九年级(初三)物理3.4 互易定理§3.4 互易定理例求图示电路中的电流I。

四、互易定理对于线性单一激励的不含受控源的线性电阻电路（即仅有一个独立源作用的电阻电路）还有一个很重要的性质互易性，反映互易性的原理称作互易原理。

此原理有三种形式。

1、在图2-3-18(a)与(b)所示电路中示出了互易原理的第一种形式（N 为仅由电阻组成的线性电阻电路）图示说明对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电压源)与响应(电流)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。

当激励U s1=U s2时，则I 2 =I 1。

_U ’I 2 S2 (a) (b)图2-3-18互易原理的第一种形式2、在图2-3-19(a)与(b)所示电路中示出了互易原理的第二种形式，图示说明对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电流源)与响 应(电压)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。

当激励I s1=I s2时，则U 2 =U 1。

I ’U 2S2+- (a) (b)图2-3-19 互易定理第二种形式3、在图2-3-20(a)与(b)所示电路中示出了互易原理的第三种形式，图示说明对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励与响应的位置，且把原电压激励改换为电流激励，把原电压响应改换为电流响应，则互易位置前后响应与激励的比值仍然保持不变。

如果在数值上U s1=I s2时，则U 2 =I 1。

_U S1+ ’U 2 S2 -(a) (b)图2-3-20【例15】：电路如图2-3-21(a)所示，试求电流I 。

(a) (b)图2-3-21例15电路图【解】：原电路为一不平衡桥式电路，但为仅有一个独立源单独作用的线性电阻电路，可使用互易定理进行分析。

互易后的电路如右图所示。

此时应注意互易前后对应支路上的电压电流的参考方向必须同时关联或非关联。

在图2-3-21(b)中可以求得：A I 224241212281=+⨯++⨯+=根据分流公式：A I I 3221112=+=A II 3442413=+=由KCL 可得：A I I I 3223=-=∴原电路中所求电流AI 32=d 8V。

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文档下载后可定制随意修改，请根据实际需要进行相应的调整和使用，谢谢!电路中的定理主要涉及对电路分析和设计的基本原理，以下是其中一些重要的定理及其简要解释：1. 欧姆定律：①定义：在同一电路中，通过某段导体的电流跟这段导体两端的电压成正比，跟这段导体的电阻成反比。

②公式：I = V / R（其中I是电流，V是电压，R是电阻）③重要性：欧姆定律揭示了电路中电流、电压和电阻之间的定量关系，是分析和计算电路问题的基本工具。

2. 叠加定理：①定义：在线性电路中，任一支路的电流或电压是电路中各个独立源分别作用时在该支路中产生的电流或电压的代数和。

②应用：通过分别考虑电路中每个独立源的作用，然后将其效果叠加，可以简化电路分析。

③注意事项：叠加定理只适用于线性电路，且不能用于计算功率。

3. 替代定理：①定义：允许在一个复杂的电路中，用一个更简单的电路或元件来替代其中的一个或多个部分，前提是替代前后的电路在外部看来具有相同的电压和电流关系。

②应用：通过替代定理，可以将复杂的电路问题简化为更简单的问题进行解决。

4. 戴维南定理（诺顿定理）：①定义：戴维南定理（也称为诺顿定理）是一种将任意线性有源二端网络等效为一个电压源（或电流源）和电阻串联（或并联）的电路模型的方法。

②应用：通过戴维南定理，可以将复杂的电路简化为一个更简单的等效电路，从而便于分析和计算。

5. 最大传输定理：①定义：最大传输定理涉及到电路中的功率传输效率，即如何在源和负载之间实现最大功率传输。

②重要性：最大传输定理在电路设计、信号处理和通信系统中具有重要的应用价值。

6. 特勒根定理：①定义：特勒根定理是关于电路功率的一种定理，它表述了电路中电源和负载之间的功率平衡关系。

②应用：特勒根定理可以用于分析电路中的功率流动和能量转换。

7. 互易定理：①定义：互易定理是关于电路网络的一种性质，它表述了当网络中两个端点的角色互换时，网络的某些性质保持不变。

互易定理在线性无源电路中，若只有一个独立电源作用，则在一定的激励与响应的定义（电压源激励时，响应是电流；电流源激励时，响应是电压）下，二者的位置互易后，响应与激励的比值不变。

根据激励和响应是电压还是电流，互易定理有三种形式： 4.5.1 互易定理的第一种形式图4-14（a ）所示电路N 在方框内部仅含线性电阻，不含任何独立电源和受控源。

接在端子11'-的支路1为电压源S u ，接在端子22'-的支路2为短路，其中的电流为2i ，它是电路中唯一的激励（即S u ）产生的响应。

如果把激励和响应位置互换，如图4-14（b ）中的Nˆ，此时接于22'-的支路2为电压源S u ˆ，而响应则是接于'11-支路1中的短路电流1ˆi 。

假设把图（a ）和（b ）中的电压源置零，则除N 和Nˆ的内部完全相同外，接于11'-和22'-的两个支路均为短路；就是说，在激励和响应互换位置的前后，如果把电压源置零，则电路保持不变。

S uS u ˆ+-（a ）N （b ）Nˆ 图4-14 互易定理的第一种形式对于图4-14（a ）和（b ）应用特勒根定理，有∑==++bk k k i u i u i u 322110ˆˆˆ∑==++bk k k i u i u i u322110ˆˆˆ 式中取和号遍及方框内所有支路，并规定所有支路中电流和电压都取关联参考方向。

由于方框内部仅为线性电阻，故k k k i R u =、k k k i R u ˆˆ=（b k 、、 3=），将它们分别代入上式后有：∑==++bk k k k i i R i u i u 322110ˆˆˆ∑==++bk k k k i i R i u i u322110ˆˆˆ 故有22112211ˆˆˆˆi u i u iu i u +=+ （4-12）对图4-14（a ），S u u =1，02=u ；对图（b ），0ˆ1=u，S u u ˆˆ2=，代入上式得 21ˆˆi ui u S S = 即S S ui u i ˆˆ12=如果21ˆˆi ui u S S =，则12ˆi i =。

3.4 互易定理1. 互易定理的内容互易定理：对于一个线性电阻网络而言，如果只有一个激励和一个响应，那么当激励与响应互换位置后，激励与响应的比值保持不变。

这里的激励指电压源或电流源，响应指电压或电流。

互易定理的示意图如图1所示。

u 1i 2u 2i 1212u u i i =图1 互易定理示意图根据互易定理和图1，1212(u u i i =激励）（互换位置后的激励）（响应）（互换位置后的响应） （1）由式（1）可以看出，如果激励（电压源电压）相同，则互换位置后的响应（电流）也相同。

这是互易定理的一种特殊情况。

由互易定理的内容可以看出，互易定理是很难自己想象出来的。

由于互易定理很难想象，要证明互易定理自然也是一件非常困难的事情。

不过，为了令人信服，下面我们来证明一下互易定理。

2. 互易定理的证明在证明互易定理之前，需要先证明两个定理和一个定理推论，即特勒根定理1、特勒根定理2和特勒根定理2推论。

特勒根定理1的内容是，任意一个电路，如果每一条支路的电流参考方向都是从电压参考方向的正极流入，则所有支路的电压电流乘积加起来一定等于零。

电压电流乘积就是功率，可见特勒根定理1的物理含义就是任何一个电路总的功率为零，也就是发出功率等于吸收功率，即功率守恒。

下面我们来证明特勒根定理1。

假设任意一个电路总计有b 条支路，n 个结点，第p 、q 个结点之间的电压记为pq u ，电流记为pq i ，则1111111111111()02222bn n n n n n nnk kpq pq p q pq p pq q pq k p q p q p q q p u i u i u u i u i u i ===========−=−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）由式（2）即证明了特勒根定理1。

式（2）乍一看很难理解，下面对其中的细节进行解释。

式（2）中第一个等号是将支路电压电流乘积之和转化为结点与结点之间电压与电流乘积之和。

电路的互易定理
什幺是互易定理
在只含一个电压源（或电流源），不含受控源的线性电阻电路中，电压源（或电流源）与电流表（电压表）互换位置，电流表（电压表）读数不变。

这种性质称为互易定理。

在电磁学上，互易定理为洛仑兹互易定理（Lorentz Reciprocity Theorem），由卡森（J.R. Carson）导出而被称为卡森形式的互易定理。

互易定理即论述某些网络具有的互易性质的定理。

互易性质表现为：将网络的输入和特定输出互换位置后，输出不因这种换位而有所改变。

具有互易性质的网络称为互易网络。

互易性不仅一些电网络有，某些声学系统、力学系统等也有。

互易定理是一个较有普遍意义的定理。

互易定理的性质
从图中可以得出结论，图（a）的电压u2=R21/S与图（b）的电压
u1=R12/S相同。

也就是说，在互易网络中电流源与电压表互换位置，电压表读数不变。

习题四4-1用叠加定理求图示电路中的电流I 。

答：A 2=I解：（1）电流源单独作用时如图4-1′A 12131621224//42=⨯⨯=⨯++='sI I（2）电压源单独作用时如图4-1″A 12144//412=⨯+=''I（3）当两电源同时作用时A 2=''+'=I I I4-2用叠加定理求图示电路中的I 1、U 4 。

答：V 3;A 5.141-==U I解：（1）当电压源单独作用时如图4-2′()A 166//24311==++='R R R R U I sA 5.02114=⨯='I ；V 14='U （2）当电流源单独作用时如图4-2″A 5.0//212432141=+⨯++⨯=''R R R R R R RR I I s()[]()[]V 432//24//4////43214-=⨯+=+=''s I R R R R U 图4-1 习题4-1题图图4-2 习题4-2题图2Ω图2Ω图图4-2′图4-2″（3）当两电源同时作用时A 5.15.01111=+=''+'=I I I V 341444-=-=''+'=U U U 4-3利用叠加定理求图4-3电路中的电压U 。

答：V 6=U解：（1）当电压源单独作用时如图4-3′V 11516=+⋅='U （2）当电流源单独作用时如图4-3″A 51556=+⨯=''I ，V 551=⨯=''U （3）当两电源同时作用时V 651=+=''+'=U U U4-4利用叠加定理求图示电路的电压U ab 。

答：V 9=ab U解：（1）当电流源单独作用时如图4-4′V 5.46241866186A 3-=⨯-=Ω⨯+⨯-='abU （2）当电压源单独作用时如图4-4″A 875.12.1936181218121236==+⨯+=''us IV 5.1312875.15312181218=⨯⨯=Ω⨯''+=''usabI U （3）当两电源同时作用时V 95.135.4=+-=''+'=ab abab U U U 4-5图4-5电路中已知Ω=11R ，Ω=22R ，Ω=33RΩ=44R ，Ω=55R ，V 6=s U ，A 7=s I ，试用叠加定理求电路中的I 。

第四章 电路定理4-1 试用叠加定理求题4-1图所示电路中各电阻支路的电流I 1、I 2、I 3和I 4。

4-2 试用叠加定理求题4-2图所示电路中的电压U 和电流I x 。

题 4-1 图 题 4-2 图4-3 试用叠加定理求题4-3图所示电路中的电流I 。

4-4 试用叠加定理求题4-4图所示电路中的电压U x 和电流I x 。

题 4-3 图 题 4-4 图4-5 在题4-5图中，(a) N 为仅由线性电阻构成的网络。

当u 1 =2 V , u 2 =3 V 时，i x =20 A; 而当u 1 = -2 V , u 2 = 1 V 时，i x = 0。

求u 1=u 2=5 V 时的电流i x 。

(b)若将N 换为含有独立源的网络，当u 1 = u 2 = 0时，i x = -10 A ，且上述已知条件仍然适用，再求当u 1 = u 2 = 5 V 时的电流i x 。

4-6 对于题4-6图所示电路，(1) 当u 1 = 90 V 时，求u s 和u x ；(2) 当u 1 = 30 V 时，求u s 和u x ； (3) 当u s = 30 V 时，求u 1和u x ；(4) 当u x = 20 V 时，求u s 和u 1；4-7 已知题4-7图所示电路中的网络N 是由线性电阻组成。

当i s =1 A ，u s =2 V 时，i =5 A ；当i s = -2 A ，u s = 4 V 时，u = 24 V 。

试求当i s = 2A ，u s = 6 V 时的电压u 。

4-8 对于题4-8图所示电路，已知U 0 =2.5 V ，试用戴维宁定理求解电阻R 。

题 4-5 图题 4-6 图题4-7 图题4-8 图4-9 对于题4-9图所示电路，求：(1)虚线右边部分电路的端口等效电阻；(2)图示电流I；(3)最后用替代定理求图示电流I0。

4-10 在题4-10图所示电路中，已知R x支路的电流为0.5A，试求R x。