基于能量平衡原理的有限单元耦合方法_岳健广

将 应 力 表 达 式 代 入 式 （９），求 得
σ３１ ＝Ｆ１／ｔ＋ （１２Ｆ６／ｔ３）ｙ
（１０）
σ３２ ＝ （３Ｆ２／２ｔ）（１－４ｙ２／ｔ ２）
（１１）
σ３３ ＝Ｆ３／ｔ＋ （１２Ｆ４／ｔ３）ｙ＋ （１２Ｆ５／Ｌ３）ｘ （１２）
将 应 力 代 入 平 衡 方 程 （５），并 代 入
关 键 词 ：能 量 平 衡 原 理 ；单 元 耦 合 方 程 ；损 伤 全 过 程 分 析 ；原 位 推 覆 试 验 中 图 分 类 号 ：ＴＵ３７５；ＴＵ３１３ 文 献 标 志 码 ：Ａ ｄｏｉ：１０．７５１１／ｊｓｌｘ２０１５０２０１５
１ 引 言
在 地 震 作 用 下 ，结 构 发 生 的 损 伤 破 坏 并 非 均 布 在结 构 之 中，而 是 集 中 在 某 些 局 部 区 域。 例 如，在 １９９９ 年 土 耳 其 大 地 震 中 （７．６ 级 ），很 多 建 筑 结 构 由 于梁端、柱端的纵 筋 锚 固 不 足，或 节 点 域 配 置 钢 筋 不足在构 件 端 部 或 节 点 区 域 发 生 破 坏［１］；在 ２００８ 年汶川地震中（８．０级），大量的框架 结 构 形 成 柱 端 塑性铰而发生 破 坏［２］；在 ２０１１ 年 东 日 本 大 地 震 中 （９．０级）［３］，结 构 破 坏 也 多 发 生 在 柱 端、节 点 以 及 结 构 角 柱 等 局 部 区 域 。 实 际 地 震 灾 害 表 明 ，结 构 的 地震损伤是始于局部破 坏 而 止 于 整体 功 能 的丧 失［４］。结构非线 性 数 值 计 算 分 析 应 真 实 反 映 局 部 破 坏 细 节 ，为 结 构 损 伤 演 化 全 过 程 分 析 提 供 依 据 。
Ａ
｛ｕ′３｝＝ ［Ｘ５］［ｕ′３］
∫ Ｌ３ ［Ｎｓｈｅｌｌ］Ｔ［Ｎｓｈｅｌｌ］ｄｙ
ｔ （ｉ＝５）
弹 塑 性 损 伤 模 型 ，则 可 以 较 准 确 地 计 算 混 凝 土 材 料 的损伤行为。
基于弹 性 力 学［６］、子 结 构 方 法［１２］、平 截 面 假 定［１３］和 Ａｒｌｅｑｕｉｎ 法［１４］的 有 限 单 元 耦 合 技 术 已 在 建筑结构和桥梁工程等数值分析中有所应用。针 对 结 构 地 震 损 伤 全 过 程 分 析 问 题 ，在 发 生 局 部 破 坏 的位置，弹性假定 已 不 再 适 用，而 能 量 则 遵 循 平 衡 原理，同 时 能 量 的 变 化 与 损 伤 有 关。 基 于 此，本 文 依 据 能 量 平 衡 原 理 建 立 了 梁 单 元 、壳 单 元 及 实 体 单 元之间的耦合方程，并对某 ＲＣ 框架结构原位推覆 试 验 进 行 了 数 值 计 算 和 损 伤 分 析 ，验 证 了 该 方 法 的 有效性。
岳 健 广 ＊１， 钱 江２
（１．南京工业大学 土木工程学院，南京 ２１０００９；２．同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 ２０００９２）
摘 要：结构非线性数值计算分析应真实反映局部损伤破坏细节，以作为损伤演 化 全 过 程 分 析 的 依 据 。 对 同 类 构 件，有限单元耦合方法可以解决破坏细节与整体模拟的空间尺度差异问题。基于 能 量 平 衡 原 理，建 立 了 梁 与 实 体 单元、梁与壳单元以及壳与实体单元的耦合方程，适用于结 构 的 损 伤 数 值 计 算。 对 某 ＲＣ 框 架 结 构 原 位 推 覆 试 验 的损伤数值分析表明，有限单元耦合模型能正确反映整体结构的承载力和变形性 能，并 且 能 准 确 反 映 局 部 损 伤 破 坏细节。
的面积，ｕｉ，ｓｈｅｌｌ为 壳 单 元 结 点 位 移 在 耦 合 界 面 各 轴 的分量，ｕ′ｉ为实体单元结点位移在耦合界面各轴 上 的分量。
单位长度各项作用力与界面上结点应力的关
系为
∫ 烄 ｔ／２ σ３ｉｄｙ －ｔ／２
（ｉ＝１，２，３）
ｔ／２
∫ σ３３ｙｄｙ －ｔ／２
Ｆ′ｉ ＝ 烅 Ｌ／２
∫ σ３３ｘｄｘ －Ｌ／２
（ｉ＝４） （ｉ＝５）
（６）
ｔ／２
∫ 烆
σ３１ｙｄｙ
－ｔ／２
（ｉ＝６）
式中 ｔ为壳单元厚度，ｘ 和ｙ 为耦合界面上任意点
的 坐 标 （分 别 对 应 １ 轴 和 ２ 轴 ，如 图 ２ 所 示 ）。
假 设 在 耦 合 界 面 上 ，壳 平 面 内 的 应 力 表 达 式 为
一 次 项 形 式 ，壳 平 面 外 的 应 力 表 达 式 为 二 次 抛 物 线
（４）
式中 Ａｊ为耦合界面 上 单 元ｊ 的 面 积，［Ｎｓｏｌｉｄ］为 耦 合界面上 实 体 单 元 的 形 函 数 矩 阵，［Ｘｉ］为 耦 合 界
３ 壳与实体单元耦合
壳－实体单元耦 合 界 面 如 图 ２ 所 示，由 耦 合 界 面 上 不 同 单 元 结 点 在 各 项 合 力 作 用 下 做 功 相 等 ，则
∫ 烄 σ３ｉｕ′ｉ，ｓｏｌｉｄｄＡ （ｉ＝１，２，３） Ａ
∫ Ｆｕ ｉ ｉ，ｂｅａｍ ＝ 烅 σ３３ｕ′３，ｓｏｌｉｄｄＡ （ｉ＝４，５） Ａ
∫ 烆 Ａ （σ３１ｕ′１，ｓｏｌｉｄ ＋σ３２ｕ′２，ｓｏｌｉｄ）ｄＡ （ｉ＝６）
（２）
由 作 用 于 梁 单 元 上 的 外 力 ，可 求 得 实 体 单 元 在
第３２卷 第２期 ２０１５ 年 ４ 月
计算力学学报 Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ
Ｖｏｌ．３２，Ｎｏ．２ Ａｐｒｉｌ ２０１５
２０１３１２２１００１ 岳健广
文 章 编 号 ：１００７－４７０８（２０１５）０２－０２３２－０７
基于能量平衡原理的有限单元耦合方法
Ｌ （ｉ＝１）
∫３ （１－４ｙ２／ｔ２）［Ｎｓｈｅｌｌ］Ｔ［Ｎｓｏｌｉｄ］ｄＡ
Ａ
｛ｕ′２｝＝
∫ ２ｔ ［Ｎｓｈｅｌｌ］Ｔ［Ｎｓｈｅｌｌ］ｄｘ Ｌ
［Ｘ２］［ｕ′２］ （ｉ＝２）
∫［Ｎｓｈｅｌｌ］Ｔ［Ｎｓｏｌｉｄ］ｄＡ
Ａ
｛ｕ′２｝＝ ［Ｘ３］［ｕ′２］
∫ 烄 σ３ｉｕ′ｉｄＡ （ｉ＝１，２，３） Ａ
∫ ∫ Ｆ′ｉｕｉ，ｓｈｅｌｌｄｘ ＝ 烅 σ３３ｕ′３ｄＡ （ｉ＝４，５） （５）
Ｌ
Ａ
∫ 烆
σ３１ｕ′１ｄＡ （ｉ＝６）
Ａ
式中 Ｆ′１～Ｆ′６为作 用 于 壳 单 元 单 位 长 度 上 １ 轴 ～６
轴的分量，如图２所示，σ３１～σ３３分 别 为 界 面 处 实 体 单元结点在１轴～３轴的应力 分 量，Ａ 为 耦 合 界 面
ｘ［Ｎｓｏｌｉｄ］｛ｕ′３，ｓｏｌｉｄ｝ｄＡ ＝
Ａｊ
［Ｘｉ］［ｕ′ｉ，ｓｏｌｉｄ］ （ｉ＝５）
ｎ
∑∫ ６
ｂ２（３ｈ－ｂ）ｊ＝１
［Ｎｓｏｌｉｄ］（｛ｕ′１｝＋
Ａｊ
｛ｕ′２｝）ｄＡ＝ ［Ｘ１，ｉ］［ｕ′１，ｓｏｌｉｄ］＋
烆 ［Ｘ２，ｉ］［ｕ′２，ｓｏｌｉｄ］ （ｉ＝６）
为
面 上 实 体 单 元 结 点 的 多 点 约 束 方 程 系 数 矩 阵，
｛ｕ′ｉ，ｓｏｌｉｄ｝为耦合界 面 上 单 元 Ａｊ的 结 点 自 由 度 矩 阵， ［ｕ′ｉ，ｓｏｌｉｄ］为耦合界面上所有 实 体 单 元 的 结 点 自 由 度 矩阵。
图 １ 梁 单 元 与 实 体 单 元 的 耦 合 Ｆｉｇ．１ Ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｆｏｒ ｂｅａｍ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｔｏ ｓｏｌｉｄ ｅｌｅｍｅｎｔｓ
作用于梁单元上１轴～６轴力的分量；σ３１～σ３３分 别 为实体单元 结 点 在 耦 合 界 面 上 １ 轴 ～３ 轴 应 力 的 分量；ｕ１，ｂｅａｍ ～ｕ６，ｂｅａｍ 为 梁 单 元 结 点 在 耦 合 界 面 上 １轴～６轴 位 移 的 分 量，ｕ′１，ｓｏｌｉｄ～ｕ′３，ｓｏｌｉｄ为 实 体 单 元 结点在耦合界面上１轴～３ 轴 位 移 的 分 量。 由 此， 可以建立平衡方程为
［Ｎｓｏｌｉｄ］｛ｕ′ｉ，ｓｏｌｉｄ｝ｄＡ＝ ［Ｘｉ］［ｕ′ｉ］
Ａｊ
（ｉ＝１，２，３）
ｎ
∑∫ １
Ｉｉ－３ｊ＝１
ｙ［Ｎｓｏｌｉｄ］｛ｕ′３，ｓｏｌｉｄ｝ｄＡ＝
Ａｊ
［Ｘｉ］［ｕ′ｉ，ｓｏｌｉｄ］ （ｉ＝４）
∑∫ ｕ ＝ ｉ，ｂｅａｍ 烅 １ ｎ Ｉｉ－３ｊ＝１
有限单元法是结构非线性分析最常用的方法， 其包含的单元类型和本构模型亦非常丰富。其中， 三维实体单元通过任何一个表面可以和其他单元 连 接 ，几 乎 能 构 建 任 何 形 状 、承 受 任 何 荷 载 的 对 象 ， 二维壳单元便于 模 拟 墙、板 类 构 件，一 维 梁 单 元 则 多用于模拟梁、柱等线型构件 。 ［５］ 由于整体结 构 与 局 部 破 坏 细 节 在 空 间 尺 度 上 存 在 差 异 ，同 类 构 件 有 时 也 需 要 采 用 不 同 单 元 进 行 模 拟 ，此 时 可 以 利 用 有 限单元耦合法 和 ［６－８］ 转换 单 元 法 等 ［９，１０］ 来 解 决 这 种 空间尺度 差 异 问 题。 采 用 Ｊａｓｏｎ［１１］提 出 的 混 凝 土
对应１轴和２轴 的 坐 标；Ａ 和Ｉ１，Ｉ２分 别 为 耦 合 界 面的面积和绕１轴和２轴的 截 面 惯 性 矩；ｂ 和ｈ 分
别为矩形截面 沿 １ 轴 和 ２ 轴 方 向 的 长 度；Ｆ１ ～Ｆ６
第２期
岳 健 广 ，等 ：基 于 能 量 平 衡 原 理 的 有 限 单 元 耦 合 方 法
２３３
收 稿 日 期 ：２０１３－１２－２１；修 改 稿 收 到 日 期 ：２０１４－０４－０８． 基 金 项 目 ：国 家 自 然 科 学 基 金 （５１３０８２８６）；江 苏 省 自 然
科 学 基 金 （ＢＫ２０１３０９４４）资 助 项 目 ． 作者简介：岳健广＊ （１９７９－），男，博士，讲师
（Ｅ－ｍａｉｌ：ｊｇｙｕｅ＠ｎｊｔｅｃｈ．ｅｄｕ．ｃｎ）．
Ｆ１～６ ＝ ［Ｎｓｈｅｌｌ］｛Ｆ１～６｝＝ ｛Ｆ１～６｝Ｔ［Ｎｓｈｅｌｌ］Ｔ