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多元线性回归分析—内容提要与案例多元线性回归是一种统计分析方法，用于探究多个自变量与一个因变量之间的关系。
它在许多领域中都被广泛应用，如经济学、社会科学、医学等。
本文将介绍多元线性回归的基本原理、步骤和统计检验，并通过一个实际案例来演示其应用。
一、多元线性回归的基本原理1.线性关系假设：多元线性回归假设自变量与因变量之间存在线性关系。
即每个自变量的变化对因变量的影响是独立的，并且可以通过线性方程来描述。
2.回归模型构建：根据线性关系假设，可以构建一个回归模型，以自变量为解释变量，因变量为被解释变量。
3.参数估计：利用最小二乘法估计回归模型中的参数，使得模型对观测数据的拟合程度最好。
4.统计检验：通过统计方法检验回归模型中自变量对因变量的影响是否显著。
二、多元线性回归的步骤1.数据收集：收集包括自变量和因变量的观测数据。
2.模型构建：根据所收集到的数据，确定自变量和因变量之间的关系，并构建回归模型。
3.参数估计：使用最小二乘法估计回归模型中的参数。
4.拟合度检验：通过拟合度检验，评估回归模型对观测数据的拟合程度。
5.统计检验：利用各种统计方法，检验回归模型中自变量对因变量的影响是否显著。
6.模型解释：解释回归模型中各个参数的含义和影响。
三、多元线性回归的统计检验1.F检验：用于检验所有自变量对因变量联合作用是否显著。
2.t检验：用于检验每个自变量对因变量的独立作用是否显著。
3.R方和调整R方：用于评估回归模型对观测数据的拟合程度。
4. Durbin-Watson检验：用于检验回归模型是否存在自相关性。
五、多元线性回归的应用案例下面通过一个实际案例来演示多元线性回归的应用。
假设我们要研究一个人的体重与身高、年龄和性别之间的关系。
我们收集了100个人的数据，并通过多元线性回归分析来建立一个预测模型。
首先，根据数据，我们构建如下的多元线性回归模型：体重=β0+β1×身高+β2×年龄+β3×性别。
一种基于多元线性回归算法的车流量预测模型研究作者：刘畅马韵洁黄翔来源：《电子技术与软件工程》2016年第21期摘要城市交通问题已经成为国民经济进一步发展的瓶颈问题。
在城市交通系统中，道路的机动车拥堵是一种常见的严重情况，它对正常交通运行的危害性极大。
机动车拥堵是指，道路交通中，由于车辆过多，运行混乱而造成的非正常的使大批车辆长时间停滞，而无法到达目的地的现象。
拥堵现象具有突变性和趋恶性，对于道路拥堵的治理，要防重于治，能事先发出预警信号，采取预防措施，诱导车辆进行合理道路分配行驶，加强秩序管理等，来防止拥堵的产生与缓解拥堵程度。
【关键词】城市交通道路拥堵拥堵预警据专家分析，在未来城市化过程中，以大城市人口为主体的格局将会持续下去。
由于人口激增导致交通需求的不断增加，我国机动车拥有量及道路交通量也在急剧增加。
交通供需的不平衡导致了交通拥挤，甚至是交通阻塞。
交通拥挤的直接危害是使交通延误增大，行车速度降低，带来时间损失；低速行驶增加耗油量，导致燃料费用的增加和汽车尾气排污量的增加。
同时，交通拥挤也使事故增多，而交通事故的发生又使交通阻塞加剧，形成恶性循环。
交通拥挤的加剧，不仅造成巨额的直接或间接经济损失，而且在严重时会造成城市交通功能的瘫痪。
本文采用线性回归方法实现对某条道路或者某片区域内的车流量及拥堵情况的预测，为道路交通的管理决策提供参考依据，为出行者的行车路线进行前期规划，亦可为道路设计、红绿灯时间设置等提供设计依据。
1 车流量预测模型1.1 系统综述如图1所示，用户首先输入所要预测区域的卡口编号，然后输入所要预测流量变化的时间区间，即可实现车流量的预测，并将车流量的预测结果展示在页面上，方面使用者直观的查看。
具体如下：输入：输入用户需要查询的卡口号、起止时间及时间间隔，对过车的平均速度进行查询。
选择卡口：通过在GIS上选择要查看的卡口，将卡口号代入到流量预测页面的卡口输入框中。
选择要预测的卡口号，点击确定按钮进入过车流量预测页面；点击取消按钮重新选择卡口。
SPSS—-回归—多元线性回归模型案例解析！（一）多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为：毫无疑问，多元线性回归方程应该为：上图中的x1，x2，xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵,如下图所示：那么，多元线性回归方程矩阵形式为：其中：代表随机误差, 其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。
2:无偏性假设,即指：期望值为03：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等4：独立性假设,即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。
今天跟大家一起讨论一下,SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例,分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。
通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系,建立拟合多元线性回归模型。
数据如下图所示：点击“分析”——回归-—线性—-进入如下图所示的界面：将“销售量"作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长,车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”,当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式,在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量,都会强行进入）如果你选择“逐步"这个方法,将会得到如下图所示的结果:(将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出,车的价格和车轴跟因变量关系最为密切,符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）“选择变量（E)" 框内，我并没有输入数据,如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选,可以将那个自变量，移入“选择变量框"内，有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列表中出现！,再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：点击“统计量”弹出如下所示的框，如下所示:在“回归系数"下面勾选“估计，在右侧勾选”模型拟合度“ 和”共线性诊断“ 两个选项，再勾选“个案诊断”再点击“离群值”一般默认值为“3"，(设定异常值的依据，只有当残差超过3倍标准差的观测才会被当做异常值）点击继续。
浙江财经学院东方学院《应用回归分析》课程论文论文题目：我国民航客运量的因素分析学生姓名徐妙学期 2012-2013学年第一学期分院信息专业统计学班级10统计1班学号 1020430112教师彭武珍成绩2013年 1 月 1 日我国民航客运量的因素分析摘要：随着人们生活水平的提高，对交通工具的选择也逐渐发生变化。
从最开始单调的汽车、轮船，到现在的动车、火车、飞机、地铁，存在多种选择，在与家人出门游玩时也更加方便。
在此主要研究民航的客运量，从过去到现在他的发展趋势如何，主要存在哪些客观因素对他造成影响，今后的预测走势又如何等一系列问题将一一分析。
其中所用数据均来自《中华人民共和国统计年鉴》，所做的检验结果均由统计软件spss17.0提供。
关键字：回归、相关性、显著性、检验。
1引言伴随着经济的发展，人们的生活水平也随之增加了，同时带来了消费水平和消费观念的改变；与此同时也促进了经济的增加。
为了研究我国民航客运量的变化趋势及其成因，我们以民航客运量作为因变量y ，以国民收入、消费额、铁路客运量、民航航线里程、来华旅游入境人数为影响民航客运量的主要因素。
y 表示民航客运量（万人），x1表示国民收入（亿元），x2表示消费额（亿元），x3表示民航航线里程（万公里），x4来华旅游入境人数（万人）。
我们可以对此作一些猜测：我国民航客运量可能随着国民收入的增加而增加，随着铁路客运量的增加而减少，随着民航航线里程的增加而增加，随着来华旅游入境人数的增加而增加。
根据《中华人民共和国年鉴》获得1978—2005年的统计数据（见附录）。
利用spss17.0软件通过建立回归模型分析我国民航客运量主要受到哪些因素的影响，通过回归模型的建立反映我国经济水平发生的变化。
2预备知识2.1多元线性回归模型2.1.1多元线性回归模型的一般形式 设随机变量y 与一般变量px x x ,...,,21的线性回归模型为εββββ+++++=p p x x x y ...22110，其中：p 为解释变量的数目，0β为回归常数，p ββ...,1称为回归系数，ε是随机误差。
多元线性回归分析预测法(重定向自多元线性回归预测法)多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法）[编辑]多元线性回归分析预测法概述在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。
而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。
例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。
这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。
多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。
当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。
[编辑]多元线性回归的计算模型[1]一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。
当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。
设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为：其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。
如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为：其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。
如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为：y = b0 + b1x1 + b2x2 + e建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是：(1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关；(2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的；(3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度；(4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。
基于线性回归的我国客运量预测模型摘要：为了对我国客运量进行预测，利用SPSS18.0软件建立了我国客运量的逐步线性回归模型和基于相关性分析的多元线性回归模型，并分析了两种模型的预测精度。
分析表明，基于相关性分析的多元线性回归模型比逐步线性回归模型具有更好的精确度。
关键词：逐步线性回归模型；相关性分析；多元线性回归模型0 引言随着我国经济的不断发展，公路里程的不断增长，我国交通运输得到了较快的发展，成为我国社会生产、经济和生活中一个不可缺少的重要环节。
客运量作为交通量的重要组成部分，其发展变化可以影响到整个交通运输业的发展。
运用科学的方法和手段对客运量进行预测，可以预知未来一定时期内运输市场需求的变化趋势以及与之相关的各种因素的变化的影响进行分析，为运输企业制定经营目标和做出各种经营决策提供依据[1]。
通过对历史资料的逐年比较、分析，发现有两个明显的特点：第一，交通量逐年增加是大趋势；第二，交通量受很多其他因素的影响较大。
多元线性回归作为一种较为科学的方法，在各行各业都有较为广泛的应用，可以在获得影响因素的前提下，将定性问题定量化，确定各因素对主体问题的影响程度[2]。
但是影响客运量的因素太多，如果建模时全部考虑，不仅数据量太大，而且由于某些因素对客运量的影响太小而导致模型不够精确。
因此，本文选用逐步线性回归法和相关性分析法对影响因素进行筛选，并利用SPSS18.0软件建立预测模型。
1 多元线性回归模型理论概述1.1 多元逐步线性回归的思想[3]多元逐步线性回归是一种多元统计数据分析方法，它能消除自变量之间存在的多重共线性。
假设有因变量Y和m个自变量，首先观察n个样本点，构成因变量的n次观察值构成一个n维列向量Y=，和自变量，nm的观察值构成的观察矩阵X=。
本文采用backward，回归（给定置信水平=0.1），将X中的所有解释变量提取出来实施对这些变量的回归，如果回归方程已经达到满意程度，则算法终止，否则，将利用被解释后的信息剔除一些与0无显著性差异的变量（即sig≥0.1=的变量）。
文章编号:1671-2579(2006)04-0214-03线性回归在公路试验数据处理中的应用李 志(山东交通学院,山东济南 250023)摘 要:利用应用数学中线性回归方法,采用最小二乘法原理处理公路试验数据,并找出试验数据的变化规律和对应的线性回归方程,可以解决公路工程试验中的实际问题。
关键词:线性回归;最小二乘法;公路;试验数据;应用收稿日期:2006-06-10作者简介:李 志,男,大学本科,实验师.文中将线性回归方法运用到预应力混凝土钢绞线试验中,计算弹性模量和推算松弛率,其试验结果准确性非常高;在计算过程中,运用了Ex cel 图表建立数学模型和相关系数检验,提高了数据处理的直观性和可靠性。
1 基本原理1.1 应用数学中的线性回归概念设x 是可控变量,y 是依赖于x 的随机变量,它们之间有如下关系y =a +bx + ,其中a 、b 是常数, 是随机变量,且 ~N (0, 2),自变量x 与随机变量y 的这种关系称为一元线性回归(模型),当x 取固定值时,y =a +bx + 中两端取数学期望值得E (y )=a +bx ,若记y ^=E(y ),则有y ^=a +bx 称之为y 对x 的回归直线方程,其中b 称为回归系数。
1.2 最小二乘法原理对y =a +bx + 的已知数据(x i ,y i ),将它们作为二维点画在平面直角坐标系中,得到散点图,若呈直线型,则称为线性模型。
y =a +bx + 的已知数据(x i ,y i )的离差平方和为:Q =ni=1(yi-y )2=ni=1(yi-a-bx i )2选择Q =Q(a,b)达到最小值时作为a 、b 的估计值,将Q 分别对a 、b 求一阶偏导数并令其等于零,得:Q a =-2 ni=1(y i -a -bx i )=0(1)Q b =-2 ni=1(y i -a -bx i )x i =0(2)由此得到关于a,b 的二元线性方程组:na +b ni =1x i =ni=1yi a ni=1x i +bni=1x 2i=ni=1x iyi(3)令:x =1n ni=1x iy =1nni=1yi则写成:a +b x = y n x a +bni=1x2i=ni =1x iyi(4)因为x 1,x 2, ,x n 不完全相同,所以系数行列式:1 x nx ni=1x2i=n i=1x2i-n x 2=n i=1(xi- x )2!0(5)故方程组有唯一解:b =ni =1x i yi-n x yni =1x 2i-n x2=ni=1(xi- x )(y i - y )ni=1(x i - x )2a = y -b x (6)若记:214中 外 公 路第26卷 第4期2006年8月l xx = ni=1(x i - x )2= ni=1x 2i-1nni =1x i 2l yy= n i=1(y i - y )2= ni=1y 2i-1nni =1y i2l xy =ni=1(xi- x )(y i - y )=ni=1x i y i -1n ni=1xini=1yi(7)则有:b =l xyl xxa =y -b x(8)把回归直线方程y =a+bx 称为y 对x 的经验回归直线,b 称为经验回归系数。
