第六章 6.3.2~6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示

第六章平面向量及其应用6.3.3平面向量加、减运算坐标表示一、基础巩固等于 【详解】因为12AB AD AD DE AE +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，6．已知(5,4)a =r ，(3,2)b =r ，则与23a b -r r 平行的单位向量为( )A ．525,55æöç÷ç÷èøB ．525,55æöç÷ç÷èø或525,55æö--ç÷ç÷èøC ．(1,2)或(1,2)--D ．(1,2)【答案】B【详解】解：∵(5,4)a =r ，(3,2)b =r ，23(1,2)a b \-=r r ，22|23|125a b \-=+=r r ，则与23a b -r r 平行的单位向量为15(23)(1,2)5|23|a b a b ±×-=±-r r r r ，化简得，525,55æöç÷ç÷èø或525,55æö--ç÷ç÷èø．7．在矩形ABCD 中， 5AB =，3BC =，P 为矩形内一点，且52AP =，若(),AP AB AD R l m l m =+Îuuu r uuu r uuu r ，则53l m +的最大值为（ ）A ．52B ．102C ．334+D ．6324+【答案】B【详解】由题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()5,0B ，()0,3D ，设(),P x y ，则(),AP x y =uuu r ，()5,3AB AD l m l m +=uuu r uuu r ，8．已知点P 分12PP uuuu v 的比为23-，设A ．2-B ．3(7,8)，u u u r解得432x y ì=ïíï=î，所以4,23P æöç÷èø，当点P 靠近点2P 时，122PPPP =uuu r uuur ，则()()24124x x y y ì=-ïí-=-ïî，解得833x y ì=ïíï=î，所以8,33P æöç÷èø，11．（多选）已知向量1(1,2)e =-u r ，2(2,1)e =u u r ，若向量1122a e e l l =+r u r u u r ，则可使120l l <成立的a r 可能是 （ ）A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(−1,0)D ．(0,−1)【答案】AC【详解】11221212=(2,2)a e e l l l l l l =+-++r u r u u r 若(1,0)a =r ,则12122120l l l l -+=ìí+=î,解得1212,55l l =-=,120l l <,满足题意;若(0,1)a =r ,则12122021l l l l -+=ìí+=î,解得1221,55l l ==,120l l >,不满足题意;因为向量(1,0)-与向量(1,0)共线,所以向量(1,0)-也满足题意.12．（多选）已知向量(,3)a x =v ，(3,)b x =-v ，则下列叙述中，不正确是（ ）A ．存在实数x ，使a bv v P B ．存在实数x ，使()a b a +v v P v C ．存在实数x ，m ，使()ma b a+v P v v D ．存在实数x ，m ，使()ma b b +v P vv 【答案】ABC【详解】由a b r r P ，得29x =-，无实数解，故A 中叙述错误；(3,3)a b x x +=-+r r ，由()a b a +r r r ∥，得3(3)(3)0x x x --+=，即29x =-，无实数解，故B 中叙述错误；(3,3)ma b mx m x +=-+r r ，由()ma b a +r r r ∥，得(3)3(3)0m x x mx +--=，即29x =-，无实数解，故心中叙述错误；由()ma b b +r r r ∥，得3(3)(3)0m x x mx -+--=，即()290m x +=，所以0m =，x ÎR ，故D 中叙述正确．二、拓展提升13．如图，已知ABCD Y 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是(2,1)-，(1,3)-，(3,4)，求顶点D 的坐标．【答案】(2,2)【详解】解：设顶点D 的坐标为(,)x y ．(2,1)A -Q ，(1,3)B -，(3,4)C ，(1(2),31)(1,2)AB \=----=uuu r ，(3,4)DC x y =--uuu r ，又AB DC =uuu r uuur，所以(1,2)(3,4)x y =--．即13,24,x y =-ìí=-î解得2,2.x y =ìí=î所以顶点D 的坐标为(2,2)．由平行线分线段成比例得：1234h MB h AB ==，1122132142MNC ABC h NC S h NC NC S h BC BC h BC D D ´´==×=×´´89NC BC \=，89NC BC \=uuu r uuu r ，8（1）求点B，点C的坐标；（2）求四边形OABC的面积.【答案】（1）533,,,222 B Cæöæç÷çç÷çèøè。

6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示考点学习目标核心素养平面向量的坐标表示理解向量正交分解以及坐标表示的意义数学抽象、直观想象平面向量加、减运算的坐标表示掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则数学运算平面向量数乘运算的坐标表示理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题数学运算、逻辑推理第1课时平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示问题导学预习教材P27－P33的内容，思考以下问题：1．怎样分解一个向量才为正交分解？2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？4．若a＝(x，y)，则λa的坐标是什么？1．平面向量坐标的相关概念■名师点拨(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．2．平面向量的坐标运算(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，λ∈R ，则 ①a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ②a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)； ③λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． ■名师点拨(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)已知向量AB →的起点A (x 1，y 1)，终点B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点的坐标与向量的坐标相同．( ) (2)零向量的坐标是(0，0)．( )(3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√已知A (3，1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(1，2) D ．(－1，－2)答案：C如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴正方向上的单位向量，且A (2，3)，B (4，2)，则AB →可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j 答案：C设i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，a ＝3i ＋4j ，b ＝－i ＋j ，则a ＋b 与a －b 的坐标分别为____________．答案：(2，5)，(4，3)平面向量的坐标表示已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．【解】 (1)设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，所以OA →＝(23，6)． (2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．1.在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，则a 的坐标为________，b 的坐标为________．解析：设点A (x ，y )，B (x 0，y 0)，因为|a |＝2，且∠AOx ＝45°，所以x ＝2cos 45°＝2，y ＝2sin 45°＝ 2.又|b |＝3，∠xOB ＝90°＋30°＝120°，所以x 0＝3cos 120°＝－32，y 0＝3sin 120°＝332，故a ＝OA →＝(2，2)，b ＝OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332.答案：(2，2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3322．已知长方形ABCD 的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，试求AC →和BD →的坐标．解：由题图知，CB ⊥x 轴，CD ⊥y 轴， 因为AB ＝4，AD ＝3，所以AC →＝4i ＋3j ， 所以AC →＝(4，3)．因为BD →＝BA →＋AD →＝－AB →＋AD →，所以BD →＝－4i ＋3j ，所以BD →＝(－4，3)．平面向量的坐标运算(1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，若c 满足3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23，12) C ．(7，0)D ．(－7，0)(2)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3 CA →，CN →＝2 CB →，求点M ，N 的坐标．【解】 (1)选A.因为a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，且c 满足3a －2b ＋c ＝0，所以c ＝2b －3a ＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．(2)法一：因为A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)， CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)．因为CM →＝3 CA →，CN →＝2 CB →，所以CM →＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2(6，3)＝(12，6)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3＝3，y 1＋4＝24，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3＝12，y 2＋4＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝20，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝2.所以M (0，20)，N (9，2)．法二：设O 为坐标原点，则由CM →＝3 CA →，CN →＝2 CB →， 可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)， 所以OM →＝3 OA →－2 OC →，ON →＝2 OB →－OC →. 所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)， ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)．所以M (0，20)，N (9，2)．平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．1．已知A ，B ，C 的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则AB →＋2BC →＝____________，BC →－12AC →＝____________．解析：因为A (2，－4)，B (0，6)，C (－8，10)， 所以AB →＝(－2，10)，BC →＝(－8，4)，AC →＝(－10，14)， 所以AB →＋2BC →＝(－18，18)，BC →－12AC →＝(－3，－3)．答案：(－18，18) (－3，－3)2．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析：由题意得m a ＋n b ＝(2m ，m )＋(n ，－2n )＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝－3. 答案：－3向量坐标运算的综合应用已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，及OP →＝OA →＋tAB →. (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 【解】 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )．若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.(2)OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能为平行四边形．[变问法]若保持本例条件不变，问t 为何值时，B 为线段AP 的中点？ 解：由OP →＝OA →＋tAB →，得AP →＝tAB →.所以当t ＝2时，AP →＝2AB →，B 为线段AP 的中点．向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．1．已知在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (5，0)，D (2，4)，对角线AC ，BD 交于点M ，则DM →的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2 解析：选A.DM →＝12DB →＝12[(5，0)－(2，4)]＝12(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2.2．已知在非平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，且A ，B ，D 三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是________．解析：当ABCD 为平行四边形时，则AC →＝AB →＋AD →＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，故满足题意的顶点C 的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．答案：(1，3)∪(3，＋∞)1．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a －b ＝( ) A ．(5，7) B ．(5，9) C ．(3，7) D ．(3，9) 答案：A2．已知A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝________． 解析：因为AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，BD →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，又2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＝－1，2y －6＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4，所以x ＋y ＝112.答案：1123．已知点B (1，0)是向量a 的终点，向量b ，c 均以原点O 为起点，且b ＝(－3，4)，c ＝(－1，1)与a 的关系为a ＝3b －2c ，求向量a 的起点坐标．解：a ＝3b －2c ＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－7，10)， 设a 的起点为A (x ，y )， 则a ＝AB →＝(1－x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－7，－y ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10，所以A (8，－10)．即a 的起点坐标为(8，－10)．[A 基础达标]1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7，6)C ．(5，0)D ．(11，8)解析：选D.因为OA →＝(4，2)，OB →＝(3，4)， 所以2OA →＋OB →＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．2．设向量a ＝(1，2)，b ＝(－3，5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( )A ．－112B.112 C ．－292D.292解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2，x λ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，所以λ＋x ＝－292，故选C.3．已知MA →＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →等于( )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)解析：选D.12AB →＝12(MB →－MA →)＝12(2，6)－12(－2，4)＝(2，1)．4．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3，2)D ．(1，3)解析：选A.设点D (m ，n )，则由题意得(4，3)＝2(m ，n －2)＝(2m ，2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72，故选A.5．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A.15B.13C.25D.23解析： 选C.如图所示，因为∠AOC ＝45°， 所以设C (x ，－x )， 则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3，0)，B (0，2)， 所以λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ－x ＝2－2λ⇒λ＝25.6．已知点A (－1，－5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为________． 解析：设O 为坐标原点，因为OA →＝(－1，－5)，AB →＝3a ＝(6，9)，故OB →＝OA →＋AB →＝(5，4)，故点B 的坐标为(5，4)．答案：(5，4)7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，c ＝(4，1)，若用a 和b 表示c ，则c ＝________． 解析：设c ＝x a ＋y b ，则(x ，2x )＋(－2y ，3y )＝(x －2y ，2x ＋3y )＝(4，1)．故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝4，2x ＋3y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 所以c ＝2a －b . 答案：2a －b8．已知A (－1，2)，B (2，8)．若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，则CD →的坐标为________．解析：AC →＝13AB →＝13(3，6)＝(1，2)，DA →＝－23AB →＝－23(3，6)＝(－2，－4)，DC →＝DA →＋AC →＝(－1，－2)， 所以CD →＝(1，2)． 答案：(1，2)9．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.10．已知向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，因为AB →＝(4，3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1， 所以B (3，1)．同理可得D (－4，－3)，设BD 的中点M (x 2，y 2)，则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1. 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. (2)由PB →＝(3，1)－(2，y )＝(1，1－y )，BD →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，又PB →＝λBD →(λ∈R )，所以(1，1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.[B 能力提升]11．对于向量m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，定义mn ＝(x 1x 2，y 1y 2)．已知a ＝(2，－4)，且a ＋b ＝a b ，那么向量b 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45B.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－45 C.⎝⎛⎭⎪⎫2，－45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，45 解析：选A.设b ＝(x ，y )，由新定义及a ＋b ＝a b ，可得(2＋x ，y －4)＝(2x ，－4y )，所以2＋x ＝2x ，y －4＝－4y ，解得x ＝2，y ＝45，所以向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45. 12．已知A (－3，0)，B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC＝π4，设OC →＝λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ＝______．解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →，即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23. 答案：2313．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →＝________．解析：PQ →－PA →＝AQ →＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q 是AC 的中点，所以AQ →＝QC →，所以PC →＝PQ →＋QC →＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP →＝2PC →，所以BC →＝BP →＋PC →＝3PC →＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)14．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a |＝2，所以a ＝(2，0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－32， y 1＝|b |sin 150°＝1×12＝12，所以b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.同理可得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332. 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ1(2，0)＋λ2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 ＝(2λ1－32λ2，12λ2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，解得⎩⎨⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3. 所以c ＝－3a －33b .[C 拓展探究]15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)．(1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求OP →的坐标；(2)若OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，试求m －n 的值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，因为PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x ，1－y )＋(2－x ，3－y )＋(3－x ，2－y )＝(6－3x ，6－3y )． 所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 所以点P 的坐标为(2，2)，故OP →＝(2，2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为A (1，1)，B (2，3)，C (3，2)．所以AB →＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，AC →＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，因为OP →＝mAB →＋nAC →，所以(x 0，y 0)＝m (1，2)＋n (2，1)＝(m ＋2n ，2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ， 两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，所以y 0－x 0＝1，所以m －n ＝1.。

2020-2021学年高一数学必修二第6章《平面向量及其应用》6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.知识点一平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.知识点二平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).思考点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？答案区别表示形式不同向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同知识点三平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法 a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.1.零向量的坐标是(0,0).( √ )2.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( × )3.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( √ )4.向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化.( × )一、平面向量的坐标表示例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22). ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.反思感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.跟踪训练1 已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________. 答案 (2,0)解析 ∵MN →＝(－3,6)，设N (x ，y )， 则MN →＝ON →－OM →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即N (2,0). 二、平面向量加、减运算的坐标表示例2 已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A.(－7，－4) B.(7,4) C.(－1,4) D.(1,4)答案 A解析 设C (x ，y )，则AC →＝OC →－OA →＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 即x ＝－4，y ＝－2，故C (－4，－2)，则BC →＝OC →－OB →＝(－7，－4). 反思感悟 平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. 跟踪训练2 在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，求BD →的坐标. 解 ∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AD →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5).1.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a 等于( ) A.(－2,1) B.(2，－1) C.(2,0) D.(4,3)答案 B解析 由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1).2.已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量AB →的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－4，12 B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C.(－8,1) D.(8,1) 答案 C解析 AB →＝OB →－OA →＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1). 3.若A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A.(－2，－1) B.(2,1) C.(1,2) D.(－1，－2) 答案 C解析 BA →＝OA →－OB →＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2). 4.若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC →＝________. 答案 (－2，－4)解析 BC →＝BA →＋AC →＝BA →－CA →＝(2,3)－(4,7) ＝(－2，－4).5.若a ＝(－2,2)，b ＝(3，－4)，c ＝(1,5)，则a ＋b ＋c ＝________. 答案 (2,3)解析 a ＋b ＋c ＝(－2＋3＋1,2－4＋5)＝(2,3).1.知识清单：(1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量加、减运算的坐标表示. 2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：已知A ，B 两点求AB →的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标.1.已知M (2,3)，N (3,1)，则NM →的坐标是( ) A.(2，－1) B.(－1,2) C.(－2,1) D.(1，－2)答案 B解析 NM →＝OM →－ON →＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2). 2.已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则a －b 等于( ) A.(1,2) B.(2,0) C.(0,2) D.(2,1) 答案 C解析 a －b ＝(1,1)－(1，－1)＝(0,2).3.已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1,7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为( ) A.(－7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7，－6) 答案 D解析 设D (x ，y )，因为AD →＝BC →， 所以(x －5，y ＋1)＝(2，－5)， 所以x ＝7，y ＝－6. 所以D (7，－6).4.设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →等于( ) A.(1＋m,7＋n ) B.(－1－m ，－7－n ) C.(1－m,7－n )D.(－1＋m ，－7＋n )答案 B解析 DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB → ＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n ).5.已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN →＝MP →，则P 点的坐标为( ) A.(－14,16) B.(22，－11) C.(6,1) D.⎝⎛⎭⎫4，52 答案 D解析 设P (x ，y )，则PN →＝(10－x ，－2－y )， MP →＝(x ＋2，y －7)，∵PN →＝MP →，即⎩⎪⎨⎪⎧10－x ＝x ＋2，－2－y ＝y －7，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝52.6.已知平行四边形OABC ，其中O 为坐标原点，若A (2,1)，B (1,3)，则点C 的坐标为________. 答案 (－1,2)解析 设点C 的坐标为(x ，y )，则由已知得OC →＝AB →， 所以(x ，y )＝(－1,2).7.已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，其中O 为原点，则x ＝________，y ＝________. 答案 －1 －2解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.8.已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则AC →＋BC →的坐标是________. 答案 (－18,18)解析 AC →＋BC →＝(－8－2,10－(－4))＋(－8－0,10－6) ＝(－10,14)＋(－8,4)＝(－18,18).9.在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标.解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， c ＝(c 1，c 2)， 则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2).10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3，2).若P A →＋PB →＋PC →＝0，求OP →的坐标.解 设点P 的坐标为(x ，y )， 因为P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y ).所以⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2,2)，故OP →＝(2,2).11.已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，那么a －b 等于( ) A.(4,0) B.(0,4) C.(3，－6) D.(－3,6) 答案 C解析 ∵a ∥b ，∴设a ＝λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝mλ，－2＝4λ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，m ＝－2，∴b ＝(－2,4)，∴a －b ＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6).12.向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得到向量A ′B ′——→，则A ′B ′——→的坐标形式为( ) A.(10,1) B.(4，－11) C.(7，－5) D.(3,6)答案 C解析 A ′B ′——→与AB →方向相同且长度相等， 故A ′B ′——→＝AB →＝(7，－5).13.已知A ⎝⎛⎭⎫32，72，B (1,4)，且AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 答案 π6或－π2解析 由题意知AB →＝⎝⎛⎭⎫－12，12＝(sin α，cos β)， ∴sin α＝－12，cos β＝12，又∵α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴α＝－π6，β＝π3或－π3，∴α＋β＝π6或－π2.14.将向量a ＝(－23，－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为________. 答案 (23，－2)解析 易知a 与x 轴正半轴的夹角为150°， 逆时针旋转120°得到向量b 在第四象限， 与x 轴正半轴夹角为30°，∴b ＝(23，－2).15.已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3，4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.解 设D (x ，y )，当平行四边形为ABCD 时，由AB →＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )， 且AB →＝DC →，得D (2,2). 当平行四边形为ACDB 时，由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →， 得D (4,6).当平行四边形为ACBD 时，由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →. 得D (－6,0).故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).。

《6.3.3 平面向量的加、减运算的坐标表示》教案【教材分析】本节内容是在学生学习了平面向量的加法、减法、数乘运算以及向量的坐标表示之后的一节新授课，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.【教学目标与核心素养】课程目标1．能准确表述向量的加法、减法的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.数学学科素养1.逻辑推理：求有向线段的向量表示；2.数学运算：两个向量坐标表示的和，差运算；3.数学建模：数形结合，通过将几何问题转化为代数问题求参.【教学重点和难点】重点：平面向量的坐标运算；难点：对平面向量坐标运算的理解.【教学过程】一、情景导入在数的运算中，已经学过平面向量的加、减法，那如果向量用坐标表示，那怎么算向量的加、减法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本29-30页，思考并完成以下问题1、如何由a，b的坐标求a＋b，a－b的坐标？2、一个向量的坐标表示与其有向线段的始点和终点有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．平面向量的坐标运算（1） 若，，则，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. （2） 若，，则一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 注意：1：任意向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关系，只与其相对位置有关。

2：当把坐标原点作为向量的起点，这时向量的坐标就是向量终点的坐标. 四、典例分析、举一反三 题型一 向量的坐标运算例1 已知向量a ，b 的坐标分别是(2,1)，(-3，4)，求a ＋b ，a －b 的坐标． 【答案】a ＋b ＝(-1，5)，a －b ＝(5,-3).【解析】a ＋b ＝(2,1)＋(-3，4)＝(-1，5)，a －b ＝(2,1)-(-3，4)＝(5,-3). 解题技巧（平面向量坐标运算技巧）(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 跟踪训练一1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)， MP ―→＝MN ―→，则P 点坐标为______． 【答案】（-5，-1）【解析】设P (x ，y )，则MP ―→＝(x －3，y ＋2)，MN ―→＝(－8,1)， ∴MP ―→＝ (－8,1)，∴{x −3=−8y +2=1, ∴{x =−5y =−1.题型二 向量坐标运算的应用),(11y x a =),(22y x b =b a +),(2121y y x x ++=ba -),(2121y y x x --=),(11y x A ),(22y x B ()1212,y y x x AB --=例2 已知O (0,0)，A (1,2)，B (3,3)，若OP →＝OA →＋tOB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)P 在x 轴上， t ＝－23；P 在y 轴上，t ＝－13；P 在第二象限，－23<t <－13.(2)四边形OABP 不能为平行四边形．【解析】 (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t ，2＋3t )，所以P 点坐标为(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，得t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，得t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，得－23<t <－13.(2)OA →＝(1,2)，PB →＝(2－3t,1－3t )，若四边形OABP 为平行四边形，只需OA →＝PB →，则⎩⎪⎨⎪⎧2－3t ＝1，1－3t ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13，t ＝－13，所以t 无解，故四边形OABP 不能为平行四边形．解题技巧： (向量中含参问题的求解)(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．跟踪训练二1、已知O (0,0)，A (1,2)，B (3,3)，OP →＝tOA →＋OB →，试问： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？y 轴上？第二象限？(2)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值，若不能，请说明理由．【答案】(1)P 在x 轴上， t ＝－32.P 在y 轴上， t ＝－3.P 在第二象限， t 无解，(2)t ＝－1时，四边形OABP 为平行四边形．【解析】(1)OP →＝tOA →＋OB →＝(3＋t,3＋2t )， ∴P 点坐标为(3＋t,3＋2t )，若P 在x 轴上，则3＋2t ＝0得t ＝－32，若P 在y 轴上，则3＋t ＝0得t ＝－3，若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋t <0，3＋2t >0，得t 无解，(2)OA →＝(1,2)，PB →＝(－t ，－2t)，若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝1，－2t ＝2，即t ＝－1，所以t ＝－1时，四边形OABP 为平行四边形．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本30页练习，36页习题6.3的2，3，4题. 【教学反思】本节课知识较简单，学生理解起来较容易，达到了本节课目的，由于内容量少，所以时间比较充足，在课上如果有剩余时间可以将作业做了.《6.3.3 平面向量的加、减运的坐标表示》导学案【学习目标】知识目标1．能准确表述向量的加法、减法的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.核心素养1.逻辑推理：求有向线段的向量表示；2.数学运算：两个向量坐标表示的和，差运算；3.数学建模：数形结合，通过将几何问题转化为代数问题求参. 【学习重点】：平面向量的坐标运算； 【学习难点】：对平面向量坐标运算的理解. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本29-30页，填写。