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第三章 变形几何理论

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第03章 第02节 应变分析

第03章 第02节 应变分析

u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z )
或
ui ui ( x, y, z )
小变形几何方程
1、位移与应变
变形体内无限接近两点的位移分量间的关系
ui ui ( x, y, z )
ui ' ui ui ui ( x dx, y dy, z dz)
u x
2L 当x=L/2时，u L, 得c L 2L H
L 2H x
同理：
v
H
2H
y
小变形几何方程
u x v y y w z z
x
1 u v ) 2 y x 1 v w yz zy ( ) 2 z y 1 w u zx xz ( ) 2 x z
l
拉伸
2l 和 2l
压缩
l


2l l l 2l 100%; 50% l 2l
2l l 1 ln ln 2 69%; ln ln 69% l 2l 2
小变形几何方程
1、位移与应变
质点 M→M1 ——靠弹性或塑性变形实现。 位移：变形体内任一点变形前 后的直线距离(MM1) 位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为 该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。 位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设， 位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶 偏导数。
r1 rx r rx rx
棱边PA在x方向的线应变：
y
x
rx
rx
ry rz z rz

第三章应变理论课件

第三章应变理论课件

Venant）1797年生于法国，
1886年逝世。1825年毕业于
巴黎桥梁公路学校，后从事
工程设计工作，1837年回该
校任教，1868年当选为法国
科学院院士。在弹性力学、
塑性力学、流体力学等方面
做出了贡献。他的力作用的
局部思想被称为“圣维南原 理”。
圣维南
（A.J.Saint-Venant）
§3-5 变形协调方程
§3-3 转动张量
如图4设过点 从物体中任意取出
一微元线段 。若令点 的坐标
为
，则点 的坐标为
变形后， 变成 的位移为
。令点 的位移为
于是
图4
, 则点
§3-3 转动张量
§3-3 转动张量
其中
若令
则
表示位移矢量 的旋度，
则分别表示物体
内微元体绕相应的坐标轴的旋转分量，而
则代
表微元体的刚性转角。
§3-3 转动张量
应变协调方程的物理意义： ➢ 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满
足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连 续体，其间将产生缝隙或出现相互嵌入现象。 ➢ 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一 定的关系。 注：应变协调方程是变形连续的必要和充分条件！
例题
例1. 设物体变形时产生的应变分量为
在略去二阶及更高阶的微量以后简化为 线段 的正应变是
（3）
§3-2 小应变张量（几何方程）
由于位移是微小的， 方向的位移所引起的线段 的伸缩，是更高一阶微小的，略去不计。同样线段
的正应变是 （4）
求出线段 与 之间的直角改变，也就是剪应 变 ，用位移分量来表示。
§3-2 小应变张量（几何方程）

第三章 应变理论

第三章 应变理论

位移梯度张量 对称张量 反对称张量
ui, j 分解
T = Tji ij
Tij = −Tji
1 1 ui , j = (ui , j +u j ,i ) + (ui , j −u j ,i ) 2 2 =D+ R 1 D = (u , j +u j ,i ) 变形张量 i 2 1 转动张量 R= (u , j −u j ,i ) i 2
o
x2
定义角应变（工程应变） 定义角应变（工程应变）
γ
γ12
同理有
∂u2 ∂u1 =α + β = + = 2ε12 ∂x1 ∂x2
γ 23
∂u3 ∂u2 = + = 2ε23 ∂x2 ∂x3
∂u1 ∂u3 γ 31 = + = 2ε31 ∂x3 ∂x 1
应变分量
∂u1 ε11 = ∂x1 ∂u2 ε22 = ∂x2 ∂u3 ε33 = ∂x3
" '
∂u β= 1 ∂x2
x1
o x3
A
α
dx1
∂u2 dx1 ∂x1
∂u2 α= ∂x 1
x1
x1 x 2
平面内的转动位移
21
即绕 x 3 轴的转动位移 ω x2
C
D''
C
''
β
ωZ
D
1 ∂u2 ∂u1 ω21 = ω3 = ( − ) 2 ∂x1 ∂x2
B
B
''
oA
x3
α
x1
同理有绕 x 1 x 2 轴的转动位移ω 32
u1, j u2 , j u3, j 称为位移梯度。 称为位移梯度 位移梯度。

塑性力学_第三章应变状态

塑性力学_第三章应变状态

第三章 应变状态理论在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化，即发生位移。

如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。

如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。

应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。

即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。

这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。

本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。

3.1 位移与线元长度、方向的变化1.1坐标与位移设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。

于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。

即⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ (3.1-1)上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式(3.1-1)确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。

因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式(3.1-1)是单值的，所以式(3.1-1)可看成是坐标的一个变换。

如果在(3.1-1)中，假设00,y y x x ==，则由(3.1-1)式可得如下三个方程⎪⎭⎪⎬⎫+=+=+=),,(),,(),,((00000000z y x w z z y x v y z y x u x ςηξ (3.1-2)式(3.1-2)决定了一条曲线，曲线上各点 ,,21**M M ，在物体变形前为平行于z 轴的直线(00,y y x x ==)上(图3.1)。

材料力学重点归纳

材料力学重点归纳

材料力学考试重点一、。

课程的性质、任务材料力学是变形体力学的最基础课程。

固体力学（即变形体力学）是研究固体材料的变形、流动和断裂的一门科学。

它是材料科学专业的一门理论性较强的重要的技术基础课程。

本课程的基本任务是为了提高材料工程类专业学生的力学基础素养，使之掌握该专业所必需的固体力学基本概念、基本方法和基础理论，培养学生具备一定的力学分析计算能力和基本的力学实验技能，为学习后续专业课程奠定必要的力学基础。

教学的同时注意结合本课程的特点培养学生的辩证唯物主义观点。

二、课程的基本要求通过本课程的教学，应使学生达到下列基本要求：1．理论力学静力学是系统学习力学课程的必要基础。

因此要求学生理解并掌握理论力学静力学的有关概念和理论。

了解几种常见的约束类型的性质及静力学基本公理。

较熟练地掌握对物体进行受力分析的方法。

2．了解静力学的基本任务。

理解并掌握力线的平移定理。

熟悉各类平面力系的简化方法和结果。

掌握各类平面力系的平衡条件，并能熟练地应用它们去求解物体（或物体系）的平衡问题。

简单了解空间力系的简化结果、力对轴之矩的概念及重心的概念。

3．理解并掌握固体力学的有关基本概念：对固体力学分析问题、解决问题的基本方法和思路有明确的认识。

4．掌握一维工程构件三种基本变形的内力、应力和变形的分布变化规律、基本分析方法以及计算方法。

5．清楚了解研究测试固体材料力学性质的意义和方法，对常见固体材料（典型的金属材料和岩石）的力学性质和测定方法有基本认识和掌握。

了解电测应力方法的基本原理。

6．对应力、应力状态、应变、应变、应变状态的概念有较明确的认识。

较熟练掌握应力分析理论和应变分析理论。

7．理解和掌握固体材料弹性变形和塑性变形的主要特征，对屈服函数、主应力空间、屈服面、屈服曲线、屈服条件等概念有较明确认识。

熟悉掌握强度理论：最大拉应力理论、最大剪应力理论、形状改变比能理论、莫尔强度理论和库仑-纳维叶剪切强度准则的基本观点、适用范围、表达形式和工程应用。

弹塑性力学 第03章应变状态理论

弹塑性力学 第03章应变状态理论
第三章 应变状态理论
在外力（或温度变化）作用下，物体内各部分之 间要产生相对运动。物体的这种运动状态，称为“变 形”。本章专门分析物体的变形，它的任务是 （1）分析一点的应变状态； （2）建立几何方程和应变协调方程。
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 §3-7
变形和应变的概念 应变与位移的关系—几何方程 相对位移张量 转动分量 主应变 应变张量不变量 体应变 应变协调方程 位移边界条件
可以证明，与物体内A点无限邻近的一点B的位移由三部分 组成。
B B2 B3 B1
A
A1
① 随同A点平移位移，如左图中的BB2所示 ② 绕A点刚性转动在B点所产生的位移，如左图中的B2B3所示 ③ 由A点邻近的微元体的变形在B点引起的位移，如左图中的 B3B1
§3-4 主应变 应变张量不变量
设在坐标系Oxyz下，某点（譬如M点）的6个应变分量为
1 2
1 2 1 2
γ xz ⎤ ⎥ γ yz ⎥ εz ⎥ ⎦
⎡ 0 ⎢ 1 + ⎢ 2 ωz 1 ⎢ ⎣− 2 ω y
− ωz 0
1 2
ωx
ωy ⎤ ⎥ 1 − 2 ωx ⎥
1 2
0 ⎥ ⎦
u ⎡∂ ∂x ⎢ ∂v ⎢ ∂x ∂w ⎢ ⎣ ∂x
∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
2 2 2
n=(l , m , n)为该微分线段的方向余弦。
ε i′j′ = ε ij ni′i n j′j
物体内某点的6个应变分量将随着坐标系的旋转而改 变。物体受力变形后，过物体内的某一确定的点能否找到这 样一个坐标系，在这个坐标下，只有正应变分量，而所有切 应变分量都为零。也就是说，过该点能否找到这样3个互相垂 直的方向，使沿这3个方向的微分线段在物体变形后只是各自 地改变了长度，而其夹角仍保持为直角。 A F A F B F B F

3章_变形几何理论分析

3章_变形几何理论分析

吉林大学建设工程学院
弹塑性力学课程
应变张量的一些相关概念
上式中将应变分量换成应力分量，便得到求斜面上正应力的公式。对于斜线 元的剪应变，也有类似关系。这表明应变张量和应力张量在形式上是一致的。
应力应变对应图
x x
1 xy xy xy 2
yz yz yz
1 2 2 2 ( xy yz zx ) x y y z z x 4 1 2 2 3 31

I '1 x y z 1 2 3 ii
2 2 2 I '2 x y y z z x xy yz zx
y方向位移 z方向位移
u u( x, y,z ) v v( x, y,z ) w w( x, y,z )
变形是由质点位移造成的。但是质点位移并不一定要造成变形。
下面考察位移和表示变形的应变有什么关系。 吉林大学建设工程学院
弹塑性力学课程 应变是表示变形大小的物理量。物体变形时，质点必有位移；但质点有位 移时却未必有变形；物体变形时，同时伴随有刚体运动(平动和转动)，应 变分析时应该把刚体运动滤掉。 和应力分析相似，应变分析需要引入点的应变状态的概念。不同方向应 变的大小是不同的。一点的应变状态需要一个应变张量来描述。应变张 量和应力张量有着相似的性质。 单元体变形有两种形式： 线单元的相对伸缩称为正应变； 两个线单元间夹角的相对变化称为剪应变。 应变状态可通过过一点的三个正交线单元
1 u i u j 根据求和约定，上述六式可以简记为：ij ( ) 2 x j x i
注：六个应变分量是从三个位移分量得出，因此不是相互独立的。它们需要满足 一组关系式(称为协调方程) 。 吉林大学建设工程学院

材料力学 第三章 应变理论

材料力学 第三章 应变理论

ij 称为柯西应变张量或小应变张量
其实体表示形式为 1 u u 2
是二阶对称张量，只有六个独立分量。
§3-1 位移和变形
在笛卡尔坐标系中，其常用形式为
11
u1 x1
u x
x ,12
21
1 2
u1 x2
u2 x1
1 u
2
y
v x
xy
yx
22
u2 x2
v y
i
ji
ui x j
j
1
i
ui x j
j
i
可由位移梯度分量 ui 和线元正应变 计算任意方向线元
变形后的方向余弦。x j
考虑两线元间的夹角变化
t cos , t t 2 t 1 1
t
1 t t 2 t
§3-2 小应变张量（几何方程）
若变形前两线元互相垂直，即 t 0
u j xi
ei ej
E 1 u u u u 2
➢ 按照欧拉描述还可以定义描述大变形的阿尔曼西（Almansi,E)
应变张量，即
dS2 dS02 2eijdxidxj
eij
1 2
ui xj
u j xi
um xi
um xj
它也是二阶对称张量
由此可见：物体无变形（线元长度不变，仅作刚体运动） 的充分必要条件是应变张量处处为零。
令 为变形后线元间直角的减小量，则由上式可得
cos
2
cos , t
2 t 2ij it j 2t
通常定义两正交线元间的直角减小量为工程剪应变 t ，即
t 2t 2 t 2ijit j
若 , t 为坐标轴方向的单位矢量，例如 i 1, t j 1(i j)

几何形的变形与运动

几何形的变形与运动

几何形的变形与运动几何形的变形与运动是几何学中一个重要的研究领域，它研究的是几何图形在平面或者空间中的形状的改变和位置的变化。

这些变形和运动常常出现在实际生活中的各个领域，如建筑设计、工程制图、计算机图形学等。

本文将介绍几何形的变形与运动的基本概念、方法和应用。

一、基本概念1. 几何形的变形几何形的变形是指在平面或者空间中，通过改变图形的边长、角度或者其他属性，使得图形的形状发生改变的过程。

常见的几何形变形包括平移、旋转、缩放、对称等。

平移是指沿着指定的方向将图形整体移动到另一个位置，旋转是指围绕指定的中心点将图形按照一定的角度旋转，缩放是指改变图形的尺寸大小，对称是指关于某个中心点或者中心轴对图形进行对称。

2. 几何形的运动几何形的运动是指在平面或者空间中，通过改变图形的位置，使得图形在平面或者空间中的位置发生改变的过程。

与几何形的变形不同，几何形的运动只改变图形的位置，而不改变其形状和大小。

常见的几何形运动包括平移、旋转、翻转、滑动等。

平移是指将图形整体移动到另一个位置，旋转是指围绕指定的中心点将图形按照一定的角度旋转，翻转是指将图形沿指定的中心轴进行翻转，滑动是指在平面上按照一定线段的方向和长度进行平移。

二、基本方法1. 平移变形与运动平移是最基本的几何形变形与运动之一。

平移变形是通过改变图形的位置将图形整体移动到另一个位置，使得图形在平面或者空间中的位置发生改变，但形状和大小保持不变。

平移运动是通过改变图形的位置将图形整体移动到另一个位置，使得图形在平面或者空间中的位置发生改变，但形状和大小保持不变。

2. 旋转变形与运动旋转是几何形变形与运动中常见的一种方法。

旋转变形是通过围绕指定的中心点将图形按照一定的角度旋转，使得图形的形状相对于原来的位置发生改变。

旋转运动是通过围绕指定的中心点将图形按照一定的角度旋转，使得图形的位置相对于原来的位置发生改变，但形状保持不变。

3. 缩放变形与运动缩放是几何形变形与运动中常见的一种方法。

高等几何讲义(第3章)

高等几何讲义(第3章)

a12 a22
12，det(aij)

0．
反之，也可证明(3.1)必为射影对应．
在 (3.1) 中令 1/2，/ /1//2，a a21，b
a11，c a22，d a12，则可得
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
δ/ d/
§1 一维射影变换
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
例4 已知两射影点列的三对对应点
{a, b, c} /{a/, b/, c/}， 求作 上任意点 d 在 /上的对应点．
作法见下图：
a
bc
dδ
a/
b/
c/
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
的线性变换：
T:
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)

0．
(3.1)
证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列．
在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依
次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点．
21．
解法三：(交比法) 设 上任意点 x( )对应于 / 上
的点 x/(/ )，则
(0,1; 2, ) (1,0; 2, / )，即
(02)(1)/(0)(12) (12)(0/)/(1 /)(02)，
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0．
由以上三式联立求解，得
a: b: c: d 3 : 4 : 4: 4，
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0．

几何变换思想-PPT

几何变换思想-PPT

第一,对一些概念得准确把握
平移、旋转、轴对称变换与生活中物体得平移、旋转和轴对 称现象不是一个概念。数学来源于生活,但不等于生活,是生活现 象得抽象和概括。生活中得平移和旋转现象往往都是物体得运动, 如推拉窗、传送带、电梯、钟摆、旋转门等物体得运动,都可以 称为平移现象或旋转现象。而中小学中得几何变换都是指平面图 形在同一平面得变换,也就是说原图形和变换后得图形都是平面 图形,而且都在同一平面内。几何中得平移、旋转和轴对称现象 来自于生活中物体得平移现象、旋转现象和轴对称现象,如果把 生活中这些物体画成平面图形,并且在同一平面上运动,就可以说 成是几何中得平移、旋转和轴对称变换了。
3、几何变换思想得具体应用 图形变换作为空间与图形领域得重要
内容之一,在图形得性质得认识、面积公 式得推导、面积得计算、图形得设计和欣 赏、几何得推理证明等方面都有重要得应 用。
小学数学中几何变换思想得应用
4、几何变换思想得教学 (1)课程标准关于图形变换得数学要求
课程标准关于图形变换得内容和目标分为以下几个层次:
以保持,但通过改变其位置,组合成新得图形,便于计算和证 明。
(3)反射变换 在同一平面内,若存在一条定直线L,使对于平面
上得任意一点P及其对应点P′,其连线PP′得中垂线 都是L,则称这种变换为反射变换,也就是常说得轴对 称,定直线L称为对称轴,也叫反射轴。
轴对称有如下性质: ①把图形变为与之全等得图形,因而面积和
(1)射线PP’得方向一定;(2)线段PP＇得长度一 定,则称这种变换为平移变换。也就是说一个图 形与经过平移变换后得图形上得任意一对对应点 得连线相互平行且相等。
平移变换有以下一些性质: ①图形变为与之全等得图形,因而面积和周长
不变。 ②在平移变换之下两点之间得方向保持不变。

第3章 有限变形

第3章 有限变形

第3章 有限变形§3.1 有限变形这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。

小变形：小位移，小转动，小应变，)(21)(21,,,,i j j i ij i j j i ij u u u u +=-=εω有限变形：大位移，大转动，大应变对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体 有限变形下仍变为一个平行六面体 这一条件不变变形几何学方面来研究变形 四个问题： 1）记录2）什么办法来描述 3）怎么度量4）有没有办法将变形分解§3.2 物体的构形和坐标系物体：连续介质，变形前用0K 代表，变形后物体用t K 代表0K ：物体，物质点的集合,被始构形(material configuration)； t K ：变形后的物体,现时构形(spatial configuration)，P ：物质点p ：空间点，物质点在空间所占的位置。

初始坐标系 ⅢⅡⅠX X X O -k 1现时构形ⅠXⅡXⅢX)(K X P)(kx pXOod2xx 3x1xu现时坐标系 321x x x o -构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。

0=t 瞬时，初始构形 0K0K ：初始构形，X 点的坐标（K X ）t K ：现时构形，（瞬时t 的构形），x 点的坐标（k x ） 全部采用直角坐标系§3.3 描写物体运动和变形的方法1． Lagrange 描述法用物质坐标k X 作自变量（描述物体的运动和变形）(,) (,)k k K t x x X t ==x x X研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）2． Euler 描述法用空间坐标k x 作自变量（描述物体的运动和变形）(,) (,)K K k t X X x t ==X X x研究空间点x 处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）位移点：u=+-u d x X （其中d 不随时间而变，X 也与t 无关）速度和加速度：分两种表述方法 1）Lagrange 法22(,)(,)K K X t tX t t ∂==∂∂===∂X v ux a vu2）Euler 法：（研究流体的流动等）(,)k x t =v v ——流场(,)d(,)d (,) k k k k k kkx t x x t t t x t x t v t x ∂∂∂==+∂∂∂∂∂=+∂∂v v a v v v物质导数=局部导数+迁移导数§3.4 变形梯度有限变形：记录（构形），描述⎩⎨⎧EL，度量（本节研究）物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。

高等材料力学课件第三章-应变状态

高等材料力学课件第三章-应变状态
x单值连续的必要与充分条件是
1 (xz xy) (1yz y)
2y y z x 2 y z
2z 2y 2 yz
y2 z2 yz
(z 1yz) (1yz y)
y y 2 z z 2 y z
但仍保持初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，
而且改变了物体内部各个点的相对 位置。
§3.1 变形2
M (x ,y ,z ) M (x ,y ,z )
u=x'（x，y，z）－ x=u（x，y，z） v=y'（x，y，z）－ y=v（x，y，z） w=z'（x，y，z）－ z=w（x，y，z）
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析假定位移函 数具有连续的三阶导数
§3.1 变形3
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短
切应变——棱边之间夹角（直角）改变
§3.1 变形4
微分单元体的变形
§3.1 变形5
正应变与位移
§3.1 变形6
切应变与位移
轮换x , y, z，可得du，dv和dy，dz
§3.3 应变协调10
如通过积分，计算出
u

u0

P0 P
xdx

(1 2
xy

z )dy

(1 2
xz


y )dz
v

v0

P0 P
(1 2
xy


z )dx

ydy

(1 2
yz

x )dz
保证单值连 w

第三章 应变状态理论

第三章 应变状态理论

28
从数学的观点说，要求位移函数 ui在其定义 域内为单值连续函数。如出现了开裂，位移函数 就会出现间断；出现了重叠，位移函数就不可能 为单值。因此，为保持物体变形后的连续性，各 应变分量之间，必须有一定的关系。
2019/4/12
29
由前面的讨论可知，在小变形情况下的六个应变 分量是通过六个几何方程与三个位移函数相联系 的。如已知位移分量 ui ，极易通过几何方程求得 各个应变分量。 但反过来，如给定一组应变 ij，几何方程是关于 未知位移函数 ui 的微分方程组，其中包含了六个 方程，但仅三个未知函数。由于方程的个数超过 了未知数的个数，如任意给定 ij ，则几何方程不 一定有解，仅当 ij ，满足某种可积条件，或称为 应变协调关系时，才能由几何几何方程积分得到 单值连续的位移场。
算得 的3个分量为:
2019/4/12 17
x y z
w v y z u w z x v u x y
z 称为转动分量。 y ， 这里的 称为转动矢量，而 x， 由此，可将相对位移张量分解为两个张量：
u x v x w x u y v y w y u z v z w z
从几何方程可见，当 物体的位移分量完全确定 时，形变分量即完全确定。
u x x v y y
xy
1 v u 2 x y
思考题：当形变分量完全确定时，位移分量 是否能完全确定。
2019/4/12 12
同样，空间一 点的变形我们用该 点x、y、z方向上 的正应变和xy、yz、 zx方向构成的直角 的变化－切应变来 描述。 张量形式为
u x v x w x u y v y w y u z v z w z

几何变形教案

几何变形教案

几何变形教案教案标题：几何变形教案教案目标：1. 理解几何变形的概念和基本术语。

2. 掌握几何变形的基本操作方法。

3. 能够应用几何变形解决实际问题。

教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾几何图形的基本属性和特征。

2. 提出一个问题，例如：“如果我们只能通过旋转、平移或缩放来改变一个图形，你们认为我们能得到哪些新的图形？”知识讲解：3. 向学生介绍几何变形的概念，并解释旋转、平移和缩放的定义和特点。

4. 提供几个示例图形，展示如何通过旋转、平移和缩放来进行几何变形。

实践练习：5. 让学生在纸上练习进行几何变形。

他们可以选择一个图形，并使用旋转、平移和缩放的方法来改变它。

6. 鼓励学生尝试不同的变形方法，并观察每种方法对图形的影响。

应用拓展：7. 提供一些实际生活中的问题，要求学生运用几何变形的方法解决。

例如：“如果你要设计一个标志，你会如何使用几何变形来创造一个独特的形状？”8. 鼓励学生在小组中分享他们的解决方案，并讨论不同方法的优缺点。

总结回顾：9. 总结几何变形的基本概念和方法。

10. 提醒学生在实际问题中运用几何变形的能力，并鼓励他们继续探索和应用这一概念。

教案评估：11. 设计一些练习题，测试学生对几何变形概念的理解和应用能力。

12. 观察学生在实践练习和应用拓展中的表现，提供及时的反馈和指导。

教案扩展：13. 鼓励学生进一步研究其他几何变形方法，如镜像和剪切，并尝试应用于更复杂的图形。

14. 提供更多的实际问题，让学生运用几何变形解决更具挑战性的情境。

教学资源：- 几何图形模型- 纸张和铅笔- 实际问题的示例这个教案旨在帮助学生理解几何变形的概念和基本操作方法，并通过实践练习和应用拓展来培养他们的创造力和问题解决能力。

教师可以根据学生的年龄和能力水平进行适当的调整和扩展。

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弹塑性力学
第三章 变形几何理论 （续1）
第三章概述与学习指导： ★ 第三章概述与学习指导：
本章介绍了弹塑性力学基本理论中的几何变形 的应变理论。 的应变理论。 在应变理论的研究过程中， 在应变理论的研究过程中，仅在连续性假设和 小变形的前提条件下研究变形， 小变形的前提条件下研究变形，而没有涉及到材料 具体的变形性质。 具体的变形性质。 因此， 因此，几何变形的应变理论是对固体力学各分 支学科普遍适用的理论。 支学科普遍适用的理论。 本章应变理论的学习可分成以下三部分进行学 习：
◆ 考察单元体在xy平面上投影 ABCD 的变形。 考察单元体在xy平面上投影 的变形。 xy ◆ 当微分体
变形并出现位 移后， 移后，其在xoy 平面上的投影
ABCD 就移至
新的位置： 新的位置：
A′B′C ′D′
如图所示。 如图所示。
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续5）
位移
｛
刚性位移：反映物体整体位置的变动； 刚性位移：反映物体整体位置的变动； 变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化； 变形位移：反映物体的形状和尺寸发生变化；
研究物体在外力作用下的变形规律， 研究物体在外力作用下的变形规律，只 需研究物体内各点的相对位置变动情况， 需研究物体内各点的相对位置变动情况，即 研究变形位移。 研究变形位移。
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续1）
通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数， 通常物体内各点的位移应是点的位置坐标函数， 坐标即为： 参照 oxyz 坐标即为：
u = u (x , y , z) ； v = v (x , y , z) ； w = w (x , y , z)
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 14） §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续14）
转角方程： ◆ 转角方程：
1 1 ∂v ∂u ω z = ω ′ + ω ′′ = (α yx − α xy ) = − z z 2 2 ∂x ∂y 1 ∂w ∂v ωx = − 2 ∂y ∂z 1 ∂u ∂w ωy = − 2 ∂z ∂x
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续7）
★ 在一物体内任取一点A，
坐标， 建立oxy坐标，沿x、y两方 向分别取微线段 AB ＝∆x AC ＝Δy。该物体受外力 作用产生变形， 作用产生变形，A、B、C 三 点变形后位移到A ′、B ′ C ′处，且变形后长度为： 且变形后长度为： A ′B ′＝Δx＋Δu ， A ′C ′＝Δy＋Δv， 且方位发生改变， 且方位发生改变，则由线应 变和剪应变定义知： 变和剪应变定义知：
弹塑性力学
第三章 变形几何理论 （续2）
其一：正确理解位移、应变、应变状态、应变张量、 其一：正确理解位移、应变、应变状态、应变张量、等效
应变、主应变、主方向、最大（最小）剪应变等概念。 应变、主应变、主方向、最大（最小）剪应变等概念。 熟练掌握一点应变状态任意某一方位上的线应变和某 两相互垂直方位所夹直角的改变量（剪应变）的计算、 两相互垂直方位所夹直角的改变量（剪应变）的计算、主 应变和主应变方位（主方向）的计算和确定、平面应变圆 应变和主应变方位（主方向）的计算和确定、 和空间应变圆的绘制、应变张量的分解、 和空间应变圆的绘制、应变张量的分解、平面应变理论和 空间应变理论的联系、 空间应变理论的联系、应变理论和应力理论间的数学转换 关系。 关系。 上述内容涉及教材§ 、 上述内容涉及教材§3-1、§3-2、§3-3、§3-4、§3-6 、 、 、 。 节弹塑性力学
几何方程： ⑵ 几何方程：
∂u ； εx = ∂x ∂v εy = ； ∂y ∂w εz = ； ∂z
γ xy γ yz γ zx
∂u ∂v = + ∂y ∂x ∂v ∂w = + ∂z ∂y ∂w ∂u = + ∂x ∂z

（3---2）
该式表明了一点处的位移分量和应变分量所应满 足的关系，称为几何方程，也称为柯西（Augustin足的关系，称为几何方程，也称为柯西（AugustinCauchy）几何关系。其缩写式为： Louis Cauchy）几何关系。其缩写式为：
ε y = ∂v
∂y
方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）： A点x，y方向所夹直角的改变量，即剪应变（角应变）：
γ xy = α + β
弹塑性力学
也即： 也即：
γ
xy
= ∂u + ∂v ∂y ∂x
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续6）
线应变→ 1.涉及受力物体 角应变→ 线应变→ 1.涉及受力物体 角应变→ 1、涉及受力物体内
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续2）
位移函数： 位移函数：
u = u (x , y , z) ； v = v (x , y , z)； w = w(x , y , z)
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续3）
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续8）
(∆x + ∆u ) − ∆x ∂u ε x = lim = ∆x →0 ∆x ∂x
γ xy = α − β = lim(∠C′A′B′ −∠CAB)
∆x→0 ∆y→0
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续9）
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 13） §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续13）
转角方程： 4、转角方程：
◆ 考察由于变形引起图 中对角线AC的转动。 中对角线AC的转动。 AC的转动 由平面情况推广到空 间情况。 间情况。 ◆ 分析知单元体对角线 分别绕x 分别绕x、y、z 轴的 旋转角度计算式为： 旋转角度计算式为：
其三：简单了解应变速率、 其三：简单了解应变速率、应变增量的概念和物体表面应变测
量技术。这些内容涉及教材§ 、 量技术。这些内容涉及教材§3-6、§3-7。 。
弹塑性力学
位移、应变、应变状态、几何方程、 §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量
位移分量和相对位移分量： 1、位移分量和相对位移分量：
位移、应变、应变状态、几何方程、 12） §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续12）
由几何方程式可以看出， ◆ 由几何方程式可以看出，当物体内一点的位移 分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定， 分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定， 因为应变是位移的微分形式。 因为应变是位移的微分形式。但是当应变分量 完全确定时，位移分量则不一定能求解出来， 完全确定时，位移分量则不一定能求解出来， 这是由于物体的位移除了包含有纯变形位移 还可能包括有刚性位移。 外，还可能包括有刚性位移。
εx εxy εij = εy (对称)
弹塑性力学
1 γ xy εxz ε x 2 ε yz = εy εz (对称)
1 γ xz 2 1 γ yz 2 εz
（3---6）
位移、应变、应变状态、几何方程、 11） §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续11）
第三章 变形几何理论 （续3）
其二：重点正确理解和掌握几何方程力学意义和应用、 其二：重点正确理解和掌握几何方程力学意义和应用、应变协
调方程（即变形连续性方程、或变形连续性条件、 调方程（即变形连续性方程、或变形连续性条件、或相 容方程）的数学意义和物理力学意义及其应用。这些内 容方程）的数学意义和物理力学意义及其应用。 容涉及教材§3-1、§3-5节。 容涉及教材§ 、 节
ε xy εx εij = εy (对 ) 称
ε xz ε yz εz
1 ∂u ∂w + 2 ∂z ∂x 1 ∂v ∂w + 2 ∂z ∂y ∂w ∂z
=
弹塑性力学
∂u 1 ∂u ∂v + ∂x 2 ∂y ∂x ∂v ∂y (对称)
弹塑性力学
1 ε ij = (ui′j + u j′i ) 2
(i, j = x, y, z)
（3---7）
位移、应变、应变状态、几何方程、 10） §3-1 位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量 （续10）
应变状态、应变张量： 3、应变状态、应变张量：
受力物体内某点处线应变和剪应变的总和， 受力物体内某点处线应变和剪应变的总和，反 映和表征了该点的变形程度(状态) 称之为应变状 映和表征了该点的变形程度(状态)，称之为应变状 态。 一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示， 一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示， 称为应变张量， 表示， 称为应变张量，用 ε ij 表示，即：
据定义有： 沿x方向棱边 AB 的线应变 ε x ，据定义有：
εx
A B − dx = dx
2 x
也即： 也即：
2
A B = (ε x + 1) dx
2
∂u ∂u ∂v 2ε x + εε x = ∂u ；
∂x
（略去高阶微量得：） 略去高阶微量得：）