数值计算课后习题答案(全)
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1 习 题 一 解 答
1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:
e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：
3()0.0016()0.51103.14rexexx
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…
所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022
所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:
e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：
2()0.0085()0.27103.15rexexx
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…
所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022
所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:
22()3.141592653.1428571430.0012644930.00137ex
相对误差：
3()0.0013()0.4110227rexexx
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，
223.1428571430.3142857143107，m=1。
2 而223.141592653.1428571430.0012644937
所以
2213223.141592653.1428571430.0012644930.0057110.510101022
所以，227作为π的近似值有3个有效数字。
（4）绝对误差:
355()3.141592653.141592920.00000027050.000000271113ex相对误差：
7()0.000000271()0.86310355113rexexx
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，
3553.141592920.31415929210113，m=1。
而3553.141592653.141592920.0000002705113
所以
66173553.141592653.141592920.00000027050.0000005113110.510101022
所以，355113作为π的近似值有7个有效数字。
2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。
346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300
分析：本题实际上指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义，相关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单，直接写出就可以，不需要也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）
解：346．7854≈346．79，
7．000009≈7．0000，
0．0001324580≈0．00013246，
0．600300≈0．60030。
指出：
3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
12340.0315,0.3015,31.50,5000xxxx。
3 分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。
解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是
1234()0.00005,()0.00005,()0.005,()0.5xxxx
由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是
111222333444()0.00005()0.16%,0.0315()0.00005()0.02%,0.3015()0.005()0.002%,31.5()0.5()0.01%.5000xxxxxxxxxxxx
有效数字分别有3位、4位、4位、4位。
4.计算10的近似值，使其相对误差不超过0.1％。
解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1％，则
111100.1%2na，
而3104，显然13a，此时，
1111110100.1%223nna，
即13110106n，
也即461010n
所以，n=4。
此时，103.162。
5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对31120.14281100.31415910xx与，试求它们的机器浮点数()(1,2)iflxi及其相对误差。
解：
3333111111112222()0.142810,(())()0.14281100.1428100.0000110,()0.314210,(())()0.31415910(0.314210)0.0004110flxeflxxflxflxeflxxflx其相对误差分别是
3112310.00001100.000041100.007%,0.013%0.1428100.314210ee。
4 6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110xyz，试按(),()xyzxyz两种算法计算xyz的值，并将结果与精确结果比较。
解：
422222222(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00000023100.3367842910)0.33677811100.33678452100.33677811100.0000064110flxyz
42242222(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.23371258100.00000618100.00000023100.00000618100.0000064110flxyz
精确计算得：
4222222220.23371258100.33678429100.3367781110(0.00000023371258100.3367842910)0.33677811100.33678452371258100.33677811100.000064137125810xyz
第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。
***
在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110xyz，试按(),()xyzxyz两种算法计算xyz的值，并将结果与精确结果比较。
解：
42222222222(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00233713100.3367842910)0.33677811100.33912142100.33677811100.00003391100.33677811100.336744210flxyz
5 42242242222(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.2337125810(0.00003368100.3367781110)0.23371258100.33674742100.00000023100.33674742100.3367471910flxyz
第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。
精确计算得：
42220.23371258100.33678429100.33677811100.0000233712580.003367842933.6778110.00339121415833.67781133.6744197858420.3367441978584210xyz
显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。
7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算
10.40.30.20.040.030.020.01
试比较所得结果。
解：从左到右计算得10.40.30.20.040.030.020.010.1100.04100.03100.02100.00100.00100.00100.00100.19101.9
从右到左计算得
111110.40.30.20.040.030.020.010.010.020.030.040.20.30.410.1100.2100.3100.4100.20.30.410.10.20.30.410.11010.1100.1100.2102
从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。
8、对于有效数1233.105,0.001,0.100xxx，估计下列算式的相对误差限
21123212333,,xyxxxyxxxyx
