金融数学笔记

金融数学公式总结精算篇一：精算师考试__金融数学课本知识精粹第一篇：利息理论第一章：利息的基本概念a'(t)???=a(t)?t?tdr??01、有关利息力:?a(t)?e?n??0A(n)?tdt?A(n)?A(0)??(p)i(m)md2、(1?)?1?i?v?1?(1?d)?1?(1?)?p?e?mpi?单利率下的利息力：?=t??1?it3、??但贴现下的利息力：??dt?1?id??严格单利法（英国法）?4、投资期的确定?常规单利法（欧洲大陆法）?银行家规则（欧洲货币法）?5、等时间法：t???stk?1nnkk?sk?1 k第二章年金?1+i） an?an?1?1?an?an1、?....?sn?s1+i）sn?s?1 nn?1?....?van?am?n?am?2、?......m??van?am?n?amm3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式 4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同（2）各付款所依据的利率不同5、付款频率与计息频率不同的年金（1）付款频率低于计息频率的年金?an???现值:sk1??.......??期末付年金：snisk???sk????an????ak1??期初付年金：........??iak?终值:sn??ak???（2）付款频率高于计息频率的年金n??(m)1?v现值:an?(m)??1?i?期末付年金：.......(m)?ni??终值：s(m)?(1?i)?1?n?i(m)???(m)n..?1?v?现值：an??(m)?1?d........(m)?期初付年金：?(m)n..d(1?i)?1??终值:sn?(m)??i??（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）nn??1?vtan??vdt??0????nn?s?(1?i)n?tdt?(1?i)?1 ???n?06、基本年金变化（1）各年付款额为等差数列?an?nvn(现值)?V0?pa?Qi?..?na?na?nv?nn(Ia)?a??nn?ii?a?nvnn?a???(Da)n?nan?ii????n期末付虹式年金：V=(Ia)+v(Da)n-1?an?an0n????n?期末付平顶虹式年金:V0=(Ia)n+v(Da)n?an?an?1???（2）各年付款额为等比数列1?kn1?()V0?i?k?i?k:V0不存在?n?不存在?i?k:V0?1?i???i?k:V0存在7、更一般变化的年金：（1）在(Ia)n的基础上，付款频率小于计息频率的形式 V0=nn?vakkiskan（2）在(Ia)的基础上，付款频率大于计息频率的形式?na?nv?每个计息期内的m次付款额保持不变(Ia)(m)?n (m)n?i??..?nan?nv(m)?每个计息期内的m次付款额保持不变(I（m）a)n?(m)?i?（3）连续变化年金：1：有n 个计息期，利率为i，在t 时刻付款率为t,其现值为○??(Ia)n?an?nvn?n 2：有n 个计息期，利率为i，在t 时刻付款率为f(t),其现值为○V(0)??f(t)vdt 0第三章收益率tV(0)?v?Rt?0可求出 1、范文写作收益率（内部收益率）由t?0nt2、收益率的唯一性：（1）若在0~n期间内存在一时刻t，t之后的期间里现金流向是一致的，t之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。

《金融数学》复习提纲（2024版）利息度量累积函数()a t 是单位本金在时间t 的累积价值，反映了资金随着时间增长变化的过程。

在已知累积函数的情况下，就可以确定资金在任意时点上的价值。

在实践中，常用的两种计息方式是单利和复利，单利的累积函数为()1a t it =+，复利的累积函数为()(1)ta t i =+，其中i 表示年利率。

贴现函数是累积函数的倒数，表示时间t 的单位资金在时间零点的现值，记为1()a t −。

累积函数用于计算资金的终值，贴现函数用于计算资金的现值。

复利计息方式下的贴现函数为1()(1)(1)t ta t i d −−=+=−。

单利的年有效利率随着时间而递减。

复利的年有效利率是一个常数，恒等于复利的年利率。

如果没有特别说明，本书的利息度量工具都是基于复利的累积函数定义的，包括有效利率、有效贴现率、年名义利率、年名义贴现率和利息力。

有效利率和有效贴现率可以定义在任意长度的时间区间。

有效利率等于当期利息与期初本金之比；有效贴现率等于当期利息与期末累积值之比。

在实践中，任意时间区间上定义的有效利率通常会表示为年名义利率的形式。

年名义利率也称为年化利率，定义为一个时间区间上的有效利率除以该时间区间的长度，也可以定义为一个时间区间上的有效利率乘以一年包含的区间个数，记为()m i 。

年名义利率()m i表示将一年等分为m 个时间区间后，每个区间的有效利率为()/m im 。

年名义贴现率也称为年化贴现率，定义为一个时间区间上的有效贴现率除以该时间区间的长度，也可以定义为一个时间区间上的有效贴现率乘以一年包含的区间个数，记为()m d 。

年名义贴现率()m d表示将一年等分为m 个时间区间后，每个区间的有效贴现率为()/m dm 。

利息力也称为瞬时利率，表示资金在一个无穷小的时间区间（一个时点）上的年化利率，换言之，如果将一个无穷小的时间区间上定义的有效利率表示为年名义利率的形式，这个年名义利率就是利息力。

《金融数学引论》复习提纲第一章 利息的基本计算 第一节 利息基本函数一. 累积函数a(t)与总量函数A(t)某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。

利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。

实际利率 i i n =三.. 贴现函数一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。

等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+四．名利率与名贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。

所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。

与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。

名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。

名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。

五．连续利息计算定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=一个常用的关系式如下：()()11[1]1(1)[1]m p m p i d i v d e m pδ---+=+==-=-=要求：δ,,,,)()(p m d i d i ，之间的计算。

１§2 期望效用理论期望效用函数理论是20世纪50年代，冯·诺依曼和莫根施特恩在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，对不确定条件下理性人选择行为进行分析所建立的一套理论框架。

这一理论成为处理不确定性决策问题的分析范式，进而构筑起现代微观经济学并由此展开额的包括宏观、金融、计量等在内的宏伟而又优美的理论大厦，它自然也是数理金融学中投资消费理论及资产定价理论的理论基础。

投资分析 从2σ-E X 模型,CAPM,APT →线性定价或随机折现因子统一,都引起了争论,认为缺乏经济学内容。

一、圣彼得堡悖论 经济活动者在不确定环境(带概率)下的决策问题。

赌博问题 期望收益成为刻画理性赌徒在赌博输赢中的总体指标。

令 (i)若0 R E 则对赌博参与者有利； (ii) 若0=E R 则该赌博是公平的；(iii) 若0 R E 则对赌博参与者是不利。

但是这种决策依据很快被质疑。

例1(猜硬币问题) 一场猜硬币正反面的赌博，若第一次猜对了就可以得到2元；若第一次没猜中且第二次猜中就可以得到4元；……一般是前n-1次都没有猜中,但是第n 次猜中可以得到n2元。

问:若参与者参与这场赌博,他应该交多少钱才能使这场赌博成为“公平赌博”? 解：设随机变量X 为事件“参与者赢钱”,则X 的概率分布律为:X2 4 …… n 2…… P21 41……n 21……所以X 的期望为:∞=++++=E n n X 21*221*221*222即参与者无论交多少钱,都是对其有利的。

然而，真要付诸实现，即使敢冒任何风险的赌徒，当标价非常高时，也会不愿参加。

“圣彼得堡悖论”中对赌徒有利的赌博，实际上只有疯子才会参加。

“圣彼得堡悖论”并非是一个科学的问题，而是一个对人的行为动机的认识问题。

但D-B 认为这个问题的解决方法也是非科学的，即人不是根据可得钱的数学期望而是由其“道德期望”行动的，接近“边际效用递减”假设。

“道德期望”并不与得利多少成正比，而与原来有多少钱有关。

金融数学相关知识(doc 7页)金融数学相关知识(doc 7页)金融数学Quant analysis主要运用随机分析，随机最优控制，倒向随机微分训方程，非线性分析，分形几何等现代数学工具研究：1不完备的金融市场有价证券（例如期货、期权等衍生工具的）资本资产定价模型，套利定价理论，套期保值理论，最优投资和消费理论，2利率的期限结构和利率衍生品的定价理论，3不完备金融市场的风险管理和风险控制理论。

Quant analysis金融数学（Financial Mathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融动内在规律并用以指导实践。

金融数学也可以理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学是一门新兴的交叉学科，发展很快，是目前十分活跃的前言学科之一。

金融数学的发展曾两次引发了“华尔街革命”。

上个世纪50年代初期，马科威茨提出证券投资组合理论，第一次明确地用数学工具给出了在一定风险水平下按不同比例投资多种证券收益可能最大的投资方法，引发了第一次“华尔街革命”，马科威茨因此获得了1990年诺贝尔经济学奖。

1973年，布莱克和斯克尔斯用数学方法给出了期权定价公式，推动了期权交易的发展，期权交易很快成为世界金融市场的主要内容，成为第二次“华尔街革命”，修斯因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。

2003年诺贝尔经济学奖第三次授予以数学为工具分析金融问题的美国经济学家恩格尔和英国经济学家格兰杰以表彰他们分别用“随着时间变化易变性”和“共同趋势”两种新方法分析经济时间数列给经济学研究和经济发展带来巨大影响。

金融数学在我国起步比较晚，但于1997 年正式实施的国家“九五”重大项目《金融数学、金融工程、金融管理》，直接推动了我国金融数学这一交叉学科的兴起和发展。

金融数学,运用随机分析，随机最优控制，倒向随机微分方程，非线性分析，分形几何等现代数学工具研究以下问题：（1）不完备金融市场有价证券（例如期货，期权等衍生工具）的资本资产定价模型，套利定价理论，套期保值理论及最优投资和消费理论。

第一章金融市场§1-1 基本思想——复制技术与无套利条件§1-2 股票及其衍生产品§1-3 债券市场§1-4 利率期货§1-2 股票及其衍生产品股票衍生产品：是一个特定的合约，其在未来某一天的价值完全由股票的未来价值决定。

卖方(writer)：制定并出售该合约的个人或公司。

买方(holder)：购买该合约的个人或公司。

标的资产：股票。

远期合约：在交割日T，以执行价格X买入一单位标的资产的合约。

f t＝S t－Xe－rT卖空条款：1．某人(通常从经纪人)借入具体数量的股票，今天出售这些股票。

2．借的股票在哪一天归还必须还未被指定。

3．如果借出股份的买方想出售股票，卖空者必须借其他股份以归还第一次借得的股份。

期货合约定价期货合约是购买者和出售者双方的协议，约定在未来某一具体时间完成一笔交易。

X＝S0e rT看涨期权到期时损益：Call=(S T－X)＋看跌期权到期时损益：Put = (X －S T)＋§1-3 债券市场票面利率：以债券面值的百分比形式按年计算的定期支付。

即期利率：以当前市场价格的百分比的形式计算的每年支付。

到期收益率：如果购买并持有至到期，债券支付的收益的百分比率。

若债券面值为1，到期日为T，其现值为P(t，T)。

到期收益率R为：利率与远期利率：f（T1,T2）=（r2T2－r1T1）/（T2－T1）§1-4 利率期货国债期货定价F t＝(P－C) e r(T－t)C表示债券所有利息支付的现值．P为债券的现在价格。

第二章二叉树、资产组合复制和套利§2-1 博弈法§2-3 概率法§2-2 资产组合复制§2-4 多期二叉树和套利§2-1 博弈法假设：●v市场无摩擦●v存在一种无风险证券●v投资者可用无风险利率r > 0不受限制地借或贷●v股票的价格运动服从二叉树模型无风险组合：选择a使得这个投资组合在t =1的两种状态下取值相等，即U－aS u＝D－aS d无套利机会：这个投资组合的期末价值必须等于e rT(V0－aS)，e rT(V0－aS )= U－aS u＝D－aS d要点：构造一个无风险投资组合§2-2 资产组合复制思想：构造资产组合复制衍生产品。

金融数学公式总结精算5篇篇1一、引言金融数学是运用数学理论和方法对金融市场进行定量分析和研究的一门学科。

在金融数学中，众多数学模型和公式用于对金融风险、资产定价和投资策略等进行精准评估。

本文旨在总结和归纳金融数学中的一些核心公式和精算方法。

二、资产定价与回报模型1. 资本资产定价模型（CAPM）CAPM公式用以确定资产的合理预期回报率，其表达式为：\(E(R_i) = R_f + β_{i}(E(R_m) - R_f)\)其中\(E(R_i)\)为资产i的预期回报率，\(R_f\)为无风险利率，\(β_{i}\)为资产i的系统风险，\(E(R_m)\)为市场平均预期回报率。

2. 布莱克-舒尔斯期权定价模型（Black-Scholes Model）该模型提供了欧式期权理论价格的公式，公式如下：\(C = S \cdot N(d_1) - K \cdot e^{-r(T-t)} \cdot N(d_2)\)其中C是期权价格，S是股票价格，K是行权价格，r是无风险利率，T是到期时间，t是当前时间，N表示正态分布函数中的变量。

具体N的计算基于标准正态分布累积函数和参数。

此公式广泛应用于金融衍生品定价。

三、风险评估与计量模型1. 在险价值（Value at Risk, VaR）与条件在险价值（Conditional Value at Risk, CVaR）VaR是衡量在一定概率水平下资产或投资组合可能遭受的最大潜在损失的计算方式。

例如，某一投资组合的VaR为一百万表示在某特定置信水平下投资组合的潜在损失不会超过一百万。

CVaR则是在给定的置信水平下，投资组合损失超过VaR部分的期望值。

二者的计算涉及历史模拟法、参数法和蒙特卡洛模拟等。

具体公式根据方法的不同有所区别。

四、投资组合优化模型现代投资组合理论（Modern Portfolio Theory）与马科维茨投资组合优化篇2一、引言金融数学作为金融学与数学的交叉学科，利用数学工具来分析和解决金融问题。

第一章货币概述本章重要概念等价交换原则：商品交换中，相互交换的两种商品必须具有相等的价值（即生产这两种产品时，必须耗费同样多的人类劳动），这就是等价交换原则。

简单的偶然的价值形式：人类社会最初的商品交换相对应的商品价值形式，是价值形式发展过程中的原始阶段。

当时只是有了剩余产品而交换，还没有专门的商品生产，商品的价值只是偶然地通过另一种商品表现出来，所以称简单的或偶然的价值形式。

总和的扩大的价值形式：处在相对价值形式上的商品的价值不仅表现在某一种商品上，而且表现在一系列其他商品上。

这种商品价值的表现形式就是总和的扩大的价值形式。

一般价值形式：即一切商品的价值共同表现在某一种从商品世界中分离出来而充当一般等价物的商品上。

货币价值形式：即一切商品的价值固定地由一种特殊商品来表现，这种特殊商品（黄金、白银）固定地充当一般等价物。

它是价值形式的最高阶段。

信用货币：信用货币是由国家和银行提供信用保证的流通手段。

它通常由一国政府或金融管理当局发行，其发行量要求控制在经济发展的需要之内。

信用货币包括辅币、现钞、银行存款、电子货币等形态。

货币量层次划分：货币量层次划分，即是把流通中的货币量，主要按照其流动性的大小进行相含排列，分成若干层次并用符号代表的一种方法。

价值尺度：货币在表现商品的价值并衡量商品价值量的大小时，发挥价值尺度的职能。

这是货币最基本、最重要的职能。

价格标准：指包含一定重量的贵金属的货币单位。

在历史上，价格标准和货币单位曾经是一致的，随着商品经济的发展，货币单位名称和货币本身重量单位名称分离了。

流通手段：货币充当商品流通的媒介，就执行流通手段职能。

贮藏手段：当货币由于各种原因退出流通界，被持有者当作独立的价值形态和社会财富的绝对化身而保存起来时，货币就停止流通，发挥贮藏手段职能。

支付手段：当货币作为价值的独立形态进行单方面转移时，执行着支付手段职能。

如货币用于清偿债务，支付赋税、租金、工资等所执行的职能。

大一金融数学知识点归纳金融数学是金融学和数学的交叉学科，通过运用数学的方法和工具来解决金融问题。

在大一学习金融数学的过程中，我们接触到了一些重要的知识点。

本文将对这些知识点进行归纳和总结，以帮助大家更好地理解和应用金融数学。

1.概率论与统计学概率论和统计学是金融数学的基础，是研究金融现象的重要工具。

在大一的学习中，我们学习了以下知识点：1.1 随机变量和概率分布：随机变量是一种能够随机取不同取值的变量，概率分布描述了随机变量各个取值的概率。

1.2 期望和方差：期望是描述随机变量均值的指标，方差则是描述随机变量离散程度的指标。

1.3 正态分布：正态分布是一种重要的连续概率分布，它在金融领域中广泛应用于风险评估和资产定价等方面。

2.线性代数线性代数是金融数学中的重要工具，它用于描述和解决金融模型中的各种关系。

以下是我们在大一学习中接触到的线性代数知识点：2.1 矩阵和向量：矩阵是一个由数字排列成的长方形阵列，而向量是一列按照顺序排列的数字。

2.2 矩阵运算：矩阵可以进行加法、减法、数乘和乘法等运算，这些运算对于金融模型的构建和求解非常重要。

2.3 线性方程组：线性方程组是一组线性方程的集合，解线性方程组可以帮助我们确定金融模型中的未知变量。

3.微积分微积分是金融数学的核心内容，它提供了一种描述和分析金融变化的工具。

以下是我们在大一学习中接触到的微积分知识点：3.1 导数和微分：导数描述了函数在某一点处的变化率，微分是导数的一种表达方式。

3.2 积分和定积分：积分是导数的逆运算，定积分是积分的一种特殊形式，可以用来计算曲线下的面积，例如金融领域中的收益率计算。

3.3 极限：极限是微积分研究的重要概念，它描述了函数在某一点处的趋势和变化规律。

4.微分方程微分方程是金融数学中常用的建模工具，它用于描述金融市场的变化和演化。

以下是我们在大一学习中接触到的微分方程知识点：4.1 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是一种常见的金融模型形式，它可以用于描述金融资产的价格变化。

金融数学高中笔记分享教案一、教学目标1. 了解金融数学的基本概念和应用。

2. 掌握金融数学中的常用公式和计算方法。

3. 能够运用金融数学知识解决实际问题。

二、教学内容1. 金融数学概念和基本原理。

2. 利息的计算方法。

3. 复利的应用。

4. 等额本息贷款和等额本金贷款的计算方法。

5. 货币的时间价值和投资的收益率计算。

三、教学重点与难点1. 金融数学中的利息计算方法和复利应用。

2. 等额本息贷款和等额本金贷款的区别和计算方法。

3. 时间价值货币的概念和投资收益率的计算。

四、教学方法1. 理论教学与实例分析相结合，通过实际案例来帮助学生理解概念和方法。

2. 小组讨论和合作学习，让学生在互相交流和讨论中加深理解。

3. 实地考察和实践活动，让学生在实际操作中掌握金融数学知识。

五、教学过程1. 引入：通过一个生动的例子引入金融数学的基本概念和应用。

2. 理论讲解：介绍金融数学的基本原理和常用方法。

3. 实例分析：通过几个实际案例来演示利息计算、复利应用、贷款计算等。

4. 讨论与练习：学生分组讨论和练习相关题目，加深理解和掌握应用方法。

5. 实践活动：组织学生到银行或投资机构进行实地考察和实践操作。

六、教学评估1. 在课堂表现: 学生能否积极思考，参与讨论？2. 作业完成情况: 学生能否独立完成作业题目？3. 实地考察报告: 学生能否准确描述实地考察的过程和结果？七、拓展延伸1. 可以邀请金融专家到课堂上进行讲解和交流。

2. 组织学生参加金融数学竞赛和模拟投资比赛。

3. 开展校园金融实践活动，让学生在实际操作中应用所学知识。

上海市考研数学十五复习资料金融数学重点知识点总结与实例分析上海市考研数学复习资料金融数学重点知识点总结与实例分析在上海市考研数学中，金融数学作为一个重要的考点，涵盖了许多重要的知识点。

本文将为大家总结并分析一些金融数学的重点知识点，并通过实例来帮助大家更好地理解和掌握这些知识。

一、随机变量及其分布在金融数学中，随机变量的概念及其分布是非常重要的基础知识点。

随机变量是一种可以随机取值的变量，常用符号X表示。

在金融领域中，我们常常关注的是收益率、股价等随机变量。

1.1 随机变量的定义随机变量可以是离散型的也可以是连续型的。

对于离散型随机变量，其取值是有限或可数个；而对于连续型随机变量，其取值可以是任意的实数值。

1.2 随机变量的分布随机变量的分布是指其各个可能取值的概率分布情况。

在金融数学中，常见的随机变量分布有离散型分布和连续型分布。

常见的离散型分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布；而常见的连续型分布有均匀分布、正态分布和指数分布。

二、金融数学中的概率论知识在金融数学中，概率论是非常重要的工具。

掌握概率论的基本概念和方法，可以帮助我们分析金融市场中的随机性。

以下是一些金融数学中常用的概念和方法：2.1 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

在金融数学中，我们常常需要利用条件概率来计算一些重要的概率值，如条件期望、条件方差等。

2.2 事件独立性在金融市场中，我们经常需要判断两个事件是否是独立的。

如果两个事件是独立的，那么它们的联合概率等于各自概率的乘积。

2.3 随机变量的期望和方差随机变量的期望和方差是衡量随机变量分布特征和波动程度的重要指标。

在金融数学中，我们常常需要计算股价的期望和方差，以评估投资的风险和回报。

三、金融数学中的随机过程随机过程是描述随机变量随时间变化的数学模型。

在金融数学中，随机过程被广泛应用于风险管理、期权定价等领域。

以下是一些金融数学中常用的随机过程：3.1 随机游走随机游走是最简单的随机过程之一，也是许多金融市场模型的基础。

金融数学公式总结精算_金融个人总结范文1. 时间价值公式时间价值是金融数学中最常见的概念。

它意味着未来的一笔钱价值不同于当下的一笔钱。

考虑一个投资，假设给定一定金额P，年利率r和投资年限T，时间价值公式如下：FV = P(1+r)^T其中，FV代表投资到期时的总价值。

时间价值公式有广泛的应用，例如在计算贷款利息、投资报酬率和退休账户等方面。

2. 贴现公式贴现是将未来的一笔钱折算到现在的概念。

假设未来某一时间点T将会发生一次收入或支出，假设未来收入或支出将为C，贴现公式如下：其中，PV代表当前时间点的现值。

贴现公式常被用于计算资产价值、投资现值和股息现值等方面。

3. 期权定价公式期权是一种金融衍生品，允许持有人在特定价格和时间点之间购买或出售某种资产。

期权定价公式旨在计算期权的公正价格。

其中，布莱克-斯科尔斯公式（Black-Scholes Formula）是最著名的一个，其公式如下：C = S0N(d1) - Xe^(-rt)N(d2)其中，C代表购买期权的成本，S0代表股票价格，X代表期权行权价格，r代表无风险利率，t代表期权到期时间，N表示标准正态分布。

该公式有广泛的应用，特别是在期权交易市场上。

4. 投资组合的预期收益率公式投资组合是由多种不同证券（如股票、债券、商品等）组合而成的一种投资产品。

投资组合的预期收益率公式如下：E(Rp) = ∑ wiE(Ri)其中，E(Rp)表示投资组合的预期收益率，wi表示第i个证券在该投资组合中的权重，E(Ri)表示第i个证券的预期收益率。

该公式用于计算投资组合的预期表现，以及评估不同证券在组合中的贡献。

以上公式仅是金融数学公式中的一部分，金融数学知识非常广泛复杂，需要不断学习和探索。

对于专业人士，了解各种公式和他们的应用，对于有效地管理投资组合、评估风险和保护资产品质是至关重要的。

第一讲 Black-Sholes 公式的离散形式证明一、Black-Sholes 的期权定价公式看张期权的定价公式：12()()rT c s d ke d =Φ-Φ 看跌期权的定价公式：21()()rT p ke d s d -=Φ--Φ 其中21d =21d d σ=-t s 为标的物的价格且[0,]t T ∈，T s 为到期时的股票价格；r 为无风险利率;k 为敲定价格。

二、证明(1) 两个基本假设：股票市场有波动，不存在风险套利 (a)[0,]T 分为N 等份，每一段时间为T N(b)假设初始财富为1，每一期的期末有两种可能：以p 的概率变为1+b ；以1-p 的概率变为1+a 。

每一个等份内的利率为R ， (2)易知111a R b +<+<+。

(3)构造离散形式的二叉数模型上面的二叉树可以一直延续到第N 期，期末的财富为T w 。

N 阶段必然有N+1个终点，其中包括：N C 个(1)N b +，1N C 个1(1)(1)N b a -++，…k N C 个(1)(1)N kk b a -++…,N N C 个(1)Na +。

(4)在T 时刻有{(1)(1)}(1)N k k k N k kT N P w b a C p p --=++=- 如果我们令T T s sw =，就可以得到下式：{(1)(1)}(1)N kk k N kkT N P s s b a C pp --=++=-(5)期权在N 时刻的价值call: ()[(1)(1)]N k kN s k s b a k -++-=++- put: ()[(1)(1)]N k kN k s k s b a -++-=-++()01()(1)[(1)(1)](1)NN k N kk N kkN NNk cE s k Cpp s b a k R --++==-=-++-+∑()1()(1)[(1)(1)](1)NN k N kk N kkN NN k pE k s Cpp k s b a R --++==-=--+++∑(6)看张和看跌期权的平价关系由步骤（5）可知：(1)N N Nk c p s R -=-+(7)收益率的换算因为T rR N=，所以连续复利elim (1)lim (1)rTNNN N rT R N→∞→∞=+=+。

金融数学公式整理-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN金融数学1. 利率：()()()()1,112,2121t A I t A t A t A i t t t t =-=2. 单利方式下的累积函数：()it t a +=1 复利方式下的累积函数：()()ti t a +=14. 单利方式下的贴现函数：()()111--+=it t a复利方式下的贴现函数：()()t i t a--+=115. 贴现率：()()()()2,212,2121t A I t A t A t A d t t t t =-=贴现因子；()11-+=i v6. 终值AV ，现值PV7. 利率与贴现率的关系:i i i d <+=1,ddi -=1,iv d =,v d -=1,id d i =- 8. 名利率换算公式：mm m i i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+119. 名利率换算公式：mm m i i ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+11名贴现率换算公式：p p p d d ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1110. n 期标准期末年金的现值：iv v v v a nn-=+++=⌝12in11. n 期标准期末年金的终值：()()()ii i i s nn 111111i n -+=+++++=-⌝12. n 期标准期初年金的终值：dv v v v ann -=++++=-⌝1112i n13. n 期标准期初年金的终值：()()()di i i s nn1111i n -+=++++=⌝14. 递延m 期的n 期标准年金：i n m i m i n m a v a a ⌝⌝⌝+=-15. 永久期末年金;i a v v a i n n i 1lim 2==++=⌝∞→∞⌝16. 永久期初年金;dav v a i n n i 1lim 12==+++=⌝∞→∞⌝ 17. 付款周期为整数倍的期末年金;ik in n k k s a v v v ⌝⌝=++ 2 终值为()ik i n n i k in s s i s a ⌝⌝⌝⌝=+1 18. n 期标准递增期末年金的现值；()inv aIa n n n -=⌝⌝终值：()()in s i n sIs n n n 11+-=-=⌝+⌝⌝ 19. .n 期标准递减期末年金的现值；()ian Da n n ⌝⌝-=终值：()is i n Ds n n n ⌝⌝-+=)1(20. 永久标准递增期末年金的现值；()211ii Ia +=∞⌝期初年金的现值：()idd a I 11+=∞⌝21.n 期比例变化年金的现值：()()k i i k v k v k v nn n -⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++++-1111112。