第3章电容元件与电感元件

第3章 电容元件与电感元件前两章我们讨论了电阻电路的分析方法，实际中，组成电路的元件不仅有电阻元件，还有电感和电容元件。

后两种元件与电阻元件的性质有所不同，属于动态元件。

他们的伏安关系都涉及到电流、电压的微分和积分。

本章介绍电容元件和电感元件的基本概念和电压、电流的约束关系，电容元件的联接和两种元件的场能。

为线性元件的动态分析奠定基础。

第一节 电容元件一、电容元件的基本概念电容元件是电路中的一个基本元件。

将两块金属板中间用绝缘介质隔开，就形成了电容器。

最简单的电容器是平行板电容器。

电容器有很多种类，按绝缘介质分，有有机薄膜电容器、瓷介质电容器、电解电容器等。

按其形状分，有平行板电容器、圆柱形电容器、片式电容器等。

电路中，除了专门制造的电容器以外，还存在着许多自然形成的电容器。

如两根输电线之间，线圈各匝之间，晶体管各极之间都形成电容器。

一般情况下他们的作用可忽略不计，但在高压远距离输电和高频电子线路中，他们的影响是不能忽略的。

实际电容器中介质是不可能完全绝缘的，总会有电流通过介质，这一现象叫做漏电。

因此，电容器还有漏电阻，忽略漏电现象的电容器，叫理想电容元件。

图3-1是电容元件的图形符号。

在外电源的作用下，电容器两极板上可带等量异种电荷，当外电源撤去后，极板上的电荷可长期储存。

因而电容器是一种储存电场能量的器件。

它的基本性能是储存电荷而产生电场。

实验证明：电容器充电后每个极板上所带的电荷量q 与极板间的电压u C 成正比 Cu q C = （3-1） 式中比例常数C 反映了电容元件容纳电荷的本领，叫做电容器的电容量，简称电容。

国际单位制中，它的单位是法拉，简称法(F)。

实际中也常用微法(μF)和皮法(pF)。

1μF ＝610-F 1pF ＝1210- F如果电容元件的电容量为常量，不随所带电荷量的变化而变化，这样的电容元件称线性电容元件。

本书所讨论的如不特别说明都为线性电容元件。

习惯上我们把电容元件也称为电容，因此，电容既是一种元件，也是一个量值。

在电容器的铭牌上，除标明它的电容量外，还需标明它的额定工作电压。

因为每个电容器允许承受的电压是有限度的，电压过高，介质就会被击穿。

这个电压叫击穿电压。

使电容器长期工作而不被击穿的电压叫电容器的额定工作电压。

二、电容元件的约束在电路分析时往往需要知道元件的约束，这里我们来研究电容元件的约束。

如图3-1所示，设电压的参考方向如箭头所指，当电压为正时，两极板堆积了等量异种的电荷，当极板上的电量或电压发生变化时，在电路中要产生电流。

C Cu q =dtdu C i C = (3-2) 这就是关联参考方向下的电压电流关系。

上式表明，在某一时刻电容的电流i 取决于该时刻电容电压u C 的变化率。

当电压升高时，dt du C ＞0，极板上的电荷增加，电流为正值，是充电过程。

当电压下降时，dtdu C ＜0，极板上的电荷减少，电流为负值，是放电过程。

如果电压不变，电流为零，相当于开路。

这就是电容隔断直流的原因。

电容电压变化越快，电流越大。

因为当电压变化时聚集的电荷也相应的发生变化，只有电荷发生变化，才能形成电流。

当电压不变时，聚集电荷不发生变化，所以没有电流形成。

三、电容元件的电场能量如前面所述，电容元件是一种储能元件。

当给电容器加上电压时，绝缘介质中就有电场，就有电场能量。

我们从功率来推算能量，功率可由电容元件的两端电压和流过电流的乘积计算。

当电流和电压选取关联参考方向时，电容元件的瞬时功率：dtdu C u i u p C C C == 当p >0时，电容吸收功率，处于充电状态。

当p <0时，电容释放功率，处于放电状态。

dt dw p c =200021C C C t C C t t c Cu du u C dt dt du u C dt p w ====⎰⎰⎰ （3-3） 上式表明，电容器在某一时刻的储能，只与此时的电压有关，而与电流无关。

例3-1 已知加在电容器C =1000µF 上的电压如图3-2（a ）所示，求电容电流并绘制其波形图。

解 当0≤t ≤2.5s 时，电压从零均匀上升到100V ，其变化率为dtdu C =5.20100-=40V/s04.040103=⨯==-dtdu C i C A 当 2.5s ≤t ≤7.5s 时，电压从100V 均匀下降到－100V ，其变化率为 dtdu C =5.25.7100100---=－40V/s04.0)40(103-=-⨯==-dtdu C i C A 当7.5s ≤t ≤10s 时，电压从－100V 均匀上升到0，其变化率为dtdu C =5.710)100(0---=40V/s 04.040103=⨯==-dtdu C i C A 绘制的波形图如图3-2(b)所示。

四、电容器的串联与并联（一）电容器的串联几个电容器首尾依次相接，联成一个无分支电路的联结方式叫电容器的串联。

如图3-3所示，三个电容器串联，接到电压为u 的电源上，两极板分别带上等量异种的电荷，中间各极板由于静电感应出现等量异种的感应电荷。

可以看出，各电容器的电荷量为q ，总电荷量也为q 。

如果三个电容器的电容为1C 、2C 、3C ，那么有11C q u = 22C q u = 33C q u = q u C u C u C ===332211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=321321111C C C q u u u u 3211111C C C C ++= (3-4) 上式表明：电容器串联时，各电容的电压与电容成反比。

串联电容器的等效电容的倒数等于各电容倒数的总和。

串联电容的等效电容小于每个电容，每个电容的电压都小于总电压。

实际中当每个电容的耐压小于电源电压时，可采用电容器串联的方式。

（二）电容器的并联将几个电容器的两个极板分别联在一起，接在同一对节点之间，就形成了电容器的并联联接。

如图3-4所示，三个电容分别是1C 、2C 、3C ，他们的电压都为u ，他们所带的电量分别为u C q 11= u C q 22= u C q 33=总电量为各个电容器的电量之和，()u C C C q q q q 321321++=++=321C C C C ++= （3-5）由此得知，并联电容器的等效电容等于各电容的电容之和。

并联电容器越多，等效电容越大。

因此，当电容器的耐压足够而电容不够时，可采用电容器并联的形式。

综上所述，当电容器的电容和耐压都不够时，可以采用既有串联又有并联的电路，即混联电路。

例3-2 将电容为F C μ2001=，F C μ502=，耐压同为100Ｖ的两个电容串联起来，他们的端电压和等效电容为多少？解 等效电容 μ4050200502002121=+⨯=+=C C C C C F36111102010010200--⨯=⨯⨯==u C q C362221*********--⨯=⨯⨯==u C q C3105-⨯=q C 端电压为 =⨯⨯==--631040105C q u 125V 第二节 电感元件一、电感元件的基本概念电感元件也是电路的基本元件之一，是实际电感线圈理想化的模型。

电感元件是储能元件。

当导线中有电流通过时，在它周围就产生了磁场。

通过电流而产生磁场是线圈的基本性能。

在图3-5（a ）所示电感线圈中，当电流与磁通两者的参考方向符合右手螺旋定则时，若线圈中通过变化的电流i 时，则穿过线圈的磁通Φ也发生变化。

这就是自感现象，各匝线圈的磁通之和叫自感磁链Ψ（Ψ=NΦ），一个线圈的自感磁链与所通电流的比值i L ψ=L 叫做电感线圈的自感系数，简称电感。

线圈的电感决定于线圈的形状、尺寸和媒质。

电感的单位是亨利，简称亨(H )。

工程计算时，有时还用毫亨（mH)、微亨(µH )等作为其单位，换算关系为1mH=310-H 1µH =610-H（a ）(b)图3-5 线圈与电感元件 电感元件是一种理想的二端元件，是实际线圈的理想化电路模型。

电感元件的图形符号如图3-5（b ）所示。

如果电感元件的电感为常量，这种电感元件就称为线性电感元件。

除非特别说明，否则本书所遇到的电感元件均为线性电感元件。

在电感线圈上除要标明它的电感量外，还要标明它的额定工作电流。

因为电流过大，会使线圈过热或使线圈受到过大的电磁力的作用发生机械形变，甚至烧毁。

电感元件也简称电感，所以电感可以是指电感元件，也可以是电感元件的参数。

二、电感元件的约束前面我们介绍了电感的定义，在电路分析中我们还要研究电感元件的约束。

我们已经知道当电感元件中通以变化的电流时，就会在电感元件中产生随之变化的磁链。

根据法拉第电磁感应定律，电感两端就会有感应电压，感应电压的大小等于磁链的变化率。

当选择电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，有 dtd u L ψ= 若电流与磁链的参考方向也符合右手螺旋法则，即电压与电流满足关联参考方向时，则dt di L dt dLi u L == （3-6）这就是电感元件的约束。

上式表明，在某一时刻电感的电压取决于该时刻电流的变化率。

当电流不变化时，0=dt di ，则0=L u ；当电流变化很快时，dtdi 越大，电压L u 越大。

三、电感元件的储能电感元件是一种储能元件，线圈中有电流通过时，不仅在周围产生磁场，而且还储存着磁场能量，这一能量来自于电源。

在电流变化时，就产生相应的变化电压，这时电感从电源吸收能量的快慢即功率为 i ＋－u i i ＋－u Ldtdi Li i u p L == 当功率大于零时，说明电感元件从电源吸取能量。

当功率小于零时，说明电感元件向电源释放能量。

在时间从零变化到t ，电流从零增加到i 时，电感的磁场能量为dt 段时间增加能量的总和。

即200021Li idt L dt dt di Li pdt W t t t L ====⎰⎰⎰ （3-7） 上式表明，电感元件并不消耗能量，而是一个储能元件。

电感L 在某一时刻的储能只与该时刻的电流有关，电感电流反映了电感的储能状态。

电流增加时，吸收能量。

电流减少时，释放能量。

根据式(3-6)可知，电感上的电压与电流是微分函数关系。

所以电感元件是一种动态元件。

例3-2 已知电感元件的电感L =0.1H,流过它的电流是如图3-6（a ）所示的梯形波，求：（1）电压及其波形图；（2）电感元件吸收的瞬时功率，并画出其波形图。

解 （1）当0≤t ≤2s 时，电流从零均匀上升到4A ，其变化率为2204=-=dt di A/s2.021.0=⨯==dtdi L u L V 当2≤t ≤6s 时，电流为4A ，其变化率为零。

001.0=⨯==dt di Lu L 当6≤t ≤10s 时，电流从4A 均匀下降到－4A ，其变化率为s A dt di /261044-=---= 2.0)2(1.0-=-⨯==dtdi L u L V 当10≤t ≤14s 时，电流为－4A ，其变化率为零。