课时训练： 简单的逻辑联结词

第一章§3：简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间40分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＞3”的否定是A ．∃x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＜3B ．∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3C ．∃x ∈R ，|x －2|＋|x －4|≤3D ．∀x ∈R ，|x －2|＋|x －4|＜32．如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题．其中正确的结论是A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④3．已知p ：∀x ∈R ，x ＋1>0，q ：∃x ∈R ，x 2－ax －1＝0(a ∈R)，则下列判断正确的是A ．p ∨q 是真命题B ．p ∨q 是真命题C ．p ∧(⌝q)是真命题D ．(⌝p)∧(⌝q)是真命题4．已知命题：p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数， 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(⌝p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(⌝p 2)中，真命题是A ．q 1，q 3B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 45．命题P ：将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π2个单位长度得到函数y ＝sin2x 的图象；命题Q ：函数y ＝sin(x ＋π6)cos(π3－x)的最小正周期是π，则下列复合命题中是真命题的是 A ．⌝Q B ．P ∧Q C ．P ∨Q D ．⌝Q ∧P二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．下列四个命题：①∀n ∈R ，n 2≥n ；②∀n ∈R ，n 2＜n ；③∀n ∈R ，∃m ∈R ，m 2＜n ；④∃n ∈R ，∀m ∈R ，m·n ＝m. 其中真命题的序号是________．7．命题p ：“∃x ∈[1,2]，x 2≥a ”，命题q ：“∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ≥0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．8．已知命题p ：∃x ∈R ＋，x －1x＞0，命题p 的否定为命题q ，则q 应写成______．q 是______(填“真”或“假”)命题．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假．(1)所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有唯一解；(2)存在实数x 0，使得1x 20－2x 0＋3＝34.10．（本小题满分16分）已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈[12，2]时，函数 f(x)＝x ＋1x ＞1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：在写否定时，需要把全称量词与特称量词互换，然后再否定结论．所以C 项正确． 答案：C2．解析：由已知得非p 为假命题，且非q 为假命题，∴p 为真命题，且q 为真命题．∴p 且q 是真命题，p 或q 是真命题．答案：A3．解析：由已知p 假，q 真．则p ∨q 为真命题．答案：B4．解析：∵y ＝2x 在R 上是增函数，y ＝2－x 在R 上是减函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上是增函数，所以p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数为真命题．对于p 2，y ′＝2x ln2＋(12)x ln 12＝ln2[2x －(12)x ]，y ′＜0不一定成立，p 2为假命题．故q 1：p 1∨p 2为真命题，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：(⌝p 1)∨p 2为假命题，q 4：p 1∧(⌝p 2)是真命题．故真命题是q 1，q 4，故选C 项．答案：C5．解析：命题P 是假命题，平移后应该为y ＝cos2(x －π2)＝cos(2x －π)＝－cos2x.而不是 y ＝sin2x 的图象；命题Q 是真命题，y ＝sin(x ＋π6)cos(π3－x)＝sin(x ＋π6)cos[π2－(π3＋x)]＝sin 2(x ＋π6) ＝－12cos(2x ＋π3)＋12，所以最小正周期为T ＝π，所以⌝Q 为假，P ∧Q 为假，P ∨Q 为真，⌝Q ∧P 为假．答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：根据全称命题、特称命题真假的判断方法，对命题①，当n ＝12时，不成立，所以①是假命题；对命题②，当n ＝2时不成立，所以②也是假命题；对命题③，当n ＝－1时，不存在m ∈R ，使m 2＜－1，所以③也是假命题；对命题④，当n ＝1时∀m ∈R ，m·1＝m ，④正确．答案：④7．解析：当p 真时a ≤4，当q 真时Δ＝4a 2－4(2－a)≤0，即－2≤a ≤1，由“p ∧q 为真”得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4－2≤a ≤1，即－2≤a ≤1. 答案：[－2,1]8．解析：易知q 为∀x ∈R ＋，x －1x ≤0，而x ＝2时，2－12＝32＞0，故q 为假命题． 答案：∀x ∈R ＋，x －1x≤0 假三、解答题：本大题共2小题，共36分．9. （本小题满分16分，（1）小问8分，（2）小问8分））解：(1)∀a ∈R ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有唯一解．假命题．∵a ＝0，b ＝1时无解．(2)∃x 0∈R ，1x 20－2x 0＋3＝34.假命题．∵x 20－2x 0＋3＝(x 0－1)2＋2≥2， ∴1(x 0－1)2＋2≤12.∴不存在x 0∈R ，使得1x 20－2x 0＋3＝34.10. （本小题满分16分）解：当p 为真时：0＜c ＜1.对于命题q ：∵2≤x ＋1x ≤52， 要使x ＋1x >1c 恒成立，只要2＞1c ，即c ＞12，即q 为真时c ＞12. 又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p ，q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0＜c ≤12. 当p 为假，q 为真时，c ≥1.综上，c 的取值范围为{c|0＜c ≤12或c ≥1}．。

简单的逻辑联结词一、综合题:a2b2<0a,b∈R;命题q:a-22|b-3|≥0a,b∈R,下列结论正确的是∨q为真∧q为真C┐p为假D┐q为真,b,c都是实数,已知命题p:若a>b,则ac>bc;命题q:若a>b>0,则ac>bc则下列命题中为真命题的是A┐p∨q∧qC┐p∧┐qD┐p∨┐q:设∈R,若||=,则>0,命题q:设∈R,若2=3,则则下列命题为真命题的是∨q∧qC┐p∧q D┐p∨q,q,则命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件:|2-|≥6,q:∈Z若“p∧q”与“┐q”同时为假命题,则的值为,2 ,0,1,2:点P在直线y=2-3上,q:点P在抛物线y=-2上,则使“p∧q”为真命题的点P,y可能是A0,-3B1,2C1,-1D-1,1:函数f=|lg|为偶函数,q:函数g=lg||为奇函数,由它们构成的“p∨q”“p∧q”和“┐p”形式的命题中,真命题是:2-≥6,q:∈Z,若“p∧q”“┐q”都是假命题,则的值组成的集合为:方程22-23=0的两根都是实数,q:方程22-23=0的两根不相等,试写出由这组命题构成的“p∨q”“p∧q”“┐p”形式的命题,并指出其真假>0,a≠1,设p:函数y=log a1在区间0,∞内单调递减;q:曲线y=22a-31与轴交于不同的两点,如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围参考答案1答案:A解析:∵命题p为假,命题q为真,∴p∨q为真,p∧q为假,┐p为真,┐q为假2答案:D解析:∵p真q假,∴┐p∨q为假,p∧q为假,┐p∧┐q为假,┐p∨┐q为真3答案:D解析:由||=应得≥0而不是>0,故p为假命题;而不只有,故q为假命题由2=34答案:B解析:当p或q为真时,可以得到p和q中至少有一个为真,这时q且p不一定为真;反之,当q且p为真时,必有p和q都为真,一定可得p或q为真5答案:D解析:∵p∧q为假,∴p,q至少有一个为假又“┐q”为假,∴q为真,从而可知p为假由p假q真,可得|2-|<6且∈Z,故的值为-1,0,1,26答案:C解析:使“p∧q”为真命题的点P,y即为直线y=2-3与抛物线y=-2的交点,即可解得7答案:┐p解析:函数f=|lg|为非奇非偶函数,g=lg||为偶函数,故命题p和q均为假命题,从而只有“┐p”为真命题8答案:{-1,0,1,2}解析:由于“p∧q”为假,“┐q”为假,所以q为真,p为假故因此的值可以是:-1,0,1,29解:“p∧q”的形式:方程22-23=0的两根都是实数或不相等“p∧q”的形式:方程22-23=0的两根都是实数且不相等“┐p”的形式:方程22-23=0无实根∵Δ=24-24=0,∴方程有两个相等的实根∴p真,q假,∴p∨q真,p∧q假,┐p假10提示:当0<a<1时,函数y=log a1在区间0,∞内单调递减;当a>1时,函数y=log a1在区间0,∞内不单调递减曲线y=22a-31与轴交于不同的两点,等价于Δ=2a-32-4>0,即0<a<或a>因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p与q恰好一真一假当p真,q假时,函数y=log a1在区间0,∞内单调递减,曲线y=22a-31与轴交于一点或没有交点,当p假,q真时,函数y=log a1在区间0,∞内不单调递减,曲线y=22a-31与轴交于不同的两点。

§1.3 简单的逻辑联结词1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“______”、“______”、“______”叫做逻辑联结词. (2)用来判断复合命题真假的真值表：2. “p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”； “p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”. [难点正本 疑点清源]1.逻辑联结词“或”的含义有三种逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同.如“x ∈A 或x ∈B ”，是指：x ∈A 且x ∉B ；x ∉A 且x ∈B ；x ∈A 且x ∈B 三种情况.再如“p 真或q 真”是指：p 真且q 假；p 假且q 真；p 真且q 真三种情况.因此，在遇到逻辑联结词“或”时，要注意分析三种情况. 2.正确区别：命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既 否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论. 命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.1.命题p ：有的三角形是等边三角形.命题綈p ：______________________________.2．p ：2∉{1,3}，q ：2∉{x |x 2－4＝0}，则p ∧q 是________________，是________命题，p ∨q 是____________，是________命题．3.下列命题中，所有真命题的序号是________. ①5>2且7>4；②3>4或4>3；③2不是无理数.4．下列命题中既是p ∧q 形式的命题，又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是4和－1C ．集合A 是A ∩B 的子集或是A ∪B 的子集D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形 5．下列命题中的真命题是( ) A ．存在x ∈R ，使得sin x cos x ＝35B ．存在x ∈(－∞，0),2x >1C ．对任意x ∈R ，x 2≥x －1D ．对任意x ∈(0，π)，sin x >cos x题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断 例1 已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是________. 探究提高 (1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解.(2)解决该类问题的基本步骤是：①弄清构成复合命题中简单命题p 和q 的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题真假规律判断构成新命题的真假.写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式的复合命题，并判断真假.(1)p ：1是素数；q ：1是方程x 2＋2x －3＝0的根；(2)p ：平行四边形的对角线相等；q ：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同；q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等.题型二 根据含有逻辑联结词的命题的真假，求参数的取值范围例2 设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫12|x －1|≥a 的解集为∅，命题q ：函数f (x )＝lg ⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －2)x ＋98的定义域为R ，若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求a 的取值范围.探究提高 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2－ax ＋1>0对任意x ∈R 恒成立.若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围.1.借助逻辑联结词求解参数范围问题试题：(14分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围.审题视角 (1)p 、q 真时，分别求出相应的a 的范围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的范围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假. 规范解答解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1. [2分] 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.[3分]又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.[7分]又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真.[9分]①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. [11分] ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.[13分] 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[14分]第一步：求命题p、q对应的参数的范围.第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围.第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p真q假”或“p假q真”.第四步：根据新命题，确定参数的范围.第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.批阅笔记解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算.答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整.老师在阅卷时，便于查找得分点.方法与技巧1．要写一个命题的否定，需先分清其条件和结论，然后对结论全盘否定，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假．失误与防范1.p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p∧q为真命题，必须p、q同时为真.2.p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.3.简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系.§1.3简单的逻辑联结词(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m <0，那 么( )A.“綈p ”是假命题B.q 是真命题C.“p 或q ”为假命题D.“p 且q ”为真命题2.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤－2或a ＝1}B.{a |a ≥1}C.{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D.{a |－2≤a ≤1}3.已知p ：|x －a |<4；q ：(x －2)(3－x )>0，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( )A.a <－1或a >6B.a ≤－1或a ≥6C.－1≤a ≤6D.－1<a <6二、填空题4．给定下列命题：p ：0不是自然数，q ：2是无理数，在命题“p ∧q ”“p ∨q ”中，真命题是__________．5.令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________.6.若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中， 是真命题的有________. 三、解答题7.已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数.命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立.如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求c 的取值范围.8.命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围.B 组 专项能力提升题组一、选择题1.若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( )A.∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B.∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C.∃a ∈R ，f (x )是偶函数D.∃a ∈R ，f (x )是奇函数2．命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x )的图象关于(3,0)对称，那么函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则有( )A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真3.已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0；命题q ：∃x ∈R ，sin x －cos x ＝ 2.则下列判断正确的是 ( ) A.p 是真命题 B.q 是假命题 C.綈p 是假命题 D.綈q 是假命题 二、填空题4.已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.5.已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m的取值范围是__________.6.设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是____________.7.下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”.其中正确结论的序号为________. 三、解答题8.已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x20＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围.答案要点梳理1．(1)或 且 非 (2)真 假 假 真 假 假 真 真 假 真 假 真 真 基础自测1．所有的三角形都不是等边三角形2．2∉{1,3}且2∉{x |x 2－4＝0} 假 2∉{1,3}或2∉{x |x 2－4＝0} 真 3．①② 4．D 5．C 题型分类·深度剖析 例1 q 1，q 4变式训练1 解 (1)p ∨q ：1是素数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题． p ∧q ：1既是素数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题． 綈p ：1不是素数．真命题．(2)p ∨q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p ∧q ：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题． 綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题． p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题． 綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的符号不相同．真命题． 例2 解 ①若p 正确，则由0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，得a >1. ②若q 正确，则ax 2＋(a －2)x ＋98>0解集为R .当a ＝0时，－2x ＋98>0不合题意，舍去；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0(a －2)2－4a ×98<0， 解得12<a <8.③∵p 和q 中有且仅有一个正确， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤112<a <8，∴a ≥8或12<a ≤1.变式训练2 解 ∵函数y ＝a x 在R 上单调递增，∴p ：a >1. 不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立， ∴a >0且a 2－4a <0，解得0<a <4， ∴q ：0<a <4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真， ∴p 、q 中必有一真一假．①当p 真，q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ≥4，得a ≥4.②当p 假，q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤10<a <4，得0<a ≤1.故a 的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)． 课时规范训练 A 组1．C 2．A 3．C 4．p ∨q 5．a >1 6．綈p 、綈q 7.解 由命题p 为真知，0<c <1， 由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c <2，即c >12，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， 则p 、q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c ≥1. 综上可知，c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.8.解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点， 故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数， ∴3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2. 综上可知，所求实数a 的取值范围为 1≤a <2，或a ≤－2. B 组 1．C 2．C 3．D 4.⎣⎡⎦⎤0，12 5．(－∞，1] 6．(－∞，－2]∪[－1,3) 7．①③8．解 由2x 2＋ax －a 2＝0 得(2x －a )(x ＋a )＝0, ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点，∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2. 即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}．。

高二数学学案使用时间：2015年 11月 23 日编印者：段会茹审定者：赵国宾一、学习目标：1、了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2、正确应用“或”、“且”解决问题。

3、掌握真值表并会用真值表解决问题。

二、自主学习：基础梳理1．且(and)．(1)定义：一般地，用联结词“”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“．(2)当p，q两个命题都为真命题时，p∧q就为；当p，q两个命题中只要有一个命题为假命题时，p∧q就为．2．或(or)．(1)定义：一般地，用联结词“”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“”．(2)当p，q两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p∨q就为；当p，q 两个命题都为假命题时，p∨q就为．3．非(not)．(1)定义：一般地，对一个命题p ，就得到一个新命题，记作綈p.读作“”或“”．(2)若p为真命题时，则綈p必为；若p为假命题，则綈p为．4．复合命题真值表．复合命题的真假可通过真值表加以判断：注意：判断复合命题真假的基本程序是：(1)确定复合命题的构成形式(先找出逻辑联结词，后确定被联结的简单命题)；(2)判断各个简单命题的真假；(3)结合真值表推断复合命题的真假．5．复合命题的否定．(1)命题的否定：“⌝p”是命题“p”的否定，命题“⌝p”与命题“p”的真假正好相反．(2)命题(p∧q)的否定：命题(p∧q)的否定是“⌝p∨⌝q”．(3)命题(p∨q)的否定：命题(p∨q)的否定是“⌝p∧⌝q”．6．常用词语及其否定．例1、将下列命题用“且”联结成新命题，并判断他们的真假。

p:平行四边形的对角线互相平分，q；平行四边形的对角线相等。

p:菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分。

p：35是15的倍数，q:35是7的倍数。

例2、用逻辑联结词“且”改写下列命题，并判断他们的真假：（1）1即是奇数，有是素数。

（2）2和3都是素数。

《1简单的逻辑联结词(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)A.p∧qB.p∧qC.p∧qD.p∧q【解题指南】先判定出命题p,q的真假,再利用逻辑联结词进行有关判定.【解析】选A.易知命题p为真命题,q为假命题,故p∧q为真命题,p∧q为假命题,p∧q为假命题,p∧q为假命题.2.(2014·驻马店高二检测)若p∨q是假命题,则()A.p是真命题,q是假命题B.p,q均为假命题C.p,q至少有一个是假命题D.p,q至少有一个是真命题【解析】选B.只有当p,q均为假命题时,p∨q才是假命题,故选B.A.“p∨q”为真B.“p∧q”为真C.“p”为假D.“q”为真【解析】选A.明显p假q真,故“p∨q”为真,“p∧q”为假,“p”为真,“q”为假,故选A.4.命题p:“若a<b,则2a<2b”的否命题及命题p的否定为()A.否命题:若a≥b,则2a≥2b,否定:若a<b,则2a≥2bB.否命题:若a<b,则2a≥2b,否定:若a≥b,则2a≥2bC.否命题:若2a<2b,则a<b,否定:若2a<2b,则a≥b.D.否命题:若a>b,则2a>2b,否定:若a<b,则2a>2b.【解析】选A.命题“若a<b,则2a<2b”的否命题为“若a≥b,则2a≥2b”,命题p的否定为“若a<b,则2a≥2b”.5.在下列结论中,正确的结论为()①“p∧q”为真是“p∨q”为确实充分不必要条件;②“p∧q”为假是“p∨q”为确实充分不必要条件;③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.A.①②B.①③C.②④D.③④【解析】选B.充分明白得含逻辑联结词的命题真假的判定方法,关于①,当p∧q为真时,p与q均为真,p∨q为真,但当p∨q为真时,p与q至少有一个为真,但p∧q不一定为真,故是充分不必要条件.关于②,p∧q为假,即p与q中至少有一个为假,则p∨q真假不确定,而当p∨q为真时,即p与q中至少有一个为真,则p∧q真假不确定,故既不是充分条件也不是必要条件.关于③,p∨q为真,则p与q至少有一个为真,但p真假不确定,但当p为假,即p为真时,p∨q一定为真,故是必要不充分条件.关于④p为真,即p为假,则p∧q为假,但当p∧q为假,即p与q至少有一个为假时,p真假不确定,故是充分不必要条件.A.a>0B.a≥0C.a>1D.a≥1【解题指南】先分不求出命题p,q为确实充要条件,再分不求出p,q为假的充要条件,利用分类讨论思想求解.【解析】选B.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”的充要条件为Δ=4 -4a≥0,即a≤1,则p为真时,a>1;则“q”为真命题时,0≤a≤1.由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,得p,q一真一假:若p真q假,则0≤a≤1;若p假q真,则a>1.因此实数a的取值范畴是a≥0.【举一反三】若本题变为“q”为假命题且“p∨(q)”为真命题,其余条件不变,则实数a的取值范畴是.【解析】由“q”为假命题且“p∨(q)”为真命题,得p真q真,因此实数a的取值范畴是a<0.答案:a<0二、填空题(每小题4分,共12分)【解析】若p为真命题,则按照绝对值的几何意义可知m≤1.若q为真命题,则7-3m>1,因此m<2,若p真q假,则m∈.若p假q真,则1<m<2.综上所述,1<m<2.答案:1<m<2因此p∧q为假,①错误;p∨q为真,②正确;p为假,③错误;q为真,④错误.答案:②因为p且q为假命题,因此p,q中至少有一个为假,因此x≥3或x≤-1.答案:(-∞,-1]∪[3,+∞).三、解答题(每小题10分,共20分)10.分不指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”及“p”形式,并判定真假:【解析】(1)p∨q,2n-1(n∈Z)是奇数或是偶数;(真)p:2n-1(n∈Z)不是奇数.(假)p:a2+b2≥0.(真)p集合中的元素是不确定的.(假).(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范畴.(2)若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范畴.(1)当a=1时,确定p:1<x<3,再由p∧q为真,可知p,q均为真,故所求实数x的取值范畴确实是命题p,q所表示的集合的交集.(2)由条件可知,q是p的充分不必要条件,故命题q所表示的集合是命题p所表示的集合的真子集,然后借用数轴求解即可.【解析】(1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)·(x-a)<0,又a>0,因此a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真命题时,实数x的取值范畴是1<x<3,由x2-5x +6≤0得2≤x≤3,因此q为真时实数x的取值范畴是2≤x≤3.若p∧q为真,则2≤x<3,因此实数x的取值范畴是[2,3).(2)设A={x|a<x<3a},B={x|2≤x≤3},由题意可知q是p的充分不必要条件,则B A,因此⇒1<a<2,因此实数a的取值范畴是(1,2).(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范畴”,q是“乙降落在指定范畴”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范畴”可表示为()A.(p)∨(q)B.p∨(q)C.(p)∧(q)D.p∨q【解题指南】本题考查了逻辑联结词的应用.【解析】选A.至少有一位学员没有降落在指定范畴指的是甲没有降落在指定范畴或乙没有降落在指定范畴,故选A.A.p真B.q假C.p∧q真D.p∨q假【解析】选B.命题p为假命题,命题q为真命题,故选B.A.(p)∨qB.p∧qC.(p)∧(q)D.(p)∨(q)【解析】选D.关于p,函数对应的方程x2-x-1=0的判不式Δ=(-1)2-4×(-1)=5>0.可知函数有两个不同的零点,故p为真.当x<0时,不等式<1恒成立;当x>0时,不等式的解为x>1.故不等式<1的解为x<0或x>1.故命题q为假命题.因此只有(p)∨(q)为真,故选D.3.已知命题(p∧q)∧(p∨q)为真命题,则()A.p,q都为真B.p真,q假C.p假,q真D.p,q都为假【解析】选B.因为(p∧q)∧(p∨q)为真命题,因此(p∧q)为真命题,(p∨q)也为真命题,因为(p∧q)为真命题,因此p和q差不多上真命题,因此p真,q假.现在(p∨q)也为真命题,符合题意.【误区警示】解答本题易显现如下错误现象:(1)不知从何处入手,找不到咨询题突破口.(2)层次不清,推理纷乱.(3)步骤不衔接,前后矛盾.(4)对逻辑联结词明白得不准,显现知识性错误.A.{x|x≤-1或x≥3,x∉Z}B.{x|-1≤x≤3,x∉Z}C.{x|x<-1或x∈Z}D.{x|-1<x<3,x∈Z}因此满足-1<x<3且x∈Z,故满足条件的集合为{x|-1<x<3,x∈Z}.二、填空题(每小题5分,共10分)命题,命题p∨q是命题.【解析】命题p:2∉{1,3}是真命题.因为{x|x2-4=0}={-2,2},因此命题p∧q是假命题,命题p∨q是真命题.答案:假真①p∨q;②p∧q;③p;④q.其中真命题的序号是.【解析】因为π是y=|sinx|的最小正周期,因此q为假.又因为p为真,因此p∨q为真,p∧q为假,p为假,q为真.答案:①④三、解答题(每小题12分,共24分)【解析】当p为真命题时,Δ=k2-4≤0,因此,-2≤k≤2.当q为真命题时,令f(x)=x2+(2k-1)x+k2,方程有两个大于1的实数根⇔即因此k<-2.要使p且q为假,p或q为真,则p真q假,或者是p假q真.当p真q假时,-2≤k≤2,当p假q真时,k<-2.综上:k≤2.(1)若p为真命题,求实数a的取值范畴.(2)试咨询:p∧q是否有可能为真命题?若有可能,求出a的取值范畴;若不可能,请讲明理由.【解析】(1)若p为真命题,令f(x)=2x2+x+a,则f(1)<0,即3+a<0,因此a<-3.(2)假设p∧q是真命题,则p,q均为真命题,由(1)知p真时a<-3.当q为真命题时,需即a>1.明显p,q均为真命题时需现在a不存在,故不存在a的值使p∧q为真命题.。

课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固组1。

设命题p:∃n∈N，n2〉2n，则p为()A。

∀n∈N，n2〉2n B.∃n∈N,n2≤2nC。

∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2=2n2.(2020辽宁沈阳二中五模,文3）已知命题“∃x∈R,使2x2+（a—1)x+1≤0”是假命题,则实数a的取值范围是（)2A.（—∞，—1)B.(—1,3)C。

（-3,+∞) D。

（-3,1）3。

（2020广东广州一模，文5）已知命题p：∀x∈R，x2—x+1〈0;命题q:∃x∈R,x2〉x3,则下列命题中为真命题的是（）A。

p∧q B.p∧q C.p∧q D.p∧q4.命题p:∃x0∈R,x0-2〉0；命题q:∀x∈R,√x<x,则下列命题中为真命题的是(）A.p∨qB.p∧qC.(p)∨qD.(p）∧(q）5。

(2020河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B 是偶函数集。

若命题p:∀f(x)∈A，|f（x)｜∈B,则p为（)A.∀f（x）∈A,｜f（x)|∉BB.∀f(x)∉A,|f(x)|∉BC.∃f（x)∈A,|f（x）|∉BD.∃f（x）∉A，|f（x)｜∉B6。

已知命题p：对任意x∈R,总有2x〉x2；命题q：“ab>1"是“a>1,b>1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是(）A。

p∧q B。

（p)∧qC.p∧(q) D。

（p）∧(q)7。

已知命题p:∃x0∈R，2x0<x0-1;命题q：在△ABC中,“BC2+AC2〈AB2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.则下列命题中的真命题是（)A。

q B.p∧qC.p∨（q） D。

（p）∧q8.（2020湖南永州二模，理5)下列说法正确的是()A.若“p∨q"为真命题，则“p∧q”为真命题B。

命题“∀x>0,e x-x—1>0”的否定是“∃x0≤0，e x0—x0-1≤0”C。

教学点评本节课准确把握了章起始课的定位，紧紧围绕为“什么学、学什么以及怎样学”的问题展开，从同学自己演绎情境剧引入，巧妙引发所要探究的问题，通过有效的数学情景递进探究，通过动态的串知成链，很好的完成了全章的知识框架结构图，既体现数学知识在探究过程中的自然生成过程，又与学生的认知过程相吻合，充分体现了新课改的基本理念.本堂课体现了如下特色：1.贴近生活，创设情境，激发兴趣第斯惠说：“教学的艺术不在于传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。

”本节课开始，是同学们自己表演的一出情景剧，剧情生活化，这样更能激发学生的兴趣，问题的提出、探究，再引出今天的课题也就水到渠成。

2.积极倡导探究教学，动态实现知识体系的有效建构本节课中的定义概念，教师并没有直接给出，而是让学生在认知和思考的过程中不断的得到更深刻的认识，充分体现了数学抽象的核心素养，在教师精心设计的问题中让学生“发现”如何判断命题的真假，充分体现了教师的主导性，学生的主体性。

整个课堂教学活动有条不紊，凡是学生能自己解决的事情，教师都没有包办代替，坚决让学生自己做。

比如对开场故事情境的演绎，对逻辑历史的收集整理，之后对课堂中一环接一环的思考，都是学生通过小组合作完成，在此过程中不仅完成了本节课的教学标准及对核心素养的渗透，而且尝到了学习数学的乐趣，处处感受到成功的喜悦。

3.教学环节环环相扣整节课通过情境引入和逻辑历史的展示说明逻辑研究的意义（为什么学），然后对两个命题层层递进式的逐步探究，将常用逻辑用语研究的内容（学什么），常用逻辑用语研究的方式（怎么学）通过学生自主探究，自然有序的展现出来。

有效破解了章起始课因知识繁多，内容庞杂而难于整合这一教学难题。

在实际处理中注重度的把握，保证学生基础支撑，但也避免一叶障目失去起始课应有价值。

在教学过程中不仅让学生明白了学习常用逻辑用语的重要意义，而且对本章将要学习的主要内容及知识框架有了大致了解，更重要的是通过本节课的学习让学生对逻辑用语的主要特点及学习方法有了初步感知，为后续学习做好了充足的心理准备，唤起了学生对本章学习的强烈期待。

第4讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词zsg 知识点回顾1．简单的逻辑联结词(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判断2.(1)(2)[热身运动1．若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q同真同假答案：B2．(2014·高考安徽卷)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋x20<0 D．∃x0∈R，|x0|＋x20≥0解析：选C.∀x∈R，|x|＋x2≥0的否定是∃x0∈R，|x0|＋x20<0.故选C.要点整合1．注意两类特殊命题的否定(1)注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．⑶注意区别命题的否定与否命题的区别.2．含逻辑联结词命题真假的判断方法(1)p∧q中一假即假．(2)p∨q中一真必真．(3)￢p真，p假；￢p假，p真．[做一做]3．命题p：∀x∈R，sin x＜1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是()A．p∧q B．￢p∧q C．p∨￢q D．￢p∧￢q解析：选B.p是假命题，q是真命题，所以B正确．4．p：菱形的对角线互相垂直；则￢p：______________．答案：有的菱形的对角线不垂直典例剖析考点突破考点一全称命题、特称命题(高频考点)全称命题与特称命题是高考的常考内容，多和其他数学知识相结合命题，常以选择题、填空题的形式出现．高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度：(1)判断全称命题、特称命题的真假性；(2)全称命题、特称命题的否定．例一(1)(2015·高考浙江卷)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是() A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0(2)已知函数f(x)＝x2＋bx(b∈R)，则下列结论正确的是()A．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀b∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃b∈R，f(x)为奇函数D．∃b∈R，f(x)为偶函数(3)命题：“对任意k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________．[解析](1)写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．(2)注意到b＝0时，f(x)＝x2是偶函数．(3)全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k>0，方程x2＋x－k＝0无实根”．[答案](1)B(2)D(3)存在k>0，方程x2＋x－k＝0无实根[规律方法](1)判断全称命题真假时，要注意假命题时只需举出一个反例否定即可，而真命题必须保证对限定的集合中每一个元素都成立．(2)写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．过三关 1.(1)(2015·沈阳市教学质量监测)下列命题中，真命题是()A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈R，－1<sin x<1C．∃x0∈R，2x0<0D．∃x0∈R，tan x0＝2(2)命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为()A．∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)B．∀x∈M，f(－x)≠f(x)C．∀x∈M，f(－x)＝f(x)D．∃x0∈M，f(－x0)＝f(x0)(3)若命题“∃x0∈R，2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析：(1)∀x∈R，x2≥0，故A错．∀x∈R，－1≤sin x≤1，故B错．由y＝2x的图象可知∀x∈R，2x>0，故C错．D正确．(2)由偶函数的定义及命题“函数y＝f(x)(x∈M)是偶函数”，可知“∀x∈M，f(－x)＝f(x)”，该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即“∃x0∈M，f(－x0)≠f(x0)”．(3)因为“∃x0∈R，2x20－3ax0＋9<0”为假命题，则“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤2 2.答案：(1)D(2)A(3)[－22，22]考点二含有逻辑联结词的命题的真假判断例二(2014·高考重庆卷)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．￢p ∧￢qC ．￢p ∧qD ．p ∧￢q[解析] 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q 、綈p 为假命题，綈q 为真命题，綈p ∧綈q 、綈p ∧q 为假命题，p ∧綈q 为真命题，故选D.[答案] D[规律方法] 若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假，其步骤如下： (1)判断复合命题的结构；(2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假； (3)依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，作出判断即可．乘胜追击 2.(2015·贵州省第一次联考)已知命题p 1：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0；p 2：∀x ∈[1，2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．￢p 1∧￢p 2B ．p 1∨￢p 2C ．￢p 1∧p 2D ．p 1∧p 2 解析：选C.对于命题p 1，因为Δ＝1－4<0，所以p 1是假命题，p 2：∀x ∈[1，2]，x 2－1≥0是真命题，故￢p 1∧p 2为真命题．考点三 由命题真假确定参数的取值范围 例三 (2015·山西名校联考)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2[解析] 依题意知p ，q 均为假命题，当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是真命题时，则有Δ＝m 2－4＜0，－2＜m ＜2. 因此由p ，q 均为假命题得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. [答案] A互动探究 若本例中的条件“p ∨q 为假命题”变为“p ∧(綈q )为真命题”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由p ∧(￢q )知p 为真命题且q 为假命题．p 为真命题，则m <0，q 为假命题，∴Δ≥0，则m ≥2或m ≤－2.∴m ≤－2，实数m 的取值范围为(－∞，－2]．[规律方法] 根据命题真假求参数的方法步骤：(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．乘胜追击 3.已知命题p ：存在实数x ，使得不等式x 2＋2ax ＋a ≤0成立．若命题p 是假命题，求实数a 的取值范围．解：法一：当命题p 是真命题时，有(x 2＋2ax ＋a )min ≤0，即a －a 2≤0，得a ≥1或a ≤0，故当命题p 是假命题时，有0<a <1.法二：若命题p 是假命题，则不存在实数x ，使得不等式x 2＋2ax ＋a ≤0成立，即对于任意的实数x ，不等式x 2＋2ax ＋a >0恒成立，从而Δ＝4a 2－4a <0，得0<a <1.举一反三方法思想——分类讨论思想求解命题中的参数例题 已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． [解] ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减， ∴0<c <1，即p ：0<c <1.∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数， ∴c ≤12，即q ：0<c ≤12.∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩{c |c >12，且c ≠1}＝{c |12<c <1}．②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩{c |0<c ≤12}＝∅.综上所述，实数c 的取值范围是{c |12<c <1}．[名师点评] 解答本题时运用了分类讨论思想，由条件可知p 、q 一真一假，因此需分p 真q 假与p 假q 真两类讨论，分别求解，最后将解合并，实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．乘胜追击 (2015·贵州安顺质检)已知两个命题r ：sin x ＋cos x >m ；s ：x 2＋mx ＋1>0.如果对任意的x ∈R ，r 与s 有且仅有一个是真命题，求实数m 的取值范围．解：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2，∴当r 是真命题时，m <－ 2.又∵对任意的x ∈R ，s 为真命题，即x 2＋mx ＋1>0恒成立， ∴Δ＝m 2－4<0， ∴－2<m <2.当r 为真，s 为假时，需满足m <－2，且m ≤－2或m ≥2， ∴m ≤－2；当r 为假，s 为真时，需满足m ≥－2且－2<m <2，∴－2≤m <2.综上所述，实数m 的取值范围是{m |m ≤－2或－2≤m <2}． 双基训练1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：选B.根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，￢p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，￢p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是真命题，￢p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )>0D ．p 是真命题，￢p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x 0)≥0解析：选D.因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0，所以p 是真命题，又全称命题的否定是特称命题，所以答案选D.3．(2014·高考辽宁卷)设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．￢p )∧(￢q )D ．p ∨(￢q )解析：选A.由题意知命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．故选A.4．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1，3] B ．(－1，3) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：选D.因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3，故选D.5．(2015·太原市模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(￢q )为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．[0，2]C ．RD ．∅解析：选B.若p ∨(￢q )为假命题，则p 假q 真．命题p 为假命题，有0≤m <e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.最后要使p ∨(￢q )为假命题，m 的取值范围是0≤m ≤2.6．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 是________．解析：因为p 是￢p 的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋17．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba }，命题q ：关于x 的不等式(x－a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“￢p ”、“￢q ”中，是真命题的有________．解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“￢p ”为真，“￢q ”为真．答案：￢p ，￢q 8．(2015·北京西城区模拟)已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．解析：若命题p 是真命题，则c －1>0，c >1；若命题q 是真命题，则Δ＝1－4c <0，c >14.因此，由p 且q 是真命题得⎩⎪⎨⎪⎧c >1，c >14，即c >1，即实数c 的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)9．命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，函数f (x )＝|log 2x |的值域为[0，＋∞)；命题q ：∃m ≥0，使y ＝sin mx 的周期小于π2，试判断p ∨q ，p ∧q ，綈p 的真假性．解：对于命题p ，当f (x )＝|log 2x |＝0时，log 2x ＝0，即x ＝1，1∉(1，＋∞)，故命题p 为假命题．对于命题q ，y ＝sin mx 的周期T ＝2π|m |<π2，即|m |>4，故m <－4或m >4，故存在m ≥0，使得命题q 成立，故p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为真命题．10．已知命题p ：存在一个实数x ，使ax 2＋ax ＋1＜0.当a ∈A 时，非p 为真命题，求集合A .解：￢p 为真，即“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0”为真． 若a ＝0，则1≥0成立，即a ＝0时非p 为真；若a ≠0，则￢p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＝a 2－4a ≤0⇔0＜a ≤4. 综上知，所求集合A ＝[0，4]．。

简单的逻辑联结词北京四中侯彬一、逻辑联结词：且，或，非例：给出如下命题：（1）12是3的倍数；（2）12是4的倍数；（3）12是3的倍数，且12是4的倍数；（4）12是3的倍数，或12是4的倍数；（5）12不是3的倍数在逻辑、数学中使用“且”、“或”、“非”三种逻辑联结词，用它们和比较简单的命题能够构成相对复杂的命题.例：给出如下命题：（1）p；（2）q；（3）p且q；（记作 p∧q）（4）p或q；（记作 p∨q）（5）非p. （记作¬ p）→命题的否定二、例题例1 将下列各组命题用“且”联结组成新命题：（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等；（2）p：集合A是A B的子集，q：集合A是A B的子集；x+≥，（3）p：211q：3>4.解析：（1）p∧q：平行四边形的对角线互相平分且相等；（2）p∧q：集合A是A B的子集，且是A B的子集；（3）p∧q：211（1）p真，q真， p∧q真；（2）p假，q真， p∧q假；（2）p真，q假， p∧q假.例2 将下列各组命题用“或”联结组成新命题： （1）p ：平行四边形的对角线互相平分， q ：平行四边形的对角线相等； （2）p ：集合A 是A B 的子集， q ：集合A 是A B 的子集； （3）p ：211x +≥ ， q ：3>4.解析：（1）p ∨q ：平行四边形的对角线互相平分或相等；（2）p ∨q ：集合A 是A B 的子集，或是A B 的子集； （3）p ∨q ：211x +≥，或3>4.（1）p 真，q 真， p ∨q 真； （2）p 假，q 真， p ∨q 真；（2）p 真，q 假， p ∨q 真.例3 写出下列命题的否定：（1）p ：平行四边形的对角线相等； （2）p ：集合A 是A B 的子集； （3）p ：3>4. 解析：（1）¬ p：平行四边形的对角线不相等； （2）¬ p：集合A 不是A B 的子集； （3）¬ p：3≤4.（1）p 真，¬ p 假； （2）p 真，¬ p 假； （3）p 假，¬ p 真.例4 判断下列命题的真假：（1）1是奇数，且1是素数；（2）2是素数，且3是素数；（3）2≤2；（4）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等；（5）y = sin x不是周期函数.例5 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是（）（A）(¬p)∨q （B） p∧q（C）(¬p)∨(¬q) （D）(¬p)∧(¬q)例6 若命题p∧q的否定是假命题，则（）（A）p和q都是真命题（B）p和q都是假命题（C）p是真命题，q是假命题（D）p是假命题，q是真命题练习：1、将下列各组命题用“且”与“或”联结组成新命题，并判断它们的真假. （1）p：4∈{2，3}，q：2∈{2，3}.（2）p：奇函数的图象关于原点对称；q：7≥8.2、写出下列命题的否定，并判断它们的真假.=-；（11x-=的根.（2）3是290三、总结（1）逻辑联结词：且(∧)，或(∨)，非(¬).（2）用真值表判断命题p∧q，p∨q，¬ p的真假。