高考数学一轮复习课时规范练4简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理北师大版

课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固组1.设命题p:存在n∈N,n2>2n,则¬p为()A.任意n∈N,n2>2nB.存在n∈N,n2≤2nC.任意n∈N,n2≤2nD.存在n∈N,n2=2n≤0”是假命题,则实数a的2.(2020辽宁沈阳二中五模,文3)已知命题“存在x∈R,使2x2+(a-1)x+12取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,3)C.(-3,+∞)D.(-3,1)3.(2020广东广州一模,文5)已知命题p:任意x∈R,x2-x+1<0;命题q:存在x∈R,x2>x3,则下列命题中为真命题的是()A.p且qB.¬p且qC.p且¬qD.¬p且¬q4.命题p:存在x∈R,x-2>0;命题q:任意x∈R,√x<x,则下列命题中为真命题的是()A.p或qB.p且qC.(¬p)或qD.(¬p)且(¬q)5.(2020河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:任意f(x)∈A,|f(x)|∈B,则¬p为()A.任意f(x)∈A,|f(x)|∉BB.任意f(x)∉A,|f(x)|∉BC.存在f(x)∈A,|f(x)|∉BD.存在f(x)∉A,|f(x)|∉B6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;命题q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(¬p)且qC.p且(¬q)D.(¬p)且(¬q)7.已知命题p:存在x∈R,2x<x-1;命题q:在△ABC中,“BC2+AC2<AB2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.则下列命题中的真命题是()A.¬qB.p且qC.p或(¬q)D.(¬p)且q8.(2020湖南永州二模,理5)下列说法正确的是()A.若“p或q”为真命题,则“p且q”为真命题B.命题“任意x>0,e x-x-1>0”的否定是“存在x≤0,e x-x-1≤0”≤1”的逆否命题为真命题C.命题“若x≥1,则1xD.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是.9.已知命题“任意x∈R,x2-5x+15210.下列结论:①若命题p:存在x∈R,tan x=2,命题q:任意x∈R,x2-x+1>0,则命题“p且(¬q)”是假命题;2=-3;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是ab③命题“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.其中正确结论的序号为.综合提升组11.(2020广东江门4月模拟,理5)已知命题p:任意x∈R,x2+x-1>0;命题q:存在x∈R,sin x+cos x=√2.则下列判断正确的是()A.¬p是假命题B.q是假命题C.p或q是假命题D.(¬p)且q是真命题12.(2020湖南百校联考,10改编)设命题p:存在a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上是增加的,则下列结论正确的是()A.p为假命题B.¬p为任意a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上是减少的C.p的逆命题为假命题D.¬p为任意a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上不是增加的13.给出如下四个命题:①若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题;②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;③“任意x∈R,则x2+1≥1”的否定是“存在x∈R,则x2+1<1”;④在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件.其中正确的命题的个数是()A.1B.2C.3D.414.(2020山东潍坊模拟)下列三个说法:①若命题p:存在x∈R,x2+x+1<0,则¬p:任意x∈R,x2+x+1≥0;”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;②“φ=π2”是真命题.③命题“若0<a<1,则log a(a+1)<log a1+1a其中正确的是(填序号).x-m,若任意x1∈〖0,3〗,存在x2∈〖1,2〗,使得f(x1)≥g(x2),则实数15.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12m的取值范围是.创新应用组16.下列说法错误的是()A.“m>1”是“函数f(x)=m+log2x(x≥1)不存在零点”的充分不必要条件B.命题“在△ABC中,若sin A=sin B,则△ABC为等腰三角形”是真命题C.设命题p:任意x∈〖1,3),函数f(x)=log2(tx2+2x-2)恒有意义,若¬p为真命题,则t的取值范围为(-∞,0〗D.命题“存在x∈R,e x≤0”是真命题的定义域为R;命题q:不等式17.(2020全国百强名校联考,理17)设命题p:函数f(x)=√x2-4x+a2a2-5a-6≥0恒成立,如果命题“p或q”为真命题,且“p且q”为假命题,求实数a的取值范围.▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 *案 █ ▇ ▅ ▃ ▁课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.C ∵p :存在n ∈N ,n 2>2n ,∴¬p :任意n ∈N ,n 2≤2n .故选C.2.B 由题意,“任意x ∈R ,使2x 2+(a-1)x+12>0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4<0,即|a-1|<2,解得-1<a<3,故选B .3.B 对于命题p ,可知Δ=(-1)2-4<0,所以任意x ∈R ,x 2-x+1>0,故命题p 为假命题,对于命题q ,x=-1时,(-1)2>(-1)3成立,故命题q 为真命题, 所以p 且q 为假命题,¬p 且q 为真命题,p 且¬q 为假命题,¬p 且¬q 为假命题,故选B. 4.A 命题p :存在x ∈R ,x-2>0为真命题,命题¬p :任意x ∈R ,x-2≤0为假命题;命题q :任意x ∈R ,√x <x 为假命题,命题¬q :存在x ∈R ,√x ≥x 为真命题,故选A . 5.C 全称命题的否定为特称命题,即改写量词,否定结论.所以¬p :存在f (x )∈A ,|f (x )|∉B. 6.D 命题p :对任意x ∈R ,总有2x >x 2,它是假命题,例如取x=2时,2x 与x 2相等.q :由a>1,b>1得到ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=12.∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分条件,即q 是假命题. ∴真命题是(¬p )且(¬q ).故选D .7.D 对于命题p ,注意到y=2x 图像在y=x-1图像的上方,故命题为假命题.对于命题q ,BC 2+AC 2<AB 2只是说明C 为钝角,故为充分不必要条件,所以q 为真命题,故(¬p )且q 为真命题.故选D .8.C “p 或q ”为真,则命题p ,q 有可能一真一假,则“p 且q ”为假,故选项A 错误;命题“任意x>0,e x -x-1>0”的否定应该是“存在x>0,e x -x-1≤0”,故选项B 错误;因为命题“若x ≥1,则1x ≤1”为真命题,所以其逆否命题为真命题,故选项C 正确;若x=-1,则x 2-5x-6=0;若x 2-5x-6=0,则x=-1或x=6.所以“x=-1”是“x 2-5x-6=0”的充分不必要条件,选项D 错误.故选C.9.(56,+∞) 由“任意x ∈R ,x 2-5x+152a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x 2-5x+152a>0对任意实数x 恒成立.设f (x )=x 2-5x+152a ,则其图像恒在x 轴的上方,所以Δ=25-4×152a<0,解得a>56.故实数a 的取值范围为(56,+∞).10.①③ 在①中,命题p 是真命题,命题q 也是真命题,故“p 且(¬q )”为假命题,故①正确;在②中,l 1⊥l 2等价于a+3b=0,而ab =-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出ab =-3,故②不正确;在③中,“设a ,b ∈R ,若ab ≥2,则a 2+b 2>4”的否命题为“设a ,b ∈R ,若ab<2,则a 2+b 2≤4”,所以③正确.11.D 由x 2+x-1=(x +12)2−54≥-54,所以命题p :任意x ∈R ,x 2+x-1>0为假命题;由sin x+cos x=√2sin x+π4得,当x=π4时,sin x+cos x=√2.所以命题q :存在x ∈R ,sin x+cos x=√2是真命题. 则p 或q 是真命题;(¬p )且q 是真命题.故选D.12.D 当a=1时,f'(x )=3x 2-1>0对x ∈(1,+∞)恒成立,故p 为真命题,故A 错误;当f (x )=x 3-ax+1在(1,+∞)上是增加的,则f'(x )=3x 2-a ≥0,所以a ≤3x 2,3x 2>3,即存在a ∈(0,+∞),故命题p 的逆命题也为真命题,故C 错误;因为“是增加的”的否定为“不是增加的”,所以¬p 为任意a ∈(0,+∞),f (x )=x 3-ax+1在(1,+∞)上不是增加的,故D 正确.13.C 根据复合命题真假的判断,若“p 且q ”为假命题,则p 或q 至少有一个为假命题,所以①错误;根据否命题的定义,命题“若a>b ,则2a >2b -1”的否命题为“若a ≤b ,则2a ≤2b -1”为真命题,所以②正确;根据含有量词命题的否定,“任意x ∈R ,x 2+1≥1”的否定是“存在x ∈R ,x 2+1<1”,所以③正确;根据正弦定理,“A>B ”能推出“sin A>sin B ”且“sin A>sin B ”能推出“A>B ”,所以④正确.综上,正确的有②③④,所以选C .14.① ①显然正确;“φ=π2”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,故②错误;因为0<a<1,所以1+1a >1+a ,所以log a (a+1)>log a 1+1a,故③错误.15.14,+∞ 当x ∈〖0,3〗时,f (x )min =f (0)=0,当x ∈〖1,2〗时,g (x )min =g (2)=14-m ,由f (x )min ≥g (x )min ,得0≥14-m ,所以m ≥14.16.D 因为当x ≥1时,log 2x ≥0,所以当m>1时,f (x )=m+log 2x>1不存在零点,当函数f (x )=m+log 2x 在区间〖1,+∞)上不存在零点时,解得m>0,所以m>1是此函数不存在零点的充分不必要条件,故A 正确;在三角形中,内角在(0,π)内,故sin A=sin B 等价于A=B ,故B 正确;若¬p 为真命题,则p 为假命题,即不等式tx 2+2x-2≤0在〖1,3)上有解,即t ≤2x 2−2x 在〖1,3)上有解,设g (x )=2x 2−2x,故t ≤g (x )max ,当1≤x<3时,13<1x≤1,所以g (x )=2x 2−2x=21x−122-12∈-12,0,所以t ≤g (x )max =0.故C 正确;因为任意x ∈R ,e x >0,所以命题“存在x ∈R ,e x ≤0”是假命题.故D 错误.故选D .17.解因为命题“p 或q ”为真命题,且“p 且q ”为假命题,所以p ,q 一真一假.若p 假q 真,则¬p :函数f (x )=√x 2-4x+a 2的定义域不为R ,所以Δ=16-4a 2≥0,解得-2≤a ≤2; 由a 2-5a-6≥0,解得a ≤-1或a ≥6, 所以a 的取值范围是〖-2,-1〗. 若p 真q 假,则p :函数f (x )=√x 2-4x+a 2的定义域为R ,所以Δ=16-4a 2<0,解得a<-2或a>2. ¬q :不等式a 2-5a-6<0,解得-1<a<6.所以a的取值范围是(2,6).综上可得,a∈〖-2,-1〗∪(2,6).。

§1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词2014高考会这样考 1.考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，判断命题的真假或求参数的范围；2.考查全称量词和存在量词的意义，对含一个量词的命题进行否定．复习备考要这样做 1.充分理解逻辑联结词的含义，注意和日常用语的区别；2.对量词的练习要在“含一个量词”框架内进行，不要随意加深；3.注意逻辑与其他知识的交汇．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词．(2)简单复合命题的真值表：(1)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题．(2)含有存在量词的命题叫特称命题．4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.[难点正本疑点清源]1．逻辑联结词“或”的含义逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．2．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．3．含一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．下列命题中，所有真命题的序号是________．①5>2且7>4；②3>4或4>3；③2不是无理数．答案①②解析①5>2和7>4都真，故5>2且7>4也真．②3>4假，4>3真，故3>4或4>3真．③2是无理数，故2不是无理数为假命题．点评对含有“或”、“且”、“非”的复合命题的判断，先判断简单命题，再根据真值表判断复合命题．2．已知命题p：存在x∈R，x2＋1x2≤2，命题q是命题p的否定，则命题p、q、p且q、p 或q中是真命题的是________．答案p、p或q解析x＝±1时，p成立，所以p真，q假，p或q真，p且q假．3．若命题“存在x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案[－4,0]解析“存在x∈R有x2－mx－m<0”是假命题，则“对任意x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.4．(2012·湖北改编)命题“存在x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是( ) A．存在x0D∈/∁R Q，x30∈QB．存在x0∈∁R Q，x30D∈/QC．任意xD∈/∁R Q，x3∈QD．任意x∈∁R Q，x3D∈/Q答案 D解析“存在”的否定是“任意”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q.命题“存在x0∈∁R Q，x30∈Q”的否定是“任意x∈∁R Q，x3D∈/Q”，故应选D.5．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y p 3：对任意x ∈[0，π]，1－cos 2x2＝sin x p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中的假命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 2，p 3答案 A解析 p 1为假命题；对于p 2，令x ＝y ＝0，显然有sin(x －y )＝sin x －sin y ，即p 2为真命题；对于p 3，由sin 2x ＝1－cos 2x 2，当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，sin x ＝1－cos 2x2.于是可判断p 3为真命题；对于p 4，当x ＝5π4时，有sin x ＝cos y ＝－22，这说明p 4是假命题.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假例1 已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1或p 2，q 2：p 1且p 2，q 3：(綈p 1)或p 2和q 4：p 1且(綈p 2)中，真命题是( )A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4思维启迪：先判断命题p 1、p 2的真假，然后对含逻辑联结词的命题根据真值表判断真假． 答案 C解析 命题p 1是真命题，p 2是假命题，故q 1为真，q 2为假，q 3为假，q 4为真． 探究提高 (1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解．(2)解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p 和q 的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．写出由下列各组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假：(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解 (1)p 或q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题．p 且q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题．綈p ：1不是素数．真命题．(2)p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p 且q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p 或q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．p 且q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题． 题型二 含有一个量词的命题的否定 例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：对任意x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：存在x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.思维启迪：否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假． 解 (1)綈p ：存在x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题．(2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：对任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．(4)綈s ：对任意x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题．探究提高 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．(1)已知命题p ：对任意x ∈R ，sin x ≤1，则( )A ．綈p ：存在x ∈R ，sin x ≥1B ．綈p ：对任意x ∈R ，sin x ≥1C ．綈p ：存在x ∈R ，sin x >1D ．綈p ：对任意x ∈R ，sin x >1(2)命题p ：存在x ∈R,2x ＋x 2≤1的否定綈p 为______________________________．答案 (1)C (2)对任意x ∈R,2x ＋x 2>1 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用例3 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根；q ：不等式4x 2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R .若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 思维启迪：判断含有逻辑联结词的命题的真假，关键是判断对应p ，q 的真假，然后判断 “p 且q ”，“p 或q ”，“綈p ”的真假．解 p 为真命题⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0⇒m >2；q 为真命题⇔Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0⇒1<m <3.由“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，知p 与q 一真一假．当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3⇒m ≥3；当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3⇒1<m ≤2.综上，知实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．探究提高 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的命题(一个或两个)的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax＋1>0对任意x ∈R 恒成立．若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求a 的取值范围． 解 ∵函数y ＝a x在R 上单调递增，∴p ：a >1. 不等式ax 2－ax ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，且a >0， ∴a 2－4a <0，解得0<a <4，∴q ：0<a <4.∵“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，∴p 、q 中必有一真一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ≥4，得a ≥4.②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤10<a <4，得0<a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．借助逻辑联结词求解参数范围问题典例：(12分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．审题视角 (1)p 、q 都为真时，分别求出相应的a 的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的取值范围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假． 规范解答解 ∵函数y ＝c x在R 上单调递减，∴0<c <1.[2分] 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.[3分] 又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12.即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.[5分]又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．[6分] ①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[8分]②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.[10分] 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[12分]第一步：求命题p 、q 对应的参数的范围． 第二步：求命题綈p 、綈q 对应的参数的范围． 第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题 “p 且q ”或“p 或q ”．第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；特称命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题来判断简单命题的真假． 3．全称命题与特称命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集． 失误与防范1．p 或q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可，p 且q 为真命题，必须p 、q 同时为真． 2．p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q . 3．全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．4．简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 下列命题中的假命题是( )A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝1C ．对任意x ∈R ，x 3>0D ．对任意x ∈R,2x>0答案 C解析 对于A ，当x 0＝1时，lg x 0＝0，正确；对于B ，当x 0＝π4时，tan x 0＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，对任意x ∈R,2x>0，正确． 2． (2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B3． (2012·山东)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图像关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p 且q 为假D ．p 或q 为真 答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．4． 已知命题p ：“对任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“存在x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}答案 A解析 由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1， ∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题， ∴a ≤－2或a ＝1，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 命题“对任意x ∈R ，e x≤x ”的否定是__________________．答案 存在x ∈R ，e x>x6． 若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－b a}，命题q ：关于x 的不等式(x－a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p 且q ”、“p 或q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________．答案 綈p 、綈q解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p 且q ”为假、“p 或q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真．7． 已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“綈q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1<x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是x ≥3或1<x ≤2或x <－3. 三、解答题(共22分)8． (10分)写出下列命题的否定，并判断真假：(1)q ：对任意x ∈R ，x 不是5x －12＝0的根； (2)r ：有些质数是奇数； (3)s ：存在x 0∈R ，|x 0|>0.解 (1)綈q ：存在x 0∈R ，x 0是5x －12＝0的根，真命题． (2)綈r ：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s ：对任意x ∈R ，|x |≤0，假命题．9． (12分)已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求c 的取值范围．解 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题， 则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1.综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案 D解析 由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．2． (2012·辽宁改编)已知命题p ：对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．对任意x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 綈p ：存在x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.3． 设有两个命题，p ：不等式e x4＋1ex >a 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3a )x在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值范围是( ) A ．1≤a <2 B ．2<a ≤73C ．2≤a <73D ．1<a ≤2答案 A解析 记A ＝{a |不等式e x4＋1ex >a 的解集为R }；B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}．由于函数y ＝e x4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a <1}．又因为函数f (x )＝－(7－3a )x在R 上是减函数， 故7－3a >1，即a <2，所以B ＝{a |a <2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值范围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]， 而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)， (∁R B )∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅， 因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知命题p ：“对任意x ∈R ，存在m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解， 由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.5． 设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．则使“p 或q ”为真，“p 且q ”为假的实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－2]∪[－1,3)解析 设方程x 2＋2mx ＋1＝0的两个正根分别为x 1，x 2，则由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝4m 2－4>0x 1＋x 2＝－2m >0，得m <－1，∴p ：m <－1. 由Δ2＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0知－2<m <3，∴q ：－2<m <3.由p 或q 为真，p 且q 为假可知，命题p 和q 一真一假，当p 真q 假时，得⎩⎪⎨⎪⎧ m <－1m ≥3或m ≤－2，此时m ≤－2；当p 假q 真时，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1－2<m <3，此时－1≤m <3，∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．6． 下列结论：①若命题p ：存在x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p 且綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p 且綈q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.三、解答题7． (13分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0,∴x ＝a 2或x ＝－a ， ∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2.∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2. 即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．。

1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1．已知命题p ：函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －log 13x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13内存在零点，命题q ：存在负数x 使得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .给出下列四个命题：①p 或q ；②p 且q ；③p 的否定；④q 的否定．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 命题p 为假命题，命题q 也为假命题．利用真值表判断．答案 B2.已知命题p ：存在n ∈N,2n >1 000，则非p 为( )A ．任意n ∈N,2n ≤1 000B ．任意n ∈N,2n>1 000 C ．存在n ∈N,2n ≤1 000 D ．存在n ∈N,2n <1 000 解析：特称命题的否定是全称命题，即p ：存在x ∈M ，p (x )，则非p ：任意x ∈M ，非p (x )． 答案：A3． ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )．A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜0解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C.答案 C4．已知p ：x 2－2x －3≥0，q ：x ∈Z.若p 且q ，非q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3，x ∉Z}B ．{x |－1≤x ≤3，x ∈Z}C ．{x |x ＜－1或x >3，x ∉Z}D ．{x |－1＜x ＜3，x ∈Z}解析 p ：x ≥3或x ≤－1，q ：x ∈Z ，则由p 且q ，非q 同时为假命题知，p 假q 真，所以x 满足－1<x <3且x ∈Z ，故满足条件的集合为{x |－1<x <3，x ∈Z}．答案 D5．已知下列命题：①命题“存在x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋1<3x ”；②已知p 、q 为两个命题，若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q 为真命题”； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．②D ．④解析：命题“存在x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p 或q ”为假命题说明p 和q 都假，则非p 且非q 为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2⇒/ a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错； “若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：C6．下列命题错误的是( )．A ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程 x 2＋x －m ＝0无实数根，则m ≤0”B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0，则非p ：任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0解析 依次判断各选项，易知只有C 是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案 C7．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋2≤0.q ：任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )．A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1] 解析 (直接法)∵p 或q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：存在x ∈R ，mx 2＋2≤0为假，得任意x ∈R ，mx 2＋2＞0，∴m ≥0.①由q ：任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，得存在x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1.答案 A【点评】 本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.二、填空题8．用含有逻辑联结词的命题表示命题“xy ＝0”的否定是________．解析 方法1：记命题p 1：x ＝0，p 2：y ＝0，则命题xy ＝0即命题p 1∨p 2，其否定是(非p 1)且(非p 2)，非p 1：x ≠0，非p 2：y ≠0，故命题xy ＝0的否定是“x ≠0且y ≠0”． 方法2：xy ＝0的否定即xy ≠0，即“x ≠0且y ≠0”．答案 x ≠0且y ≠09．已知命题p ：f (x )＝1－2m x在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q ：不等式 (x －1)2>m 的解集为R.若命题“p 或q ”为真，命题“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析 由f (x )＝1－2m x 在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m >0，即m <12，由不等式(x －1)2>m 的解集为R ，得m <0.要保证命题“p ∨q ”为真，命题“p 且q ”为假，则需要两个命题中只有一个正确，而另一个不正确，故0≤m <12. 答案 0≤m <1210．令p (x )：ax 2＋2x ＋a ＞0，若对任意x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则{ a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，∴a ＞1. 答案 a ＞111．命题“对任意x >1，x 2>1”的否定是________．解析：这是一个全称命题，其否定是“存在x 0>1，使得x 20≤1”．答案：存在x 0>1，使得x 20≤112．已知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 由“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题， 可知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”必为真命题， 即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立． 设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图像恒在x 轴的上方． 故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 三、解答题13．设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1,1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln(x 2＋ax ＋1)的值域是R.如果命题p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求a 的取值范围．解析 p 为真命题⇔f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3x 2在[－1,1]上恒成立⇔a ≥3.q 为真命题⇔Δ＝a 2－4≥0恒成立⇔a ≤－2或a ≥2.由题意p 和q 有且只有一个是真命题．p 真q 假⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，－2<a <2⇔a ∈∅；p 假q 真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ≤－2或a ≥2⇔a ≤－2或2≤a <3. 综上所述：a ∈(－∞，－2]∪[2,3)． 14．写出下列命题的否定，并判断真假： (1)存在一个三角形是正三角形； (2)至少存在一个实数x 0使x 20－2x 0－3＝0成立；(3)正数的对数不全是正数．解析 (1)任意的三角形都不是正三角形，假命题；(2)对任意实数x 都有x 2－2x －3≠0，假命题；(3)正数的对数都是正数，假命题．15．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．解析 由已知得：p ，q 中有且仅有一个为真，一个为假．命题p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝－m <0，⇒m >2.x 1x 2＝1>0命题q 为真⇔Δ<0⇒1<m <3.(1)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤2，1<m <3⇒1<m ≤2；(2)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3⇒m ≥3.综上所述：m ∈(1,2]∪[3，＋∞)．16．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围． 解析 由命题p 知：0＜c ＜1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52要使此式恒成立，则2＞1c ，即c ＞12. 又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12. 当p 为假，q 为真时，c ≥1.综上，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12或c ≥1.。

高考数学一轮复习：第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，高考对本节内容重点考查：（1）全（特）称命题的否定；（2）含有逻辑联结词的命题、全称命题、特称命题的真假判断，以选择题为主，属于基础题.本节主要以不等式、三角函数、向量等知识为载体，结合逻辑联结词和全（特）称量词考查考生的转化思想和逻辑推理核心素养.授课提示：对应学生用书第8页知识点一简单的逻辑联结词（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.（2）命题p且q、p或q、非p的真假判断p q p且q p或q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真•温馨提醒•1.真值表中“p且q”全真才真，“p或q”全假才假.2.“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.1.已知p：2是偶数，q：2不是质数，则命题非p，非q，p或q，p且q中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：p真，q假，所以非q和p或q真.答案：B2.（2021·陆川模拟）已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是（）A.“p或q”为真命题B.“p且q”为真命题C.“非p”为真命题D.“非q”为假命题解析：由a＞|b|≥0，得a2＞b2，∴命题p为真命题.∵x2＝4⇔x＝±2，∴命题q为假命题.∴“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题，“非q”为真命题.综上所述，应选A.答案：A知识点二全称命题与特称命题1.全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称命题Ｗ.（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做特称命题Ｗ.2.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定任意x∈M，p（x）存在x∈M，非p（x）存在x∈M，p（x）任意x∈M，非p（x）•温馨提醒•1.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错.2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.3.注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.1.命题“任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是（）A.存在x∈R，x2＋x≤0B.存在x∈R，x2＋x＜0C.任意x∈R，x2＋x≤0D.任意x∈R，x2＋x＜0解析：原命题是全称命题，“任意”的否定是“存在”，“≥”的否定是“＜”，因此该命题的否定是“存在x∈R，x2＋x＜0”.答案：B2.（2021·辽源模拟）下列命题中的假命题是（）A.存在x∈R，使得log2x＝0B.任意x∈R，x2＞0C.存在x∈R，使得cos x＝1D.任意x∈R，2x＞0解析：由于log21＝0，因此存在x∈R，使得log2x＝0为真命题；当x＝0时，x2＝0，因此任意x∈R，x2＞0为假命题；当x＝2π时，cos x＝1，因此存在x∈R，使得cos x＝1为真命题；根据指数函数的性质，任意x∈R，2x＞0为真命题.答案：B3.（易错题）若p：任意x∈R，ax2＋4x＋1＞0是假命题，则实数a的取值范围为__________. 答案：（－∞，4]授课提示：对应学生用书第9页题型一全称命题与特称命题的否定1.（2021·西安模拟）命题“任意x＞0，xx－1＞0”的否定是（）A.存在x＜0，xx－1≤0B.存在x＞0，0≤x≤1C.任意x＞0，xx－1≤0 D.任意x＜0，0≤x≤1解析：因为xx－1＞0，所以x＜0或x＞1，所以xx－1＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0，0≤x≤1.答案：B2.已知命题p：存在m∈R，f（x）＝2x－mx是增函数，则非p为（）A.存在m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数B.任意m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数C.存在m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数D.任意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数解析：由特称命题的否定可得非p为“任意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数”.答案：D3.已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：任意f（x）∈A，|f（x）|∈B，则非p为（）A.任意f（x）∈A，|f（x）|∉BB.任意f（x）∉A，|f（x）|∉BC.存在f（x）∈A，|f（x）|∉BD.存在f（x）∉A，|f（x）|∉B解析：全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：任意f （x ）∈A ，|f （x ）|∈B ，得非p 为存在f （x ）∈A ，|f （x ）|∉B . 答案：C4.（2021·兰州四校联考）命题“任意x ∈R ，e x ≥x ＋1”的否定是（ ） A.任意x ∈R ，e x <x ＋1 B.存在x ∈R ，e x ≥x ＋1 C.任意x ∉R ，e x <x ＋1 D.存在x ∈R ，e x <x ＋1解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x ∈R ，e x ≥x ＋1”的否定是“存在x ∈R ，e x <x ＋1”. 答案：D1.写全（特）称命题的否定时，要注意两个方面：一是量词的改写；二是结论的否定.其中对结论的准确否定是解决问题的关键.2.全称命题为真以及特称命题为假都需要给予严格的证明，其中常用的方法为反证法，反证法的思想源于原命题与逆否命题同真同假.(题型二 与逻辑联结词有关的应用考法（一） 含有逻辑联结词的真假判断[例1] （1）（2021·六安模拟）设命题p ：存在x ∈（0，＋∞），3x ＋x ＝12 019；命题q ：任意a ，b ∈（0，8），a ＋1b ，b ＋1a 中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（ ）A.p 且qB.（非p ）且qC.p 且（非q ）D.（非p ）且（非q ）（2）（2020·高考全国卷Ⅱ）设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①p 1∧p 4 ②p 1∧p 2 ③綈p 2∨p 3 ④綈p 3∨綈p 4[解析] （1）因为f （x ）＝3x ＋x 在（0，＋∞）上单调递增，所以f （x ）＞f （0）＝1＞12 019，所以p 假；假设a ＋1b ，b ＋1a 都小于2，则a ＋1b ＋b ＋1a ＜4，又根据基本不等式可得a ＋1b ＋b ＋1a≥4，矛盾，所以q 真，所以（非p ）且q 为真命题. （2）p 1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p 1为真命题；p 2是假命题，因为空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p 3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p 4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知非p 2，非p 3，非p 4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题是真命题，②中命题是假命题. [答案] （1）B （2）①③④“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式命题真假的判断步骤（1）确定命题构成形式. （2）判断命题p ，q 的真假.（3）根据真值表确定“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式命题的真假. 考法（二） 已知命题真假求参数范围[例2] 已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，求实数m 的取值范围.[解析] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 为假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 为真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.所以实数m 的取值范围为[2，＋∞）.[变式探究] 若本例中的条件q 变为：存在x ∈R ，x 2＋mx ＋1＜0，其他条件不变，则实数m 的取值范围为__________. 解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m 2－4＞0，所以m ＞2或m ＜－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2，所以m 的取值范围是[0，2]. 答案：[0，2]根据复合命题真假求参数的步骤（1）根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）. （2）求出每个命题是真命题时参数的取值范围. （3）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.[题组突破]1.（2021·惠州模拟）已知命题p ，q ，则“非p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：充分性：若非p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p 且q 是真命题.必要性：p 且q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则非p 为假命题.所以“非p 为假命题”是“p 且q 是真命题”的必要不充分条件. 答案：B2.（2021·安徽江淮十校第三次联考）已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞）上是增函数.若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，则实数a 的取值范围是__________.解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p 或q 是真命题，p 且q 是假命题知，命题p 和q 一真一假.若p 真q 假，则a ＜－12；若p 假q 真，则－4＜a ＜4.故a 的取值范围是（－∞，－12）∪（－4，4）. 答案：（－∞，－12）∪（－4，4）与命题有关的核心素养（一）逻辑推理——复合命题的真假判断[例1] （2021·泰安模拟）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p 或q 表示（ ）A.甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米B.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米C.甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米D.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米[解析] ∵命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，∴命题p 或q 表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”. [答案] D复合命题真假判断主要通过p 、q 的真假判断来考查逻辑推理能力，其关键是p 、q 真假的准确判断.（二）创新应用——“交汇型”命题真假的判断[例2] （2019·高考全国卷Ⅲ）记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题 ①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中，所有真命题的编号是（ ） A.①③ B.①② C.②③D.③④[解析] 法一：画出可行域如图中阴影部分所示.目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距.显然，直线过点A （2，4）时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8.∴2x ＋y ∈[8，＋∞）.由此得命题p ：存在（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≥9正确； 命题q ，任意（x ，y ）∈D ，2x ＋y ≤12不正确.∴①③真，②④假.法二：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p真，q 假.∴①③真，②④假.[答案] A解决此类问题的关键是抓住交汇点，判断p ，q 命题的真假.[题组突破]1.（2021·芮城模拟）在一次数学测试中，成绩在区间[125，150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p 是“甲测试成绩优秀”，q 是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为（ ） A.（非p ）或（非q ） B.p 或（非q ） C.（非p ）且（非q ）D.p 或q解析：“甲测试成绩不优秀”可表示为非p ，“乙测试成绩不优秀”可表示为非q ，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为（非p ）或（非q ）. 答案：A2.（2021·漳州模拟）已知命题p ：椭圆25x 2＋9y 2＝225与双曲线x 2－3y 2＝12有相同的焦点；命题q ：函数f （x ）＝x 2＋5x 2＋4的最小值为52.则下列命题为真命题的是（ ）A.p 且qB.（非p ）且qC.非（p 或q ）D.p 且（非q ）解析：p 中椭圆x 29＋y 225＝1的焦点坐标分别为（0，4），（0，－4），双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标分别为（4，0），（－4，0），故p 为假命题；q 中f （x ）＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，设t ＝x 2＋4≥2（当且仅当x ＝0时，等号成立），则f （t ）＝t ＋1t 在区间[2，＋∞）上单调递增，故f （x ）min ＝52，故q 为真命题.所以（非p ）且q 为真命题.答案：B。

A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题中的假命题是( )．A ．存在x ∈R ，lg x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝1C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x ＞0 解析 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0错误；对于D ，任意x ∈R,2x ＞0，正确．答案 C2．(2012·杭州高级中学月考)命题“任意x ＞0，x 2＋x ＞0”的否定是( )．A ．存在x ＞0，x 2＋x ＞0B ．存在x ＞0，x 2＋x ≤0C ．任意x ＞0，x 2＋x ≤0 D．任意x ≤0，x 2＋x ＞0解析 根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：存在x ＞0，x 2＋x ≤0. 答案 B3．(★)(2012·郑州外国语中学月考)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )．A ．0＜a ≤1 B．a ＜1C ．a ≤1 D．0＜a ≤1或a ＜0解析 (筛选法)当a ＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A 、D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B ，故选C.答案 C4．(2012·上饶质检)已知p ：|x －a |＜4；q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )．A ．a ＜－1或a ＞6B ．a ≤－1或a ≥6C ．－1≤a ≤6D ．－1＜a ＜6解析 解不等式可得p ：－4＋a ＜x ＜4＋a ，q ：2＜x ＜3，因此綈p ：x ≤－4＋a 或x ≥4＋a ，綈q ：x ≤2或x ≥3，于是由綈p 是綈q 的充分不必要条件，可知2≥－4＋a 且4＋a ≥3，解得－1≤a ≤6.答案 C5．若函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R)，则下列结论正确的是( )．A ．任意a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．任意a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．存在a ∈R ，f (x )是偶函数D ．存在a ∈R ，f (x )是奇函数解析 对于A 只有在a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B ，如果a ≤0就不成立；对于D 若a ＝0，则f (x )为偶函数了，因此只有C 是正确的，即对于a ＝0时有f (x )＝x 2是一个偶函数，因此存在这样的a ，使f (x )是偶函数．答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·西安模拟)若命题“存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 因为“存在x ∈R,2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则“任意x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案 －22≤a ≤2 27．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若綈q 且p 为真，则x 的取值范围是________．解析 因为綈q 且p 为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3.故填(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)8．(2012·南京五校联考)令p (x )：ax 2＋2x ＋a ＞0，若对任意x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋a ＞0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＞0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则{ a ＞0，Δ＝4－4a 2＜0，∴a ＞1. 答案 a ＞1三、解答题(共23分)9．(11分)已知命题p ：任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 由“p 且q ”为真命题，则p ，q 都是真命题．p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，所以命题q：a≥1或a≤－2.∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.10．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q：任意x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些质数是奇数；(3)s：存在x∈R，|x|＞0.解(1)綈q：存在x∈R，x是5x－12＝0的根，真命题．(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．(3)綈s：任意x∈R，|x|≤0，假命题．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．下列命题错误的是( )．A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：存在x∈R，使得x2＋x＋1＜0，则綈p：任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案 C2．(★)(2011·广东广雅中学模拟)已知p：存在x∈R，mx2＋2≤0.q：任意x∈R，x2－2mx ＋1＞0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围是( )．A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]C．(－∞，－2] D．[－1,1]解析(直接法)∵p或q为假命题，∴p和q都是假命题．由p ：存在x ∈R ，mx 2＋2≤0为假，得任意x ∈R ，mx 2＋2＞0，∴m ≥0.①由q ：任意x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0为假，得存在x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1.答案 A【点评】 本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.二、填空题(每小题4分，共8分)3．命题“存在x ∈R ，x ≤1或x 2＞4”的否定是______________．解析 已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．答案 任意x ∈R ，x ＞1且x 2≤44．(2012·太原十校联考)已知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 由“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立． 设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图像恒在x 轴的上方． 故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ 三、解答题(共22分)5．(10分)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x ＞m ，s (x )：x 2＋mx ＋1＞0.如果对任意x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－2，∴当r (x )是真命题时，m ＜－ 2.又∵对任意x ∈R ，当s (x )为真命题时，即x 2＋mx ＋1＞0恒成立有Δ＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2.当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2＜m ＜2，即－2≤m ＜2.综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m ＜2. 6．(12分)已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围． 解 由命题p 知：0＜c ＜1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52要使此式恒成立，则2＞1c ，即c ＞12.又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假， 当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12.当p 为假，q 为真时，c ≥1.综上，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪ 0＜c ≤12或c ≥1.。

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词授课提示：对应学生用书第7页[基础梳理]1．命题p且q，p或q，非p的真假判断p q p且q p或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与全称命题(1)“所有”“每一个”“任何”“任意”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题．3．存在量词与特称命题(1)“有些”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．(2)含有存在量词的命题叫作特称命题．1．判定全称命题为真，需证明对任意x∈M，p(x)恒成立；判定全称命题为假，我们只需找到一个x∈M，使p(x)不成立即可．2．判定特称命题为真，只需找到一个x∈M，使p(x)成立即可；判定特称命题为假，需证明对任意x∈M，p(x)均不成立．4．全称命题与特称命题的否定(1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的，特称命题的否定是全称命题．1．一种关系逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．两类否定(1)非(p且q)⇔(非p)或(非q)．(2)非(p或q)⇔(非p)且(非q)．3．三句口决p且q全真为真，p或q有真即真，非p与p真假相反．[四基自测]1．(基础点：复合命题真假)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题非p，非q，p或q，p且q中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：B2．(基础点：特称命题的否定)设命题p：存在n∈N，n2＞2n，则非p为()A．任意n∈N，n2＞2nB．存在n∈N，n2≤2nC．任意n∈N，n2≤2nD ．存在n ∈N ，n 2＝2n答案：C3．(基础点：全称命题的否定)若命题p ：任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0，其非p 为()A ．任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0B ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0C ．任意x ∈R ，x 2＋2x ＋2≥0D ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0答案：B4．(易错点：含有量词命题的真假)给出下列命题：①任意x ∈N ，x 3＞x 2；②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；③存在x ∈R ，x 2－x ＋1≤0；④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．则以上命题的否定中，真命题的序号为________．答案：①②③授课提示：对应学生用书第8页考点一含有逻辑联结词的命题真假挖掘1判断复合命题的真假/自主练透[例1](1)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2；p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .其中的真命题为()A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析]设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对于p 1，∵1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，∴b ＝0，∴z ∈R ，∴p 1是真命题；对于p 2，∵z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，∴ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0，∴p 2不是真命题；对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，∴dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z －2，∴p 3不是真命题；对于p 4，∵z ＝a ＋b i ∈R ，∴b ＝0，∴z －＝a －b i ＝a ∈R ，∴p 4是真命题．故选B.[答案]B (2)(2020·太原模拟)已知命题p ：存在x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a ＜b ，则1a ＞1b ，则下列命题中为真命题的是()A ．p 且qB ．p 且(非q )C ．(非p )且qD ．(非p )且(非q )[解析]x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34＞0，所以存在x ∈R ，使x 2－x ＋1≥0成立，故p 为真命题，非p 为假命题，又易知命题q 为假命题，所以非q 为真命题，由复合命题真假判断的真值表知p 且(非q )为真命题，故选B.[答案]B [破题技法]复合命题的真假判断方法解读适合题型直接法(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假能够顺利分解为简单命题转化法根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性原命题的真假性不易判断[拓展]含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p或q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)且(非q)假．(2)p或q假⇔p，q均假⇔(非p)且(非q)真．(3)p且q真⇔p，q均真⇔(非p)或(非q)假．(4)p且q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)或(非q)真．(5)非p真⇔p假；非p假⇔p真．挖掘2利用复合命题真假求参数/互动探究[例2](2020·湖北武汉模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x 的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，则实数a的取值范围是________．[解析]若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，则－a4≤3，即a≥－12.因为p或q是真命题，所以a∈R，即a的取值范围是(－∞，＋∞)．[答案](－∞，＋∞)[破题技法]根据复合命题的真假求参数范围的步骤(1)先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围；(2)再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况(有时不一定只有一种情况)；(3)最后由(2)的结论求出满足条件的参数取值范围．1．在例2条件下，若p且q为真命题，求实数a的取值范围．解析：∵p且q为真命题，∴p和q均为真命题，≤－4或a≥4，≥－12.∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)．2．在例2条件下，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．解析：由p或q为真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4，4)．考点二全称命题、特称命题挖掘1全称命题、特称命题的真假判断/自主练透[例1](1)下列命题中的假命题是()A．任意x∈R，x2≥0B．任意x∈R，2x－1＞0C．存在x∈R，lg x＜1D．存在x∈R，sin x＋cos x＝2[解析]对于sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)≤2＜2，D为假命题．[答案]D(2)已知命题p：存在x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是()A．p且q B．p且(非q)C ．(非p )且qD ．(非p )且(非q )[解析]∵方程x 2－x ＋1＝0的根的判别式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又对于二次函数y ＝x 2－x ＋1，其图像开口向上，∴x 2－x ＋1>0恒成立，∴p 为真命题．对于命题q ，取a ＝2，b ＝－3，22<(－3)2，而2>－3，∴q 为假命题，非q 为真命题．因此p 且(非q )为真命题．选B.[答案]B [破题技法]全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真挖掘2全称命题、特称命题的否定/互动探究[例2](1)命题“任意x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是()A ．任意x ∈(－∞，0)，x 3＋x ＜0B ．任意x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0C ．存在x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ＜0D ．存在x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0[答案]C (2)命题“存在x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是()A ．任意x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1B ．任意x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．存在x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．存在x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1[解析]该命题的否定是将存在量词改为全称量词，等号改为不等号即可，故选A.[答案]A [破题技法]全称命题与特称命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．考点三根据量词的意义求参数挖掘1“任意”恒成立问题/互动探究[例1](1)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－2，2]D ．(－2，2)[解析]当a 4＜0，对任意x ∈R 恒成立．当a ≠2－2＜0，＝[－2（a －2）]2－4（a －2）×（－4）＜0，＜2，2＜a ＜2，∴－2＜a ＜2.综上可得－2＜a ≤2.故选C.[答案]C (2)已知函数f (x )＝e x x－mx (e 为自然对数的底数)，若f (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(－∞，e)C ．(－∞，e 24)D ．(e 24，＋∞)[解析]∵f (x )＝e x x －mx ＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴m ＜e x x 2在(0，＋∞)上恒成立，令g (x )＝e x x2，x ＞0，∴g ′(x )＝（x 2－2x ）e x x 4＝（x －2）e x x3，当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ＞2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．则当x ＝2时，g (x )取得最小值，且最小值为g (2)＝e 24，∴m ＜e 24.则实数m 的取值范围是(－∞，e 24)．故选C.[答案]C [破题技法]对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．挖掘2“存在”有解问题/互动探究[例2]若命题“存在x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意得Δ＝(a －1)2－4＞0，∴a ＞3或a ＜－1.[答案](－∞，－1)∪(3，＋∞)[破题技法]单变量对“任意”恒成立，“存在”成立问题(1)任意x ∈[m ，n ]，a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min .(2)存在x 0∈[m ，n ]，使a ＞f (x )成立⇔a ＞f (x )min ，a ＜f (x )成立⇔a ＜f (x )max .(2020·长沙模拟)已知命题“任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋1＞0”是假命题，则实数a 的取值范围是()A ．(4，＋∞)B ．(0，4)C ．(－∞，4]D ．[0，4)解析：任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋1＞0，恒成立，当a ＝0时，显然不成立，＞02－4a ＜0时，a ＞4，故原命题为假：其解集为(－∞，4]．故选C.答案：C。

高考数学一轮复习 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时作业3 文 北师大版一、选择题1．(2010年湖南高考)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析：当x ＝1时，(x －1)2>0不成立，∴∀x ∈N *，(x －1)2>0是假命题．故选B.答案：B2．[2011·安徽卷]命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数解析：把全称量词改为存在量词，并把结果否定.答案：D3．[2011·辽宁卷] 已知命题p ：∃n ∈N,2n ＞1000，则﹁p 为( )A ．∀n ∈N,2n ≤1000 B．∀n ∈N,2n ＞1000C ．∃n ∈N,2n ≤1000 D．∃n ∈N,2n ＜1000解析：命题p 用语言叙述为“存在正整数n ，使得2n >1000成立”，所以它的否定是“任意的正整数n ，使得2n ≤1000成立”，用符号表示为“∀n ∈N,2n ≤1000” 答案：A4．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q ) 解析：不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有(¬p )∨(¬q )为真命题．答案：D5．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x ∈R ，sin x －cos x ＝ 2.则下列判断正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．¬p 是假命题D ．¬q 是假命题解析：2x 2＋2x ＋12<0⇔(2x ＋1)2<0，p 为假； sin x －cos x ＝2sin(x －π4)≤2，故q 为真． ∴¬q 为假，故选D.答案：D6．(2011年银川一中第五次联考)下列结论错误的是( )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真C ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题D ．若p ∨q 为假命题，则p 、q 均为假命题答案：C二、填空题7．已知命题：“∃x ∈[1,2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________． 解析：当1≤x ≤2时，8≥x 2＋2x ≥3，如果“∃x ∈[1,2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题应有－a ≤8，所以a ≥－8.答案：a ≥－88．若命题p ：∀x ∈R ，x 2－1>0，则命题p 的否定是________．答案：∃x ∈R ，x 2－1≤09．已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为Ø；命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x为增函数，若函数“p ∨q ”为真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 为真，则有Δ＝(a －1)2－4a 2<0.解得a >13或a <－1；命题q 为真命题，则2a 2－a >1， 解得a >1或a <－12. 又∵“p ∨q ”为真命题，∴a >13或a <－12. 答案：a >13或a <－12三、解答题10．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)所有的实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0恰有惟一解．(2)存在实数x 0，使得1x 02－2x 0＋3＝34. 解：(1)∀a 、b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有惟一解．当a ＝0，b ＝0时方程有无数解，故该命题为假命题．(2)∃x 0∈R ，使得1x 02－2x 0＋3＝34. ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴1x 2－2x ＋3≤12<34. 故该命题是假命题．11．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有且仅有一解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围．解：由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0，显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a∵方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有且仅有一解， 故⎩⎪⎨⎪⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≤1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a >1 或⎩⎪⎨⎪⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ≤1.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a >1，∴－2<a ≤－1或1≤a <2.只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.∵命题“p 或q ”是假命题，∴命题p 和命题q 都是假命题，∴a 的取值范围为{a |a ≤－2或－1<a <0或0<a <1或a >2}．12．已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围．解：∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2，∴当r (x )是真命题时，m <－ 2.又∵对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2，当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2且－2<m<2，即－2≤m<2.综上所述，m的取值范围是m≤－2或－2≤m<2.。