平移、旋转、反射等方法来构造几何图形，利用等式变形、代数式构造等方法来解决代数问题，利用概率模型来构造概率问题的解决方法等。

构造法在数学解题中起着至关重要的作用，它能够帮助我们更好地理解问题的本质并找到解决问题的方法。

通过构造法，我们能够更加灵活地思考和处理各种数学问题，提高解题的效率和准确性。

在高中数学学习中，掌握构造法的方法和技巧对于提高数学解题能力至关重要。

2.2 构造法的基本原理构造法的基本原理是一种通过建立特定结构或模型来解决数学问题的方法。

在数学解题中，构造法通常涉及到创建或构建一些可以帮助我们理解和解决问题的图形、符号、方程式或其他形式的模型。

1. 确定问题：首先需要确切地理解题目要求和问题类型，确定需要解决的具体问题。

10中等数学谈构造法在高考和数学竞赛中的应用谈启君(广东省湛江第一中学，524038)李树林(甘肃省西北师大附中，730070)中圈分类号：0141．4文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)10—0010—04数学高考和数学竞赛是性质不同的两种测试，前者重基础，需要练好基本功，后者重创造，需要奇思妙想，但不管何种测试，在功能上有一点是相同的，即发现并培养学生严谨的逻辑思维能力和敏锐的直觉思维能力．构造本领是学生数学核心素养的一种重要体现方式．当一个问题百思不得其解时，通过合理巧妙的构造，构造出一种新的数学形式或数学命题，使得问题在新形式下简捷明快，思路自然．无论是在高考数学还是竞赛数学中，构造都已成为非常重要的思想方法．常收稿13期：2010—05—1l修回日期：2010—07—08见的有构造函数，构造方程，构造抽屉，构造数列等．1构造函数例1已知数列{口。

}、{b。

}满足Ⅱ。

=b。

，且对任意／7,∈N+都有¨小-，等=尚．(1)判断数列{麦)是否为等差数列，并说明理由o(2)证明i(1+口。

)”1b=>1．(2010，广州高考第二次模拟题(文))2．设a,b、c表示△A B C的三边长，P、Q 为△A B C所在平面上任意两点．求证：aP A Q A七bPB Q B+cP C Q C>一abc．提示：设A、日、C、P、Q在复平面对应的复数为菇1、菇2、x3、t I、t2，构造函数／．(z)=(z—t I)(省一t2)．则由拉格朗日插值公式得f(x)=骞地)耍羞．1旬《33．已知P(髫)为2n次多项式，其中，p(o)=P(2)=…=P(2n)=0，P(1)=P(3)=…=P(2n—1)=2，P(2n+1)=一30．求n的值．2^．提示：P(并)=∑P(i)Ⅱ裂．i=l J≠i一J16j《2t t4．已知函数f(茗)=簖2一c(口、C为实数)．若一4≤，(1)≤一l，一l≤了(2)≤2，贝0八8)的最大值是多少?(2008，青少年数学国际城市邀请赛)提示：由灭茗)=ax2一c是偶函数，得以一1)=八1)．仿例2，由拉格朗日插值公式得以8)=-20f(1)+21f(2)6122．参考文献：[1]沈文选，张矗，冷岗松著．奥林匹克学中的代问题【M]．长沙：湖南师范大学出版社，2009．20i o 锑lo 期．一一—』————————————————————————————————————————————————————一一一【分析】构造函数证明(1+％)4+16：>l ，【点评】构造函数，利用函数单调性是证关键在于对不等式(1+￡可)”1(￡l 一)“>1变形．(1)解由题设知等=南：毛=i 1aa1a+嘲。

构造法在高中数学解题中的运用措施探讨张殷兵(上海市晋元高级中学㊀２００３３３)摘㊀要:在整个高中数学教学过程中ꎬ学生至少有一半的时间在解题ꎬ而所谓解题过程ꎬ其实就是将未知转化为已知的过程ꎬ而这个转化过程也就是解题过程ꎬ转化能力也成为了学生数学解题能力的体现之一.在高中数学解题过程中有很多种解题方法ꎬ构造法是最常用的方法之一ꎬ也是一种化繁为简㊁化难为易的有效解题方法ꎬ对提高学生数学学习兴趣和解题积极性有着巨大作用ꎬ本文就构造法在高中数学解题中的运用措施展开相关研究和探讨.关键词:构造法ꎻ高中ꎻ数学解题ꎻ运用措施ꎻ探讨中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０９－００３１－０２收稿日期:２０２０－１２－２５作者简介:张殷兵(１９６８.１２－)ꎬ男ꎬ江苏省启东人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀数学是一门抽象性较强的课程ꎬ相较于初中数学ꎬ高中数学知识的难度比较大ꎬ尤其是在做习题的时候很多学生往往都摸不着头脑ꎬ从而出现了无从下笔的情况ꎬ甚至有的学生都不知道用哪种方法来解题ꎬ随着时间的推移ꎬ学生的积极性和自信心会被逐渐打击ꎬ学习兴趣也会慢慢降低ꎬ直到对数学失去学习兴趣ꎬ如果这时再开始进行解题教学为时晚矣ꎬ因此ꎬ高中数学教师需要从高一开始传授学生不同的解题方法ꎬ促进学生解题思路的形成.㊀㊀一㊁构造法的概念和运用现状构造法的形成之日便是数学的诞生之日ꎬ也就是说有数学就有构造法ꎬ构造法是一种非常实用的解题方法ꎬ本质上是指学生构造一个与题干中已知的条件或者是隐藏条件㊁待求证条件有关系的数学模型ꎬ并利用这一模型的性质特点求出题干中的未知.从狭义上来说构造法是一种解题方法ꎬ从广义上来说则是一种数学构造思想.在构造法实际应用中ꎬ学生首先需要了解构造法的形成和概念ꎬ而数学本就是一门抽象的逻辑性学科ꎬ如何让学生听懂成为了高中数学教师需要解决的问题.因此ꎬ教师需要用通俗易懂的语言为学生讲述ꎬ在引导学生通过自己的理解进行构造法解题ꎬ在实践中了解和体会ꎬ从而真正掌握构造法.调查发现ꎬ现阶段很多高中生虽然已经对构造法产生了一定认知ꎬ但是却不懂如何入手ꎬ不知道什么题型用构造法ꎬ也不知道构造法的运用意义.针对这种情况ꎬ教师在日常教学中不仅要为学生讲解构造法ꎬ还应该普及其他解题方法ꎬ并让学生了解每一种方法的优缺点以及特点ꎬ随着时间的积累学生在看到题干时便会很快知道用哪种解题方法ꎬ同时也知道构造法在哪种题目中使用.除此之外ꎬ教师还需要重视学生联想能力的培养ꎬ这样一来学生在看到某一题目时ꎬ可以快速捕捉题干信息ꎬ与所学的知识建立有效联系ꎬ比如解题思路相似?题目已知条件相似?题目未知条件相似?教师通过引导学生联想ꎬ可以帮助学生将所学的知识和解题思想进行归纳ꎬ从而形成适合自己的数学解题模型ꎬ最终实现解题的目的.㊀㊀二㊁在高中数学解题中运用构造法的作用１.有利于提高学生解题能力构造法既然是数学解题方法ꎬ那么对于学生来说掌握了构造法自然可以提高解题能力ꎬ尤其是在高中数学中学生要面对复杂的三角函数㊁指数函数㊁对数函数等各种数学难题ꎬ如何在短时间内获取解题思路成为了解题的关键ꎬ而构造法可以帮助学生将未知变为已知ꎬ将题干中隐藏的条件变成可视ꎬ这样一来可以大大激发学生的解题积极性ꎬ甚至可以消除学生对数学的畏难情绪.其实很多高中生的理论知识并不差ꎬ只是数学思想和解题思维比较薄弱ꎬ这就需要教师在夯实基础的前提下ꎬ锻炼学生的解题能力和解题思路ꎬ加大训练维度ꎬ由此来促进学生对解题方法的熟练.２.有利于培养学生思维能力数学是一门对学生思维能力要求比较高的课程ꎬ在语文学习中学生只需要会基本的听说读写就可以具备良好语文素质ꎬ但是在数学学习过程中ꎬ学生需要的不仅仅是口和手ꎬ更需要思维意识.学生通过学习构造法ꎬ可以形成良好的构造性思维ꎬ并在类比㊁归纳㊁转化等数学思想影响下实现数学模型的建立ꎬ这样一来学生的解题能１３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.力㊁创新能力㊁构造能力㊁思维能力都会得到大大提升ꎬ同时还可以促进学生数学思维和数学思想的有效统一.３.有利于培养学生联想能力在高中数学解题中运用构造法的前提是学生具备联想能力ꎬ通过联想才能实现未知和已知的构造转化ꎬ而通过构造法解题也可以强化学生的联想能力.因此ꎬ在高中数学解题过程中ꎬ教师需要注重学生联想能力的培养ꎬ首先可以从题目中隐含条件入手ꎬ其次从题目类型联想ꎬ然后通过联想构造对已有的解题思路和方案进行验证ꎬ与此同时教师还需要培养学生的创新能力ꎬ联想能力的提升离不开创新能力.４.有利于学生促进知识转化高中数学知识点繁多ꎬ很多学生在学习时往往都是将每个知识点进行分割学习ꎬ却不知很多知识点的内在勾结关系ꎬ这样也会导致学生对数学学习完整性缺失.而构造法的运用ꎬ可以帮助学生实现相关知识点之间的有效转化ꎬ在解题过程中ꎬ学生可以用构造法解决几何问题㊁代数问题㊁函数问题ꎬ这些都可以促进学生对数学知识的转化.㊀㊀三㊁构造法在高中数学解题中的运用措施１.培养学生构造理念构造法的运用是为了完成解题目标ꎬ而解题又是令很多学生头痛的问题ꎬ那么在此背景下ꎬ教师可以利用学生迫切解题的情绪引入构造法ꎬ这可以加深学生对构造法概念的理解ꎬ从而逐步形成构造理念.例如在解决难题时ꎬ教师可以通过构造法化繁为简ꎬ使学生有一种 原来如此简单 的意识.这时教师需要鼓励学生在解题时大胆联想ꎬ打破常规将题目简单化.而构造理念不是短时间内可以形成的ꎬ需要教师在日常教学中不断渗透ꎬ并讲出构造法的优点ꎬ让学生在解题过程中灵活运用.尤其是对于一些学习能力差的学生来说ꎬ构造法可以帮助他们巩固基础ꎬ深入了解不同知识点的含义和相互关系.因此ꎬ高中数学教师在构造法教学中要运用层次化教学模式ꎬ尊重学生个体化差异ꎬ帮助学生突破解题瓶颈ꎬ提高数学解题能力ꎬ为今后的数学学习打下扎实基础.２.结合多种解题方法构造法只是众多数学解题方法之一ꎬ也是最有效的解题方法ꎬ但是这并不意味着它适合每一道题ꎬ其实在数学解题过程中学生需要不断结合多种方法才能实现解题最大效率.例如在解决函数问题时ꎬ很多时候都要用到函数极值思想ꎬ这时候便不需要再运用构造法ꎬ再比如解决方程题目可以运用两边平方法直接解决ꎬ掌握构造法的目的是培养学生的联想能力㊁思维能力㊁解题能力ꎬ而解题能力的培养方法还有很多.所以教师在实际操作中ꎬ需要帮助学生掌握多种解题方法ꎬ这样才能让学生真正了解构造法的优势ꎬ同时在解决问题过程中可以运用多元化解题思路快速解决问题ꎬ而不是一味的套用构造法.只有这样才能提高学生的思维能力ꎬ从而有效促进数学学习能力的提升.例如:试证:对任何ａ>０ꎬｂ>０ꎬｃ>０ꎬ都有ａ２－ａｂ＋ｂ２＋ｂ２－ｂｃ＋ｃ２ȡａ２－ａｃ＋ｃ２ꎬ当且仅当１ａ＝１ｂ＝１ｃ时等号成立.在学生没有学习构造法的时候ꎬ解决这道题时一般用三角知识解答ꎬ然后直接将两边平方ꎬ虽然可以解出答案ꎬ但是整个过程比较复杂ꎬ而且也不容易说明.相反如果运用余弦定理知识构造三角形ꎬ构造三个三角形分别是әＡＢＤ㊁әＣＢＤ㊁әＡＣＤꎬ然后再用余弦定理求出ＡＤ㊁ＤＣ㊁ＡＣꎬ而根据图形知道ＡＤ＋ＤＣ>ＡＣꎬ这样就可以很快证明题目.这样一来学生通过对比分析法㊁综合法㊁构造法便会知道构造法的便捷性.３.积极培养多向思维在传统数学教学中学生往往是运用固定式思维来解决问题ꎬ导致学生的数学解题能力虽然强ꎬ但是学生思维能力和实践能力却比较差ꎬ在运用构造法时往往都差强人意.因此ꎬ高中数学教师在教学活动中应该注重学生多向思维的培养ꎬ这样学生在解题过程中就不会局限一隅ꎬ而是会充分利用构造法利用已知求出未知.与此同时ꎬ教师还需要培养学生的转化思维ꎬ在数学学习逆过程中运用数形结合的思想快速找到构造法入手点ꎬ从而依此探索出题干中隐藏的关联知识点.例如在解决三角函数问题时ꎬ可以运用函数图像结合题干解决问题ꎬ这便是数形结合思想在构造法中的运用.由此可见构造法对思维能力要求比较高ꎬ所以教师不论是在课堂教学还是习题练习中都应该重视学生多向思维和转化思维的培养ꎬ只有这样才能保证构造法的有效运用.综上所述ꎬ在高中数学学习过程中学生的课业比较繁重ꎬ为了迎接高考要面对数不尽的题海ꎬ在这个过程中学生很容易失去坚持毅力ꎬ而构造法的运用可以帮助学生重塑数学学习自信心ꎬ也培养了学生的数学思维㊁数学思想㊁联想能力㊁创新能力㊁解题能力ꎬ同时也为学生今后的高阶数学学习打下了坚实基础.㊀㊀参考文献:[１]马新涛. 构造法 运用在高中数学解题中的具体策略[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(８３):８０.[２]韓丹娜.构造法在高中数学解题中的运用措施探讨[Ｊ].基础教育论坛ꎬ２０１８(１３):６０－６１.[３]张晓鸥.论高中数学解题中运用构造法的措施[Ｊ].考试周刊ꎬ２０１８(２７):９３.[责任编辑:李㊀璟] ２３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

２、构造函数法 数 学中大量存 在 的各 种关系，很 多情况下 是 函数关 系。若所研 究 的问题本质 上是一种 函数关 系，则 可将题设 条件及题 中给 出的数量关
系构造 出一种新 的函数，通过对 函数性质 的研究，使问题得到解决 。
例４、已知 ＞Ｏ，求证ｚ＋ ｚ ＋ 昙
．ｚ＋
Ｚ
思路分析 ：构造 函数 ，（ｚ）＝－ ｚ＋ ＞Ｏ），则 ｚ＋ ≥２，
山
＿』Ｉ
设 ２ Ｏｔ＜口
ｆ（ａ）－ｆ（ｆ １） ａ＋１ 一（卢＋吉）＝ 一卢）＋（ １一 ） 一 ａ（ ８ 一１）
显然 ‘．’２≤口＜ ．‘．ａ一 ＞０， ＞０， 一１＞０故 ＿厂（ａ）－ｆ（ｆ１）＞０
所以ｆ（ｘ）在【２，＋∞）上单调递增，所以左边 厂（２）＝昙
构造函数的关键是 选择恰当的函数解析式 ，这需要有高度 的观察 和分析能力 ，观察想象条件 的主体特征 ，所 以条件 的特点给 了我们很大 的思考的空间 ，我们要 学会使用好每一个条件 。
在数学 解题过程中 ，构造法应用体现在两个方面 ：一是数学 问题本 身有 构造性 的要求或者可 以通过构造 而直接得解 ；二 是有些 问题需要 通 过构造 出一个 与原问题有关或等价 的新 问题 （即称为辅助 问题），并 通 过 辅助 问题帮 助原 问题的解决 。这种 巧妙构 思正是 构造法 的技巧所 在 。
３、构造 方程法 方程作 为中学 数学的重要 内容之一 ，它 与数式 、函数等诸 多知识 密 切地联 系在一起 ，不论解 方程计算 、求值 以及证 明等 ，都可以根据 问题 条件 中的数量关系和结构特征 ，构造 出一个新 的方程 ，然后将 问题 置于 方程 的求解或讨论 中，使问题获得解 决。 例 ５、若 一 ） 一４（ｘ－ｙ）（ｙ一２）＝０，证 明：Ｚｙ＝ ＋２。

、
明 确 概 念 进 行 情 境 构 造
所 谓 情 境 构 造 就 是 结 合 在 数 学 解 题 中 遇 到的具 体 问题 ， 通 过 自 身 对配合 这 个 题 目， 将 问 题 的 真 实 情 境进 行 重 现 ， 从 而 加 速 对 问 题 的 思 考 和 解 答 过程 。 例 １ 已 知 口＜ ｂ＜ Ｃ ， ｚ是 一个 实 数 ，
一
的条 件说 明 了点 （ ａ， ｂ ） 在 直 线 ｚ＋ ２ ｙ＋ ４ —０ 上 ， 点 （ ～ ， 一 Ｙ） 在 直 线 ｚ＋ ２ ｙ一 １ — ０上 ， 且 这两条 直线 相互 平行
。
．
因 一 上 坚 一 ， ￣ ／ １ ＋２ 。
所 以有 （ ａ＋ ｚ） 。 ＋（ ６－ ｔ － ３ ， ） 。 ≥５ 。 点评 ： 这 道 题 目 中 的 数 量 关 系 比较 简 单 ，
总之 ， 构 造 法 在 高 中 数 学 解 题 中 的 运 用 形 式多 种 多样 ， 以 上 是 具 有 代 表 性 的 几 种 方
法 。构 造 法 是 一 种 灵 活 多 变 的 运 用 数 学 的 基
地 练 习 来 完 善 自身观 察 能 力 。 二、 抓 准 方 向进 行 图 形 构 造 图 形 构 造 就 是 根 据 题 目 中 数 量 关 系 的
方 法 。 例 ２ 已 知 口， ｂ， Ｘ， ∈ Ｒ 且 满 足 方 程
真 的观察 、 深 入 的 思 考 而 后 构 造 出 解 题 的 数
所 以我们 没 有 画 图， 但 是 仍 然 在 脑 海 中 进 行 了图形 的构造 。
三、 仔 细 审题 进 行 方 程 构 造 方 程 构 造 法 在 高 中数 学 解 题 中 的 应 用 应 该 是最 广 泛 的。 例 ３ （ — ） 。 一４ （ ｎ— Ｘ） （ ｚ — ） 一 ０， 求证 ： ｍ， ， ｘ为 等差数 列 。 解析： 构造 方程 （ — ｚ） ｔ 。 ＋ （ ｍ 一 竹） ｑ － （ ｚ— ｍ ） 一０ ， 令 △一 （ ｍ — ） 。 一４ （ — ｚ） （ ｚ～

“构造法”在高中数学解题中的应用分析摘要：新课改对高中生能力提出了新的要求，高中数学教师在保证数学题锻炼的基础上，要转换学生思维，通过采用一类问题的性质解决另一类问题.出于此种目的，构造法恰好能够较好地解决这一问题，可将“未知”量转为“已知”量，帮助学生解题，同时培养学生的观察能力、分析能力及创造能力，符合当前素质教育的要求.关键词：构造法高中数学解题应用构造法，简而言之，是指根据题设条件或结论所具有的特征、性质，进而构造出满足条件及结论的数学模型，在解题过程中，主要是将“未知”量转变为“已知”量，进而帮助学生快速解决问题.采用构造法最主要的是“转化”思想，构造与原问题相关的辅助问题，帮助学生解决问题.1.构造方程方程法的构造是高中数学解题中最常使用的一种构造方法.方程式对于学生来说并不十分陌生，其作为数学的重要内容，通常与函数等相关知识紧密联系.在一定程度上，可利用题型所给的数量关系和结构特征，通过设想建立一种等量性的式子，分析几个未知量之间的相互联系及方程式等量关系，利用恒等式的多方位的变形，将数学题中的抽象内容实质化、特殊化，提高学生解题速度及质量.利用方程构造的方法进行解题，可培养学生的观察能力和思维能力.如：（m-n） -4（n-x）（x-m）=0，求证：m，n，x为等差数列.解析：针对这个问题，利用构造的方法，将题中的条件和结论联系在一起，可以将这个问题简单化，针对这个问题构建方程：（n-x）t +（m-n）+（x-m）=0 ①，令△=（m-n） -4（n-x）（x-m），根据题意得出△=0，则构建的方程①中的实数根相等，再由（n-x）+（m-n）+（x-m）=0得出t=1，进而得出该方程中的两个实数根均为1.由韦达定理得出m+n=2x，进而证明题中的m，n，x是等差数列.利用方程构造的方法，对高中数学中的难题进行求解，将数学题简单化，培养学生的观察能力及思维能力，遇到数学题，可以快速地进入主题求解.2.构造函数高中数学中，函数与方程一样是高中数学的重要组成部分，采用函数构造的方法进行数学解题，可以对学生的解题思想进行培养，提高学生的实际解题能力.解题思想是数学题解题中的主线，在数学题中，代数类型的题和几何类型的题，均含有一定的函数思想.所以在解题过程中，采用函数构造，可以将数学问题转化为简单的函数问题，然后求解.在这个函数构造的转化过程中，学生的思维和创造性会逐渐形成.如：已知m、n、a∈R ，其中n< .解析：从这个数学题中的信息可知，使用x将题中的a代替，这样就会得出可以一个关于x的式子， < ，将该式子看成一个函数，x∈R ，就可以构造一个函数：f（x）= ，其中的可以将其看成是 +1，因此可以得出是在[0，∞]这个区间上的一个函数，而且是一个增函数，进而就可以对这题进行求解.3.构造图形在高中数学中，利用图形解题是一种常采用的方法，数形结合是高中数学解题中的重要工具.遇到可以使用图形解题的数学题时，采用图形构造的方法进行解题，可将抽象、复杂问题形象化、简单化，使问题更直观，同时也能够培养学生的数形结合思想.如： + ，其中（0≤x≤4），求解其最小值.解析：根据题意可以对该题进行图形构造，利用直角三角形的构造，将这个问题简单化.图1从图1，可以得出AB⊥BD，AB⊥AC，当AB，AC，BD的取值设定为4，1，2时，在AB上会出新一个动点O，为此设AO=x，此时就可以得出OC =OD= ，如果想要 + 的值最小，只需要将OC+OD的最小值求出，就可以得出 + 的最小值.4.构造数列高考题的特征“源于课本，而不同于课本”，学生在解课本习题时，当遇到陌生问题时，应静下心想想教师之前所教的解题方法，选择适当的解题方法，深化思维.在解题过程中，认识到与某个知识点类似，可将其转化为该知识点进行解答.构造法能够有效解决这一问题.已知a ，且a =pa +q（p、q是常数）的形式的数列，均可用构造等比数列法即a +x=p（a +x）（x是常数），数列{a +x}为等比数列，这是大家都非常熟悉的.如：若数列{a }满足a =1，a = a +1，求a .解析1：令a +x= （a +x）（x是常数），则a = a + x-x= a - x该式与已知式a = a +1对比，可求得x的值.- x=1即x=-2∴ = ∴数列{a -2}是以a -2=-1为首项，以为公比的等比数列.∴a -2=-1×（）∴a =2-对既非等差又非等比数列通项求解，应用化归思想，可以通过构造将其转化成等差或等比数列之后，再对应用各自的通项公式进行求解.解析2：∵a = a +1∴a = a +1两式相减得a -a = （a -a ）令b =a -a （n=1，2，3，…）则b =a -a = ，b = b所以，数列{b }是以为首项，以为公比的等比数列.所以b = ×（） = ，即a -a = ，a -a = ，a -a = ，a -a = ，当n>1时，a -a = .这n-1个式子相加得a -a = + + +…+于是a =1+ + + +…+ = =2- （n≥2）a =1也满足上式，因此，a =2- . 这两种方法相比，后一种方法比较麻烦，从中可得知：相邻三项之间也可构造出等比数列.在教学中，可以让学生思考、讨论并相互交流，让学生自主分析如何将其构造成等差及等比数列，教师可以根据学生的实际情况，适时对学生的疑问给予引导，如果学生还找不到方法，教师就可以引导学生参照例一的方法，对课本习题进行研究探讨，从而找到解题方法.5.构造向量向量是高中数学解题中应用较广泛的知识点，通过构造向量，能够提高解题效率.尤其对于不等式的结构，如x x +y y ，可采用向量的数量积的坐标表示，将原不等式进行适当变形，为不等式的证明提供新方法.如：已知≤x≤5，证明：不等式2 + +解析：在上述不等式左侧，2 + + 可变形为2 +1? +1? 的形式，而该形式正好是x x +y y +z z 的结构，对此，可采用向量的数量积表示，并利用数量积的性质a?b≤|a||b|证明该不等式.构造向量a=（，，），b=（，，），则有：|a|= =|b|= =又因为a?b≤|a||b|，所以? + ? + ? ≤ ?最后可得：2 + +6.构造模型所谓现实模型，是指构造与现实生活相关的模型，这种模型构造有利于学生理解，使复杂问题简单化，抽象问题形象化.仍以“已知α、β、λ均为正实数，且α”为例，可构建以下现实模型.解析：因为α、β、λ均为正实数，且α高中生课程繁多，面对浩瀚如海的数学题，在实际学习中难免有无形压力，不仅失去数学学习兴趣，而且挫伤解题积极性.为此，教师应在数学解题教学中加强“构造法”在高中生数学解题中的运用，根据题目类型，寻找适合的构造方法，帮助高中生节省解题时间，同时在一定程度上培养高中生的思维能力和创新能力，提高学生的数学解题能力.参考文献：[1]史海霞.构造法在高中数学中的运用[J].读与写（上，下旬），2014，（3）：171-171.[2]耿燕.高中数学解题教学中如何巧用构造法[J].语数外学习（数学教育），2013，（2）：12.。