内切球和外接球常见解法

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。

具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。

例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。

在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。

例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。

内切球和外接球常见解法内切球和外接球是在几何学中常用的概念，它们分别指的是一个几何体内切或外接于另一个几何体的球。

在实际问题中，内切球和外接球常常用于优化问题和几何问题的求解，其解法也有多种。

以下将介绍一些常见的解法。

1. 解法一：利用勾股定理求解。

内切球和外接球都可以利用勾股定理求解。

以内切球为例，我们可以考虑任意三角形ABC，设其内切球的半径为r，以I为内切圆心，则：AB + AC = 2r；AC + BC = 2r；AB + BC = 2r。

整理可得：r = [ABC] / (s + a + b + c)，其中s为半周长，a、b、c为三角形ABC的三边长，[ABC]为三角形ABC的面积。

而外接球的半径r'则可用公式r'=[ABC] / (4S)，其中S为三角形ABC的外接圆半径。

欧拉定理是内切球和外接球求解的另一个重要工具。

欧拉定理有两种形式，分别为：对于任意四面体，其四个顶点、三条棱的中点和六面体质心共九个点在同一球面上。

对于任意三角形ABC，其外接圆心、垂足交点、垂心、重心四点在同一圆上，且圆心为外接球心。

利用欧拉定理可以求得内切球半径：点O为六面体质心，点I为内切圆心，则IO等于内切球半径r。

点O为三角形外心，点H为垂心，点G为重心，则OG等于外接球半径r'。

对于一些优化问题，内切球和外接球也可以通过线性规划求解。

例如，对于一个凸多面体，求其内切球或外接球的半径最大值，可以将问题转化为线性规划问题，即：max rs.t. A_i * x <= b_i, i=1,2,...,mx_i >= 0, i=1,2,...,n其中，A_i是多面体的几何信息，b_i是多面体中某一点到各个面的距离，x是优化变量，r就是所需要求的内切球或外接球半径。

可以使用线性规划求解器求解其最优解。

内切球与外接球常见解法在立体几何的学习中，内切球与外接球问题常常让同学们感到头疼。

其实，只要掌握了常见的解法，这类问题就能迎刃而解。

下面咱们就来详细探讨一下内切球与外接球的常见解法。

首先，咱们得明白什么是内切球和外接球。

内切球就是一个几何体内部恰好能够容纳一个球，并且这个球与几何体的各个面都相切；外接球则是指一个几何体恰好能够被一个球完全包围，并且几何体的各个顶点都在这个球面上。

对于常见的几何体，比如长方体、正方体、正四面体等，都有比较固定的求解方法。

先来说说长方体的外接球。

假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么其外接球的直径就是长方体的体对角线长度。

体对角线长度可以通过勾股定理求出，即\（＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼），所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼）。

正方体就更简单啦。

设正方体的棱长为 a，那么其外接球的直径就是正方体的面对角线长度的\（＼sqrt{3}＼）倍，所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{3}a}｛2}＼）。

再看看正四面体的外接球。

正四面体比较特殊，我们可以通过一些几何关系来求解。

设正四面体的棱长为 a，先求出正四面体的高\（h ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛3}a\），然后外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛4}a\）。

接下来，咱们说说一般多面体的外接球求解方法。

其中一种常用的方法是补形法。

比如说，如果一个三棱锥的对棱相等，那么我们可以把它补成一个长方体，然后利用长方体的外接球求解方法来解决。

还有一种方法是找球心。

球心到几何体各个顶点的距离都相等，我们可以通过一些已知条件，比如垂直关系、距离关系等来确定球心的位置。

对于内切球的求解，通常会用到体积分割的方法。

比如说，对于一个三棱锥，如果知道了它的表面积和体积，那么内切球的半径 r 就可以通过体积分割来求。

设三棱锥的体积为 V，表面积为 S，那么\（V ＝＼frac{1}｛3}Sr\），从而可以求出内切球的半径 r 。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,则这个球的体积为86x=3,f1JQ———解设正六棱柱的底面边长为X,高为则有9后，2'§=6x甘"，]入=右.正六棱柱的底面圆的半径r=~,球心到底面的距离d=—.:.外接球的半径22R=J/+J?=]....v球=—.3小结本题是运用公式R2=r-+d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A.16^B.20ttC.24>tD.32i解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R,则有4/=16,解得%=2, 2R=a/22+22+42=2^6,:.R=£.这个球的表面积是4*=24^,选C.小结本题是运用''正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为右，则其外接球的表面积是—.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，...把这个三棱锥可以补成一个棱长为73的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R,则有（27?）2=（、厅『+（、行『+（^3）2=9./.R2=|,故其外接球的表面积S=4*=9兀.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为0、/?、c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为A,则有2R=7a2+b2+c2.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABC。

高中数学解题指导八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型墙角模型是指三条线段两两垂直的几何体，通过公式(2R) = a + b + c，即2R = a^2 + b^2 + c^2，可以求出其外接球半径R。

例1：1）已知顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，求该球的表面积。

解：由V = ah = 16，得a = 2，4R = a + a + h = 4 + 4 + 16 = 24，S = 24π，答案为C。

2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，求其外接球的表面积。

解：由2R = a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9，得R = 9/4，S =4πR^2 = 9π。

3）在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA = 23，求正三棱锥S-ABC外接球的表面积。

解：由墙角模型的特点可知，正三棱锥的对棱互垂直。

连接AB、BC的中点D、E，连接AE、CD，交于H，则H是底面正三角形ABC的中心。

由AM⊥MN，SB//MN，可得AM⊥SB，AC⊥SB，故SB⊥平面SAC，SB⊥SA，SB⊥SC，即SB⊥SA，BC⊥SA，故SA⊥平面SBC，SA⊥SC。

因此，三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，由2R^2 = 23^2 + 23^2 + 23^2 = 36，得R^2 = 9，S = 36π。

类型二、棱台模型棱台模型是指上底面和下底面都是正多边形，且两底面中心连线与侧棱垂直的几何体。

通过勾股定理和相似三角形，可以求出其外接球半径R和内切球半径r。

例2：1）已知棱台的上底面和下底面都是正三角形，上底边长为3，下底边长为6，侧棱长为5，求其外接球半径R和内切球半径r。

解：由勾股定理可得棱台的高为4√3.设外接球半径为R，内切球半径为r，则有R/r = (a + b + c)/(a + b - c) = (3 + 6 +5)/(3 + 6 - 5) = 7，解得R = 7r。

内切球与外接球常见解法内切球与外接球是数学里经典的概念，许多数学问题都涉及到了这两类球的概念，比如说圆锥曲线，并且内切球与外接球的解法也十分经典。

本文将会介绍内切球与外接球的常见解法。

一、内切球的解法1. 欧拉公式法欧拉公式告诉我们，对于任意一个凸多面体，其顶点数、棱数、面数之和等于2加上该凸多面体的亏格数。

因此，对于一个球体，其亏格数为2。

设内切球半径为r，球心到多面体某一个面的距离为d，则可以得到以下公式：r=(d1+d2+...+dn-nr)/(n-2)其中，d1、d2、...、dn为该面到球心的距离。

该公式适用于多面体的任何一个面。

2. 套路法对于任意一个多面体，在球心到多面体顶点的连线上，肯定会存在一个最小的球，使得该球完全包含了多面体的所有面。

这个球就是内切球。

通过套路法可求出内切球的半径。

首先取一个多面体面的中心点作为初始点，然后每次将该点沿着与之相邻的面的法线方向平移，并使点到多面体的距离为内切球半径。

当所有点到多面体距离之和最小时的内切球半径即为所求。

3. 向量法对于一个三角形，其内切球圆心为三角形的角平分线交点。

我们可以求出三角形的边向量和平面法向量，从而得到角平分线向量。

由角平分线乘以内切球半径即可得到内切球圆心坐标。

同理，对于多面体，内切球圆心为多面体一个面的平面角平分线交点。

二、外接球的解法1. 向量法对于一个三角形，其外接圆圆心为三角形的垂心和三边的交点。

由于垂心很难求得，我们通常使用法向量法求出外接球圆心。

首先求出三角形的边向量和平面法向量，然后将平面法向量沿着垂直三角形所在平面的方向延长，得到一个点P。

将点P连线到三角形三个顶点分别得到三个垂足，并将三个垂足连线求出其交点，即为外接圆圆心。

同理，对于多面体，通过面的法向量求得平面，然后将平面法向量沿着垂直多面体所在平面的方向延长，得到一个点P。

将点P连线到多面体任一面的一个顶点分别得到各个垂足，并将各个垂足连线求出其交点，即为外接球圆心。

内切球与外接球常见解法一、内切球内切球是指一个球体恰好能够被另一个球体包围，且两个球体相切于球面上的一个点。

在数学中，内切球经常与三角形、四面体等几何图形相关联。

1. 三角形的内切圆对于一个任意形状的三角形，都存在唯一一个内切圆，该内切圆的圆心与三角形的三条边相切。

下面介绍一种常见的求解方法：以三角形的三个顶点为A、B、C。

1) 求解三个边长a、b、c。

利用两点之间的距离公式可以得到三条边的长度：a = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]b = √[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]c = √[(x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2]2) 求解三角形的半周长s。

s = (a + b + c)/23) 求解内切圆的半径r。

r = √[(s - a)(s - b)(s - c)/s]4) 求解内切圆的圆心坐标。

利用三角形面积公式可以求解内切圆的圆心坐标：x = (a*x1 + b*x2 + c*x3)/(a + b + c)y = (a*y1 + b*y2 + c*y3)/(a + b + c)2. 四面体的内切球对于四面体，即由四个平面三角形组成的几何图形，也存在一个内切球。

下面介绍一种常见的求解方法：以四面体的四个顶点为A、B、C、D。

1) 求解四个面的面积S1、S2、S3、S4。

利用三角形面积公式可以求解四个面的面积。

S1 = 1/2 * |(B - A) × (C - A)|S2 = 1/2 * |(C - B) × (D - B)|S3 = 1/2 * |(D - C) × (A - C)|S4 = 1/2 * |(A - D) × (B - D)|2) 求解四面体的体积V。

四面体的体积可以通过以下公式求解：V = 1/6 * |(B - A) · [(C - A) × (D - A)]|3) 求解四面体内切球的半径r。

十种求外接球与内切球模型【必备知识点】模型一:墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型,用构造法(构造长方体)解决.外接球的直径等于长方体的体对角线长.使用范围:3组或3条棱两两垂直;或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合推导过程:长方体的体对角线就是外接球的直径公式:找三条两两垂直的线段,直接用公式(2R)2=a2+b2+c2,即2R=a2+b2+c2,求出R.例1.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB,AC,AD两两垂直，且AB=3，AC=2，AD= 3，则球O的表面积为( )A.64πB.16πC.4πD.π【答案】B【详解】四面体ABCD的外接球O即为以AB,AC,AD为长、宽、高的长方体的外接球，∴球O的外接球半径R=12AB2+AC2+AD2=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π.故选：B.例2.在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE，DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A,B,C三点重合，得到三棱锥O-DEF，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.3πB.6πC.6πD.24π【答案】C【详解】解：在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF，折起后OD，OE，OF两两垂直，故该三棱锥外接球即以OD，OE，OF为棱的长方体外接球.因为OD=2，OE=1，OF=1，所以2R=OD2+OE2+OF2=6，所以R=62，所以该三棱锥外接球的表面积为S表=4πR2=6π，故选：C.例3.已知P，A，B，C为球O的球面上的四个点，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=1，AC=BC= 2，则球O的表面积为( )A.2πB.3πC.4πD.5π【答案】D【详解】解：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，故可将三棱锥P-ABC补形成如图所示的长方体.若P，A，B，C为球O的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上.设球O的半经为R，则该长方体的体对角线长为2R，即2R=PA2+AC2+BC2=5，从而有S球O=4πR2=π(2R)2=5π，故选：D.例4.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2，E为BC中点，把△ABE和△CDE分别沿AE,DE折起，使点B与点C重合于点P，若三棱锥P-ADE的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )A.3πB.4πC.5πD.9π【答案】C【详解】依题意，PE⊥PA,PE⊥PD，PA∩PD=P，PA,PD⊂平面PAD，则PE⊥平面PAD，又PA=PD=2,AD=2，即有PA2+PD2=AD2，则PA⊥PD，因此可将三棱锥P-ADE补形成以PE,PA,PD为相邻三条棱的长方体，若三棱锥P-ADE的四个顶点都在球O的球面上，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上，设球O的半径为R，则该长方体的体对角线长为2R，即2R=PE2+PA2+PD2=5，所以球O的表面积为S=4πR2=π(2R)2=5π.故选：C例5.在正三棱锥S -ABC 中, 点M 是SC 的中点,且AM ⊥SB ,底面边长AB =22,则正三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为()A.6πB.12πC.32πD.36π【答案】B【详解】因为三棱锥S -ABC 为正三棱锥, 所以SB ⊥AC ,又AM ⊥SB ,AC ∩AM =A ,AC ,AM ⊂平面SAC , 所以SB ⊥平面SAC,所以SB ⊥SA ,SB ⊥SC ,同理SA ⊥SC ,即SA ,SB ,SC 三线两两垂直,且AB =22,所以SA =SB =SC =2,所以(2R )2=3×22=12,所以球的表面积S =4πR 2=12π,故选 B .例6.将一个边长为4的正三角形ABC 沿其中线BD 折成一个直二面角，则所得三棱锥A -BCD 的外接球的体积为_________.【答案】2053π【详解】由题意得：AB =BC =4，AD =CD =2，BD ⊥AD ，CD ⊥BD ，即BD ⊥平面ADC ；∵二面角A -BD -C 为直二面角，∴AD ⊥CD ，则三棱锥A -BCD 的外接球即为以BD ,CD ,AD 为长宽高的长方体的外接球，又BD =16-4=23，∴三棱锥A -BCD 的外接球半径R =12AD 2+CD 2+BD 2=124+4+12=5，∴三棱锥A -BCD 的外接球体积V =43πR 3=2053π.故答案为：2053π.例7.在正三棱锥S -ABC 中,M ,N 分别是棱SC ,BC 的中点,且AM ⊥MN , 若侧棱SA =23,则正三棱锥S -ABC 外接球的表面积是_________.【答案】36π【详解】∵AM ⊥MN ,SB ⎳MN ,∴AM ⊥SB ,∵AC ⊥SB ,∴SB ⊥平面SAC,∴SB ⊥SA ,SB ⊥SC ,∵SB ⊥SA ,BC ⊥SA ,∴SA ⊥平面SBC ,∴SA ⊥SC ,故三棱锥S -ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直,∴(2R )2=(23)2+(23)2+(23)2=36,即4R 2=36,∴正三棱锥S -ABC 外接球的表面积是36π.例8.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为32的正方形,AA 1=3,E 是线段A 1B 1上一点, 若二面角A -BD -E 的正切值为3,则三棱锥A -A 1D 1E 外接球的表面积为_________.【答案】35π【详解】过点E 作EF ⎳AA 1交AB 于F ,过F 作FG ⊥BD 于G ,连接EG ,则∠EGF 为二面角A -BD -E 的平面角,∵tan ∠EGF =3,∴EF FG=3,∵EF =AA 1=3,∴FG =1,则BF =2=B 1E , ∴A 1E =22,则三棱锥A -A 1D 1E 外接球的直径为8+9+18=35,因此三棱锥A -A 1D 1E 外接球的表面积S =35π.模型二:对棱相等模型使用范围:对棱相等的三棱锥推导过程:通过对棱相等,可以将其补全为长方体,补全的长方体体对角线为外接球直径,设长方体的长宽高为别为a ,b ,cAD =BC AB =CD AC =BD ⇒a 2+b 2=BC 2=λ2b 2+c 2=AC 2=μ2c 2+a 2=AB 2=k 2⇒a 2+b 2+c 2=λ2+μ2+k 22⇒R =λ2+μ2+k 28V A -BCD =abc -16abc ×4=13abc 例1.如图，在△ABC 中，AB =25,BC =210,AC=213，D ，E ，F 分别为三边中点，将△BDE,△ADF ,△CEF 分别沿DE ,EF ,DF 向上折起，使A ，B ，C 重合为点P ，则三棱锥P -DEF 的外接球表面积为( )A.72πB.7143πC.14πD.56π【答案】C【详解】由题意可知，PE =DF =10,PF =DE =13,PD =EF =5，即三棱锥P-DEF 的对棱相等，先将该三棱锥补充成长方体，如图所示：设FH =x ,HD =y ,HP =z ，则x 2+y 2=10,y 2+z 2=5,x 2+z 2=13，所以x 2+y 2+z 2=14，于是三棱锥P -DEF 的外接球直径为14，半径为142，所以该三棱锥外接球的表面积为：4π⋅1422=14π.故选：C .例2.在△ABC 中，AB =AC =2，cos A =34，将△ABC 绕BC 旋转至△BCD 的位置，使得AD =2，如图所示，则三棱锥D -ABC 外接球的体积为_____________．【答案】556π【详解】在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=22+22-2×2×2×34=2，所以BC =2．在三棱锥D -ABC 中，AB =AC =DB =DC =2，AD =BC =2．将三棱锥D -ABC 放入长方体，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，棱锥D -ABC 外接球的半径为R ，则a 2+b 2=4,b 2+c 2=4,a 2+c 2=2，所以a 2+b 2+c 2=5，所以R =12a 2+b 2+c 2=52，从而三棱锥D -ABC 外接球的体积V =43πR 3=556π.故答案为：556π例3.已知三棱锥P -ABC 的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA =32，PB =PC =5，则该三棱锥的外接球的表面积为______．【答案】34π【详解】解：根据题意，三棱锥P -ABC 可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a ，b ，c ，如图所示，则a 2+b 2=PA 2=18，a 2+c 2=PB 2=25，b 2+c 2=PC 2=25，解得a =3，b =3，c =4．所以该三棱锥的外接球的半径为R =a 2+b 2+c 22=32+32+422=342，所以该三棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=4π×342 2=34π．故答案为：34π例4.已知四面体ABCD 的棱长满足AB =AC =BD =CD =2，BC =AD =1，现将四面体ABCD 放入一个轴截面为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD 可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为________．【答案】274π【详解】根据题意，只需四面体ABCD 在圆锥的内切球内，下面求四面体ABCD 的外接球半径．如图所示，将四面体放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，则a 2+b 2=4，a 2+c 2=4，b 2+c 2=1，故4R 2=a 2+b 2+c 2=92，可得四面体ABCD 的外接球半径为324．当圆锥的侧面积最小时，该圆锥的内切球即四面体ABCD 的外接球，则此时圆锥的内切球的半径为R =324，底面圆的半径为r =324×3=364，母线长为324×2=322，所以侧面积为S =π×364×362=27π4.故答案为：27π4.例5.在三棱锥P -ABC 中，PA =BC =25，PB =AC =13，AB =PC =5，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积是______．【答案】29π【详解】由题意，PA =BC =25，PB =AC =13，PC =AB =5，将三棱锥P -ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为25，13，5，设长方体的长宽高分别为a,b ,c ,即a 2+b 2=25，c 2+b 2=13，a 2+c 2=5，解得：a =4，b =2，c =3．长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R ，∴(2R )2=a 2+b 2+c 2⇒4R 2=29⇒S 球=4πR 2=29π﹒故答案为：29π．例6.已知三棱锥A -BCD ,三组对棱两两相等,且AB =CD =1,AD =BC =3,若三棱雉A -BCD的外接球表面积为9π2.则AC =______．【答案】5【详解】将四面体A-BCD放置于长方体中, ∵四面体A-BCD的顶点为长方体八个顶点中的四个,∴长方体的外接球就是四面体A-BCD的外接球,∵AB=CD=1,AD=BC=3,且三组对棱两两相等,∴设AC=BD=x,得长方体的对角线长为1212+(3)2+x2=124+x2,可得外接球的直径2R=124+x2,所以 R=24+x24,∵三棱锥A-BCD的外接球表面积为9π2,∴4πR2=9π2,解得 R=32 4, 即24+x24=324,解之得x=5, 因即AC=BD=5.模型三:汉堡模型适用范围:有一条侧棱垂直于底面的柱体推导过程:如图,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形).第一步:确定球心O的位置,O1是ABC的外心,则OO1⊥平面ABC.第二步:算出小圆O1的半径AO1=r,OO1=12AA1=12h AA1=h也是圆柱的高).第三步:勾股定理:OA2=O1A2+O1O2⇒R2=h22+r2⇒R=r2+h2 2,求出R.公式:R=r2+h 22例1.已知某圆柱的高为42，体积为42π，则该圆柱外接球的表面积为( )A.32πB.36πC.40πD.44π【答案】B【详解】设圆柱底面圆的半径为r，则πr2×42=42π，解得r=1．设该圆柱的两底面中心分别为O1、O2，则该圆柱外接球的球心O为线段O1O2的中点，球O 的半径为R =12+422 2=3，故球O 的表面积S =4πR 2=36π．故选：B .例2.已知三棱柱的各个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，侧棱长与底面边长之比为3：2，顶点都在一个球面上，若三棱柱的侧面积为162，则该球的表面积为( )A.120πB.129πC.129πD.180π【答案】C【详解】由题意，设球的半径为r ，底面三角形边长为2x ，因为侧棱长与底面边长之比为3：2，所以侧棱长为3x ，因为三棱柱的侧面积为162，即满足3⋅3x ⋅2x =18x 2=162，解得x =3，可知侧棱长为9，底面边长为6，如图所示，设N ，M 分别是上､下底面的中心，MN 的中点O 是三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的球心，则AM =33×6=23，OM =12MN =12AA 1=92，r =OA =OM 2+AM 2=92 2+23 2=1292，所以S =4πr 2=4π×12922=129π.故选：C .例3.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，AB =AC =AA 1=2，∠BAC =120∘，则球O 的表面积是( )A.4πB.163πC.16πD.20π【答案】D【详解】由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC ⋅cos ∠BAC =22+22-2×2×2×-12 =12,∴BC =23,设△ABC 外接圆的圆心为O 1,半径为CO 1，由正弦定理得BC sin ∠BAC =2CO 1 ，即2332=2CO 1，解得CO 1=2，设外接球的半径为R =CO ,∵O 1O =12AA 1=1,∴R =CO =CO 1 2+OO 1 2=22+12=5,球O 的表面积为S =4πR 2=20π,故选：D .例4.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1所有顶点都在球O 的表面上，且∠BAC =π6，AA 1=22，AC =3AB =3，则球O 的表面积为________．【答案】20π【详解】解：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，且∠BAC =π6,AA 1=22，，AC =3AB =3，∴BC =AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos π6=3+9-2×3×3×32=3，设ΔABC 为外接圆的圆心为E ，2r =3sin π6=23，所以r =3，设外接球的球心为O ，设球的半径为R ，所以R =r 2+12AA 1 2=5，故S 球=4π⋅(5)2=20π．故答案为：20π．例5.在四面体ABCD 中，AB =CD =1，BC =2，且AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，异面直线AB ，CD 所成角为π3，则该四面体外接球的表面积为______.【答案】16π3或8π【详解】由题意可以将四面体ABCD 补成一个如图所示的直三棱柱，因为异面直线AB ，CD 所成角为π3，所以∠ABE =π3或2π3，设△ABE 的外接圆半径为r ，当∠ABE =π3时，1sin60∘=2r ,r =33 ，当∠ABE =2π3时，AE =3 ，则3sin120∘=2r ,r =1，设四面体的外接球半径为R ，则R =r 2+BC 2 2=r 2+1 ，所以该四面体外接球的半径R =233或2，则外接球的表面积为.4πR 2=16π3或8π，故答案为：16π3或8π模型四:垂面模型适用范围:有一条棱垂直于底面的椎体推导过程:第一步:将ABC 画在小圆面上,A 为小圆直径的一个端点,作小圆的直径AD ,连接PD ,则PD 必过球心O .第二步:O 1为ABC 的外心,所以OO 1⊥平面ABC ,算出小圆O 1的半径O 1D =r (三角形的外接圆直径算法:利用正弦定理a sin A =b sin B=c sin C =2r ,OO 1=12PA .第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:(1)(2R )2=PA 2+(2r )2⇔2R =PA 2+(2r )2;(2)R 2=r 2+OO 21⇔R =r 2+OO 21.公式:R 2=r 2+h 24例1.已知三棱锥P -ABC ，其中PA ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，PA =AB =AC =2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.12πB.16πC.20πD.24π【答案】C【详解】根据题意设底面△ABC 的外心为G ，O 为球心，所以OG ⊥平面ABC ，因为PA ⊥平面ABC ，所以OG ⎳PA ，设D 是PA 中点，因为OP =OA ，所以DO ⊥PA ，因为PA ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以AG ⊥PA ，因此OD ⎳AG ，因此四边形ODAG 是平行四边形，故OG =AD =12PA =1，由余弦定理，得BC =AB 2+AC 2-2AB ⋅AC ⋅cos120°=4+4-2×2×2×-12=23，由正弦定理，得2AG =2332⇒AG =2，所以该外接球的半径R 满足R 2=OG 2+AG 2=5⇒S =4πR 2=20π，故选：C ．例2.已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，CD ⊥平面ABC ，AC =23，△ABC 是正三角形，△ACD 是等腰三角形，则球O 的体积为( )A.2053πB.86πC.2873πD.36π【答案】C【详解】∵CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AC ，又△ACD 是等腰三角形，∴CD =AC ．∵△ABC 是正三角形，∴AB =BC =AC =CD =23．设E 为△ABC 外接圆的圆心，则CE =23×32×23=2，OE =12CD =3，∴OC =OE 2+CE 2=7，∴球O 的体积V =43π×7 3=2873π.故选：C .例3.在三棱锥S -ABC 中, 侧棱SA ⊥底面ABC ,AB =5,BC =8,∠ABC =60°,SA =25, 则该三棱锥的外接球的表面积为()A.643π B.2563π C.4363π D.2048327π【答案】B【详解】 由题意知,AB =5,BC =8,∠ABC =60°,则在△ABC 中, 由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2×AB ×BC ×cos ∠ABC ,解得AC =7,设△ABC 的外接圆半径为 r ,则△ABC 的外接圆直径2r =AC sin ∠ABC =772,∴r =73, 又∵侧棱SA ⊥底面ABC ,∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离 h =12SA =5,则外接球的半径R =732+(5)2=643,则该三棱锥的外接球的表面积为S =4πR 2=2563π.例4.已知四棱锥P -ABCD 的五个顶点在球O 的球面上，PA ⊥底面ABCD ，PA =4，AB =AD ，BC=CD ，∠BAD =120°，且四边形ABCD 的面积为934，则球O 的表面积为___________.【答案】25π【详解】如图所示，在四边形中ABCD ，连结BD ，AC ，由AB =AD ,BC =CD ，所以△ABC ≌△ADC ，所以∠ABC =∠ADC ,∠BAC =∠DAC ，因为A ,B ,C ,D 在同一圆上，所以∠ABC =∠ADC =90°，又因为∠BAD =120°，所以∠BCD =60°，则∠BAC =∠DAC =60°，在Rt △ABC 中，可得BC =3AB ，因为底面ABCD 的面积为934，所以2×12AB ⋅3AB =934，解得AB =32，则BC =332，AC =3322+322=3，所以Rt △ABC 外接圆的半径r =32，将四棱锥P -ABCD 补成直四棱柱PEFG -ABCD ，该直棱柱的所有顶点都在球O 的球面上，设底面四边形ABCD 所在圆的圆心为O 1，连接OO 1，则OO 1⊥平面ABCD ，过OM ⊥PA ，垂足为M ,由球的对称性可知，球心O 到底面ABCD 的距离为d =OO 1=AM =12PA =2，所以球O 的半径R 满足R 2=d 2+r 2=254，所以球O 的表面积S 球O =4πR 2=25π.故答案为：25π.例5.在三棱锥P -ABC 中,PA ⊥平面ABC ,∠BAC =120°,AC =2,AB =1,设D 为BC 中点, 且直线PD 与平面ABC 所成角的余弦值为55, 则该三棱雉外接球的表面积为___________.【答案】 373π【详解】在△ABC 中,∠BAC =120°,AC =2,AB =1,由余弦定理得:BC 2=AC 2+AB 2-2AC ⋅BC ⋅cos ∠BAC ,即BC 2=22+12-2×2×1×cos120°=7,解得:BC =7. 设△ABC 的外接圆半径为r ,由正弦定理得2r =BC sin ∠BAC =7sin120°=273解得:r =73=213;且cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =12+(7)2-222×1×7=277,又D 为BC 中点, 在△ABD 中,BD =12BC =72,AB =1,cos ∠ABD =277. 由余弦定理得:AD 2=AB 2+BD 2-2AB ⋅BD cos ∠ABD ,即:AD 2=12+722-2×1×72×277=34,解得AD =32.又因为PA ⊥平面ABC , 所以 ∠PDA 为直线PD 与平面ABC 所成角, 由cos ∠PDA =55,得 sin ∠PDA =255,tan ∠PDA =2所以在Rt △PAD 中, PA =AD ⋅tan ∠PDA =32⋅2=3. 设三棱锥P -ABC 的外接球半径为R , 所以R =PA 22+r 2=322+2132=3712,三棱锥P -ABC 外接球表面积为S =4πR 2=373π.模型五:斗笠模型使用范围:正棱雉或顶点的投影在底面的外心上推导过程:取底面的外心01, 连接顶点与外心,该线为空间几何体的高h ,在h 上取一点作为球心0,根据勾股定理R 2=(h -R )2+r 2⇔R =r 2+h 22h公式:R =r 2+h 22h例1.已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点,⊙O 1为△ABC 的外接圆.若⊙O 1的面积为4π,AB =BC =AC =OO 1, 则球O 的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π【答案】A 【详解】设⊙O 1的半径为r ,球的半径为R ,依题意,得πr 2=4π,∴r =2.由正弦定理可得ABsin60°=2r ,∴AB =2r sin60°=2 3.∴OO 1=AB =2 3.根据球的截面性质,得OO 1⊥平面ABC ,∴OO 1⊥O 1A ,R =OA =OO 21+O 1A 2=OO 21+r 2=4,∴球O 的表面积S =4πR 2=64π.故选A .例2.正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为4 , 底面边长为2 , 则该球的表面积为()A.81π4B.16πC.9πD.27π4【答案】A 【详解】如图所示,设球半径为R ,底面中心为O 且球心为O ,∵正四棱锥P -ABCD 中 AB =2,∴AO =2,∵PO =4,∴在Rt △AOO 中, AO 2=AO ′2+OO ′2,∴R 2=(2)2+(4-R )2,解得R =94,∴该球的表面积为4πR 2=4π×942=81π4.例3.已知一个圆锥的母线长为26，侧面展开图是圆心角为23π3的扇形，则该圆锥的外接球的体积为( )A.36πB.48πC.36D.242【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为r ，由侧面展开图是圆心角为23π3的扇形得：2πr =23π3×26，解得：r =22.作出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为h ，则h =26 2-22 2=4.设该圆锥的外接球的球心为O ，半径为R ,则有R =h -R2+r 2，即R =4-R2+22 2，解得：R =3，所以该圆锥的外接球的体积为4πR 33=4π333=36π.故选：A .例4.在三棱锥P -ABC 中，侧棱PA =PB =PC =10，∠BAC =π4，BC =22，则此三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】50π3【详解】因为PA =PB =PC =10，所以点P 在底面ABC 的射影为△ABC 的外心O 1，所以球心O 在直线PO 1上，设三棱锥外接球的半径为R ，因为2AO 1=22sin π4，所以AO 1=2，PO 1=6，由AO 2=OO 21+AO 21可得，R 2=6-R 2+4，解得R =56，故此三棱锥外接球的表面积为4πR 2=4π×256=503π．故答案为：50π3．例5.已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是为________.【答案】24π【详解】如图正四面体ABCD 棱长为4，AH ⊥平面BCD 于H ，则H 是△BCD 中心，BH =33×4=433，AH ⊥平面BCD ，BH ⊂平面BCD ，则AH ⊥BH ，AH =42-4332=463，设外接球球心为O ，则O 在AH ，则OA =OB =R 为外接半径，由BH 2+OH 2=BO 2得4332+463-R2=R 2，解得R =6，∴S =4πR 2=24π．故答案为：24π.例6.在三棱雉P -ABC 中,PA =PB =PC =26,AC =AB =4,且AC ⊥AB ,则该三棱锥外接球的表面积为________.【答案】36π【详解】设顶点P 在底面中的射影为O 1,由于PA =PB =PC ,所以O 1A =O 1B =O 1C ,即点O 1 是底面△ABC 的外心,又AC ⊥AB ,所以O 1为BC 的中点,因为PA =PB =PC =26,AC =AB =4,所以BC =42,AO 1=22,PO 1=4,设外接球的球心为O ,半径为R ,则O 必在PO 1上, O 1O =4-R ,在Rt △O 1OA 中, (4-R )2+(22)2=R 2, 解得R =3,所以S 2=4πR 2=36π.例7..一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60°, 若该圆雉的侧面积为33π,则该圆雉外接球的表面积为________.【答案】27π2【详解】设∠ASB =∠BSC =∠CSA =60°,则SA =SB =SC =AB =AC =BC .设AB =x ,则底面圆的直径为2r =x sin60°=2x 3,该圆锥的侧面积为12π⋅2x3⋅x =33π,解得x =3,高OS =32-(3)2= 6.∴r =33= 3.设圆锥外接球的半径为R ,所以(6-R )2+r 2=R 2,解得R =364, 则外接球的表面积为4πR 2=27π2.类型六:切瓜模型使用范围:有两个平面互相垂直的棱雉推导过程:分别在两个互相垂直的平面上取外心O 1、O 2过两个外心做两个垂面的垂线, 两条垂线的交点即为球心0,取B C 的中点为E , 连接OO 1、OO 2、O 2E 、O 1E 为矩形由勾股可得|OC |2=|O 2C |2+|OO 2|2=|O 2C |2+|O 1C |2-|CE |2∴R 2=r 21+r 22-l 24公式:R 2=r 21+r 22-l 24例1.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为边长为4的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为( )A.112π3B.64π3C.64πD.16π【答案】A【详解】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，取侧面△PAB 和底面正方形ABCD 的外接圆的圆心分别为O 1,O 2，分别过O 1，O 2作两个平面的垂线交于点O ，则由外接球的性质知，点O 即为该球的球心，取线段AB 的中点E ，连O 1E ，O 2E ，O 2D ，OD ，则四边形O 1EO 2O 为矩形，在等边△PAB 中，可得PE =23，则O 1E =233，即OO 2=233，在正方形ABCD 中，因为AB =4，可得O 2D =22，在直角△OO 2D 中，可得OD 2=OO 22+O 2D 2，即R 2=OO 22+O 2D 2=283，所以四棱锥P -ABCD 外接球的表面积为S =4πR 2=112π3.故选：A .例2.已知三棱锥A -BCD 中, △ABD 与△BCD 是边长为2的等边三角形且二面角A -BD -C 为直二面角, 则三棱雉A -BCD 的外接球的表面积为()A.10π3B.5πC.6πD.20π3【答案】D 【详解】取BD 的中点M ，连接AM ,CM ,∠AMC =90°,AF :FM =2:1,CE :EM =2:1，OF ⊥AM ，OE ⊥MC ,OE ∩OF =O 连接OC ，点 O 是三棱锥A -BCD 的外接球的球心，因为棱长都是2 ，所以OE =FM =33,EC =233，所以在△OEC 中，R =OC =OE 2+EC 2=153，那么外接球的表面积是S =4πR 2=203π ，故选D .例3.已知四棱锥P -ABCD 的体积是363，底面ABCD 是正方形，△PAB 是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P -ABCD 的外接球的体积为________.【答案】2821π【详解】设正方形ABCD 的边长为2x ，在等边三角形PAB 中，过P 点作PE ⊥AB 于E ，由于平面PAB ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ．由于△PAB 是等边三角形，则PE =3x ，∴V P -ABCD =13⋅S ABCD ⋅PE =13×2x 2×3x =363，解得x =3．设四棱锥外接球的半径为R ，O 1为正方形ABCD 中心，O 2为等边三角形PAB 中心，O 为四棱锥P -ABCD 外接球球心，则易知OO 2EO 1为矩形，则OO 2=EO 1=12AD =x =3，PO 2=23PE =23⋅33=23，R =OP =OO 22+PO 22=9+12=21，∴外接球体积V =43π×(21)3=2821π．故答案为：2821π．例4.已知四面体ABCD 中，△ABD 和△BDC 是等边三角形，二面角A -BD -C 为直二面角.若AB =43，则四面体ABCD 外接球的表面积为__________________.【答案】80π【详解】如图所示：设O 1为△BCD 的中心，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，则OO 1⊥平面BDC ．设M 为线段BD 的中点，外接球的半径为R ，连接AM ,CM ,OA ，过O 作OG ⊥AM 于点G ，易知G 为△ABD 的中心，则OO 1=OG =MO 1=MG ，因为MA =32×43=6，故MG =OG =13×6=2,GA =4，在Rt △AGO 中，GA 2+GO 2=OA 2，故22+42=R 2，则R =25．所以外接球的表面积为S =4πR 2=80π，故答案为：80π.例5.已知在三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ,△BCD 和△ABD 均是边长为23的正三角形，则该三棱锥的外接球体积为___________.【答案】2053π【详解】依题意，平面ABD ⊥平面BCD ,△BCD 和△ABD 均是边长为23的正三角形，设G 是BD 的中点，则AG ⊥BD ,CG ⊥BD ，由于平面ABD ⊥平面BCD 且交线为BD ，所以AG ⊥平面BCD ，CG ⊥平面ABD .设E ,F 分别是等边三角形ABD 和等边三角形BCD 的中心，则AE =CF =2GE =2GF =23CG =23×3=2,设O 是三棱锥A -BCD 外接球的球心，则OE ⊥平面ABD ，OF ⊥平面BCD .所以外接球的半径R =OF 2+CF 2=12+22=5，所以外接球的体积为4π3×5 3=2053π.故选：2053π模型七:折叠模型使用范围:两个全等三角形或等腰三角形拼在一起,或菱形折叠.推导过程:两个全等的三角形或者等腰拼在一起,或者菱形折叠,设折叠的二面角∠A EC =α,CE =A E =h .如图,作左图的二面角剖面图如右图:H 1和H 2分别为△BCD ,△A BD 外心,CH 1=r =BD2sin∠BCD,EH1=h-r,OH1=(h-r)tan α2故R2=OC2=OH21+CH21=r2+(h-r)2tan2α2.公式:R2=r2+(h-r)2tan2α2例1.已知菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=3,对角线AC与BD的交点为O,把菱形ABCD沿对角线BD折起, 使得∠AOC=90°,则折得的几何体的外接球的表面积为()A.15πB.15π2C.7π2D.7π【答案】A【解析】菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=3,三角形ABD的外接圆的半径为r=32sin60°=3,高h=332,对角线AC与BD的交点为O,使得α=∠AOC=90°,则折得的几何体的外接球的半径为:R=(3)2+332-32tan245°=152,外接球的表面积为S=4π152 2=15π, 故选 A.例2.在三棱雉P-ABC中,PA=PB=AC=BC=2,AB=23,PC=1,则三棱雉P-ABC的外接球的表面积为()A.4π3B.4πC.12πD.52π3【答案】D【解析】取AB中点D,因为PA=PB=AC=BC=2,所以PD=CD=1,又 PD⊥AB,CD⊥AB,则面PDC⊥面ABC,设△ABC的外心为O1,外接圆半径为r,三棱锥P-ABC的外接球的球心为O,则OO1⊥面ABC,∠ACB=120°,由r=AB2sin120°=2,h=1,设∠PDC=α=60°(二面角平面角),外接球的半径为 R,R=r2+(h-r)2tan2α2=(2)2+(1-2)2tan230°=133,所以三棱雉P-ABC的外接球的表面积为4πR2=52π3,故选 D.例3.在边长为23的菱形ABCD中,∠BAD=60°,沿对角线AC折成二面角B-AC-D为120°的四面体ABCD,则此四面体的外接球表面积为________.【答案】84π【解析】如图所示, 典型的全等等腰三角形共底边:ED=h=3,O2D=r=23,∠BED=α=120°,可根据几何性质知道 ∠O 2EO =60°,OO 2=EO 2tan60°=3,R =OO 22+DO 22=(3)2+(23)2=21,或者可以通过公式R =r 2+(h -r )2tan 2α2=(23)2+(3-23)2tan 260°=21,S =4πR 2=84π.模型八:已知球心或球半径模型例1.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S -ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________.【答案】36π【解析】如图, 连接AO ,OB ,∵SC 为球O 的直径,∴点O 为SC 的中点, ∵SA =AC ,SB =BC ,∴AO ⊥SC ,BO ⊥SC ,∵平面SCA ⊥平面SCB , 平面SCA ∩平面SCB =SC ,∴AO ⊥平面SCB , 设球O 的半径为R ,则OA =OB =R ,SC =2R .∴V S ⋅ABC =V A -SBC =13×S △SBC ×AO =13×12×SC ×OB ×AO , 即9=13×12×2R ×R ×R , 解得R =3,∴球O 的表面积为S =4πR 2=4π×32=36π.例2.已知三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的球面上,AB 为球O 的直径,若该三棱雉的体积为3,BC =3,BD =3,∠CBD =90°, 则球O 的体积为________.【答案】32π3【解析】设A 到平面BCD 的距离为h∵三棱锥的体积为3,BC =3,BD =3,∠CBD =90°∴13×12×3×3×h =3,∴h =2,∴球心O 到平面BCD 的距离为1.设CD 的中点为E ,连接OE ,则由球的截面性质可得OE ⊥平面CBD ,∵△BCD 外接圆的直径CD =23,∴球O 的半径OD =2,∴球O 的体积为32π3.例3.已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形, SC 为球O的直径, 且SC =2,则此棱锥的体积为()A.26B.36C.23D.22【答案】A【解析】由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底面都是△ABC ,O 是SC 的中点, 因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍,所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍.在三棱锥O -ABC 中,其棱长都是1,S △ABC =34×AB 2=34, 高OD =12-332=63,∴V S -ABC =2V O -ABC =2×13×34×63=26. 故选 A .例4.三棱锥S -ABC 的底面各棱长均为3 , 其外接球半径为2 , 则三棱锥S -ABC 的体积最大时,点S 到平面ABC 的距离为()A.2+3B.2-3C.3D.2【答案】C【解析】如图, 设三棱锥S -ABC 底面三角形ABC 的外心为G , 三棱锥外接球的球心为O , 要使三棱锥 S -ABC 的体积最大, 则O 在SG 上,由底面三角形的边长为3,可得AG =32sin60°=3.连接OA ,在 Rt △OGA 中,由勾股定理求得OG =OA 2-GA 2=22-(3)2=1.∴点S 到平面ABC 的距离为 OS +OG =2+1=3. 故选 C .模型九:最值模型最值问题的解法有两种方法:一种是几何法,即在运动变化过䅣中得到最值,从而转化为定值问题求解.另一种是代数方法,即建立目标函数,从而求目标函数的最值.例1.在边长为6的菱形ABCD 中，∠A =π3，现将△ABD 沿BD 折起，当三棱锥A -BCD 的体积最大时，三棱锥A -BCD 的外接球的表面积为( )A.60πB.30πC.70πD.50π【答案】A 【分析】当三棱锥A -BCD 的体积最大值时，平面ABD ⊥平面BCD ，即可求出外接圆的半径，从而求出面积.【详解】当三棱锥A -BCD 的体积最大值时，平面ABD ⊥平面BCD ，如图，取BD 的中点为H ，连接AH ,CH ，则AH ⊥BD .设O 1,O 2分别为△ABD ，△BCD 外接圆的圆心，O 为三棱锥A -BCD 的外接球的球心，则O 1在AH 上，O 2在CH 上，且AO 1=2O 1H =23AH =23,且O 2H ⊥BD ,OO 1⊥平面ABD ，OO 2⊥平面BCD .∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD =BD ，AH ⊂平面ABDAH ⊥平面ABD ，AH ⎳O 2O ，同理CH ⎳O 1O ∴四边形O 1OO 2H 为平行四边形∵AH ⊥平面BCD ，O 2H ⊂平面BCD ∴AH ⊥O 2H ，即四边形O 1OO 2H 为矩形.∴OO 2=O 1H =3CO 2=23×32×6=23∴外接球半径R =OO 22+CO 22=3+12=15∴外接球的表面积为4πR 2=60π故选：A .例2.在四棱锥S -ABCD 中，侧面SAD ⊥底面ABCD ，且SA =SD ，∠ASD =90°，底面ABCD 是边长为2的正方形，设P 为该四棱锥外接球表面上的动点，则三棱锥P -SAD 的最大体积为( )A.1+2B.2+223C.2+23D.1+23【答案】D 【详解】连接AC ,BD 交于点O ，取AD 中点为M ，连接SM ,OS ，作图如下：因为AS =DS ,∠ASD =90°，又M 为AD 的中点，故M 为Rt △SAD 的外心，又平面SAD ⊥平面ABCD ，且面SAD ∩面ABCD =AD ，又OM ⊥AD ,OM ⊂面ABCD ，故可得OM ⊥面SAD ，故OA =OS =OD ；又四边形ABCD 为正方形，且O 为对角线交点，故可得OA =OB =OC =OD ，综上所述，OA =OB =OC =OD =OS ，故O 为四棱锥S -ABCD 的外接球的球心.则其外接球半径R =OD =12BD =2.又P 为该四棱锥外接球表面上的动点，若使得三棱锥P -SAD 的体积最大，则此时点P 到平面SAD 的距离h =OM +R =1+2，故其体积的最大值V =13S △SAD ×h =13×12×AD ×SM ×1+2 =13×12×2×1×1+2 =1+23.故选：D .例3.已知P ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，平面PAB ⊥平面ABCD ，ABCD 是边长为2的正方形，∠APB =60°，当四棱锥P -ABCD 的体积最大时，该球的半径为______．【答案】213【分析】先求出四棱锥P -ABCD 的体积最大时，△PAB 为等边三角形，再找出外接球的球心，通过勾股定理即可求得半径.【详解】如图，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD =AB ，∴PQ ⊥平面ABCD ，V P -ABCD =13⋅PQ ⋅S ABCD ，故四棱锥P -ABCD 的体积最大，即PQ 最大，∵AB =2，PQ 最大，即△PAB 面积最大，由∠APB =60°,S △PAB =12⋅PA ⋅PB ⋅sin ∠APB =34⋅PA ⋅PB ，得cos ∠APB =AP 2+BP 2-42AP ⋅BP=12，AP 2+BP 2=AP ⋅BP +4≥2AP ⋅BP ，得AP ⋅BP ≤4，当且仅当AP =BP =2时取等号，此时△PAB 面积最大，△PAB 为等边三角形.取△PAB 的外心为O 1，正方形ABCD 的外心为O 2，过O 1,O 2分别作所在平面的垂线，交点为O ，O 即为四棱锥P -ABCD 外接球的球心，四边形OO 2QO 1为矩形，OO 1=O 2Q =1 ，PO 1=23PQ =233，设外接球半径为R ，则R =12+2332=213.故答案为：213.例4.A ，B ，C ，D 四点均在同一球面上，∠BAC =120∘，△BCD 是边长为2的等边三角形，则△ABC 面积的最大值为__________，四面体ABCD 体积最大时球的表面积为___________．【答案】 33 20π3【分析】①由于S △ABC =12AB ⋅AC sin ∠BAC =34AB ⋅AC ，求△ABC 面积的最大值即是求AB ⋅AC 的最大值，利用余弦定理结合重要不等式即可求解②当面ABC⊥面BCD时四面体的体积最大，确定出球心后计算出球的半径即可求解【详解】①因为∠BAC=120∘所以S△ABC=12AB⋅AC sin∠BAC=34AB⋅AC又BC2=AB2+AC2-2AB⋅AC⋅cos120∘即4=AB2+AC2+AB⋅AC≥2AB⋅AC+AB⋅AC=3AB⋅AC所以AB⋅AC≤4 3所以S△ABC=34AB⋅AC≤34×43=33即△ABC面积的最大值为3 3②过A作AH⊥BC，垂足为H, S△ABC=12AH⋅BC=AH则△ABC面积的最大时，AH最大，AH的最大值为3 3，此时△ABC为等腰三角形，H为BC中点S△BCD=12×2×2×32=3，V A-BCD=13S△BCD⋅h=33h则当AH⊥平面BCD时, h最大，此时面ABC⊥面BCD如图,设O为四面体ABCD 外接球的球心, O1，O2分别为△ABC，△BCD的外接圆的圆心. OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面BCD,在△ABC中BCsin∠BAC=433=2O2A⇒O2A=33DO1=23DH=23×32×2=233OO1=O2H=O2A-AH=33∴四面体ABCD外接球的半径R=OO21+O1D2=53外接球的表面积为4πR2=20π3模型十:内切球模型以三棱雉P-ABC为例, 求其内切球OE的半径推导过程:等体积法,三棱雉P-ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱雉的体积之和.第一步:先求出四个表面的面积和整个雉体体积;第二步:设内切球的半径为r ,球心为O ,建立等式:V P -ABC =V O -ABC +V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC ⇒V P -ABC =13S △ABC ⋅r +13S △PAB ⋅r +13S △PAC ⋅r +13S △PBC ⋅r =13S△ABC+S △PAB +S △PAC +S △PBC ⋅r 第三步:解出r =3V P -ABC S O -ABC +S O -PAB +S O -PAC +S O -PBC =3VS 表.公式:r =3VS 表例1.已知点O 到直三棱柱ABC -A 1B 1C 1各面的距离都相等，球O 是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的内切球，若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥A 1-ABC 的体积为( )A.43B.163C.833D.1633【答案】B 【详解】解：设直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为h ，AB =c ，BC =a ，AC =b ，内切球O 的半径为r ，则h =2r ，由题意可知球O 的表面积为16π=4πr 2，解得r =2，∴h =4，又△ABC 的周长为4，即a +b +c =4，∴连接OA ，OB ，OC ，OA 1,OB 1,OC 1可将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，∴由体积相等可得直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为S △ABC h =13ahr +13bhr +13chr +2×13S △ABC r ，即4S △ABC =13(a +b +c )hr +43S △ABC ，∴S △ABC =4，∴三棱锥A 1-ABC 的体积为13S △ABC h =13×4×4=163．故选：B ．例2.在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =CD =1，BC ⊥CD ，则鳖臑ABCD 内切球的表面积为( )。

高中数学I夕卜接球与内切球解题方法，8大模型空间几何体的外接球与内切球-、有关定义1.球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。

2.外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

3.内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

二、外接球的有关知识与方法1.性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3:长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。