2015-2016学年四川省成都市树德中学高一下学期期末考试数学(解析版)

2015-2016学年四川省成都市树德中学高三（下）入学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）已知复数z满足z=，那么z的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知集合A={x|ax=1}，B={0，1}，若A⊆B，则由a的取值构成的集合为（）A．{1}B．{0}C．{0，1}D．∅3．（5分）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若=3，则点B的坐标为（）A．（7，4）B．（7，14） C．（5，4）D．（5，14）4．（5分）最近，国家统计局公布：2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低．在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急．为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是（）A．B．C．D．5．（5分）在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），使得成立的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（）A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F7．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b28．（5分）命题p：∃b∈R，使直线y=﹣x+b是曲线y=x3﹣3ax的切线．若¬p为真，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）已知抛物线y2=12x的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则A点的横坐标为（）A．2 B．2C．3 D．410．（5分）如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）的值是．12．（5分）双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率是．13．（5分）已知sin（α+）=，则sin2α=．14．（5分）在△ABC中，若，则边AB的长等于．15．（5分）已知f（x）是定义在R上以3为周期的偶函数，若f（1）＜1，f（5）=，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）数列{a n}的各项全为正数，且在如图所示的算法框图图中，已知输入k=2时，输出；输入k=5时，输出．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．17．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）18．（12分）某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率．19．（12分）将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，g（A）=1，且a=，求△ABC面积的最大值．20．（13分）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=（x∈（0，+∞））．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意的x≥1，都有f（x）≥k（x+）+2，求实数k的取值范围．2015-2016学年四川省成都市树德中学高三（下）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．（5分）（2016春•成都校级月考）已知复数z满足z=，那么z的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出【解答】解：∵z===1+i，∴=1﹣i，在复平面上对应的点（1，﹣1）位于第一象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．2．（5分）（2014•河南模拟）已知集合A={x|ax=1}，B={0，1}，若A⊆B，则由a的取值构成的集合为（）A．{1}B．{0}C．{0，1}D．∅【分析】当a=0时，集合A={x|ax=1}=∅，满足A⊆B，当a≠0时，集合A={x|ax=1}={}，则=0，或=1，解对应方程后，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：当a=0时，集合A={x|ax=1}=∅，满足A⊆B；当a≠0时，集合A={x|ax=1}={}，由A⊆B，B={0，1}得：=0，或=1，=0无解，解=1得：a=1，综上由a的取值构成的集合为{0，1}故选：C．【点评】本题考查的知识点是集合的包谷关系判断及应用，其中易忽略a=0时，集合A={x|ax=1}=∅，满足A⊆B，而错选A．3．（5分）（2013•揭阳二模）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若=3，则点B的坐标为（）A．（7，4）B．（7，14） C．（5，4）D．（5，14）【分析】设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），求得x、y的值，即可求得点B的坐标．【解答】解：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），故有，解得，故选D．【点评】本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，属于基础题．4．（5分）（2016春•成都校级月考）最近，国家统计局公布：2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低．在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急．为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是（）A．B．C．D．【分析】根据年产量的增速判断总产量的增速，根据曲线的切线斜率大小变化进行判断．【解答】解：由于前3年年产量的增长速度越来越快，故当t≤3时，曲线的切线斜率逐渐增大，由于后3年年产量保持不变，故当3＜t＜6时，曲线的切线斜率不变，且总产量在增大，故选：A．【点评】本题考查了函数图象的意义，属于基础题．5．（5分）（2016春•成都校级月考）在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），使得成立的概率是（）A．B．C．D．【分析】在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），其面积为1，使得成立，其区域为单位圆的，即可得出结论．【解答】解：在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），其面积为1，使得成立，其区域为单位圆的，其面积为，∴所求概率为．故选A．【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）÷N求解．6．（5分）（2015•濮阳一模）如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（）A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F【分析】本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到各个面上的字母，即可求得结果．【解答】解：第一个正方体已知A，B，C，第二个正方体已知A，C，D，第三个正方体已知B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F．故选D．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的字母问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，本题是一个基础题．7．（5分）（2015•芝罘区模拟）若a＜b＜0，则下列不等式中不能成立的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b|D．a2＞b2【分析】由于a＜b＜0，利用函数单调性可以比较大小．【解答】解：∵a＜b＜0，f（x）=在（﹣∞，0）单调递减，所以＞成立；∵a＜b＜0，0＞a﹣b＞a，f（x）=在（﹣∞，0）单调递减，所以＜，故B不成立；∵f（x）=|x|在（﹣∞，0）单调递减，所以|a|＞|b|成立；∵f（x）=x2在（﹣∞，0）单调递减，所以a2＞b2成立；故选：B．【点评】本题考查了函数单调性与数值大小的比较，属于基础题．8．（5分）（2016春•成都校级月考）命题p：∃b∈R，使直线y=﹣x+b是曲线y=x3﹣3ax的切线．若¬p为真，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】写出命题p的否定，求出f（x）=x3﹣3ax的导函数，得到导函数的范围，结合￢p为真可得关于a的不等式，则a的范围可求．【解答】解：由命题p：∃b∈R，使直线y=﹣x+b是曲线y=x3﹣3ax的切线，得¬p：对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线．由¬p为真．设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣3a＞﹣1，得a＜．即实数a的取值范围为a．故选：A．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程，考查直线的斜率与函数的导数的关系，考查计算能力，是中档题．9．（5分）（2016春•成都校级月考）已知抛物线y2=12x的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=|AF|，则A点的横坐标为（）A．2 B．2C．3 D．4【分析】确定抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0），根据|AK|=|AF|，及AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，进而可求得A点坐标．【解答】解：∵抛物线C：y2=12x，准线为x=﹣3，∴K（﹣3，0）设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣3，y0）∵|AK|=|AF|，AF=AB=x0﹣（﹣3）=x0+3，∴由BK2=AK2﹣AB2得BK2=AB2，从而y02=（x0+3）2，即12x0=（x0+3）2，解得x0=3．故选C．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线基础知识的熟练掌握．10．（5分）（2012•石景山区一模）如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144【分析】本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形△PAD 与△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将四棱锥的体积用t 表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项．【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA，∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2 ，解得PA2=12﹣4t．∴PM=，即四棱锥的高为，底面为直角梯形，S==36∴四棱锥P﹣ABCD的体积V==12=48，即四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为48，故选C．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解答本题，关键是将由题设条件得出三角形的性质、：两邻边的值有2倍的关系，第三边长度为6，引入一个变量，从而利用函数的最值来研究体积的最值，是将几何问题转化为代数问题求解的思想，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）（2016春•成都校级月考）的值是．【分析】根据=N和指数、对数的运算性质求出式子的值．【解答】解：∵=N（a＞0且a≠1），∴====，故答案为：．【点评】本题考查了指数、对数的运算性质，以及=N的应用，属于基础题．12．（5分）（2016春•成都校级月考）双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率是2．【分析】求出椭圆的焦点坐标，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：椭圆的一个焦点（2，0），双曲线与椭圆的焦点相同，c=2，a=1双曲线的离心率为：2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的离心率与椭圆简单性质的应用，是基础题．13．（5分）（2016春•成都校级月考）已知sin（α+）=，则sin2α=．【分析】首先利用两角和与差公式将已知条件展开，然后两边平方和sin2α+cos2α=1，得出2sinαcosα的值，从而由二倍角公式得出答案．【解答】解：∵sin（α+）=（sinα+cosα）=∴两边平方得，=∴2sinαcosα=﹣故sin2α=故答案为：﹣【点评】本题主要考查了两角和与差公式和二倍角公式，熟练掌握相关公式是解题的关键．14．（5分）（2011秋•镇江期末）在△ABC中，若，则边AB的长等于2．【分析】利用向量的加法法则，可得==，结合，即可求得边AB的长．【解答】解：==∵∴2+2=∴||=2∴边AB的长等于2故答案为：2【点评】本题考查向量的加法，考查向量的数量积，解题的关键是利用向量的加法法则．15．（5分）（2016春•成都校级月考）已知f（x）是定义在R上以3为周期的偶函数，若f（1）＜1，f（5）=，则实数a的取值范围为（﹣1，4）．【分析】根据函数的奇偶性和周期性将条件进行转化，利用不等式的解法即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，∴f（5）=f（5﹣6）=f（﹣1）=f（1），∴由f（1）＜1，f（5）=，得f（5）=＜1，即﹣1=＜0，解得：﹣1＜a＜4，∴实数a的取值范围为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2016春•成都校级月考）数列{a n}的各项全为正数，且在如图所示的算法框图图中，已知输入k=2时，输出；输入k=5时，输出．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S是什么，然后由已知，利用S的表达式，列出方程组求出a1和d，即可求出a n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求b n，利用等比数列的求和公式即可得解．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）由框图知：当k=2时，⇒a1a2=3①；当k=5时，，即==，所以a1a5=9②由①②得，（4分）所以，可得：．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以．（12分）【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，考查了方程组的解法与应用问题，是综合题．17．（12分）（2016•沈阳校级一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC 的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，试证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上是否存在点M，使得EM⊥平面PCD？（直接给出结论，不需要说明理由）【分析】（Ⅰ）证明：AB∥平面PCD，即可证明AB∥EF；（Ⅱ）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB上不存在点M，使得EM⊥平面PCD．【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD．又因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…（5分）（Ⅱ）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以CD⊥平面PAD．又AF⊂平面PAD所以CD⊥AF．由（Ⅰ）可知AB∥EF，又因为AB∥CD，所以CD∥EF．由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…（11分）（Ⅲ）解：不存在．…（14分）【点评】本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（12分）（2016春•大庆校级月考）某个团购网站为了更好地满足消费者，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三，四，五组的频率；（2）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图能分别求出第三，四，五组的频率．（2）列出所含基本事件总数，找到满足条件的基本事件，根据古典概率公式计算即可【解答】（1）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1（2）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A，由题意可知，分别抽取3个，2个，1个．不妨设第三组抽到的是A1，A2，A3；第四组抽到的是B1，B2；第五组抽到的是C1，所含基本事件总数为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C1}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C1}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C1}，{B1，B2}，{B1，C1}，{B2，C1}所以【点评】本题主要考查了频率分布直方图和古典概型的概率问题，关键是列举出基本事件，属于基础题19．（12分）（2016春•成都校级月考）将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，g（A）=1，且a=，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由题意可知g（x）=2sin[ω（x﹣）+φ]，根据三角形的面积公式，即可求出T，再根据于g（0）=1，求出φ，问题得以解决，（Ⅱ）先根据g（A）=1，求出A，再根据余弦定理和三角形面积公式，即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知g（x）=2sin[ω（x﹣）+φ]，由于S△ABC=•2•|PQ|=，则|PQ|==，∴T=π，即ω=2，又由于g（0）=2sin（φ﹣）=1，且﹣＜φ﹣＜，则φ﹣=，∴φ=，即g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+）．（Ⅱ）g（A）=2sin（2A+）=1，2A+∈（，）则2A+=，∴A=，由余弦定理得b2+c2﹣2bccos A=a2=5，∴5=b2+c2﹣bc≥bc，∴S△ABC=bcsin A≤，当且仅当b=c=时，等号成立，故S△ABC的最大值为．【点评】本题考查了三角形函数的解析式的求法和余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．20．（13分）（2016•河南模拟）已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x ﹣4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为，圆C的面积小于13．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C的面积小于13，即可求圆C的标准方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．【解答】解：（I）设圆C：（x﹣a）2+y2=R2（a＞0），由题意知，解得a=1或a=，…（3分）又∵S=πR2＜13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4．…（6分）（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），又∵l与圆C相交于不同的两点，联立，消去y得：（1+k2）x2+（6k﹣2）x+6=0，…（9分）∴△=（6k﹣2）2﹣24（1+k2）=3k2﹣6k﹣5＞0，解得或．x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+6=，=（x1+x2，y1+y2），，假设∥，则﹣3（x1+x2）=y1+y2，∴，解得，假设不成立．∴不存在这样的直线l．…（13分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．21．（14分）（2015秋•福州校级期中）已知函数f（x）=（x∈（0，+∞））．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若对任意的x≥1，都有f（x）≥k（x+）+2，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导数，f'（x）=0解得x=e．再解f'（x）＞0或＜0，得到得到区间，即可得到极值；（Ⅱ）等价于lnx﹣kx2﹣2x﹣3k≥0，设函数g（x）=lnx﹣kx2﹣2x﹣3k（x≥1），求出导数，结合二次函数的图象，即可得到k的范围．【解答】解：（Ⅰ），f'（x）=0解得x=e．f'（x）＞0解得0＜x＜e，此时f（x）为增函数，f'（x）＜0解得e＜x，此时f（x）为减函数．所以f（x）在x=e取极大值．（Ⅱ）等价于lnx﹣kx2﹣2x﹣3k≥0，设函数g（x）=lnx﹣kx2﹣2x﹣3k（x≥1），所以g（1）≥0．．当时，设h（x）=﹣2kx2﹣2x+1，其开口向上，对称轴，h（1）=﹣2k﹣1≥0，所以h（x）≥0恒成立．所以g'（x）≥0恒成立，即g（x）在x≥1上为增函数，所以g（x）≥g（1）=0．所以实数k的取值范围为．【点评】本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的单调性，运用单调性求解，属于中档题．2016年11月6日。

成都九中2015—2016学年度下期期末考试高一数学试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为.2A .3B .22C .4D2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于.7A - .8B - .22C - .27D3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则.5A .10B .15C .20D21.2A a 21.2B a - 2.C a 2.D a -5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则1.2A -3.2B 1.2C 3.2D ±6．()1cos()sin244παα-==已知,则31.32A 31.32B - 7.8C - 7.8D7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有....A B C D 直角三角形钝角三角形锐角三角形不确定8．在三视图如图的多面体中,最大的一()个面的面积为.22A .5B.3C .25D()32x y +则的最小值是 5.3A 8.3B .16C .8D10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边2,PAD ABCD M ⊥长为的为正方形,侧面底面为 ,ABCD MP MC =底面内的一个动点,且满足则点()M ABCD 在正方形内的轨迹的长度为.5A .22B .C π 2.3D π11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差 ()220bx ax c -+=数列,则一元二次方程.A 有两个相等实根 .B 无实根.C 有两个同号相异实根 .D 有两个异号实根12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 1P BD 中点,点在对角线上,给出以下命题：1//;P BD MN APC ①当在上运动时,恒有面12,,;3BP A P M BD =②若三点共线,则112//;3BP C Q APC BD =③若,则面 0111603P AB A C ④过点且与直线和所成的角都为的直线有且只有条.()其中正确命题的个数为.A 1 .B 2 .C 3 .D 4第Ⅱ卷 非选择题D 1C 1B 1A 1PQN MD C BAMDBP二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分） 13．0cos1402sin130sin10+=____________14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成,设 m m 36 m x y 每间虎笼的长为，宽为，现有长的钢筋 xy=网材料,为使每间虎笼面积最大,则____ 15．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积6,E PC PA 为为侧棱的中点,则异面直线与 ___________BE 所成的角为16．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:2230,3;b a b c ac-+=①若则的最小值为228,24;a b ab a b ++=+②若则的最小值为()4,2a a b c bc a b c +++=++③若则的最小为2224,a b c ab bc ++=+④若则的最大值为 其中正确结论的序号是________________三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量()(),,.m a c b n a c b a =+=--与向量互相垂直()()1;2sin sin C A B +求角求的取值范围.18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形,()1://;PN BCD 求证平面()2PQMN 若截面是正方形,求异PM BD 面直线与所成的角.N MQPDCBA y y yy y x xxyx19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若.(){}1n a 求数列的通项公式;(){}2212log ,,,72n n n n n n n a bb c n N c T +++==∈令其中记数列的前项和为. 2.2n nn T ++求的值20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面05,90,AD DAB ABC E CD =∠=∠=是的中点.()1CD PAE ⊥证明:平面；()2PB PAE 若直线与平面所成的角和PB ABCD 直线与平面所成的角相等， P CD A --求二面角的正切值.21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数()(){}10|34f x x x x >-<<若的解集为,解关于的不等式()2230bx ax c b +-+<．()()2,2x R f x ax b ∈≥+若对任意不等式恒成立，()224a c a a c -+求的最大值.22.（12分）()()()(),,,f x R f f f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有(){}()()22,2.n n n f a a f n N +==∈且数列满足(){}1n a 求数列的通项公式;()()()121121.n n n n nn n n a a b b c T c c c n N n n b n ++⎛⎫=-==+++∈ ⎪⎝⎭令,,记 ,584n MM n N T +∈<问:是否存在正整数使得当时,不等式恒成立? ;M 若存在,求出的最小值若不存在,请说明理由.成都外国语学校2015—2016学年度下期期末考试高一数学试卷命题人：注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为D.2A .3B .22C .4D2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于C.7A - .8B - .22C - .27D3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则B .5A .10B .15C .20DB21.2A a 21.2B a - 2.C a 2.D a -5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则A1.2A -3.2B 1.2C 3.2D ±6．()1cos()sin244παα-==已知,则C31.32A 31.32B - 7.8C - 7.8D7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有A....A B C D 直角三角形钝角三角形锐角三角形不确定8．在三视图如图的多面体中,最大的一()个面的面积为C.22A .5B.3C .25D()32x y +则的最小值是D 5.3A 8.3B .16C .8D10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边2,PAD ABCD M ⊥长为的为正方形,侧面底面为 ,ABCD MP MC =底面内的一个动点,且满足则点()M ABCD 在正方形内的轨迹的长度为A.5A .22B .C π 2.3D π11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差 ()220bx ax c -+=数列,则一元二次方程B.A 有两个相等实根 .B 无实根.C 有两个同号相异实根 .D 有两个异号实根12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 1P BD 中点,点在对角线上,给出以下命题： 1//;P BD MN APC ①当在上运动时,恒有面 12,,;3BP A P M BD =②若三点共线,则112//;3BP C Q APC BD =③若,则面 0111603P AB A C ④过点且与直线和所成的角都为的直线有且只有条.()其中正确命题的个数为C.A 1 .B 2 .C 3 .D 4D 1C 1B 1A 1PQN MD C BAMDBP第Ⅱ卷 非选择题二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分）13．0cos1402sin130sin10+=____________12-14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成,设 m m 36 m x y 每间虎笼的长为，宽为，现有长的钢筋x y =网材料,为使每间虎笼面积最大,则____3215．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积6,E PC PA 为为侧棱的中点,则异面直线与 ___________BE 所成的角为06016．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:2230,3;ba b c ac-+=①若则的最小值为 228,24;a b ab a b ++=+②若则的最小值为()4,2a a b c bc a b c +++=++③若则的最小为2224,a b c ab bc ++=+④若则的最大值为 其中正确结论的序号是________________①②④三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量()(),,.m a c b n a c b a =+=--与向量互相垂直()()1;2sin sin C A B +求角求的取值范围.解：()()()()22210,a c a c b b a a b c ab ⇒+-+-=⇒+-=已知2221cos ,0,.223a b c C C C ab ππ+-∴==<<∴= ()22,,33C A B ππ=∴+=222sin sin sin sin sin sin cos cos sin 333A B A A A A A πππ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭31sin cos 226A A A A A π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2510,sin 1366626A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<⇒<+≤ ⎪⎝⎭sin sin .A B ∴+⎝的取值范围是y y yy y x xxyx18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形,()1://;PN BCD 求证平面()2PQMN 若截面是正方形,求异PM BD 面直线与所成的角.解：()1//,PQMN PN QM ∴证明:截面是平行四边形,,//.PN BCD QM BCD PN BCD ⊄⊂⇒又平面平面平面()()21//,PN BCD 由知平面,,//.PN ABD ABD BCD BD PN BD ⊂=∴平面平面平面()NPM PM BD ∴∠或其补角是异面直线与所成的角.045.PQMN NPM ∴∠=截面是正方形, 045.PM BD ∴异面直线与所成的角是19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若.(){}1n a 求数列的通项公式;(){}2212log ,,,72n n n n n n n a bb c n N c T +++==∈令其中记数列的前项和为. 2.2n nn T ++求的值 解：()21111347,34(2),3 4.n n n n a S a S n a S -+=+==+≥∴=+()221242474,n n n n n a a n a a --+=≥⇒=⨯=⨯两式相减得:21,(1)174,(2)n n n n a n -⎧=⎪=∴=⎨⨯≥⎪⎩此式对不成立,()22212log log 42,,722n n n n n n n a b nb nc ++===∴==231232222n n nT ∴=++++①231112122222n nn n nT +-=++++② 22111111121.2222222n n n n n n T +++-=+++-=-①②得,222 2.22n n n n n n T T ++∴=-⇒+=N MQPDCBA20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面05,90,AD DAB ABC E CD =∠=∠=是的中点.()1CD PAE ⊥证明:平面；()2PB PAE 若直线与平面所成的角和PB ABCD 直线与平面所成的角相等， P CD A --求二面角的正切值.解：()014,3,90 5.AC AB BC ABC AC ==∠==连接，由,得5,.AD E CD CD AE =∴⊥又是的中点，,,.PA ABCD CD ABCD PA CD ⊥⊂∴⊥平面平面 ,.PA AE A CD PAE =∴⊥而平面()2CD PAE PEA P CD A ⊥∴∠--平面；是二面角的平面角.,,,,.B BG CD AE AD F G PF //过点作分别与相交于连接 ()1.BG PAE ⊥由知，平面.BPF PB PAE BG AE ∴∠⊥为直线与平面所成的角.且PA ABCD PBA PB ABCD ⊥∠由平面知，为直线与平面所成的角. ,.PBA BPF Rt PBA Rt BPF PA BF ∠=∠∴∆≅∆⇒=由题意知090//,//.DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知,又3, 2.BCDG GD BC AG ∴==∴=是平行四边形.4,,,AB BG AF BG =⊥∴==2AB BF PA BG ===∴=于是CD BG CE AE ==∴===又21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数()(){}10|34f x x x x >-<<若的解集为,解关于的不等式()2230bx ax c b +-+<．()()2,2x R f x ax b ∈≥+若对任意不等式恒成立，()224a c a a c-+求的最大值. 解：(){}210|34ax bx c x x ++>-<<的解集为()0,34,34,120.b ca b a c a a a a∴<-+=--⨯=⇒=-=-<()()2223021500bx ax c b ax ax a a ∴+-+<⇔-++<<()221503,5.x x ⇔--<∴-，解集为()()()22220f x ax b ax b a x c b ≥+⇔+-+-≥恒成立FG44tan ..55PA PEA P CD A AE ∴∠==--即二面角的正切值是()()22200440240a a b a ac b a a c b >⎧>⎧⎪∴⇔⎨⎨+-≤∆=---≤⎪⎩⎩()()222241404,1c a c a a b a c a a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴≤≤-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()21,40,010.c c t a c a b c a t a a =--≥≥∴≥>⇒≥⇒≥令()()()()222224444,0222211a c a t t t g t t a c t t t t t -===≥+++++++令 ()()4000;0222t g t g t t t==>=≤=++当时，当时， ()224 2.a c a a c-∴+的最大值为22.（12分）()()()(),,,f x R ff f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有(){}()()22,2.n n n f a a f n N +==∈且数列满足(){}1n a 求数列的通项公式;()()()121121.n n n n nn n n a a b b c T c c c n N n n b n ++⎛⎫=-==+++∈ ⎪⎝⎭令,,记,584n MM n N T +∈<问:是否存在正整数使得当时,不等式恒成立?;M 若存在,求出的最小值若不存在,请说明理由.解：()()()1112,22,n n a f a f =∴==()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅11111221,1,2222n n n n n n n n na a a a a a ++++⎧⎫∴=⋅+⇒-=∴=⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为1.2.2n nn n a n a n ∴=⇒=⋅公差为()()22,2221,n n n n n n n aa nb n=⋅∴=⇒=-()()()()1111112212211144221421421n n n n n n n n n n b c b ++++++--∴====-<---()121211.44n n n n c c c T c c c n ∴+++<⇒=+++<1146.5845844n M M T M ∴<⇔≥⇔≥不等式恒成立,146.M ∴存在满足条件的正整数其最小值为。

可能用到的元素的相对原子质量：H-1 Cu-64 Cl-35.5 O-16 Br-80 C-12 Na-23 N-14第Ⅰ卷选择题(75分)一、选择题。

(每小题只有一个正确选项。

每小题3分，共75分)1．下列说法不正确的是()A．pH<5.6降水通常称为酸雨；CO2的大量排放能破坏臭氧层，形成“臭氧空洞”B．总质量一定时，乙酸和葡萄糖无论以何种比例混合，完全燃烧消耗氧气的量相等C．燃煤时加入适量石灰石，可减少废气中SO2的量D．有机高分子化合物称为聚合物或高聚物，是因为他们大部分是由小分子通过聚合反应制得的【答案】A考点：考查了化学与环境、有机物燃烧的规律等相关知识。

2．氯的原子序数为17，37Cl和35Cl是氯的两种同位素，下列说法正确的是()A．35Cl原子所含质子数为18B．118mol的H35Cl分子所含中子数约为6.02×1023C．3.5 g的35Cl2气体的体积为2.24 LD．35Cl2气体的摩尔质量为70【答案】B【解析】试题分析：A、35Cl是氯的一种同位素，质子数等于原子序数，所以35Cl质子数为17，故A错误；B、H35Cl分子所含中子为18，118mol的H35Cl分子所含中子的物质的量为1mol，所以中子数约为6.02×1023，故B正确；C、氯气不一定处于标准状况，不能使用气体摩尔体积22.4L/mol，故C错误；D、35Cl2气体的摩尔质量为70g/mol，故D错误；故选B。

【考点定位】考查同位素及其应用【名师点晴】本题考查原子符号、物质的量的有关计算、摩尔质量、气体摩尔体积等，注意气体摩尔体积使用条件与范围。

根据同位素的概念，质子数相同中子数不同的同一元素互称同位素，同位素是不同的原子，但是属于同一种元素；元素符号的左下角数字表示质子数，左上角数字表示质量数，中子数=质量数-质子数。

3．X、Y是周期表中的两种元素，X原子的半径比Y的半径小，且具有相同的电子层数，(选项中m、n均为正整数)下列有关叙述正确的是()A．若X、Y原子序数相差l，Y为IIA族，则X一定是IIIA族B．若Y(OH)m易溶于水，则X(OH)n一定不溶于水C．若H n XO m为强酸，则X的氢化物溶液于水一定显酸性D．若Y元素形成的单质是气体，则X元素形成的单质一定也是气体【答案】D考点：考查了元素周期律与元素周期表的相关知识。

四川省成都市树德中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项3．函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．5．已知数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为（）A．3n﹣1 B．3（3n﹣1）C．D．6．设tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，且α、β∈（﹣，），则α+β的值为（）A．﹣B．C．或﹣D．﹣或7．已知某几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图都是上底为2，下底为4，底角为60°的等腰梯形，俯视图是直径分别为2和4的同心圆，则该几何体的表面积为（）A．6πB．9πC．11πD．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣9．已知数列2 008，2 009，1，﹣2 008，﹣2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 015项之和S2015等于（）A．1B．2 010 C．4 018 D．010．在锐角三角形ABC中，BC=2，AB=3，则AC的取值范围是（）A．（1，）B．（，）C．（，5）D．（，5）11．{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．2112．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若对于任意的实数x，都有f（x﹣1）≤f（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．设正数a，b满足：a+4b=2，则的最小值为．14．若数列{a n}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+=．15．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）在区间（，）上单调递减；④将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）16．已知侧棱长为2的正三棱锥S﹣ABC如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为．三、解答题17．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若实数p，q，r满足p﹣2q+3r=a，求p2+q2+r2的最小值及取得最小值时对应的p，q，r的值．18．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．19．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．20．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．21．等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=2，且b2S2=32，b3S3=120．（1）求a n与b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．（3）若对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．22．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），其中λ＞0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明存在k∈N*，使得对任意n∈N*均成立．四川省成都市树德中学2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．若且，则sin（π﹣α）（）A．B．C．D．考点：诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：已知等式利用诱导公式化简求出cosα的值，由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，所求式子利用诱导公式化简后，将sinα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵cos（2π﹣α）=cosα=，α∈（﹣，0），∴sinα=﹣=﹣，则sin（π﹣α）=sinα=﹣．故选B点评：此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意求出a1+a n的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．解答：解：依题意a1+a2+a3=34，a n+a n﹣1+a n﹣2=146∴a1+a2+a3+a n+a n﹣1+a n﹣2=34+146=180又∵a1+a n=a2+a n﹣1=a3+a n﹣2∴a1+a n==60∴S n===390∴n=13故选A点评：本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用．注意对Sn═和Sn=a1•n+这两个公式的灵活运用．3．函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C点评：本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；作图题．分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx平面为投影面，则得到正视图即可．解答：解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．点评：本题考查几何体的三视图的判断，根据题意画出几何体的直观图是解题的关键，考查空间想象能力．5．已知数列{a n}中，a n=2×3n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为（）A．3n﹣1 B．3（3n﹣1）C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知可知，数列{a n}是以2为首项以3为公比的等比数列，从而可得由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列，代入求等比数列的求和公式即可求解解答：解：∵，则数列{a n}是以2为首项以3为公比的等比数列由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项，以9为公比的等比数列前n项的和为S n=故选D点评：本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，解题的关键是确定新数列是等比数列6．设tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，且α、β∈（﹣，），则α+β的值为（）A．﹣B．C．或﹣D．﹣或考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：由tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根，根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出所求角度的正切值，利用两角和的正切函数公式化简后，将表示出的两根之和与两根之积代入即可求出tan（α+β）的值，然后根据两根之和小于0，两根之积大于0，得到两根都为负数，根据α与β的范围，求出α+β的范围，再根据特殊角的三角函数值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．解答：解：依题意得tanα+tanβ=﹣3＜0，tanα•tanβ=4＞0，∴tan（α+β）===．易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（﹣，），∴α∈（﹣，0），β∈（﹣，0），∴α+β∈（﹣π，0），∴α+β=﹣．故选A．点评：此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档题．本题的关键是找出α+β的范围．7．已知某几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图都是上底为2，下底为4，底角为60°的等腰梯形，俯视图是直径分别为2和4的同心圆，则该几何体的表面积为（）A．6πB．9πC．11πD．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可以看出，本题中的几何体是一个圆台去掉一个圆柱，根据圆柱和圆台的表面积公式进行求解即可．解答：解：由三视图知此几何体是一个圆台去掉一个圆柱，圆台的上底面半径为1，下底半径为2，高为，母线l=2，圆柱的底面半径为1，高为，则圆柱的侧面积为2=2π，圆台的侧面积S=π（1+2）×2=6π，底面面积S=4π﹣π=3π，则该几何体的表面积为2π+6π+3π=（9+2）π，故选：D点评：本题主要考查几何体的表面积的计算，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据是解决本题的关键．8．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值．分析：先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．解答：解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）==，sin（﹣）==∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=故选C点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值．关键是根据cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]，巧妙利用两角和公式进行求解．9．已知数列2 008，2 009，1，﹣2 008，﹣2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 015项之和S2015等于（）A．1B．2 010 C．4 018 D．0考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：通过写出数列{a n}的前几项的值，找出数列的周期，进而可得结论．解答：解：记该数列的通项为a n，由题可知：a1=2008，a2=2009，a3=1，a4=﹣2008，a5=﹣2009，a6=﹣1，a7=2008，a8=2009，a9=1，…∴数列{a n}是以6为周期的周期数列，且前6项和为：2008+2009+1﹣2008﹣2009﹣1=0，∵2015=335×6+5，∴S2015=335×0+=1，故选：A．点评：本题考查数列的前n项和，找出数列的周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．10．在锐角三角形ABC中，BC=2，AB=3，则AC的取值范围是（）A．（1，）B．（，）C．（，5）D．（，5）考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：根据题意判断出那个是最大角，再由余弦定理列出不等式组，即可求出AC的取值范围．解答：解：∵BC=2，AB=3，∴∠ABC或∠ACB可能是最大角，要使△ABC是一个锐角三角形，则，∴32+22＞AC2，22+AC2＞32，解得5＜AC2＜13，则＜AC＜，∴AC的取值范围是，故选：B．点评：本题考查余弦定理的灵活应用，以及边角关系，属于中档题．11．{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最大值，那么当S n取得最小正值时，n=（）A．11 B．17 C．19 D．21考点：等差数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：本题考查的是等差数列的性质，要求S n取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候a n大于0，而a n+1小于0，由，我们不难得到a11＜0＜a10，根据等差数列的性质，我们易求出当S n取得最小正值时，n的值．解答：解：∵S n有最大值，∴d＜0则a10＞a11，又，∴a11＜0＜a10∴a10+a11＜0，S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＜0，S19=19a10＞0又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12∴S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又∵S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9（a10+a11）＜0∴S19为最小正值故选C点评：{a n}为等差数列，若它的前n项和S n有最大值，则数列的公差d小于0；{a n}为等差数列，若它的前n项和S n有最小值，则数列的公差d大于0．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若对于任意的实数x，都有f（x﹣1）≤f（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]考点：绝对值不等式的解法．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，f（x）min=﹣a2．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，f（x）ma x=a2．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：﹣≤a≤．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了转化思想，对任意的实数x，都有f（x﹣1）≤f（x）成立的理解与应用是关键，也是难点，属于难题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．设正数a，b满足：a+4b=2，则的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得=（a+4b）（）=（5++），由基本不等式可得．解答：解：∵正数a，b满足a+4b=2，∴=（a+4b）（）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当=即a=且b=时取等号，∴所求的最小值为，故答案为：点评：本题考查基本不等式求最值，属基础题．14．若数列{a n}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则++…+=2n2+6n．考点：数列的求和．专题：计算题．分析：根据题意先可求的a 1，进而根据题设中的数列递推式求得++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）与已知式相减即可求得数列{a n}的通项公式，进而求得数列{}的通项公式，可知是等差数列，进而根据等差数列的求和公式求得答案．解答：解：令n=1，得=4，∴a 1=16．当n≥2时，++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）．与已知式相减，得=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，∴a n=4（n+1）2，n=1时，a1适合a n．∴a n=4（n+1）2，∴=4n+4，∴+++==2n2+6n．故答案为2n2+6n点评：本题主要考查了利用数列递推式求数列的前n项和．解题的关键是求得数列{a n}的通项公式．15．关于函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）在区间（，）上单调递减；④将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是①②③．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和差的正余弦公式可把f（x）化为，进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．解答：解：函数f（x）=cos（2x﹣）+cos（2x+）====．∴函数f（x）的最大值为，因此①正确；周期T=，因此②正确；当时，，因此y=f（x）在区间（，）上单调递减，因此③正确；将函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，得到y====，因此④不正确．综上可知：①②③．故答案为①②③．点评：熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键．16．已知侧棱长为2的正三棱锥S﹣ABC如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为120°，利用余弦定理可得蚂蚁爬行的最短路程．解答：解：由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为120°，利用余弦定理可得蚂蚁爬行的最短路程为=．故答案为：．点评：本题考查利用侧面展开图求最短路程，考查余弦定理的运用，比较基础．三、解答题17．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若实数p，q，r满足p﹣2q+3r=a，求p2+q2+r2的最小值及取得最小值时对应的p，q，r的值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由条件利用绝对值三角不等式，求得数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|的最小值，即可求得a的值．（2）由条件利用柯西不等式，求得p2+q2+r2的最小值及取得最小值时对应的p，q，r的值．解答：解：（1）∵||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，从而可得数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为a=﹣3．（2）由（1）知：p﹣2q+3r=﹣3，又（p2+q2+r2）•[12+（﹣2）2+32]≥（p﹣2q+3r）2 =9，∴，当且仅当，故p2+q2+r2的最小值为，此时．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式的应用，属于基础题．18．已知向量=（cosx，﹣），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）通过向量的数量积以及二倍角的正弦函数两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式，求f （x）的最小正周期．（Ⅱ）通过x在[0，]，求出f（x）的相位的范围，利用正弦函数的最值求解所求函数的最大值和最小值．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）==（cosx，﹣）•（sinx，cos2x）=sinxcosx=sin（2x﹣）最小正周期为：T==π．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈，由正弦函数y=sinx在的性质可知，sinx，∴sin（2x﹣），∴f（x）∈[﹣，1]，所以函数f （x）在[0，]上的最大值和最小值分别为：1，﹣．点评：本题考查向量的数量积以及两角和的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的值域的应用，考查计算能力．19．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．解答：解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，∴sinB=cosB，即tanB=1，∵B为三角形的内角，∴B=；（Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac，由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×，整理得：ac≤，当且仅当a=c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为××=××（2+）=+1．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，a n+1=2S n+1（n≥1）．（1）求{a n}的通项公式；（2）等差数列{b n}的各项为正，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．考点：等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：计算题；综合题．分析：（1）由题意可得：a n=2S n﹣1+1（n≥2），所以a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2），又因为a2=3a1，故{a n}是等比数列，进而得到答案．（2）根据题意可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，所以结合题意可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，进而求出公差得到等差数列的前n项和为T n．解答：解：（1）因为a n+1=2S n+1，…①所以a n=2S n﹣1+1（n≥2），…②所以①②两式相减得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n（n≥2）又因为a2=2S1+1=3，所以a2=3a1，故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列∴a n=3n﹣1．（2）设{b n}的公差为d，由T3=15得，可得b1+b2+b3=15，可得b2=5，故可设b1=5﹣d，b3=5+d，又因为a1=1，a2=3，a3=9，并且a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以可得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2，解得d1=2，d2=﹣10∵等差数列{b n}的各项为正，∴d＞0，∴d=2，∴．点评：本题主要考查求数列通项公式的方法，以及等比数列与等差数列的有关性质与求和．21．等差数列{a n}的各项均为正数，a1=3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1=2，且b2S2=32，b3S3=120．（1）求a n与b n；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．（3）若对任意正整数n和任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；不等式的证明．专题：计算题．分析：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，利用等差数列和等比数列的通项公式，根据b2S2=32，b3S3=120建立方程组求得d和q，进而根据数列的首项求得a n与b n．（2）根据（1）中求得的a n与b n，利用错位相减法求得数列{a n b n}的前n项和T n．（3）利用裂项法求得=，进而可知问题等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于，进而求得a的范围．解答：解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n﹣1）d，b n=2q n﹣1依题意有，即，解得，或者（舍去），故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=2n．（2）a n b n=（2n+1）•2n．T n=3•2+5•22++（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，2T n=3•22+5•23++（2n﹣1）•2n+（2n+1）•2n+1，两式相减得﹣T n=3•2+2•22+2•23++2•2n﹣（2n+1）2n+1=2+22+23++2n+1﹣（2n+1）2n+1=2n+2﹣2﹣（2n+1）2n+1=（1﹣2n）2n+1﹣2，所以T n=（2n﹣1）•2n+1+2．（3）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），∴===，问题等价于f（x）=x2+ax+1的最小值大于或等于，即，即a2≤1，解得﹣1≤a≤1．点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．数列由等差数列和等比数列构成求和时常用裂项法求和．22．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），其中λ＞0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n；（Ⅲ）证明存在k∈N*，使得对任意n∈N*均成立．考点：数列的应用；数列的求和．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（Ⅰ）解法一：由题设条件可猜想出数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．然后用数学归纳法证明．解法二：由a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），λ＞0，可知为等数列，其公差为1，首项为0．由此可求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）设T n=λ2+2λ3+3λ4+…+（n﹣2）λn﹣1+（n﹣1）λn，λT n=λ3+2λ4+3λ5+…+（n﹣2）λn+（n ﹣1）λn+1．然后用错位相减法进行求解．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．然后用分析法进行证明．解答：解：（Ⅰ）解法一：a2=2λ+λ2+（2﹣λ）×2=λ2+22，a3=λ（λ2+22）+λ3+（2﹣λ）×22=2λ3+23，a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2﹣λ）×23=3λ4+24．由此可猜想出数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．以下用数学归纳法证明．（1）当n=1时，a1=2，等式成立．（2）假设当n=k时等式成立，即a k=（k﹣1）λk+2k，那么，a k+1=λa k+λk+1+（2﹣λ）2k=λ（k﹣1）λk+λ2k+λk+1+2k+1﹣λ2k=[（k+1）﹣1]λk+1+2k+1．这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式a n=（n﹣1）λn+2n对任何n∈N*都成立．解法二：由a n+1=λa n+λn+1+（2﹣λ）2n（n∈N*），λ＞0，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0．故，所以数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣1）λn+2n．（Ⅱ）解：设T n=λ2+2λ3+3λ4+…+（n﹣2）λn﹣1+（n﹣1）λn①λT n=λ3+2λ4+3λ5+…+（n﹣2）λn+（n﹣1）λn+1．②当λ≠1时，①式减去②式，得（1﹣λ）T n=λ2+λ3+…+λn﹣（n﹣1）λn+1=，．这时数列{a n}的前n项和．当λ=1时，．这时数列{a n}的前n项和．（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大．下面证明：．③由λ＞0知a n＞0．要使③式成立，只要2a n+1＜（λ2+4）a n（n≥2）．因为（λ2+4）a n=（λ2+4）（n﹣1）λn+（λ2+4）2n＞4λ．（n﹣1）λn+4×2n=4（n﹣1）λn+1+2n+2≥2nλn+1+2n+2=2a n+1，n＞2．所以③式成立．因此，存在k=1，使得对任意n∈N*均成立．点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．。

四川省成都市树德中学、雅安中学2015-2016学年高一10月阶段性考试数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1、设全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}1,2,5,6B. {}1C. {}2D.{}1,2,3,4 2、函数1()2f x x=-的定义域为（ ） A. [)()1,22,-⋃+∞ B. ()1,-+∞C.[)1,2-D.[)1,-+∞3、若集合20x A x N x ⎧-⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭，{}2B x =≤，则满足条件A C ⊆⊂≠B 的集合C 的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D.84、函数y =的单调减区间是（ ）A. (),1-∞-B.()1,-+∞C. ()3,1--D.()1,1-5、设{}220A x x px q =-+=，(){}26250B x x p x q =++++=，若12A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A. 11,,423⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.1,42⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D.12⎧⎫⎨⎬⎩⎭6、设()2()6x f x f f x -⎧⎪=⎨+⎡⎤⎪⎣⎦⎩(10)(10)x x ≥<，则(5)f 的值为（ ） A.10 B.11 C.12 D.137、()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()f x 在R 上的表达式为（ ）A.()2y x x =-B. ()2y x x =+C.()2y x x =-D.()2y x x =-8、已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：则方程()g f x x =⎡⎤⎣⎦的解集为（ ）A. {}1B. {}2C. {}3D.∅9、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油10、对于非空集合A ，B ，定义运算：{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∈⋂且，已知{}M x a x b =<<，{}N x c x d =<<，其中a 、b 、c 、d 满足条件a b c d +=+，0ab cd <<，则M N ⊕=（ ）A. ()(),,a d b c ⋃B.(][),,c a b d ⋃C. (][),,a c d b ⋃D.()(),,c a d b ⋃11、已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()f x 在R 上单调递增，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A. ()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦B.()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦C. ()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦D.()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦12、已知函数()22,2()2,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若方程()()f x g x =恰有4个不同的根，则b 的取值范围是（ ） A. 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，共20分）13、已知集合{}1,1A =-，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为________.14、函数1()3ax f x x -=+在(),3-∞-上是减函数，则a 的取值范围是__________. 15、若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =____________.16、设a ，0b >，5a b +=的取值范围为____________.三、解答题（共70分）17、（本题满分10分）解下列关于x 不等式.（1）210x x +-< （2）1121x x ≥-18、（本题满分12分）已知全集U R =，集合{}260A x x x =--<，{}2280B x x x =+->， {}22430C x x ax a =-+<，若()U C A B ⊆ð，求实数a 的取值范围.19、（本题满分12分）设函数21()11f x x x =-++. （1）证明：函数()f x 在[)0,+∞上单调递增；（2）解不等式()(21)f x f x >-.20、（本题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t =；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t =；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）21、（本题满分12分）定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的,m n R ∈有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，有0()1f x <<，1(4)16f =. （1）证明：()0f x >在R 上恒成立；（2）证明：()f x 在R 上是减函数；（3）若0x >时，不等式24()()()f x f ax f x >恒成立，求实数a 的取值范围.22、（本题满分12分）设二次函数2()()f x x ax b a b R =++∈、. （1）当214a b =+时，求函数()f x 在[]1,1-上的最小值()g a 的表达式； （2）若方程()0f x =有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k ，使得1()4f k ≤.：。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若()()cos 2,0,sin 2ππααπα⎛⎫-=∈-- ⎪⎝⎭则＝（ ） A．．23- C ．13- D ．23±【答案】B 【解析】试题分析：因为()cos 2cos ,02ππααα⎛⎫-==∈- ⎪⎝⎭，2sin 3α∴==-，则()2sin sin 3παα-==-，故选B 。

考点：（1）诱导公式（2）同角三角函数的基本关系2.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）A.13项B.12项C.11项D.10项 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意1231234,146n n n a a a a a a --++=++=，1231234146180n n n a a a a a a --∴+++++=+=，又12132n n n a a a a a a --+=+=+，1180603n a a ∴+== ()160390,1322n na a n n S n +∴===∴=。

故选A 。

考点：等差数列的性质 3.函数()f x =）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B.()+∞,2 C.()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0 D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,221,0【解析】试题分析：要使函数有意义，则()22log 10x ->即22log 1log 1x x ><-或，解得1202x x ><<或，即函数的定义域为()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛,221,0。

考点：函数的定义域及其求法4.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()()()()1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为( )【答案】A 【解析】试题分析：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()()()()1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0，几何的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以zOx 平面为投影面。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √2B. πC. -1/3D. √-1答案：C2. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为（）A. -7B. -5C. 1D. 3答案：A3. 在等差数列{an}中，a1 = 3，d = 2，则第10项an的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 25答案：B4. 若等比数列{bn}的公比q = 1/2，首项b1 = 4，则第5项bn的值为（）A. 1/4B. 1/8C. 1/16D. 1/32答案：D5. 函数y = x^2 - 4x + 4的图像是（）A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 双曲线D. 线性函数答案：A6. 已知直线l的方程为2x + 3y - 6 = 0，则直线l的斜率为（）A. -2/3B. 2/3C. 3/2D. -3/2答案：A7. 在三角形ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，则∠C的度数为（）A. 75°B. 120°C. 135°D. 150°答案：B8. 已知圆的方程为x^2 + y^2 = 25，则圆心坐标为（）A. (5, 0)B. (-5, 0)C. (0, 5)D. (0, -5)答案：A9. 函数y = sin(x)的周期为（）A. πB. 2πC. 3πD. 4π答案：B10. 若复数z = a + bi（a，b∈R），则|z| = （）A. √(a^2 + b^2)B. √(a^2 - b^2)C. a^2 + b^2D. a^2 - b^2答案：A二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a > （）答案：012. 已知等差数列{an}的公差d = 3，则第5项an = （）答案：a1 + 4d13. 等比数列{bn}的公比q = 2，首项b1 = 1，则第4项bn = （）答案：b1 q^314. 若直线l的斜率为-1/2，则其方程为y = （）答案：-1/2x + b15. 在三角形ABC中，若AB = AC，则∠B = （）答案：60°三、解答题（每题10分，共30分）16. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)。

第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若()()5cos 2,0,sin 32ππααπα⎛⎫-=∈-- ⎪⎝⎭则＝( )A ．5B ．23- C ．13- D ．23±【答案】B 【解析】试题分析：因为()5cos 2cos ,032ππααα⎛⎫-==∈- ⎪⎝⎭，22sin 1cos 3αα∴=-=-,则()2sin sin 3παα-==-，故选B 。

考点：（1）诱导公式（2）同角三角函数的基本关系2。

若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有（ )A.13项B.12项C.11项D.10项 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意1231234,146n n n a aa a a a --++=++=，1231234146180n n n a a a a a a --∴+++++=+=,又12132n n n a a a a a a --+=+=+,1180603n a a ∴+== ()160390,1322n n a a n n S n +∴===∴=。

故选A 。

考点：等差数列的性质 3。

函数()()22log 1f x x =-的定义域为( )A 。

⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B 。

()+∞,2 C 。

()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,221,0 D 。

[)+∞⋃⎥⎦⎤⎝⎛,221,0【答案】C 【解析】试题分析:要使函数有意义，则()22log 10x ->即22log 1log 1x x ><-或，解得1202x x ><<或，即函数的定义域为()+∞⋃⎪⎭⎫⎝⎛,221,0。

考点：函数的定义域及其求法4。

一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()()()()1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为( ）【答案】A 【解析】试题分析：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()()()()1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,几何的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以zOx 平面为投影面。

一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．）1、下列结论正确的是 （ ）A ．若ac>bc ，则a>bB ．若a 2>b 2，则a>bC ．若a>b,c<0，则 a+c<b+c Da<b2. 在△ABC 中，若2cosAsinB=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）3、不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的区域为D ，点P (0，－2)，Q (0，0)，则（ ）A. P ∉D ，且Q ∉DB. P ∉D ，且Q ∈DC. P ∈D ，且Q ∉DD. P ∈D ，且Q ∈Dx ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是（ ）A ．73B ．83C ．2D ． 3 5．已知等比数列{a n }中， 有 31174a a a •= ，数列 {}n b 是等差数列，且 77b a =，则 59b b +=( )A ． 2B ． 4C ．6D ． 86．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ）A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 117. n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若424S =，836S =，则12S 等于 ( )A. 42B. 63C. 75D. 838. 下列函数中，最小值为2的为 ( ) A. 1y x x=+ B. 1lg (110)lg y x x x =+<< C. (1)x x y a a a -=+> D. 1cos (0)cos 2y x x x π=+<< 9．正数a 、b 的等差中项是12，且11,,a b a b αβαβ=+=++则的最小值是 （ ） A ．3B ．4C ．5D ．6 10．已知2()1f x ax ax =+-<0在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≤B ．4a <-C ．40a -<<D ．40a -<≤11．已知△ABC 的面积为，AC=，∠ABC=，则△ABC 的周长等于（ ） A.3+ B.3 C.2+ D.12. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，56S S >，67S S =，78S S <，以下给出了四个式子：① 公差0d <；②70a =；③94S S >； ④n S 的最小值有两个，其中正确的式子共有（ ）二、填空题( 每小题5分，共20分 )240x -≤的解集为 14. 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝，则＝________.15．数列{}n a 满足12a =，112n n n a a --=，则n a = ； 16.两等差数列{}n a 和{}n b ,前n 项和分别为,n n S T ,且(5.),,ks u com 则220715a a b b ++等于 。

成都九中2015—2016学年度下期期末考试 高一数学试卷 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回. 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则6．()1cos()sin244παα-==已知,则7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有 8．在三视图如图的多面体中,最大的一10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边 11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 第Ⅱ卷 非选择题二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分） 13．000cos1402sin130sin10+=____________14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼, 15．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积 16．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量 18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形, 19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若. 20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数22.（12分）()()()(),,,f x R f f f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有 成都外国语学校2015—2016学年度下期期末考试y y yy yxxx yx高一数学试卷 命题人： 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回. 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为D2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于C3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则B5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则A6．()1cos()sin244παα-==已知,则C7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有 8．在三视图如图的多面体中,最大的一10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边 11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 第Ⅱ卷 非选择题二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分） 13．000cos1402sin130sin10+=____________12-14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼, 15．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积 16．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量 解：()()()()22210,a c a c b b a a b c ab ⇒+-+-=⇒+-=已知 18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形, 解：()1//,PQMN PN QM ∴Q 证明:截面是平行四边形,19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若. 解：()21111347,34(2),3 4.n n n n a S a S n a S -+=+==+≥∴=+Q20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面yy yy yxxxyx解：()014,3,90 5.AC AB BC ABC AC ==∠==连接，由,得21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数 解：(){}210|34ax bx c x x ++>-<<Q 的解集为22.（12分）()()()(),,,f x R f f f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有 解：()()()1112,22,n n a f a f =∴==Q 2020-2-8。

2015-2016学年四川省成都市树德中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞02．（5分）已知=（sin20°，cos160°），=（sin140°，sin50°），则•=（）A．﹣B．C．D．﹣3．（5分）已知数列{a n}满足，a1=1，a2=2，a n=，（n≥3，n∈N*）．则a2016=（）A．1 B．2 C．D．2﹣20164．（5分）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③5．（5分）规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数或0），若1⊙k2＜3，则k的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B．0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D．0＜k＜26．（5分）棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4 D．37．（5分）如图，已知=，=，且||=2||=2，任意点M关于点A的对称点为N，点N关于点B的对称点为P，则•（+）=（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣38．（5分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．249．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC=（）A．B．C．D．10．（5分）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（）A．O﹣ABC是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的投影为底面的中心）B．直线OB∥平面ACDC．OD⊥平面ABCD．直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为11．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．412．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（4，5）．则cosA=；△ABC的边AC上的高h=．14．（5分）四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测法，画出这个梯形的直观图O1A1B1C1，在直观图中梯形的高为．15．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3=5，则S9﹣S6的最小值为．16．（5分）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，A=，D是BC边上一点（D与B，C不重合），且||2=||2+•，若2m=+，则m=．三、解答题（共70分）17．（10分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1与底面ABC成角为θ，AB⊥AC．（1）若θ=，求证：AC⊥BA1；（2）若M为A1C1的中点，问：A1B上是否存在点N，使得MN∥平面BCC1B1？若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1﹣S n+1）（n∈N*），求适合方程++…+=的n的值．20．（12分）如图，△ABC中，sin∠ABC=，AB=2，点D为线段AC上一点，过D作DE垂直于AB与E，作DF垂直于BC与F．（1）若AD=2DC，则BD=，求BC的长．（2）在（1）的结论下，若点D为线段AC上运动，求△DEF面积的最大值．21．（12分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2），M、N分别是BD和BC中点．（1）若E为线段AN上任意一点，求证：ME⊥BD；（2）若θ=，求AB与平面BCD所成角的正弦值．（3）P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得==λ（λ∈R）．令PQ与BD和AN所成的角分别为θ1和θ2．求sinθ1+sinθ2的取值范围．22．（12分）数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．令b n=a n sin（1）证明：数列{+（﹣1）n}为等比数列；（2）设c n=n•（﹣1），求数列{c n}的前n项和S n；（3）数列{b n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．2015-2016学年四川省成都市树德中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0【解答】解：利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误；a2﹣b2=1＞0，故C错误；排除A，B，C，选D．2．（5分）已知=（sin20°，cos160°），=（sin140°，sin50°），则•=（）A．﹣B．C．D．﹣【解答】解：=（sin20°，cos160°），=（sin140°，sin50°），则•=sin20°sin140°+cos160°sin50°=sin20°cos50°﹣cos20°sin50°=sin（20°﹣50°）=﹣sin30°=﹣，故选：D．3．（5分）已知数列{a n}满足，a1=1，a2=2，a n=，（n≥3，n∈N*）．则a2016=（）A．1 B．2 C．D．2﹣2016【解答】解：∵数列{a n}满足，a1=1，a2=2，a n=，（n≥3，n∈N*），∴a3==2，a4==1，a5==，a6==，a7==1，a8==2，a9==2，故周期是6，2016÷6=336，∴a2016=a6=，故选：C．4．（5分）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③【解答】解：①若m⊂α，l∩α=A，点A∉m，则l与m不共面，正确；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，利用线面垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l∥α，α∥β，α∥β，则l与m不一定平行，不正确；④若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l∥β，m∥β，利用面面平行的判定定理可得：α∥β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．5．（5分）规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数或0），若1⊙k2＜3，则k的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B．0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D．0＜k＜2【解答】解：∵定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数或0），1⊙k2＜3，∴＜3，化为（|k|+2）（|k|﹣1）＜0，∴|k|＜1，∴﹣1＜k＜1．故选：A．6．（5分）棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4 D．3【解答】解：该几何体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，而正方体的体积V=23=8，故被截去的几何体的体积是=4，故选：C．7．（5分）如图，已知=，=，且||=2||=2，任意点M关于点A的对称点为N，点N关于点B的对称点为P，则•（+）=（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣3【解答】解：由题意可知AB是△PMN的中位线，∴=2=2（﹣）=2（﹣），∴•（+）=2（﹣）•（+）=2（||2﹣||2）=2×（4﹣1）=6，故选：A．8．（5分）已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为（）A．16 B．18 C．20 D．24【解答】解：∵，∠BAC=，∴，∴bc=4．∴S===1．△ABC∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．∴，化为x+y=．∴===18，当且仅当y=2x=时取等号．故的最小值为18．故选：B．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC=（）A．B．C．D．=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，【解答】解：△ABC中，∵S△ABC且2S=（a+b）2﹣c2，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得3tan2C+4tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，故选：C．10．（5分）如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（）A．O﹣ABC是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的投影为底面的中心）B．直线OB∥平面ACDC．OD⊥平面ABCD．直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为【解答】解：对于A，如图ABCD为正四面体，∴△ABC为等边三角形，又∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC．过O作底面ABC的垂线，垂足为N，连接AN交BC于M，由三垂线定理可知BC⊥AM，∴M为BC中点，同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，∴N为底面△ABC中心，∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．对于B，将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．则答案B不正确．OD⊥平面ABC，正确；对于D，CD在平面ABC上的射影为，∴直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为，正确．故选：B．11．（5分）已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C．D．4【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选：D．12．（5分）设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．（，）B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足=1，∴（sina3cosa6﹣sina6cosa3）（sina3cosa6+sina6cosa3）=sin（a 3+a6）=（sina3cosa6+sina6cosa3），∴sina3cosa6﹣sina6cosa3=1，即sin（a3﹣a6）=1，或sin（a3+a6）=0（舍）当sin（a3﹣a6）=1时，∵a3﹣a6=﹣3d∈（0，3），a3﹣a6=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=，d=﹣．∵=+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴﹣=9，化为．∴=．故选：C．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（4，1），C（4，5）．则cosA=；△ABC的边AC上的高h=．【解答】解：∵△ABC的顶点坐标分别为A（1，1）、B（4，1）、C（4，5），∴AB=3，BC=4，AC=5；根据余弦定理得cosA==；∵直线AC的斜率为，∴AC的直线方程为y﹣1=（x﹣1）即4x﹣3y﹣1=0．∴△ABC的边AC上的高h=．故答案为：；．14．（5分）四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测法，画出这个梯形的直观图O1A1B1C1，在直观图中梯形的高为．【解答】解：∵四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，故OABC的高为2，面积S=×（2+6）×2=8，故其直观图的面积S′=8×=2，设直观图的高为h，则×（2+6）×h=2，解得：h=，故答案为：15．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3=5，则S9﹣S6的最小值为20．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q＞0，q≠1．∵S6﹣2S3=5，∴﹣=5．∴=5．∴q＞1．则S9﹣S6=﹣=•q6==5+10≥5×+10=20，当且仅当q3=2，即q=时取等号．∴S9﹣S6的最小值为20．故答案为：20．16．（5分）已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，A=，D是BC边上一点（D与B，C不重合），且||2=||2+•，若2m=+，则m=．【解答】解：如图所示，作高AE，不妨设E在CD上，设AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，则DE=p﹣x，BE=p+q ﹣x，则AD2=AE2+DE2=h2+（p﹣x）2，AB2=AE2+BE2=h2+（p+q﹣x）2，所以AB2﹣AD2=（p+q﹣x）2﹣（p﹣x）2=2pq﹣2xq+q2，∵=+•，∴pq=•=q（q+2p﹣2x），∵q≠0，∴p=q+2p﹣2x，∴x==，即E为BC中点，于是ABC为等腰三角形；∵顶角为，∴底角B=；又=+，代入2m=+中，得2m（+）=+，由⊥，得•=0，两边同乘以，化简得：2m（•+•）=•+，即m=•+，∴m=||×||cosB+，即m•a2=•c•a•cosB+•a2，由正弦定理化简得m•sin2A=•sinC•sinA•cosB+•sin2A，由sinA≠0，两边同时除以sin2A得：m=，∴m===sinB=sin=sin（+）=sin cos+cos sin=．故答案为：．三、解答题（共70分）17．（10分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}．（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：＞0（c为常数）．【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax2﹣3x+2=0的两根，则，∴a=1，b=2．（2）不等式等价于（x﹣c）（x﹣2）＞0，所以：当c＞2时解集为{x|x＞c或x＜2}；当c=2时解集为{x|x≠2，x∈R}；当c＜2时解集为{x|x＞2或x＜c}．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1与底面ABC成角为θ，AB⊥AC．（1）若θ=，求证：AC⊥BA1；（2）若M为A1C1的中点，问：A1B上是否存在点N，使得MN∥平面BCC1B1？若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：θ=时，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABCD，∴AA1⊥AC，又AB⊥AC，AA1∩AC=A，∴AC⊥平面ABB1A1，BA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥BA1．（2）解：，即点N为线段BA1的中点．在△A1BC1中，连接MN，则MN∥BC1．又MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1．∴MN∥平面BCC1B1．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n+a n=1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3（1﹣S n+1）（n∈N*），求适合方程++…+=的n的值．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，由，得．当n≥2时，∵，，∴，即．∴．∴{a n}是以为首项，为公比的等比数列．故．（7分）（Ⅱ），b n=，（9分）（11分）解方程，得n=100（14分）20．（12分）如图，△ABC中，sin∠ABC=，AB=2，点D为线段AC上一点，过D作DE垂直于AB与E，作DF垂直于BC与F．（1）若AD=2DC，则BD=，求BC的长．（2）在（1）的结论下，若点D为线段AC上运动，求△DEF面积的最大值．【解答】解：（1）因为sin∠ABC=，由二倍角公式可知：所以cos∠ABC=1﹣2×=．△ABC中，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得：9b2=a2+4﹣①在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得cos∠ADB=，cos∠DBC=．因为cos∠ADB=﹣cos∠BDC，所以有=﹣．，所以3b2﹣a2=﹣6，②由①②可得a=3，b=1，即BC=3．（2）令DE=d1，DF=d2，则△ABC的面积为×2×3×=2=，从而可得，而△DEF的面积为（当且仅当时取等）．△DEF面积的最大值．21．（12分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ（如图2），M、N分别是BD和BC中点．（1）若E为线段AN上任意一点，求证：ME⊥BD；（2）若θ=，求AB与平面BCD所成角的正弦值．（3）P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得==λ（λ∈R）．令PQ与BD 和AN所成的角分别为θ1和θ2．求sinθ1+sinθ2的取值范围．【解答】证明：（1）取BC的中点N，连接AN交BD于M，∵BC=2AD=2AB=2，∴四边形ABND是正方形，∴AM⊥BD，MN⊥BD，∵AM∩MN=M，∴BD⊥平面AMN，∵ME⊂平面AMN，∴BD⊥ME，解：（2）若θ=，由（1）知∠AMN是二面角A﹣BD﹣C的平面角θ，若θ=∠AMN=，从而△AMN为等边三角形，取MN的中点H，连接AH，则AH⊥平面BCD，连接BH，则∠ABH是AB与平面BCD所成角，则AB=，AM=MH=AN=1，则AH=，则sin∠ABH===．解：（3）在BN线段取点R使得从而易得PR∥AN且RQ∥BDA，θ1=∠PQR，θ2=∠QPR另一方面，AM⊥BD，MN⊥BD，从而θ=∠AMN．∵AM⊥BD，MN⊥BD，AM∩MN=M，∴BD⊥AN，∵PR∥AN，RQ∥BD，∴∠PRQ=，从而有θ1+θ2=，则sinθ1+sinθ2=sinθ1+cosθ1=sin（θ1+）∈（1，]．22．（12分）数列{a n}满足a1=，a n=（n≥2，n∈N）．令b n=a n sin（1）证明：数列{+（﹣1）n}为等比数列；（2）设c n=n•（﹣1），求数列{c n}的前n项和S n；（3）数列{b n}的前n项和为T n．求证：对任意的n∈N*，T n＜．【解答】（1）证明：∵a n=（n≥2，n∈N）．，∴，∴，又∵，∴数列是首项为3，公比为﹣2的等比数列．（2）解：∵，∴．∴∴S n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①2S n=1×22+2×23+3×24+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1．②①﹣②，得﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣2．∴S n=（n﹣1）2n+1+2．（3）证明：当n≥3时，则＜=．∵T1＜T2＜T3，∴对任意的n∈N*，．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

一、选择题（每题5分，共60分）1、设全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.{}1,2,5,6B. {}1C. {}2D.{}1,2,3,4【答案】B考点：1、集合的交集、并集、补集运算；2、韦恩图表示集合．【方法点晴】本题主要考查的是韦恩图表示集合和集合的交集、并集、补集运算，属于容易题，首先要把韦恩图中的阴影部分翻译为集合语言.A B C u ⋂，再进行集合的补集，交集运算.本题也可以直接在韦恩图中标出阴影部分的所以元素，从而直接得到答案.2、函数1()2f x x=-的定义域为（ ） A. [)()1,22,-⋃+∞B. ()1,-+∞C. [)1,2-D.[)1,-+∞【答案】A 【解析】试题分析：)(x f 定义域满足1.+x 和x -21均有意义，故).,2()2,1[0201+∞⋃-∈⇒⎩⎨⎧≠-≥+x x x 故选A ． 考点：1、函数定义域；2、不等式解法；3、集合的交运算．3、若集合20x A x Nx ⎧-⎫=∈≤⎨⎬⎩⎭，{}2B x =≤，则满足条件A C ⊆⊂≠B 的集合C 的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D.8 【答案】C考点：1、分式不等式的解法；2、根式不等式的解法；3、一元二次不等式的解法． 【易错点晴】本题主要考查的是分式不等式的解法、根式不等式的解法、集合间的关系 属于容易题．解不等式时一定要注意A 集合的分母不为零，否则很容易出现错误.4、函数y =的单调减区间是（ ） A. (),1-∞- B.()1,-+∞ C. ()3,1--D.()1,1-【答案】D 【解析】试题分析：由题意知,032,02322≤-+≥--x x x x 所以,13≤≤-x 即此函数的定义域为],1,3[-令,23)(2x x x u --=且)(x u 在),1(+∞-上单调减，从而223x x y --=在)1,1(-上单调减.故选D ．考点：1、复合函数单调性；2、二次函数图像；3、一元二次不等式的解法；4、函数的定义域． 【易错点晴】本题主要考查的是复合函数的单调性和定义域，属于容易退，求解单调区间时一定要注意考虑该复合函数的定义域，否则很容易出现错误.5、设{}220A x x px q =-+=，(){}26250B x x p x q =++++=，若12A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，则A B ⋃=（ ）A. 11,,423⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.1,42⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C.11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D.12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21=⋂B A 知，,21,21B A ∈∈所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=++++=+-4705)2(212302121q p q p q p 所以11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭显然， }.4,31,21{-=⋃B A 故选A ．考点：1、集合的交并运算；2、一元二次方程的解法．6、设()2()6x f x f f x -⎧⎪=⎨+⎡⎤⎪⎣⎦⎩(10)(10)x x ≥<，则(5)f 的值为（ ）A.10B.11C.12D.13 【答案】B 【解析】试题分析：由题意.11)13()]15([)9()]11([)5(=====f f f f f f f 故选B ． 考点：1、分段函数的求值；2、复合函数的求值．7、()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()f x 在R 上的表达式为（ ） A.()2y x x =- B. ()2y x x =+ C.()2y x x =- D.()2y x x =-【答案】D 【解析】试题分析：因为f(x)的定义域为R ，当0<x 时，)()(,0x f x f x --=>-()()2222x x x x ⎡⎤=----=--⎣⎦.所以⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-=.0,2,0,2)(22x x x x x x x f 用绝对值表示为).2|(|)(-=x x x f 故选D ．考点：1、函数的奇偶性应用；2、求函数解析式；3、分段函数．8、已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：则方程()g f x x =⎡⎤⎣⎦的解集为（ ） A. {}1B. {}2C. {}3D.∅【答案】C考点：1、函数的定义；2、复合函数的求值．9、汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D考点：1、函数图像．10、对于非空集合A ，B ，定义运算：},,|{B A x B A x x B A ⋂∉⋃∈=⊕且已知{}M x a x b =<<，{}N x c x d =<<，其中a 、b 、c 、d 满足条件a b c d +=+，0ab cd <<，则M N ⊕=（ ）A. ()(),,a d b c ⋃B.(][),,c a b d ⋃C. (][),,a c d b ⋃D.()(),,c a d b ⋃【答案】C 【解析】试题分析：由已知},|{b x a x M <<=所以,b a ⊂又,0<ab 所以,0b a <<同理得,0d c <<由,0,0,0><<<b c cd ab 得,b d c a >所以,bbd c c a ->-又因,d c b a +=+ 所以,b d c a -=-,b bd c b d ->-又因为,0,0><b c 所以,0<-b d 因此,0<-c a 所以,,0N N M b d c a =⋂<<<<所以},|{b x d c x a x N M <≤≤<=⊕或 ).,[],(b d c a ⋃=故选C ．考点：1、不等式的性质；2、集合的运算．【思路点晴】本题主要考查的是不等式的性质和集合间的关系，属于容易题．先由已知}.|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=其中d c b a ,,,满足.0,<<+=+cd ab d c b a得到d c b a ,,,再由新定义N M ⊕的意义可求出答案.11、已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若函数()f x 在R 上单调递增，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A. ()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦B.()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦C. ()sgn sgn g x x=-⎡⎤⎣⎦D.()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【答案】C考点：1、分段函数；2、复合函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和复合函数的单调性，属于难题．要正确写出复合函数)](sgn[x g 就要从分类讨论入手，这里一定要注意复合函数)](sgn[x g 否真正自变量为x,否则很容易出现错误．12、已知函数()22,2()2,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若方程()()f x g x =恰有4个不同的根，则b 的取值范围是（ ） A. 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：函数)()(x g x f y -=恰有4个零点，即方程0)()(=-x g x f ，即)2()(x f x f b -+=有4个不同的实数根，即直线b y =与函数)2()(x f x f y -+=的图像有四个不同的交点.又,2,8520,20,2)2()(22⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤<++=-+=x x x x x x x x f x f y 做出该函数的图像如图所示，由图得，当247<<b 时，直线b y =与函数)2()(x f x f y -+=的图像有4个不同的交点，故函数)()(x g x f y -=恰有4个零点时，b 的取值范围是.2,47⎪⎭⎫⎝⎛故选D ．考点：1、分段函数；2、函数的零点．【方法点晴】本题主要考查的是分段函数和函数的零点，属于难题．已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数的图像的交点个数问题，作图时一定要保证图形准确， 否则很容易出现错误．二、填空题（每题5分，共20分）13、已知集合{}1,1A =-，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的取值集合为________. 【答案】{}1,1,0-考点：1、集合间的包含关系． 14、函数1()3ax f x x -=+在(),3-∞-上是减函数，则a 的取值范围是__________. 【答案】13a <- 【解析】 试题分析：.313313)3(31)(++-=+--+=+-=x a a x a x a x ax x f 由于)(x f 为减函数，则 3)13()(++-=x a x g 为减函数，313)(++=x a x u 为增函数，而31)(+=x x v 为减函数，从而.31,013-<<+a a 考点：1、函数的单调性．15、若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =____________.【答案】-6或4考点：1、分段函数．【方法点晴】本题主要考查的是分段函数的最值，属于难题．由于参数a 为实数，要从分类讨论a 与-1的大小关系入手，化简函数f(x)的解析式，把f(x)写成分段函数的形式，利用函数的单调性求得f(x)的最小值，再根据f(x)的最小值等于5求得a 的值.16、设a ，0b >，5a b +=的取值范围为____________.【答案】(1+【解析】试题分析：因为,5=+b a 所以,5a b -=令,8131)(a a b a a f -++=+++=)5,0(∈a 则，aa a a aa a f -⋅++--=--+=81218821121)('.)18(81227++-⋅-⋅+-=a a a a a 令,0)('=a f 则.27=a 当270<<a 时，0)('>a f 函数)(a f 单调递增，当527<≤a 时，0)('<a f 函数)(a f 单调递减，所以当27=a 时函数,23)(max =a f 由于),0()5(,36)5(,221)0(f f f f >+=+=所以.221)(min +=a f考点：1、函数的单调性；2、函数的最值．【方法点晴】本题主要考查的是函数的求导，求单调性以及函数的最值，属于难题.本题中由于变量a 、b有关系，可以用a 表示b ，这样就可以构造函数f(a),通过判断函数f(a)的单调性，画出f(a)的大致图像，从而得到函数f(a)的最值.三、解答题（共70分）17、（本题满分10分）解下列关于x 不等式. （1）210x x +-< （2）1121x x ≥-【答案】（1），（2）()[)1,00,1,2⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭.考点：1、一元二次不等式的解法；2、绝对值不等式的解法；3、分式不等式的解法；4、高次不等式的解法．18、（本题满分12分）已知全集U R =，集合{}260A x x x =--<，{}2280B x x x =+->，{}22430C x x ax a =-+<，若()U C A B ⊆ð，求实数a 的取值范围.【答案】42,3⎛⎫--⎪⎝⎭．考点：1、一元二次不等式解法；2、集合间的包含关系． 19、（本题满分12分）设函数21()11f x x x =-++. （1）证明：函数()f x 在[)0,+∞上单调递增； （2）解不等式()(21)f x f x >-. 【答案】（1）证明见解析；（2）⎪⎭⎫⎝⎛1,31． 【解析】试题分析：(1)用定义法证明)(x f 在),0[+∞上单调递增，即当21x x <时，)()(21x f x f <成立.(2)先判断)(x f 是偶函数，再应用等价性，⇔->)12()(x f x f|).12(||)(|->x f x f 从而限制||x 和|1-x 2|都在)[0,+∞上，进而应用)(x f 在)[0,+∞上为增函数把问题转化为解含有绝对值的不等式问题.考点：1、函数单调性；2、函数奇偶性；3、绝对值不等式的解法．【方法点晴】本题主要考查的是函数的单调性、奇偶性、绝对值不等式的解法等，属于中档题.解题时一定要注意对函数奇偶性单调性的应用，否则问题很难转化，首先要证明f(x)为偶函数，应用偶函数的性质|)(||)(|)()(b f a f b f a f >⇔>巧妙地将f(x)的自变量转化到),0[+∞上，再应用f(x)为单调增函数将问题转化为.||||b a >20、（本题满分12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()P f t =；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式()Q g t =；（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg ，时间单位：天）【答案】（1）300,0200,()2300,200300;t t f t t t -≤≤⎧=⎨-<≤⎩()21()150100,0300200g t t t =-+≤≤ （2）从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．考点：1、分段函数；2、二次函数．21、（本题满分12分）定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的,m n R ∈有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，有0()1f x <<，1(4)16f =. （1）证明：()0f x >在R 上恒成立；（2）证明：()f x 在R 上是减函数；（3）若0x >时，不等式24()()()f x f ax f x >恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）1a <-．考点：1、函数的单调性；2、不等式的恒成立问题．【方法点晴】本题主要考查的是利用已知关系式证明不等式恒成立、证明单调性及求参数的取值范围，属于难题.(3)中求参数a 的取值范围的基本方法是分离参数法，即找到关于参数的不等式，然后把参数分类出来，即表示成)(x h a <的形式，这样问题就转化为求)(x h 的最小值问题，所以.)(min x h a <22、（本题满分12分）设二次函数2()()f x x ax b a b R =++∈、.（1）当214a b =+时，求函数()f x 在[]1,1-上的最小值()g a 的表达式； （2）若方程()0f x =有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k ，使得1()4f k ≤. 【答案】（1）222,24()1,222,24a a a g a a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩；（2）证明见解析．考点：1、二次函数求最值；2、分段函数；3、不等式的证明．：。

高一数学测试题姓名： 学号： 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分， 共60分)1．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．(M ∩P)∩SB ．(M∩P)∪SC ．(M∩P)∩()S C ID ．(M∩P)∪()S C I2．已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M ∩N 为 （ ）A ．x =3，y =－1B ．(3，－1)C ．{3，－1}D ．{(3，－1)} 3．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是（ ）A ．}10|{<≤x xB ．}10|{-≠<x x x 且C ．{11|<<-x x }D ．}11|{-≠<x x x 且 4．设A=[1,2)-，B=(,)a -∞,若A ∩B ≠，则a 的取值范围是 （ ）A ．a ＜ 2B ．a ＞－2C ．a ＞－1D ．－1＜a ≤2 5．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．集体{}5,4,3,2,1=M 的子集个数是 （ ）A.32B.31C.16D.157．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=- （ ） A ．(－1，1) B ．(－1，＋∞)C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞8．若集合{|{|M y y P y y M P ====⋂=则（ ）A ．}1|{>y y}1≥yC ．}0|{>y yD ．}0|{≥y y9．已知(2，1)在函数f (x )=b ax +的图象上，又知f －1)5(=1，则f (x )等于（ ）A ．94+-xB ．73+-xC ．53-xD ．74-x10．在Ｒ上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x成立，则（Ａ）11<<-a（Ｂ）20<<a（Ｃ）2321<<-a （Ｄ）2123<<-a 11．设)(1x f-是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x 的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（ ）A ．),21(2+∞-a a B ．)21,(2a a --∞C ．),21(2a aa -D ． ),[+∞a 12在下列给出的四个命题中：①y=f(x+2)与y=f(2－x)的图象关于直线x=2对称②若f(x+2)=f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x=2对称 ③y=f(x －2)与y=f(2－x)的图象关于y 轴对称 ④若f(x －2)=f(2－x)，则f(x)的图象关于y 轴对称。

四川省成都市树德中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．设a,b∈R,若b-|a|>0,则下列不等式中正确的是A.a-b>0B.a+b>0C.a2-b2>0D.a3+b3<0【答案】B【解析】由b>|a|,可得-b<a<b.由a<b,可得a-b<0,所以选项A错误.由-b<a,可得a+b>0,所以选项B正确.由b>|a|,两边平方得b2>a2,则a2-b2<0,所以选项C错误.由-b<a,可得-b3<a3,则a3+b3>0,所以选项D错误.故选B.2．已知，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查平面向量的数量积.由题意知,===.选D.【备注】若,，则.3．已知数列满足， , 则A.1B.2C.D.【答案】C【解析】本题考查递推公式.由题意知, ,,所以 , , , , ,所以该数列是以6为周期的周期数列,所以.选C.4．给出下列关于互不重合的三条直线、、和两个平面、的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，，，则；④若，，，，，则，其中为真命题的是A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③【答案】C【解析】本题考查点线面之间的位置关系.对①,若，，点，则与不共面, ①正确；对②,若、是异面直线，，，且，，则,②正确；对③,若，，，则或与相交或与异面,③错；对④，若，，，，，则,④正确.所以真命题有①②④.选C.5．规定记号“”表示一种运算，定义：为正实数)，若，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查新定义问题.因为,所以可化为,即,所以.选A.6．棱长为的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是A. B. C. D. 【答案】B【解析】本题考查三视图、空间几何体的体积.还原出空间几何体(如图所示);被截去的与剩下的几何体体积相同;所以被截去的几何体的体积.选B.7．如图,已知,,且,任意点关于点的对称点为,点关于点的对称点为,则A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查平面向量的线性运算与数量积.因为为的中点,所以=;所以====6.选A.8．已知是内一点，且，，若、、的面积分别为、、，则的最小值是A.18B.16C.9D.4【答案】A【解析】本题考查平面向量的数量积，基本不等式，三角形的面积公式.，可得；而++=,即+=；所以+.即的最小值是18.选A.【备注】; 三角形的面积公式：.9．在中，内角的对边分别为,若的面积为,且, 则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查正弦定理和余弦定理,三角形的面积公式.由三角形的面积公式知,,因为,所以；由余弦定理知,所以,整理得,所以,所以,所以,解得.选C.10．如图，正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上，则在下列命题中，错误的为A.是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的投影为底面的中心)B.直线∥平面.C.平面.D.直线与平面所成的角的正弦值为.【答案】B【解析】本题考查线面平行与垂直.两两垂直且相等,所以是正三棱锥,A正确;将正四面体放入正方体中(如图所示),显然,而与平面相交,所以直线与平面相交,B错误,选B.11．已知关于的不等式的解集为空集，则的最小值为A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】本题考查一元二次不等式,基本不等式.因为的解集为空集,所以恒成立,即,即;所以===4(当且仅当时等号成立).即的最小值为4.选D.12．设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查等差数列,和角差角公式.因为为等差数列,所以,即=,;=====1,而,所以;所以=;由题意得对称轴满足,解得.选C.【备注】等差数列中，.二、填空题：共4题13．已知的顶点坐标分别为,,,则【答案】【解析】本题考查空间中两点间的距离公式和余弦定理.由题意知,,,,所以,由余弦定理知,.所以.14．如图所示，四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图，在直观图中梯形的高为【答案】【解析】本题考查直观图.由题意得;而,所以=,解得.即在直观图中梯形的高为.【备注】.15．设是等比数列的前项和，，若，则的最小值为 .【答案】【解析】本题考查等比数列和均值不等式.因为为等比数列,所以亦为等比数列,即=,所以;而,所以;所以(当且仅当时等号成立).即的最小值为20.16．已知是锐角的外接圆圆心，，是边上一点(与不重合)，且，若，则 .【答案】【解析】本题考查平面向量的数量积,诱导公式,和角公式,正弦定理.作,在直角三角形中,;在直角三角形中,;而=;即,即,即,所以,即为的中点,所以三角形为等腰三角形,而,可得;取的中点,;代入等式得,等式两边同乘得,即,即;由正弦定理得======.三、解答题：共6题17．已知关于的不等式的解集为.(1)求实数的值；(2)解关于的不等式：为常数).【答案】(1)由题知为关于的方程的两根，即；∴.(2)不等式等价于，所以：当时解集为；当时解集为；当时解集为.【解析】本题考查一元二次不等式、分式不等式.(1)转化为方程的根,解得.(2)将分式不等式转化为一元二次不等式,即可求得.18．如图，在三棱柱中，侧棱与底面成角为，．(1)若，求证：；(2)若为的中点，问:上是否存在点，使得∥平面？若存在，求出的值，并给出证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)因为侧棱与底面成角,即;而在内,所以;而=,,所以;所以.(2)上存在点(为上的中点),即,使得∥平面.因为为的中点，为上的中点,所以为中位线,即;而内,所以∥平面,此时.【解析】本题考查线面平行与垂直.(1),所以,所以,所以.(2),∥平面,为上的中点.19．已知数列的前项和是，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求适合方程的正整数的值.【答案】(1)时，,时，,，.是以为首项，为公比的等比数列，.(2),...由解得.【解析】本题考查数列的通项与求和.(1)由的关系得.所以是等比数列，所以.(2)裂项相消得. 20．如图，中，,，点为线段上一点，过作垂直于与，作垂直于BC与.(1)若,则,求的长.(2)在(1)的结论下,若点为线段上运动，求面积的最大值.【答案】(1)因为sin∠ABC＝，所以cos∠ABC＝1－2×＝.△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，则由余弦定理可得9b2＝a2＋4－①在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得cos∠ADB＝，cos∠BDC＝.因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，所以有＝－，所以3b2－a2＝－6，②由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3.(2)令，则△ABC的面积为×2×3×＝，从而可得. 而△DEF的面积为(当且仅当时取等)即面积的最大值为.【解析】本题考查余弦定理,三角形的面积公式,基本不等式.(1)由同角三角函数的基本关系及余弦定理得BC＝3.(2)由三角形的面积公式及基本不等式得.即面积的最大值为.21．在直角梯形中，，,(如图1)．把沿翻折，使得二面角的平面角为(如图2),、分别是和中点.(1)若为线段上任意一点，求证：(2)若，求与平面所成角的正弦值.(3)、分别为线段与上一点，使得.令与和所成的角分别为和.求的取值范围. 【答案】(1)又⇒.(2)由(1)知，从而为等边三角形，从而易得答案为(3)在BN线段取点R使得.从而易得且，.另一方面，易证，从而.又,,所以,所以；又有PR//AN且RQ//BDA, 所以.从而有∴..【解析】本题考查线面垂直与平行,三角恒等变换.(1)线线垂直线面垂直线线垂直.(2)为等边三角形，得答案为；(3)证得∴.22．数列满足，，令.(1)证明：数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和；(3)数列的前项和为．求证：对任意的，．【答案】(1)，，又，数列是首项为，公比为的等比数列．(2)，．.∴S n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①2S n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1.②①－②，得—S n＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－n·2n＋1－2.∴S n＝(n-1)2n+1+2.(3)当时，则=．，对任意的，．【解析】本题考查等比数列,数列的通项与求和.(1)求得，数列是首项为，公比为的等比数列．(2),错位相减得S n＝(n-1)2n+1+2.(3)放缩法得．。

成都外国语学校2015—2016学年度下期期末考试高一数学试卷（文科）命题人：刘世华 审题人：文 军注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）2.本堂考试120分钟，满分150分.3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2 B 铅笔填涂.4.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．()()()240x f x x x+=>函数的最小值为D.2A .3B .C .4D2．{}()1181,3,n n n a a a a a +=-=-在数列中,则等于C.7A - .8B - .22C - .27D3．()5sin ABABC C∆=若外接圆的半经为，则B.5A .10B .15C .20DB21.2A a 21.2B a - 2.C a 2.D a -5．{}()()412155,cos n a a a π+=若等差数列的前项和为则A1.2A - .2B 1.2C .2D ± 6．()1cos()sin244παα-==已知,则C31.32A 31.32B - 7.8C - 7.8D7．O ABC k R ∆∈已知是所在平面内一点，若对任意，恒有A....A B C D 直角三角形钝角三角形锐角三角形不确定8．在三视图如图的多面体中,最大的一()个面的面积为C.A .B.3C .D()32x y+则的最小值是D5.3A 8.3B .16C .8D 10．P ABCD PAD ABCD -如图,在四棱锥中,侧面为正三角形,底面是边2,PAD ABCD M ⊥长为的为正方形,侧面底面为,ABCD MP MC =底面内的一个动点,且满足则点()M ABCD 在正方形内的轨迹的长度为A.A.B .C π 2.3D π11．,,,,,,,,,,,p q a b c p q p a q p b c q ≠给定正数其中若是等比数列，是等差 ()220bx ax c -+=数列,则一元二次方程B.A 有两个相等实根 .B 无实根.C 有两个同号相异实根 .D 有两个异号实根12．11111111,ABCD A B C D M N Q D C A D BC -正方体中，，，分别是棱，的 1P BD 中点,点在对角线上,给出以下命题： 1//;P BD MN APC ①当在上运动时,恒有面12,,;3BP A P M BD =②若三点共线,则112//;3BP C Q APC BD =③若,则面 0111603P AB A C ④过点且与直线和所成的角都为的直线有且只有条.()其中正确命题的个数为C.A 1 .B 2 .C 3 .D 4D 1C 1B 1A 1PQN MD C BA第Ⅱ卷 非选择题二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分） 13．0cos1402sin130sin10+=____________12-14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成,设 m m 36 m x y 每间虎笼的长为，宽为，现有长的钢筋x y =网材料,为使每间虎笼面积最大,则____3215．2,P ABCD -如图,正四棱锥的体积为底面积6,E PC PA 为为侧棱的中点,则异面直线与 ___________BE 所成的角为06016．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:2230,3;b a b c ac-+=①若则的最小值为228,24;a b ab a b ++=+②若则的最小值为()4,2a a b c bc a b c +++=++③若则的最小为2224,a b c ab bc ++=+④若则的最大值为其中正确结论的序号是________________①②④三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）,,,,,ABC A B C a b c ∆在中,角的对边分别为已知向量()(),,.m a c b n a c b a =+=--与向量互相垂直()()1;2sin sin C A B +求角求的取值范围.y y yy yx x xyx解：()()()()22210,a c a c b b a a b c ab ⇒+-+-=⇒+-=已知2221cos ,0,.223a b c C C C ab ππ+-∴==<<∴= ()22,,33C A B ππ=∴+=222sin sin sin sin sin sin cos cos sin 333A B A A A A A πππ⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭31sin cos 226A A A A A π⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ 2510,sin 1366626A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<⇒<+≤ ⎪⎝⎭ sin sin .A B ∴+⎝的取值范围是18.（12分）ABCD PQMN 如图,在四面体中,截面是平行四边形,()1://;PN BCD 求证平面()2PQMN 若截面是正方形,求异PM BD 面直线与所成的角.解：()1//,PQMN PN QM ∴证明:截面是平行四边形,,//.PN BCD QM BCD PN BCD ⊄⊂⇒又平面平面平面()()21//,PN BCD 由知平面,,//.PN ABD ABD BCD BD PN BD ⊂=∴平面平面平面()NPM PM BD ∴∠或其补角是异面直线与所成的角.045.PQMN NPM ∴∠=截面是正方形,N MQPDCBA045.PM BD ∴异面直线与所成的角是19.（12分）{}()11.1,342n n n n a S a a S n -==+≥已知数列的前项和为若.(){}1n a 求数列的通项公式;(){}2212log ,,,72n n n n n n n a bb c n N c T +++==∈令其中记数列的前项和为. 2.2n nn T ++求的值 解：()21111347,34(2),3 4.n n n n a S a S n a S -+=+==+≥∴=+()221242474,n n n n n a a n a a --+=≥⇒=⨯=⨯两式相减得:21,(1)174,(2)n n n n a n -⎧=⎪=∴=⎨⨯≥⎪⎩此式对不成立,()22212log log 42,,722n n n n n n n a b nb nc ++===∴== 231232222n nnT ∴=++++①231112122222n n n n nT +-=++++②22111111121.2222222n n n n n n T +++-=+++-=-①②得,222 2.22n n n nn n T T ++∴=-⇒+=20.（12分）,4,3,P ABCD PA ABCD AB BC -⊥==如图,在四棱锥中,平面05,90,AD DAB ABC E CD =∠=∠=是的中点.()1CD PAE ⊥证明:平面；()2PB PAE 若直线与平面所成的角和PB ABCD 直线与平面所成的角相等，P CD A --求二面角的正切值.解：()014,3,90 5.AC AB BC ABC AC ==∠==连接，由,得5,.AD E CD CD AE =∴⊥又是的中点，,,.PA ABCD CD ABCD PA CD ⊥⊂∴⊥平面平面,.PAAE A CD PAE =∴⊥而平面()2CD PAE PEA P CD A ⊥∴∠--平面；是二面角的平面角.,,,,.B BG CD AE AD F G PF //过点作分别与相交于连接 ()1.BG PAE ⊥由知，平面.BPF PB PAE BG AE ∴∠⊥为直线与平面所成的角.且PA ABCD PBA PB ABCD ⊥∠由平面知，为直线与平面所成的角. ,.PBA BPF Rt PBA Rt BPF PA BF ∠=∠∴∆≅∆⇒=由题意知090//,//.DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知,又3, 2.BCDG GD BC AG ∴==∴=是平行四边形.4,,,AB BG AF BG =⊥∴==2,55AB BF PA BG ===∴=于是CD BG CE AE ==∴===又FG44tan ..55PA PEA P CD A AE ∴∠==--即二面角的正切值是21.（12分）()2.f x ax bx c =++已知二次函数()(){}10|34f x x x x >-<<若的解集为,解关于的不等式()2230bx ax c b +-+<．()()2,2x R f x ax b ∈≥+若对任意不等式恒成立，()224a c a a c-+求的最大值. 解：(){}210|34ax bx c x x ++>-<<的解集为()0,34,34,120.b ca b a c a a a a∴<-+=--⨯=⇒=-=-< ()()2223021500bx ax c b ax ax a a ∴+-+<⇔-++<< ()221503,5.x x ⇔--<∴-，解集为()()()22220f x ax b ax b a x c b ≥+⇔+-+-≥恒成立()()2220440240a a b a ac b a a c b >⎧>⎧⎪∴⇔⎨⎨+-≤∆=---≤⎪⎩⎩()()222241404,1c a c a a b a c a a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭∴≤≤-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()21,40,010.c ct a c a b c a t a a=--≥≥∴≥>⇒≥⇒≥令()()()()222224444,0222211a c a t t t g t t a c t t t t t -===≥+++++++令 ()()4000;0222t g t g t t t==>=≤=++当时，当时， ()224 2.a c a a c-∴+的最大值为 22.（12分）()()()(),,,f x R f f f αβαβαββα∈⋅=⋅+⋅函数满足:对任意都有(){}()()22,2.n n n f a a f n N +==∈且数列满足(){}1n a 求数列的通项公式; ()()()121121.n n n n nn n n a a b b c T c c c n N n n b n ++⎛⎫=-==+++∈ ⎪⎝⎭令,,记,584n MM n N T +∈<问:是否存在正整数使得当时,不等式恒成立? ;M 若存在,求出的最小值若不存在,请说明理由.解：()()()1112,22,n n a f a f =∴==()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅11111221,1,2222n n n n n n n n na a a a a a ++++⎧⎫∴=⋅+⇒-=∴=⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为 1.2.2n nn n a n a n ∴=⇒=⋅公差为 ()()22,2221,n n n n nn n a a n b n=⋅∴=⇒=- ()()()()1111112212211144221421421n n n n n n n n n n b c b ++++++--∴====-<--- ()121211.44n n n n c c c T c c c n ∴+++<⇒=+++<1146.5845844n M M T M ∴<⇔≥⇔≥不等式恒成立 ,146.M ∴存在满足条件的正整数其最小值为。

树德中学高2022级高一下期期末考试数学试题命题人：刘豹 审题人：叶强、杨世卿、严芬一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. “复数a biz i+=(),R a b ∈为实数”是“0a =”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C ．2D ．1 6. 已知点,,N O P 在ABC 所在平面内，且3PA PB PC PN ++=，222=OA OB OC =， PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点,,N O P 依次是ABC 的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心7. 已知钝角ABC 的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2,3b c ==，则最大边a 的取值范围为（ ）A ．(1,5)B ．(1,5)C ．(13,5)D ．(13,5) 8. 已知对任意平面向量(,)AB x y =，把(,)AB x y =绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )A x y P x y θθθθ=−+，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到点P .已知平面内点(1,2)A ，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转π后得到点12,P −，则点B 的坐标为（ ）选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知ABC 的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2b ca =co s bB=，则下列说法正确的是（ ）A ．60B = B ．0||||AB CB AC AB CB ⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭为异面直线，且m l ⊥，m βγ=，则l β⊥；l αβ=，m βγ=，n α=，正弦最初的定义（称为古典正弦定义）为：在如图所示的单位圆中，当圆心角的范围为(0,π)时，其所对的“古典正弦上信息，当圆心角π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，的“古典正弦 B ．23 12. 在棱长为4的正方体1111中，,,,,E F G R S 分别是1111111,,,,BD B D C A B B C A的中点，点H 是线段1C G 上靠近G 的三等分点，点I 是线段CF 上靠近F 的三等分点， P 为底面1111A B C D 上的动点，且DP ∥面ACE ，则（ ） A ．RI CH ∥B ．三棱锥H ABC −的外接球的球心到面ABC 的距离为413. 在正三棱柱ABC A B C '''−中，D 为棱AC 的中点，2AB BB '==，则异面直线BD 与B C ''所成角的大小为 .14. 已知两个粒子,A B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(1,0),(1,3)AB S S ==， 则A S 在B S 上的投影向量为 .15. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的中点．若31,4AP AD AB ===，当四棱锥P ABCD −的体积取到最大值时，点E 到平.在ABC 中，若12||||ABACAB AC ⋅=−，BD DC =，BAC ∠22，则ABC 外接圆的直径为 .四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分） 已知(0,0)O ，(1,2)A ，(4,5)B ，()OP OA t AB t R =+∈． （I ）t 为何值时，点P 在y 轴上？（II ）若OP 与AB 的夹角是钝角，求t 的取值范围.+，其中321⨯⨯⨯⨯计算工具计算足够多的项就可以确保显示值运用上述思想，计算52.510,−⨯19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面ADE 平面PBC l =.（I ）证明：l BC ∥；（II ）若l 到平面PAD 的距离为1，求AF 与平面PBC 所成角的最小值.20. （本小题满分12分）已知ABC 的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且8,5b c ==. 2 ⎪⎝⎭2220402AC AB BC +−；0cos sin A A ．如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．21. （本小题满分12分）已知ABC 的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，点O 是ABC 所在平面内的一点. (I) 若点O 是ABC 的重心，且0OA OB ⋅=，求cos C 的最小值；(II) 若点O 是ABC 的外心， (,)R BO BA BC λμλμ=+∈，且4,6a c ==，21()sin ()2R m B m λμ+−∈有最小值，求m 的取值范围.将,BEC AED 折起，使得的三等分点.所成角的大小;所成锐二面角的正切值树德中学高2022级高一下期期末考试数学试题参考答案及评分意见一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. C ；4. B ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D.1. 来源：改编自人教A 新教材必修第二册P94-97页复习巩固第1题和综合应用第8题.2. 来源：改编自人教A 新教材必修第二册P119页练习第3题.3. 来源：创编自人教A 新教材必修第二册P5页拓广探索第4题、P61页综合应用第13题和数学史料.4. 来源：改编自人教A 新教材必修第一册P238页例2，教师用书章末检测题.5. 来源：创编自人教A 新教材必修第二册P158页例8、P158页第3题和数学史料.6. 来源：创编自人教A 新教材必修第二册P52页复习巩固第2题.7. 来源：创编自人教A 新教材必修第二册教师用书P89页复习巩固第12题.8. 来源：创编自人教A 新教材必修第二册P53页综合应用第11题、P90页综合应用第8题. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9． ABD ； 10. BD ； 11. BC; 12. ACD.9. 来源：创编自人教A 新教材必修第二册P52页复习巩固第1题.10. 来源：整合自人教A 新教材必修第二册P155练习第1题，P145拓广探索第14题，P163-164页复习巩固第10题，综合应用第17题和拓广探索第26题. 11. 来源：改编自数学史.12. 来源：创编自对教材例习题的整合、理解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. π6; 14. 1(4;15. 310; 16.13. 来源：改编自人教A 新教材必修第二册P148页练习第3题. 14. 来源：创编自人教A 新教材必修第二册P24页拓广探索第21题.15. 来源：创编自人教A 新教材必修第二册P152页练习第2题、P144页综合应用第10题. 16. 来源：创编自2023全国甲卷第16题. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）解：由题可知(1,2)OA =，()()()4,51,23,3AB =−=所以()()()1,23,331,32OP OA t AB t t t =+=+=++, (31,32)P t t ∴++，点P 在y 轴上，则310t +=，即13t =−. ------5分（2）因为3(31)3(32)t t +≠+，所以，OP 与AB 不共线. （没写扣1分）又OP 与AB 的夹角是钝角，所以只需0OP AB ⋅<，即3(31)3(32)0t t +++<，所以12t <−. ------10分来源：创编自人教A 新教材必修第二册P37页综合应用第12题.10!+112=−++ 0.54028+≈0.0806.页综合应用第26题. 19. （本小题满分12分）（I ）证：因为BC AD ∥， BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ， 所以BC ∥平面ADE .------2分 又BC ⊂平面PBC ，平面ADE 平面PBC l =，所以BC l ∥. ------5分 （II ）因为BC l ∥，BC AD ∥，所以l AD ∥，所以l ∥平面PAD又l 到平面PAD 的距离为1，所以点B 到平面PAD 的距离为2.------6分 因为PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥底面ABCD ， 又平面PAD 底面ABCD AD =，所以点B 到平面PAD的距离等于点B 到AD 的距离，都为2. 又2AB =，所以BC AB⊥.又因为BC PA ⊥，AB PA A =，所以BC ⊥平面PAB . ------9分 所以BC AE ⊥.又2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥.又PB BC B =，PB ⊂平面PBC，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC .所以AFE ∠即为所求.又tan AE AFE EF EF∠==26EF . 所以当EF =时，tan AFE ∠. 所以AF 与平面PEC 所成角的最小值为6π.------12分来源：创编自人教A 新教材必修第二册P164页拓广探索第20题，2023全国甲卷第18题. 20. （本小题满分12分）解：（I ）由cossin 0a C C b c +−−=及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C −−=. ------2分因为()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=−−=+=+，sin cos sin sin 0A CA C C −−=. ------4分由于sin0C >，cos 10A A −−=，所以1sin 62A π⎛⎫−= ⎪⎝⎭.又0A π<<，故3A π=. ------6分（I ）2()cos 212f A A A π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭cos 2)sin 21A A −−−12sin 2A A =−12sin 23A π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭． ------8分选择条件①： 因为2220402AC AB BC+−，所以0202AC AB ⋅，即cos 40cos AC AB bc A A ⋅==，所以20cos 2A ，即ππ42A ． ------10分 所以542633A πππ+，即1sin 2232A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故()[0,1f A ∈． ------12分 选择条件②：因为0cos sin A A ，所以ππ42A ， ------10分 所以542633A πππ+，即1sin 232A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故()[0,1f A ∈． ------12分来源：创编自人教A 新教材必修第二册P54页拓广探索第22题. 21. （本小题满分12分）解：（I ）延长,,AO BO CO 分别交边,,BC AC AB 于点,,D E F ，依题意有1122FO AB c ==，32CO c =.在CAF 和CAB 中，由余弦定理有 cos cos CAF=CAB ∠∠， 即222222322222c c b b c a c bc b ⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭=⋅，化简有2225a b c +=， ------3分22222222244245cos =2252525a b a b a b c a b ab C ab ab abab ++−+−+===⋅⋅， 当且仅当a b =时，等号成立，所以cos C 的最小值为45.（其它方法同样给分） ------6分 （II ）由题意可知：183624cos 824cos 16BO BA BBO BC B λμλμ⎧⋅==+⎪⎨⋅==+⎪⎩，解得2232cos 6sin 23cos 4sin B B B B λμ−⎧=⎪⎪⎨−⎪=⎪⎩------9分则221(32cos )23cos sin ()sin 2642m B B B m B λμ−−+−=+−26cos (49)cos 612B m B m−++=令cos t B =，(1,1)t ∈−原式=26(49)6t m t m −++有最小值，所以49(1,1)12m t +=∈−. 解得213(,)44m ∈−. ------12分 来源：创编自人教A 新教材必修第二册P52页复习巩固第12题、P24页拓广探索第24题.,PC PE PD ⊥PC PD P =，GC ⊂面PCD 在PCD 中，由余弦定理可得，在PCG 中，PG 所以22PG CG +PE PD P =，ED ⊂面PED CG 与ED 所成角的大小为II ）因为DF ∥EC <，所以延长 平面PED ，过点3在PDH 中，由余弦定理可得，设点D 到PH 在PDH 中，运用等面积法则有所以13GQ =Rt CGQ 中，所以平面PED （若直接用射影面积公式：创编自人教。

一、选择题1．(0分)[ID ：12722]ABC 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形2．(0分)[ID ：12693](2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛3．(0分)[ID ：12688]若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(0分)[ID ：12683]为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x （cm ）174176176176178儿子身高y （cm ）175175176177177则y 对x 的线性回归方程为 A ．y = x-1B ．y = x+1C ．y =88+12x D ．y = 1765．(0分)[ID ：12679]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 6．(0分)[ID ：12678]当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）7．(0分)[ID ：12668]已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．58-B ．58C ．78-D ．788．(0分)[ID ：12665]设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称9．(0分)[ID ：12651]在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( ) A ．M 一定在直线AC 上 B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 10．(0分)[ID ：12649]若tan()24πα+=，则sin cos sin cos αααα-=+（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12-11．(0分)[ID ：12647]与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=12．(0分)[ID ：12646]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．413．(0分)[ID ：12638]在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B =B ．6b =，c =，45B =C ．10a =，15b =，120A =D ．6b =，c =60C =14．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ） A ．68B ．67C ．61D ．6015．(0分)[ID ：12652]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或11二、填空题16．(0分)[ID ：12822]已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________17．(0分)[ID ：12791]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.18．(0分)[ID ：12783]函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.19．(0分)[ID ：12762]若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．20．(0分)[ID ：12745]设f(x)={1−√x,x ≥0x 2,x <0，则f(f(−2))=________21．(0分)[ID ：12740]从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______22．(0分)[ID ：12765]设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______. 23．(0分)[ID ：12810]若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ．24．(0分)[ID ：12799]底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2.25．(0分)[ID ：12749]若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a b ⨯”为向量的“外积”，其长度为sin a b a b θ⨯=.若已知1a =，5b =，4a b ⋅=-，则a b ⨯= . 三、解答题26．(0分)[ID ：12920]某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.分数段[)90,100[)100,110[)110,120:x y6:51:21:127．(0分)[ID ：12898]已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若1cos cos sin sin 2B C B C -=． （1）求角A 的大小；（2）若23,4a b c =+=，求ABC ∆的面积．28．(0分)[ID ：12884]已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．29．(0分)[ID ：12865]已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．30．(0分)[ID ：12837]已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --，()4,2B ，()13C ，．（1）求边AB 上的高所在直线的一般式方程； （2）求边AB 上的中线所在直线的一般式方程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．B 3．B 4．C 5．C 6．C 7．C 8．D 9．A 10．D 11．C 12．B 13．D 14．B 15．A二、填空题16．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基本不等式求出它的最小值根据不等式恒成立求出m的范围【详解】由题意知两个正数xy满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查17．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等18．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；19．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值20．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-21．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答22．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦23．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线24．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为25．3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形.故选：B .2．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式3．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 4．C解析：C 【解析】【详解】试题分析：由已知可得176,176x y ==∴中心点为()176,176， 代入回归方程验证可知，只有方程y =88+12x 成立，故选C 5．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列6．C解析：C 【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则2040k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 7．C解析：C 【解析】 由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择C 选项.8．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2)2)22442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.9．A【解析】如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ADC ， 故M∈平面ABC ，M∈平面ADC ， 所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC. 选A. 点睛：证明点在线上常用方法先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．10．D解析：D 【解析】 由tan()24πα+=有tan 112,tan 1tan 3ααα+==-，所以11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα---===-+++，选D.点睛：本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题。