domR {x (y)( x, y R)}
使 x, y R 的所有y组成的集合ranR称做R 的值域，即 ranR { y (x)使 x, y R)}
R的定义域和值域一起称做R的域，记做FLDR，
即 FLDR domR ranR
例1：设X {1,2,3,4}, 求X上的关 系 及dom , ran 。
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积的定义与性质 二元关系、从A到B的关系、A上的关系 关系的表示法：关系表达式、关系矩阵、关系图 关系的运算：定义域、值域、域、逆、合成、限制、像、
幂 关系运算的性质 A上关系的自反、反自反、对称、反对称、传递的性质 A上关系的自反、对称、传递闭包 A上的等价关系、等价类、商集与A的划分 A上的偏序关系与偏序集
利用矩阵求合成
因为关系可用矩阵表示，故复合关系亦可用矩阵表示。
已知从集合 X {x1, x2 ,, xn } 到集合
Y {y1 , y2 ,, yn } 有关系R, 则 MR [uij ]
表示R的关系矩阵，
其中
1 uij 0
当 xi , yj R 当 xi , yj R
(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
笛卡儿积的性质 （1）不适合交换律 AB BA (AB, A, B) （2）不适合结合律
(AB)C A(BC) (A, B, C) （3）对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) （4）若A或B中有一个为空集，则AB就是空集. A = B = （5）若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
一、二元关系的定义 1．定义：如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 2．例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a,b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c等.
给定A的划分，求出所对应的等价关系
求偏序集中的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、 上确界、下确界 • 掌握基本的证明方法
证明涉及关系运算的集合等式 证明关系的性质、证明关系是等价关系或偏序关系
7.1 有序对与笛卡儿积
一、有序对 1．定义 由两个元素x和y，按照一定的顺序组成的二元组称为
有序对，记作<x,y>. 2．有序对性质 （1）有序性 <x,y><y,x> （当xy时） （2）<x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是 <x,y>=<u,v> x=uy=v.
二、从A到B的关系与A上的关系 1．定义： 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系. 例 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么 R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>} R1, R2, R3, R4是从A到B的二元关系, R3和R4同时也是A上的二元关系. 2. 计数 |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 所以A上有个不同的二元关系. 例如|A|=3, 则A上有=512个不同的二元关系.
要求：
•熟练掌握关系的三种表示法 能够判定关系的性质（等价关系或偏序关系） 掌握含有关系运算的集合等式 掌握等价关系、等价类、商集、划分、哈斯图、偏序集等概念 •基本运算 AB, dom R, ranR, fldR, R1, RS , Rn , r( R), s( R), t( R) 求等价类和商集A/R
4．关系的表示 表示一个关系的方式有三种：关系的集合表达式、关系矩阵、关系 图.
关系矩阵 若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R是从A到B的关系， R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中rij = 1 < xi, yj> R.
关系图 若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系， R的关系图是GR=<A, R>,其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于关系R，在图中就有一条从xi到xj的有向边. 注意： 关系矩阵适合表示从A到B的关系或者A上的关系（A,B为有穷集） 关系图适合表示有穷集A上的关系
的。这样，当我们扫描 M R 的第i行和第M S 的第k列时，
如若发现至少有一个这样的j,使得此行第j个位置上的
记入值和第k列的第j个位置上的记入值都是1时，
则在
的第i行和第k列（i,k）上的记入
值亦是M1；R否0S 则为0。扫描过 的每一行和Ms的每
一列，就能给出
的一行M，R 再继续类似的方法
就能得到
定义：设R为X到Y的二元关系，如将R中每一序偶的元
素顺序互换，所得到的集合称为R的逆关系。记作 ，
即 RC
RC { y, x | x, y R}
从逆关系的定义，我们容易看出 (Rc )c R
这是因为 x, y R y, x Rc x, y (Rc )c .
（2）例 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0
MR
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1 0 0
7.3 关系的运算
一、关系的基本运算
定义：令R为二元关系，由 x, y R 的所有x组成的
集合称为R的定义域，即
同理从集合Y {y1, y2 ,, yn } 到集合 Z {z1 , z2 ,, zp }
的关系S,可用矩阵 MS [v jk ] 表示，
其中
1 v jk 0
当 yj, zk R 当 yj, zk R
(j 1,2,, n; k 1,2,, p)
表示复合关系 R S 的矩阵 MRS 可构造如下：
S 〈{ 4，1〉}
~ H 〈{ 1，2〉〈, 2，1〉〈, 2，3〉〈, 3，2〉〈, 3，4〉〈, 4，3〉〈, 1，4〉〈, 4，1〉}
S H 〈{ 4，1〉}
二．逆与合成 定义 R1 = {<y,x> | <x,y>R} 定义 RS = |<x,z> | y (<x,y>R<y,z>S) } 例 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>} S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>} R1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>} RS ={<1,3>, <2,2>, <2,3>} SR ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3 ，3>}
• 由关系的定义可知，
domR X, ranR Y, FLDR X Y
例: 设X {1,2,3,4},若H 〈{ x, y〉x y 是整数}， 2
S 〈{ x, y〉x y 是正整数}，求H S, H S, 3
~ H , S H。
H 〈{ 1，1〉〈, 1，3〉〈, 2，2〉〈, 2，4〉〈, 3，3〉〈, 3，1〉〈, 4，4〉〈, 4，2〉}
3. A上的重要关系 定义：设A为任意集合 是A上的关系，称为空关系 EA, IA分别称为全域关系与恒等关系 EA = {<x,y>| x∈A∧y∈A} = A×A IA = {<x,x>| x∈A} 例如, A={1,2}, 则
EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
IA = {<1,1>,<2,2>}
证明 A(BC) = (AB)(AC) 证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
M RS 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 = 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 M SR 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
的M其R0他S 各行，因此
就可以用类M似R于0S矩阵乘法的方法得到，M R0S
即
M R0S M R M S [wik ]
其中，w ik
j 1
( uij
v jk )
n
式中∨代表逻辑加，满足0∨0=0，0∨1=1，1∨0=1， 1∨1=1。∧代表逻辑乘，满足0∧0=0，0∧1=0， 1∧0=0，1∧1=1。
如果Y至少有一个这样的元素 y j ,使得 xi , y j R
