数列专题训练包括通项公式求法和前n项和求法 的方法和习题

数列：通项公式的求法一 、公式法(定义法)：适用于等差或等比数列等差数列的通项公式： 1(1)n a a n d =+-；等比数列的通项公式： 11n n a a q -= 等差数列的定义： 1n n a a d --=；变式：112n n n a a a +-=+，1n n a a d -=+； 等比数列的定义：1n n a q a -=；变式：211n n n a a a +-=，1n n a qa -=； 二 、利用n S 求n a （知n S 求n a ）⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a )2()1(≥=n n ； 利用n S 求n a 一般为三步：（1）当n=1时利用S 1＝a 1求出a 1 （2）当2n ≥时，利用1n n n S S a --=求出n a ； （3）检验a 1的值合不合由第二步求出的n a 的表达式； 例一：数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S n ＝2a n －1， ((1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n解：（1）当n=1时，有S 1＝2a 1－1即a 1＝2a 1－1求得a 1=1；（2）当2n ≥时，S n ＝2a n －1① S n-1＝2a n-1－1②； ①—②有a n ＝2a n —2a n-1 得1122n n n n a a a a --=⇒=，所以{a n }为一以2为公比1为首项的等比数列，所以11122n n n a --=⨯= （3）经检验，11a =也合12n n a -=，所以数列{a n }的通项公式为12n n a -=。

练习1、数列{a n }的各项为正数， 11a =且有2211230n n n n a a a a ++--=，则{a n }的通项公式是__________．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n ＋n ，则数列的通项公式a n ＝________.3、各项都为正数的数列{a n }中，有11a =且331log 3log n n a a --=，则通项公式a n ＝________.4、数列{a n }中，11a =，且当1n >时有13n n a a -=，求数列的通项公式a n ________.5、数列{a n }中，11a =且点1(,)n n a a +在直线2y x =-上，通{a n }的通项公式为________.6、数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若2S n ＝3a n —3，(1)求1a 的值(2)求数列的通项公式a n三、形如sra pa a n n n +=--11型（取倒数法）例3. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1211≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a解：取倒数：⇔+=-2111n n a a 2111=--n n a a 1113(1)222n n n a a ∴=+-⋅=- 2.43n a n ∴=- 练习1。

数列专题2 求数列的通项公式一．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. S n /n=d/2 *n+a 1-d/2,故数列｛S n /n ｝是等差数列。

a n =An+B,S N =An 2+Bn, 数列为等差数列2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 二.等比数列的性质：（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =g g ，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a =g .如 （1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；(2) 当1q ≠时，a -1111n n n aq qaq q a S =-+--=，这里0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。

如若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）S n =aq n -a 数列为等比数列。

三、数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

如已知数列Λ,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________（答：11212n n a n +=++） ⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=L ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

数列的通项公式的求法一、观察法（即猜想法，不完全归纳法）观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系例1：根据数列的前4，写出它的一个通项公式：9,99,999,9999，......二、公式法若已知数列的前n 项和与项数n 的关系，求数列的通项公式可用公式法求解。

)1()2(111==≥-=-n S a n S S a n n n例2：}{n a 的前n 项和n S ，求}{n a 的通项公式。

三、由递推公式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊的数列。

1.迭加法已知递推关系)(),(*1N n n f a a n n ∈=-+例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.迭乘法 已知递推关系是)(),(*1N n n f a a nn ∈=+ 例4：已知数列}{n a 中，n n a nn a a 1,211+==+，求}{n a 的通项公式。

变式：已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

3、待定系数法例5 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

变式： 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

4、数学归纳法例6已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =，得 2122322243228(11)88224(211)(213)9925258(21)248348(221)(223)252549498(31)488480(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯ 由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。

专题一：数列通项公式的求法 一．观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,52,21,32,1一、 公式法公式法1：特殊数列公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n例2：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式12-+=n n S n ，求}{n a 的通项公式.例3：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．三、 累加法 【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得。

例： 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a例4：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.四、累乘法 【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例5：在数列｛n a ｝中，1a =1, n n a n a n ⋅=⋅++1)1( ，求n a 的表达式.五、构造特殊数列法 【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例6：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a .六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例7：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①-②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ，求数列{n a }的通项公式。

数列专题1、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).2、等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；3、等差数列其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 4、等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 5、等比数列前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.常用数列不等式证明中的裂项形式:（1）(1111n n =-+n(n+1)1111()1k n k =-+n(n+k); (2) 211111()1211k k k <=---+2k (3)211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++-- (4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦; (5)()()111!!1!n n n n =-++(6)=<<=1(1)n n >+)一.数列的通项公式的求法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=L ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

欧阳引擎创编 2021.01.01求数列的通项公式：欧阳引擎（2021.01.01）一．公式法：1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，求数列的通项公式。

二．累加法：适用于：1()n n a a f n +=+2. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。

练习：已知数列{}n a 满足1121n n n a a a +=+=，，求数列{}n a 的通项公式。

三.累乘法：适用于：1()n n a f n a +=3．在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*N n ∈），求通项n a 。

练习：在数列{}n a 中，11=a ，11n n na a n +=+（*N n ∈），求通项n a 。

四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 4.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (31∈+=+n a a a n nn 求.n a 练习：已知数列{}n a 满足112,12nn n a a a a +==+，求数列{}n a 的通项公式。

五、待定系数法适用于1()n n a qa f n +=+5.已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

练习：已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+⋅=，，求数列{}n a 的通项公式。

六、n n s a 与之间的关系欧阳引擎创编 2021.01.01 6. 设数列{}n a 的前n 项和n S =332n a -，求n a 。

练习：设数列{}n a 的前n 项和n S =2n n 2++，求n a 。

求数列的前n 项和： 一、公式法1．求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.二、分组法求和2．求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。

数列通项公式和前n项和求解方法(全)数列通项公式的求法详解n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 答案：（1）110-=nna （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n（4）1)1(1+⋅-=+n na n n .公式法1：特殊数列例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。

答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1例3. 等差数列{}na 是递减数列，且432a a a⋅⋅=48，432a a a++=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122-=n an(B) 42+=n an(C) 122+-=n an(D)102+-=n a n 答案：(D)例4. 已知等比数列{}na 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}nb 的通项为21+++=n n na a b，求数列{}nb 的通项公式.简析：由题意，321++++=n n n a a b，又{}na 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}nb 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q bn n n.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比. 公式法2： 知ns 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s an n n.例5：已知下列两数列}{na 的前n 项和s n 的公式，求}{na 的通项公式.（1）13-+=n n Sn. （2）12-=n sn答案：（1）na =3232+-n n，（2）⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n an点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一.【型如)(1n f a a nn +=+的地退关系递推关系】 简析：已知a a =1,)(1n f a a nn =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. 答案：)(52N n n a n∈+=例 6. 若在数列{}na 中，31=a，nn n a a21+=+，求通项na .答案：na =12+n例7.已知数列}{na 满足31=a，)2()1(11≥-+=-n n n a an n，求此数列的通项公式. 答案：nan12-=【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：qaa nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，na =11-⋅n q a.（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式. 例9： 已知数列{}na 中，311=a ，前n 项和n S 与na 的关系是 nn a n n S )12(-= ，试求通项公式na . .答案：.)12(12(1-+=n n a n 思考题1：已知1,111->-+=+a n na an n ,求数列{a n }的通项公式.分析：原式化为 ),1(11+=++nn a n a 若令1+=n na b,则问题进一步转化为nn nb b =+1形式，累积得解.构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca an n ,其中aa=1)型】 （1）若c=1时，数列{na }为等差数列; （2）若d=0时，数列{na }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{na }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a,得λ)1(1-+=+c ca an n ,与题设,1d ca an n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d an n,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d an 构成以11-+c d a为首项，以c 为公比的等比数列.例10：已知数}{na 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a求通项na .答案：12-=n na构造2：相邻项的差为特殊数列 例11：在数列{}na 中，11=a，22=a，n n n a a a313212+=++，求na .提示：变为)(31112n n n n a a a a--=-+++.构造3：倒数为特殊数列【形如sra pa a n n n+=--11】例12： 已知数列｛na ｝中11=a且11+=+n n n a a a（N n ∈），，求数列的通项公式. 答案 nb a n n11==例13：设数列}{nc 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解析：设1)1(-+-+=n nbq d n a c建立方程组，解得. 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{na 为等差数列：则cbn an+=，cnbn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{na 为等比数列，则1-=n nAq a，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq sn n.例14：（1）数列{na }满足01=a,且)1(2121-=++++-n a a a an n ,求数列{a n }的通项公式. 解析：由题得)1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时，)2(2121-=+++-n a a a n ②由①、②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n an.（2）数列{na }满足11=a,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式（3）已知数列}{na 中，,2121,211+==+n n a a a求通项na .八、【讨论法-了解】（1）若da an n =++1（d 为常数），则数列{na }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.（2）形如)(1n f a an n =⋅+型①若pa an n =⋅+1(p 为常数)，则数列{na }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a an n，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例15： 数列{na }满足01=a,21=++n n a a,求数列{a n }的通项公式.专题二：数列求和方法详解（六种方法）1、等差数列求和公式：d n n na a a n n 2)1(2)(123-+==+=-2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n n n[例1] 已知3log 1log23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和.答案xx x s n n --=1)1([例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值. 答案n ＝8时，501)(max =n f方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n nx n x x x S ………………………①(1≠x )解析：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积：设nnx n x x x x xS)12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②①－②得 nn nx n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--.∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+.试一试1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.答案： 1224-+-=n nn S方法简介：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1na a +，然后再除以2得解.[例4] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 .答案S ＝44.5方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组；[例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a aa n ，…答案2)13(11nn a a a s n n -+--=-.试一试 1 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.简析：由于与nkk k a =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(91999991111111 个个、分别求和.方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）)()1(n f n f an-+= ；（2）11++=n n a n =nn -+1；（3）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；4）111)1(1+-=+=n n n n a n （5）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n .[例6] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,21,,421,311n n 的前n 项和.[例7] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n，又12+⋅=n n na a b，求数列{b n }的前n 项的和.试一试1：已知数列{a n }：)3)(1(8++=n n a n，求前n 项和. 试一试2：1003211321121111+++++++++++ ..方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+cos179°的值.答案 0[例9] 数列{a n }：nn n a a a a a a-====++12321,2,3,1，求S 2002.（周期数列）[例10] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。

高中数学-数列求通项公式方法汇总及经典练习（含答案）1、定义法：直接求首项和公差或公比。

2、公式法：1 (1) (2)n n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩两种用途（列举），结果要验证能否写成统一的式子．例、数列{}n a 的各项都为正数，且满足()()2*14nna S n N +=∈，求数列的通项公式．解一：由()()2*14nna S n N +=∈得()()()221114411n n n n n aS S a a +++=-=---化简得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为10,2n n n a a a +>∴-=，又()2111441S a a ==-得11a =，故{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以21n a n =-．解二：由()()2*14nn a S n N +=∈，可得()11,12n n n a S S n -=-∴=--≥化简可得)211n S -=，即1=，又11S =，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴n =，从而2n S n =，所以121n n n a S S n -=-=-，又11a =也适合，故21n a n =-．练习：已知数列{a n }的前n 项和S n 满足120n n n a S S -+=（2n ≥），a 1=21，求n a ． 答案：a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=)2()1(21)1(21n n n n ．扩展一：作差法例、在数列}{n a 中，11a =，212323(1)n a a a na n n ++++=-+，求n a ．解：由212323(1)n a a a na n n ++++=-+，得2123123(1)(2)1n a a a n a n n -++++-=-+-，两式相减，得66n na n =-+，∴ 1 (=1)66 (2)n n a n n n⎧⎪=-⎨≥⎪⎩．练习（理）：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求n a ．解：由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，得1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+，两式相减，得1n n n a a na +-=，即11(2)n na n n a +=+≥，所以13222122![(1)43]2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=又由已知，得2122a a a =+，则211a a ==，代入上式，得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=， 所以，{}n a 的通项公式为 1 (1)! (2)2n n a n n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩．扩展二、作商法例、在数列}{n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ••••=，求n a ．解：∵2123n a a a a n ••••=，∴21232(1)n a a a a n -••••=-，故当2n ≥时，两式相除，得22(1)n n a n =-， ∴221 (=1) (2)(1)n n a n n n ⎧⎪=⎨≥⎪-⎩．3、 叠加法：对于型如)(1n f a a n n =-+类的通项公式．例、在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .答案：na n 14-=. 例、已知数列{}n a 满足112231n n n n a a ++=++-（*n N ∈），352a =，求通项n a .解：由112231n nn n aa ++=++-，两边同除以12n +，得()111131112222n n n n n n n a a n ++++-=-+≥，列出相加得121212121332323212212121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=---n a a n n n n又由已知求得16a =，∴()*231n n n n N a n ∈=•++．练习：已知数列}a {n 满足3a 132a a 1nn 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．答案：1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅=．4、叠乘法：一般地，对于型如1+n a =f (n)·n a 的类型例（理）、已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式．解：因为112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅121[2(11)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-++⨯⨯(1)1(1)(2)21122[(1)32]53325!n n n n n n n n n ---+-+++-=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!n n n n a n --=⨯⨯⨯．练习：在数列{a n }中，112a =，11(1n n n a a a n --=⋅+≥2），求n a ． 答案：）1(1+=n n a n ． 5、构造法：型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0， p ≠1)的数列(1)f(n)= q (q 为常数) 一般地，递推关系式a +1=pa n +q (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)等价与)1(11pqa p p q a n n --=--+，则{p q a n --1}为等比数列，从而可求n a ．例、已知数列{}n a 满足112a =，132n n a a --=（2n ≥），求通项n a ． 解：由132n n a a --=，得111(1)2n n a a --=--，又11210a -=≠，所以数列{1}n a -是首项为12，公比为12-的等比数列，∴11111(1)()1()22n nn a a -=---=+-． 练习：已知数列}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a ，求通项n a ． 答案：12-=n na ．(2) f(n)为等比数列，如f(n)= q n (q 为常数) ，两边同除以q n ，得111+=++nn n n qa p q a q ，令nn n a b q =，则可转化为b n+1=pb n +q 的形式求解．例、已知数列{a n }中，a 1=65，1111()32n n n a a ++=+，求通项n a ． 解：由条件，得2 n+1a n+1=32(2 n a n )+1，令b n =2 n a n ，则b n+1=32b n +1，b n+1-3=32（b n -3） 易得 b n =3)32(341+--n ，即2 n a n =3)32(341+--n ， ∴ a n =n n 2332+-． 练习、已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求通项n a ．答案：31()222nn a n =-．(3) f(n)为等差数列，如1n n a Aa Bn C +=++型递推式，可构造等比数列．（选学，注重记忆方法）例、已知数列{}n a 满足11=a ，11212n n a a n -=+-（2n ≥），求．解：令n n b a An B =++，则n n a b An B =--，∴11(1)n n a b A n B --=---，代入已知条件， 得11[(1)]212n n b An B b A n B n ---=---+-，即11111(2)(1)2222n n b b A n A B -=++++-，令202A +=，1022A B +-=，解得A=－4，B=6，所以112n n b b -=，且46n n b a n =-+， ∴{}n b 是以3为首项、以12为公比的等比数列，故132n n b -=，故13462n n a n -=+-． 点拨：通过引入一些尚待确定的系数，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 练习：在数列{}a n 中，132a =，1263n n a a n --=-，求通项a n ． 答案：a n nn -+=69912·()．解：由1263n n a a n --=-，得111(63)22n n a a n -=+-，令11[(1)]2n n a An B a A n B -++=+-+，比较系数可得：A=－6，B=9，令n n b a An B =++，则有112n n b b -=，又1192b a A B ==++，∴{}n b 是首项为92，公比为12的等比数列，所以b n n =-92121()，故a n n n-+=69912·()． (4) f(n)为非等差数列，非等比数列法一、构造等差数列法例、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>，求数列{}n a 的通项公式．解：由条件可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴数列2n n n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为0，公差为1的等差数列，故21nnn a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(1)2n n n a n λ=-+． 练习：在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项a n 。

六、求数列通项公式专题1．公式法等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，()n m a a n m d =+-． 等比数列通项公式：11n n a a q -=，n m n m a a q -=．2．已知n S 与n a 的关系求通项已知n S 求n a 公式：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．3．累加法适用形式：1()n n a a f n +=+．变为1()n n a a f n +-=，下标依次递减1写出等式，直至写到21(1)a a f -=，最后把1n -个等式相加即可得到结果．4．累乘法适用形式：1()n n a a f n +=．变为1()n n a f n a +=，下标依次递减1写出等式，直至写到21(1)af a =，最后把1n -个等式相乘即可得到结果．5．构造法（1）形如1n n a qa p +=+，用待定系数法构造等比数列．即令1()n n a x q a x ++=+，则1(1)n n a qa q x +=+-，与1n n a qa p +=+对比可知1p x q =-，故数列{}1n pa q +-是公比为q 的等比数列．形如1()n n a qa f n +=+，用待定系数法构造等比数列，令1(1)()n n a A n B q a An B ++++=++，利用系数相等求出A 和B ．（2）形如11n n n a pa qp ++=+，采用两边同除法构造等差数列．两边同除以1n p +得到11n n n n a a q p p ++=+，故数列{}nna p 是公差为q 的等差数列．两边取倒数得11n n nqa p a pa ++=，即1n n a a p +=+，故{}n a 是公差为qp的等差数列．（4）含有n a ，1n a +的二次三项式，通过因式分解转化为常见数列求解．（5）形如21n n n a pa qa ++=+，用待定系数法转化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++，化简对比求出λ，则1{}n n a a λ++是公比为p λ+的等比数列，再根据情况求出n a ．（6）形如1rn n a pa +=，采用两边取对数法，变形为1lg lg lg n n a r a p +=+，再用待定系数法（7）换元法：适用于含有根式的递推关系式，把根式整体代换为一个简单数列来表示．6．数学归纳法根据数列前几项的值猜想数列的通项公式，首先带入第一项验证成立，然后假设第k项成项也成立，便可证明猜想的公式就是数列的通项公式．立，最后证明第练习题：答案解析：则当1n k =+时1228(1)(21)(23)k k k a a k k ++=+++2222(21)18(1)(21)(21)(23)k k k k k +-+=++++ 22222(21)(23)(23)8(1)(21)(23)k k k k k k ++-+++=++ 22(23)1(23)k k +-=+ 22[2(1)1]1[2(1)1]k k ++-=++ 由此可知，当1n k =+等式也成立故22(21)1(21)n n a n +-=+．数学浪子整理制作，侵权必究。

数列求通项与求前n 项和公式高中数学解题方法一、单选题1．在等比数列{}n a 中，1310a a +=，57160a a +=，则1a =（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．已知等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式{}n a 为（ ） A ．62n a n =+B ．42n a n =+C ．62n a n =-D ．42n a n =-3．已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，点()(),*n P n S n N ∈在函数2y x x =+的图象上，则n a 等于（ ） A ．2nB ．21nC ．2n n +D ．23n +4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4n n S c =-(c 为常数)，则1a c +=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．数列{}n a 中，11a =，12n n a a n +=+，则n a =（ ） A ．2n n 1-+B ．21n +C ．2(1)1n -+D ．2n6．已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知数列{}n a 的通项公式为23nn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 中的最大项为（ ）A ．89B ．23C ．6481D ．1252438．已知数列{}n a 满足121n n n a a a +=+，11a =，数列{}n b 满足11b =，11(2)n n nb b n a --=，则8b =（ ） A ．64B ．81C ．80D ．829．已知数列{}n a 满足113a =，12321n n n a a n --=+(2n ≥，*n ∈N )，则数列{}n a 的通项n a =（ ） A ．2141n - B ．2121n +C ．()()12123n n -+D ．()()113n n ++10．在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，n ∈+N ，则n a =（ ） A ．21n a n =+ B ．21n na n =+ C ．12n n a n+=D ．221n n a n +=+ 11．若2(23n a n tn t =++为常数）*n N ∈，且数列{}n a 为单调递增数列，则实数t 的取值范围为（ ） A ．2t <-B ．2t >-C ．6t <-D ．6t >-12．数列{}n a 通项公式为：2202122021n n a n +=--，则{}n a 中的最大项为（ ）A ．第1项B ．第1010项C ．第1011项D ．第1012项13．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －16，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，n 的值为( ) A ．3B ．4C ．5D ．614．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．1615．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a Y n-+++=为数列{}n a 的“美值”，现在已知某数列{}n a 的“美值”12n n Y +=，记数列{}n a tn -的前n 项和为n S ，若10n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1112,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1112,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2411,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1811,115⎛⎫ ⎪⎝⎭16．已知数列{}n a 满足2111,21n n nna a a a a +==++ ） A ．()99,100 B ．()100,101 C ．()101,102 D ．()102,10317．在数列{}n a 中，11a =，()1,1n p a n +=+，(),n q n a =-，且p q ⊥，则2021a =（ ） A ．1B ．2020C ．2021D ．2022 18．数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，若2cos 3=πn n n b a ，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则11S =（ ） A ．64B ．80C ．64-D ．80-19．已知等比数列{}n a 中，135664,32a a a a ==，若28n a n t ≥+恒成立，则实数t 的最大值为（ ）A ．16-B ．16C ．20-D ．2020．已知等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，若124a =-，489a =-，则当n T 取最大值时，n 的值为（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4二、多选题21．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{}n a ，121a a ==，()123n n n a a a n --=+≥，边长为斐波那契数n a 的正方形所对应扇形面积记为()*n b n ∈N ，则（ ）A ．()2233n n n a a a n -+=+≥B ．123201920211a a a a a +++⋅⋅⋅+=+C ．()2020201920182021π4b b a a -=⋅ D ．123202*********π4b b b b a a +++⋅⋅⋅+=⋅ 22．已知数列{}n a 满足11a =，()1lg 1091n an a +=++，其前n 项和为n S ，则下列结论中正确的有（ ） A ．{}n a 是递增数列 B ．{}10n a +是等比数列 C ．122n n n a a a ++>+D ．(3)2n n n S +<23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，22n n n S a a =+，著不等式()4111n nnS ka +≥-对任意的*n N ∈恒成立，则下列结论正确的为（ ） A ．n a n = B ．()12n n n S +=C ．k 的最大值为232D ．k 的最小值为15-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题24．已知等差数列{}n a 中，14a =，4612a a +=，则3a =______________． 25．已知数列{}n a 的前n 项和225n S n n =+-，那么它的通项公式是___________. 26．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111, 3 2n n a S a +==+，则5a =________________________．27．在数列{}n a ，11a =，12(2,)n n a a n n n N --=≥∈，则98a =_______. 28．在数列{}n a 中，11a =，()*11n n a nn a n +=∈+N ，则10a =_________． 29．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n S S +-=()*n N ∈，则n S =___________.30．已知数列{}n a 满足112a =，()124n n na n a +=+，则8a =______． 31．若数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+，4 a =________.32．已知数列{}n x 满足1221,3x x ==，且()112112n n n x x n x -+=≥+，则n x 等于__________. 33．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则10S 等于___________. 34．若数列{}n a 满足()()111n n n a n a --=+，2n ≥，n *∈N ，且11a =，则5a =______． 35．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n +=，则n a =___________.36．已知等比数列{}n a 的前n 项和()1*21n n S a n N -=⋅+∈，其中a 是常数，则a =__________.37．在数列{}n a ，11a =，12(2,)n n a a n n n --=≥∈N ，则99a =_______． 38．数列{}n a 满足11a =，且()11n n a a n n N *+-=+∈，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为_________．39．在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，则n a =___________.40．已知数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，则n a =______． 41．已知数列{}n a ，{}n c 满足11a =，121n n a a +=+，1(21)(23)n c n n =++．设数列{}n c 的前n 项和为n T ，若存在m 使得1n mT a >对任意的n ∈+N 都成立，则正整数m 的最小值为_________． 42．若数列{}n a 满足123111132321n n a a a na n +++⋅⋅⋅+=+，若2n a λ≤恒成立，则λ的最大值是______43．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足11S =，12n n n S S n++=，其中n +∈N ，数列{}n b 的前n 项和为nT ，满足()()()142121nnn a b n n -⋅=-+，则20211T +=___________.44．已知正数数列{}n a 满足()111n n nn a na a ++=+，且对任意*n ∈N ，都有2n a ≤，则1a 的取值范围为______．四、解答题45．已知数列{}n a 满足0n a ≠恒成立.（1）若221n n n a a ka ++=且0n a >，当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（2）若2212n n n a a a ++=且0n a >，当11a =、4a =2a 以及n a 的通项公式；（3）若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，3[4,8]a ∈，20200a <，设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值. 46．在等差数列{a n }中，（1）已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8； （2）已知a 2＋a 4＝485，求S 5． 47．在各项都是正数的等比数列{}n a 中，1971,4a a a ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若31m S =，求正整数m 的值．48．已知等比数列{}n a 的前n 项和为132n n S m +=-.（1）求m 的值，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）令3(1)log nn n b a =-，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .49．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b -=-=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 50．（1）已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n(n 1)+，n ∈N *，求通项公式a n ； （2）设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1(1)n-a n －1(n ≥2)，求通项公式a n .51．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11n n a S n +=++（n *∈N ）． （1）求23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T （n *∈N ）． 52．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24a =，530S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 53．已知数列{}n a 的前n 项和225n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .54．已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n +＝.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .55．已知数列{a n }满足()12211,3,32n n n a a a a a n *++===-∈N ，（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.56．设数列{}n a 满足12a =，()1234nn n a a +-=⨯．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．57．（1）已知数列{a n }满足11a =-，111+1n n a a n n +=-+，n ∈N *，求数列的通项公式a n .（2）在数列{a n }中，a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，求数列{a n }的通项公式.58．已知数列{}n a满足1a*1,n n n +∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*n nb n =∈N ，数列{}n b 的前n 项和n S ，求证：1n S <． 59．已知数列{a n }，a 1=2，a n+1=2a n +3. （1）求证：{a n +3}是等比数列. （2）求数列{a n }的通项公式.60．已知数列{}n a 满足11a =，23a =，且2124n n n a a a ++-+=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设nn a b n=，*n N ∈，求n b 的最小值. 61．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2n n S n a +=.（1）证明：数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n b na n =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式22020n T n->的正整数n 的最小值.62．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，都满足22n n S a +=，2nn a b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的最小项的值． 63．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n nS a n n+=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在正整数n ，使得不等式()()262n n a m -+≥成立，求实数m 的取值范围.64．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知132a a +=-，1575S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若23n an b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .65．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()1*222n n n S a n N +=-+∈.（1）设2nn na b =，求证：数列{}n b 为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设4nn n a c =，若123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+，求n T . 66．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1120(2)n n n n S S S S n ---+=≥，112a =. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n S 的通项公式；（2）求数列{}n a 的通项公式.67．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足1n n n b b a +-=（*n ∈N ）且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 68．已知等差数列{}n a 满足11a =，2435a a a +=+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，*12()n n n n b a b a n N ++⋅=⋅∈，求数列{}n b 的前n 项和.69．已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-． （1）证明数列{}n a n -为等比数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n c 满足1(1)(1)n n n n a n c b b +-=++，设数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：13n T <．70．已知数列{}n a 满足13a =，()11323n n n a a n N +++=+⨯∈.数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）证明：数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）求n S ；（3）若不等式2483n n n a λ-+<，对任意n ∈+N 恒成立，求λ的取值范围.71．已知数列{}n a 的前n 项和12n n S a =+，*n N ∈，在等差数列{}n b 中，120b =，359b b b =+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大值.72．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足48S =-，60S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ．证明：3255n T -≤≤．73．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S 3＝3S 2+1. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }为递增数列，数列{b n }满足()21N 3n nn b n a *-=∈，求数列b n 的前n 项和T n ；（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，若不等式2203n n nnnT n b a λλλ--+<对任意正整数n 都成立，求λ的取值范围.74．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．75．已知数列{}n a 前n 项和为n S 满足12S =，()132n n S S n N *+=+∈.(1)求通项公式n a ； (2)设()n n n a S b n N *=∈，求证：12121332n b b b n ≤+++-≤.76．已知在数列{}n a 中，112a =，111122n n n n a a +++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．77．已知数列{}n a 中，11a =，214a =，()()112n n nn a a n n a +-=≥-． （1）设111n n b a +=-，求数列{}n b 的通项公式． （2）若1sin 3cos cos n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .78．已知数列{}n a 满足113,21n n a a a n +==-+， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足()()12121n n n n a nc +-=++，求数列{}n c 的前n 项和n T79．已知各项都为正数的数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+． （1）证明：数列{}1n n a a ++为等比数列；（2）若1213,22a a ==，求{}n a 的通项公式．80．各项不为0的数列{}n a 满足111(2,N*)31nn n a n n aa --=≥∈+，且21a =-．（1）求证：数列1{}na 为等差数列；（2）若1n naa λ+≥对任意*N n ∈恒成立，求实数λ的取值范围．参考答案1．C 【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出首项． 【详解】解：在等比数列{}n a 中，1310a a +=，57160a a +=，∴211461110160a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩， 解得24q =，12a =． 故选：C ． 2．C 【分析】根据等差数列前n 项和公式列方程求得1a 与公差d ，即可求通项公式. 【详解】设公差为d ，依题意得 10120110910310220192012202d S a d S a ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩解得14,6a d ==所以()1162n a a n d n =+-=- 故选：C 3．A 【分析】根据题意可得2n S n n =+，再由n S 与n 之间的关系即可求解. 【详解】点()(),*n P n S n N ∈在函数2y x x =+的图象上， 则2n S n n =+，当2n ≥时，则()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=， 当1n =时，112a S ==，满足2n a n =. 故选：A 4．C 【分析】利用赋值法计算出结果. 【详解】∵4n n S c =-，∴令1n =，得1114a S c ==-，∴14a c +=. 故选：C 5．A 【分析】由题意，根据累加法，即可求出结果. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，因此212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 以上各式相加得：()()()21246.1221..212n n n a a n n n ⎡⎤-+-⎣⎦-=+++==+--，又11a =，所以21n a n n =-+.故选：A. 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项，属于基础题型. 6．B 【分析】由2(313)0nn a n =-≤求出n 的范围，即可得解【详解】解：令2(313)0nn a n =-≤，则3130n -≤，解得133n ≤， 因为*n N ∈所以当4n ≤时，0n a <，当5n ≥时，0n a >， 所以数列的前n 项和n S 取最小值时，4n =， 故选：B 7．A 【分析】由12233nn n n a a +-⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，当n <2时，a n ＋1－a n >0，从而可得到n＝2时，a n 最大. 【详解】解：112222(1)3333n n nn n n a a n n ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{}n a 中的最大项为a 2或a 3，且2328239a a ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题. 8．A 【分析】根据已知条件121n n n a a a +=+，结合目标数列的定义中的条件11(2)n n nb b n a --=，探究数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的递推关系，得到1112n na a +-=，利用等差数列的通项公式求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而利用累加法求得8b . 【详解】数列{}n a 满足121n n n a a a +=+，可得1112n n a a +-=，所以数列1{}n a 是等差数列，首项为1，公差为2，所以11(1)221nn n a =+-⨯=-， 数列{}n b 满足11b =，121(2)n n b b n n --=-，21221b b -=⨯-， 32231b b -=⨯-，⋅⋅⋅87281b b -=⨯-则82812(2345678)7276642b +=+++++++-=⨯⨯-=. 故选：A . 9．A 【分析】直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式． 【详解】解：数列{}n a 满足113a =，123(2,*)21n n n a a n n N n --=∈+， 整理得12321n n a n a n --=+，122521n n a n a n ---=-，......，2115a a =， 所有的项相乘得：113(21)(21)na a n n ⨯=+-，整理得：2141n a n =-，故选：A ． 10．A 【分析】 对122n n n a a a +=+变形可得1211122n n n n a a a a ++==+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以111a 为首项，公差为12的等差数列，即可得解. 【详解】在{}n a 中，11a =， 由122n n na a a +=+可得1211122n n n n a a a a ++==+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以111a 为首项，公差为12的等差数列， 所以1111(1)22n n n a +=+-⋅=， 所以21n a n =+， 故选：A. 11．D 【分析】先判断1n n a a +>在*n N ∈时恒成立，代入化简得42t n >--在在*n N ∈时恒成立，再计算()max 42n --，即得结果.【详解】因为数列{}n a 为单调递增数列，所以1n n a a +>，在*n N ∈时恒成立.所以()()()221211323420n n n a a a n t n n tn n t +⎡⎤-==++++-++=++>⎣⎦， 即42t n >--在在*n N ∈时恒成立，而1n =时，()max 426n --=-， 所以6t >-. 故选：D. 12．B 【分析】数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n na a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得1010n =，从而求得结果.【详解】解：依题意，数列{}n a 的通项公式为2202122021n n a n +=--，所以0n a >．由1111nn n na a a a -+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即220212202112201922023n n n n +--+--且220232201912202122021n n n n +--+--，n Z ∈，解得1010n =，故最大项为第1010项， 故选：B ．13．C 【分析】由题意可得，当数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时，可得10,0,n n a a +≤⎧⎨≥⎩，结合n ∈N *解得即可.【详解】解：根据题意，得10,0,n n a a +≤⎧⎨≥⎩即3160,3(1)160.n n -≤⎧⎨+-≥⎩解得133≤n ≤163.∵n ∈N *，∴n ＝5，∴数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为S 5 故选C. 【点睛】本题考查数列前n 项和，熟练掌握数列的基本性质是解决此题的关键. 14．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2n n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max22nn n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 15．C 【分析】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==，可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅进而求得22n a n =+，所以()22n a tn t n -=-+可得{}n a tn -是等差数列，由10n S S ≤可得10100a t -≥，11110a t -≤，即可求解 【详解】由1112222n n n n a a a Y n-+++⋅⋅⋅+==可得1112222n n n n a a a -+=⋅+⨯++⋅⋅，当1n =时，14a = 当2n ≥时()21212221n n n a a a n --+⋅=⋅-+⋅+，又因为1112222n n n a a n a -+=++⋅⋅⋅+，两式相减可得：()()11122221n n n nn n n n a -+=--=+，所以22n a n =+，显然满足1n =时，14a =， 所以22n a n =+，*n N ∈所以()22n a tn t n -=-+，可得数列{}n a tn -是等差数列， 由10n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，可得：10100a t -≥，11110a t -≤，即可求解， 即()21020t -⨯+≥且()21120t -⨯+≤， 解得：2411115t ≤≤，所以实数t 的取值范围是2411,115⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故选：C 16．B 【分析】已知等式变形为112n n na a a +-=+，用累加法有112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+1211112(1)1n n a a a -⎛⎫=-+++++ ⎪⎝⎭， 可得2n a n >100>，101．从而可得结论．【详解】由已知得112n nna aa+=++，112n nna aa+-=+，所以112211()()()n n n n na a a a a a a a---=-+-++-+1211112(1)1nna a a-⎛⎫=-+++++⎪⎝⎭，500012499911124999110000aa a a⎛⎫=⨯+++++>⎪⎝⎭100，由112n nna aa+=++<=1101<，所以100101．故选：B．17．C【分析】由平面向量垂直的坐标表示推导出11nna na n++=，利用累乘法可求得2021a的值. 【详解】p q⊥，故()11n nna n a+-+=，可得()11n nna n a+=+，11a=，可得2a≠，3a≠，，则对任意的n*∈N，0na≠，故11nna na n++=，因此，3202122021112202023202112021122020a aaa aa a a=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选：C.18．C【分析】由已知可得111n n a a n n +-=+，即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，由此求出22cos 3n n b n π=，分别令 1,2,3,,11n =可求出11S .【详解】数列{}n a 满足11a =，()()111n n na n a n n +=+++， 则111n na a n n+=++， 可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1、公差为1的等差数列，即有n a n n=，即为2n a n =，则222coscos 33n n n n b a n ππ==， 则()()2222222222211112457810113692S =-++++++++++()22222222222222112334566789910112=-+--++---+--++ ()15234159642=-⨯+++=-. 故选：C. 19．A 【分析】由条件求得等比数列通项，将恒成立不等式移项，利用单调性来判断最值情况，从而求得参数最大值. 【详解】因为3135364a a a a ==，所以34a =， 又632a =，所以3638a q a ==，解得2q ，所以12n n a -=，所以28n a n t ≥+恒成立等价于28n n t -≥恒成立， 令28n n b n =-，则128n n n b b +-=-， 当3n <时，10nnb b ；当3n =时，430b b -=；当3n >时，10n n b b +->， 所以123456b b b b b b >>=<<<，所以min 34()16n b b b ===-，所以16t ≤-，即实数t 的最大值为16-，故选：A ． 【点睛】关键点点睛：求得等比数列通项公式，作差法求得b n =2n -8n 的单调性，从而求解参数最值. 20．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知求得q ，写出通项公式，然后求得积n T ，确定在n 为偶数时0n T >，计算出246T T T <>（61T >），再说明6n >且n 为偶数时，1n T <即得． 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则341811()()92427aq a ==-⨯-=，解得13q =，所以11(24)()3n n a -=-⋅，所以1(1)123(1)21211(24)()(24)()33n n n n n n n T a a a -++++-=⋯=-⋅=-⋅，所以当n T 取得最大值时，可得n 为偶数，而1()3x y =在R 上单调递减，2121(24)()1923T =-⨯=；446418(24)()39T =-⨯=；66156918(24)()33T =-⨯=，则246T T T <>，且61T >，当6n >且n 为偶数时，2111(1)(1)(7)2223111243333n n n n n n n n n T ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯<⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，270n n ->1n T <，所以6n T T <，所以4n =时，n T 取得最大值．故选：D ． 21．AD 【分析】根据数列的递推公式可判断选项A ，再根据累加法计算判断选项B ，根据扇形的面积公式判断选项C ，再次应用累加法及递推公式判断选项D. 【详解】由递推公式()123n n n a a a n --=+≥，可得2112n n n n n a a a a a -++=+=+，21n n n a a a --=-， 所以()1212233n n n n n n n a a a a a a a n -+--=+-=++≥，A 选项正确；又由递推公式可得11a =，231a a a =-，342a a a =-，类似的有()112n n n a a a n +-=-≥， 累加得1231221n n n n a a a a a a a a ++++++=+-=-，故123201920211a a a a a +++⋅⋅⋅+=+错误，B 选项错误； 由题可知扇形面积24n n b a π=，故()()()22111112444n n n n n n n n n n b aa a a ab a a a πππ----+-=-=+-=⋅-，故()2020201920182021π4b b a a -=⋅错误，C 选项错误； 由()123n n n a a a n --=+≥，2121a a a =⋅，()22222313221a a a a a a a a a a =⋅=⋅-=⋅-⋅， ()23333424332a a a a a a a a a a =⋅=⋅-=⋅-⋅，类似的有()21111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+-=⋅=⋅-=⋅-⋅，累加得()()()22222123132214332111n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+++++=+⋅-⋅+⋅-⋅++⋅-⋅=⋅，又24n n b a π=，所以()2222121331244n n n n b b b b aa a a a a ππ+=++++=++++⋅，所以123202*********π4b b b b a a +++⋅⋅⋅+=⋅正确，D 选项正确； 故选：AD. 22．ACD 【分析】将递推公式两边同时取指数，变形得到1110109n n a a +-=+，构造等比数列可证{}1010n a+为等比数列，求解出{}n a 通项公式则可判断A 选项；根据()()()2132101010a a a ++≠+判断B 选项；根据{}n a 的通项公式以及对数的运算法则计算()122n n n a a a ++-+的正负并判断C 选项；将{}n a 的通项公式放缩得到()lg 2101nn a n <⨯<+，由此进行求和并判断D 选项.【详解】因为()1lg 1091n a n a +=++，所以()11lg 109n an a +-=+，从而1110109n n a a +-=+，110101090n n a a +=⨯+，所以()11010101010n n a a ++=⨯+，所以11010101010n n a a ++=+，又1101020a +=，{}1010n a+是首项为20，公比为10的等比数列，所以110102010210n a n n -+=⨯=⨯，所以1021010n a n =⨯-，即()lg 21010nn a =⨯-，又因为21010n y =⨯-在[)1,,*n n N ∈+∞∈时单调递增，lg y x =在定义域内单调递增， 所以{}n a 是递增数列，故A 正确；因为1231011,10lg19010lg1911,10lg199010lg19911a a a +=+=+=++=+=+，所以()()()()()222213101010lg191111lg19911lg 1922lg1911lg199a a a +-++=+-+=+-，所以()()()2222213361101010lg 1911lg1911lg199lg 1911lg0199a a a +-++=+-=+>， 所以()()()2132101010a a a ++≠+，所以{}10n a +不是等比数列，故B 错误.因为()()()()121222lg 21010lg 21010lg 21010n n n n n n a a a ++++-+=⨯--⨯--⨯-()()()()()()2211211210102101 lglg210102101021012101n nn n n n +++-+⨯-⨯-=⨯-⨯-⨯-⨯-=，而()()()211221121012101210141041014102102101n n n n n n n n -++-⨯--⨯-⨯-=⨯-⨯+-⨯+⨯+⨯-20100.21041016.2100nnnn=⨯+⨯-⨯=⨯>，从而()()()211210121012101n n n -+⨯->⨯-⋅⨯-，于是，122n n n a a a ++>+，故C 正确.因为()()lg 21010lg 210lg 21n nn n a n =⨯-<⨯=+<+，所以()()21322n n n n n S +++<=，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：数列{}n a 单调性的一般判断步骤：（1）先计算1n n a a +-的结果，然后与0比较大小（也可以计算1n na a +的值，然后与1比较大小，但要注意项的符号）；（2）下结论：若10n n a a +->，则为递增数列；若10n n a a +-<，则为递减数列；若10n n a a +-=，则为常数列. 23．ABC先用两式相减的方法消去n S ，求出n a ，判断A 选项；再代入已知求出n S ，判断B 选项；然后将恒成立问题转化为最值问题，最后利用数列的单调性，求出最值即可判断C ，D 选项. 【详解】依题意得当1n =时，21112a a a =+，由于20n a >，解得11a =；当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，因此有：22112n n n n n a a a a a --=-+-；整理得：11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，公差1d =的等差数列， 因此n a n =，故A 正确；()12n n n S +=，故B 正确； 由()4111n nn S ka +≥-得：()11221nn k n++≥-， 令1122n c n n=++，则n 取2时，n c 取最小值，所以 ①当n 为偶数时，1123222n n ++≥，232k ∴≤，②当n 为奇数时，1135223n n ++≥， 353k ∴-≤，353k ∴≥-，352332k ∴-≤≤故C 正确，D 错误.所以A 、B 、C 正确；D 错误. 故选：ABC 【点睛】知识点点睛：（1）已知n S 求n a ，利用前n 项和n S 与通项公式n a 的关系()()1*112,n nn S n a S S n n N -⎧=⎪=⎨-≥∈⎪⎩，此时一定要注意分类讨论. （2）数列与不等式的恒成立问题常用构造函数的方式，通过函数的单调性、最值解决问题，注意n 只能取正整数. 24．5设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得到方程，求出公差d ，再根据等差数列通项公式计算可得； 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为14a =，4612a a +=，所以113524812d d a d a ++⨯+=+=，所以12d =，所以31124252a a d =+=+⨯= 故答案为：525．2,141,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩【分析】利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解即可【详解】解：当1n =时，112152a S ==+-=-，当2n ≥时，221(25)[2(1)(1)5]41n n n a S S n n n n n -=-=+---+--=-，且当1n =时，414132n -=-=≠-，据此可得，数列的通项公式为：2,141,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩. 故答案为：2,141,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩. 26．18 【分析】由已知条件依次求出22334455,,,,,,,S a S a S a S a 即可 【详解】解：因为111, 3 2n n a S a +==+，所以2123233 25, 4, 3214, 9S a a S a a =+===+==，434553229,15,315247,18S a a S a =+===⨯+==. 故答案为：18 27．9701 【分析】用累加法直接求解即可. 【详解】在数列{}n a ，11a =，12(2,)n n a a n n n --=≥∈N ，所以1232989746196a a a a a a -=-=-=累加得：()19841969746196==97002a a +⨯-=+++，所以989701a=．故答案为：9701． 28．110【分析】直接由递推关系进行累乘运算即可. 【详解】 由题意知109210198198111109210a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：110. 29． 21n - 【分析】化简121n n S S +-=，判断出{}1n S +为等比数列，从而计算出n S . 【详解】由121n n S S +-=得()1121n n S S ++=+，所以数列{}1n S +是首项为11112S a +=+=，公比为2的等比数列，所以12,21n nn n S S +==-.故答案为：21n - 30．2304 【分析】根据递推关系式证得数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是等比数列，由此求得8a 的值.【详解】由()124n n na n a +=+得()()()12121n n a a n n n n +=+++，所以数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为14，公比为2的等比数列，所以7812894a =⨯⨯，82304a =． 故答案为：2304 【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，属于基础题. 31．40 【分析】根据递推公式，依次代入即可求解. 【详解】数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+， 当1n =时，可得21313114a a =+=⨯+=， 当2n =时，可得323134113a a =+=⨯+=， 当3n =时，可得4331313140a a =+=⨯+=， 故答案为：40. 【点睛】本题考查了递推公式求数列项的方法，属于基础题. 32．21n + 【分析】由题可知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，进而利用公式法求通项公式.【详解】因为()112112n n n x x n x -+=≥+， 所以数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，因为121131,2x x ==，故公差12d = 所以1111(1)22n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+ 故答案为：21n + 33．1023 【分析】根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到数列{}n a 是以1为首项；2为公比的等比数列，从而利用等比数列的前n 项和公式即可求得10S ． 【详解】解：当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =；当2n =时，212221S a a a ==-+，得2112a a =+=，由21n n S a =-，得1121(1)n n S a n --=-，两式相减得1122n n n n n S S a a a ---==-，即12n n a a -=，又212a a =，所以数列{}n a 是以1为首项；2为公比的等比数列，所以1010101221102312S -==-=-． 故答案为：1023． 34．15 【分析】根据题意整理可得()()111n n a a n n n n -=+-，所以()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为常数列，令5n =即可得解.【详解】由()()111n n n a n a --=+可得111n n a an n -=+-， 两边同除n 可得()()111n n a a n n n n-=+-，故数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭为常数列，所以()11122n a a n n ==+，所以51=302a ，解得515a =. 故答案为：1535．213n⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式.【详解】当1n =时，111121,3a a a +==，当2n ≥时，112,21n n n n S a n S a n --+=+=-， 两式相减得()111212321,,11333n n n n n n a a a a a a ----==+-=-， 所以数列{}1n a -是首项为1213a -=-，公比为23的等比数列， 则213nn a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以213nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为：213n⎛⎫- ⎪⎝⎭36．2- 【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩公式得11a a =+,()222n n a a n -=⋅≥,进而根据题意得12a a +=,解方程即可得答案. 【详解】由于等比数列{}n a 的前n 项和1*21()n n S a n N -=⋅+∈.当1n =时，111a S a ==+；当2n ≥时，1221(21)(21)2n n n n n n a S S a a a ----=-=⋅+-⋅+=⋅.由题意可知，11a a =+满足22n n a a -=⋅，即12aa +=，解得2a =-. 故答案为：2- 37．9899 【分析】用累加法直接求解即可. 【详解】在数列{}n a ，11a =，12(2,)n n a a n n n --=≥∈N ，所以3122999846198a a a a a a -=-=-=累加得：()19941989846198==98982a a +⨯-=+++，所以99a =9899 故答案为：9899 38．2011【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和.【详解】由题意可得()()()()12132111232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 所以，()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 因此，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前10项的和为101111112021222122310111111S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：2011.39．()2211nn -+【分析】根据已知条件求得()2122111n n n a a n +⎡⎤-+⎣⎦+=，用累乘法求得n a . 【详解】依题意，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，即()()()2221121,2111211n n n n n a n a n a a n ++⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤+=+=-⎣⎦+， 所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()22222222211201222212311121111n n n n ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-+-+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=⋅⋅⋅⋅⋅++ ()2211nn =-+. 故答案为：()2211nn -+【点睛】累乘法求数列的通项公式，主要把握住13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅. 40．123n +- 【分析】 化简已知得1323n n a a ++=+，所以{}+3n a 是一个以4为首项，以2为公比的等比数列，即得解. 【详解】因为123n n a a +=+， 所以11332(3),23n n n n a a a a ++++=+∴=+， 所以{}+3n a 是一个以1+3=4a 为首项，以2为公比的等比数列， 所以111+3=422,23n n n n n a a -++⨯=∴=-.故答案为：123n +-41．5 【分析】通过配系数法求出数列{}n a 的通项方式；通过裂项法求出数列{}n c 的前n 项和为n T ；然后只需()min 1n mT a >即可求出m 的最小值. 【详解】∵121n n a a +=+，∴112(1)n n a a ++=+，又∵11a =，112a +=，∴数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，∴12n n a +=，即21nn a =-，又1111()(21)(23)22123n c n n n n ==-++++，则1111111111()()235572123232369n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=++++， 又21221692533116152525n n T n n n n T n n n n n n +++++=⋅==+>+++， 又0n T >，∴n ∈+N 时，1n n T T +>，即数列{}n T 是递增数列， ∴当1n =时，n T 取最小值且最小值为115， 要使1n m T a >对任意的n ∈+N 都成立，只需111521m >-，由此得4m >， ∴正整数m 的最小值为5． 故答案为：5. 42．2 【分析】先求出41=33n a n n-，再求出n a 的最小值即得解.【详解】由题得123111132321n n a a a na n +++⋅⋅⋅+=+（1） 1231111133(2)23(1)21n n n a a a n a n --+++⋅⋅⋅+=≥--（2） （1）-（2）得213333,212141n n n na n n n -=-=+-- 所以22134141=,=(2)41333n n n n a n n a n n n-∴=-≥-，适合1n =，所以41=33n a n n-,所以数列{}n a 为递增数列， 所以41()133n min a =-=， 由题得2,2n a λλ≤∴≤. 所以λ的最大值是2. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：数列的最值一般利用函数的单调性求解，而数列单调性的判断一般可以通过定义法判断. 43．14043-【分析】 首先变形等式为111n n S n S n -+=-，利用累乘法，求得数列{}n S 的通项公式，以及数列{}n a 的通项公式，代入n b 后，利用错位相减法求和. 【详解】 由题意12n n n S S n++=，即111n n S n S n -+=-，累乘得()1121211143123212n n n n n n S n n n S n S n S S n S ---++-⋅=⋅⋅⋅=---， 可知()12n n n S +=，2n ≥，当1n =时，11S =， 所以()12n n n S +=，又2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，且当1n =时成立，从而有n a n =，故()()()()()()11411111212121212121n n n n n n b n n n n n n +-⋅--⎛⎫==-⋅+=- ⎪-+-+-+⎝⎭，所以()11121n nT n +-=--+，故2021114043T +=-. 故答案为：14043- 【点睛】方法技巧 常见数列的裂项方法注意：利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.44．2⎡⎤-⎣⎦【分析】由已知可得出()()11121n n nn a na n a ++=+≤+，n a ≤≤，结合2n a ≤2n a ≤≤，令n c ={}n c 的最大项的值，可得出n a 的取值范围，进而可得出1a 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意*n ∈N ，都有2n a ≤，则12n a +≤，则()()11121n n nn a na n a ++=+≤+， 整理可得()22110n n na n a -++≤，()224144440n n n n ∆=+-=++>，解不等式()22110nn na n a -++≤n a ≤≤，当*n ∈N 212n n +>>2n a ≤≤，。