1.1.5 三视图

不可能是D.
课堂训练 4.下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体为 _正__六__棱__锥__.
主视图
左视图
俯视图
课堂训练
【解析】由俯视图可知该几何体是多面体，结合主视图、 左视图可知该几何体是正六棱锥.
课堂训练 5.根据三视图判断几何体.
主 视 图
左 视 图
俯视图
课堂训练 解：几何体为四棱柱如下图.
练一练 1.画出如图所示几何体的三视图.
俯 左
主
练一练 解：
主视图
左视图
俯视图
练一练 2.你能画出圆台的三视图吗？
圆台
练一练 解：
主视图Leabharlann 左视图俯视图课堂探究 探究点3 由三视图还原成实物图 思考4：观察某几何体的三视图，思考下列问题：
问题1：根据三视图分析该几何体的结构特征. 【答案】由三视图可知，该几何体是一个正六棱台.
练一练
3.一个几何体的三视图如下，你能说出它是什么立体图形 吗？
主视图
左视图
俯视图
练一练 解：这个几何体四棱锥.
四棱锥
典型例题 例7 根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图：
（1） 主视图 左视图
俯视图
典型例题 （2）
主视图
俯视图
左视图
典型例题
解：（1）由俯视图并结合其他两个视图可以看出， 这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成， 圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切.它的 实物草图：
主视图
典型例题
例4 如图所示，螺栓是棱柱和圆柱拼接成的组合体，画 出它的三视图.
典型例题
解：该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱拼接而成的， 主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反 映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体 投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合）.

1.1.5 三视图教学分析在上一节认识空间几何体直观图的基础上，本节来学习空间几何体的表示形式，以进一步提高对空间几何体结构特征的认识．主要内容是：画出空间几何体的三视图．比较准确地画出几何图形，是学好立体几何的前提．因此，本节内容是立体几何的基础之一，教学中应给以充分的重视．画三视图是学习立体几何的基本技能，同时，通过三视图的学习，可以丰富学生的空间想象力．“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图．光线自物体的前面向后投影所得的投影图称为“主视图”，自左向右投影所得的投影图称为“左视图”，自上向下投影所得的投影图称为“俯视图”．用这三种视图即可刻画空间物体的几何结构特征，这种图称之为“三视图”．教学目标1．了解空间图形的不同表示形式和相互转化，发展学生的空间想象能力，培养学生转化与化归的数学思想方法．2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，并能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，提高学生识图和画图的能力，培养其探究精神和意识．重点难点教学重点：画出简单组合体的三视图，给出三视图，还原或想象出原实际图的结构特征．教学难点：识别三视图所表示的几何体．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同角度观察同一个几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形．三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义．本节我们将在学习投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图．教师指出课题：三视图．设计2.“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图．在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(主视图、左视图、俯视图)，你能画出空间几何体的三视图吗？教师点出课题：三视图．推进新课新知探究提出问题1.在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图，请你回忆三视图包含哪些部分？2.主视图、左视图和俯视图各是如何得到的？3.一般地，怎样排列三视图？4.主视图、左视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影图，它们都是平面图形.观察长方体的三视图，你能得出同一个几何体的主视图、左视图和俯视图在形状、大小方面的关系吗？讨论结果：1.三视图包含主视图、左视图和俯视图．2.光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫该几何体的主视图(又称正视图)；光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫该几何体的左视图(又称侧视图)；光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做该几何体的俯视图．3.三视图的位置关系：一般地，左视图在主视图的右边；俯视图在主视图的下边．如下图所示．4.投影规律：①主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度．②一个几何体的主视图和左视图高度一样，主视图和俯视图长度一样，左视图和俯视图宽度一样，即主、俯视图——长对正；主、左视图——高平齐；俯、左视图——宽相等．画组合体的三视图时要注意的问题：(1)要确定好主视、左视、俯视的方向，同一物体三视的方向不同，所画的三视图可能不同．(2)判断简单组合体的三视图是由哪几个基本几何体生成的，注意它们的生成方式，特别是它们的交线位置．(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线，用虚线画出．(4)要检验画出的三视图是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，即主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．由三视图还原为实物图时要注意的问题：我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要由三视图还原成实物图，这要求我们能由三视图想象它的空间实物形状，主要通过主、俯、左视图的轮廓线(或补充后的轮廓线)还原成常见的几何体，还原实物图时，要先从三视图中初步判断简单组合体的组成，然后利用轮廓线(特别要注意虚线)逐步作出实物图．应用示例思路1例1 图(1)所示的是一个零件的直观图，画出这个几何体的三视图．(1) (2)解：这个几何体的三视图如图(2)所示．在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；D表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计．点评：本题主要考查简单组合体的三视图．对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图．变式训练1.画出下图所示的几何体的三视图．解：三视图如下图所示．例2 图(1)所示的是一个奖杯的三视图，画出它的直观图．(1)解：从奖杯的三视图可以看出，奖杯的底座是一个正棱台，它的上底面是边长为60 mm的正方形，下底面是边长为100 mm的正方形，高为20 mm.底座的上面是一个底面对角线长为40 mm，高72 mm的正四棱柱，它的底面的对角线分别与棱台底面的边平行，它的底面的中心在棱台上、下底面中心的连线上．奖杯的最上部，在正四棱柱上底面的中心放着一个直径为28 mm的球．根据以上分析，画出奖杯的直观图，如上图(2)所示．(2)变式训练2.螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图1，画出它的三视图．图1解：该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图为图2.图2思路2例3 如图甲所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是下图乙中的__________．活动：要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E 在每个面上的投影，再顺次连结即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．【解析】在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图乙(1)；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图乙(2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是上图乙(3)．【答案】(1)(2)(3)点评：本题主要考查平行投影和空间想象能力．画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点)等，画出这些关键点的投影，再依次连结即可得此图形在该平面上的投影．如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情形的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成．变式训练3.如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)的________．【解析】四边形BFD′E在正方体ABCD—A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是C；在面DCC′D′、面ABB′A′上的投影是B；同理，在面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也是B.【答案】B和C例4 如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是()①长方体②圆锥③三棱锥④圆柱A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④【解析】由于甲的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因主视图和左视图均是矩形，则甲是圆柱；由于乙的俯视图是三角形，则该几何体是多面体，又因主视图和左视图均是三角形，则该多面体的各个面都是三角形，则乙是三棱锥；由于丙的俯视图是圆，则该几何体是旋转体，又因主视图和左视图均是三角形，则丙是圆锥．【答案】A点评：本题主要考查三视图和简单几何体的结构特征．根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的主视图、左视图、俯视图的几何特征，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体．通常是先根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合主视图和左视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．变式训练4.1 图1是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状．【解析】由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合左视图和主视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体．【答案】上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体．该几何体的形状如图2所示．4.2 如下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④【解析】正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C.【答案】D点评：虽然三视图的画法比较烦琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题．知能训练1．下列各项不属于三视图的是()A．主视图B．左视图C．后视图D．俯视图【解析】根据三视图的规定，后视图不属于三视图．【答案】C2．两条相交直线的平行投影是()A．两条相交直线B．一条直线C．两条平行直线D．两条相交直线或一条直线【解析】借助于长方体模型来判断，如下图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，一束平行光线从正上方向下照射．则相交直线CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一条直线CD，相交直线CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是两条相交直线CD和BD.【答案】D3．甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，如下图所示．甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“ 6”，丙说他看到的是“ 9”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是()A．甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边B．丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C．甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D．甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边【解析】由甲、乙、丙、丁四人的叙述，可以知道这四人的位置如下图所示，由此可得甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边．【答案】D4．如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为()A．棱锥B．棱柱C．圆锥D．圆柱【解析】由于俯视图是一个圆及其圆心，则该几何体是旋转体，又因主视图与左视图均为全等的等边三角形，则该几何体是圆锥．【答案】C5．某几何体的三视图如下图所示，那么这个几何体是()A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台【解析】由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥．【答案】B6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如下图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A．8 B．7C．6 D．5【解析】由主视图和左视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有5个小正方体，由左视图可知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体．【答案】C7．画出下图所示正四棱锥的三视图．解：正四棱锥的主视图与左视图均为等腰三角形，俯视图为正方形，对角线体现正四棱锥的四条侧棱．正四棱锥的三视图如下图．拓展提升问题：用数个小正方体组成一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方体的个数．(1)你能确定哪些字母表示的数？(2)该几何体可能有多少种不同的形状？【解析】解决本题的关键在于观察主视图、俯视图，利用三视图规则中的“在三视图中，每个视图都反映物体两个方向的尺寸．主视图反映物体的上下和左右尺寸，俯视图反映物体的前后和左右尺寸，左视图反映物体的前后和上下尺寸”．又“主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等”，所以，我们可以得到a＝3，b＝1，c＝1，d，e，f中的最大值为2.解：(1)面对数个小立方体组成的几何体，根据对主视图与俯视图的观察我们可以得出下列结论：①a＝3，b＝1，c＝1；②d，e，f中的最大值为2.所以上述字母中我们可以确定的是a＝3，b＝1，c＝1.(2)当d，e，f中有一个是2时，有3种不同的形状；当d，e，f有两个是2时，有3种不同的形状；当d，e，f都是2时，有一种形状．所以该几何体可能有7种不同的形状．课堂小结本节课学习了：1．中心投影和平行投影．2．简单几何体和组合体的三视图的画法及其投影规律．3．由三视图判断原几何体的结构特征．作业本节练习A2,3,4题．。

解：由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示.
探究2 如何结合三视图还原几何体？
【答案】 根据三视图还原几何体，要仔细分析和认 真观察三视图并进行充分的想象，然后结合三视图的 形状，从不同的角度去还原.看图和想图是两个重要的 步骤，“想”于“看”中，形状分析的看图方法是解决此 类问题的常用方法.
(1)
(2)
(3)
典型例题 解：三视图如图①②③所示.
名师指导 画三视图的注意事项 1.务必做到长对正，宽相等，高平齐. 2.三视图的安排方法是主视图与左视图在同一水平位 置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的 正下方. 3.若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分 界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.
①
②
③④
课堂检测
【解析】 ①③④的主视图为长方形，②的主视图为 等腰三角形. 【答案】 ①③④
课堂检测 4.一物体及其主视图如图：
①② ③ ④ 则它的左视图与俯视图分别是图形中的________.
课堂检测
【解析】 左视图是矩形中间有条实线，应选③；俯视 图为矩形中间有两条实线，且为上下方向，应选②. 【答案】 ③②
1.1.5 三视图
学习目标
1.能画出简单空间图形的三视图.(重点) 2.能识别三视图所表示的立体模型.(重点) 3.利用三视图的画法及其特征作组合体的三视图.(难点) 4.三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转化. (难点)
知识梳理
教材整理 三视图 1.正投影的定义和性质 (1)定义：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直， 则称这样的平行投影为正投影.
【答案】 D
课堂检测 2.已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是 ()

A．一个三角形 C．一条线段
B．一个梯形 D．三个点
【解析】本题主要考查正投影的性质，问题的关键是找
到四个点A、C1、F、E在平面BCC1B1内投影的位置，可 知F和C1在平面BCC1B1内的正投影是点C1，A在平面 BCC1B1内的正投影是点B，而E在平面BCC1B1内的正投影 是BC1的中点，因此四边形AC1FE在平面BCC1B1内的正投 影是线段BC1，故应选C. 【答案】C
3．任何几何体的三视图都与其摆放位置有关吗？ 提示：不一定．球的三视图均是圆，与球摆放的位置 无关．
4．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．
(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________； (4)对应________；(5)对应________． 【解析】俯视图就是从上往下的平行投影所形成的影 子．区别开(4)、(5)的不同：圆锥的顶点是可看到的一个点， 故(4)与C对应． 提示：(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B
考点二 简单几何体的三视图 [研一题]
[例2] 画出下列空间几何体的三视图．
解：图(1)中的三视图如图①.图(2)中的三视图，如图②.
[悟一法] 1．作三视图时，一般俯视图放在主视图的下面，长度和 主视图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一 样，宽度与俯视图的宽度一样． 2．观察几何体的结构，明确三视图中是否有被遮挡的线， 遮挡时要画成虚线．还要注意规定好的正前方(即主视图的 投影方向)．
(2)由俯视图确定几何体是多面体还是旋转体． 若俯视图为多边形，则几何体为多面体；若俯视 图为圆，则几何体为旋转体．
【解析】根据主视图与俯视图，我们可以将选项A、C排除， 根据左视图，可以将D排除． 【答案】B