王莉莉第五章(电容元件与电感元件)

2
u L
0
1
t
L
d
u C 为状态变量
i L 为状态变量
习题课
C
5-12
习题1 已知u(0)=4V，则该电容t≥0时的VCR为
a
A. u 4 C. u 4
i
- u+
b
id C
0 t 0
1
t
B. u 4
id C
0
1
t
id C
1
D. u 4
§1 电容元件的VCR §2 电容的储能 状态变量 §3 电容与电感的对偶性（duality）
§1 电容元件的VCR
（1）电容元件是实际电容器(real capacitor) 的模型。
5-2
它只具有存储电荷、从而存储电场能量的作用。 其参数为电容C：
C
C 电路符号
q
u
－
+q
-q
＋
单位
u C 称为电容器的电容, 单位：F (法)
3
u(t)
0.5V
-
-
0
1
2
t/s
i1(t) — i(t)在t≥0时的部分；t≤0的部分已不必再考虑。
W C t
1 2
Cu C
2
t
§2 电容的储能 状态变量
1 2 Cu C
2
5-10
电容是储（电场）能元件。其储能为 w C t
t
某一时刻t 的电容电压反映同时刻储能状况，电容电压 的连续性和记忆性均来自电容的储能本性。
u (t ) C 1
0
i ( )d
i ( )d C
0
1
t
i ( )d C
0
1
t
t0
③
u(0)累计了t=0以前所有时刻i的作用,称为电容的初始电压。
③式可写为
u (t ) u ( 0 ) u 1 (t )
t0
5-6
设u(0)=U0 ,t≥0时电容的等效电路为



V
i S iC i R
2 sin 2 t cos 2 t 4 sin 2 t A 2 sin 2 t cos 2 t A 5 cos 2 t 63 . 4 A



a i(t)
u(t)
+
-
c u(0)=U0
a +
b
uc(t)
i(t)
+ u1(t) +
-
b
U0
u1(0)=0
-
例题
已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示， 电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。
5-7
i/A 3 2 1 -1 0 1 2 3
试求：(1) u(0)； (2) u(t)、t≥0； (3) u(1)和u (－ 0.5)； (4) 作出t≥0时该电容的等效电路。 解 （1）根据已知条件，t≤0时 仅在－1≤t≤0时，i(t)=2A。
电容电压属动态电路分析中的状态（state）变量。 它满足： （a）给定初始状态[即uc(0)]和所有t≥0的输入[即i(t)]就能 确定在t≥0时的状态[即uc(t)]。见VCR的积分形式，即③式。 （b）由状态变量可确定电路中任一变量。见下章。作为 状态变量，uc是分析含电容动态电路时的主要对象。
i
习题课
习题2
5-14
试求电压波形。设u、i为关联参考方向。 i波形图上 t=6s 时，i=3.5A。
i/A
6 3 1 0
已知2H电感的电流波形如图所示，
1 2 3 4 5 6
t/s
答案
习题2 答案
解
5-15
利用
u L
di dt
分段作出波形图：
u t 6 V ;
0 1s ,
1s 2 s , u t 0 ; 2 s 3s , u t 10 V ; 3s 5 s , u t 0 ; t 5s , u t 5 V
即 u C (t - ) u C (t )
（3）电容（元件）VCR形式二
由 u
1 C q
5-5
得 u (t )
C
1
t

i ( )d
②
上式表明：某时刻t的电容电压与从-∞到该时刻所有 电流有关—电容电压的记忆性质（memory property） 更实用的形式： 设初始时刻为t=0 即 u (t ) u ( 0 )
id C
0
1
t
答案
习题1 答案
解
5-13
与教案中例题不同，此处u(0)的成因不详， 也无需且不可能追究。其极性已如图中所示， 其值为4V，已成定局。但t≥0时，i、u的参考 方向为非关联的，故应选B项。
t≥0的等效电路如图，
C
b -
4V
+
-
代表初始电压源的极性、 数值是已知的，与i无关。 + u1 a C部分的u1和i的参考方向 + 是非关联的。
C
1 2
Li
2

1 2
2 H 2 A 2
4J

1 2
Cu
2

1 2
1F 4 V 2
8J
电路总共储存能量为4J+8J=12J。该项能量 是电源接入时，由电源提供的。在电源持续作用 下，这能量始终储存在电路内，其值不变，故PL 和PC均为零。
习题3 答案（续2）
解
电流源两端电压为 电流源功率： 2 V 2 A 1Ω 4 V 8 W 提供 8 W
第五章 电容元件与电感元件
5-1
只包含电阻元件和电源元件的电路—— 电阻（resistive）电路，否则便是动态（dynamic）电路。 亦即，动态电路至少包含有一个动态元件。 电容元件（capacitor）、电感元件（inductor）均属动态元件。 动态元件的VCR，涉及对u或i的微分或积分。任何一个集总电路 都必须服从两类约束。对动态电路来说，还需包含动态元件的VCR。
u 1 0 . 5 0 . 75 1 V 1 . 25 V
t 0 .5s 属 t 0 , 故 得 u 0 .5 1 4

0 .5
1
2dt 0 . 25 V
例题
(续)
5-9
（4） t ≥ 0时的等效电路
i1(t) u1(t)+ຫໍສະໝຸດ i1/A+
+
4F
2
P2 2V / 2 2W
2
习题4 答案
iC C du C dt 2 sin 2 t A
5-21
解
u R u C u 2 cos 2 t 2 i C 2 cos 2 t 2 2 sin 2 t 17 cos 2 t 76
5-17
解 电路在直流电源长久作用下，电感看作短路，
电容看作开路，如图所示。
1Ω 2Ω
+
2A
+
2V
+
4V
-
-
1Ω电阻的功率： P1 2 A 2 1Ω 4 W
2Ω电阻的功率：P2
2 V / 2 Ω 2 W
2
习题3 答案（续1）
解
5-18
电感储存能量：W L 电容储存能量：W
习题课
习题3
5-16
与直流电源接通已久的电路如图所示， 试求每一电阻所消耗的功率；电路所储存的 能量；每一电源所提供的功率并校核电路的 功率平衡关系。
2H
1Ω 2V
2Ω
+
+
1F 4V
2A
-
答案
P1 2 A 1 4W
2
P2 2V / 2 2W
2
习题3 答案
t/s
u 0 1 4
0 1
2 dt
2 4
0 .5 V
u(0)记忆了t=0以前所有电流的充电作用。
例题
(续)
5-8
（2） t ≥ 0时
u t u 0 1 4
t 0
3dt 0 . 5 0 . 75 t V
t≥0时，不能忽略初始电压u(0)， 它反映了t≤0电流对t ≥ 0时u（t）的影响。 （3） t 1s 属 t 0 , 故得
功率平衡关系：
提供功率 消耗功率
8W+4W=12W 6W+2W+4W=12W
功率平衡。
习题课
习题4 已知uc(t)=2cos(2t)V、C=1F、R=1Ω， 受控源电压u(t)=2ic(t)，求uR(t)、is(t)。
R
5-20
iS
+ ic + uR -
+
uc
-
C
-
2ic
答案
P1 2 A 1 4W
(Farad，法拉), 常用F，p F等表示。
（2）电容（元件）VCR形式一
由于
dq dt
5-3
i
而 q = cu
故得
i C du dt
C
①
i
＋
u
－
u、i 应为关联参考方向。 电容（元件）的VCR之一，以u表示i。 电容元件VCR的微分关系
表明：
（1）i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大小无关， 电容是动态元件；
(2) 当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路，电容 有隔断直流作用； (3)实际电路中通过电容的电流 i为有限值，则电容电压u