2020届浙江金华市浙师大附中高三上学期“扬帆起航”数学试题(解析版)

浙江省金华市2020版数学高三上学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·长治月考) 已知集合，，，则（）A .B .C .D .2. （2分）复数z=1-i,则对应的点所在的象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）向量与的夹角为，，则=（）A .B .C . 4D . 124. （2分） (2018高一下·毕节期末) 在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点，则等于（）A .B .C .D .5. （2分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A .B .C .D .6. （2分）下列命题错误的是（）A . 命题“若m ＞ 0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”．B . “x＝1”是“x2－3x ＋ 2＝0”的充分不必要条件.C . 若为假命题，则p ， q均为假命题.D . 对于命题p：使得x2+x+1<0,则,均有7. （2分）(2019·临沂模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A . 1B .C .D . 08. （2分）如果的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中项的系数是（）A . 7B . -7C . -21D . 219. （2分）已知，满足，且的最大值是最小值的4倍，则m的值是（）A .B .C .D .10. （2分）直径为6的球的表面积和体积分别是（）A . 144π，144πB . 144π，36πC . 36π，144πD . 36π，36π11. （2分） (2019高二下·凤城月考) 若，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 函数的单调递增区间是（）.A .B .C . (1,4)D . (0,3)二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二下·郑州期中) 若a= x2dx，b= x3dx，c= sinxdx，则a，b，c从小到大的顺序为________．14. （2分） (2019高三上·浙江月考) 设数列的前项和为，满足，则 ________， ________.15. （1分） (2016高二上·大连期中) 设F1 ， F2分别是椭圆 =1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|+|PF1|的最大值为________16. （1分）方程9x+3x﹣6=0的实数解为 x=________三、解答题 (共7题；共50分)17. （5分） (2016高二上·三原期中) 在△ABC中，若∠B=30°，，AC=2，求S△ABC ．18. （10分） (2018高二上·湖北月考) 某校为了解学生对正在进行的一项教学改革的态度，从500名高一学生和400名高二学生中按分层抽样的方式抽取了45名学生进行问卷调查，结果可以分成以下三类：支持、反对、无所谓，调查结果统计如下：附：，其中 .（1）（i）求出表中的的值；（ii）从反对的同学中随机选取2人进一步了解情况，求恰好高一、高二各1人的概率；（2）根据表格统计的数据，完成下面的的列联表，并判断是否有90%的把握认为持支持与就读年级有关.（不支持包括无所谓和反对）高一年级高二年级总计支持不支持总计19. （5分）(2019·和平模拟) 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；（Ⅲ）设点在线段上，且二面角的余弦值为，求点到底面的距离．20. （10分）某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙面高，为，弧顶高为．（1）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．21. （5分）(2017·武邑模拟) 已知函数f（x）=﹣x3+x2（x∈R），g（x）满足g′（x）= （a∈R，x＞0），且g（e）=a，e为自然对数的底数．（Ⅰ）已知h（x）=e1﹣xf（x），求h（x）在（1，h（1））处的切线方程；（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≥﹣x2+（a+2）x成立，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数F（x）= ，O为坐标原点，若对于y=F（x）在x≤﹣1时的图象上的任一点P，在曲线y=F（x）（x∈R）上总存在一点Q，使得• ＜0，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．22. （10分） (2016高一下·九江期中) 设函数f（x）=sin（2ωx+ ）（其中ω＞0），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是．（1）求y=f（x）的最小正周期及对称轴；（2）若x∈ ，函数﹣af（x）+1的最小值为0．求a的值．23. （5分）已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证：++≥3．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、22-1、22-2、23-1、。

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

浙江省金华市师范大学附属中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140） , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为（）A．B． C．D．参考答案：B2. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：B3. 在右程序框图中，当表示函数的导函数，若输入函数，则输出的函数可化为A． B．—C． D．—参考答案：D4. 设函数则满足的的取值范围是( )A. [－1,2]B. [0,2]C. [1,+∞)D. [0,+∞)参考答案：D或或,故的取值范围是,故选D。

5. 给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：（1）该方程没有小于0的实数解；（2）该方程有无数个实数解；（3）该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；（4）若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】作图题．【分析】问题等价于函数y=1﹣（）x与y=sinx的图象交点的横坐标，作出函数的图象，逐个选项验证可得答案．【解答】解：由题意可知方程（）x+sinx﹣1=0的解，等价于函数y=1﹣（）x与y=sinx的图象交点的横坐标，作出它们的图象：由图象可知：（1）该方程没有小于0的实数解，错误；（2）该方程有无数个实数解，正确；（3）该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，正确；（4）若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1，正确．故选C【点评】本题考查命题真假的判断，涉及函数图象的作法，属基础题．6. 我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27 D．18参考答案：B由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为和，高为，所以几何体体积．故选B．7. 等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和是( )A.130B.170C.210D.260参考答案：C略8. 函数y=1+x+的部分图像大致为A．B．C．D．参考答案：D当时，，故排除A,C,当时，，故排除B,满足条件的只有D,故选D.9. 如图，△是边长为的正三角形，点在△所在的平面内，且（为常数）.下列结论中，正确的是………………………………………………（）.当时，满足条件的点有且只有一个..当时，满足条件的点有三个..当时，满足条件的点有无数个..当为任意正实数时，满足条件的点总是有限个.参考答案：C略10. 在等差数列{a n}中，若，则的值为（）A.75B.50C. 40D.30参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，的等腰直角三角形与正三角形所在平面互相垂直，是线段的中点，则与所成角的大小为参考答案：12. 如右图，在三棱锥D- ABC中，已知BC丄AD，BC=2 ,AD=6,AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D一ABC的体积的最大值是__________.参考答案：13. 在中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则___________.参考答案：略14. 已知抛物线上一点到焦点的距离等于5，则到坐标原点的距离为。

2020届届届届届届届届联考届届届届届届届届届届届1.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{2,0,1},{1,0,2}A B =-=-，则()U C A B ⋂=（ ） A. {2,1,1,2}-- B. {}0C. ∅D. U【答案】A 【解析】 【分析】先写出A B I ，进而可得结论. 【详解】由{2,0,1},{1,0,2}A B =-=- 所以{0}A B =I ， 所以(){2,1,1,2}U C A B =--I . 故选：A.【点睛】本题考查集合的交集与补集，属于基础题.2.在三角形ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,120,3a B c ==︒=，则b =（ ）A. B. 4C. D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由题意，直接利用余弦定理建立方程求出b 即可.【详解】根据余弦定理22212cos 49223192b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，所以b = 故选：C.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.3.若实数,x y 满足约束条件240,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 7【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可.【详解】实数,x y 满足约束条件24022020x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，如图，根据图象，使得z x y =+取到最大值的最优解是直线240x y -+=与220x y --=的交点，即810,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以的最大值为810633z =+=. 故选：C.【点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键，属于基础题.4.用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有（ ） A. 12个 B. 24个 C. 36个 D. 72个【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组；第二步，将2,4排成一排；第三步，将两组奇数插入两个偶数形成的三个空位，再由排列组合公式即可得到结论.【详解】解法一：直接求解三个奇数中仅有两个相邻的意思是，有两个奇数相邻，且与第三个奇数不相邻，所以排列个数为222323322672A A A ⋅⋅=⨯⨯⨯=个.解法二：反面求解5233352333120123672N A A A A A =-+=--=个.故选：D.【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，需要牢记常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法等，属于基础题.5.已知,a b ∈R ，则1b a <<是1|1|a b ->-的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合不等式的性质即可得到结论.【详解】因为211111a ba b a b a b a <+⎧->-⇔-<-<-⇔⎨<⎩， 所以当1b a <<时，1|1|a b ->-成立， 当1|1|a b ->-成立时，如取1,22b a ==，此时1b a <<不成立， 所以1b a <<是1|1|a b ->-的充分不必要条件. 故选：B.【点睛】本题考查充分不必要条件的定义，考查不等式的性质，属于基础题. 6.在同一直角坐标系中，函数a y x =，||)log (a y x a =-(0)a ≠的图象不可能的是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数在第一象限内的图象与性质，再结合对数函数图象的平移即可得到结论.【详解】对于A 来说：幂函数中01a <<，而对数函数平移后的图象应该还在y 轴右侧（定义域为(),a +∞），所以A 是不可能的；对于B 来说：幂函数中1a >，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以B 是可能的；对于C 来说：幂函数中0a <，选择1a <-，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以C 是可能的；对于D 来说：幂函数中0a <，选择10a -<<，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以D 是可能的. 故选：A.【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，对数函数的图象与性质以及平移问题，属于基础题.7.已知随机变量ξ的分布列如下表：记“函数()()3sin2x f x x R ξπ+=∈是偶函数”为事件A ，则（ ） A. ()223E a ξ=-，()13P A = B. 2()3E ξ=，()13P A =C. ()223E ξ=，()23P A =D. ()2244233E a a ξ=-+，()23P A =【答案】C 【解析】【分析】先由函数为偶函数得1ξ=±，利用分布列与数学期望的公式即可得到结论. 【详解】因为函数()()3sin 2x f x x R ξπ+=∈是偶函数， 所以,22k k Z ξπππ=+∈，于是21,k k Z ξ=+∈，又因为1,0,1ξ=-，所以事件A 表示1ξ=±，12()133P A a b =+=-=， 12()(1)01233E a b b a a ξ=-⨯+⨯+⨯=-=-，随机变量2ξ的取值为0,1，其对应的概率为()2103P ξ==，()2213P ξ==， 所以()212201333E ξ=⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，三角函数为偶函数，属于基础题.8.已知点(2,1)A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆1C ：22(1)1x y -+=上的动点，则PB PA -的最大值为（ ）A. B.C. 3D. 5【答案】D 【解析】 【分析】分析题意可得11PB PF ≤+，再利用椭圆的定义进而可得结论.【详解】由题意知，椭圆右焦点()11,0F 是圆心，左焦点()21,0F -，则11PB PF ≤+， 又在椭圆中1224PF PF a +==，()2,1A -所以122||||||1||2||1||21||5PB PA PF PA a PF PA a AF -≤+-=-+-≤+-=故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查两点之间的距离公式，三角形中两边之和大于第三边，线段PB PA -的最值转化是解题的关键，属于基础题.9.正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则（ ）A. 数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项B. n a 的最小值必定为1C. 当n a 是奇数时，2n n a a +≥D. n a 的最小值可能为2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意知，数列{}n a 中的任意一项都是正整数，利用列举法直接写出数列中的项，进而可得结论.【详解】对于选项A ，假设：12019a =，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环； 假设：11a =，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环， 综上，数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项，故选项A 正确； 由选项A 知，选项B 、D 都不对；对于选项C ，令11a =，则24a =，32a =，所以13a a <，故选项C 不正确. 故选：A.【点睛】本题考查数列中的项数的求法，考查数列的递推公式求通项公式，属于基础题.10.设()cos ,,63af x x x x ππ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦的最大值为M ，则（ ） A. 当1a =-时，M < B. 当2a =时，3M < C. 当1a =时，M > D. 当3a =时，12M <【答案】AB 【解析】 【分析】直接对各选项分析即可.【详解】对于选项A ，当1a =-时，cos ()x f x x =在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以cos66M ππ==<A 正确. 对于选项B ，当2a =时，2()cos f x x x =⋅，则()()cos 2tan 0f x x x x x '=->，∴()f x 在区间[,]63ππ上递增，即218M π=<，故选项B 正确.对于选项C ，当1a =时，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x <恒成立，所以()cos tan cos sin f x x x x x x =<=≤M <C 错误. 对于选项D ，当3a =时，3()cos f x x x =⋅，则2()cos (3tan )0f x x x x x '=->，∴()f x 在区间[,]63ππ上递增，311()232M π=⋅>∴，故选项D 错误.故选：AB.【点睛】本题考查三角函数与函数导函数，利用导函数研究单调性，进而求最值，属于中档题.11.德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组(,)a b 代表复数a bi +，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.若复数z 满足()347i z i ⋅+=+，则z 对应的点位于第_______象限，||z =________.【答案】 (1). 四 (2).【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则化简即可.【详解】7134iz i i+==-+，则z 对应的点位于第四象限；||z =..【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.12.在6⎛⎝的展开式中，各项系数的和是________，二项式系数最大的项是_________.【答案】 (1). 1 (2). 160- 【解析】 【分析】根据题意，直接令1x =即可得到结论.【详解】令1x =得各项系数的和是1；二项式系数最大是36C ，是展开式的第四项，所以是160-.故答案为：1，160-.【点睛】本题考查项的系数和，注意项的系数与二项式系数的区别，属于基础题.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左右焦点分别是,12F F ，过F 2且与x 轴垂直的直线交双曲线于,A B 两点，则其渐近线方程是_________，12AF F ∠=________. 【答案】 (1). 0y ±= (2).6π【解析】 【分析】根据题意，由离心率可得ba，进而可得渐近线方程，再利用双曲线的定义可得结论.【详解】由题意，在双曲线中22213b be a a=+=⇒=0y ±=；由双曲线的定义知，12F F =，2||2AF a =，12tan 3AF F ∠=，所以126AF F π∠=0y ±=，6π.【点睛】本题考查双曲线的离心率，渐近线方程，属于基础题.14.在ABC ∆中，,M N 分别在,AB BC 上，且2,3AM MB BN NC ==u u u u ru u u r u u u ru u u r，AN 交CM 于点P ，若BP xPA yBC =+u u u r u u u r u u u r ，则x =___________，y =_____________.【答案】 (1). 18 (2). 34【解析】 【分析】以BA u u u r ，BC uuu r 为该平面的基底，利用向量运算法则得PA BA BP =-u u u r u u u r u u u r，再利用,,A P N 三.点共线，,,M P C 三点共线，即可得到结论. 【详解】法一：平面向量基本定理以BA u u u r，BC uuu r 为该平面的基底，则PA BA BP =-u u u r u u u r u u u r，所以(),(1)BP x BA BP yBC x BP xBA yBC =-+⇒+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，下面用两次“三点共线”，4(1)3(1)x BP xBA yBN x BP xBM yBC⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v ， 因为三点,,P A N 共线，且三点,,P C M 共线，所以141833134x x x y x x y y ⎧=⎧⎪+=+⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩法二：特殊化处理如图，设点(2,0),(2,0),(0,3)B C A -，则481(,1),(1,0),(,)393M N P -， 即有：26188(,),(,),(4,0)9393BP PA BC ==-=u u u r u u u r u u ur由BP xPA yBC ==u u u r u u u r u u u r得：26814998183334x y xx y⎧⎧=-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩.故答案为：18，34.【点睛】本题考查利用基底表示向量的线性运算，平面向量共线定理，属于基础题.15.某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是______3cm.【答案】16 3【解析】【分析】将三视图还原成几何体图形，进而分割成一直三棱柱与三棱锥，再利用体积公式即可.【详解】如图，该三视图还原的几何体，其体积可分割成一直三棱柱与三棱锥，故111162222223223V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：163.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键，属于基础题．16.已知实数,x y 4=，则22x y +的取值范围为___________. 【答案】[3,5] 【解析】 【分析】直接利用柯西不等式，化简即可. 【详解】由柯西不等式可得，()222222(1)(1)142x y x y x y +++-+-+≤=≤，所以222222(1)(1)412x y x y x y +++-+≤=++，即2235x y ≤+≤ 所以22[3,5]x y +∈. 故答案为：[]3,5【点睛】本题考查了柯西不等式，将原式变形得出含有待求代数式的式子是解题的关键，属于基础题.17.在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，记1PAM θ∠=，记α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，当1θ取到最大，2tan θ=___________.【答案】2【解析】 分析】根据题意可得平面α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，即为MAO ∠，在Rt POA ∆中，()12tan PO AO θθ+=，在Rt MOA ∆中，2tan MOAOθ=，再利用基本不等式，进而化简即可得到结论.【详解】如图，//BC αBC ∴平行于平面α和底面ABC 的交线.又顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ， 则BC AO ⊥，BC PO ⊥，BC ∴⊥平面POA ，BC AM ⊥∴，【因此平面α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，即为MAO ∠. 在Rt POA ∆中，()12tan PO AO θθ+=，在Rt MOA ∆中，2tan MOAOθ=， 又点M 为PO 的中点，所以122tan()2tan θθθ+=，即12212tan tan 2tan 1tan tan θθθθθ+=-⋅，整理得212222tan 1tan 112tan 2tan tan θθθθθ==++， 所以当1θ取到最大时2tan 2θ=.（这个问题就是米勒最大角问题.） 即2OA OM OP =⋅时，角最大，从而正切值最大， 不妨设1OM MP ==，则2tan 2OA θ==.故答案为：2. 【点睛】本题考查棱锥的结构特征，线面角的求法，两角和的正切公式，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题.18.已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-；（在）求函数()f x 的单调减区间；（在）将函数()f x 分别向左、向右平移()0m m >个单位相应得到()()g x h x 、，且cos m =，求函数()(),0,2y g x h x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∈的值域. 【答案】（在）32[,]()63k k k Z πππ++∈（在）42[,]33- 【解析】 【分析】（在）利用二倍角公式化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性即可；（在）由题意得()()4sin(2)cos 26g x h x x m π+=+，利用三角函数的单调性以及cos m =，即可得到结论.【详解】（在）()2cos 22s 6in 2f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 令3222262k x k πππππ+≤+≤+所以函数()f x 的单调减区间为32[,]()63k k k Z πππ++∈； （在）由题意，()()()()sin(22)2sin(22)66g x h x f x m f x m x m x m ππ+=++-=+++-+4sin(2)cos 26x m π=+.又[0,]2x π∈Q ，则72666x πππ≤+≤，从而有4sin(2)[2,4]6x π+∈-，又cos 3m =，221cos 23cos 1133m m =-=-=-∴. 所以函数()(),[0,]2y g x h x x π=+∈的值域为42[,]33-.【点睛】本题考查二倍角公式，正弦函数的单调性，函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题.19.在如图的空间几何体中，ABC ∆是等腰直角三角形，90,A BC ∠=︒=BCED 为直角梯形，90,1,DBC BD DE ∠=︒==，F 为AB 中点.（在）证明：//DF 平面ACE ；（在）若AD =，求CE 与平面ADB 所成角的正弦值. 【答案】（在）证明见解析（在）3【解析】 【分析】（在）取BC 中点为G ，连接FG 和DG ，可得面//DGF 面ACE ，在在在在在在； （在）法一，利用几何法求线面角；法二，建立空间直角坐标系，利用向量运算求线面角【详解】法一：（在）证明：取BC 中点为G ，连接FG 和DG ， 有//FG AC ，//FG ∴面ACE ， 有//DG EC ，//DG ∴面ACE ，FG DG G =I ∵，∴面//DGF 面ACE .DF ⊂Q 面DGF ，//DF ∴平面ACE ；（在）Q 四边形BCED为梯形，DE BC ==，G 为BC 中点，//DE CG ∴，即四边形GCED 为平行四边形，//CE GD ∴.∴要求CE 与平面ABD 所成角，只需求DG 与平面ABD 所成角，连接GE ，AG ，由题意可知，AG BC ⊥，EG BC ⊥，BC ∴⊥面AGE ，∴面ABC ⊥面AGE ，∴点E 到面ABC 的距离就是点E 到AG 的距离.//DE BC Q ，DE ∴⊥面AGE ，90AED ∴∠=︒，DE AD ==∵1AE ∴=，又1CE BD ==，AG =∴点E 到AG 的距离为2.在三棱锥D ABG -中，2111323226D ABGE ABG ABG V V S --∆==⋅=⋅⋅=，根据1,2BD AD AB ===，ABD S ∆=∴记点G 到面ABD 的距离为h ，由13D ABG G ABG V V h --===h =.所以CE 与平面ABD 所成角的正弦为3h DG ==法二：以,AB AC 为,x y 轴，过点A 作xAy 平面的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设点(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(,,),3A B C F D a b c CD=由题意可得：222222222222(2)1(2)93 BD a b cCD a b cAD a b c⎧=-++=⎪=+-+=⎨⎪=++=⎩32131(,222ab Dc⎧=⎪⎪⎪⇒=-⇒-⎨⎪⎪=⎪⎩由11113(,(,22222DE BC E CE=⇒=-u u u r u u u r u u u r设平面ADB法向量为n=r，31(,,(2,0,0)222AD AB=-=u u u r u u u rn ADnn AB⎧⋅=⇒=⎨⋅=⎩u u u vvvu u u vv，即：sin|cos|3n CEα=<⋅>=r u u u r，故CE与平面ADB.【点睛】本题考查了线面平行性质，线面角的求法，利用几何法求线面角的步骤：一作，二证，三求解，属于基础题.20.已知数列{}n a的前n项和为n S，n S是3-和3n a的等差中项；（在）求数列{}n a的通项公式；（在）若12123112nnn nSS Sa a a aλ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅≥+⎪⎪⎝⎭⎝⎭L对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（在）3nna=（在）12λ≤【解析】 【分析】（在）由题意得233n n S a =-+，当2n ≥时，11233n n S a --=-+，两式作差可得13n n a a -=，进而可得结论；（在）由题意得3112n n n S a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而构造数列12111(1)(1)...(1)11nn na a ab a -⋅-⋅⋅-=+，为递增数列，即可得到结论.【详解】（在）由题意得233n n S a =-+，则当2n ≥时，11233n n S a --=-+，∴当2n ≥时，()()111222333333n n n n n n n S S a a a a a ----==-+--+=-，即13n n a a -=，又由11233S a =-+，得13a =，所以数列{}n a 是13a =，公比3q =的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式3n n a =.（在）由题意知233n n S a =-+，得3112n n n S a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 得1212123111...()(1)(1)...(1)2n n n nS S S a a a a a a ⋅=-⋅-⋅⋅- 12111(1)(1)...(1)11n n a a a a λ-⋅-⋅⋅-≤+∴，设12111(1)(1)...(1)11nn na a ab a -⋅-⋅⋅-=+， 3n n a =Q ，0n b ∴>，11111(1)(1)331113n n n nn b b +++-⋅+=>+， {}n b ∴是递增数列，最小项是111131213b -==+，所以12λ≤【点睛】本题考查数列n a 与n S 的关系，数列通项公式的求法，不等式恒成立问题，属于中档题.21.已知：抛物线2:4C y x =，斜率为1-的直线l 与C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，点()1,2P 在直线l 的右上方.分别过点,,P A B 作斜率不为0，且与C 只有一个交点的直线为123,,l l l .（在）证明：直线2l 的方程是()112yy x x =+；（在）若121323,l l E l l F l l G ===I I I ,；求EFG ∆面积的最大值； 【答案】（在）证明见解析（在【解析】 【分析】（在）设11(,)A x y ，联立方程得直线2l 的斜率为12k y =，进而利用点斜式写出方程整理即可；（在）由（在）可得111222:1,:2(),:2()l y x l yy x x l yy x x =+=+=+，联立这些直线方程解得其交点坐标，利用向量把EFG ∆面积表示出来，再利用函数的导函数可得最值.【详解】（在）法一：点11(,)A x y 满足24y x =，即2114y x =，设直线2l 方程是11()(0)y y k x x k -=-≠由21142()y x yy x x ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2211440ky y y ky -+-= 得21112164(4)0k y k k y ∆=--=⇒=，故直线2l 是1112()-=-y y x x y ， 化简得112()yy x x =+，所以直线2l 是的方程是112()yy x x =+. 法二：21422y y yx x k =⇒'=⇒=11111()2()2y x x y y yy x x ⇒-=-⇒=+ （在）由（在）可得切线分别为：111222:1,:2(),:2()l y x l yy x x l yy x x =+=+=+；联立直线得：11222112222(,),(,),(,)424242yy y y y y y y G E F +++ 即：121212(2)2(2)2(,),(,)4242y y y y y y GE GE ----==u u u r u u u r 所以，122112121211|||||42()|216S x y x y y y y y y y =-=--++ 22121244440413y y y x y y b y y b y x b b +=⎧⎧⎧=+-=⇒⇒⎨⎨⎨=-=-+-<<⎩⎩⎩， 代入面积公式得：)S b -=令()()3253913f x x x x x =-++-<<，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，所以()f x 在区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为1256327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以max 13b S S===. 【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系，属于中档题. 22.已知()(32)x f x e a =-其中a R ∈， 2.71828e =…在在在在在在在在； （在）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值；（在）若()6f x e ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围；【答案】（在）92a e =（在）239[]22e e -【解析】 【分析】（I ）求出函数的导函数，当1x =时，()10f '=，解得a 的值；（在）将不等式()6f x e ≤恒成立转化为3322x x e a e ≤≤+3()2x g x e =()g x 在[0,2]x ∈上单调递增，进而可得232a e ≥-数1233()322x xh x e e e x -=+=+⋅，再研究单调性，进而可得结论. 【详解】（在）()3x x x xf x e '==1x =Q 为函数()f x 的极值点， (1)0f '=∴，得92a e =， 经检验，当92a e =时， 1x =为函数()f x 的极小值点.（在）|()|6f x e ≤∵，即6(32)6x e e a e -≤-≤，3322x x e a e -≤≤+∴ 令3()2x g x e =()g x 在[0,2]x ∈上单调递增， 2max 3()(2)2g x g e ==∴ 即232a e ≥. 令1233()322x xh x e e e x -=+=+⋅， 由3233()022x h x e e x -'=-⋅=，得1x =，由32x y e =在[0,2]x ∈上单调递增，和3232y e x -=⋅在[0,2]x ∈上单调第减，1x ∴=是3233()022x h x e e x -'=-⋅=的唯一解，∴当[0,1]x ∈时，()0h x '≤；当[1,2]x ∈时，()0h x '≥，则min 39()(1)322h x h e e e ==+=，故92a e ≤. 综上，a 的取值范围是23922e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查用导数求函数的最值与极值问题，利用导数研究不等式恒成立问题，属于难题.。

浙江师范大学附属中学（金华二中）2019-2020学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为（ ）C.1 D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．2． 椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ） A ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．3． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．984． 设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF ，则双曲线的离心率为（ ）A ．BC ．D ．3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．5． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为负的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④6． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）A ．144,144ππB ．144,36ππC ．36,144ππD ．36,36ππ7． 已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-8． 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．9． 集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则A B =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e10．已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 11．二进制数）（210101化为十进制数的结果为（ ） A ．15 B ．21 C ．33 D ．4112．设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.14．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．15．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1；③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则的最大值为；④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且•=5，则△ABC 的形状是直角三角形．16．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2224S a b c +=+， 则sin cos()4C B π-+取最大值时C = ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

浙江师大附中2020届高三综合测试（三）数学试卷一、选择题:本大题共10小题,共40分 1.已知i 为虚数单位,则12iz i-==+ 21.55A i --21.55B i -+21.55C i -21.55D i + 2.设集合U={x ∈Z |1<x<6}.A={3,5},2{|340},B x x x =--<()U C A B ⋂= A{2,4}B.{2,4,5}C.{2,3,4,5}D.{2,3,4,6}3.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点,F 是线段AE 上靠近点A 的三等分点，则DF =u u u r12.33A AB AD -+u u ur u u u r12.33B AB AD -u u ur u u u r 15.36C AB AD -u u ur u u u r13.34D AB AD -u u ur u u u r 4.已知函数22,0(),,0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩则下列结论中不正确的是 A.f(-2)=4B.若f(m)=9,则m=±3C.f(x)是奇函数D.f(x)在R 上单调函数5.已知函数()sin(2),6f x x π=-则“2b a π->”是“函数f(x)在(a,b)上不单调”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.若253(2)x x-的展开式中不含()a x R α∈项，则a 的值可能是 A.-5B.1C.2D.77.某师范院校为响应国家教育脱贫攻坚号召，决定每年安排5名师范生到某贫困县的3所学校进行支教,要求每所学校至少安排1名师范生，且1名师范生只去一所学校，则不同的安排方法有A.90种B.120种C.150种D.180种8.在正四面体ABCD 中，已知E,F 分别是AB,CD 上的点(不含端点),则 A.不存在E,F,使得EF ⊥CD B.存在E,使得DE ⊥CDC.存在E,使得DE 上平面ABCD.存在E,F,使得平面CDE ⊥平面ABF9.已知双曲线22:13x C y -=的左焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线C 的左、右两支分别于点Q,P,若|FQ|=t|QP|,则实数t 的取值范围是AB.(C -∞2]D 10.已知函数22|log ()|,0(),log |1|,0x x f x x x -<⎧=⎨--≥⎩若1234()()()(),f x f x f x f x ===且1234,x x x x <<<则下列结论:121,x x =①3412413441,01,0x x x x x x x x x +=<<+++<②③④，其中正确的个数是 A.1B.2C.3D.4二、填空题:本大题共7小题，共36分11.随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3且()log (1,2,3)a P k k k ξ====，则a=____，E(ξ)=____12.如图所示为某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长均为1，则该几何体的体积为_____，表面积为____13.已知直线l:y=x-1经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,且与抛物线C 交于点A,B 两点,则p=______，|AB|=_____14.定义,max{,},,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩已知实数x,y 满足不等式组||2||2max{,}0x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩,则目标函数z=x+2y 的最大值为____15.已知数列{},{},n n a b 且11111,1,2,n n n n n b a a b b a ++===+=+则n b =_____;设21,n n nb c a +=则n c 的最小值为____ 16.已知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),()f x '是f(x)的导函数,且满足()2()0,xf x f x '->若f(x)是偶函数,f(1)=1,则不等式2()f x x >的解集为____17.在△ABC中，,,3BC BAC π=∠=点D 与点B 分别在直线AC 的两侧，且AD=1,DC =则BD 的长度的最大值是____三.解答题:本大题共5小题，共74分 18.已知函数21()sin(2)cos ()626f x x x ππ=++- (1)求f(x)的最小正周期以及()12f π的值;(2)若()(),2g x f x π=-求g(x)在区间[,]46ππ-的最值19.如图，MBC 为正三角形，半圆O 以线段BC 为直径，D 是圆弧BC 上的动点（不包括B,C 点）平面ABC ⊥平面BCD.（1）是否存在点D ，使得BD ⊥AC ？若存在，求出点D 的位置，若不存在，请说明理由； （2）∠CBD=30°，求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值20.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且22,2,n n a s na n ==+数列{}n b 的通项公式为3,n a n b =(1)证明:数列{}n a 为等差数列;(2)设数列{}n b 前n 项的和为,n T n ∈N*,若1143(1),n n n n n T C T T +++=-⋅且对于任意的正整数n,124112n C C C m +++<+L 恒成立，求实数m 的取值范围21.在平面直角坐标系xOy 中,己知椭圆C 222212:1,1242:x x y C y C +=+=，设直线l 与椭圆1C 切于点M ，交椭圆2C 于点A,B,设直线1l 平行于l,且与椭圆2C 切于点N.(1)求证:直线MN 恒过原点O;(2)若点M 为线段ON 上一点，求四边形OANB 的面积22.已知函数f(x)=x-alnx(a ∈R)(1)当a=-1时,若存在唯一的实数x 使得32()2f x x ex tx =-+成立，求t 的值 (2)若函数f(x)有个2零点1212,(),x x x x ≠求a 的取值范围,并证明:12111x x +<。

2020届浙江省金华市义乌市高三上学期一模数学试题一、单选题1．已知2280{|}A x x x =--≤，{}2log (1)1B x x =-≥，则A B =（ ）A ．[]3,4B ．[]2,4-C ．[)2,-+∞D ．[]2,3【答案】A【解析】先求出集合A ，B ，由此能求出A B ．【详解】2{|280}{|24}A x x x x x =--=-，2{|log (1)1}{|3}B x x x x =-=，{|34}[3A B x x ∴==，4]．故选：A ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数z 满足12zi i +=+，则z =（ ）A ．2B ．1CD ．2【答案】C【解析】根据复数的基本运算法则进行化简即可． 【详解】设(z a bi a =+，b 都为实数），12zi i +=+，1()2a bi i i ∴++=+，12b ai i ∴-+=+，根据复数相等的条件可得，12b -=，1a =，1a ，1b =-，1z i =-，故||z =故选：C ． 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数模的计算，属于基础题．3．已知双曲线22221x y a b-=的一个焦点落在直线2y x =-上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（ ） A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．2213y x -=D ．2213x y -=【答案】D【解析】求得双曲线的焦点，可得2c =，即224a b +=，设出双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得b ，解得a ，进而求出双曲线的方程． 【详解】双曲线22221x y a b-=的一个焦点落在直线2y x =-上，可得焦点为(2,0)-，(2,0)， 即有2c =，即224a b +=，又双曲线的焦点(,0)c 到渐近线0bx ay -=的距离为1，1b ==，解得a =则双曲线的方程为2213x y -=．故选：D ． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离公式的运用，以及方程思想和运算能力，属于中档题．4．若实数x ，y 满足约束条件101010x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D【答案】B【解析】画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，计算目标函数的最大值． 【详解】画出约束条件101010x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩表示的平面区域，如图阴影部分所示；平移目标函数2z x y '=-知，当目标函数过点C 时取得最大值， 由1010x y y -+=⎧⎨+=⎩，解得(2,1)C -，max22(1)4z '=-⨯-=， 当目标函数过点(0,1)A 时取得最小值，min0212z '=-⨯=-， 所以24z '-≤≤所以|2|z x y =-的最大值为4max z =． 故选：B ． 【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题． 5．已知随机变量ξ的分布列如下：ξ1 2Pb a - ba则D ξ最大值（ ） A ．14B ．12C ．1D ．不是定值【答案】B【解析】由随机变量ξ的分布列得：0101011b a b a b a b a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪-++=⎩，解得0.5b =，00.5a ，可得E ξ．D ξ，利用二次函数的单调性即可得出．【详解】由随机变量ξ的分布列得：0101011b a b a b a b a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪-++=⎩，解得0.5b =，00.5a ， 0.52E a ξ∴=+，00.5a ．22222111(20.5)(0.5)(0.52)0.5(1.52)424()442D a a a a a a a a ξ=---+-⨯+-=-++=--+， 当14a =时，D ξ取得最大值12．故选：B ． 【点睛】本题考查了随机变量的分布列期望与方差、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知a ，b R ∈，则“a b >”是“21212121a ba ba b --⋅>⋅++”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】令212()(1)2121x xx f x x x -=⋅=-++，利用()f x 在(0,)+∞上单调递增，即可判断出结论． 【详解】令212()(1)2121x xx f x x x -=⋅=-++， 则2()(1)()21xf x x f x --=--=+， 即()f x 在R 上为偶函数，由2()(1)21xf x x =-+知()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数， (||)(2121()()||||212|1|)a b a b a b f f a a f a f b b b --∴⋅>⋅⇔>>⇔⇔>++．||||||,||||||a b a b a b a b >⇒>>>∴ “||a b >”是“21212121a b a ba b --⋅>⋅++”的充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性，充分不必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．2019义乌国际马拉松赛，某校要从甲乙丙丁等10人中挑选3人参加比赛，其中甲乙丙丁4人中至少有1人参加且甲乙不同时参加，丙丁也不同时参加，则不同的报名方案有（ ） A ．69 B ．96 C ．76 D ．84【答案】D【解析】根据题意，分3种情况讨论：①，甲乙丙丁4人中，只从甲乙中选出1人，②，甲乙丙丁4人中，只从丙丁中选出1人，③，甲乙丙丁4人中，从甲乙、丙丁中各选1人，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分3种情况讨论：①，甲乙丙丁4人中，只从甲乙中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有122630C C =种报名方案，②，甲乙丙丁4人中，只从丙丁中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有122630C C =种报名方案，③，甲乙丙丁4人中，从甲乙、丙丁中各选1人，需要在其他6人中选出1人，有11122624C C C =种报名方案； 故有30302484++=种报名方案； 故选：D ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中档题．8．已知在正四棱锥P ABCD -中（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥），2AB =，3PA =，侧棱与底面所成角为α，侧面与底面所成角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面的二面角为θ，则下列说法正确的有（ ） A ．βαγθ<<< B ．αβθγ<<< C ．2cos cos 0θβ+= D ．2cos cos 0θα+=【答案】C【解析】连结AC ，BD ，交于点O ，取CD 中点E ，连结PO ，OE ，PE ，则PO ⊥平面ABCD ，从而PDO ∠是侧棱与底面所成角α，PEO ∠是侧面与底面所成角β，推导出02πθγβα>>>>>，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出||1cos ||||8m n m n θ=-=-，由此能求出结果．【详解】连结AC ，BD ，交于点O ，取CD 中点E ，连结PO ，OE ，PE ，则PO ⊥平面ABCD ，PDO ∴∠是侧棱与底面所成角α，PEO ∠是侧面与底面所成角β，2AB =，3PA =，2OA OB OC OD ∴===927PO ∴=-=，7122PE =+=2cos OD PD α∴==，2cos 22OE PE β===，2223231cos 2233γ+-==⨯⨯， ∴02πθγβα>>>>>，排除A 和B ；以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2D -0，0)，(0A ，2-0)，(0C 2，0)，(0P ，07)， (0PA =，2-7)-，(2,0,7)PD =--，2,7)PC =，设平面PAD 的法向量(n x =，y ，)z ，则·270·270n PA z n PD x z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩，取7x =(7n =，7，2)-，设平面PCD 的法向量(m x =，y ，)z ，则·270·270m PC y z m PD x z ⎧==⎪⎨=--=⎪⎩，取7x =(7,7,2)m =-，则||1cos ||||81616m n m n θ=-=-=-，2cos cos 0θβ∴+=，故C 正确，212cos cos 089θα+=-+≠，故D 错误．故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．若数列{}n a 满足112a =，2112n n n a a a m +=-+，若对任意的正整数都有2n a <，则实数m 的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】递推关系变形可得211(2)22n n n a a a m +-=-+-，分析可知2m >时不满足题意，再验证2m =时满足题意，即可得解． 【详解】2112n n n a a a m +=-+，∴221112(2)222n n n n n a a a a m a m +-=-+=-+-，若2m >，则211(2)202n n n a a a m +-=-+->，则12n n a a m +>+-，则1(1)(2)n a a n m >+--，那么n a 可以无限的大下去，不符合题意； 若2m =，则10n n a a +->，则1n n a a +>，数列{}n a 单调递增， 又112a =，故0n a >， 又112(2)2n n n a a a +-=-，故12n a +-与2n a -同号，则2n a <，符合题意；故选：C ． 【点睛】本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，属于中档题． 10．已知函数()12()x f x a ex -=+与2()||1g x ax x a =--+，若()y f x =与()y g x =的图像恰有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,1- B ．{1}[0,1)- C ．{1}(1,)-+∞D ．[)1,+∞ 【答案】B【解析】根据选项特征，采用特值，运用排除法求解即可． 【详解】若0a =，则()0f x =，()||1g x x =-+，此时()y f x =与()y g x =的图象恰有两个不同的交点，满足题意，故排除CD ； 若12a =-，则121()()2x f x e x -=-+，211()||122g x x x =--++，令111()()()||122x h x f x g x e x -=-=-++-，则311(2)022h e --=->，11(0)022h e =--<， 由(2)(0)0h h -<可知，()h x 在(2,0)-上存在一个零点；又11(1)022h =-+=，故1为函数()h x 的一个零点；又235(2)0,(3)02222e e h h =-+>=-<，由(2)(3)h h ⋅0<可知，()h x 在(2,3)上存在一个零点；故当12a =-时，不满足题意，排除A ． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及了零点存在性定理的运用，作为选择题，采用排除法能快速解决问题，属于中档题．二、填空题11．已知()2()||1ln ||f x x a x a =+-⋅+，满足()0f x ≥在定义域上恒成立，则a 的值为______________． 【答案】0.【解析】要使()0f x 在定义域上恒成立，则函数2()||1h x x a =+-与函数||y ln x a =+必有相同零点，进而得解． 【详解】令||0ln x a +=，解得1x a =-或1x a =--，依题意，函数2()||1h x x a =+-的零点也为1x a =-或1x a =--，（因为||y ln x a =+的值域为R ，若函数2()||1h x x a =+-的零点不为1x a =-或1x a =--，则()0f x <必有解，则与题设矛盾．)即22110110a a a a ⎧-+-=⎪⎨--+-=⎪⎩，解得0a =． 经检验，0a =符合题意． 故答案为：0． 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，函数的零点，考查逻辑推理能力，属于中档题． 12．已知平面向量a ，b ，c 满足74a b ⋅=，||3a b -=，()()2a c b c --=-，则c 的取值范围是___________． 【答案】35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】取AB 的中点D ，利用极化恒等式可得||2OD =，1||2CD =，通过图象即可得解．【详解】 如图，设,,OA a OB b OC c ===，则||||3a b BA -==， 取AB 的中点D ，则2222222()()4497||4444OA OB OA OB OD AD a b OD AD OD +---===-=-=，∴||2OD =，又()()2a c b c --=-，∴2CA CB =-，∴22222()()449||2444CA CB CA CB CD AD CA CB CD +---===-=-，∴1||2CD =， ∴||||||||||OD CD c OD CD -+，即35||22c ． 故答案为：35[,]22． 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，考查极化恒等式的运用，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．13．已知椭圆22:13x E y +=的左右顶点分别为1A ，2A ，且B ，C 为E 上不同两点（B ，C 位于y 轴右侧），B ，C 关于x 的对称点分别为为1B ，1C ，直线1BA 、12B A 相交于点P ，直线1CA 、2CA 相交于点Q ，已知点()2,0M -，则||||||PM QM PQ +-的最小值为____________． 【答案】3【解析】根据题意，求得点P ，Q 的轨迹为双曲线2213x y -=的右支，进而根据双曲线的性质得解． 【详解】设点(,)B m n ，则1:(3)3A B y x m =++，21:(3)3A B y x m =--，则2222(3)3n y x m=--， 又2213m n +=，则22133n m =-， ∴点P 的轨迹方程为221(3)3y x =-，即221(0)3x y y -=>，同理可得点Q 也在轨迹221(0)3x y y -=>上，注意到点(2,0)M -恰为双曲线2213x y -=的左焦点，如图：设双曲线2213x y -=的右焦点为(2,0)N ，则由双曲线的定义可得||||||23||23||||43PM QM PQ PN QN PQ +-=+++-， ||||||PM QM PQ ∴+-的最小值为43故答案为：43 【点睛】本题考查椭圆与双曲线的综合运用，考查化简求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．三、双空题14．11世纪中叶，中国数学家贾宪给出了直到六次幂的二项式系数表，如图所示是《杨辉详解九章算法》开方作法本原，其中第i 层即为()1i a b -+展开式的系数．贾宪称整张数表为“开放作法本原”，今称“贾宪三角”但贾宪未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理．贾宪的数学著作已失传，13世纪数学家杨辉在《详解九章算法》()1261中引用了开放作法本原图，注明此图出“《释锁算数》，贾宪用此术”，因而流传至今．只是后人往往因此把它误称为“杨辉三角”．()61ax -展开式中3x 的系数为160-，①则实数a 的值为_______________，②展开式中各项系数之和为__________________．【答案】2. 1.【解析】根据题意，分析可得665432(1)615201561ax a a a a a a -=-+-+-+； 对于①：由展开式可得320160a -=-，解可得a 的值， 对于②，令1x =可得：66(21)11x -==，即可得答案． 【详解】 根据题意：660542332456(1)(1)6(1)15(1)20(1)15(1)6(1)(1)ax a a a a a a -=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+-65432615201561a a a a a a =-+-+-+；对于①，若6(1)ax -展开式中3x 的系数为160-，则有320160a -=-，解可得2a =； 对于②，由2a =，则66(1)(21)ax x -=-，令1x =可得：66(21)11x -==，即展开式中各项系数之和为1； 故答案为：①，2；②，1． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意理解题目的中表述，属于基础题． 15．已知直线l :360x my +-=与圆C :22()4x m y -+=相交于A ，B 两点，①若圆关于直线l 对称，则m =__________；②若ABC ∆为正三角形，则m =_____________．【答案】23.334. 【解析】由圆的对称性可知，圆关于直线对称可得，直线过圆心，进而求出参数的值；正三角形的性质时边的高（也是中线）等于边长的3倍求出参数的值． 【详解】若圆C 关于直线l 对称，则直线l 过圆心，由题意知圆心C 的坐标(,0)m ，所以360m -=，解得：23m =；若ABC ∆为正三角形，则C 到直线l 的距离3d r =，由题意知：2|36|323m m -=+，解得：33m =； 故答案为：23，33． 【点睛】本题考查圆的性质，正三角形的性质和直线与圆的位置关系，属于中档题．16．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图均为等腰直角三角形，且直角边长为2，①则该几何体的体积为________________；②该几何体的外接球的表面积为_________________．【答案】43. 12π. 【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积，然后求解外接球的表面积． 【详解】由题意可知：几何体是三棱锥，是正方体的一部分，如图：几何体的体积为：114222323⨯⨯⨯⨯=； 3 外接球的表面积为：24(3)12S ππ=⋅=． 故答案为：43；12π． 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积以及外接球的表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，①已知cos cos 1b C c B +=，则a =____________； ②已知1a =，3sin sin sin 2B C A =，则ABC ∆的周长的最小值为_____________． 【答案】1. 3.【解析】①由余弦定理化简已知等式即可求解a 的值． ②由已知运用正弦定理，三角形的面积公式可求BC 3，过A 作BC 的平行线l ，再过B 作l 的对称点D ，连接AD ，CD ，求得BD ，CD ，再由三点共线取得最小值的性质，即可得到所求周长的最小值． 【详解】①由于在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由于：cos cos 1b C c B +=，所以由余弦定理可得：222222122a b c a c b bc ab ac+-+-+=， 整理可得1a =． ②3sin sin B C A =， ∴可得33sin b C =，则1133sin 122ABC S ab C ∆==⨯⨯=， 可得BC 边上的高为32， 过A 作BC 的平行线l ，再过B 作l 的对称点D ，连接AD ，CD ，如图：3BD =1BC =，2222(3)12CD BC BD ++=，可得AB AC AD AC CD +=+，当且仅当A ，C ，D 共线时，取得最小值． 即有2AB AC +，即+AB AC 的最小值为2，ABC ∆的周长的最小值为3．故答案为：1，3． 【点睛】本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查对称思想和三点共线取得最值的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．四、解答题18．（1）证明：22sin sin sin()sin()αβαβαβ-=+-(,)R αβ∈；（2）求22()sin sin 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）证明见解析；（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简右边，即可得出右边=左边；（2）由（1）得出()sin(2)sin sin(2)626f x x x πππ=+=+，再利用三角函数的图象与性质求得()f x 在[0x ∈，]2π上的值域．【详解】 （1）因为sin()sin()(sin cos cos sin )(sin cos cos sin )αβαβαβαβαβαβ+-=+-()2222222222sin cos cos sin sin cos 1sin sin sin sin αβαβαβαβαβ=-=--=-，得证； （2）由（1）可得22()sin sin sin 2sin sin 236626f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因此72666x πππ≤+≤． 则()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为菱形，其中120BCD ∠=︒，3PC =．（1）证明：AD PC ⊥；（2）求AC 与面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）34. 【解析】（1）取AD 中点E ，则PE AD ⊥，OE AD ⊥，从而AD ⊥平面PEC ，由此能证明AD PC ⊥．（2）取CE 中点O ，则PO ⊥平面ABCD ，由等体积法可得A PBC P ABC V V --=，求出32A h PO ==，AC 与面PBC 所成角θ的正弦值为：sin A hAC θ=，由此能求出结果．【详解】（1）取AD 中点E ，则PE AD ⊥OE AD ⊥，则AD ⊥平面PEC ，因此AD PC ⊥（2）方法一：由题意可得POC ∆为正三角形且平面PEC ⊥平面ABCD ，则取CE 中点O ，因此PO ⊥平面ABCD ．3sin 602PO PC =⨯︒=，132PBC S BC PC ∆=⨯=，3ABC S ∆= 由等体积法可得A PBC P ABC V V --=，即1133PBC A ABC S h S OP ∆∆⨯=⨯，则32A h PO ==因此AC 与面PBC 所成角的正弦值为34A h AC =．方法二：设AC 与面PBC 所成角为θ，3332sin 24A PBC E PBCd d AC ACθ→→⨯====面面．方法三：如图建立空间直角坐标系O xyz -；则30,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,0A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3C ⎫⎪⎪⎝⎭32,0B ⎫-⎪⎪⎝⎭，则(0,2,0)BC =-，332PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(3,1,0)AC =．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则330220PC n x z BC n y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩， 令3x = 则(3,0,1)n =则AC 与面PBC 所成角的正弦值为34||||AC n AC n ⋅=⋅【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．已知正项数列{}n a，满足1n a =+，其中n S 为{}n a 的前n 项和． （1）求{}n a 的通项公式；（2）已知数列111(1)n n n n n a b a a +++=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求出满足25n m mT +≥对*n N ∈恒成立时，实数m 的取值范围． 【答案】（1）21n a n =-；（2）[2,1]m ∈-.【解析】（1）应用数列的递推式：1n =时，11a S =；2n 时，1n n n a S S -=-，化简结合等差数列的定义、通项公式可得所求； （2）求得111112(1)11(1)(1)()(21)(21)22121n n n n n n n a n b a a n n n n +++++-=-=-=+-+-+，讨论n 为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，可得所求和，由单调性可得最小值，结合不等式恒成立思想可得所求范围． 【详解】（1）由题意可得11a =+，可得11a =．同时当2n ≥时，()()22114141n n n n S a S a --⎧=+⎪⎨=+⎪⎩两式相减可得()()221411n n n a a a -=+-+ 化简可得()()1120n n n n a a a a --+--=，由此可得12n n a a -=+ 则数列{}n a 是以1为首相，公差为2的等差数列 故{}n a 的通项公为21n a n =- （2）由题意可得111112(1)11(1)(1)(21)(21)22121n n n n n n n a n b a a n n n n +++++-⎛⎫=-⋅=-⋅=+ ⎪+--+⎝⎭当n 为奇数时，可得111111111233523212121n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故111221n T n ⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦，此时n T 单调递减，且12n T >．同理可得当n为偶数时，111221 nTn⎛⎫=-⎪+⎝⎭，因此nT单调递增，225nT T≥=由此可得111,221111,221nnnTnn⎧⎛⎫-⎪⎪+⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⎪⎪+⎝⎭⎩为偶数为奇数欲满足25nm mT+≥对*n N∈恒成立，故只需2255m m+≤，解得[2,1]m∈-．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．21．已知抛物线2:E y ax=(0)a>，过焦点F的斜率存在的直线与抛物线交于C，D，且114||||CF DF+=．（1）求抛物线的方程；（2）已知y x=与抛物线交于点P（异于原点），过点0,21Q⎛⎫⎪⎝⎭作斜率小于0的直线交抛物线于M，N两点（点M在Q，N之间），过点M作y轴的平行线，交OP于A，交ON于B，PMA∆与OAB∆的面积分别为1S，2S，求21SS的取值范围．【答案】（1）2y x=；（2）10,3⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）设过焦点的直线与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，将到焦点的距离转化为到准线的距离求出11||||CF DF+，再由椭圆求出a的值，即求出抛物线的方程；（2）设MN的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，由（1）及椭圆求出P的坐标，所以求出两个商量下的面积，进而求出面积之比，转化为用一个变量表示，再由题意知坐标的取值范围，求出面积之比的取值范围． 【详解】（1）设直线CD 的方程为4ax my =+，()11,C x y ，()22,D x y 联立方程可得24a x my y ax ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2204ay may --=，由此可得122124y y ma a y y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩．故1112111111||||4422a a a a CF DF x x my my +=+=+++++化简可得1144||||a CF DF +==， 则1a =，故抛物线的方程为2y x =（2）设直线MN 的方程为12y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y 联立方程可得212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x ，可得2102ky y -+=，则1212112y y k y y k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为()()111112PMA S y x x ∆=--，111212OMA x S x x y ∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭因此()()()()222111111222211111111OABPMAx y x x y y y y S S y x x y y y ∆∆⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==----因为12122y y y y +=，则12121y y y =-，()2211111212121y y y y y y y ==--由此可得2121211111OAB PMA S y S y y ∆∆==--，因为110,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由此可得212121110,1131OAB PILA S y S y y ∆∆⎛⎫==∈ ⎪-⎝⎭- 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合应用，属于难题． 22．已知函数()sin ln(1)f x x m x =-+，且()f x 在0x =处切线垂直于y 轴． （1）求m 的值；（2）求函数()f x 在[]0,1上的最小值；（3）若2sin ln 10x x ax x e --+->恒成立，求满足条件的整数a 的最大值． （参考数据sin10.84≈，ln 20.693=）【答案】（1）1m =；（2）0；（3）2.【解析】（1）依题意，(0)0f '=，由此即可求得m 的值；（2）求导，研究函数()f x 在[0，1]上的单调性，进而得到最值；（3）先分析2a ，再证明当2a 时满足条件即可得到a 的最大值．【详解】（1）因为()f x 在0x =处切线垂直于y 轴，则()00f '= 因为()cos 1m f x x x '=-+，则()010f m '=-=，则1m = （2）由题意可得1()cos 1f x x x '=-+，注意到()00f '=，[]0,1x ∈ 则21()sin (1)f x x x ''=-++则32()cos 0(1)f x x x '''=--<+ 因此()f x ''单调递减，()010f ''=>，()11sin104f ''=-+< 因此存在唯一零点()00,1x ∈使得()00f x ''=，则()f x '在()00,x 单调递增， 在()0,1x 单调递减，11(1)cos1cos 0232f π'=->-=，则()0f x '>在()0,1上恒成立 从而可得()f x 在()0,1上单调递增，则()min 00f f ==（3）必要条件探路因为2sin ln 10x x ax x e --+->恒成立，令1x =，则sin1e a ≥因为sin1ln 232e e >>=，由于a 为整数，则2a ≤，因此2sin 2sin ln 12ln 1x x x ax x e x x x e --+-≥--+-下面证明2sin ()2ln 10x g x x x x e =--+->恒成立即可①当()0,1x ∈时，由（1）可知sin ln(1)x x >+，则sin 1x e x >+故22()2ln 11ln g x x x x x x x x >--++-=--，设2()ln h x x x x =--，(0,1)x ∈ 则2121(21)(1)()210x x x x h x x x x x--+-'=--==<，则()h x 在()0,1单调递减 从而可得()()10h x h >=，由此可得()0g x >在()0,1x ∈恒成立．②当1x >时，下面先证明一个不等式：122x e x >+，设1()22x h x e x =-- 则()2x h x e '=-，则()h x 在(),ln 2-∞-单调递减，在()ln 2,+∞单调递增 因此min 1(ln 2)22ln 202h h ==-->，那么sin 12sin 2x e x >+ 由此可得2sin 212ln 12ln 2sin ()2x x x x e x x x x g x --+->--+-= 则1()222cos g x x x x '=--+，21()22sin 0g x x x ''=+-> 因此()g x '单调递增，()(1)2cos112cos 103g x g π''>=->-=，则()g x 在()1,+∞上单调递增，因此3()(1)2sin102g x g >=-> 综上所述：a 的最大值整数值为2．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明及先猜后证思想，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于难题．。

浙江省金华十校2020届高三上学期期末考试数学试题1.已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合{2,0,1},{1,0,2}A B =-=-，则()U C A B ⋂=（ ） A. {2,1,1,2}-- B. {}0C. ∅D. U【答案】A【解析】由{2,0,1},{1,0,2}A B =-=- 所以{0}AB =，所以(){2,1,1,2}U C A B =--.故选：A.2.在三角形ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2,120,3a B c ==︒=，则b =（ ）A.B. 4C.D. 5【答案】C【解析】根据余弦定理22212cos 49223192b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭，所以b = 故选：C.3.若实数,x y 满足约束条件240,220,20,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最大值是（ ）A. 0B. 1C. 6D. 7【答案】C【解析】实数,x y 满足约束条件24022020x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，如图，根据图象，使得z x y =+取到最大值的最优解是直线240x y -+=与220x y --=的交点，即810,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以的最大值为810633z =+=. 故选：C.4.用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有（ ） A. 12个 B. 24个 C. 36个 D. 72个【答案】D【解析】解法一：直接求解三个奇数中仅有两个相邻的意思是，有两个奇数相邻，且与第三个奇数不相邻， 所以排列个数为222323322672A A A ⋅⋅=⨯⨯⨯=个. 解法二：反面求解5233352333120123672N A A A A A =-+=--=个.故选：D.5.已知,a b ∈R ，则1b a <<是1|1|a b ->-的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为211111a ba b a b a b a<+⎧->-⇔-<-<-⇔⎨<⎩，所以当1b a <<时，1|1|a b ->-成立， 当1|1|a b ->-成立时，如取1,22b a ==，此时1b a <<不成立， 所以1b a <<是1|1|a b ->-的充分不必要条件. 故选：B.6.在同一直角坐标系中，函数a y x =，||)log (a y x a =-(0)a ≠的图象不可能的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于A 来说：幂函数中01a <<，而对数函数平移后的图象应该还在y 轴右侧（定义域为(),a +∞），所以A 是不可能的；对于B 来说：幂函数中1a >，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以B 是可能的；对于C 来说：幂函数中0a <，选择1a <-，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以C 是可能的；对于D 来说：幂函数中0a <，选择10a -<<，而对数函数平移后的图象应该还在直线x a =右侧（定义域为(),a +∞），所以D 是可能的.故选：A.7.已知随机变量ξ的分布列如下表：记“函数()()3sin 2x f x x R ξπ+=∈是偶函数”为事件A ，则（ ） A. ()223E a ξ=-，()13P A =B. 2()3E ξ=，()13P A =C. ()223E ξ=，()23P A =D. ()2244233E a a ξ=-+，()23P A =【答案】C【解析】因为函数()()3sin2x f x x R ξπ+=∈是偶函数， 所以,22k k Z ξπππ=+∈，于是21,k k Z ξ=+∈，又因为1,0,1ξ=-， 所以事件A 表示1ξ=±，12()133P A a b =+=-=， 12()(1)01233E a b b a a ξ=-⨯+⨯+⨯=-=-，随机变量2ξ的取值为0,1，其对应的概率为()2103P ξ==，()2213P ξ==， 所以()212201333E ξ=⨯+⨯=. 故选：C.8.已知点(2,1)A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆1C ：22(1)1x y -+=上的动点，则PB PA -的最大值为（ ）A.B.C. 3D. 5【答案】D【解析】由题意知，椭圆右焦点()11,0F 是圆心，左焦点()21,0F-，则11PB PF ≤+， 又在椭圆中1224PF PF a +==，()2,1A -所以122||||||1||2||1||21||5PB PA PF PA a PF PA a AF -≤+-=-+-≤+-= 故选：D.9.正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则（ ）A. 数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项B. n a 的最小值必定为1C. 当n a 是奇数时，2n n a a +≥D. n a 的最小值可能为2【答案】A【解析】对于选项A ，假设：12019a =，则后面依次为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3…循环； 假设：11a =，则后面依次为：4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2……循环， 综上，数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项，故选项A 正确； 由选项A 知，选项B 、D 都不对；对于选项C ，令11a =，则24a =，32a =，所以13a a <，故选项C 不正确. 故选：A.10.设()cos ,,63af x x x x ππ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣⎦的最大值为M ，则（ ）A. 当1a =-时，M <B. 当2a =时，M <C. 当1a =时，2M > D. 当3a =时，12M <【答案】AB【解析】对于选项A ，当1a =-时，cos ()x f x x =在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以cos66M ππ==<A 正确.对于选项B ，当2a =时，2()cos f x x x =⋅，则()()cos 2tan 0f x x x x x '=->，∴()f x 在区间[,]63ππ上递增，即2183M π=<，故选项B 正确. 对于选项C ，当1a =时，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x <恒成立，所以()cos tan cos sin f x x x x x x =<=≤M <，故选项C 错误. 对于选项D ，当3a =时，3()cos f x x x =⋅，则2()cos (3tan )0f x x x x x '=->，∴()f x 在区间[,]63ππ上递增，311()232M π=⋅>∴，故选项D 错误.故选：AB.11.德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组(,)a b 代表复数a bi +，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.若复数z 满足()347i z i ⋅+=+，则z 对应的点位于第_______象限，||z =________.【答案】 (1). 四(2).【解析】7134iz i i+==-+，则z对应的点位于第四象限；||z =..12.在6⎛⎝的展开式中，各项系数的和是________，二项式系数最大的项是_________.【答案】 (1). 1 (2). 160-【解析】令1x =得各项系数的和是1；二项式系数最大是36C ，是展开式的第四项，所以是160-.故答案为：1，160-.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>,12F F ，过F 2且与x 轴垂直的直线交双曲线于,A B 两点，则其渐近线方程是_________，12AF F ∠=________. 【答案】 (1).0y ±= (2).6π【解析】由题意，在双曲线中22213b be a a=+=⇒=0y ±=；由双曲线的定义知，12F F =，2||2AF a =，12tan 3AF F ∠=， 所以126AF F π∠=0y ±=，6π.14.在ABC ∆中，,M N 分别在,AB BC 上，且2,3AM MB BN NC ==，AN 交CM 于点P ，若BP xPA yBC =+，则x =___________，y =_____________.【答案】 (1).18 (2). 34【解析】法一：平面向量基本定理 以BA ，BC 为该平面的基底， 则PA BA BP =-，所以(),(1)BP x BA BP yBC x BP xBA yBC =-+⇒+=+， 下面用两次“三点共线”，4(1)3(1)x BP xBA yBN x BP xBM yBC⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩， 因为三点,,P A N 共线，且三点,,P C M 共线，.所以141833134x x x y x x y y ⎧=⎧⎪+=+⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩法二：特殊化处理如图，设点(2,0),(2,0),(0,3)B C A -，则481(,1),(1,0),(,)393M N P -，即有：26188(,),(,),(4,0)9393BP PA BC ==-= 由BP xPA yBC ==得：268149981830334x y x x y ⎧⎧=-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩. 故答案为：18，34. 15.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是______3cm .【答案】163【解析】如图，该三视图还原的几何体，其体积可分割成一直三棱柱与三棱锥，故111162222223223V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故答案为：163.16.已知实数,x y 4=，则22x y +的取值范围为___________. 【答案】[3,5]【解析】由柯西不等式可得，()222222(1)(1)142x y x y x y +++-+-+≤=≤， 所以222222(1)(1)412x y x y x y +++-+≤=++，即2235x y ≤+≤所以22[3,5]x y +∈. 故答案为：[]3,517.在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，记1PAM θ∠=，记α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，当1θ取到最大，2tan θ=___________.【答案】2【解析】如图，//BC αBC ∴平行于平面α和底面ABC 的交线.又顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ， 则BC AO ⊥，BC PO ⊥，BC ∴⊥平面POA ， BC AM ⊥∴，因此平面α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，即为MAO ∠. 在Rt POA ∆中，()12tan PO AO θθ+=，在Rt MOA ∆中，2tan MOAOθ=， 又点M 为PO 的中点，所以122tan()2tan θθθ+=，即12212tan tan 2tan 1tan tan θθθθθ+=-⋅， 整理得212222tan 1tan 112tan 2tan tan θθθθθ==++，所以当1θ取到最大时2tan θ=.（这个问题就是米勒最大角问题.） 即2OA OM OP =⋅时，角最大，从而正切值最大，不妨设1OM MP ==，则2tan OA θ==.故答案为：2. 18.已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-； （Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）将函数()f x 分别向左、向右平移()0m m >个单位相应得到()()g x h x 、，且cos m =，求函数()(),0,2y g x h x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∈的值域.解：（Ⅰ）()2cos 22s 6in 2f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭令3222262k x k πππππ+≤+≤+所以函数()f x 的单调减区间为32[,]()63k k k Z πππ++∈； （Ⅱ）由题意，()()()()sin(22)2sin(22)66g x h x f x m f x m x m x m ππ+=++-=+++-+4sin(2)cos 26x m π=+.又[0,]2x π∈，则72666x πππ≤+≤，从而有4sin(2)[2,4]6x π+∈-，又cos m =， 221cos 23cos 1133m m =-=-=-∴.所以函数()(),[0,]2y g x h x x π=+∈的值域为42[,]33-.19.在如图的空间几何体中，ABC ∆是等腰直角三角形，90,A BC ∠=︒=BCED 为直角梯形，90,1,DBC BD DE ∠=︒==，F 为AB 中点.（Ⅰ）证明：//DF 平面ACE ；（Ⅱ）若AD =，求CE 与平面ADB 所成角的正弦值.解：法一：（Ⅰ）证明：取BC 中点为G ，连接FG 和DG ， 有//FG AC ，//FG ∴面ACE ， 有//DG EC ，//DG ∴面ACE ，FG DG G =∵，∴面//DGF 面ACE .DF ⊂面DGF ，//DF ∴平面ACE ；（Ⅱ）四边形BCED 为梯形，DE BC ==，G 为BC 中点，//DE CG ∴，即四边形GCED 为平行四边形，//CE GD ∴.∴要求CE 与平面ABD 所成角，只需求DG 与平面ABD 所成角，连接GE ，AG ，由题意可知，AG BC ⊥，EG BC ⊥，BC ∴⊥面AGE ， ∴面ABC ⊥面AGE ，∴点E 到面ABC 的距离就是点E 到AG 的距离.//DE BC ，DE ∴⊥面AGE ，90AED ∴∠=︒，DE AD ==∵1AE ∴=，又1CE BD ==，AG = ∴点E 到AG的距离为2.在三棱锥D ABG -中，2111323226D ABG E ABG ABG V V S --∆==⋅=⋅⋅=，根据1,2BD AD AB ===，ABD S ∆=∴ 记点G 到面ABD 的距离为h ，由1326D ABG G ABG V V h --==⋅=，得3h =. 所以CE 与平面ABD所成角的正弦为hDG == 法二：以,AB AC 为,x y 轴，过点A 作xAy 平面的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设点(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(,,),3A B C F D a b c CD =由题意可得：222222222222(2)1(2)93BD a b c CD a b c AD a b c ⎧=-++=⎪=+-+=⎨⎪=++=⎩32131(,222ab Dc⎧=⎪⎪⎪⇒=-⇒-⎨⎪⎪=⎪⎩由111213(,,),(,,2222222DE BC E CE=⇒=-设平面ADB法向量为(0,2,1)n =，312(,,),(2,0,0)222AD AB=-=(0,2,1)n ADnn AB⎧⋅=⇒=⎨⋅=⎩，即：2sin|cos|3n CEα=<⋅>=，故CE与平面ADB所成角的正弦值为3.20.已知数列{}n a的前n项和为n S，n S是3-和3n a的等差中项；（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）若12123112nnn nSS Sa a a aλ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅≥+⎪⎪⎝⎭⎝⎭对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围.解：（Ⅰ）由题意得233n nS a=-+，则当2n≥时，11233n nS a--=-+，∴当2n≥时，()()111222333333n n n n n n nS S a a a a a----==-+--+=-，即13n na a-=，又由11233S a=-+，得13a=，所以数列{}n a是13a=，公比3q=的等比数列，所以数列{}n a的通项公式3nna=.（Ⅱ）由题意知233n n S a =-+，得3112n n n S a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 得1212123111...()(1)(1)...(1)2n n n nS S S a a a a a a ⋅=-⋅-⋅⋅- 12111(1)(1)...(1)11n n a a a a λ-⋅-⋅⋅-≤+∴，设12111(1)(1)...(1)11nn na a ab a -⋅-⋅⋅-=+，3n n a =，0n b ∴>，11111(1)(1)331113n n n nn b b +++-⋅+=>+， {}n b ∴是递增数列，最小项是111131213b -==+， 所以12λ≤21.已知：抛物线2:4C y x =，斜率为1-的直线l 与C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，点()1,2P 在直线l 的右上方.分别过点,,P A B 作斜率不为0，且与C 只有一个交点的直线为123,,l l l .（Ⅰ）证明：直线2l 的方程是()112yy x x =+； （Ⅱ）若121323,l l E l l F l l G ===,；求EFG ∆面积的最大值；（Ⅰ）证明：法一：点11(,)A x y 满足24y x =，即2114y x =，设直线2l 方程是11()(0)y y k x x k -=-≠由21142()y x yy x x ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2211440ky y y ky -+-= 得21112164(4)0k y k k y ∆=--=⇒=， 故直线2l 是1112()-=-y y x x y ， 化简得112()yy x x =+，所以直线2l 是的方程是112()yy x x =+. 法二：21422y y yx x k =⇒'=⇒=11111()2()2y x x y y yy x x ⇒-=-⇒=+ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得切线分别为：111222:1,:2(),:2()l y x l yy x x l yy x x =+=+=+；联立直线得：11222112222(,),(,),(,)424242yy y y y y y y G E F +++ 即：121212(2)2(2)2(,),(,)4242y y y y y y GE GE ----== 所以，122112121211|||||42()|216S x y x y y y y y y y =-=--++ 22121244440413y y y x y y b y y b y x b b +=⎧⎧⎧=+-=⇒⇒⎨⎨⎨=-=-+-<<⎩⎩⎩， 代入面积公式得：)S b -=令()()3253913f x x x x x =-++-<<，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，所以()f x 在区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为1256327f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以max 139b S S===. 22.已知()(32)x f x e a =-其中a R ∈， 2.71828e =…为自然对数的底数； （Ⅰ）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若()6f x e ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围；解：（Ⅰ）()3x x x xf x e '==1x =为函数()f x 的极值点，(1)0f '=∴，得92a e =， 经检验，当92a e =时， 1x =为函数()f x 的极小值点.（Ⅱ）|()|6f x e ≤∵，即6(32)6x e e a e -≤-≤，3322x x e a e -≤≤∴令3()2x g x e =-()g x 在[0,2]x ∈上单调递增，2max 3()(2)2g x g e ==∴即232a e ≥.令1233()322x xh x e e e x -=+=+⋅，由3233()022x h x e e x -'=-⋅=，得1x =，由32xy e =在[0,2]x ∈上单调递增， 和3232y e x -=⋅在[0,2]x ∈上单调第减，1x ∴=是3233()022x h x e e x -'=-⋅=的唯一解，∴当[0,1]x ∈时，()0h x '≤；当[1,2]x ∈时，()0h x '≥，则min 39()(1)322h x h e e e ==+=，故92a e ≤. 综上，a 的取值范围是23922e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2024年8月浙江省普通高等学校招生全国统一考试模拟预测数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分第1至3页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|2,}A y y m m Z ==∈，{|3,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂（ ） A. {|2,}x x k k Z =∈ B. {|2x x m =或3,,}n m Z n Z ∈∈ C. {|6,}x x k k Z =∈D. {|3,}x x k k =∈Z2. 若在复平面内，点()3,2A -所对应的复数为z ，则复数2z 的虚部为（ ） A. 12B. 5C. 5-D. 12-3. 已知平面向量()1,2AB = ，()3,4AC = ，则向量CB =（ ）A. ()4,6--B. ()4,6C. ()2,2--D. ()2,24. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.12+C.34D.12-5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测是海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（ ）A. 2540πB. 449πC. 562πD. 561π6. 已知实数0a >，且满足不等式()()33log 32log 41a a +>+，若x y a a x y -<-，则下列关系式一定成立的是（ ） A. 0x y +> B. 1x y +> C. 0x y ->D. 1->x y7. 已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有五个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A. 137,62⎛⎤⎥⎝⎦B. 725,26⎛⎤⎥⎝⎦C. 2511,62⎛⎤⎥⎝⎦D. 1137,26⎛⎤⎥⎝⎦8. 已知函数21()()log 3xf x x =-，正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c >；④d c <中一定成立的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下面正确的是（ ） A. 若()22,N ξσ ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)0.3P ξ<<= B. 若()22,N ξσ，且(02)0.4P ξ<<=，则(0)0.9P ξ>=C. 若()0,1X N ，且(1)P X m >=，则1(10)2P X m -<<=- D. 若()2,9X N ，且()()P X a b P X a b >+=<-，则4a = 10. 已知函数()e sin 2x f x x =-，则（ ） A. ()f x 在(0,)+∞上单调递增B. 当π-,+6x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()1f x >-C. ()f x 在(-2022π,2022π)存在2022个极小值点 D. ()f x 的所有极大值点从大到小排列构成数列{}n x ，则101140π3i i x =<-∑ 11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系xOy 中，设定点()1,0F c -，()2,0F c ，其中0c >，动点(),P x y 满足212PF PF a ⋅=（0a ≥且a 为常数），化简可得曲线C：222x y c ++= ）A. 原点O 在曲线C 的内部B. 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形C. 若a c =，则OP的最大值为 D.若0a <≤，则存在点P ，使得12PF PF ⊥非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ，若1221PF F F PF ∠≥∠，则双曲线C 的离心率的取值范围为________. 13. 已知点P 在曲线2()y f x x ==上，过点P 的切线的倾斜角为π4，则点P 的坐标是_________. 14. 现有n （3n >，*N n ∈）个相同的袋子，里面均装有n 个除颜色外其他无区别的小球，第k （1k =，2，3，…，n ）个袋中有k 个红球，n k -个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是49，则n =______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且()()1cos 2sin 5B B ππ-++=． （1）求sin B ； （2）若5cos 13A =-，5a =，求ABC V 的面积． 16. 椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆的的2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴12A A 长为4，从一个焦点F 发出的一条光线经椭圆内壁上一点P 反射之后恰好与x 轴垂直，且52PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 为直线4x =上一点，且Q 不在x 轴上，直线1QA ，2QA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12QA A △，QMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值. 17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222PC AB AD CD ====，E 是PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求二面角P AC E --的余弦值；（3）直线PB 上是否存在一点F ，使得//PD 平面ACF ，若存在，求出PF 的长，若不存在，请说明理由.18 已知R k ∈，记()x x f x a k a -=+⋅（0a >且1a ≠）．（1）当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值； （2）试讨论函数()y f x =的奇偶性； （3）拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =n nS a (n N *).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11．（1）求数列{b n }通项公式； （2）证明：数列{a n }是等差数列；.的（3）记c n =2nn a S ，若存在k 1，k 2 N *(k 1 k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|2,}A y y m m Z ==∈，{|3,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂是（ ） A. {|2,}x x k k Z =∈ B. {|2x x m =或3,,}n m Z n Z ∈∈ C. {|6,}x x k k Z =∈ D. {|3,}x x k k =∈Z【答案】C 【解析】【分析】根据交集的定义直接判断即可.【详解】因为A B ⋂是6倍数，所以{|6,}A B x x k k Z ⋂==∈， 故选：C.2. 若在复平面内，点()3,2A -所对应的复数为z ，则复数2z 的虚部为（ ） A. 12 B. 5C. 5-D. 12-【答案】D 【解析】【分析】先求复数z ，再求复数2z ，再求它的虚部.【详解】由题意，得2232i (32i)512i z z =-⇒=-=-，所以它的虚部为12-. 故选：D3. 已知平面向量()1,2AB = ，()3,4AC = ，则向量CB =（ ）A. ()4,6--B. ()4,6C. ()2,2--D. ()2,2【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算与坐标表示，求解即可．【详解】()()()1,23,42,2CB AB AC =-=-=--，故选：C ．的4. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.12+C.34D.12-【答案】A 【解析】【分析】将已知等式切化弦可求得sin cos θθ，根据二倍角公式可求得结果.【详解】1tan 4tan θθ+= ，22sin cos cos 14cos sin sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθ+∴+===， 解得：1sin cos 4θθ=，21cos 21111112cos sin 2sin cos 42222424πθπθθθθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+==-⎛⎫ ⎪⎝⎭+=-+=-+=． 故选：A .5. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（ ）A. 2540πB. 449πC. 562πD. 561π【答案】C 【解析】【分析】根据球的表面积公式，以及圆柱圆台的侧面积公式，即可求解.【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底面半径分别为8米和1米，高为24米， 所以半球的表面积为214π8128π2⨯⋅=（平方米），圆柱的侧面积为2π813208π⋅⋅⨯=（平方米），圆台的侧面积为()π81225π+=（平方米），故该组合体的表面积为2128π+208π+225π+π1562π⨯=（平方米）． 故选：C6. 已知实数0a >，且满足不等式()()33log 32log 41a a +>+，若x y a a x y -<-，则下列关系式一定成立的是（ ） A. 0x y +> B. 1x y +> C. 0x y -> D. 1->x y【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性得出01a <<，再构造函数结合函数单调性求解即可. 【详解】因为0a >，又函数3log y x =单调递增，所以3241a a +>+，即01a <<， 对于不等式x y a a x y -<-，移项整理得x ya x a y -<-，构造函数()xh x a x =-，由于ℎ(x )单调递减，所以x y >，即0x y ->，故选:C.7. 已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有五个实数根，则实数ω的取值范围为（ ） A. 137,62⎛⎤⎥⎝⎦B. 725,26⎛⎤⎥⎝⎦C. 2511,62⎛⎤⎥⎝⎦D. 1137,26⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】辅助角公式化简后解方程，由第五个正根小于π，第六个正根大于等于π可得.【详解】由()sin 2sin()13f x x x x πωωω==-=-，得：5236x k ππωπ-=-+或2,36x k k Z ππωπ-=-+∈，即22k x ππωω=-+，或2,6k x k Z ππωω=+∈， 易知由小到大第5、6个正根分别为256πω，112πω. 因为方程()1f x =-在()0,π上有且只有五个实数根，所以有256ππω<且112ππω≥，解得251162ω<≤.故选：C.8. 已知函数21()()log 3xf x x =-，正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若实数d 是方程()0f x =的一个解，那么下列四个判断：①d a <；②d b <；③d c >；④d c <中一定成立的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A 【解析】【详解】易知21()(log 3xf x x =-为两个减函数的和，所以其为减函数，又正实数a ，b ，c 是公差为负数的等差数列，所以0c b a <<<，又()()()0f a f b f c ⋅⋅<，所以()0,()0,()0f a f b f c <<<或()0,()0,()0f a f b f c <>>，所以总有()0f a <，又()0f d =，()()f a f d <，所以d a <成立，故选A ．点睛：本题考查函数的零点及等差数列，属于中档题．解决问题的角度从函数值的大小来判断自变量的大小，因此首先要分析函数的单调性，其次判断函数值的大小要通过分析()()()0f a f b f c ⋅⋅<来实现，结合等差数列判断出()0f a <，从而零点对应的函数值要大于()f a ，再结合单调性即可判断出d a <．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下面正确的是（ ） A. 若()22,N ξσ ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)0.3P ξ<<= B. 若()22,N ξσ，且(02)0.4P ξ<<=，则(0)0.9P ξ>=C. 若()0,1X N ，且(1)P X m >=，则1(10)2P X m -<<=- D. 若()2,9X N ，且()()P X a b P X a b >+=<-，则4a = 【答案】ABC 【解析】【分析】根据正态分布的性质一一判断即可. 【详解】对于A ：因为()22,N ξσ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)(24)(4)(2)0.80.50.3ξξξξ<<=<<=<-<=-=P P P P ，故A 正确； 对于B ：因为()22,N ξσ，且(02)0.4P ξ<<=，则(0)(2)(02)0.50.40.9P P P ξξξ>=>+<<=+=，故B 正确； 对于C ：因为()0,1X N ，且(1)P X m >=，所以()()1(10)(01)012P X P X P X P X m -<<=<<=>->=-，故C 正确； 对于D ：因为()2,9X N ，且()()P X a b P X a b >+=<-， 所以()22a b a b ++-=⨯，解得2a =，故D 错误. 故选：ABC10. 已知函数()e sin 2x f x x =-，则（ ） A. ()f x (0,)+∞上单调递增 B. 当π-,+6x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭时，()1f x >-C. ()f x 在(-2022π,2022π)存在2022个极小值点 D. ()f x 的所有极大值点从大到小排列构成数列{}n x ，则101140π3i i x =<-∑ 【答案】BD 【解析】【分析】根据导函数的正负，可判断原函数的单调性，故可判断A ，由单调性的考查可知()f x 的最小值点，进而可求最小值，进而可判断B ，根据函数图像的交点以及极值点的定义即可判断个数，即可判断C ，根据最大极值点的范围，结合函数图像的周期性，即可求解D.【详解】()e sin 2()e 2cos 2xx f x x f x x '=-∴=- ，,当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,cos 2x 单调递减，e x 单调递增，所以()f x '单调递增,且()π6π010,e 106f f ⎛⎫''=-<=->-> ⎪⎝⎭,所以存在00π0,,()06x f x ⎛⎫'∈= ⎪⎝⎭,当()00,,()0x x f x '∈<,此时()f x 单调递减,故A 错误.()e 2cos 20e 2cos 2x x f x x x ='=-=⇒,在同一个直角坐标系中画出21e 2c s 2,o x y x y ==.当在π6ππ,2cos 163x e -⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭，因此,当0π,6x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,此时()0f x '<，()f x 单调递减,当()0,x x ∈+∞，()f x 单调递增，0x 满足00e =2cos 2x x 且0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故()()00000min e sin 2=2cos2sin 2x f f x x x x x -=-=，()n 00mi 2cos2i =s n 2f x x x -在0π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()00min πs π=2cos2sin 22cos 2in 2661f x x x ⎛⎫⎛⎫->⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()1f x >B 正确. 由21e 2c s 2,o x y x y ==的图象可知，存在3ππ,4x *⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，当 πx x *-<<时，e 2cos 2,xx <此时()e 2cos 20x f x x '=-<，()f x 单调递减，当π2x x *<<-，e 2cos 2,x x >此时()e 2cos 20x f x x '=->，()f x 单调递增，所以当π-π,-2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 只有一个极小值点x * ，由于22cos 2y x = 是以周期为π 的周期函数，故当(2022π,0)-，()f x 有2022个极小值点，当()0,πx ∈时，()f x 有一个极小值点，而当πx >，e 2cos 2x x >恒成立，故该区间无极值点，所以()f x 在(2022π,2022π)-存在2023个极小值点，故C 错误.由21e 2c s 2,o xy x y ==图象可知，存在1-,0π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当 1π4x x -<<时，e 2cos 2,x x >此时()e 2cos 20x f x x '=->，()f x 单调递增，当10x x <<，e 2cos 2,x x <此时()e 2cos 20x f x x '=-<，()f x 单调递减，所以当π-,04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 只有一个极大值点1x .当π6ππ,2cos 163x e -⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭，由图像可知：1ππ,-46x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由22cos 2y x =是以周期为π 的周期函数，因此ππ+π,π46i x k k ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭，其中k 为非正整数.101π7π13πππ109140+--9π10π=π6666623i i x =⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++-=-⨯+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ ，故D 正确. 的故选：BD【点睛】11. 1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．在平面直角坐标系xOy 中，设定点()1,0F c -，()2,0F c ，其中0c >，动点(),P x y 满足212PF PF a ⋅=（0a ≥且a 为常数），化简可得曲线C：222x y c ++= ）A. 原点O 在曲线C 的内部B. 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形C. 若a c =，则OP的最大值为 D.若0a <≤，则存在点P ，使得12PF PF ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，将原点坐标代入方程判断，对于B ，对曲线方程以x -代x ，y -代y 进行判断，对于C ，利用曲线方程求出x 取值范围，结合两点间的距离公式进行判断，对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，然后由120PF PF ⋅=化简计算即可判断.【详解】对于A ，将(0,0)O 代入方程，得22c a =，所以当a c =时，原点O 在曲线C 上，所以A 错误， 对于B ，以x -代x，得222()x y c -++=，得222x y c ++=，所以曲线关于y 轴对称，y -代y，得222()x y c +-+=，得222x y c ++=x 轴对称，以x -代x ，y -代y，得222()()x y c -+-+=，得222x y c ++=，所以曲线关于原点对称，所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以B 正确，的对于C ，当a c =时，由222x y a ++=，得2220y x a --≥=，解得222x a ≤，所以2222222OP x y a a a =+=≤-=，所以OP ≤，所以OP 的最大值为，所以C 正确，对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，则12PF PF ⊥，因为12(,),(,)PF c x y PF c x y =---=-- ，所以2220x c y -+=，所以222x y c +=，所以由222x y c ++=22c =，所以222c a ≥，所以0a <≤，反之也成立，所以当0a <≤，则存在点P ，使得12PF PF ⊥，所以D 正确，故选：BCD非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ，若1221PF F F PF ∠≥∠，则双曲线C 的离心率的取值范围为________.【答案】2⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线2PF 与双曲线C 在第一象限交于点P ， 可知直线2PF 的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即2222tan 6032ba b c a e a=⇒=-⇒< ， 设2PF n =，则12PF a n =+，根据1221PF F F PF ∠≥∠可知2122PF F F c ≥=， 在12PF F 中，由余弦定理可知()22222422cos12022b n c a n cn n a c+-+=⨯⇒=-， 即222222222202≥⇒≥-⇒--≥-b c b ac c c ac a a c，则22210--≥⇒≥e e e ，故2>≥e故答案为：2⎫⎪⎪⎭13. 已知点P 在曲线2()y f x x ==上，过点P 的切线的倾斜角为π4，则点P 的坐标是_________. 【答案】11(,)24【解析】【分析】由切线的倾斜角求出切线的斜率，利用切线的斜率等于该点的导函数值，可求得切点坐标. 【详解】设()00,P x y ，由导数的定义易求得()002f x x '=， 由于P 在曲线()2y f x x ==上，函数()f x 为二次函数，过点P 的切线即是点P 处的切线，故0π2tan 14x ==，即012x =，则014y =.故答案为：11,24⎛⎫⎪⎝⎭14. 现有n （3n >，*N n ∈）个相同的袋子，里面均装有n 个除颜色外其他无区别的小球，第k （1k =，2，3，…，n ）个袋中有k 个红球，n k -个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是49，则n =______. 【答案】9 【解析】【分析】根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.【详解】设选出的是第k 个袋，连续四次取球的方法数为()(1)(2)3n n n n ---， 第四次取出的是白球的取法有如下四种情形：4白，取法数为：()(1)(2)(3)n k n k n k n k -------， 1红3白，取法数为：13C ()(1)(2)k n k n k n k ⋅-----， 2红2白，取法数为：()23C 1()(1)k k n k n k ⋅----，3红1白：取法数为：(1)(2)()k k k n k ---， 所以第四次取出的是白球的总情形数为：13()(1)(2)(3)C ()(1)(2)n k n k n k n k k n k n k n k -------+⋅-----()23C 1()(1)(1)(2)()(1)(2)(3)()k k n k n k k k k n k n n n n k +⋅----+---=----，则在第k 个袋子中取出的是白球的概率为：(1)(2)(3)()(1)(2)(3)k n n n n k n kP n n n n n-----==---，因为选取第k 个袋的概率为1n，故任选袋子取第四个球是白球的概率为： ()211111112nn nk k k k n k n P P n k n n n n n===--=⋅=⋅=-=∑∑∑， 当1429n P n -==时，9n =. 故答案为：9．【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题，根据题意首先分类讨论不同k 值情况下的抽取总数(可直接用k 值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含k 的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中n 与k 的关系可简化累加步骤.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()()1cos 2sin 5B B ππ-++=． （1）求sin B ；（2）若5cos 13A =-，5a =，求ABC V 的面积． 【答案】（1）35；（2）338．【解析】【分析】（1）解法一：利用诱导公式化简得到1cos sin 5B B -=，利用同角三角函数平方关系可构造方程组求得sin B ；解法二：利用诱导公式化简得到1cos sin 5B B -=，平方后可求得242sin cos 25B B ⋅=，由sin cos B B +=可求得sin cos B B +，由此构造方程组求得sin B ；（2）根据同角三角函数关系可求得sin A ，利用正弦定理可求得b ；根据两角和差正弦公式求得sin C 后，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）解法一：()()1cos 2sin cos sin 5B B B B ππ-++=-= 又22cos sin 1B B +=，∴()()225sin 5sin 125sin 35sin 40B B B B +-=-+=，∵B ∈(0,π)，sin 0B ∴>，解得：3sin 5B =. 解法二：()()1cos 2sin cos sin 5B B B B ππ-++=-= …①， 平方可得：112sin cos 25B B -⋅=，242sin cos 25B B ∴⋅= ∵B ∈(0,π)，sin 0B ∴>，cos 0B ∴>，7sin cos 5B B ∴+==…②， 由①②可得：3sin 5B =. （2） 5cos 13A =-，()0,A π∈，∴12sin 13A =，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin 13sin 4a Bb A ==， 由（1）知：4cos 5B =，在ABC V 中，()1245333sin sin sin cos cos sin 13513565C A B A B A B =+=+=⨯-⨯=， 11133333sin 5224658ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯= ． 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的相关知识，涉及到诱导公式、同角三角函数平方关系、两角和差公式的应用；求解三角形面积的关键是能够通过同角三角函数平方关系和两角和差正弦公式得到两边夹角的正弦值，代入三角形面积公式得到结果.16. 椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴12A A 长为4，从一个焦点F 发出的一条光线经椭圆内壁上一点P 反射之后恰好与x 轴垂直，且52PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点Q 为直线4x =上一点，且Q 不在x 轴上，直线1QA ，2QA 与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设12QA A △，QMN 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的最大值. 【答案】（1）22143x y +=（2）43【解析】【分析】（1）利用长轴长求出a ，利用椭圆定义求出232PF =，进一步求出2b ，即可得椭圆方程；（2）设直线，联立方程求出M 、N 的坐标，把面积比转化为坐标比，进一步转化为分式函数求最值问题 【小问1详解】不妨设F 、2F 是椭圆的左焦点、右焦点， 则2PF x ⊥轴，又因为52PF =，24a =， 所以2232PF a PF =-=，即232b a =，所以23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.【小问2详解】设()()4,0Q t t ≠，()11,M x y ，()22,N x y 则1QA ：()26ty x =+，2QA ：()22t y x =- 联立()22263412t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()2227180t y ty +-=，解得121827t y t =+，同理，联立22223412x y tx y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 得()22360t y ty ++=，解得2263t y t -=+， 所以121212121sin 0021sin 2QA QA Q QA A S t t S QN t y t y QM QN Q Q QM ∠--==⋅=⋅--∠ ()()()22222222731869273t t t t t t t t t t ++==-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭. 令299m t =+>，则()()22122218612108111110812(1,09m m S m m S m m m m m +-+-⎛⎫⎛⎫===-++<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当()112110,2108189m ⎛⎫=-=∈ ⎪⨯-⎝⎭，即18m =，即3t =±时，12S S 取得最大值43.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222PC AB AD CD ====，E 是PB 的中点.（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）求二面角P AC E --的余弦值；（3）直线PB 上是否存在一点F ，使得//PD 平面ACF ，若存在，求出PF 的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2.（3）存在，PF =.【解析】【分析】（1）根据直角梯形可得AC BC ⊥，再根据AC PC ⊥即可得出AC ⊥平面PBC ，于是平面EAC ⊥平面PBC ；（2）PCE ∠为所求二面角的平面角，利用余弦定理计算cos PCE ∠；（3）连接BD 交AC 于O ，过O 作OF PD ，可得PD 平面ACF ，利用相似三角形即可得出PF 的长.【详解】（1）证明：四边形ABCD 是直角梯形，222AB CD AD ===，∴AC BC ==，AC BC ⊥，∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PC AC ⊥，又,,PC BC C PC BC =⊂ 平面PBC ， ∴AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）由（1）可知AC ⊥平面PBC ， ∴AC PC ⊥，A C C E ⊥，∴PCE ∠为二面角P AC E --的平面角，∵2PC =，BC =，∴1122CE PE PB ====，∴222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅.∴二面角P AC E --. (3)连接BD 交AC 于O ，过O 作OF PD 交PB 于F ，连接AF ，CF .则PD 平面ACF .∵AB CD ∥，∴2OB ABOD BC ==， 又OF PD ，∴2OB BFOD PF==，∴13PF PB ==.所以直线PB 上是否存在一点F ，使得//PD 平面ACF ，且PF .【点睛】本题考查了空间面面垂直的判定和线面平行的判定，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18. 已知R k ∈，记()x x f x a k a -=+⋅（0a >且1a ≠）．（1）当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值； （2）试讨论函数()y f x =的奇偶性； （3）拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由； ②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明） 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； （3）①当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫-⎪⎝⎭，理由见解析；②答案见解析. 【解析】【分析】（1）当e a =时，求得()e e x x f x k -'=-⋅，分0k ≤和0k >，两种情况讨论，分别求得函数的单调性，进而求得函数的最值；（2）根据题意，分别结合()()f x f x -=和()()f x f x -=-，列出方程求得k 的值，即可得到结论；（3）根据题意，得到当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且0k <时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log ())a f k x --=()f x -． 【小问1详解】解：当e a =时，函数 ()e e x x f x k -=+⋅，可得()e e x x f x k -'=-⋅，若0k ≤时，()0f x '>，故函数()y f x =在R 上单调递增，函数()y f x =在R 上无最值；若0k >时，令()0f x '=，可得1ln 2x k =， 当1,ln 2x k ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，f ′(x )<0，函数()y f x =在1,ln 2k ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦上为严格减函数； 当1ln ,2x k ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，f ′(x )>0，函数()y f x =在1ln ,2k ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上为严格增函数，所以，当1ln 2x k =时，函数取得最小值，最小值为1ln 2f k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，无最大值．综上：当0k ≤时，函数()f x 在R 上无最值；当0k >时，最小值为 【小问2详解】解：因为“()y f x =为偶函数”⇔“对于任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=” 即对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且x x x x a k a a k a --+⋅=+⋅； 即对于任意的x ∈R ，(1)()0x x k a a ---=，可得1k =， 所以1k =是()y f x =为偶函数的充要条件．因为“()y f x =为奇函数”⇔“对于任意的x ∈R ，都有()()f x f x -=-”， 即对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且x x x x a k a a k a ----⋅=+⋅， 即对于任意的x ∈R ，(01)()x x k a a -++=，可得1k =-， 所以1k =-是()y f x =为奇函数的充要条件， 当1k ≠±时，()y f x =是非奇非偶函数. 【小问3详解】解：①当0k <时，函数()y f x =有对称中心1log(),02k ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当0k <时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log ())a f k x --=()f x -． 证明：当0k <时，令()0f x =，解得1log ()2a x k =-为函数()y f x =的零点， 由()x x f x a k a -=+⋅，可得(log ())a f k x --=log ()(log ())a a k x k x a k a -----+⋅x x k a a -=-⋅-()f x =-；② 答案1：当0k >时，函数()y f x =有对称轴1log 2a x k =． 即当0k >时，对于任意的x ∈R ，都有R x -∈，并且(log )a f k x -=()f x ，参考证明：当0k >时，由()x x f x a k a -=+⋅，可得(log )a f k x -=log (log )a a k x k x a k a ---+⋅x x k a a -=⋅+()f x =，答案2：当1k =时，()y f x =的图象关于y 轴对称，即对于任意的R x ∈，都有()()f x f x -=，答案3：当0k <时，函数()y f x =的零点为1log ()2a x k =-，即1log ()0.2a f k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 19. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，b n =n nS a (n N *).若{b n }是公差不为0的等差数列，且b 2b 7=b 11． （1）求数列{b n }通项公式；（2）证明：数列{a n }是等差数列；（3）记c n =2n na S ，若存在k 1，k 2 N *(k 1 k 2)，使得12k k c c =成立，求实数a 1的取值范围．【答案】（1）1(1)2n b n =+；（2）证明见解析；（3）2(0log 3]，． 【解析】【分析】 (1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式.(2）利用递推关系式的应用和等差数列的定义的应用求出数列为等差数列.(3）利用分类讨论思想的应用和存在性问题的应用及假设法的应用求出实数a 的取值范围.【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1111S b a ==，所以1(1)n b n d =+-． 由2711b b b =得，(1)(16)110d d d ++=+，即220d d -=，的因为0d ≠，所以12d =，从而1(1)2n b n =+. （2）由（1）知，1(1)2n n S n a =+，n N *∈， 即有2(1)n n S n a =+， ①所以112(2)n n S n a ++=+，② ②-①得，112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，整理得1(1)n n na n a +=+．两边除以(1)n n +得，101n n a a n n+-=+（n N *∈）， 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列． 所以111n a a a n ==，即1n a na =， 所以11n n a a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列．（3） 因为n n n S b a =，所以11(1)22n n n n n S a a ++==， 所以111(1)22n n n na a S n n a c ++==． 因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)1()22222n n na a na na a n n a n n a n n a n c c n ++++++++++-=-=-+， 当n N *∈时，2111223n n n ⎡⎫=-∈⎪⎢++⎣⎭，． 显然10a ≠， ①若10a <，则1112a >，11022a n n ->+恒成立， 所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n N *∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =；②若12log 3a >，则11123a <， 11022a n n -<+恒成立，所以10n n c c +-<，即1n n c c +<，n N *∈，所以{}n c 单调递减，所以不存在12k k c c =；③若21log 3=a ，则11123a =，所以当n =1，11022a n n -=+成立， 所以存在12c c =．④若120log 3a <<，则111132a <<． 当1221a n <-，且n N *∈时，1n n c c +>，{}n c 单调递增； 当1221a n >-，且n N *∈时，1n n c c +<，{}n c 单调递减， 不妨取0120002log (2)k a k k k *+=∈N ，≥，则001k k c c +=． 综上，若存在12k k *∈N ，，使得12k k c c =成立，则1a 的取值范围是2(0log 3]，． 【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，分类讨论思想的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.。

2020年浙江师大附中高考数学模拟试卷(三)一、单项选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.2−3i1+i=()A. 12−52i B. −12−52i C. 12+52i D. −12+52i2.设集合U={x∈N|2<x<9}，A={4,5，6}，B={5,6，7}，则∁U(A∩B)=()A. {3,4，7}B. {3,4，8}C. {3,4，7，8}D. {3,8}3.在△ABC中，D是AB边上靠近点A的三等分点，E是CD的中点，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ =A. −56AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗ B. 56AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13AB⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. −13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC⃗⃗⃗⃗⃗4.已知函数y=f(x)为定义在R上的奇函数，则下列结论中不正确的是()A. f(x)在(−∞,0]和[0,+∞)上的单调性相反B. 图象过原点，且关于原点对称C. f(2018)+f(−2018)=f(0)D. 如果x>0时，有f(x)>0成立，那么x<0时，f(x)<0也成立5.函数f(x)=cos(2x+ϕ)的图象关于点(π3,0)成中心对称的充要条件是()A. ϕ=5π6+kπ,k∈Z B. ϕ=π6+kπ,k∈ZC. ϕ=−2π3+kπ,k∈Z D. ϕ=4π3+kπ，k∈Z6.在(x2−2x)7的展开式中，x5的系数为()A. −35B. 35C. −280D. 2807.某县政府分派4名干部到甲、乙、丙三个贫困村开展“精准扶贫”工作，要求每名干部只去一个贫困村，且每个贫困村至少安排一名干部，则不同的分配方案种数有()A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种8.如图，正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，则()A. 存在点G，使PG⊥EF成立B. 存在点G，使FG⊥EP成立C. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立D. 不存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立9.已知F1、F2分别为双曲线C：x29−y227=1的左、右焦点，点A为双曲线上一点，∠F1AF2的平分线交x轴于点(2,0)，则|AF2|=()A. 3B. 6C. 8D. 1010.设函数f(x)=−2+log2x(x≥1)，则f(x)的值域是()A. RB. [−2,+∞)C. [1,+∞)D. (0,1)二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.已知某离散型随机变量ξ的数学期望E(ξ)=76，ξ的概率分布列如下表：ξ0123P a 131 6b则a=________.12.某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为______ ．13.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(14,0)，则p=______．14. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．15. 已知数列{a n }，a 1=3，a 2=6，a n +2=a n +1−a n ，则a 2019=________． 16. 函数f(x)的定义域为R ，若对任意的x ∈R ，f(x)+xf′(x)>0，且f(2)=12，则不等式(x 2+1)f(x 2+1)>1的解集为______．17. 如图，在Rt △BAC 中，∠A =90°，D ，E 分别是AC ，BC 上的点，且满足∠ADB =∠CDE =30°，BE =4CE ，若CD =√3，则△BDE 的面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 18. 已知函数f(x)=4sinx ⋅cos(x −π6)．(Ⅰ)求f(π4)的值及函数f(x)的最小正周期； (Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间．19.如图，△ABC的外接圆O的半径为√5，CD⊥圆O所在的平面，BE//CD，CD=4，BC=2，且BE=1，tan∠AEB=2√5．(1)证明：平面ADC⊥平面BCDE；(2)试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为2？若存在，确7定点M的位置，若不存在，请说明理由．a n(n∈N∗).数列{b n}是等差数列，且b2=a2，b20=20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n+32a4．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(Ⅱ)求数列{b na n−121.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x24−y22=1有相同的焦点，且椭圆C过点P(2,1)，若直线l与直线OP平行且与椭圆C相交于点A，B．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)求三角形OAB面积的最大值．22.已知函数f(x)=ln(x+ax−2)(a>0)(I)当1<a<4时，函数f(x)在[2,4]上的最小值为ln32，求a；(Ⅱ)若存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：2−3i1+i =(2−3i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−52i ．故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.答案：C解析：本题考查了集合的交集运算，补集运算，属于基础题．首先把全集转化为U ={3,4,5,6,7,8}，再根据A ∩B ={5,6}，再由补集定义即可解． 解：由集合U ={x ∈N|2<x <9}得U ={3,4,5,6,7,8}， ∵A ={4,5，6}，B ={5,6，7}， ∴A ∩B ={5,6}， 则∁U (A ∩B )={3,4,7,8}． 故选C ．3.答案：A解析：本题考查平面向量的基本定理和线性运算，属基础题，难度不大． 根据向量加减法运算法则可得．解：由已知可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为E 是CD 的中点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(−23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选A ．4.答案：A解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，若f(x)为奇函数，则f(x)在(−∞,0]和[0,+∞)上的单调性相同，A错误；对于B，若f(x)为定义在R上奇函数，则其图象过原点，且关于原点对称，B正确；对于C，若f(x)为奇函数，则f(−2018)=−f(2018)，则f(−2018)+f(2018)=0，C正确；对于D，若x>0时，有f(x)>0成立，那么x<0时，f(x)=−f(−x)<0，C正确；故选：A．根据题意，结合函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．5.答案：A解析：由题意得f(π3)=0，即cos(2π3+ϕ)=0，所以ϕ=5π6+kπ,k∈Z，故选A...6.答案：C解析：解：二项式(x2−2x)7的展开式的通项公式为T r+1=∁7r⋅(x2)7−r⋅(−2x)r=(−2)r⋅∁7r⋅x14−3r，令14−3r=5，解得r=3；∴展开式中x5的系数为：(−2)3⋅∁73=−280．故选：C．利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x5的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求特定项的应用问题，是基础题7.答案：B解析：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．根据题意，分2步进行分析：①将4名干部分为3组，②将分好的三组安排甲、乙、丙三个贫困村，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将4名干部分为3组，有C42=6种分组方法，②将分好的三组安排甲、乙、丙三个贫困村，有A33=6种情况，则有6×6=36种不同的分配方法，故选：B．8.答案：C解析：解：正四面体ABCD中，E，F分别是线段AC的三等分点，P是线段AB的中点，G是直线BD的动点，在A中，不存在点G，使PG⊥EF成立，故A错误；在B中，不存在点G，使FG⊥EP成立，故B错误；在C中，不存在点G，使平面EFG⊥平面ACD成立，故C正确；在D中，存在点G，使平面EFG⊥平面ABD成立，故D错误．故选：C．利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B解析：解：双曲线C：x29−y227=1的a=3，b=3√3，c=√a2+b2=6，则F1(−6,0)，F2(6,0)，∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得|F1M||F2M|=|AF1||AF2|=48=12，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；故选：B．求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理，以及双曲线的定义可得|AF1|−|AF2|= 6，进而可得所求；本题考查双曲线的方程和定义，考查角平分线的性质定理的运用，考查运算求解能力，属于中档题．10.答案：B解析：∵x≥1时log2x≥0，∴−2+log2x≥−2，∴函数f(x)=−2+log2x(x≥1)的值域是[−2,+∞)．11.答案：13解析：本题主要考查离散型随机变量ξ的数学期望，属于基础题．根据分布列的性质及数学期望公式求解即可．解：E(ξ)=76=0×a+1×13+2×16+3b⇒b=16，又P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1⇒a+13+16+16=1⇒a=13．故答案为13．12.答案：3解析：由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，故先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．此题考查了由三视图求面积、体积，解题的关键是得到该几何体的形状．解：由已知中三棱锥的三视图，可得该三棱锥的直观图如下所示：其高为2，底面是直角边长度为3的等腰直角三角形，∴其底面面积S=12×3×3=92，高ℎ=2，则体积V=13×92×2=3，故答案为：313.答案：12解析：解：抛物线y 2=2px(p >0)的焦点坐标为(14,0)， ∴p 2=14， 解得p =12． 故答案为：12．根据抛物线的焦点坐标求得p 的值．本题考查了抛物线的简单几何性质的应用问题，是基础题．14.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大， 联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)． 故答案为：[0,5)．15.答案：3解析：本题考查数列的递推关系式的应用，周期数列的应用，考查计算能力．利用数列的递推关系式，求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解a2019即可．解：由递推关系，得a1=3，a2=6，a3=3，a4=−3，a5=−6，a6=−3，a7=3，a8=6，知数列{a n}是周期数列，周期为6，得a2019=a336×6+3=a3=3．故答案为3．16.答案：(−∞,−1)∪(1,+∞)解析：构造函数g(x)=xf(x)，求导后由已知可知函数为增函数，把原不等式转化为g(x2+1)>g(2)求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．解：令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，可得g(x)在(−∞,+∞)上为增函数，由f(2)=12，得g(2)=2f(2)=1，∴不等式(x2+1)f(x2+1)>1化为g(x2+1)>g(2)，又g(x)在(−∞,+∞)上为增函数，∴x2+1>2，得x<−1或x>1．∴不等式(x2+1)f(x2+1)>1的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．故答案为：(−∞,−1)∪(1,+∞)．17.答案：4√35解析：本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．过点E作EF⊥AC于点F，设EF=x，表示出BA、BD和AD，利用勾股定理和余弦定理，列方程求得x的值，再计算△BDE的面积．解：过点E 作EF ⊥AC 于点F ，如图所示；由∠A =90°知，EF//BA ， 再由BE =4EC ，得BA =5EF ； 设EF =x ，则BA =5x ；又∠ADB =∠CDE =30°，得BD =10x ，DE =2x ， AD =5√3x ，∠BDE =120°；由勾股定理，得BC 2=25x 2+(√3+5√3x)2=100x 2+30x +3；又由余弦定理，得BE 2=(10x)2+(2x)2−2×10x ⋅2x ⋅cos120°=124x 2； 又BE =4EC ，所以BC =54BE ， 所以BC 2=2516BE 2， 100x 2+30x +3=2516×124x 2，解得x =25或x =−225(舍去)， 所以△BDE 的面积为S △BDE =12BD ⋅DE ⋅sin120°=12×10×25×2×25×√32=4√35． 故答案为：4√35． 18.答案：解：(Ⅰ)函数，所以所以函数的最小正周期为T =2π 2=π ．(Ⅱ)令，解得．所以函数的单调递增区间为[−π 6+kπ ,kπ +π 3](k∈Z)解析：本题考查三角函数公式的运用，求正弦型函数的值，周期和单调区间，属于中档题．(Ⅰ)利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等对f(x)进行整理化简，得到正弦型函数的形式，然后求出f(π4)和最小正周期；(Ⅱ)令−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解出x的范围，得到f(x)的单调递增区间．19.答案：(1)证明：∵CD⊥平面ABC，BE//CD，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB，∵BE=1，tan∠AEB=2√5，AE=√21，AB=√AE2−BE2=2√5，AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，又∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面BCDE，∴平面ADC⊥平面BCDE．(2)解：假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连结AN，作MF⊥CB 于F，连结AF，∵平面ADC⊥平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角，设MN=x，计算易得，DN=32x，MF=4−32x，故A M=√AF2+MF2=√AC2+CF2+MF2=√16+x2+(4−32x)2，sin∠MAN=MNAM =√16+x+(4−32x)=27，解得：x=−83(舍去)，x=43，故MN=23CB，从而满足条件的点M存在，且DM=23DE，且点M的坐标为(0,43,2)．解析：本题考查面面垂直的判定及直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)由已知中CD ⊥⊙O 所在的平面，BE//CD ，易得BE ⊥平面ABC ，则BE ⊥AB ，由BE =1，tan∠AEB =2√5，AB 是⊙O 的直径，则AC ⊥BC 由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ABC ，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC ⊥平面BCDE ；(2)过点M 作MN ⊥CD 于N ，连接AN ，作MF ⊥CB 于F ，连接AF ，可得∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角，设MN =x ，则由直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27，构造关于x 的方程，解方程即可求出x 值，进而得到点M 的位置．20.答案：解：(1)由S n =n +32a n ，①当n ≥2时，S n−1=n −1+32a n−1，②两式相减得a n =1+32a n −32a n−1，即a n =3a n−1−2.当n ≥2时，a n −1an−1−1=3a n−1−2−1a n−1−1=3为定值，由S n =n +32a n ，令n =1，得a 1=−2.所以数列{a n −1}是等比数列，公比是3，首项为−3． 所以数列{a n }的通项公式为a n =1−3n .(4分)(2)∴b 2=−8，b 20=−80.由{b n }是等差数列，求得b n =−4n ． ∵T n =b 1a 1−1+b 2a 2−1+⋯+b n−1a n−1−1+b n a n −1=4[131+232+⋯+(n−1)3n−1+n 3n]，而13T n =4[132+233+⋯+(n−1)3n+n3n+1]，相减得23T n =4(131+132+⋯+13n −n3n+1)，即T n =2(130+131+⋯+13n−1)−2n3n ， 则T n =21−(13)n1−13−2n 3n =3−2n+33n.(12分)解析：(I)根据已知中S n =n +32a n (n ∈N ∗).结合a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2，即可求出数列{a n }的通项公式；(II)结合(I)中结论即数列{b n }是等差数列，且b 2=a 2，b 20=a 4.我们可以求出数列{b na n −1}的通项公式，我们易写出列{b nan −1}的前n 项和T n 的表达式，进而利用错位相消法，即可求出答案．本题考查的知识点是数列的递推公式及数列的求和，如果已知中已知S n ，求a n ，公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2是最常用的方法． 21.答案：解：(Ⅰ)双曲线x 24−y 22=1的焦点为(±√6,0)，即椭圆标准方程中c =√6， a 2=b 2+c 2=b 2+6， 将P(2,1)代入椭圆方程x 2b 2+6+y 2b 2=1中， 得4b 2+6+1b 2=1， 解得：b 2=2，a 2=8， ∴椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1；(Ⅱ) 由直线l 平行于OP ，且k OP =12， 设直线l 的方程为y =12x +m ，由{y =12x +mx 28+y 22=1，消去y 得x 2+2mx +2m 2−4=0；设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−2m ，x 1+x 2=2m 2−4， 由l 与椭圆C 有不同的两点，则△>0，即△=4m 2−4(2m 2−4)>0，解得−2<m <2，且m ≠0， 又|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√52⋅√4m 2−4(2m 2−4)=√5⋅√4−m 2，点O 到直线l 的距离为 d =√(2)2+(−1)2=√5，∴△OAB 的面积为S =12⋅d ⋅丨AB 丨=|m|⋅√4−m 2=√m 2(4−m 2)≤m 2+(4−m 2)2=2，当且仅当m 2=4−m 2，即m =±√2时取等号， 此时△OAB 的面积最大，且最大值为2．解析：(Ⅰ)由双曲线的性质求出c =√6，得出a 2=b 2+c 2=b 2+6，将P(1,2)代入椭圆方程求得a 和b ，即得椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)根据题意，设直线l 的方程为y =12x +m ，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，即可求得△OAB 面积的最大值．本题考查了椭圆方程的求法以及求三角形面积的最大值和直线方程的求法，韦达定理以及基本不等式的性质应用问题，是综合性题目．22.答案：解：(Ⅰ)令g(x)=x+ax−2，∴g′(x)=1−ax2=x2−ax2，∵x∈[2,4]，1<a<4，∴x2−a>0，∴g′(x)>0，∴g(x)在[2,4]上单调递增，∴f(x)在[2,4]上单调递增，∴f(x)min=f(2)=ln(2+a2−2)=ln32，∴a=3，(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，函数f(x)在(2,+∞)上单调递增，∴f(x)min=f(2)=ln(2+a2−2)=ln a2，∵存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，∴ln a2<0=ln1，∴0<a<2故a的取值范围为(0,2)解析：(Ⅰ)令g(x)=x+ax−2，利用导数判断g(x)的单调性，再根据符合函数判断f(x)的单调性，根据函数的单调性即可求出函数的最值，即可求出a的值，(Ⅱ)由由(Ⅰ)可知，函数f(x)在(2,+∞)上单调递增，求出函数的最小值，根据存在x0∈(2,+∞)，使得f(x0)<0，得到a的取值范围．本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用以及复合函数的单调性，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．。

、已知1F 和2F 是双曲线223x y -＝1的两个焦点，||21F F =（ ）、2 B 、 2 C 、22 D 、 4若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-+22042y y x y x ，则y x +3的最大值等于（ B ）A. 7B. 6C. 5D. 4已知直线042:1=++y ax l ，02)1(:2=+-+y a x l ，则“1-=a ”是“21//l l ”的（C ）充分不必要条件 B. 必要不充分条件充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件X 1-01p a a -3231a 增大时（ ）)(X D 增大 B.)(X D 减小 C.)(X D 先增大再减小 D. )(X D 先减小再增大7.知函数是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）A.[1,2]- B [1,0]- C.[1,2] D.[0,2]6设复数52z i=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ，模为 ．某几何体的三视图如图所示（单位：cm )，则该几何体最长的一条棱的长度是__________cm ；体积为__________3cm .已知6622106...)1(x a x a x a a x ++++=-，= ，=+-+-+-6543210a a a a a a a在ABC ∆中，︒=45C ，6=AB ，D 为BC 边上的点，且3,5==BD AD ，则=B cos ，=AC ．{}2222{}_____已知函数22()sin cos (cos sin )f x a x x b x x =--（x R ∈，a ，b 为常数），3()24π=，1()124f π=-.）求()f x 的单调递增区间；）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.解：（1）由题得：1()sin 2cos 22f x a x b x =-，3()24π=，1()124f π=-，得3,4131,b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪故13,24a b ==，）证明：AB CD ⊥；）求二面角D AB C --的余弦值.解：（Ⅰ）∵60BAC CAD DAB ∠=∠=∠=︒，3AB =，2AC AD ==，ABC ABD ∆≌，BC BD =.CD 的中点M ，连接,AM BM ，则CD AM ⊥，CD BM ⊥，AM BM M ⋂=，∴CD ⊥平面ABM ，CD 与平面ABD 所成的角正弦值为3.方法二：AE 为z 轴，BE 为x 轴，CE 为y 轴，建立坐标系，则(0,1,0)A ，,(0,1,0)B -，(0,0,3)C ，6,0,0).(0,2,0)CD =- ，(6,0,3)AB =- ，(0,1,3)AD =-- .设平面ABD 的法向量为(,,)m x y z ，63030x z y z -=--=，取m =2(,3,1)2-， 236）求数列{}n a 的通项公式；）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< .:(1)在2*2n n T S n n N =-∈，中，令11111121211n T S a a a =⇒=-⇒=-⇔=。