向量共线的条件与轴上向量坐标运算(精选)

向量知识点与公式总结向量知识点与公式总结篇1考点一：向量的概念、向量的基本定理了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

考点二：向量的运算向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会推断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积推断两个平面向量的垂直关系。

命题形式重要以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

考点三：定比分点掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能娴熟应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。

重点考查定义和公式，重要以选择题或填空题型显现，难度一般。

由于向量应用的广泛性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若显现在解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。

考点四：向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，实现了高考中试题的掩盖面的要求。

命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

考点五：平面向量与函数问题的.交汇平面向量与函数交汇的问题，重要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

命题多以解答题为主，属中档题。

考点六：平面向量在平面几何中的应用向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，很多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟识的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，给予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

向量的线性运算2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算预习课本P90～93，思考并完成以下问题(1)平行向量基本定理是怎样表述的？(2)轴上向量的坐标是怎样表示的？(3)轴上向量的坐标运算法则是什么？[新知初探]1．平行向量基本定理(1)平行向量基本定理如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb.(2)单位向量．给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a |a|.[点睛]对定理两个方面的说明(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b.(2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a ＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在．2．轴上向量的坐标及其运算(1)轴上向量的坐标(2)轴上向量的坐标运算|AB [点睛]AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．()(2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．()(3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立．答案：(1)×(2)√(3)×2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则()A．AB＝－3B．BC＝3C．AC＝6 D．AB＝3 答案：B3．在四边形ABCD中，若AB＝－12CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形答案：C4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标x B＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________．答案：0轴上向量的坐标运算[典例]已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.[解](1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.轴上向量的坐标及长度计算的方法(1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标．(2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度．[活学活用]已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求AB，BC，CA的坐标和长度．解：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5；BC＝7－(－3)＝10，|BC|＝|10|＝10；CA＝(－8)－7＝－15，|CA|＝|－15|＝15.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1．已知两个非零向量a 与b 不共线，AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，∴BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB . ∴AB ，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． 题点二：利用向量共线确定参数2．设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？解：d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2， 要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝kc ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2ke 1－9ke 2.由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题点三：几何图形形状的判定3．如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若向量AB＝λAC ，则AB ，AC 共线，又AB 与AC 有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．层级一 学业水平达标1．已知数轴上两点M ，N ，且|MN |＝4.若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7解析：选D |MN |＝|x N －(－3)|＝4， ∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7.2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为边BC 的中点，且2OA ＋OB ＋OC ＝0，则( )A ．AO ＝ODB ．AO ＝2ODC ．AO ＝3ODD ．2AO ＝OD解析：选A ∵在△ABC 中，D 为边BC 的中点，∴OB ＋OC ＝2OD ，∴2(OA ＋OD )＝0，即OA ＋OD ＝0，从而AO ＝OD .3．点P 满足向量OP ＝2OA －OB ，则点P 与AB 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段AB 的反向延长线上 D ．点P 在直线AB 外解析：选C ∵OP ＝2OA －OB ，∴OP －OA ＝OA －OB ， ∴AP ＝BA ，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选C.4．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ＝23CA ＋13CB ，又AP ＝t AB ，则t 的值为( )A.13 B.23 C.12D.53解析：选A 由题意可得AP ＝CP －CA ＝23CA ＋13CB －CA ＝13(CB －CA )＝13AB ，又AP ＝t AB ，∴t ＝13.5．设e 1，e 2不共线，b ＝e 1＋λe 2与a ＝2e 1－e 2共线，则实数λ的值为( ) A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选B 设a ＝kb (k ∈R)， 则2e 1－e 2＝ke 1＋kλe 2.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，kλ＝－1，∴λ＝－12.6．在数轴x 上，已知OA ＝－3e (e 为x 轴上的单位向量)，且点B 的坐标为3，则向量AB ―→的坐标为________．解析：由OA ＝－3e ，得点A 的坐标为－3， 则AB ＝3－(－3)＝6，即AB 的坐标为6. 答案：67．下列向量中a ，b 共线的有________(填序号)． ①a ＝2e ，b ＝－2e ；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.解析：①中，a ＝－b ；②中，b ＝－2e 1＋2e 2＝－2(e 1－e 2)＝－2a ；③中，a ＝4e 1－25e 2＝4⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2＝4b ；④中，当e 1，e 2不共线时，a ≠λb .故填①②③. 答案：①②③8．已知M ，P ，N 三点在数轴上，且点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，则点N 的坐标为________．解析：设点M ，N 的坐标分别为x 1，x 2，∵点P 的坐标是5，MP ＝2，MN ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x 1＝2，x 2－x 1＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，x 2＝11.故点N 的坐标为11. 答案：119．已知数轴上A ，B ，C 三点．(1)若AB ＝2，BC ＝3，求向量AC ―→的坐标； (2)若AB ＝BC ，求证：B 是AC 的中点．解：(1)AC ＝AB ＋BC ＝5，即向量AC ―→的坐标为5. (2)∵AB ＝BC ，∴b －a ＝c －b ， ∴b ＝a ＋c 2，故B 是AC 的中点．10．已知：在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD 为梯形．证明：如图所示．∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b ) ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )， ∴AD ＝2BC .∴AD 与BC 共线，且|AD |＝2|BC |. 又∵这两个向量所在的直线不重合， ∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．层级二 应试能力达标1．已知向量AB ＝a ＋3b ，BC ＝5a ＋3b ，CD ＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线解析：选B BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB ，由于BD 与AB 有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线．2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝( )A.13a ＋b B.12a ＋bC ．a ＋13bD ．a ＋12b解析：选A 由已知条件可知BE ＝3DE ，∴DF ＝13AB ，∴AF ＝AD ＋DF ＝AD ＋13AB ＝13a ＋b .3．已知向量a ，b 不共线，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )A ．λ1＝λ2＝1B ．λ1＝λ2＝－1C ．λ1λ2＝1D ．λ1＋λ2＝1解析：选C ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ＝k AC (k ≠0)． ∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝ka ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝kλ2，∴λ1λ2＝1. 4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA ＋PB ＋PC ＝0，若实数λ满足AB ＋AC ＝λAP ，则λ的值为( )A ．2 B.32C ．3D ．6解析：选C 如图，取BC 的中点为D ，则PB ＋PC ＝2PD . 又PA ＋PB ＋PC ＝0，∴2PD ＝－PA ，∴A 、P 、D 三点共线且|PA |＝2|PD |， ∴AP ＝23AD .又∵AB ＋AP ＝2AD ，∴AB ＋AP ＝3AP ，即λ＝3.5．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3. 答案：－1或36．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2方向相反，则k ＝______. 解析：∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2共线， ∴ke 1＋2e 2＝λ(8e 1＋ke 2)＝8λe 1＋λke 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝8λ，2＝λk ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，k ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，k ＝－4.∵ke 1＋2e 2与8e 1＋ke 2反向， ∴λ＝－12，k ＝－4.答案：－47．已知数轴上四点A ，B ，C ，D 的坐标分别是－4，－2，c ，d . (1)若AC ＝5，求c 的值； (2)若|BD |＝6，求d 的值；(3)若AC ＝－3AD ，求证：3CD ＝－4AC . 解：(1)∵AC ＝5，∴c －(－4)＝5，∴c ＝1. (2)∵|BD |＝6，∴|d －(－2)|＝6， 即d ＋2＝6或d ＋2＝－6， ∴d ＝4或d ＝－8.(3)证明：∵AC ＝c ＋4，AD ＝d ＋4，又AC ＝－3AD ，∴c ＋4＝－3(d ＋4)，即c ＝－3d －16. 3CD ＝3(d －c )＝3d －3c ＝3d －3(－3d －16)＝12d ＋48， －4AC ＝－4c －16＝－4(－3d －16)－16＝12d ＋48， ∴3CD ＝－4AC .8.如图，已知△OCB 中，点A 是BC 的中点，D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a ，b 表示向量 OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求λ的值．解：(1)由A 是BC 的中点，则有OA ＝12(OB ＋OC )，从而OC ＝2OA －OB ＝2a －b .由D 是将OB 分成2∶1的一个内分点，得OD ＝23OB ，从而DC ＝OC －OD ＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由于C ，E ，D 三点共线，则EC ＝μDC ， 又EC ＝OC －OE ＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC ＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ⎝⎛⎭⎫2a －53b ， 又a ，b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，1＝53μ，解得λ＝45.。

高中数学向量共线的条件与轴上向量坐标运算教学目标：理解向量共线的条件与轴上向量坐标运算教学重点：向量共线的条件与轴上向量坐标运算教学过程一、复习引入：1. 向量的表示方法2. 向量的加法，减法及运算律3．实数与向量的乘法二、讲解新课：1．若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa 则由实数与向量积的定义知：a 与b 为共线向量若a 与b 共线(a ≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa , 当a 与b 反向时b =-μa从而得：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使b =λa2.若存在两个不全为0的实数μλ,使得0=+b a μλ，那么a 与b 为共线向量，零向量与任意向量共线3.与向量a 同方向的a 的单位向量为||a a e = 4．数轴上的基向量e 的概念5、轴上向量的坐标：轴上向量a ，一定存在一个实数x ，使得e x a =，那么x 称为向量a 的坐标6、设点A 、B 是数轴上的两点其坐标分别为1x 和2x ，那么向量AB 的坐标为12x x AB -=由此得两点A 、B 之间的距离为||||21x x AB -=7．例子例1 三角形两边中点的连线平行与第三边并且等与第三边的一半。

已知：如图3-1，ABC ∆中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点。

求证：BC DE //且BC DE 21=。

证明：因为D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， 所以−→−−→−=AB AD 21，−→−−→−=AC AE 21。

所以−→−−→−−→−−→−−→−−→−=-=-=BC AB AC AD AE DE 21)(21， 再由D ，B 不共点，故BC DE //且BC DE 21=。

例2 如图3-2，平行四边形OACB 中，BC BD 31=，OD 与BA 相交于E 。

求证：BA BE 41=。

证明：设E ’是线段BA 上的一点，且BA BE 41'=，只要证E ，E ’重合即可。

向量的坐标表示及其运算【知识概要】1. 向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如a 读作向量a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由A 到B 的向量. A 为向量的起点，B 为向量的终点）.向量AB（或a ）的大小叫做向量的模，记作AB （或a ）.注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；② 长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的 注意0与0的区别③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例1 下列各量中不是向量的是（ DA.浮力B.风速C.位移D.密度 例2 下列说法中错误．．的是（ A ）A.零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0C. D.例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ） A. B . C. D.2）向量坐标的有关概念① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i 和j .② 将向量a 的起点置于坐标原点O ，作OA a =，则OA 叫做位置向量，如果点A 的坐标为(,)x y ，它在x 轴和y 轴上的投影分别为,M N ，则,.OA OM ON a OA xi y j =+==+③ 向量的正交分解在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j 分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称为i 、j 的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记为a =(,)x y .一般地，对于以点111(,)P x y 为起点，点222(,)P x y 为终点的向量12PP ，容易推得122121()()PP x x i y y j =-+-，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)x x y y --叫做12PP 的坐标，记作12PP =2121(,)x x y y --. 3）向量的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==，R λ∈则1212121212(,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=. 4） 向量的模：设(,)a x y =，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm .22a x y =+.注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4 已知点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(3,0)-，且4,3AP BP ==，求点P 的坐标.解：点P 的坐标为612(,)55- 或 612(,)55--. 例5 已知2(4,3),2(3,4)a b a b +=--=，求a 、b 的坐标. 解：(1,2),(2,1)a b =-=-- 例6 设向量,,,,a b c R λμ∈，化简：（1）()()()()a b c a b c b c λμμλμλ+--+-+--； （2）2()(22)2a b c a b c λμλμλμμ+--++. 解：都为0.2. 向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）. 已知a 与b 为非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =，所以，向量平行的充要条件可以表示为：1221//().a b a b x y x y λλ⇔=⇔=其中为非零实数例7 已知向量(2,3)a =-，点(2,1)A -，若向量AB 与a 平行，且213AB =，求向量OB 的坐标.解：OB 的坐标为(6,7)- 或 (2,5)-.3. 定比分点公式1）定比分点公式和中点公式① 12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ， 使P P 1=2PP λ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：(内分) λ>0 (外分) λ<-1 (外分) -1<λ<0② 已知111(,)P x y 、222(,)P x y 是直线l 上任一点，且P P 1=2PP λ(,1)R λλ∈≠.P 是直线12P P 上的一点，令(,)P x y ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，这个公式叫做线段12P P 的定比分点公式，特别地1λ=时，P 为线段12P P 的中点，此时121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，叫做线段12P P 的中点公式.注：① 12PP PP λ=⋅可得12PP PP λ=±⋅；② 当1λ=-时，定比分点的坐标公式121x x x λλ+=+和121y y y λλ+=+显然都无意义，也就是说，当1λ=-时，定比分点不存在2）三角形重心坐标公式设ABC ∆的三个点的坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，G 为ABC ∆的重心，则12312333G G x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩例8 在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，点P 在直线12P P 上，且122PP PP =，求出P 的坐标.解：当P 在12P P 上时，(0,3)P ；当P 在12P P 延长线上，(8,15)P -.例9 已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =，求点P 的坐标. 解: 注意定比分点的定点，可得155(,)22P --.*方法提炼*几个重要结论1. 若,a b 为不共线向量，则a b +，a b -为以,a b 为邻边的平行四边形的对角线的向量；2. 22222()a b a b a b ++-=+；3. G 为ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=123123(,)33x x x y y y G ++++⇔ 112233[(,),(,)(,)]A x y B x y C x y【基础夯实】1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2.下列命题正确的是（ CA.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂD.有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中,正确的结论为（ D (1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b(3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠bA. (1)(3)B. (2)(4)C. (3)(4)D. (1)(3)(4) 4. 已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）A. 点C 分AB 的比是-31B.点C 分BA 的比是-3C 点C 分AC 的比是-32D 点A 分CB 的比是25. 已知两点1(1,6)P --、2(3,0)P ，点7(,)3P y -分有向线段21P P 所成的比为λ，则λ、y的值为（ C ）A －41，８ B.41 C －41，－８ D ４，816. △ABC 的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ A ）A (2，-7)B (-7，2)C (-3，-5)D (-5，-3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的 条件. 答案：必要非充分8. 已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 . 答案：不共线9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=答案：2或2710. △ABC 的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C 点坐标为 答案：(8,-4)11. 已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且18AMC ABC S S ∆∆=，则M 分AB 所成的比为 答案：71【巩固提高】12. 已知点(1,4)A =--、(5,2)B ，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P 点的坐标以及,A B 分21P P 所成的比λ．解：P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-21,-213. 过1(1,3)P 、2(7,2)P 的直线与一次函数5852+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值解：12514. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标 解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）15. 设P 是ABC ∆所在平面内的一点，2BC BA BP +=,则（ B ） (A). 0PA PB += (B). 0PC PA += (C). 0PB PC += (D). +0PA PB PC +=16. 若平面向量,a b 满足1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则(1,1)(3,1)a =--或.17．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－6,21)B ．(－2,7)C ．(6，－21)D ．(2，－7)解析：选A.AC →＝2AQ →＝2(PQ →－PA →)＝(－6,4)，PC →＝PA →＋AC →＝(－2,7)，BC →＝3PC →＝(－6,21)．18.已知O 为坐标原点，向量(2,),(,1),(5,1).OA m OB n OC =-==-若A,B,C 三点共线，且2m n =，求实数,m n 的值19.已知点A(3，0),B(-1，-6), P 是直线AB 上一点，且1||||3AP AB =，求点P 的坐标.20. 已知向量(cos ,sin )m θθ=和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈，且8||25m n +=，求cos()28θπ+的值。

向量公式大全向量是物理和数学中常用的重要概念，它可以用于描述力、速度、位移等物理量的大小和方向。

在数学中，向量可以用来表示空间中的点、线和平面等几何概念。

本文将为您介绍一些常用的向量公式和相关概念。

一、向量的基本概念和运算法则1.向量的表示方式向量通常用有向线段来表示，可以用线段的起点和终点表示。

2.向量的零元素对于向量a，存在一个特殊的向量0，使得a+0=a，称0为零向量。

3.向量的加法和减法向量的加法和减法遵循平行四边形法则：设a和b是两个向量，它们按照起点相连，那么a+b从起点到终点就是a和b相加的结果，a-b就是b的起点和a的终点连接而成的。

4.向量的数量乘法设k为一个实数，k乘以向量a，得到的向量ka，其大小为，ka，=，k，a，方向与a相同（当k为正数时），或者与a相反（当k为负数时）。

5.向量的数量除法设k为一个非零实数，向量a除以k，得到的向量a/k，其大小为，a/k，=，a，/，k，方向与a相同（k为正数）或者与a相反（k为负数）。

6.黎曼球面上的数量除法向量除以零是未定义的，但可以将这个向量限制到黎曼球面上，黎曼球面上的数量除法遵循“将除数和被除数投影到黎曼球面上，再进行数量除法”的原则。

7.向量的数量积向量a和b的数量积（也称内积、点积）表示为a·b=，a，b，cosθ，其中，a，和，b，分别表示a和b的大小，θ为它们之间的夹角，cosθ称为向量夹角的余弦值。

二、向量的坐标表示和坐标运算8.二维向量的坐标表示二维向量可以用有序数对(x,y)表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

9.二维向量的加法和减法设向量a和b的坐标表示分别为(a₁,a₂)和(b₁,b₂)，它们的和为(a₁+b₁,a₂+b₂)，差为(a₁-b₁,a₂-b₂)。

10.二维向量的数量乘法设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，实数k的坐标表示为(k, k)，则ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。