数值计算课后答案4
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习 题 四 解 答
1、设010,1xx，写出()xfxe的一次插值多项式1()Lx，并估计插值误差。
解：根据已知条件，有
x 0 1
y 1 1e
设插值函数为1()Lxaxb，由插值条件，建立线性方程组为
1011ababe
解之得111aeb
则11()(1)1Lxex
因为(),()xxyxeyxe
所以，插值余项为
(1)(2)(2)011()()()()()(1)!1()()2!1()()()2!1(0)(1)((0,1))2nrxfxpxfxnfxfxxxxexx
所以
010101()maxmax(1)2111248xrxexxe。
2、给定函数表
ix
()ifx
选用合适的三次插值多项式来近似计算f和f。
解：设三次插值多项式为230123()fxaaxaxax，由插值条件，建立方程组为 230123230123230123230123(0.1)(0.1)(0.1)0.9950.30.30.30.9950.70.70.70.7651.11.11.10.454aaaaaaaaaaaaaaaa
即
012301230123123012312301230.10.010.0010.9950.10.010.0010.9950.30.090.0270.9950.40.080.02800.70.490.3430.7650.80.480.3441.761.11.211.3310.454aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa12301231232330.40.720.9880.3110.10.010.0010.9950.40.080.02800.320.2881.760.3843.831aaaaaaaaaaaaa
解之得
01230.416.293.489.98aaaa
则所求的三次多项式为23()0.416.293.489.98fxxxx。
所以
2323(0.2)0.416.290.23.480.29.980.20.91(0.8)0.416.290.83.480.89.980.81.74ff
3、设(0,1,2,,)ixin是 n+1个互异节点，证明：
（1）0()(0,1,2,,)nkkiiixlxxkn；
（2）0()()0(0,1,2,,)nkiiixxlxkn。
证明： （1）由拉格朗日插值定理，以x0,x1,x2,…xn为插值节点，对y=f(x)=xk作n次插值，插值多项式为
0()()nniiipxlxy，
而yi=xik,
所以00()()()nnkniiiiiipxlxylxx
同时，插值余项
(1)(1)11()()()()()()0(1)!(1)!nknknrxxpxfxxxnn 所以0()nkkiiilxxx
结论得证。
（2）取函数()(),0,1,2,,kfxxtkn
对此函数取节点(0,1,2,,)ixin，则对应的插值多项式为
0()()()nkniiipxxtlx，
由余项公式，得
(1)(1)011()()()()()()()()0(1)!(1)!nnkknkiiirxxtxtlxfxxtxnn所以
0()()()nkkiiixtxtlx
令t=x，
0()()0nkiiixxlx
4、给定数据（()fxx）
x
f(x)
(1)试用线性插值计算f的近似值，并估计误差；
(2)试用二次Newton插值多项式计算f的近似值，并估计误差。
解：用线性插值计算f，取插值节点为和，则相应的线性插值多项式是
1.549191.48320()1.48320(2.2)2.42.21.483200.32995(2.2)pxxx
用x=代入，得
(2.3)1.483200.32995(2.32.2)1.450205f
(2) 作差商表如下
x f(x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商
根据定理2， f(x)＝f(x0)＋f[x0，x1](x-x0)+f[x0，x1，x2](x-x0)(x-x1)+…
+f[x0，x1，…，xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn－1)
+f[x0，x1，…，xn，x]π(x) 。
以表中的上方一斜行中的数为系数，得
f＝＋ × × ×
＝
指出：
误差未讨论。
5、给定函数表
x 0 1 2 4 5
y 0 16 46 88 0
试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式和插值余项。
解：作差商表如下
x f(x) 一阶差商
二阶差商 三阶差商 四阶差商
0 0
16
1 16 7
30 52
2 46 －3 76
21 253
4 88 1093
－88
5 0
根据定理2，以表中的上方一斜行中的数为系数，得
57()0167(1)(1)(2)(1)(2)(4)26pxxxxxxxxxxx。
指出：
余项未讨论。
5*、给定函数表
x 0 1 2 3 4 y 0 16 46 88 0
试求各阶差分，并求等距节点插值。
解：由已知条件，显然，x0=0，h=1，x=t。
作差分如下
x f(x)
一阶差分
二阶差分 三阶差分 四阶差分
0 0
16
1 16 14
30 －2
2 46 12 －140
42 －142
4 88 －130
－88
5 0
根据等距节点插值公式，
0(1)(1)(2)(1)(2)(3)()()01614(2)(140)2!3!4!(1)(2)35167(1)(1)(2)(3)36nntttttttttpxthptttttttttttt指出:
在本题这种情况下,实际上()()nnptpx，也就是说,在这样的条件下,t的多项式就是x的多项式，可以直接转换。
一般情况下，把t的关系转换为x的关系需要根据x=x0+th，将t用x表示，即将0xxth代入得到的多项式。
6、给定数据表
x
f(x)
试用三次牛顿差分插值公式计算f及f。
解：所给节点是等距结点：
000.125,0.125,,0,1,2,3,4,5ixhxxihi。
计算差分得 x
f(x) 一阶差分 二阶差分 三阶差分 四阶差分 五阶差分
0．125 0．79618
0．250 0．77334
0．375 0．74371
0．500 0．70413
0．625 0．65632
0．750 0．60228
令00()xxxxthth,根据等距结点插值公式，得
0(1)()()0.79618(0.02284)(0.00679)2!(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(0.00316)0.00488(0.00460)3!4!5!nnttpxthptttttttttttttt则
(0.1581)(0.1581)(0.1250.2648)0.790294822,(0.636)(0.6363)(0.1254.088)0.651804826nnnnfpphfpph。
7、设f(x)在[-4,4]有连续的4阶导数，且
(1)1,(0)2,(0)0,(3)1,(3)1fffff
(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足
(1)(1)1,(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1pfpfpfpfpf (2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。
解：
(1)由7*可以求出满足
(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1pfpfpfpf
的三次埃尔米特插值多项式
3252()2273Hxxx。
设22322252()()(3)2(3)273pxHxaxxxxaxx，则p(x)满足
(0)(0)2,(0)(0)0,(3)(3)1,(3)(3)1pfpfpfpf， 由(1)1f得
3222521(1)(1)2(13)(1)1273108aa，
所以
223222432521()()(3)2(3)27310811332108544pxHxaxxxxxxxxx。
(2)余项具有如下结构
22()()()()(1)(3)rxfxpxkxxxx
作辅助函数
22()()()()(1)(3)tftptkxttt
则显然()t在点,1,0,3x处有6个零点（其中0，3是二重零点），即
()0,(1)0,(0)0,(0)0,(3)0,(3)0x，
不妨假设(1,0)x。
由罗尔定理，存在123(1,),(,0),(0,3)xx，
使得123()0,()0,()0，
再注意到(0)0,(3)0，即()t有5个互异的零点12303
再次由罗尔定理得，存在111223343(,),(,0),(0,),(,3)，
使得1234()0,()0,()0,()0
第三次应用罗尔定理得，存在112223334(,),(,),(,)
使得123()0,()0,()0，
第四次应用罗尔定理得，存在112223(,),(,)
使得(4)(4)12()0,()0，
第五次应用罗尔定理得，存在12(,)
使得(5)()0
注意到
(5)(5)(5)()()5!()()5!()trtkxftkx
