下载文档原格式
（本文档资料包括高一必修一数学各章节的课后同步练习与答案解析）第一章1．1 1.1.1集合的含义与表示课后练习[A组课后达标]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．12．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．25．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________。
7．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________。
8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________。
9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。
10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值。
[B组课后提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集。
其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________。
高一数学练习册答案高一数学练习册答案篇一:数学配套练习册答案配套练习册的作业最好当天完成。
下面要为大家分享的就是数学配套练习册答案，希望你会喜欢！数学配套练习册答案(一)有理数的乘法基础知识1~2：D;B;B4、-12;-105、1/86、07、(1)35(2)-360(3)-4.32(4)21.6(5)1/6(6)2/3(7)60(8)-2能力提升8、43℃9、4探索和研究10、1/100数学配套练习册答案(二) 科学记数法基础知识12345CBCBB6、(1)3.59×10;-9.909×107、68、6×109、3.75×1010、6.37×1011、4270012、1.29×10m13、(1)2×10(2)-6.9×1014、(1)-30000000(2)87400(3)-98000能力提升15、(1)1.08×10 (2)6.1×10(3)1.6×1016、(1)70×60×24×365=3.6792×10(次)(2)若人正常寿命60~80岁，则3.679×10×60 1亿，所以一个正常人一生的心跳次数能达到1亿次17、-2.7×1018、9.87×10 1.02×1019、3.1586×10s探索研究20、4.32×10个，4.32×10个数学配套练习册答案(三)相反数基础知识1~4：B;A;C;A5、14/9;16;36、1.1;27、3.68、-2.59、110、图略;-5 -3 -2 -1/3 0 1/3 2 3 5 11、(1)54(2)-3.6(3)-5/3(4)2/512、(1)-0.5(2)1/5(3)-2mn(4)a能力提升13、214、∵a-2=7，∴a=915、0探究研究16、3;互为相反数高一数学练习册答案篇二:高一数学小测题目及答案高一数学小测题目及答案１.下列各组对象不能构成集合的是( )A.所有直角三角形B.抛物线y=x2上的所有点C.某中学高一年级开设的所有课程D.充分接近3的所有实数解析 A、B、C中的对象具备“三性”，而D中的对象不具备确定性.答案 D2.给出下列关系：①12∈R;②2R;③|-3|∈N;④|-3|∈Q.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析①③正确.答案 B3.已知集合A只含一个元素a，则下列各式正确的是( )A.0∈AB.a=AC.aAD.a∈A答案 D4.已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取( )A.1B.-1C.-1和1D.1或-1解析由集合元素的互异性知，a2≠1，即a≠±1.答案 C5.设不等式3-2x 0的解集为M，下列正确的是( )A.0∈M,2∈MB.0M,2∈MC.0∈M,2MD.0M,2M解析从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3-2x 0的解即可.当x=0时，3-2x=3 0，所以0不属于M，即0M;当x=2时，3-2x=-1 0，所以2属于M，即2∈M.答案 B6.已知集合A中含1和a2+a+1两个元素，且3∈A，则a3的值为( )A.0B.1C.-8D.1或-8解析3∈A，∴a2+a+1=3，即a2+a-2=0，即(a+2)(a-1)=0，解得a=-2，或a=1.当a=1时，a3=1.当a=-2时，a3=-8.∴a3=1，或a3=-8.答案 D高一数学练习册答案篇三:高中数学三角函数练习题及答案一、选择题1．探索如图所呈现的规律，判断2 013至2 014箭头的方向是() 图1－2－3【解析】观察题图可知0到3为一个周期，则从2 013到2 014对应着1到2到3.【答案】 B2．－330是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】－330＝30＋(－1)360，则－330是第一象限角．【答案】 A3．把－1 485转化为＋k360，kZ)的形式是()A．45－4360 B．－45－4360C．－45－5360 D．315－5360【解析】－1 485＝－5360＋315，故选D.【答案】 D4．(2023济南高一检测)若是第四象限的角，则180－是() A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角【解析】∵是第四象限的角，k360－90k360，kZ，－k360＋180180－－k360＋270，kZ，180－是第三象限的角．【答案】 C5．在直角坐标系中，若与的终边互相垂直，则与的关系为()A．＝＋90B．＝90C．＝＋90－k360D．＝90＋k360【解析】∵与的终边互相垂直，故－＝90＋k360，kZ，＝90＋k360，kZ. 【答案】 D二、填空题6．，两角的终边互为反向延长线，且＝－120，则＝________.【解析】依题意知，的终边与60角终边相同，＝k360＋60，kZ.【答案】 k360＋60，kZ7．是第三象限角，则2是第________象限角．【解析】∵k360＋180k360＋270，kZk180＋90k180＋135，kZ当k＝2n(nZ)时，n360＋90n360＋135，kZ，2是第二象限角，当k＝2n＋1(nZ)时，n360＋270n360＋315，nZ2是第四象限角．【答案】二或四8．与610角终边相同的角表示为________．【解析】与610角终边相同的角为n360＋610＝n360＋360＋250＝(n＋1)360＋250＝k360＋250(kZ，nZ)．【答案】 k360＋250(kZ)三、解答题9．若一弹簧振子相对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)的函数关系如图所示，图1－2－4(1)求该函数的周期；(2)求t＝10.5 s时该弹簧振子相对平衡位置的位移．【解】 (1)由题图可知，该函数的周期为4 s.(2)设本题中位移与时间的函数关系为x＝f(t)，由函数的周期为4 s，可知f(10.5)＝f(2.5＋24)＝f(2.5)＝－8(cm)，故t＝10.5 s时弹簧振子相对平衡位置的位移为－8 cm.图1－2－510．如图所示，试表示终边落在阴影区域的角．【解】在0～360范围中，终边落在指定区域的角是0或315360，转化为－360～360范围内，终边落在指定区域的角是－4545，故满足条件的角的集合为{|－45＋k36045＋k360，kZ}．11．在与530终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720到－360的角．【解】与530终边相同的角为k360＋530，kZ.(1)由－360＜k360＋530＜0，且kZ可得k＝－2，故所求的最大负角为－190.(2)由0＜k360＋530＜360且kZ可得k＝－1，故所求的最小正角为170(3)由－720k360＋530－360且kZ得k＝－3，故所求的角为－550.。
2022-2023学年高中高一下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：50 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 若函数，则以下判断正确的是（ ）A.函数是周期为的奇函数B.函数是周期为的偶函数C.函数是周期为的偶函数D.函数是周期为的奇函数2. 已知角是的一个内角，则“ ”是“ ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.f (x)=sin(x −)12π2f (x)πf (x)2πf (x)4πf (x)4πα△ABC sin α=12cos α=3–√2y =f (x)[−,1)12y =f (sin x)[−,]π67π6[−+2kπ,+2kπ]π67π6[+2kπ,+2kπ)7π611π6[−+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ]π6π2π27π6y =sin(2x +θ)–√4. 已知函数是偶函数，则的一个值是（ ）A.B.C.D.5. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为( )A.B.C.D.6. 已知函数的最小正周期为，若在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）7. 已知函数，若将函数的图象平移后能与函数＝的图象完全重合，则下列说法正确的有（ ）y =sin(2x +θ)2–√θπ−π2π4−π8f (x)f (x)f (x)=ln |x|2+cos xf (x)=2−ln |x|sin xf (x)=cos x ⋅ln |x|f (x)=sin x ⋅ln |x|f (x)=8sin(ωx −)(ω>0)π3πf (x)[−,]π24m 3[,]m 22π3m [π,π]32[π,π]5654[,]π3π2[−,π]π843f(x)y sin 2x f(x)A.函数的最小正周期为B.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称C.当时，函数的值域为D.当函数取得最值时，8. 设函数，则下列命题中正确的有( )A.当时，函数在上有最小值B.当时，函数在是单调增函数C.若，则D.方程可能有三个实数根卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）9. （5分） 定义在上的偶函数 满足 ,且当 时，，则的零点个数为________.四、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ） 10.(5分) 已知函数，其中常数．若在上单调递增，求的取值范围；令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，区间，且满足：在上至少含有个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．f(x)πf(x)y f(x)f(x)f (x)=x|x|−bx +c b >0f (x)R b <0f (x)R f (2020)+f (−2020)=2022c =1011f (x)=0R f(x)f(x)=f(4−x)x ∈[0,2]f(x)=cos x g(x)=f(x)−lg|x|f(x)=2sin(ωx)ω>0(1)y =f(x)[−,]π42π3ω(2)ω=2y =f(x)π61y =g(x)[a,b](a b ∈R a <b)y =g(x)[a,b]30[a,b]b −a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法诱导公式函数奇偶性的判断【解析】利用诱导公式化简函数解析式，再利用三角函数的性质求解即可.【解答】解：函数，所以函数为偶函数，且最小正周期为.故选.2.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断任意角的三角函数【解析】首先求出各自情况下，的角，即可判断充要性.【解答】f (x)=sin(x −)=−sin(−x)=−cos x 12π2π21212=4π2π12C αα=–√解：∵，又是的内角，∴.∵，又是的内角，∴或，∴“”是“”的必要不充分条件.故选．3.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法正弦函数的定义域和值域【解析】因为函数的定义域为，函数中，，解得，故选．【解答】解：因为函数的定义域为，函数中，，解得，故选．4.【答案】B【考点】余弦函数的奇偶性【解析】把选项的值分别代入函数中的，化简函数表达式，判断是不是偶函数即可．cos α=3–√2α△ABC α=π6sin α=12α△ABC α=π65π6sin α=12cos α=3–√2B y =1(x)−[,1)12y =f (sin x)−≤sin x <112x ∈[−+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ]π6π2π27π6D y =f (x)−[,1)12y =f (sin x)−≤sin x <112x ∈[−+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ]π6π2π27π6D θ解：因为，，是奇函数，不正确；因为，，是偶函数，正确；因为，，不是奇函数也不是偶函数，不正确；因为，，不是奇函数也不是偶函数，不正确；故选．5.【答案】D【考点】函数的图象函数奇偶性的判断【解析】根据题意，依次分析选项中函数是否符合函数的图象，综合即可得答案．【解答】解：，，其定义域为，，不符合题意，排除；，，其定义域为，不符合题意，排除；，，其定义域为，，不符合题意，排除；，，其定义域为，，符合题意．故选．6.【答案】B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的性质正弦函数的单调性【解析】答案未提供解析．θ=πy =sin(2x +π)=−sin 2x 2–√2–√A θ=−π2y =sin(2x −)=−cos 2x 2–√π22–√B θ=π4y =sin(2x +)2–√π4C θ=−π8y =sin(2x −)2–√π8D B A f (x)=ln |x|2+cos x x ≠0f (−x)=ln |−x|2+cos(−x)==f(x)ln |x|2+cos x A B f (x)=2−ln |x|sin x {x|x ≠kπ,k ∈Z}B C f (x)=cos x ⋅ln |x|x ≠0f (−x)=cos(−x)⋅ln |−x|=f (x)C D f (x)=sin x ⋅ln |x|x ≠0f (−x)=sin(−x)⋅ln |−x|=−sin x ⋅ln |x|=−f (x)D解：由题意，得，解得．由，，解得，，，，解得，.因为在上单调递增，在上单调递减，所以 解得，所以实数的取值范围是．故选．二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）7.【答案】A,B,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得＝，由题意可求＝，可得，利用周期公式可判断；利用三角函数平移变换可求的图象向左平移个单位长度后的函数解析式为＝，利用余弦函数的性质可判断；由已知可求范围，利用正弦函数的性质可求的值域即可判断；利用正弦函数的性质，令，即可判断．【解答】=π2πωω=22kπ−≤2x −≤2kπ+π2π3π2k ∈Z kπ−≤x ≤kπ+π125π12k ∈Z 2kπ+≤2x −≤2kπ+π2π33π2k ∈Z kπ+≤x ≤kπ+5π1211π12k ∈Z f (x)[−,]π24m 3[,]m 22π3 ≤,m 35π12≥,m 25π12≤m ≤5π65π4m [π,π]5654B f(x)ω1A f(x)y cos 2x B f(x)C D由题意得，＝＝＝．因为函数的图象平移后能与函数＝的图象完全重合，所以＝．因为，所以函数的最小正周期，故正确．将的图象向左平移个单位长度，得到曲线，其图象关于轴对称，故正确．当时，，，即的值域为，故错误．令，解得，所以当取得最值时，，故正确．8.【答案】B,C,D【考点】分段函数的应用函数最值的应用函数单调性的性质与判断函数的零点与方程根的关系【解析】由题设得，逐项讨论函数的单调性，最值，零点.【解答】解：对于，当时，令，，可知函数无最小值，故错误；对于，当时，令，可得，f(x)y sin6xω1f(x)Af(x)y Bf(x)Cf(x)Df(x)={−bx+c,x≥0x2−−bx+c,x<0x2A b>0f(x)={−bx+c,x≥0，x2−−bx+c,x<0，x2b=2c=0AB b<0f(x)={−bx+c,x≥0，x2−−bx+c,x<0，x20<<x1x2f()−f()=−+b(−)x1x2x21x22x2x1−<022b<0f()−f()<0由，，，可知，则在上单调递增，同理可得在上单调递增，且，函数在上是单调递增函数，故正确；对于，由题设将，代入得，故正确；对于，令，，则，解得，，，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）9.【答案】【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：由于定义在上的偶函数 满足 ,所以 的图象关于直线 对称.画出部分的图象如图，在同一坐标系中画出 的图象，当 时，有个交点.∵和 都是偶函数，∴在 上也是有个交点，∴ 的零点个数是.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）10.【答案】−<0x 21x 22−>0x 2x 1b <0f ()−f ()<0x 1x 2f (x)[0,+∞)f (x)(−∞,0)(−bx +c =f(0)=c >(−−bx +c x 2)min x 2)max f (x)R B C x =2020x =−2020f (x)={−bx +c,x ≥0，x 2−−bx +c,x <0，x 2c =1011C D b =2c =0f (x)=|x|x −2x =0x =02−2D BCD 10R y =f(x)f(x)=f(4−x)y =f(x)x =2x ∈[0,+∞)y =lg|x|x ∈(0,+∞)5y =lg|x|y =f(x)x ∈(−∞,0)5g(x)=f(x)−lg|x|1010−,]2π解：∵，在上单调递增，∴解得．∴的取值范围为．令，将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象；再向上平移个单位长度，得到函数的图象，令，求得，∴，或 ，，求得 或，，故函数的零点为或，,∴相邻两个零点之间的距离为或．若最小，则和都是零点，此时在区间，，，分别恰有，，，个零点，∴在区间上恰有个零点，从而在区间上至少有一个零点，∴．另一方面，在区间上恰有个零点，∴的最小值为．【考点】正弦函数的单调性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的图象函数的零点【解析】（1）依题意可得，解之即可．（2）由条件根据函数的图象变换规律，可得的解析式，令，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若最小，则和都是零点，此时在区间恰有个零点，所以在区间是恰有个零点，从而在区间至少有一个零点，即可得到，满足的条件．进一步即可得出的最小值．(1)ω>0y =f(x)=2sin ωx [−,]π42π3−ω≥−,π4π2ω≤,2π3π20<ω≤34ω(0,]34(2)ω=2y =f(x)=2sin 2x π6y =2sin 2(x +)=2sin(2x +)π6π31y =g(x)=2sin(2x +)+1π3g(x)=0sin(2x +)=−π3122x +=2kπ+π37π62x +=2kπ+π311π6k ∈Z x =kπ+5π12x =kπ+3π4k ∈Z g(x)x =kπ+5π12x =kπ+3π4k ∈Z π32π3b −a a b [a,π+a][a,2π+a]⋯[a,mπ+a](m ∈)N ∗35⋯2m +1[a,14π+a]29(14π+a,b]b −a −14π≥π3[,14π++]5π12π35π1230b −a 14π+=π343π3−ω≥−π4π2ω≤2π3π2y =A sin(ωx +φ)g(x)g(x)=0b −a a b [a,mπ+a](m ∈)N ∗2m +1[a,14π+a]29(14π+a,b]a b b −a【解答】解：∵，在上单调递增，∴解得．∴的取值范围为．令，将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象；再向上平移个单位长度，得到函数的图象，令，求得，∴，或 ，，求得 或，，故函数的零点为或，,∴相邻两个零点之间的距离为或．若最小，则和都是零点，此时在区间，，，分别恰有，，，个零点，∴在区间上恰有个零点，从而在区间上至少有一个零点，∴．另一方面，在区间上恰有个零点，∴的最小值为．(1)ω>0y =f(x)=2sin ωx [−,]π42π3 −ω≥−,π4π2ω≤,2π3π20<ω≤34ω(0,]34(2)ω=2y =f(x)=2sin 2x π6y =2sin 2(x +)=2sin(2x +)π6π31y =g(x)=2sin(2x +)+1π3g(x)=0sin(2x +)=−π3122x +=2kπ+π37π62x +=2kπ+π311π6k ∈Z x =kπ+5π12x =kπ+3π4k ∈Z g(x)x =kπ+5π12x =kπ+3π4k ∈Z π32π3b −a a b [a,π+a][a,2π+a]⋯[a,mπ+a](m ∈)N ∗35⋯2m +1[a,14π+a]29(14π+a,b]b −a −14π≥π3[,14π++]5π12π35π1230b −a 14π+=π343π3。
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
数学高一全优练习册及答案### 数学高一全优练习册及答案#### 第一章：函数与方程练习题 1：已知函数 \( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求其定义域和值域。
答案：定义域：\( \mathbb{R} \)，因为这是一个多项式函数，对所有实数都有定义。
值域：\( [1, +\infty) \)，通过完成平方或求导数找到最小值点，\( f(x) \) 在 \( x = \frac{3}{4} \) 处取得最小值 1。
练习题 2：求函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \) 的反函数。
答案：反函数为 \( g^{-1}(x) = \frac{1}{x} \)，因为 \( g(x) \) 和\( g^{-1}(x) \) 是互为反函数。
#### 第二章：三角函数练习题 3：已知 \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \) 和 \( \tan(\alpha) \) 的值。
答案：\( \cos(\alpha) = \pm\sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} =\pm\frac{4}{5} \)，取决于 \( \alpha \) 的象限。
\( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} =\pm\frac{3}{4} \)，同样取决于 \( \alpha \) 的象限。
练习题 4：求 \( \sin(2\theta) \) 的值，已知 \( \cos(\theta)= \frac{1}{2} \)。
答案：\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)，首先求\( \sin(\theta) \)，由于 \( \cos(\theta) = \frac{1}{2} \)，\( \theta \) 可能在第一或第四象限，因此 \( \sin(\theta) \) 可以是 \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) 或 \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)。
高一数学全册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若f(x) = 2x + 1，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 3D. -33. 等差数列{an}的首项为2，公差为3，则a5的值为：A. 17B. 14C. 11D. 84. 以下哪个选项是不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集？A. (1, 3)B. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)C. (-∞, 1) ∪ (3, +∞)D. (1, 3)二、填空题（每题5分，共20分）5. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(1)的值为______。
6. 等比数列{bn}的首项为1，公比为2，则b3的值为______。
7. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求A∩B的值为______。
8. 已知直线方程为y = 2x + 1，求该直线与x轴的交点坐标为______。
三、解答题（每题10分，共60分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求该函数的最小值。
10. 计算定积分∫(0到1) (2x + 3)dx。
11. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a5。
12. 求函数y = ln(x)在区间[1, e]上的值域。
13. 已知直线l：y = 3x + 2与圆C：(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9相交，求交点坐标。
14. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。
答案：一、选择题1. C2. D3. B4. A二、填空题5. 06. 87. {2, 3}8. (-1/2, 0)三、解答题9. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最小值为f(2) = -1。
10. 定积分∫(0到1) (2x + 3)dx = (x^2 + 3x)|_0^1 = 4。
高一下期数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. √2B. -πC. 1/3D. i2. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷多3. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，该数列的第5项a5等于：A. 13B. 15C. 17D. 194. 以下哪个不等式是正确的？A. |-3| > 3B. -2 < √4C. 1/2 ≤ √1/4D. -1 ≥ -25. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25，圆心到直线x + y - 5 = 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，A∪B等于：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}7. 若sinθ + cosθ = √2/2，那么sin2θ的值是：A. 1/2B. -1/2C. 1D. -18. 函数y = ln(x-1)的定义域是：A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (-∞, 1)D. (-∞, 0)9. 根据题目信息，第9题缺失。
10. 已知点A(-1, 2)和点B(2, -1)，直线AB的斜率k是：A. 1/3B. -1/3C. -3D. 3二、填空题（每题2分，共10分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，该数列的第3项b3等于______。
12. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极小值点是______。
13. 已知向量a = (3, 2)，b = (-1, 2)，向量a与b的点积是______。
14. 根据题目信息，第14题缺失。
15. 抛物线y^2 = 4x的准线方程是______。
三、解答题（共60分）16. 解不等式：|x+2| - |x-3| ≤ 5。
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y ----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2 ]1)1[l n()1(xy xy xy xy z yy ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx ex x e 221)1(++ (6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223(4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 21 7.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题 1、（1）解 函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解 函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解 由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y（2）解 由11+-=x x y 得 y y x -+=11 交换x 、y 得反函数为xxy -+=114．（1）解 只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义 （2）解 不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w wv v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u uv v yx w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解 设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加 三．计算题1、（1）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数 （2）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解 因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解 由h r V 231π=得23rv h π= 表面积： )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ四 证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f x x x x x x -=+-=+-=---习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错 四．（1） 证明 令12+=n nx n ε<=<+=-nn n n n x n 11022只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01lim2=+∞→n nn（2）证明 因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有 2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f > 习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错； 四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→xxxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++∞→+∞→ 2132123lim 22=+=∞→n nn n 7、因为 0lim =-+∞→xx e1sin ≤x 所以 0sin lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B二、1.sin tan x x x << 2．０ 三、1.（1）0sin 77limtan 55x x x →=解：（2）0lim sin0x x xπ→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x x x xx x x x→→→---===-+++解： （4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n n n n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++==原式 （2）()1()1111lim(1)lim 1xx x x x x e ---•-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式=（3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-•---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e •→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n nn n n n n nn•→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式 四．1.证明：2......n n n π<+<+1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->>n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B，2．B，3．B，4．B，5。
2022-2023学年高中高一下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有，，名教师，则从学校中应抽取的人数为（ ）A.B.C.D.2. 已知一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，且这组数的中位数是，那么这组数据的众数是( )A.B.C.D.3. 若，，则（ ）A.B.C.D.4. 方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为 A.甲B.丙A B C 60A B C 18027090C 10121824−8−14x 1013776410θ∈(0,)π2sin θ−cos θ=2–√2cos 2θ=3–√2−3–√2±3–√2±12()C.戊D.庚5. 在直三棱柱中，已知，，，为的中点，点为的中点，点在线段上，且，则线段的长为（ ）A.B.C.D.6. 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为( )A.B.C.D.7. 矩形中，，，点为中点，沿把折起，点到达点，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.ABC −A 1B 1C 1∠BCA =90∘∠BAC =60∘AC =4E AA 1F BE H CA 1H =3HC A 1FH 23–√413−−√3ABCD AB//CD AB =3CD =1A =4A 1A B A 1B 1AD BC B 1C 1A 1D 1ABCD 252372ABCD AB =4AD =2E CD AE △ADE D P PAE ⊥ABCE AB PC 14122–√2–√D.8. 已知的垂心为，且，，是的中点，则=（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列命题中，正确的命题有( )A.已知随机变量服从二项分布，若，，则B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量服从正态分布，若，则D.若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率为10. 下列说法正确的有( )A.若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，B.若复数满足，则的最大值为C.份不同的礼物分配给甲、乙、丙三人，每人至少分得一份，共有种不同分法D.个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法11. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，以下四个结论中正确的是( )A.平面B.C.若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积3–√2△ABC H AB =3AC =5M BC ⋅HM −→−BC −→−5678B (n,p)E (X)=30D (X)=20p =23ξN (0,1)P (ξ>1)=p P (−1<ξ≤0)=−p 12X N (90,900)29038X E (X)=5D (X)=2E (2X −1)=9D (2X −1)=8z |z −3−4i|=1|z|6472104C 39S O AB CD AB ⊥CD SAD∩SBC =l AD//SBCl//ADE △SAE △SAB l SCD 45∘D.与平面所成的角为 12.如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若＝，则复数在复平面内对应的点的坐标是________．14. 在中，，的面积为，则________.15. 某射击运动员在五次射击中分别打出了，，，，环的成绩，已知这组数据的平均数为，则这组数据的方差为________．16. 已知母线长为 ，侧面积为的圆锥顶点和底面在同一个球面上，则该球的体积为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.（1）用斜二测画法作出边长为、高的矩形的直观图；（2）画出正四棱锥的三视图．18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率l SCD 45∘O ABCDEF =CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−iz −1+i z △ABC a =1,cos C =34△ABC 7–√4c =10x 107993–√π323cm 4cm 695010%上一个年度未发生有责任（或发生无责任）道路交通事故下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究国内某一品牌某型号普通座以下私家车(以下简称为“研牌车”)的投保情况，随机抽取了辆车龄刚满一年的“研牌车”下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 数量 4436182求该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率；若任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，求“研牌车”在第二年续保时保费的平均数. 19. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取次，记录如下：甲 乙 求甲成绩的分位数；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．20. 如图，在四边形中， ，，．求；若，求周长的最大值． 21. 如图，正三棱柱中，，，为的中点，为边上的动点．当点为的中点时，证明平面．若，求三棱锥的体积．22. 在如图所示几何体中，已知底面，，，，是的中点.A 110%A 20%A 310%A 430%6100A 1A 2A 3A 4(1)(2)882817978958893849295807583809085(1)80%(2)ABCD CD =33–√BC =7–√cos ∠CBD =−7–√14(1)∠BDC (2)∠A =π3△ABD ABC −A 1B 1C 1AB =2A =3A 1D B C 1P AB (1)P AB DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB B −CDP AE ⊥ABC BF//AE BF =2AE AB =AC D BC证明：平面；证明：平面平面.(1)AD//CEF (2)ADF ⊥BCF参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】分层抽样方法【解析】利用分层抽样的性质直接求解．【解答】为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取名教师进行调查，，，三所学校中分别有，，名教师，从学校中应抽取的人数为：．2.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】直接利用中位数的定义列方程求出，再根据众数的定义求解即可．【解答】解：因为，，，，，，的中位数是，所以，解得.因为这组数据有两个，其他数据都是个，所以这组数据的众数是.故选．3.【答案】B【考点】二倍角的余弦公式A B C 60A B C 18027090C 60×=1090180+270+90x =10−8−14x 10137(x +4)=712x =1010110D【解析】通过对表达式平方，求出的值，然后利用二倍角公式求出的值，得到选项．【解答】解：∵ ，∴，∵，∴，，∴，.故选．4.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】本题考查了合理推理的应用．由题设条件进行简单的合情推理既得答案．【解答】解：根据题中给出的条件，七名护士的值夜班顺序为：戊、乙、丁、己、庚、丙、甲．所以周五值夜班的护士为庚．故选．5.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，．可得，，利用空间两点间的距离公式计算即可．【解答】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，cos θ+sin θcos 2θ(sin θ−cos θ=)2122sin θcos θ=12θ∈(0,)π2sin θ>0cos θ>0sin θ+cos θ==(sin θ−cos θ+4sin θcos θ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6–√2cos 2θ=θ−θ=(cos θ+sin θ)(cos θ−sin θ)cos 2sin 2=×(−)=−6–√22–√23–√2B D C C(0,0,0)A(0,4,0)B(0,4,0)3–√E(4,0,m)(4,0,2m)A 1F(2,2,)3–√m 2H(1,0,)m 2C∵，，，∴，则，，，，．∵点为的中点，∴，∵点在线段上，且，∴∴．故选．6.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：设四棱柱的底面梯形的高为，，的中点分别为，，设水面高为，则水的体积即，解得.故选．7.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析∠BCA =90∘∠BAC =60∘AC =4BC =43–√C(0,0,0)A(4,0,0)B(0,4,0)3–√E(4,0,m)(4,0,2m)A 1F BE F(2,2,)3–√m 2H CA 1H =3HC A 1H(1,0,)m 2FH ==(2−1+(2−0+(−)23–√)2m 2m 2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√13−−√C 2a AD BC F E h V 水=⋅A S 四边形ABEF A 1=⋅hS 四边形ABCD ⋅4(2+3)a 2=⋅h (1+3)2a 2h =52B【解答】解：因为，所以异面直线与所成角就是或其补角.在中，，，作，垂足为，如图，则，，所以，所以.故选．8.【答案】D【考点】平面向量数量积余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】正态分布的密度曲线二项分布与n 次独立重复试验的模型极差、方差与标准差【解析】无【解答】AB//CB AB PC ∠PCE △PCE EC =2PE =2DO ⊥AE O DO =2–√OC =10−−√PG ===2P +O O 2C 2−−−−−−−−−−√2+10−−−−−√3–√cos ∠PCE =P +E −P C 2C 2E 22PC ⋅EC==12+−22222×2×23–√3–√2D =1解：．根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以错误；．根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以正确；．由正态分布的图象的对称性可得，所以正确；．甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率，所以正确．故选．10.【答案】A,B,D【考点】离散型随机变量的期望与方差命题的真假判断与应用复数的代数表示法及其几何意义排列、组合及简单计数问题【解析】根据离散型随机变量的数学期望和方差的性质即可知正确；根据复数的几何意义可知正确；根据先分组再分配的原则可知错误，利用挡板法可知正确．【解答】解：对于，因为离散型随机变量的数学期望为，方差为，所以，，所以正确；对于，因为，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，所以表示点与原点的距离，根据圆的几何性质可知，的最大值为，所以正确；对于，份不同的礼物分组的方式只有，，，所以只有种情况，再分配给三人，有种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的方法，所以错误；对于，个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配个名额，采用挡板法可知，共有种不同的分法，所以正确，故选．11.【答案】A,B,D【考点】A E(X)=np =30D(X)=np(1−p)=20p =13A B B C P (−1<ξ≤0)=1−2P(ξ>1)2==−p 1−2p 212C D 290(1−)=C 23()1221238D BCD X A B C D A X E (X)=5D (X)=2E (2X −1)=2E (X)−1=9D (2X −1)=D (X)=822A B |z −3−4i|=1z P (x,y)C (3,4)1|z|P (x,y)O |z||CO|+1=6B C 4112=6C 24A 3336C D 1041C 39D ABD直线与平面所成的角两条直线平行的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，所以四边形是正方形，所以，因为 平面， 平面，所以平面，故正确；因为平面平面，平面，平面．所以，故正确；若是底面圆周上的动点，当时，的最大面积等于的面积，当时，的最大面积等于两条母线的夹角为的截面三角形的面积，故错误；因为，与平面所成的角就是与平面所成的角，即，故正确．故选．12.【答案】A,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：，与长度相等，方向相同，，故正确；，，故错误；，，，∵，∴，故正确；，，，∵，∴，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】S O AB CD AB ⊥CD ACBD AD//BC BC ⊂SBC AD ⊂SBC AD//SBC A SAD∩SBC =l AD ⊂SAD AD//SBC l//AD B E ∠ASB ≤90∘△SAE △SAB ∠ASB >90∘△SAE 90∘C l//AD l SCD AD SCD ∠ADO =45∘D ABD A ∵CB −→−EF −→−∴=CB −→−EF −→−A B ++OA −→−OC −→−OB −→−=++=2OA −→−AB −→−OB −→−OB −→−B C ⋅=⋅=||⋅||⋅cos OA −→−FA −→−OA −→−OB −→−OA −→−OB −→−60∘⋅=⋅=||⋅||ED −→−BC −→−AB −→−OA −→−AB −→−OA −→−cos ∘||=||=||OA −→−OB −→−AB −→−⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC −→−C D |+|=||OF −→−OB −→−OA −→−|−|=||OC −→−OB −→−BC −→−||=||OA −→−BC −→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−D ACD (1,1)【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．【解答】∵＝，∴＝，则复数在复平面内对应的点的坐标是，14.【答案】【考点】三角形的面积公式余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∵的面积为，，∴，解得：，∴，解得：.故答案为：.15.【答案】【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数求出的值，再计算方差的值．(1,1)iz −1+i −i ⋅iz −i ⋅(−1+i)z (8,1)2–√cos C =34sin C =7–√4△ABC 7–√4a =1ab sin C =127–√4b =2cos C ==+−a 2b 2c 22ab 34c =2–√2–√65x解：五次射击中分别打出了，，，，环，∴这组数据的平均数为，解得；∴这组数据的方差是．故答案为：.16.【答案】【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：圆锥母线长为 ，侧面积为，底面圆半径为.圆锥的高.圆锥的轴截面如图，设球的半径为，∵圆锥的高，底面圆的半径，∴，即＝，解得：，故该球的体积．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.10x 1079×(10+x +10+7+9)=159x =9=×[2×(10−9+(7−9+2×(9−9]=s 215)2)2)265654π3∵3–√π32∴r =3–√2∴h ==(−(3–√)23–√2)2−−−−−−−−−−−−√32R h =32r =3–√2=R 2(h −R +)2r 2R 2(−R +32)234R =1V =π×=43134π34π3解：（1），①在已知中取、所在边为轴与轴，相交于点（与重合），画对应轴，轴使②在轴上取，使，在轴上取，使，过作平行的直线，且等于长．③连所得四边形就是矩形的直观图．（2），正四棱锥的正视图与侧视图是相同的等腰三角形，俯视图轮廓是正方形，含有对角线，如图：【考点】斜二测画法【解析】（1）用统一的画图标准：斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作轴，轴使，然后依据平行投影的有关性质逐一作图．（2）直接利用正四棱锥的图形，判断正视图，侧视图，俯视图的形状画图即可．【解答】解：（1），①在已知中取、所在边为轴与轴，相交于点（与重合），画对应轴，轴使②在轴上取，使，在轴上取，使，过作平行的直线，且等于长．③连所得四边形就是矩形的直观图．（2），正四棱锥的正视图与侧视图是相同的等腰三角形，俯视图轮廓是正方形，含有对角线，如图：18.【答案】ABCD AB AD X Y O O A X'Y '∠X'O'Y '=45∘X'A'B'A'B'=AB Y 'D'A'D'=AD 12D'D'C'X'A'D'C'B'A'B'C'D'ABCD X'Y '∠X'O'Y '=45∘ABCD AB AD X Y O O A X'Y '∠X'O'Y '=45∘X'A'B'A'B'=AB Y 'D'A'D'=AD 12D'D'C'X'A'D'C'B'A'B'C'D'ABCD 18+21解：该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率.任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，：元，：元，：元，：元，“研牌车”在第二年续保时保费的平均数【考点】频数与频率众数、中位数、平均数、百分位数【解析】本题考查数据统计本题考查概率统计，平均数【解答】解：该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率.任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，：元，：元，：元，：元，“研牌车”在第二年续保时保费的平均数19.【答案】解：把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：因为一共有个数据，所以，不是整数，所以甲成绩的分位数是第个数据．，，，，∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．【考点】众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】无无(1)=18+210015(2)A1950(1−10%)=855A 2950(1+0%)=950A 3950(1+10%)=1045A 4950(1+30%)=1235=(855×44+950×36+1045×18+1235×2)×=931x ¯¯¯1100(1)=18+210015(2)A1950(1−10%)=855A 2950(1+0%)=950A 3950(1+10%)=1045A 4950(1+30%)=1235=(855×44+950×36+1045×18+1235×2)×=931x ¯¯¯1100(1)787981828488939588×80%=6.480%793(2)=(78+79+81+82+84+88+93+95)=85x ¯¯¯甲18=(75+80+80+83+85+90+92+95)=85x ¯¯¯乙18=[(78−85+(79−85+(81−85+s 2甲18)2)2)2(82−85+)2(84−85+)2(88−85+)2(93−85+)2(95−85])2=35.5=[(75−85+(80−85+(80−85+s 2乙18)2)2)2(83−85+)2(85−85+)2(90−85+)2+(92−85)2](95−85)2=41=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙解：把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：因为一共有个数据，所以，不是整数，所以甲成绩的分位数是第个数据．，，，，∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．20.【答案】解：在中，可知，所以，利用正弦定理得：，∴，又∵为钝角，∴为锐角，∴.在中，由余弦定理得，，解得： 或（舍去），在中，，设，，由余弦定理得，，即，整理得： ，又，，利用基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立，即，所以，所以周长的最大值为．【考点】同角三角函数间的基本关系(1)787981828488939588×80%=6.480%793(2)=(78+79+81+82+84+88+93+95)=85x ¯¯¯甲18=(75+80+80+83+85+90+92+95)=85x ¯¯¯乙18=[(78−85+(79−85+(81−85+s 2甲18)2)2)2(82−85+)2(84−85+)2(88−85+)2(93−85+)2(95−85])2=35.5=[(75−85+(80−85+(80−85+s 2乙18)2)2)2(83−85+)2(85−85+)2(90−85+)2+(92−85)2](95−85)2=41=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙(1)△BCD cos ∠CBD =−7–√14sin ∠CBD ==1−(−)7–√142−−−−−−−−−−−√321−−√14=CD sin ∠CBD BC sin ∠BDC sin ∠BDC ===BC ⋅sin ∠CBD CD ×7–√321−−√1433–√12∠CBD ∠BDC ∠BDC =π6(2)△BCD cos ∠CBD =B +B −C C 2D 2D 22BC ⋅BD =7+B −27D 22⋅BD7–√=−7–√14BD =4BD =−5△ABD ∠A =π3AB =x AD =y cos A =A +A −B B 2D 2D 22AB ⋅AD =+−16x 2y 22xy =12+−16=xy x 2y 2−16=3xy (x +y)2x >0y >0−16=3xy ≤(x +y)23(x +y)24≤16(x +y)24≤64(x +y)2x =y =4=8(x +y)max =8+4=12(AB +AD +BD)max △ABD 12余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：在中，可知，所以，利用正弦定理得：，∴，又∵为钝角，∴为锐角，∴.在中，由余弦定理得，，解得： 或（舍去），在中，，设，，由余弦定理得，，即，整理得： ，又，，利用基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立，即，所以，所以周长的最大值为．21.【答案】证明：连接、．(1)△BCD cos ∠CBD =−7–√14sin ∠CBD ==1−(−)7–√142−−−−−−−−−−−√321−−√14=CD sin ∠CBD BC sin ∠BDC sin ∠BDC ===BC ⋅sin ∠CBD CD ×7–√321−−√1433–√12∠CBD ∠BDC ∠BDC =π6(2)△BCD cos ∠CBD =B +B −C C 2D 2D 22BC ⋅BD =7+B −27D 22⋅BD7–√=−7–√14BD =4BD =−5△ABD ∠A =π3AB =x AD =y cos A =A +A −B B 2D 2D 22AB ⋅AD =+−16x 2y 22xy =12+−16=xy x 2y 2−16=3xy (x +y)2x >0y >0−16=3xy ≤(x +y)23(x +y)24≤16(x +y)24≤64(x +y)2x =y =4=8(x +y)max =8+4=12(AB +AD +BD)max △ABD 12(1)DP AC 1AB B C DP //AC∵为中点，为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．解：由，得．过点作于，则，且．∵，∴．∵ 平面，∴平面．边上的高，又∵，∴．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：连接、．∵为中点，为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．解：由，得．过点作于，则，且．∵，∴．∵平面，∴平面．边上的高，又∵，∴．22.【答案】证明：取中点，连接，P AB D B C 1DP //AC 1A ⊂C 1ACC 1A 1DP ⊂ACC 1A 1DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB PB =AB =1412D DE ⊥BC E DE //CC 1DE =C 12C 1C =3C 1DE =32CC 1⊥ABCDE ⊥CBP △ABC ==−(2222)2−−−−−−−−√3–√==××2×=S △CBP 14S △ABC 14123–√3–√4==××=V B−CDP V D−CBP 133–√4323–√8(1)DP AC 1P AB D B C 1DP //AC 1A ⊂C 1ACC 1A 1DP ⊂ACC 1A 1DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB PB =AB =1412D DE ⊥BC E DE //CC 1DE =C 12C 1C =3C 1DE =32CC 1⊥ABC DE ⊥CBP △ABC ==−(2222)2−−−−−−−−√3–√==××2×=S △CBP 14S △ABC 14123–√3–√4==××=V B−CDP V D−CBP 133–√4323–√8(1)CF G DG ，EG∵为中点，∴且，又，，∴且,∴四边形为平行四边形，∴，且面，∴平面.∵，为中点，∴.又∵面，∴面.∵面，∴.又∵，∴面.又∵面，∴平面平面.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】由已知中为的中点，易判断四边形为平行四边形，进而，同时，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．取的中点，连接，以为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角的大小．【解答】证明：取中点，连接，D BC DG//BF DG =BF 12BF//AE BF =2AE DG//AE DG =AE ADGE AD//EG AD ⊂CEF AD//CEF (2)AB =AC D BC AD ⊥BC AE ⊥ABC,BF//AEBF ⊥ABC AD ⊂ABC BF ⊥AD BF ∩BC =B AD ⊥BCF AD ⊂ADF ADF ⊥BCF (I)F CD ABCD AF //BC EF //SC (II)AB O SO O SAC ACF S −AC −F (1)CF G DG ，EG∵为中点，∴且，又，，∴且,∴四边形为平行四边形，∴，且面，∴平面.∵，为中点，∴.又∵面，∴面.∵面，∴.又∵，∴面.又∵面，∴平面平面.D BC DG//BF DG =BF 12BF//AE BF =2AE DG//AE DG =AE ADGE AD//EG AD ⊂CEF AD//CEF (2)AB =AC D BC AD ⊥BC AE ⊥ABC,BF//AE BF ⊥ABC AD ⊂ABC BF ⊥AD BF ∩BC =B AD ⊥BCF AD ⊂ADF ADF ⊥BCF。
2022-2023学年高中高一下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为( )A.8，15，7B.16，2，2C.16，3，1D.12，5，32. 一组数据16，16，15，14，12，11的平均数为( )A.11B.12C.13D.143. 若cos(π4+α)=35，则sin2α=( )A.15B.−15C.725D.−7254. 甲、乙、丙、丁四名游客到重庆旅游，他们都只去了磁器口古镇、洪崖洞民俗风貌区、李子坝轻轨穿楼及乌江画廊四个网红景点中的某2个，已知甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点．则四人中去过磁器口古镇的人数是（ ）A.1B.2C.3D.45. 已知直三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）A.2√2B.3C.2√3D.46. 若正方体的棱长为√2，则以该正方体各个面的中心为顶点的多面体的体积为( )A.√26B.√23C.√33D.237. 如图，已知两条异面直线a,b.所成的角为、 a ，点M,N分别在a,b上，且 MN⊥aMN⊥b P,Q分别为直线a,b上位于线段 MN同侧的两点，则PQ的长为（）A.√MP2+NQ2+MN2−2MP⋅NOcosθB.√MP2+NQ2+MN2+2MP⋅NOcosθC.{\sqrt{MP^{2}+ NQ^{2}+ MN^{2}- 2MP\cdot NO\operatorname{ sin }\theta}D.{\sqrt{MP^{2}+ NQ^{2}+ MN^{2}+ 2MP\cdot NQ\operatorname{ sin }\theta}8. 以BC为斜边的Rt△ABC中， BC2=AB2+AC2，由类比推理．在三棱锥P−ABC中，若PA，PB，PC．两两垂直，PA=a,PB=b,PC=c,S△ABC=s1,SΔA=S2S△APB=s3，则（）S△ABC=A.√a2b2+b2c2+a2c2B.√s21s22+s22S23+S23S21C.√a2+b2+c2D.√s21+s22+s23二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 某工厂组织员工进行专业技能比赛，下图是7位评委对甲、乙两位员工评分（满分10分）的雷达图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数B.甲得分的众数大于乙得分的众数C.甲得分的平均数与乙得分的平均数相等D.甲得分的极差小于乙得分的极差10. 下列命题中，错误的是( )A.若z1，z2∈C，且z1−z2<0，则z1<z2B.若x+yi=1+i（x，y∈C），则x=y=1C.若z=a+bi（a，b∈R）则当且仅当a=0且b=0时，z=0D.若z1，z2∈C，且z21+z22=0，则z1=z2=011. 如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面SAD∩平面SBC=l，以下四个结论中正确的是( )A.AD//平面SBCB.l//ADC.若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积D.l与平面SCD所成的角为45∘12. 如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是( )A.→CB=→EFB.→OA+→OC+→OB=→0C.→OA⋅→FA=→ED⋅→BCD.|→OF+→OD|=|→OC−→OB|卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 若iz＝−1+i，则复数z在复平面内对应的点的坐标是________．14. 在△ABC中，a=1,cosC=34，△ABC的面积为√74，则c=________.15. 已知一组数据82，91，89，88，90，则这组数据的方差为________．16. 已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90∘，则球O的体积为________.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 如图，OABC是水平放置的等腰梯形，其上底长是下底长的一半，试用斜二测画法画出它的直观图（不写作法，保留作图痕迹．）18. 为增强学生体质，加强学生锻炼意识，某学校在高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率分布直方图如图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120) ，[120,130)上的频率依次成等差数列．(1)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(2)估计样本中这160名学生一分钟跳绳次数的中位数（结果精确到个位）．19. 甲，乙两名射击运动员在相同条件下进行水平测试，各射击10次，命中的环数如下：(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)现要从甲，乙两人中选拔一人去参加比赛，根据上面的测试结果，你认为应该派谁去合适？并且说明理由. 20. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ab +ba =sin 2CsinAsinB −1.(1)求角C ；(2)若BC =4 ，△ABC 的中线CD =2，求△ABC 的面积．21. 如图，三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA =AB ，点E ，F 分别为PA ，AB 的中点，点D 在PC 上，且PD =2DC.(1)证明：CF// 平面BDE ；(2)若△ABC 是边长为2的等边三角形，求三棱锥P −BDE 的体积.22. 在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD,AD//BC,AB =1,BC =2,∠ABC =60∘.(1)求证：平面PAC ⊥平面PAB ；(2)设平面PBC ∩平面PAD =l ，求证：BC//l.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学同步练习一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】C【考点】分层抽样方法【解析】本题考查分层抽样方法，解题的主要依据是每个个体被抽到的概率相等，主要是一些比较小的数字的运算，本题是一个基础题．根据所给的三个层次的人数，得到公司的总人数，利用要抽取的人数除以总人数，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以三个层次的人数，得到结果．【解答】解：∵公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，∴公司共有160+30+10=200人，∵要从其中抽取20个人进行体检，∴每个个体被抽到的概率是20200=110，∴职员要抽取160×110=16人，中级管理人员要抽取30×110=3人，高级管理人员10×110=1人.故选C.2.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】解：因为数据为16，16，15，14，12，11，所以平均数为16+16+15+14+12+116=14.故选D．3.【答案】C【考点】诱导公式二倍角的余弦公式【解析】由已知直接利用诱导公式及二倍角的余弦求解．【解答】解：∵cos (π4+α)=35，∴sin2α=−cos(π2+2α)=−cos[2(π4+α)]=−[2cos 2(π4+α)−1]=1−2cos 2(π4+α)=1−2×(35)2=725．故选C ．4.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】由题意可知乙没有去磁器口古镇，对丙分两种情况讨论，若丙去过磁器口古镇，则丁没有去过磁器口古镇，若丙没有去过磁器口古镇，则丁一定去过磁器口古镇，所以四人中去过磁器口古镇的人数为2人．【解答】因为甲去了磁器口古镇，乙与甲没有去过相同的景点，所以乙没有去磁器口古镇，又因为丙与甲恰好去过一个相同景点，丁与丙也没有去过相同的景点①若丙去过磁器口古镇，则丁没有去过磁器口古镇，②若丙没有去过磁器口古镇，则丙去的是洪崖洞民俗风貌区、乌江画廊三个网红景点中的某2个，所以丁一定去过磁器口古镇，综上所述，四人中去过磁器口古镇的人数为2人，5.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】不妨设N 在B 处，AM =h ，CQ =m ，则有MB 2=h 2+4，BQ 2=m 2+4，MQ 2=(h −m)2+4由MB 2=，=BQ 2+MQ 2⇒m 2−hm+2=0．△=h 2−8≥0⇒h 2≥8，可得直角三角形斜边MB =√4+h 2≥2√3．【解答】解：建立空间直角坐标系(如图)，由题意可设点M(0，−1，a)，N(√3，0，b)，Q(0，1，c)，且0≤a≤6，0≤b≤6，0≤c≤6，则→MN=(√3，1，b−a)，→QN=(√3，−1，b−c)，因为△MNQ为直角三角形，由题意不妨设∠MNQ为直角，所以→MN·→QN=0，即(b−a)(b−c)+2=0，√4+(a−c)2=√4+[(a−b)+(b−c)]2斜边长|MQ|=≥√4+4(a−b)(b−c)=√4+4×2=2√3，当a−b=b−c时取等号.故选C.6.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体（即由两个同底等高的正四棱锥组成），所有棱长均为1，其√22，中每个正四棱锥的高均为2×√22=√23．故正八面体的体积V=2V正四棱锥=2×13×1故选B．7.【答案】A【考点】异面直线及其所成的角【解析】(I)B={x|log2(x+2)≤3}={x|0<x+2≤8}={x|−2<x≤6}.(II)∵A={x|x2−ax−6a2≤0}={x|(x−3a)(x+2a)≤0},B={x|−2<x≤6}.A∩B=B,∴B⊆A,当 a≥0 时,A={x|−2a≤x≤3a},则{−2≥−2a，6≤3a解得 a≥2;当 a<0时,A={x|3a≤x≤−2a}则{−2≥3a，6≤−2a解得 a≤−3.解得 a≤−3.综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞).【解答】(I)B={x|log2(x+2)≤3}={x|0<x+2≤8}={x|−2<x≤6}.(II)∵A={x|x2−ax−6a2≤0}={x|(x−3a)(x+2a)≤0},B={x|−2<x≤6}.A∩B=B,∴B⊆A,当 a≥0 时,A={x|−2a≤x≤3a},则{−2≥−2a，6≤3a解得 a≥2;当 a<0时,A={x|3a≤x≤−2a}则{−2≥3a，6≤−2a解得 a≤−3.解得 a≤−3.综上，实数a的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞).8.【答案】D【考点】类比推理柱体、锥体、台体的体积计算余弦定理二面角的平面角及求法与二面角有关的立体几何综合题【解析】此题暂无解析【解答】二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】C,D【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无【解答】解：由图可得甲的得分从小到大依次为8.8，9.1，9.3，9.5，9.5，9.7，9.9，乙的得分从小到大依次为8.5，8.9，9.4，9.6，9.6，9.8，10，则甲得分的平均数、中位数、众数、极差分别为9.4，9.5，9.5，1.1，乙得分的平均数、中位数、众数、极差分别为9.4，9.6，9.6，1.5，故A ，B 错误，C ，D 正确．故选CD ．10.【答案】A,B,D【考点】命题的真假判断与应用复数的基本概念【解析】由题意，根据复数的性质对选项进行逐一分析，进而即可求解.【解答】解：对于选项A ，因为复数不能进行比较大小，故选项A 错误；对于选项B ，因为x +yi =1+i ，若x =i ，y =−i ，则x +yi =i−i 2=1+i ，此时x ≠y ≠1，故选项B 错误；对于选项C ，已知z =a +bi （a ，b ∈R ），则当且仅当a =0且b =0时，z =0，故选项C 正确；对于选项D ，若z 1=1+i ，z 2=1−i ，则z 21=2i ，z 22=−2i ，此时z 21+z 22=0，但是z 1≠z 2≠0，故选项D 错误，综上，结论错误选项有ABD.故选ABD.11.【答案】A,B,D【考点】直线与平面所成的角两条直线平行的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，所以四边形ACBD 是正方形，所以AD//BC ，因为 BC ⊂平面SBC ， AD ⊄平面SBC ，所以AD//平面SBC ，故A 正确；因为平面SAD ∩平面SBC =l ，AD ⊂平面SAD ，AD//平面SBC ．所以l//AD ，故B 正确；若E 是底面圆周上的动点，当∠ASB ≤90∘时，△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积，当∠ASB >90∘时，△SAE 的最大面积等于两条母线的夹角为90∘的截面三角形的面积，故C 错误；因为l//AD，l与平面SCD所成的角就是AD与平面SCD所成的角，即∠ADO=45∘，故D正确．故选ABD．12.【答案】A,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：A，∵→CB与→EF长度相等，方向相同，∴→CB=→EF，故A正确；B，→OA+→OC+→OB=→OA+→AB+→OB=2→OB，故B错误；C，→OA⋅→FA=→OA⋅→OB=|→OA|⋅|→OB|⋅cos60∘，→ED⋅→BC=→AB⋅→OA=|→AB|⋅|→OA|cos∘，∵|→OA|=|→OB|=|→AB|，∴→OA⋅→FA=→ED⋅→BC，故C正确；D，|→OF+→OB|=|→OA|，|→OC−→OB|=|→BC|，∵|→OA|=|→BC|，∴|→OF+→OD|=|→OC−→OB|，故D正确．故选ACD．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】(1,1)【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．【解答】∵iz＝−1+i，∴−i⋅iz＝−i⋅(−1+i)，则复数z在复平面内对应的点的坐标是(8,1)，14.【答案】√2【考点】三角形的面积公式余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵cosC =34，∴sinC =√74，∵△ABC 的面积为√74，a =1，∴12absinC =√74，解得：b =2，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab =34，解得：c =√2.故答案为：√2.15.【答案】10【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据定义，计算这组数据的平均数和方差即可．【解答】解：数据82，91，89，88，90的平均数为¯x =15×(82+91+89+88+90)=88，方差为s 2=15×[(82−88)2+(91−88)2+(89−88)2+(88−88)2+(90−88)2]=10．故答案为：10.16.【答案】√6π【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连结EF ，EC ，取AC 的中点N ，连结PN ，BN ，取△ABC的内心O1,连结PO1，O1C,在PO1上取点O，使PO=OC，则点O即为三棱锥的外接球的球心.∵∠CEF=90∘，∴CE⊥EF.∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF//PB，∴CE⊥PB.∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AC⊥BN.∵PA=PB=PC，∴AC⊥PN.∵PN∩BN=N，∴AC⊥面PBN，∴AC⊥PB.又CE⊥PB，AC∩CE=C，∴BP⊥面PAC，∴BP⊥PC，∴△PBC是等腰直角三角形，∴PB=PC=√2.在Rt△O1NC中，√32=2√33.O1C=NCcos30∘=1在Rt△O1CP中，O1P=√PC2−O1C2=√2−43=√63.∴在Rt△OO1C中，(√63−R)2+(2√33)2=R2，√62，解得R=3=√6π.故球的体积为43πR故答案为：√6π.四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：【考点】斜二测画法【解析】在OABC的等腰梯形中，作出EC⊥OA于E，BA⊥OA于F，利用斜二测画法画出直观图．【解答】解：18.【答案】解：(1)[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列（设公差为d），故[100,110)上的频率为0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1.则[90,100) ，[100，110)，[110，120)的频率分别为0.05，0.15，0.25.(2)由[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为0.45可得中位数在[120，130)，设中位数为x，则有：(x−120)×0.035+0.45=0.5，解得x≈121.答：样本中这160名学生一分钟跳绳次数的中位数是121.【考点】频率分布直方图频数与频率等差数列的性质众数、中位数、平均数、百分位数【解析】(1)利用频数分布直方图得到[120，130)的频率，进而求出[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和，再利用[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率依次成等差数列即可得到答案.(2)由[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为0.45可得中位数在[120，130)，设中位数为x，列式即可得到答案.【解答】解：(1)[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列（设公差为d），故[100,110)上的频率为0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1.则[90,100) ，[100，110)，[110，120)的频率分别为0.05，0.15，0.25.(2)由[90，100)，[100，110)，[110,120)的频率之和为0.45可得中位数在[120，130)，设中位数为x，则有：(x−120)×0.035+0.45=0.5，解得x≈121.答：样本中这160名学生一分钟跳绳次数的中位数是121.19.【答案】解：(1)甲平均数为8+6+7+8+6+5+9+10+4+710=7，乙的平均数为6+7+7+8+6+7+8+7+9+510=7;S 2甲=110[(8−7)2+(6−7)2+...+(7−7)2]=3，S 2乙=110[(6−7)2+(7−7)2+...+(5−7)2]=1.2.(2)因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛.【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数的公式：平均数=所有数之和再除以数的个数，分别做出两组数据的平均数．【解答】解：(1)甲平均数为8+6+7+8+6+5+9+10+4+710=7，乙的平均数为6+7+7+8+6+7+8+7+9+510=7;S 2甲=110[(8−7)2+(6−7)2+...+(7−7)2]=3，S 2乙=110[(6−7)2+(7−7)2+...+(5−7)2]=1.2.(2)因为甲、乙两名同学射击环数的平均数相同，乙同学射击的方差小于甲同学的方差，乙同学的成绩较稳定，应选乙参加比赛.20.【答案】解：(1)由正弦定理得ab +ba =c 2ab −1，即a 2+b 2ab =c 2ab −1，化简得a 2+b 2−c 22ab =−12，由余弦定理得cosC =−12，由于C ∈(0，π)，所以C =2π3.(2)∵D 是AB 的中点，∴2→CD =→CA +→CB ，两边平方可得：4|→CD|2=|→CA |2+|→CB |2+2|→CA |⋅|→CB |cos 2π3，即4×22=|→CA |2+42+2×4×|→CA |×(−12)，解得|→CA |=4，∴S △ABC =12×|CA|×|CB|×sin ∠ACB=12×4×4×√32=4√3.【考点】余弦定理正弦定理三角形的面积公式向量在几何中的应用【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理求解即可；(2)由题意得到2→CD =→CA +→CB ，两边平方求出|→CA |=4，代入三角形面积公式即可得到答案.【解答】解：(1)由正弦定理得ab +ba =c 2ab −1，即a 2+b 2ab =c 2ab −1，化简得a 2+b 2−c 22ab =−12，由余弦定理得cosC =−12，由于C ∈(0，π)，所以C =2π3.(2)∵D 是AB 的中点，∴2→CD =→CA +→CB ，两边平方可得：4|→CD|2=|→CA |2+|→CB |2+2|→CA |⋅|→CB |cos 2π3，即4×22=|→CA |2+42+2×4×|→CA |×(−12)，解得|→CA |=4，∴S △ABC =12×|CA|×|CB|×sin ∠ACB=12×4×4×√32=4√3.21.【答案】(1)证明：设AE 中点为G ，连结GF,GC ，则GF//EB ， GF//平面EBD ，PGPE =PCPD =32 ,∴ED//GC ，GC//平面EBD ，∴平面 GFC// 平面 EBD ，∴FC// 平面EBD .(2)解：V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h，其中h为点B到平面PAC的距离，设BM⊥AC于M，∵ PA⊥BM，∴BM⊥平面PAC，h=BM=√3，S△PED=12PE⋅PD⋅sin∠APC=12×12PA⋅23PC⋅sin∠APC=13S△PAC=16PA⋅AC=23，∴V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h=2√39.【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：设AE中点为G，连结GF,GC ，则GF//EB， GF//平面EBD，PGPE=PCPD=32 ,∴ED//GC，GC//平面EBD，∴平面 GFC// 平面 EBD ，∴FC// 平面EBD .(2)解：V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h，其中h为点B到平面PAC的距离，设BM⊥AC于M，∵ PA⊥BM，∴BM⊥平面PAC，h=BM=√3，S△PED=12PE⋅PD⋅sin∠APC=12×12PA⋅23PC⋅sin∠APC=13S△PAC=16PA⋅AC=23，∴V P−BDE=V B−PED=13S△PED⋅h=2√39.22.【答案】证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，因为AB=1，BC=2，∠ABC=60∘，由余弦定理，√AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC得AC==√12+22−2×1×2cos60∘=√3.2+(√3)2=22，即AB2+AC2=BC2，所以AC⊥AB.因为1又因为AC⊥PA，且PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.解：(2)因为BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC//平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面PAD=l.所以BC//l.【考点】余弦定理两条直线平行的判定平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)因为PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，因为AB=1，BC=2，∠ABC=60∘，由余弦定理，√AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC得AC==√12+22−2×1×2cos60∘=√3.2+(√3)2=22，即AB2+AC2=BC2，所以AC⊥AB.因为1又因为AC⊥PA，且PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB.解：(2)因为BC//AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC//平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面PAD=l.所以BC//l.。
校本练（1）答案1-4ACAA 5-8CBBD 9．ABC 10．CD 11．AD 12．BCD 13．2-14．6π15．4-.16．③④5．如图，延长AM 交BC 于G ，则()1AG AB AC λλ=+- ，因为,,A M G 三点共线，所以AG t AM = 即()12134=A AB AC t B AC λλ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+ ，所以23=114λλ-，则8=13λλ-，故8=11λ且1211t =，又CG CB λ= ，故811CG CB = ，所以31,812BG GM GC GA ==，所以11111133113BMC BGM BAM BAM S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以3BAM BMC S S ∆∆=，故选C.6．令()0f x =可得sin 10x x =，则函数()f x 的零点个数即为函数10x y =、sin y x =图象的交点个数，分别作函数10x y =、sin y x =的图象，如图，由图可得交点个数为7，因此，函数()10sin f x x x =-的零点的个数是7，7.由2,AB BE = 则1,2FE DB DA AB AB AD AF AD DF AB AD ==+=-=+=+ ∴221111113646168222()22(2)AF FE AB AD AB AD AB AB AD AD ⋅=+⋅-=+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-= .8．根据题意，如图，连接AC 、BD ，设AC 与BD 交于点O ，过点B 作BE ⊥AC 与点E ，过点D 作DF ⊥AC 与点F ，若△ACB 面积是△ADC 面积的3倍，即3DF ＝BE ，根据相似三角形的性质可知，3DO OB = ，∴3（DA AO + ）＝+OA AB ，∴1344AO AB AD =+ ，设AC AO λ= ＝3AB AD 44λλ+ ，∵AC ＝1131AB AD x y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴11133y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴31x y +＝10，∴()1311341010y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(1410≥+=当且仅当3y x x y =且31x y +＝10，即x ＝33131010y =时取等号故答案为：235．10．由D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为ABC 的重心，因为AB BC AC CA →+=≠ ，故A 错误；由()12AB AC AD AG →→+=≠ ,故B 错误；因为()102AF BD CE AB BC CA ++=++= ,故C 正确；因为2111+3222GA GB GC AB AC BA BC CA CB →→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦103AB BA BC CB AC CA →→→→→→→⎛⎫=-+++++= ⎪⎝⎭,故D 正确.11．解：因为12e = ，21e = ，1e 与2e 的夹角为3π，所以1221cos 13e e π⋅=⨯⨯= ，向量1227te e + 与向量12e te + 的夹角为钝角，所以()()1212270te e e te +⋅+< ，且不能共线，所以()()()22221212112227227721570te e e te t e t e e t e t t +⋅+=++⋅+=++< ，解得172t -<<-，当向量1227te e + 与向量12e te + 共线时，有()121227te e e te λ+=+ ，即27t t λλ=⎧⎨=⎩解得t =所以实数t 的取值范围141417,,222⎛⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以实数t 可能的取值为A，D 12．//EH FG ，则EH 与FC 不平行，A 错．设AC BD O = ，()()AH BE AO OH BO OE ⋅=++uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuu r AO BO AO OE BO OH OH OE =⋅+⋅+⋅+⋅uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 0AO OE BO OH OA OE OB OH =⋅+⋅=-⋅+⋅=uuu r uuu r uuu r uuu r uur uuu r uur uuu r ，B 对．EG EH HG EH EF =+=+ ，C 对()0EC EH EC ED EC EH ED EC DH ⋅-⋅=-=⋅=EC EH EC ED ∴⋅=⋅ ，D 对，15．23()sin(23cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+23172(cos 48x =-++，1cos 1x -≤≤ ，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．16．解：根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2πϕ<的部分图象，可得2A =，1244312T πππω=⨯=-，所以2ω=，利用五点法作图，可得23πϕπ⨯+=，可得3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，可得函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==，故①错误；当2[,]36x ππ∈--，2[3x ππ+∈-，2]3π，函数()f x 没有单调性，故②错误；令512x π=-，求得()2f x =-，为最小值，故函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称，故③正确；把()f x 的图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象，故④正确.17．(1)A ，B ，D 三点共线(2)1k =18．(1)对称轴方程：ππ26k x =+（k Z ∈）增区间6ππ,()3k k k ππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)2⎡⎤⎣⎦()cos22sin 6π2f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，19．(1)24(2)38λ=(1)BD BA BC =+ ，11312244BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 223144BE BD BA BA BC BC ⋅=+⋅+∴ 1244cos 4243π=+⨯⨯+=(2)当EF CD ⊥时，EF 取到最小值，此时33cos 602CF ⋅=︒= ∴33248λ==20．(1)证明：因为BC CA CA AB ⋅⋅ ＝，所以()0CA BC AB ⋅- ＝﹒又0AB BC CA ＋＋＝，所以()CA AB BC - ＝＋，所以()()0AB BC BC AB -⋅- ＋＝，所以220AB BC - ＝，22||AB BC ＝，即AB BC ＝，故ABC 为等腰三角形．(2)解：由2AB BA BC ⋅ ＝得，20AB AB BC ⋅ ＋＝，即()0AB AB BC ⋅ ＋＝，即090AB AC A ABC ∠⋅⇒∴ ＝＝，是直角三角形．21．（1）1m =（2）(0,)k ∈+∞(1)因为()f x 是奇函数,所以()()0f x f x -+=,即(((log log 0log 0a a a x x x x +-=⇒-=,所以(2211x x x m x -=⇒+-=,故1m =.(2)由题意得(log log (2)0a a x x ak =+=有解.即20x x ak +=+>有解.故x ak =+,2222221()12(2)1x x ak x x akx a k ak x ak +=+⇒+=++⇒+=,即2212a k x ak-=,又20x a k +>有221100a k ak ak ak ak ak-+>⇒-+>即10ak >,又0a >所以0k >.故(0,)k ∈+∞22．(1)()1,2；(2))⎡+∞⎣.(1)由题意，设3x t =，因为不等式()()227113x f x f x ->-⨯，可得22711t t t ->-，即212270t t -+<，解得39t <<，即339x <<，解得12x <<，所以不等式的解集为()1,2.(2)由题意，函数()()()f x u x v x =+，其中()u x 为奇函数，()v x 为偶函数，可得()()()()()()33x x f x u x v x f x u x v x -⎧=+=⎪⎨-=-+-=⎪⎩，即()()()()()()33x x f x u x v x f x u x v x -⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得()()332332x x x x u x v x --⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，则不等式()()220tu x v x +≥对任意的[]0,1x ∈恒成立，即为2233332022x x x x t ---++≥对任意的[]0,1x ∈恒成立，()()22333320x x x x t ---+-+≥对任意的[]0,1x ∈恒成立，令33x x a -=-，可得80,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2220ta a ++≥，即122t a a ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭对任意的80,3a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，因为2y a a =+在a ⎡∈⎣递减，在83a ⎤∈⎥⎦递增，所以当a =122a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有最大值，所以实数t的取值范围是)⎡+∞⎣。
2022-2023学年高中高一下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：50 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 若函数，则以下判断正确的是（ ）A.函数是周期为的奇函数B.函数是周期为的偶函数C.函数是周期为的偶函数D.函数是周期为的奇函数2. 已知是的一个内角，则“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.f (x)=sin(x −)12π2f (x)πf (x)2πf (x)4πf (x)4πA △ABC cos A =2–√2A =45∘y =f (x)[−,1)12y =f (sin x)[−,]π67π6[−+2kπ,+2kπ]π67π6[+2kπ,+2kπ)7π611π6[−+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ]π6π2π27π6(x)=cos 2x +sin(−x)π4. 函数是（ ）A.非奇非偶函数B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数D.既有最大值又有最小值的偶函数5. 函数的部分图象大致为（ ）A.B.C.D.6. 已知函数的最小正周期为，若在上单调递增，在上单调递减，则实数的取值范围是( )f(x)=cos 2x +sin(−x)π2f (x)=ln |x|+cos x f (x)=8sin(ωx −)(ω>0)π3πf (x)[−,]π24m 3[,]m 22π3m π,π]3A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）7. 已知函数，则( )A.的最小正周期为B.将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象C.在上单调递增D.点是图象的一个对称中心8. 已知函数若，且，则( )A.B.C.的取值范围是D.的取值范围是卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）9. （5分） 我国古代数学名著《九章算术》中有一问题“今有垣厚五尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”问相逢时大鼠穿墙________尺．四、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）10.(5分) 已知函数.[π,π]32[π,π]5654[,]π3π2[−,π]π843f (x)=sin(2x −)π6f (x)πy =sin 2x π6f (x)f (x)(−,)π6π3(−,0)5π12f (x)f (x)={|x|,0<x <9,log 32sin(x +),9≤x ≤17,π4π4f (a)=f (b)=f (c)=f (d)a <b <c <d ab =1c +d =26πabcd (153,165)a +b +c +d (28,)3169f(x)=sin x cos(x +)+π33–√4，]2π求在区间上的值域；由函数的图象经过怎样的变换可以得到的图象(1)f(x)[，]π62π3(2)y =sin 2x f(x).参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法诱导公式函数奇偶性的判断【解析】利用诱导公式化简函数解析式，再利用三角函数的性质求解即可.【解答】解：函数，所以函数为偶函数，且最小正周期为.故选.2.【答案】C【考点】任意角的三角函数必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】求出角，即可判断充要性.【解答】f (x)=sin(x −)=−sin(−x)=−cos x 12π2π21212=4π2π12C A A =–√解：∵，且为的一个内角，∴，故“”是“”的充要条件.故选.3.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法正弦函数的定义域和值域【解析】因为函数的定义域为，函数中，，解得，故选．【解答】解：因为函数的定义域为，函数中，，解得，故选．4.【答案】D【考点】余弦函数的奇偶性【解析】根据诱导公式化简得，可得，函数是偶函数．再化简得，可得当时函数有最小值且时函数有最大值，由此可得答案．【解答】cos A =2–√2A △ABC A =45∘cos A =2–√2A =45∘C y =1(x)−[,1)12y =f (sin x)−≤sin x <112x ∈[−+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ]π6π2π27π6D y =f (x)−[,1)12y =f (sin x)−≤sin x <112x ∈[−+2kπ,+2kπ)∪(+2kπ,+2kπ]π6π2π27π6D f(x)=cos 2x +cos x f(−x)=f(x)f(x)=2x +cos x −1cos 2cos x =−14cos x =1(−x)=cos xπ解：根据诱导公式，得∴函数∴函数是偶函数又∵∴当时，函数有最小值；当时，函数有最大值综上所述，函数是既有最大值又有最小值的偶函数故选：5.【答案】C【考点】函数的图象函数奇偶性的判断【解析】【解答】解：，所以是偶函数，图象关于轴对称，排除，．当且无限趋近于时，趋近于，故选．6.【答案】B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的性质正弦函数的单调性【解析】答案未提供解析．【解答】解：由题意，得，解得．sin(−x)=cos xπ2f(x)=cos 2x +sin(−x)=cos 2x +cos x π2f(−x)=cos(−2x)+cos(−x)=cos 2x +cos x =f(x)f(x)f(x)=cos 2x +cos x =2x +cos x −1cos 2cos x =−14−98cos x =12f(x)D f(−x)=ln |−x|+cos(−x)=ln |x|+cos x =f(x)f (x)y A B x >00f (x)−∞C =π2πωω=2kπ−≤2x −≤2kπ+πππ由，，解得，，，，解得，.因为在上单调递增，在上单调递减，所以 解得，所以实数的取值范围是．故选．二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）7.【答案】A,C,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的单调性三角函数的周期性及其求法【解析】由条件利用正弦函数的周期性、图象的对称性、单调性以及的图象变换规律，得出结论．【解答】解：，因为，所以，故正确；，因为 图象向右平移个单位长度，所以平移后的函数为，得不到图象，故错误；，令，，解得，，则的单调递增区间为，2kπ−≤2x −≤2kπ+π2π3π2k ∈Z kπ−≤x ≤kπ+π125π12k ∈Z 2kπ+≤2x −≤2kπ+π2π33π2k ∈Z kπ+≤x ≤kπ+5π1211π12k ∈Z f (x)[−,]π24m 3[,]m 22π3 ≤,m 35π12≥,m 25π12≤m ≤5π65π4m [π,π]5654B y =A sin(ωx +φ)A f (x)=sin(2x −)π6T ==π2π2A B y =sin 2x π6sin[2(x −)]=sin(2x −)π6π3f (x)B C 2kπ−<2x −<2kπ+π2π6π2k ∈Z kπ−<x <kx +π6π3k ∈Z f(x)(kx −,kx +)(k ∈Z)π6π3−,)ππ令，则一个单调递增区间为，故正确；，将代入，得，故正确．故选．8.【答案】A,C,D【考点】对数函数的图象与性质分段函数的应用正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：可画出函数图象，据题意有.由得；由得；；．故选．三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）9.【答案】k =0f (x)(−,)π6π3C D (−,0)5π12f (x)=sin(2x −)π6f (−)=sin(−−)=05π125π6π6D ACD <a <1<b <9<c <11<15<d <1719|a|=|b|log 3log 3ab =12sin(c +)=2sin(d +)π4π4π4π4c +d =26abcd =c (26−c)=−+169∈(153,165)(c −13)2a +b +c +d =a ++26∈(28,)1a 3169ACD 3817【考点】函数的零点【解析】因为大老鼠第一天挖尺，小老鼠第一天也挖尺，则第二天大老鼠挖尺，小老鼠挖尺，所以前两天大小老鼠共穿尺，第三天需要穿尺．第三天大老鼠穿尺，小老鼠穿尺，此时设大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺 根据打洞时间相等：，由此求出的值，进而求出两只老鼠打通洞各挖的米数．【解答】解：因为前两天大小老鼠共穿尺，所以第三天需要穿尺就可以碰面．第三天大老鼠穿尺，小老鼠穿尺，设大老鼠打了尺，小老鼠则打了尺，所以，所以，所以三天总的来说：大老鼠打了（尺），故答案为：．四、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）10.【答案】解：.因为，所以，所以，所以，所以函数 在区间上的值域为.①将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象；②将函数 的图象上所有点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得到 的图象1120.51+2+1+0.5=4.50.5414x (0.5−x)x ÷4=(0.5−x)÷14x 1+2+1+0.5=4.55−4.5=0.5414x (0.5−x)x ÷4=(0.5−x)÷14x =8171+2+=38178173817(1)f(x)=sin x cos(x +)+π33–√4=sin x(cos x cos −sin x sin )+π3π33–√4=sin x cos x −x +123–√2sin 23–√4=sin 2x +cos 2x =sin(2x +)143–√412π3≤x ≤π62π3≤2x +≤2π3π35π3−1≤sin(2x +)≤π33–√2−≤f(x)≤123–√4f(x)[,]π62π3[−,]123–√4(2)y =sin 2x π6y =sin(2x +)π3y =sin(2x +)π312f(x)=sin(2x +)12π3.【考点】正切函数的定义域三角函数的最值三角函数中的恒等变换应用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：.因为，所以，所以，所以，所以函数 在区间上的值域为.①将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象；②将函数 的图象上所有点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得到 的图象(1)f(x)=sin x cos(x +)+π33–√4=sin x(cos x cos −sin x sin )+π3π33–√4=sin x cos x −x +123–√2sin 23–√4=sin 2x +cos 2x =sin(2x +)143–√412π3≤x ≤π62π3≤2x +≤2π3π35π3−1≤sin(2x +)≤π33–√2−≤f(x)≤123–√4f(x)[,]π62π3[−,]123–√4(2)y =sin 2x π6y =sin(2x +)π3y =sin(2x +)π312f(x)=sin(2x +)12π3.。
2019 高一数学练习册答案：第三章函数的应用下边是高中新课程作业本数学练习册第三章函数的应用答案与提示，仅供参照！第三章函数的应用3 1 函数与方程3 1 1 方程的根与函数的零点1.A.2.A.3.C.4. 如：f(a)f(b) ≤0.5.4,254.6.3.7. 函数的零点为 -1 ，1，2. 提示：f(x)=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1)(x+1).8.(1)(- ∞,- 1)∪(-1,1).(2)m=12.9.(1) 设函数 f(x)=2ax2-x-1, 当Δ=0 时，可得 a=-18 ，代入不知足条件，则函数 f(x) 在(0 ，1) 内恰有一个零点. ∴f(0) ·f(1)= - 1×(2a -1-1)0 ，解得 a1.(2) ∵在 [-2 ，0] 上存在 x0，使 f(x0)=0, 则f(- 2)·f(0) ≤0, ∴( -6m- 4)×(- 4)≤0, 解得 m≤-23.10. 在(-2 ，-1 5) ，(-0 5,0),(0,0 5) 内有零点 .11. 设函数 f(x)=3x-2-xx+1. 由函数的单一性定义，能够证明函数 f(x) 在(- 1,+ ∞) 上是增函数 . 而f(0)=30-2=-10,f(1)=31-12=520, 即 f(0) ·f(1)0 ，说明函数f(x) 在区间 (0 ，1) 内有零点，且只有一个 . 所以方程3x=2-xx+1 在(0 ，1) 内必有一个实数根 .3 1 2 用二分法求方程的近似解 ( 一)第 1 页1.B.2.B.3.C.4.[2 ，2 5].5.7.6.x3-3.7.1.8. 提示：先画一个草图，可预计出零点有一个在区间 (2 ，3) 内，取 2 与 3 的均匀数 2 5 ，因 f(2 5)=0 250 ，且 f(2)0 ，则零点在 (2 ，2 5) 内，再拿出 2 25, 计算 f(2 25)=-0 4375 ，则零点在 (2 25,2 5) 内. 以此类推，最后零点在 (2 375,2 4375) 内，故其近似值为 2 4375.9.1 4375.10.1 4296875.11. 设 f(x)=x3-2x- 1, ∵f( - 1)=0, ∴x1= -1 是方程的解 . 又f(-0 5)=-0 1250,f(-0 75)=0 0781250 ，x2∈( -0 75,-0 5) ，又∵f( -0 625)=0 0058590，∴x2∈( -0 625,-0 5). 又∵f( -0 5625)=- 0 052980, ∴x2∈( -0 625,-0 5625) ，由|-0.625+0.5625|0.1, 故 x2=-0.5625 是原方程的近似解，同理可得 x3=1 5625.3 1 2 用二分法求方程的近似解 ( 二)1.D.2.B.3.C.4.1.5.1.6.2 6.7.a1.8. 画出图象，经考证可得 x1=2，x2=4 合适，而当 x0 时，两图象有一个交点，∴根的个数为 3.9. 对于 f(x)=x4-4x-2 ，其图象是连续不停的曲线，∵f( -1)=30 ，f(2)=60 ，f(0)0 ，∴它在 (-1 ，0) ，(0 ，2) 内都有实数解，则方程 x4-4x-2=0在区间 [-1 ，2] 内起码有两个实数根 .10.m=0, 或 m=92.第 2 页11. 由 x-10,3-x0 ，a-x=(3-x)(x-1), 得 a=-x2+5x-3(1134 或 a≤1时无解 ;a=134 或 13 2 函数模型及其应用3.2.1 几类不一样增加的函数模型1.D.2.B.3.B.4.1700.5.80.6.5.7.(1) 设一次订购量为 a 时，部件的实质出厂价恰巧为 51 元，则 a=100+60-510.02=550( 个).(2)p=f(x)=60(062-x50(10051(x ≥550,x ∈N*).8.(1)x 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x.(2)10 年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)10=100×≈112.7( 万 ).(3) 设 x 年后该城市人口将达到 120 万人，即100×(1+1.2%)x=120,x=log1.012120190=log1.0121.2=lg1.2lg1.012 ≈15(年 ).9. 设对乙商品投入 x 万元，则对甲商品投入 9-x 万元 . 设利润为 y 万元，x∈[0,9]. ∴y=110(9 -x)+25x=110(-x+4x+9)=110[-(x-2)2+ 13], ∴当 x=2，即 x=4 时，ymax=1.3. 所以，投入甲商品 5 万第 3 页元、乙商品 4 万元时，能获取最大利润 1.3 万元.10. 设该家庭每个月用水量为 xm3，支付花费为 y 元，则y=8+c,0 ≤x≤a, ①8+b(x- a)+c,xa. ②由题意知 033=8+(22- a)b+c, ∴b=2,2a=c+19. ③再剖析 1 月份的用水量能否超出最低限量，不如设 9a, 将 x=9 代入②, 得9=8+2(9-a)+c,2a=c+17 与③矛盾，∴ a≥9.1 月份的付款方式应选①式，则 8+c=9,c=1, 代入③, 得 a=10. 所以a=10,b=2,c=1.( 第 11 题)11. 依据供给的数据，画出散点图如图：由图可知，这条曲线与函数模型 y=ae-n 靠近，它告诉人们在学习中的忘记是有规律的，忘记的进度不是平衡的，而是在记忆的最初阶段忘记的速度很快，以后就渐渐减慢了，过了相当长的时间后，几乎就不再忘记了，这就是忘记的发展规律，即“先快后慢”的规律 . 察看这条忘记曲线，你会发现，学到的知识在一天后，假如不抓紧复习，就只剩下本来的 13. 跟着时间的推移，忘记的速度减慢，忘记的数目也就减少 . 所以，艾宾浩斯的实验向我们充足证明了一个道理，学习要勤于复习，并且记忆的理解成效越好，忘记得越慢 .3 2 2 函数模型的应用实例1.C.2.B.3.C.4.2400.5. 汽车在 5h 行家驶的行程为 360km.6.10; 越大.7.(1)1 5m/s.(2)100.8. 从 2019 年开始 .第 4 页9.(1) 应选 y=x(x-a)2+b ，由于①是单一函数，②至多有两个单一区间，而 y=x(x-a)2+b 能够出现两个递加区间和一个递减区间 .(2) 由已知，得 b=1，2(2-a)2+b=3 ，a1，解得 a=3,b=1. ∴函数分析式为 y=x(x-3)2+1.10. 设 y1=f(x)=px2+qx+r(p ≠0)，则 f(1)=p+q+r=1,f(2)=4p+2q+r=1 2,f(3)=9p+3q+r=1 3, 解得 p=-0 05,q=0 35,r=0 7 ，∴f(4)= -005× 42+0 35× 4+0 7=1 3 ，再设 y2=g(x)=abx+c, 则g(1)=ab+c=1 ，g(2)=ab2+c=1 2 ，g(3)=ab3+c=1 3，解得 a=-0 8，b=0 5，c=1 4，∴g(4)= - 0 8× 0 54+1 4=1 35 ，经比较可知，用 y=- 0 8 × (0 5)x+1 4 作为模拟函数较好 .11.(1) 设第 n 年的养鸡场的个数为 f(n) ，均匀每个养鸡场养g(n) 万只鸡，则 f(1)=30 ，f(6)=10, 且点(n,f(n)) 在同向来线上，进而有： f(n)=34-4n(n=1 ，2，3，4，5,6). 而g(1)=1,g(6)=2, 且点(n,g(n)) 在同向来线上，进而有:g(n)=n+45(n=1 ，2，3，4，5，6). 于是有f(2)=26,g(2)=1.2( 万只) ，所以 f(2) · g(2)=31.2( 万只 ) ，故第二年养鸡场的个数是 26 个，全县养鸡 31.2 万只.第 5 页(2) 由 f(n) ·g(n)= -45n-942+1254 ，适当 n=2 时，[f(n) ·g(n)]max=31.2. 故第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2 万只.单元练习1.A.2.C.3.B.4.C.5.D.6.C.7.A.8.C.9.A.10.D.11. ±6.12.y=x2.13. -3.14.y3 ，y2，y1.15. 令 x=1，则 12-00 ，令 x=10，则 1210×10 -10. 选初始区间[1,10] ，第二次为 [1 ，5.5] ，第三次为 [1 ，3.25] ，第四次为[2.125 ，3.25] ，第五次为 [2.125 ，2.6875] ，所以存在实数解在 [2 ，3] 内.( 第 16 题)16. 按以下次序作图： y=2-xy=2-|x|y=2-|x- 1|. ∵函数 y=2-|x-1| 与 y=m的图象在 017. 两口之家 , 乙旅游社较优惠 , 三口之家、多于三口的家庭 , 甲旅游社较优惠 .18.(1) 由题意，病毒总数 N对于时间 n 的函数为 N=2n-1，则由 2n- 1≤108，两边取对数得 (n- 1)lg2 ≤8,n ≤27.6, 即第一次最迟应在第 27 时节注射该种药物 .(2) 由题意注入药物后小白鼠体内节余的病毒数为 226×2%,再经过 n 天后小白鼠体内病毒数为 226×2 %×2n，由题意，226×2%×2n≤108，两边取对数得 26lg2+lg2- 2+nlg2 ≤8，得 x≤6.2, 故再经过 6 天一定注射药物，即第二次应在第 33天注射药物 .第 6 页19.(1)f(t)=300- t(0 ≤t ≤200),2t-300(200(2) 设第 t 时节的纯利益为 h(t) ，则由题意得h(t)=f(t)-g(t), 即 h(t)=- 1200t2+12t+1752(0 ≤t ≤200)，-1200t2+72t-10252(20197.5 可知， h(t) 在区间 [0 ，300] 上能够获得最大值 100，此时 t=50 ，即从 2 月 1 日开始的第 50 时节，西红柿纯利润最大 .20.(1) 由供给的数据可知，描绘西红柿栽种成本 Q与上市时间 t 的变化关系的函数不行能是常数函数，进而用函数Q=at+b，Q=a·bt ，Q=a·logbt 中的任何一个进行描绘时都应有 a≠0，而此时上述三个函数均为单一函数，这与表格提供的数据不符合 . 所以选用二次函数 Q=at2+bt+c 进行描绘 . 将表格所供给的三组数据分别代入 Q=at2+bt+c ，获取150=2500a+50b+c,108=12100a+110b+c,150=62500a+250b+c. 解得 a=1200,b=-32,c=4252.∴描绘西红柿栽种成本 Q与上市时间 t 的关系的函数为:Q=1200t2-32t+4252.(2) 当 t=150 时，西红柿栽种成本最低为 Q=100(元/100kg).综合练习 ( 一)1.D.2.D.3.D.4.A.5.B.6.D.7.D.8.D.9.B.第 7 页10.B.11.{x|x ≤5且x≠2}.12.1.13.4.14.0.15.10.16.0.8125.17.4.18.{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.19.(1) 略.(2)[-1 ，0] 和[2 ，5].20. 略.21.(1) ∵f(x) 的定义域为 R,设 x10. ∴f(x1) -f(x2)0 ，即f(x1)(2) ∵f(x) 为奇函数, ∴f( -x)=-f(x), 即a-12-x+1=-a+12x+1 ，解得 a=12.∴f(x)=12 - 12x+1. ∵2x+11, ∴012x+11,∴ -1-12x+10,∴-12综合练习 ( 二)1.B.2.B.3.D.4.A.5.A.6.C.7.A.8.A.9.B.10.B.11.log20.320.3.12.-2.13.-4.14.8.15.P=12t5730(t0).16.2.17.(1,1) 和(5 ，5).18.-2.19.(1) 由 a(a-1)+x-x20 ，得[x-(1- a)] ·(x -a)0. 由 2∈A，知[2-(1- a)] ·(2 -a)0 ，解得 a∈(- ∞,- 1)∪(2,+ ∞). (2) 当 1-aa, 即 a12 时，不等式的解集为 A={x|a12 时，不等式的解集为 A={x|1-a20. 在(0,+ ∞) 上任取 x10,x2+10, 所以要使 f(x) 在(0,+ ∞) 上递减，即 f(x1)-f(x2)0 ，只需 a+10 即 a-1, 故当 a-1 时，f(x) 在区间(0,+ ∞) 上是单一递减函数 .第 8 页21. 设利润为 y 万元，年产量为 S 百盒，则当 0≤S≤5时，y=5S-S22-0.5-0.25S=-S22+4.75S-0.5, 当 S5 时，y=5×5-522-0.5-0.25S=12-0.25S,∴利润函数为 y=-S22+4.75S- 0.5(0 ≤S≤5,S∈N*)，- 0.25S+12(S5,S∈N*).当 0≤S≤5时，y=-12(S-4.75)2+10.78125 ，∵S∈N*，∴当S=5时，y 有最大值 10 75 万元; 当 S5 时，∵y= -0.25S+12 单调递减，∴当 S=6时，y 有最大值 10 50 万元. 综上所述，年产量为 500 盒时工厂所得利润最大 .22.(1) 由题设 , 当 0≤x≤2时,f(x)=12x ·x=12x2; 当 2-(x-3)2+3(212(x- 6)2(4 ≤x≤6).(2) 略.(3) 由图象察看知 , 函数 f(x) 的单一递加区间为 [0,3], 单一递减区间为 [3,6], 当 x=3 时, 函数 f(x) 取最大值为 3.( 实习编写：邓杉 )第 9 页。
周末数学训练卷（三）一、选择题（每题5分，共计60分）1．若不等式20x ax b -+<的解集为(1,2)，则不等式1bx a<的解集为（ ） A ．2(,)3+∞ B ．3(,0)(,)2-∞+∞U C ．3(,)2+∞ D ．2(,0)(,)3-∞+∞U2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ） A ．2 B ．73 C ．83D ．3 3．已知非零向量a,b 夹角为45︒,且2a =,2a b -=. 则b 等于（ ）A. B.24．已知点A （2,3）、B （－5,2），若直线l 过点P （－1,6），且与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．(,1][1,)-∞-+∞UC ． (1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 5．两圆x 2+y 2﹣1=0和x 2+y 2﹣4x+2y ﹣4=0的位置关系是（ ） A ． 内切 B ． 外切 C ．相交 D ．外离6．若实数x y 、满足2400x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则21y z x +=-的取值范围为 ( )A ．2(,4][,)3-∞-⋃+∞ B ．2(,2][,)3-∞-⋃+∞C ．2[2,]3-D ．2[4,]3-7．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则⋅PA PB 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ． 5D ．68．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线的方程为（ ） A ．3x －2y －3＝0 B ．3x －2y ＋3＝0 C ．2x －3y －3＝0 D ．2x －3y ＋3＝09．设m ，n ∈R ，若直线（m+1）x+（n+1）y ﹣2=0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切（m ﹣1）⋅（n ﹣1）等于（ ）A ． 2B ．1C ．﹣1D ．﹣210．已知圆的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是（ ） A.43-B ．53-C ．35-D ．54-11．若⊙O 1：x 2+y 2=5与⊙O 2：（x ﹣m ）2+y 2=20（m ∈R ）相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅∆定义且内一点其中m 、n 、p 分别是114,,,()(,,)2MBC MCA MAB f M x y x y∆∆∆=+的面积若则的最小值是 （ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18二、填空题（每题5分，共计20分） 13．不论k 为何实数，直线（2k ﹣1）x ﹣（k+3）y ﹣（k ﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是 ．14．已知实数x 、y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则2Z x y =-的取值范围是 .15．已知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆C: 224210x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB = ．16．若直线y x b =+与曲线3y =-有2个不同的公共点，则实数b 的取值范围是____________．三、解答题（17题10分，18，19，20，21，22每题12分）17．已知不等式22log (36)2ax x -+>的解集是{}|1x x x b <>或．（1）求,a b 的值； （2）解不等式0c xax b->+（c 为常数）．18．已知点(),x y 是圆222x y y +=上的动点.（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.19．已知直线062:1=++y ax l 和01)1(:22=-+-+a y a x l . （1）若21l l ⊥, 求实数a 的值;（2）若21//l l , 求实数a 的值.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈.（1）证明数列{}2nn S 为等差数列； （2）求12...n S S S +++.21．矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1,1)在AD 边所在直线上．（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程．22．已知以点)2,1(-A 为圆心的圆与直线072:1=++y x l 相切.过点)0,2(-B 的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P .（1）求圆A的方程；（2）当192=MN 时，求直线l 的方程；（3）BP BQ ⋅是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由.周末数学训练卷（三）答案一、选择题（题型注释）1．若不等式20x ax b -+<的解集为(1,2)，则不等式1bx a<的解集为（ ） A ．2(,)3+∞ B ．3(,0)(,)2-∞+∞U C ．3(,)2+∞ D ．2(,0)(,)3-∞+∞U【答案】B 试题分析：Q 不等式20x ax b -+<的解集为(1,2)，1,2∴是一元二次方程20x ax b -+=的两个实根，由韦达定理得：123122a ab b +==⎧⎧⇒⎨⎨⨯==⎩⎩， 那么不等式1bx a<化为：1223300,332x x x x x -<⇒>⇒<>或， 2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =（ ）A ．2B ．73 C ．83D ．3 【答案】B 试题分析：设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，则：由633SS =，知1q ≠，得:63313131q q q -=⇒+=-,那么93362963361(1)(1)3271(1)(1)33S q q q q S q q q --+++====--+ 3．已知非零向量a,b 夹角为45︒,且2a =,2a b -=. 则b 等于（ ）A.22B.2C.3D.2 【答案】A试题分析：由题2222()2cos 45a b a b a a b b-=-=-+，则：24224,22b b b -+==4．已知点A （2,3）、B （－5,2），若直线l 过点P （－1,6），且与线段AB 相交，则直线l 斜率的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ． (,1][1,)-∞-+∞UC ． (1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞U【答案】B 试题分析：直线PA 的斜率36121k -==-+，倾斜角等于135°，直线PB 的斜率'26151k -==-+，倾斜角等于45°，结合图象由条件可得直线l 的倾斜角α的取值范围是：90°＜α≤135°，或45°≤α＜90°．5．两圆x 2+y 2﹣1=0和x 2+y 2﹣4x+2y ﹣4=0的位置关系是（ ） A ． 内切 B ． 外切 C ．相交 D ．外离【答案】C 试题分析:由已知得：圆221=0x y +-，圆心()100O ，，半径11r =；圆22x y 4x 2y 40++=﹣﹣化为标准方程为()()22219x y -++=，圆心()2O 2，-1，半径23r =；则125OO =,124rr +=，1212OO r r <+，所以两圆相交.故选C.6．若实数x y 、满足2400 0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则21y z x +=-的取值范围为 ( )A ．2(,4][,)3-∞-⋃+∞B ．2(,2][,)3-∞-⋃+∞C ．2[2,]3-D ．2[4,]3-【答案】B 试题分析：由不等式可知可行域为直线0,0,240x y x y ==+-=围成的三角形，顶点为()()()0,0,0,2,4,0，21y z x +=-看作点()(),,1,2x y -连线的斜率，结合图形可知斜率的范围为2(,2][,)3-∞-⋃+∞7．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则⋅PA PB 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ． 5D ．6【答案】C 试题分析：由题意可知，动直线0x my +=经过定点()0,0A ，动直线30mx y m --+=即()130m x y --+=，经过点定点()1,3B ， 动直线 0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直,P 又是两条直线的交点，则有222,10PA PB PA PB AB ⊥∴+==，故2252+⋅≤=PA PBPA PB (当且仅当5PA PB ==时取“=”) ，故选C.8．设直线2x ＋3y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线的方程为A ．3x －2y －3＝0B ．3x －2y ＋3＝0C ．2x －3y －3＝0D ．2x －3y ＋3＝0【答案】A 试题分析：弦AB 的垂直平分线必过圆心，而圆的标准方程是()4122=+-y x ，圆心()0,1，已知直线的斜率32-=k ，那么垂直平分线的斜率23='k ，故垂直平分线方程是()123-=x y ，整理为0323=--y x9．设m ，n ∈R ，若直线（m+1）x+（n+1）y ﹣2=0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切（m ﹣1）⋅（n ﹣1）等于（）A ． 2B ．1C ．﹣1D ．﹣2【答案】A 试题分析：由题意知：圆心()1,1到直线m 1x n 1y 20+++=（）（）﹣的距离等于半径1，所以()()22112111m n m n +++-=+++，化简得1mn m n --=；则()()111112m n mn m n -⋅-=--+=+=.10．已知圆的方程为015822=+-+x y x ，若直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是 A.43-B ．53-C ．35-D ．54-【答案】A 试题分析：：∵圆C 的方程为015822=+-+x y x ，∴整理得：()2241x y -+=，∴圆心为C （4，0），半径r=1．又∵直线2+=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴点C 到直线y=kx+2的距离小于或等于2，∴240221k k -+≤+化简得：2340k k +≤，解之得43-≤k ≤0，∴k 的最小值是43-11．若⊙O 1：x 2+y 2=5与⊙O 2：（x ﹣m ）2+y 2=20（m ∈R ）相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 解：由题意做出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A 处的切线互相垂直，且过对方圆心O 2O 1．则在Rt △O 2AO 1中，|O 1A|=|O 2A|=，斜边上的高为半弦，用等积法易得：AB55202⋅=⋅⇒|AB|=4 12．设M 是),,,()(,30,32,p n m M f BAC AC AB ABC =︒=∠=⋅∆定义且内一点其中m 、n 、p 分别是114,,,()(,,)2MBC MCA MAB f M x y x y∆∆∆=+的面积若则的最小值是 （ ） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18 【答案】D试题分析： 因为在ABC ∆ 23,30AB AC BAC ⋅=∠=︒u u u r u u u r，所以01||||cos3023,||||4,S ||||sin 3012ABC AB AC AB AC AB AC ∆=∴===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，S ABC∆是,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积之和，12x y +=，所以14142828()(22)1010218y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥+⋅=，当且仅当28y x x y =，即2y x =时，即11,63x y ==时取等号，故选D. 二、填空题（题型注释） 13．不论k 为何实数，直线（2k ﹣1）x ﹣（k+3）y ﹣（k ﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是 ． 【答案】（2，3）试题分析：直线（2k ﹣1）x ﹣（k+3）y ﹣（k ﹣11）=0 即 k （2x ﹣y ﹣1）+（﹣x ﹣3y+11）=0， 根据k 的任意性可得，解得，∴不论k 取什么实数时，直线（2k ﹣1）x+（k+3）y ﹣（k ﹣11）=0都经过一个定点（2，3）．14．已知实数x 、y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则2Z x y =-的取值范围是 .【答案】[5,7]-试题分析：画出可行域如图由2z x y =-可变形得2y x z =-，当直线经过点B 时z 取得最小值，直线经过点C 时z 取得最大值，所以z 取得最小值是2(1)35⨯--=-， z 取得最大值是2537⨯-=，可得z 的取值范围是[5,7]-. 考点：利用线性规划求最值.15．已知直线:10()l x ay a R +-=∈是圆C: 224210x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB = ．【答案】6试题分析：圆C:224210x y x y +--+=的圆心为)1,2(，直线l 是圆C 的对称轴，则直线过点)1,2(可求得1-=a ，即01:=--y x l ，也即点)14(--，A ，则102=AC ,又圆的半径为2=r ，由圆的切线长定理可知6))((=-+=r AC r AC AB ，所以6=AB .16．若直线y x b =+与曲线234y x x =--有2个不同的公共点，则实数b 的取值范围是____________． 【答案】(122,1]--试题分析：曲线方程变形为()()22234x y -+-=，表示圆心A 为（2，3），半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示，当直线y=x+b 过B （4，3）时，将B 坐标代入直线方程得：3=4+b ，即b=-1； 当直线y=x+b 与半圆相切时，圆心A 到直线的距离d=r ，即122b -=，即122b -=（不合题意舍去）或b-1= 122b -=-，解得：122b =-，则直线与曲线有两个公共点时b 的范围为1221b -<≤- 三、解答题（题型注释）17．已知不等式22log (36)2ax x -+>的解集是{}|1x x x b <>或．（1）求,a b 的值；（2）解不等式0c xax b->+（c 为常数）． 【答案】(1) 1,2a b ==；（2）当2c =-时，不等式的解集是∅，当2c >-时，不等式的解集为{}|2x x c -<<，当2c <-时，不等式的解集为{}|2x c x <<-．试题解析：（1）由22log (36)2ax x -+>得2364ax x -+>，即2320ax x -+>，由题可知2320ax x -+>的解集是{}|1x x x b <>或，则1，b 是2320ax x -+=的两根，由韦达定理得33121b a ab a -⎧+=-=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得1,2a b ==（2）原不等式可化为()(2)0c x x -+>，即()(2)0x c x -+<．当2c =-时，不等式的解集是∅，当2c >-时，不等式的解集为{}|2x x c -<<；当2c <-时，不等式的解集为{}|2x c x <<-18．已知点(),x y 是圆222x y y +=上的动点.（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）55,51⎡⎤-++⎣⎦;（2）21a ≥-.试题解析：（1）设圆的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩()22cos sin 15sin 1x y θθθϕ+=++=++51251x y ∴-+≤+≤+（2）cos sin 10x y a a θθ++=+++≥()cos sin 12sin 14a πθθθ⎛⎫∴≥-+-=-+- ⎪⎝⎭21a ≥-.19．已知直线062:1=++y ax l 和01)1(:22=-+-+a y a x l .（1）若21l l ⊥, 求实数a 的值;（2）若21//l l , 求实数a 的值. 【答案】（1）23a =；（2）.1-=a 试题解析：（1）若21l l ⊥, 则212(1)0.3a a a ⨯+-=⇒= （2）若21//l l , 则(1)1201 2.a a a ⋅--⨯=⇒=-或经检验, 2a =时, 1l 与2l 重合. 1-=a 时, 符合条件.∴ .1-=a20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈.（1）证明数列{}2nn S 为等差数列； （2）求12...n S S S +++. 【答案】（1）见解析； （2） 12(1)2n n ++-⋅.试题解析： （1） 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，整理得11122n nn nS S ++-=，所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列. （2） 由（1）可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，令12n n T S S S =+++L 212222n n T n =⋅+⋅++⋅L ①21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅L ② ①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅L ，整理得12(1)2n n T n +=+-⋅.21．矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆的方程． 【答案】（1）023=++y x ；（2）8)2(22=+-y x ．试题解析：（1）∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T(－1, 1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0． （2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩得02x y =⎧⎨=-⎩∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM|＝()()222002-++＝22，∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝822．已知以点)2,1(-A 为圆心的圆与直线072:1=++y x l 相切.过点)0,2(-B 的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与1l 相交于点P .（1）求圆A 的方程；（2）当192=MN 时，求直线l 的方程；（3）BP BQ ⋅是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）20)2()1(22=-++y x ；（2）2-=x 或0643=+-y x ；（3）BP BQ ⋅是定值，且5-=⋅BP BQ .试题解析：（1）设圆A 的半径为R ，由于圆A 与直线072:1=++y x l 相切， ∴525741=++-=R , ∴圆A 的方程为20)2()1(22=-++y x .（2）①当直线l 与x 轴垂直时，易知2-=x ，符合题意.②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为)2(+=x k y ，即02=+-k y kx . 连结AQ ，则MN AQ ⊥，∵192=MN ，∴11920=-=AQ , 则由11222=++--=k k k AQ ，得43=k ，∴直线l ：0643=+-y x . 故直线l 的方程为2-=x 或0643=+-y x .（3）解法1：∵BP AQ ⊥，∴0=⋅BP AQ ，∴BP BA BP AQ BA BP BQ ⋅=⋅+=⋅)(， ①当直线l 与x 轴垂直时，解得)25,2(--P ，则)25,0(-=，又)2,1(=BA ， ∴5-=⋅=⋅.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)2(+=x k y ，由⎩⎨⎧=+++=072),2(y x x k y 得)215,2174(k k k k P +-+--，则)215,215(k kk BP +-+-=，（021≠+k ，否则l 与1l 平行）. ∴52110215-=+-++-=⋅=⋅kkk BP BA BP BQ .解法2：①当直线l 与x 轴垂直时，解得)25,2(--P ，则)25,0(-=BP ，又)2,1(=，∴5-=⋅=⋅BP BA BP BQ .②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为)2(+=x k y ，由⎩⎨⎧=+++=072),2(y x x k y 得)215,2174(k k k k P +-+--，则)215,215(k kk +-+-=，（021≠+k ，否则l 与1l 平行） 由⎩⎨⎧=-+++=20)2()1(),2(22y x x k y ，得0)1584()244()1(2222=--++-++k k x k k x k ， ∴12442221+-+-=+k k k x x ，∴1242221++=+k k k y y ，∴)12,1122(2222+++-+-k kk k k k Q ， ∴)12,112(222++++=k k k k k BQ ， ∴5)21)(1()212(5)215,215()12,112(223222-=+++++-=+-+-⋅++++=⋅k k k k k k k k k k k k k BP BQ ，综上所述，⋅是定值，且5-=⋅.解法3：设),(00y x P ，则07200=++y x ，),2(),2,1(00y x +==， ∵BP AQ ⊥，∴0=⋅BP AQ ，∴52722),2()2,1()(0000-=+-=++=+⋅=⋅=⋅+=⋅y x y x ， ∴⋅是定值，且5-=⋅.。
