【全程复习方略】(山东专用)高中数学 阶段滚动检测(四)理 新人教B版

阶段滚动检测（四）第一～七章（120分钟 150分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图为长方体木块堆成的几何体的三视图,则组成此几何体的长方体木块共有( )(A)3块(B)4块(C)5块(D)6块2.(滚动单独考查)已知a,b∈(0,+∞),若命题p:a2+b2<1,命题q:ab+1≤a+b,则p是 q的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3.(滚动单独考查)已知函数f(x)=(1+cos2x)sin2x,x∈R,则f(x)是( )(A)最小正周期为π的奇函数(B)最小正周期为的奇函数(C)最小正周期为π的偶函数(D)最小正周期为的偶函数4.(2012·哈尔滨模拟)某品牌香水瓶的三视图如图(单位:cm),则该几何体的表面积为( )(C)(94+)cm2 (D)(95+)cm2的直径,点M为线段PB的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面PAC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长.其中正确的是( )(A)①②(B)①②③(C)①(D)②③6.(滚动交汇考查)已知点G是△ABC的重心,若∠A=120°,·=-2,则||的最小值是( )(A) (B) (C) (D)7.(2013·南昌模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线B1D与平面A1BC1相交于点E,则点E为△A1BC1的( )(A)垂心(B)内心(C)外心(D)重心8.(滚动单独考查)函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为( )(A)[1,8) (B)(-24,1](C)[1,8] (D)(-24,8)9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )(A)(B)32 (C)(D)+810.(2013·西宁模拟)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大(柱体体积=底面积×高)时,其高的值为( )(A)3(B)2(C)(D)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.如图,表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有对.12.(滚动单独考查)已知不等式组表示的平面区域的面积是8,则a的值是.13.(滚动单独考查)已知偶函数y=f(x)在区间[-1,0]上单调递增,且满足f(1-x)+f(1+x)=0,给出下列判断:①f(5)=0;②f(x)在[1,2]上是减函数;③f(x)的图像关于直线x=1对称;④f(x)在x=0处取得最大值;⑤f(x)没有最小值.其中正确判断的序号是.14.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折起,使平面ADC⊥平面ABC,则四面体ABCD的外接球的体积为.15.某几何体的三视图如图,则该几何体体积的最大值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2013·太原模拟)如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E,F分别为棱AC,AD的中点.(1)求证:DC⊥平面ABC.(2)设CD=a,求三棱锥A-BFE的体积.17.(12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.(1)若D为AA1中点,求证:平面B1CD⊥平面B1C1D.(2)若平面B1DC与平面C1DC的夹角的大小为60°,求AD的长.18.(12分)已知a1=b1=1,a n+1=b n+n,b n+1=a n+(-1)n+1,n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式a n.(2)求证:+++…+<.19.(12分)(2013·铜陵模拟)在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC.BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G为BC的中点.(1)求证:AB∥平面DEG.(2)求证:BD⊥EG.(3)求平面CDF与平面EDF的夹角的正弦值.20.(13分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2AB,N是CC1的中点,M是线段AB1上的动点.(1)当M在什么位置时,MN⊥AA1,请给出证明.(2)若直线MN与平面ABN的夹角的大小为θ,求sinθ的最大值.21.(14分)已知函数f(x)=x2+alnx,a∈R.(1)若a=-1,求函数f(x)的单调递增区间.(2)当x>1时,f(x)>lnx恒成立,求a的取值范围.答案解析1.【解析】选B.根据三视图还原该几何体如图,组成几何体的长方体木块共有4块.2.【解析】选A.q即:ab+1>a+b,即a2b2+2ab+1>a2+b2+2ab(∵a,b∈(0,+∞)),即a2+b2<1+a2b2.∵a2+b2<1⇒a2+b2<1+a2b2;而a2+b2<1+a2b2不能推出a2+b2<1,∴p是q的充分不必要条件.3.【解析】选D.∵f(x)=(1+cos2x)sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==-cos4x+,∴选D.4.【解析】选C.由三视图知该几何体上层为底面是边长为3的正方形,高为1的长方体,其表面积为2(3×1+3×3+3×1)=30;中间为底面圆半径为,高为1的圆柱,其侧面积为2π××1=π;底层为底面是边长为4的正方形,高为2的长方体,其表面积为2(4×2+4×4+4×2)=64.故所求几何体的表面积为30+π+64-2×π×()2=94+(cm2).【误区警示】本题中容易忽视去掉圆柱的两个底面面积.5.【解析】选B.对于①,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,∵AB为圆O的直径,∴BC⊥AC,又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,又PC平面PAC,∴BC⊥PC.对于②,∵点M为线段PB的中点,∴OM∥PA,∵PA平面PAC,OM平面PAC,∴OM∥平面PAC.对于③,由①知BC⊥平面PAC,∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故①②③都正确.6.【解析】选C.·=||||·cosA=-2,∴||||=4.又=(+),则||2=(||2+||2-4)≥(2||·||-4)=,∴||≥.当且仅当||=||=2时等号成立.7.【解析】选D.如图,连接B1D1与A1C1交于点F,连接EF,BE,△EB1F∽△EDB,所以BE∶EF=2∶1,且F为A1C1的中点,选D.8.【解析】选A.∵f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x-3)(x+1)>0.∴x>3或x<-1,故f(x)在[-2,-1]上为增函数,在[-1,3]上为减函数,在[3,5]上为增函数,且f(-2)=1,f(-1)=8,f(3)=-24,f(5)=8,画出f(x)的图象(图略),易知,当1≤m<8时,g(x)有3个零点.9.【解析】选C.观察三视图,该几何体直观图如图.V=V A-DCEF+V A-BCE=××(2+4)×4×4+××4×4×4=.10.【思路点拨】根据正六棱柱和球的对称性,球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点,作出轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系,在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量.【解析】选B.以正六棱柱的最大对角面作截面,如图.设球心为O,正六棱柱的上下底面中心分别为O2,O1,则O是线段O1O2的中点.设正六棱柱的底面边长为a,高为2h,则a2+h2=9.正六棱柱的体积为V=6×a2×2h,即V=3(9-h2)h,则V′=3(9-3h2),得极值点h=,不难知道这个极值是极大值,也是最大值.故当正六棱柱的体积最大时,其高为2.11.【解析】原来的正方体如图所示.其中有AB与CD,AB与GH,EF与GH三对异面直线.答案：312.【解析】原不等式也可以表示为-1≤x-y≤1,-a≤x+y≤a,第一组平行线之间的距离为d1==,第二组平行线之间的距离为d2==a,且两组平行线垂直,所以S=d1d2=8,所以a=4.答案：413.【解析】由f(1-x)+f(1+x)=0可得f(1+x)=-f(1-x),即得f(x+2)= -f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),从而得函数f(x)是周期为4的函数.令x=0,可由f(1-x)+f(1+x)=0,得f(1)=0,∴f(5)=f(1)=0.又由f(1+x)=-f(1-x)可知函数f(1+x)为奇函数,点(1,0)为函数f(x)的对称中心,即得f(x)在[1,2]上与其在[0,1]上有相同的单调性,而已知偶函数y=f(x)在区间[-1,0]上单调递增,可得函数f(x)在[1,2]上是减函数.由上面的分析可得函数f(x)在x=0处取得最大值,在x=2处取得最小值.答案：①②④14.【解析】易知外接球球心O即为AC的中点,故球半径r=AC=,∴V=πr3=π×()3=.答案：π15.【解析】由三视图知该几何体为三棱锥,记为S-ABC,其中SA⊥平面ABC,底面三角形ABC为直角三角形.∠BAC=90°,设AB=1,SA=x,AC=y,则x2+y2=6.利用不等式得x2+y2=6≥2xy,∴xy≤3(当且仅当x=y时取等号).又体积V=××AB×AC×SA=xy≤×3=.答案：16.【解析】(1)在图甲中,∵AB=BD且∠A=45°,∴∠ADB=45°,∠ABD=90°,即AB⊥BD,在图乙中,∵平面ABD⊥平面BDC,且平面ABD∩平面BDC=BD,∴AB⊥平面BDC,∴AB⊥CD.又∠DCB=90°,∴DC⊥BC,且AB∩BC=B,∴DC⊥平面ABC.(2)∵E,F分别为AC,AD的中点,∴EF∥CD,又由(1)知,DC⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC,∴V A-BFE=V F-AEB=S△AEB·FE.在图甲中,∵∠ADC=105°,∴∠BDC=60°,∠DBC=30°.由CD=a得BD=2a,BC=a,EF=CD=a,∴S△ABC=AB·BC=×2a×a=a2,∴S△AEB=a2,∴V A-BFE=×a2×a=a3.17.【解析】如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0), A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).(1)∵D为AA1的中点,∴D(1,0,1).=(0,2,0),=(-1,0,1),=(1,0,1),由·=(1,0,1)·(0,2,0)=0+0+0=0,得CD⊥C1B1.由·=(1,0,1)·(-1,0,1)=-1+0+1=0,得CD⊥DC1.又DC1∩C1B1=C1,∴CD⊥平面B1C1D.又CD 平面B1CD,∴平面B1CD⊥平面B1C1D.(2)设AD=a,则D的坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),设平面B1DC的一个法向量为m=(x,y,z),则由得令z=-1,得m=(a,1,-1),又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由cos60°=⇒=,即a=,故AD=.18.【解析】(1)由题知a2=b1+1=2,∵a n+1=b n+n=a n-1+(-1)n+n,∴a2n=a2n-2+2n-2=a2n-4+(2n-4)+(2n-2)=…=a2+2+4+…+(2n-4)+(2n-2)=2+2×=n2-n+2,同理,a2n-1=a2n-3+2n-1=a2n-5+(2n-3)+(2n-1)=…=a1+3+5+…+(2n-1)==n2.综上,a n=(n为偶数),a n=(n为奇数).(2)∵a2n=n2-n+2>n(n-1),∴<=-(n≥2).∴+++…+<+-+-+…+-=+-=-.∵a2n-1=n2>n(n-1),∴<=-(n≥2),∴+++…+<1+-+-+…+-=1+-=2-.∴+++…+<-+2-<.【方法技巧】求数列通项的方法(1)公式法:当已知数列类型时,可利用公式求数列的通项.(2)已知S n或已知S n和a n的关系时,可利用a n=求通项.(3)已知a n+1=pa n+q(p≠1,q≠0)时,可根据构造法,通过构造等比数列求通项.(4)已知a n+1=a n+f(n)时,可通过累加的方法求通项.(5)已知a n+1=a n·f(n)时,可利用累乘法求通项.19.【解析】(1)∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.∵BC=2AD,G为BC的中点,∴BG=GC=2=AD,∴AD∥BG,且AD=BG,∴四边形ABGD是平行四边形,∴AB∥DG.∵AB⊈平面DEG,DG 平面DEG,∴AB∥平面DEG.(2)∵EF⊥平面AEB,AE 平面AEB,BE 平面AEB,∴EF⊥AE,EF⊥BE.∵AE⊥EB,∴EB,EF,EA两两垂直.以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,2),F(0,3,0),G(2,2,0),E(0,0,0).∵=(2,2,0),=(-2,2,2),∴·=(-2)×2+2×2+2×0=0.∴BD⊥EG.(3)由已知得=(2,0,0)是平面EFDA的一个法向量,设平面CDF的一个法向量为n=(x,y,z),∵=(0,-1,2),=(2,1,0),∴令z=1,得x=-1,y=2,即n=(-1,2,1).设平面CDF与平面EDF的夹角的大小为θ,则cosθ=cos<n,>==-,sinθ=.∴平面CDF与平面EDF的夹角的正弦值为.20.【解析】(1)当M是线段AB1的中点时,MN⊥AA1.证明如下:如图,以AB,AA1所在直线为x轴,z轴,在平面ABC内过A且与AB垂直的直线为y轴,建立空间直角坐标系.设AA1=2AB=2,则A(0,0,0),A1(0,0,2),B(1,0,0),M(,0,1),N(,,1).所以·=(0,,0)·(0,0,2)=0.即MN⊥AA1.(2)设=λ,即M(λ,0,2λ),其中0≤λ≤1,=(-λ,,1-2λ),=(1,0,0),=(,,1).设n=(x,y,z)是平面ABN的一个法向量,则即取n=(0,2,-).所以sinθ==·=·≤×=.即sinθ的最大值为.21.【解析】(1)若a=-1,f′(x)=x-(x>0),由f′(x)>0得>0,又x>0,解得x>1,所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞).(2)依题意得f(x)-lnx>0,即x2+alnx-lnx>0,∴(a-1)lnx>-x2,∵x>1,∴lnx>0,∴a-1>,∴a-1>()max.设g(x)=,g′(x)=,令g′(x)=0,解得x=12 e,当1<x<12e时,g′(x)>0,g(x)在(1,12e)上单调递增;当x>12e时,g′(x)<0,g(x)在(12e,+∞)上单调递减;∴g(x)max=g(12e)=-e,∴a-1>-e,即a>1-e.。

滚动评估检测(四)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={y=,0≤x≤4},B=,则A∩B=( )A.∪B.∪C.D.【解析】选D.因为A=[0,2],B=,所以A∩B=(1,2].2.已知i为虚数单位,复数z满足=2+i,则= ( )A.1B.C.D.5【解析】选A.由题可得1-i=(2+i)(1+z),整理得z=--i,==1.3.已知x∈R,则“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x2-3x+2>0得x<1或x>2,所以“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的充分不必要条件.4.已知是等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d等于( ) A.1B. C.2D.3【解析】选C.因为a3=a1+2d=6,S3=3a1+3d=12,所以a1=2,d=2.5.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )A.-B.-C.D.【解析】选A.如图,因为=2,所以=+,所以·(+)=-,因为AM=1且=2,所以||=,所以·(+)=-.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是( ) 注:90后指1990-1999年之间出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中90后从事运营岗位的人数比从事产品岗位的人数多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解析】选D.A.由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知,90后占了56%,故A选项结论正确;B.互联网行业中,从事技术的90后占56%×39.6%>20%,仅90后就超过20%,故B选项结论正确;C.由90后从事互联网行业岗位分布条形图可知C选项结论正确;D.在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大,故无法判断其技术岗位的人数是谁多,故D选项结论不一定正确.7.(2020·某某模拟)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )【解析】选A.令g(x)=x-lnx-1,则x>0,因为g′(x)=1-=,由g′(x)>0,得x>1,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,由g′(x)<0,得0<x<1,即函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以当x=1时,函数g(x)有最小值,g(x)min=g(1)=0,于是对任意的x∈(0,1)∪(1,+∞),有g(x)>0,则f(x)>0,故排除B、D.8.(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值X围是世纪金榜导学号( )A. B.C. D.【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.已知sinx=,则sin2x= ( )A.-B.-C.D.【解析】选BD.因为sinx=,所以cosx=±=±=±,所以sin2x=2sinxcosx=2××=±.10.(2020·某某新高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数【解析】选ABC.由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(-1,0),(-2,0)对称,所以f(x)+f(-2-x)=0,f(x)+f(-4-x)=0,所以f(-2-x)=f(-4-x),所以f(x)是以2为周期的函数.所以f(x),f(x+3)均为奇函数.11.(2020·某某新高考模拟)如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知,关于该地区2006年～2018年的说法正确的是( )A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【解析】选AD.由图可以看出两条曲线均在上升,从而选项A正确;图中两曲线间隔越来越大,说明年增长速度不同,差额逐年增大,故选项B错误,选项D正确;又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量,所以选项C错误.12.(2020·某某新高考模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则( )A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.对选项A:方法一:以D点为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),E,F,G.从而=(0,0,1),=,从而·=≠0,所以D1D与直线AF不垂直,选项A错误;方法二:取DD1的中点N,连接AN,则AN为直线AF在平面ADD1A1内的射影,AN与DD1不垂直,从而AF与DD1也不垂直,选项A错误;取B1C1的中点为M,连接A1M、GM,则A1M∥AE,GM∥EF,A1M∩GM=M,AE∩EF=E,所以平面A1MG∥平面AEF,从而A1G∥平面AEF,选项B正确;对于选项C,连接AD1,D1F,易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示),且D1H=AH=,AD1=,所以=×=,而==,从而选项C正确;对于选项D:方法一:由于S△GEF=S梯形BEFG-S△EBG=×-××=,而S△ECF=××=,而V A-GEF=S△EFG·AB,V A-ECF=S△ECF·AB,所以V A-GEF=2V A-ECF,即V G-AEF=2V C-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍.从而D错误. 方法二:假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于点O,易知O不是CG的中点,故假设不成立,从而选项D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.的展开式中x2y3的系数为________.【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为T r+1=(-2y)r,要求的展开式中含x2y3的项,则r=3,所求系数为(-2)3=-20.答案:-2014.(2018·全国卷Ⅰ)记S n为数列的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=________. 世纪金榜导学号【解析】依题意,作差得a n+1=2a n,所以数列{a n}是公比为2的等比数列,又因为a1=S1=2a1+1,所以a1=-1,所以a n=-2n-1,所以S6==-63.答案:-6315.双曲线-=1的离心率为__________,渐近线方程为__________.【解析】双曲线-=1中,a=2,b=,c==,所以e==,渐近线方程为y=±x=±x.答案:y=±x16.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为________. 世纪金榜导学号【解析】每次转动一个边长时,圆心角转过60°,正方形有4边,所以需要转动11次,回到起点.在这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的2次,点A走过的路径的长度=×2π×1×6+×2π××3=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·某某新高考模拟)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由.设等差数列{a n}的前n项和为S n,{b n}是等比数列,____________,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得S k>S k+1且S k+1<S k+2?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】因为在等比数列{b n}中,b2=3,b5=-81,所以其公比q=-3, 从而b n=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2,从而a5=b1=-1.若存在k,使得S k>S k+1,即S k>S k+a k+1,从而a k+1<0;同理,若使S k+1<S k+2,即S k+1<S k+1+a k+2,从而a k+2>0.方法一:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以a n=3n-16,当k=4时满足a5<0,且a6>0成立;若选②:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列{a n}为递减数列,故不存在a k+1<0,且a k+2>0;若选③:由S5=-25==5a3,解得a3=-5,从而a n=2n-11,所以当k=4时,能使a5<0,a6>0成立.方法二:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以公差d==3,a1=a2-d=-13,从而S n=-13n+×d=(3n2-29n);⇔解得<k<,又k∈N*,从而k=4满足题意.若选②与若选③(仿上可解决,略).18.(12分)(2020·黄冈模拟)在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.(1)求角B的大小.(2)求cos2-sin cos的取值X围.【解析】(1)由=得到=,即2sinAcosB=sin(B+C),即2sinAcosB=sinA.又因为A为三角形内角,所以sinA≠0,所以cosB=,从而B=.(2)cos2-sin cos=(cosC+1)-sinA=cosC-sin+=cosC-sinC+=cos(C+)+,因为0<C<,所以<C+<,所以-<cos(C+)<,所以<cos(C+)+<.所以cos2-sin cos的取值X围为.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,平面ABCD⊥平面PAD,E是PB的中点,F 是DC上一点,G是PC上一点,且PD=AD,AB=2DF=6.(1)求证:平面EFG⊥平面PAB.(2)若PA=4,PD=3,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【解析】(1)如图,取PA的中点M,连接MD,ME,则ME∥AB,ME=AB,又DF∥AB,DF=AB,所以ME∥DF,ME=DF,所以四边形MDFE是平行四边形,所以EF∥MD,因为PD=AD,所以MD⊥PA,因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,因为MD⊂平面PAD,所以MD⊥AB,因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,又EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAB.(2)过点P作PH⊥AD于点H,则PH⊥平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x轴,过点H 且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,在等腰三角形PAD中,PD=AD=3,PA=4,因为PH·AD=MD·PA,所以3PH=4×,解得PH=,则AH=,所以P,B,所以=,易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.20.(12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,圆O:x2+y2=c2(|F1F2|=2c)与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)过y轴正半轴上一点P的直线l与圆O相切,与椭圆C交于点A,B,若=,求直线l的方程.【解析】(1)依题意,得c=b,所以a==b,所以椭圆C为+=1,将点代入,解得b=1,则a=,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设l斜率为k,P(0,m)(m>1),则直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与圆O相切,则=1,即m2=1+k2,联立直线与椭圆方程,消元得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0⇒k≠0,x1+x2=-,x1x2==,因为=,所以x2=2x1,即x1=-,=,所以=1,解得k2=,即k=±,m=,故所求直线方程为y=±x+.21.(12分)(2018·某某高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【解析】(1)由已知,得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,由①知,P(B)=P(X=2)=,P(C)=P(X=1)=,故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.22.(12分)已知函数f=cos,g=e x·f′,其中e为自然对数的底数.世纪金榜导学号(1)求曲线y=g在点处的切线方程.(2)若对任意x∈不等式g≥x·f+m恒成立,某某数m的取值X围.(3)试探究当x∈时,方程g=x·f的解的个数,并说明理由.【解析】(1)依题意得f=si n x,g=e x·cosx.g=e0cos0=1,g′=e x cosx-e x si n x,g′(0)=1,所以曲线y=g在点(0,g(0))处的切线方程为y=x+1.(2)原题等价于对任意x∈,m≤[g-x·f]mi n.设h(x)=g-x·f,x∈.则h′=e x cosx-e x si n x-si n x-xcosx=cosx-si n x,因为x∈,所以cosx≥0,si n x≤0,所以h′≥0,故h(x)在上单调递增,因此当x=-时函数h(x)取得最小值, h=-;所以m≤-,即实数m的取值X围是. (3)设H(x)=g-x·f,x∈.当x∈时,H′(x)=e x(cosx-si n x)-si n x-xcosx<0,所以函数H(x)在上单调递减,故函数H(x)在上至多只有一个零点,又H=(-)>0,H=-<0,而且函数H(x)在上是连续不断的, 因此,函数H(x)在上有且只有一个零点.即方程g(x)=x·f(x)只有一个解.。

阶段滚动检测（一） （第一、二章） （120分钟 150分） 第I卷(选择题　共40分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A＝{0，a}，B＝{b|b2－3b2或x0}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) (A){x|－2≤x<1} (B){x|－2≤x≤2} (C){x|1<x≤2} (D){x|x<2} 3.(2012·安阳模拟)设集合A＝{x|－2<－a<x0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是( ) (A)02 (B)0log3b”是“()aax的解集为P，且[0,2]P，则实数a的取值范围是 . 13.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)＝1.06×(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m∈ . 14.已知函数f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x2＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，则实数a的取值范围是 . 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(12分)(2012·台州模拟)已知命题p：函数y＝log2(x2－2ax＋3a－2)的定义域为R；命题q：方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的负数根，若p∨q是假命题，求实数a的取值范围. 16.(13分)如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别为S1，S2，若S1＝S2，求点P的坐标. 17.(13分)集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的： ①函数f(x)的定义域是[0，＋∞)； ②函数f(x)的值域是[－2,4)； ③函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，试分别探究下列两小题： (1)判断函数f1(x)＝－2(x≥0)及f2(x)＝4－6·()x(x≥0)是否属于集合A？并简要说明理由； (2)对于(1)中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)＋f(x＋2)<2f(x＋1)是否对于任意的x≥0恒成立？请说明理由.18.(14分)如图所示：图1是定义在R上的二次函数y＝f(x)的部分图象，图2是函数g(x)＝loga(x＋b)的部分图象.(1)分别求出函数f(x)和g(x)的解析式； (2)如果函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，求m的取值范围. 19.(14分)已知函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a、c∈N*)满足： ①f(1)＝5；②6<f(2)log3b得a>b>0， 由()ab， 所以“log3a>log3b”是“()alog3b判断a、b的范围是a>b>0. 7.【解题指南】根据自变量的值，选择相应区间上的函数解析式代入求解. 【解析】选B.依题意得f(3)＝f(2)－f(1) ＝f(1)－f(0)－f(1)＝－f(0) ＝－log2(4－0)＝－2，故选B. 8.【解析】选B.∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)， ∴导函数f′(x)的图象开口向上. 又∵a≠0，∴其图象必为第三个图. 由图象特征知f′(0)＝0，且－a>0，∴a＝－1. 故f(－1)＝－－1＋1＝－. 9.【解析】由题意知， 解得－1＜x＜1. 答案：(－1,1) 10.【解析】设f(x)＝xα，则有＝3，解得2α＝3，α＝log23， ∴f()＝()＝2＝. 答案： 11.【解析】因为指数函数y＝0.8x在定义域上是减函数， ∴1＝0.80>0.80.7>0.80.9>0， 而指数函数y＝1.2x在定义域上是增函数， ∴1.20.8>1.20＝1， ∴1.20.8>1>0.80.7>0.80.9，即c>a>b. 答案：c>a>b 12.【解题指南】转化为恒成立问题，利用导数求解. 【解析】因为ex－x>ax的解集为P，且[0,2]P，所以对任意x∈[0,2]，ex－x>ax恒成立，当x＝0时，不等式恒成立，当0<x≤2时，a<－1也应恒成立. 令g(x)＝－1，则g′(x)＝， 当10，当0<x<1时，g′(x)0，F(x)单调递增，F(x)≤0不可能恒成立， 当a>0时，令F′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去). 当0<x0，当x>时，F′(x)<0，故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F()，由题意F()≤0恒成立，即ln＋－1≤0，令φ(a)＝ln＋－1，则 φ(a)在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln＋－1≤0成立的充要条件是a≥1. 答案：[1，＋∞) 15.【解析】由题意得p和q均是假命题， 由p：x2－2ax＋3a－2＞0恒成立，Δ＝4a2－4(3a－2)＜0得1＜a＜2， p真：a≥2或a≤1， 由q：当a＝0时，不满足， 当a≠0时，，得0＜a＜1， q真：a≥1或a≤0， 综上，由p假和q假得a≤0或a＝1或a≥2. 16.【解析】设直线OP的方程为y＝kx，P点的坐标为(x，x2)， 则∫(kx－x2)dx＝∫(x2－kx)dx， 即(kx2－x3)|＝(x3－kx2)|， 解得kx2－x3＝－2k－(x3－kx2)， 解得k＝，即直线OP的方程为y＝x， 所以点P的坐标为(，). 17.【解析】(1)函数f1(x)＝－2不属于集合A.因为f1(x)的值域是[－2， ＋∞)，所以函数f1(x)＝－2不属于集合A.f2(x)＝4－6·()x(x≥0)属于集合A，因为：①函数f2(x)的定义域是[0，＋∞)；②f2(x)的值域是[－2,4)； ③函数f2(x)在[0，＋∞)上是增函数. (2)是.∵f(x)＋f(x＋2)－2f(x＋1) ＝6·()x(－)<0， ∴不等式f(x)＋f(x＋2)－1). (2)由(1)得y＝g(f(x))＝log2(－2x2＋4x＋1)是由y＝log2t和t＝－2x2＋4x＋1复合而成的函数， 而y＝log2t在定义域上单调递增，要使函数y＝g(f(x))在区间[1，m)上单调递减，必须t＝－2x2＋4x＋1在区间[1，m)上单调递减，且有t>0恒成立. 由t＝0得x＝， 又t的图象的对称轴为x＝1. 所以满足条件的m的取值范围为1<m<. 19.【解析】(1)∵f(1)＝a＋2＋c＝5， ∴c＝3－a.① 又∵6<f(2)<11，即6<4a＋c＋42时， g(x)max＝g()＝－m， 故只需－m≤1， 解得m≥. 又∵m>2，∴m≥. 综上可知，m的取值范围是m≥. 方法二：∵x∈[，]， ∴不等式f(x)－2mx≤1恒成立2(1－m)≤－(x＋)在[，]上恒成立. 易知[－(x＋)]min＝－， 故只需2(1－m)≤－即可. 解得m≥. 【方法技巧】二次函数的最值求解技巧 当二次函数的定义域不是R时，求函数的最值，要充分利用函数的图象，重点关注开口方向和对称轴与所给定区间的关系：若对称轴不在区间内，则该区间是函数的单调区间，最值在两个端点处，反之，则必有一个在顶点处取，即函数的最值不在端点处，就在顶点处. 20.【解析】(1)F(x)＝f(x)＋2＝x2＋bsinx－2＋2＝x2＋bsinx， 依题意，对任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0. 即x2＋bsinx－(－x)2－bsin(－x)＝0， 即2bsinx＝0，所以b＝0， 所以f(x)＝x2－2. (2)∵g(x)＝x2－2＋2(x＋1)＋alnx， ∴g(x)＝x2＋2x＋alnx， g′(x)＝2x＋2＋. ∵函数g(x)在(0,1)上单调递减， ∴在区间(0,1)上，g′(x)＝2x＋2＋＝≤0恒成立， ∴a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立， 而－(2x2＋2x)在(0,1)上单调递减， ∴a≤－4. (3)∵h(x)＝ln(1＋x2)－f(x)－k ＝ln(1＋x2)－x2＋1－k， ∴h′ (x)＝－x. 令h′(x)＝－x＝0，解得x＝0，－1,1， ∴当x 0，当－1<x<0时，h′(x)<0， 当0<x0，当x>1时，h′(x)ln2＋时，函数没有零点； ②当1<k<ln2＋时，函数有四个零点； ③当k－，所以，当a>－时，f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间. (2)令f′(x)＝0，得两根x1＝， x2＝. 所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减， 在(x1，x2)上单调递增. 当0。

【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 6.7数学归纳法课时提能训练 理新人教B 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a (a≠1，n∈N ＋)”时，在验证n ＝1成立时，左边应该是( )(A)1(B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 32.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( ) (A)k 2＋1(B)(k ＋1)2(C)(k ＋1)4＋(k ＋1)22(D)(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)23.下列代数式(k∈N ＋)能被9整除的是( )(A)6＋6×7k(B)2＋6×7k －1 (C)2(2＋2×7k ＋1) (D)3(2＋7k )4.某个命题与正整数n 有关，如果当n ＝k(k∈N ＋)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立.现已知当n ＝7时该命题不成立，那么可推得( )(A)当n ＝6时该命题不成立(B)当n ＝6时该命题成立(C)当n ＝8时该命题不成立(D)当n ＝8时该命题成立5.(2012·济宁模拟)若S k ＝1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)，则S k ＋1＝( )(A)S k ＋(2k ＋2)(B)S k ＋(2k ＋3)(C)S k ＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)(D)S k ＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)＋(2k ＋4)6.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n(na －b)＋c 对一切n∈N ＋都成立，则a 、b 、c 的值为( )(A)a ＝12，b ＝c ＝14 (B)a ＝b ＝c ＝14(C)a ＝0，b ＝c ＝14(D)不存在这样的a 、b 、c 二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·济南模拟)用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ，总有2n >n 2”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n 0最小应当是 .8.f(n ＋1)＝2f(n)f(n)＋2，f(1)＝1(n∈N ＋)，猜想f(n)的表达式为 . 9.(易错题)用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)，当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·威海模拟)数列{a n }中，a 1＝－23，当n>1，n∈N ＋时，S n ＋1S n＝a n －2， (1)求S 1，S 2，S 3的值；(2)猜想S n 的表达式，并证明你的猜想.11.(2012·潍坊模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，当n≥2时，a n ，S n ，S n －12成等比数列. (1)求a 2，a 3，a 4，并推出a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.【探究创新】(16分)设函数y ＝f(x)，对任意实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N ＋)的表达式并用数学归纳法证明.答案解析1.【解析】选C.当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2，故选C.2.【解析】选D.当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故选D.3.【解析】选D.通过验证k ＝1可否定A 、B 、C.4.【解析】选A.命题“n ＝k(k ∈N ＋)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立”的逆否命题为“n ＝k ＋1(k ∈N ＋)时命题不成立，那么可推得当n ＝k(k ∈N ＋)时命题也不成立”，故选A.【变式备选】f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若f(k)≥k 2成立，则f(k ＋1)≥(k ＋1)2成立，下列命题成立的是( )(A)若f(3)≥9成立，则对定义域内任意的k ≥1，均有f(k)≥k 2成立(B)若f(4)≥16成立，则对定义域内任意的k ≥4，均有f(k)<k 2成立(C)若f(7)≥49成立，则对定义域内任意的k<7，均有f(k)<k 2成立(D)若f(4)≥16成立，则对定义域内任意的k ≥4，均有f(k)≥k 2成立【解析】选D.命题n ＝k 时成立，则n ＝k ＋1时就成立，故若n ＝4时，f(4)≥16，则k ≥4时，f(k)≥k 2成立.5.【解析】选C.S k ＋1＝1＋2＋3＋…＋[2(k ＋1)＋1]＝1＋2＋3＋…＋(2k ＋3)＝1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)＝S k ＋(2k ＋2)＋(2k ＋3).6.【解题指南】由题意知，等式对一切n ∈N ＋都成立，可取n ＝1,2,3，代入后构成关于a 、b 、c 的方程组，求解即得.【解析】选A.令n ＝1,2,3分别代入已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b)＋c 1＋2×3＝32(2a －b)＋c1＋2×3＋3×32＝33(3a －b)＋c， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34.解得：a ＝12，b ＝14，c ＝14. 7.【解析】将n ＝2,3,4,5分别代入验证，可得n ＝2,3,4时，2n ≤n 2，而n ＝5时，25>52.答案：58.【解析】f(2)＝2f(1)f(1)＋2＝23； f(3)＝2f(2)f(2)＋2＝2×2323＋2＝24；f(4)＝2f(3)f(3)＋2＝2×2424＋2＝25；…；猜想f(n)＝2n ＋1.答案：f(n)＝2n ＋1 9.【解析】当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可.答案：k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)10.【解析】(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，∴S n ＋1S n＝S n －S n －1－2，∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2).∴S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45.(2)猜想S n ＝－n ＋1n ＋2，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，S 1＝－23＝－1＋11＋2，猜想正确；②假设当n ＝k 时猜想正确，即S k ＝－k ＋1k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时猜想也正确.根据①、②可知，对任意n ∈N ＋，都有S n ＝－n ＋1n ＋2.【方法技巧】解“归纳——猜想——证明”题的关键环节：(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论.(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.11.【解题指南】求通项可证明{1S n }是以{1S 1}为首项，12为公差的等差数列，进而求得通项公式.【解析】∵a n ，S n ，S n －12成等比数列，∴2n S ＝a n ·(S n －12)(n ≥2) (*)(1)由a 1＝1，得S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2， 代入(*)式得：a 2＝－23，由a 1＝1，a 2＝－23，得S 3＝13＋a 3代入(*)式得：a 3＝－215，同理可得：a 4＝－235，由此可推出：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (n ＝1)－2(2n －3)(2n －1) (n ≥2)(2)①当n ＝1,2,3,4时，由(1)知猜想成立.②假设n ＝k(k ≥2)时，a k ＝－2(2k －3)(2k －1)成立，故2k S ＝－2(2k －3)(2k －1)·(S k －12)∴(2k －3)(2k －1)2k S ＋2S k －1＝0∴S k ＝12k －1，S k ＝－12k －3(舍)由S k ＋12＝a k ＋1·(S k ＋1－12)，得(S k ＋a k ＋1)2＝a k ＋1(a k ＋1＋S k －12)⇒1(2k －1)2＋a k ＋12＋2a k ＋12k －1＝a k ＋12＋a k ＋12k －1－12a k ＋1⇒a k ＋1＝－2[2(k ＋1)－3][2(k ＋1)－1]，即n ＝k ＋1时命题也成立.由①②知，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (n ＝1)－2(2n －3)(2n －1)(n ≥2)对一切n ∈N ＋成立.【探究创新】【解题指南】(1)令x ，y 均为0可得f(0)；(2)利用递推条件可得f(2)，f(3)，f(4)；(3)证明时要利用n＝k时的假设及已知条件进行等式转化.【解析】(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.(2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4.f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9.f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.(3)由(2)可猜想f(n)＝n2，用数学归纳法证明：(i)当n＝1时，f(1)＝12＝1显然成立.(ii)假设当n＝k时，命题成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，故当n＝k＋1时命题也成立，由(i)，(ii)可得，对一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立.。

单元评估检测（七）（第七章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知直线a、b是两条异面直线，直线c平行于直线a，则直线c与直线b( )(A)一定是异面直线(B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线(D)不可能是相交直线2.(2012·日照模拟)一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( )(A) 3 (B)43π (C)8 (D)243.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中是假命题的是( )(A)若m⊥α，m⊥β，则α∥β(B)若m∥n，m⊥α，则n⊥α(C)若m∥α，α∩β＝n，则m∥n(D)若m⊥α，m⊂β，则α⊥β4.(2012·济南模拟)关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n.其中真命题有( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个5.(预测题)已知某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )(A)2π3＋12 (B)4π3＋16 (C)2π6＋16 (D)2π3＋126.(2012·威海模拟)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，BC 1⊥AC，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( ) (A)直线AB 上 (B)直线BC 上 (C)直线AC 上 (D)△ABC 内部7.(2012·滨州模拟)如图，平行四边形ABCD 中，AB⊥BD，沿BD 将△ABD 折起，使面ABD⊥面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面中，互相垂直的平面的对数为( )(A)4(B)3(C)2(D)18.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别是AA 1，CC 1的中点，P 是CC 1上的动点(包括端点)，过点E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则P 的轨迹是( )(A)线段C 1F (B)线段CF(C)线段CF 和一点C 1(D)线段C 1F 和一点C9.已知圆柱的母线长等于底面圆的直径，其体积为16π，则其外接球的表面积为( ) (A)32π (B)64π (C)6423π (D)128π10.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是( )(A)96 3 (B)16 3 (C)24 3 (D)48 311.如图正四面体ABCD 的棱长为1，G 是△ABC 的中心，M 在线段DG 上，且∠AMB＝90°，则GM 的长为( ) (A)12 (B)22 (C)33(D)6612.如图所示，在三棱柱ABC －A′B′C′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G 为△ABC 的重心.从K 、H 、G 、B′中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为( ). (A)K (B)H (C)G (D)B′二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知三个球的半径R 1，R 2，R 3满足R 1＋2R 2＝3R 3，则它们的表面积S 1，S 2，S 3满足的等量关系是 .14.(2012·南京模拟)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 .15.(2012·东营模拟)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝32AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有条.16.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为33，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)(易错题)如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD＝2AB ＝2AD.(1)求证：BC⊥BE；(2)在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明.18.(12分)在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2，AB＝1.(1)求四棱锥P－ABCD的体积V；(2)若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF.19.(12分)(2012·济宁模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角P－BD－A的大小.20.(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形.(1)求证：A1B∥平面AC1D；(2)求证：CE⊥平面AC1D；(3)求二面角C－AC1－D的余弦值.21.(12分)(预测题)已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点.(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的平面角的余弦值.22.(14分)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM⊥BF，垂足为H ，求证：EM⊥平面BCC 1B 1；(3)用θ表示截面EBFD 1和侧面BCC 1B 1所成的锐二面角的大小，求tan θ.答案解析1.【解析】选C.若c ∥b ，∵c ∥a ，∴a ∥b ，与已知矛盾.2.【解析】选C.设球的半径为R ，则4πR 2＝12π，从而R ＝3，所以正方体的体对角线为23，故正方体的棱长为2，体积为23＝8.3.【解析】选C.由m ∥α，α∩β＝n 无法得到m ，n 的确切位置关系.4.【解析】选B.①中两直线可以平行、相交或异面，故不正确；②中两直线可以平行、相交或异面，故不正确；③中，由条件可得m ⊥β，进而有m ⊥n ，故正确；④中，由条件可得m 与β平行或m 在β内，故有m ⊥n.综上③④正确.5.【解析】选C.由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得V ＝12×4π3×(22)3＋13×12×1×1×1＝2π6＋16.6.【解析】选A.∵BA ⊥AC ，BC 1⊥AC ，BA ∩BC 1＝B ， ∴AC ⊥平面ABC 1.∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1，且交线是AB.故平面ABC 1上一点C 1在底面ABC 的射影H 必在交线AB 上.7.【解析】选B.因为AB ⊥BD ，面ABD ⊥面BCD ，且交线为BD ，故有AB ⊥面BCD ，则面ABC ⊥面BCD ，同理CD ⊥面ABD ，则面ACD ⊥面ABD ，因此共有3对互相垂直的平面. 8.【解析】选C.如题干图，DE ∥平面BB 1C 1C ， ∴平面DEP 与平面BB 1C 1C 的交线PM ∥ED ， 则EM ∥DP ，∴四边形DEMP 为平行四边形，∴M到达B1时仍可构成四边形，此时P到F；而P在C1F之间，不满足要求，P到点C1仍可构成四边形.9.【解题指南】先根据题意，求出圆柱的母线长和底面圆的半径，进而求出球的半径和球的表面积. 【解析】选A.设圆柱的底面圆的半径为r，则其母线长为2r，则πr2·2r＝16π，∴r＝2，设球的半径为R，则(2R)2＝42＋42，∴R2＝8，∴S球＝4πR2＝32π.10.【解题指南】根据组合体的特征求得三棱柱的底面边长和高，然后求体积即可.【解析】选D.易求得球的半径为2，球与正三棱柱各个面都相切，可知各切点为各个面的中心，棱柱的高等于球的直径，设棱柱底面三角形的边长为a，则有32a×13＝2⇒a＝43，故棱柱的体积V＝34×(43)2×4＝48 3.故选D.11.【解析】选D.连接AG，BG，∵G是边长为1的等边△ABC的中心，∴GA＝GB＝33，MG⊥平面ABC，易得Rt△MAG≌Rt△MBG，∴MA＝MB，∵∠AMB＝90°，AB＝1，∴MA＝22，∴MG＝MA2－AG2＝12－13＝66.12.【解题指南】逐一验证，注意利用中位线定理和三棱柱中已有的平行关系.【解析】选C.若P为点G，连接BC′，则F为BC′的中点，∴EF∥AB、EF∥A′B′，∴AB∥平面GEF，A′B′∥平面GEF，∴P为点G符合题意；若P为点K，则3条侧棱与该平面平行，不符合题意；若P为点H，则有上下两底面中的6条棱与该平面平行，不符合题意；若P为点B′，则只有1条棱AB与该平面平行，也不符合题意.故选C.13.【解析】S1＝4π21R，S1＝2πR1，同理：S2＝2πR2，S3＝2πR3，故R1＝S12π，R2＝S22π，R3＝S32π，由R1＋2R2＝3R3，得S1＋2S2＝3S3.答案：S1＋2S2＝3S314.【解析】设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，则BD＝C1D＝a2＋h2，BC1＝a2＋4h2，由△BC1D是面积为6 的直角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧2×(a 2＋h 2)＝a 2＋4h 212(a 2＋h 2)＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8h ＝2，故此三棱柱的体积为V ＝12×8×sin 60°×4＝8 3. 答案：8 315.【解析】设正四棱锥的底面边长为a ，则侧棱长为32a. 由PM ⊥BC ，∴PM ＝(32a)2－(a 2)2＝22a. 连接PG 并延长与AD 相交于N 点， 则PN ＝22a ，MN ＝AB ＝a ， ∴PM 2＋PN 2＝MN 2， ∴PM ⊥PN ，又PM ⊥AD ， ∴PM ⊥平面PAD ，∴在平面PAD 中经过G 点的任意一条直线都与PM 垂直. 答案：无数16.【解析】设AB ＝2，作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C －AB －D 的平面角，CH ＝3，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝ 3.AN ＝12(AB ＋AC )，EM ＝12AC －AE ， AN ·EM ＝12(AB ＋AC )·(12AC －AE )＝12.故EM ，AN 所成角的余弦值为AN EM|AN ||EM |⋅⋅＝16.答案：1617.【解析】(1)连接BD ，因为正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，DE ⊥AD ， 所以DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥BC. 因为AD ⊥CD ，AB ∥CD ，所以AB ⊥AD ，又因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠BDC ＝π4，BD ＝AD 2＋AB 2＝2AD 取CD 中点N ，连接BN ，则由题意知：四边形ABND 为正方形，所以BC ＝BN 2＋CN 2＝AD 2＋14CD 2＝AD 2＋AD 2＝2AD ，BD ＝BC ，则△BDC 为等腰直角三角形， 则BD ⊥BC ，则BC ⊥平面BDE ， 则BC ⊥BE.(2)取EC 中点M ，则有BM ∥平面ADEF. 证明如下：连接MN ，由(1)知BN ∥AD ，所以BN ∥平面ADEF ，又因为M 、N 分别为CE 、CD 的中点，所以MN ∥DE ， 则MN ∥平面ADEF ， 则平面BMN ∥平面ADEF ， 所以BM ∥平面ADEF.18.【解析】(1)在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， ∴BC ＝3，AC ＝2.在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°， CD ＝23，∵S 四边形ABCD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD ＝12×1×3＋12×2×23＝523.则V ＝13×523×2＝53 3.(2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD. 又AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ， ∴CD ⊥平面PAC ，∵E 、F 分别是P D 、PC 的中点，∴EF ∥CD ， ∴EF ⊥平面PAC ，∵EF ⊂平面AEF ，∴平面PAC ⊥平面AEF.19.【解析】(1)如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0,0)，B(23，0,0)，C(23，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0，3)， ∴AP ＝(0,0,3)，AC ＝(23，6,0)，BD ＝(－23，2,0)， ∴BD ·AP ＝0，BD ·AC ＝0， ∴BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC.(2)设平面ABD 的一个法向量为m ＝(0,0,1)， 设平面PBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则n ·BD ＝0，n ·BP ＝0. ∵BP ＝(－23，0,3)，∴⎩⎨⎧－23x ＋2y ＝0－23x ＋3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x z ＝233x .令x ＝3，则n ＝(3，3,2)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝12.∴二面角P－BD－A的大小为60°.20.【解析】(1)连接A1C，与AC1交于O点，连接OD.因为O，D分别为A1C和BC的中点，所以OD∥A1B.又OD⊂平面AC1D，A1B 平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD.因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.又BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面B1BCC1.又CE⊂平面B1BCC1，所以AD⊥CE.因为四边形B1BCC1为正方形，D，E分别为BC，BB1的中点，所以Rt△CBE≌Rt△C1CD，∠CC1D＝∠BCE.所以∠BCE＋∠C1DC＝90°.所以C1D⊥CE.又AD∩C1D＝D，所以CE⊥平面AC1D.(3)如图，以B1C1的中点G为原点，建立空间直角坐标系. 则A(0,6,4)，E(3,3,0)，C(－3,6,0)，C1(－3,0,0).由(2)知CE ⊥平面AC 1D ，所以CE ＝(6，－3,0)为平面AC 1D 的一个法向量.设n ＝(x ，y ，z)为平面ACC 1的一个法向量， AC ＝(－3,0，－4)，1CC ＝(0，－6,0).由1AC 0,CC 0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －4z ＝0，－6y ＝0.令x ＝1，则y ＝0，z ＝－34. 所以n ＝(1,0，－34). 从而cos 〈CE ，n 〉＝CE |CE |||⋅⋅n n ＝825 5. 因为二面角C －AC 1－D 为锐角，所以二面角C －AC 1－D 的余弦值为8525. 21.【解析】方法一：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0).不妨令P(0,0，t)，∵PF ＝(1,1，－t)，DF ＝(1，－1,0)，∴PF ·DF ＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF ⊥FD.(2)存在.设平面PFD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，结合(1)，由PF 0DF 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －tz ＝0x －y ＝0，令z ＝1，解得：x ＝y ＝t 2.∴n ＝(t 2，t 2，1). 设G 点坐标为(0,0，m)，E(12，0,0)，则EG ＝(－12，0，m)， 要使EG ∥平面PFD ，只需EG ·n ＝0，即(－12)×t 2＋0×t 2＋m ×1＝m －t 4＝0， 得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求. (3)∵AB ⊥平面PAD ，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得AB ＝(1,0,0)， 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，得∠PBA ＝45°，PA ＝1，结合(2)得平面PFD 的法向量为n ＝(12，12，1)， ∴cos 〈AB ，n 〉＝AB |AB |||⋅⋅n n ＝1214＋14＋1＝66， 由题意知二面角A －PD －F 为锐二面角.故所求二面角A －PD －F 的平面角的余弦值为66. 方法二：(1)连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2，又AD ＝2，∴DF 2＋AF 2＝AD 2，∴DF ⊥AF ，又PA ⊥平面ABCD ，∴DF ⊥PA ，又PA ∩AF ＝A ，∴DF ⊥平面PAF ，又∵PF ⊂平面PAF ，∴DF ⊥PF.(2)过点E 作EH ∥DF 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有AH ＝14AD ， 再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝14AP ， ∴平面EHG ∥平面PFD ，∴EG ∥平面PFD.从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求. (3)∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，且∠PBA ＝45°，∴PA ＝AB ＝1，取AD 的中点M ，则FM ⊥AD ，FM ⊥平面PAD ，在平面PAD 中，过M 作MN ⊥PD 于N ，连接FN ，则PD ⊥平面FMN ，则∠MNF 即为二面角A —PD —F 的平面角， ∵Rt △MND ∽Rt △PAD ，∴MN PA ＝MD PD ，∵PA ＝1，MD ＝1，PD ＝5，∴MN ＝55，又∵∠FMN ＝90°，∴FN ＝65＝305，∴cos ∠MNF ＝MN FN ＝66.22.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则BE ＝(3,0,1)，BF ＝(0,3,2)，1BD ＝(3,3,3)， 所以1BD ＝BE ＋BF ， 故1BD ，BE ，BF 共面.又它们有公共点B ，所以E ，B ，F ，D 1四点共面.(2)设M(0,0，z)，则GM ＝(0，－23，z)，而BF ＝(0,3,2)，由题设得GM ·BF ＝－23×3＋z ·2＝0，得z ＝1.因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，有ME ＝(3,0,0)， 又1BB ＝(0,0,3)，BC ＝(0,3,0)，所以ME ·1BB ＝0，ME ·BC ＝0， 从而ME ⊥BB 1，ME ⊥BC.又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.(3)设向量BP＝(x，y,3)且BP⊥截面EBFD1，于是BP⊥BE，BP⊥BF.而BE＝(3,0,1)，BF＝(0,3,2)，得BP·BE＝3x＋3＝0，BP·BF＝3y＋6＝0，解得x＝－1，y＝－2，所以BP＝(－1，－2,3).又BA＝(3,0,0)且BA⊥平面BCC1B1，所以BP和BA的夹角等于θ或π－θ(θ为锐角).于是cosθ＝|BP BA||BP||BA|⋅⋅＝114.故tanθ＝13.。

【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 3.6倍角公式和半角公式、积化和差与和差化积课时提能训练 理 新人教B 版 (45分钟 100分) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.函数y ＝sin 2x 2－cos 2x 2的最小正周期是( ) (A)π5 (B)π2(C)π (D)2π 2.若cos(x －π4)＝－34，则sin2x 的值为( ) (A)24 (B)－18 (C)－24 (D)183.cos20°cos40°cos80°的值为( )(A)12 (B)14 (C)18 (D)1164.(2012·鞍山模拟)已知tanα＝2，则sin2α－2cos2α－2cos 2α的值为( )(A)－83 (B)32 (C)－32 (D)855.(预测题)已知函数f(x)＝1＋cos2x 4sin(π2＋x)－asin x 2cos(π－x 2)的最大值为2，则常数a 的值为( ) (A)15 (B)－15 (C)±15 (D)±106.(2012·临沂模拟)若函数f(x)＝(sinx ＋cosx)2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围为( )(A)[－1， 2 ](B)[－1,1] (C)[1， 2 ] (D)[－2，－1]二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·济南模拟)已知sin 3π4，sinx －cosx,2cos 32依次成等比数列，则x 在区间[0,2π)内的解集为 .8.tan20°＋tan40°＋3·tan20°·tan40°＝ .9.函数y ＝(acosx ＋bsinx)cosx 有最大值2，最小值－1，则实数(ab)2的值为 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)设sinα＝－35，sinβ＝1213，且α∈(π，3π2)，β∈(π2，π)，求sin(α－β)，cos2α，tan β2的值. 11.(2011·重庆高考)设函数f(x)＝sinxcosx －3cos(π＋x)cosx(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期；(2)若函数y ＝f(x)的图象按b ＝(π4，32)平移后得到函数y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)在[0，π4]上的最大值.【探究创新】(16分)已知函数f(x)＝sinx ＋cos x ，f′(x)是f(x)的导函数，(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f 2(x)的值域和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求1＋sin 2x cos 2x －sinxcosx的值.答案解析1.【解题指南】利用倍角公式化简得y ＝－cosx 即可求最小正周期.【解析】选D.y ＝sin 2x 2－cos 2x 2＝－cosx ， 所以T ＝2π.2.【解析】选D.sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos(2x －π2) ＝2cos 2(x －π4)－1＝2×(－34)2－1＝18. 3.【解题指南】运用二倍角的正弦公式化简求值.【解析】选C.cos20°·cos40°·cos80°＝8sin20°cos20°cos40°cos80°8sin20° ＝sin160°8sin20°＝18. 4.【解析】选D.sin2α－2cos2α－2cos 2α＝2sin αcos α－2cos 2α＋2sin 2α－2cos 2α＝2sin αcos α－4cos 2α＋2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－4＋2tan 2αtan 2α＋1＝2×2－4＋2×224＋1＝85. 5.【解题指南】先利用公式进行三角恒等变形，把f(x)化成f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再利用最大值求得a.【解析】选C.因为f(x)＝2cos 2x 4cosx ＋12asinx ＝12(cosx ＋asinx)＝1＋a 22cos(x －φ)(其中tan φ＝a)，所以1＋a 22＝2，解得a ＝±15. 6.【解析】选A.f(x)＝(sinx ＋cosx)2－2cos 2x －m＝1＋sin2x －2cos 2x －m＝1＋sin2x －1－cos2x －m＝2sin(2x －π4)－m ， 又∵0≤x ≤π2， ∴0≤2x ≤π，∴－π4≤2x －π4≤3π4， ∴－1≤2sin(2x －π4)≤2， 故当－1≤m ≤2时，f(x)在[0，π2]上有零点. 7.【解析】∵sin 3π4，sinx －cosx,2cos 32π依次成等比数列， ∴(sinx －cosx)2＝sin 3π4·2cos 32π，即1－sin2x ＝22×1-22， ∴sin2x ＝12， 又∵0≤x ＜2π，∴0≤2x ＜4π，∴2x ＝π6，5π6，13π6，17π6， 即x ＝π12，5π12，13π12，17π12. 答案：{π12，5π12，13π12，17π12} 8.【解析】原式＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝3(1－tan 20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝ 3.答案： 3 9.【解析】y ＝acos 2x ＋bsinxcosx＝a ·1＋cos2x 2＋b 2s in2x ＝12a 2＋b 2sin(2x ＋φ)＋a 2∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 2＋b 2＋a 2＝2－12a 2＋b 2＋a 2＝－1，∴a ＝1，b 2＝8，∴(ab)2＝8.答案：8【方法技巧】三角恒等变换的特点和变换技巧(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点.(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等.①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧：(i)常值代换，特别是“1”的代换，如：1＝sin 2θ＋cos 2θ等；(ii)项的分拆与角的配凑；(iii)降次与升次；(iv)万能代换.②对于形如asin θ＋bcos θ的式子，要引入辅助角φ并化成a 2＋b 2sin(θ＋φ)的形式，这里辅助角φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ角的值由tan φ＝b a确定.对这种思想，务必强化训练，加深认识. 10.【解析】∵sin α＝－35，sin β＝1213， 且α∈(π，3π2)，β∈(π2，π)，∴cos α＝－1－(－35)2＝－45， cos β＝－1－(1213)2＝－513， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝(－35)×(－513)－(－45)×1213＝6365； cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×(－35)2＝725， tan β2＝sin β1＋cos β＝12131－513＝32. 【变式备选】已知2tanx 1＋tan 2x ＝35，求sin 2(π4＋x)的值. 【解析】2tanx 1＋tan 2x ＝2sinxcosx cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝sin2x ＝35， sin 2(π4＋x)＝12[1－cos2(π4＋x)] ＝12[1－cos(π2＋2x)] ＝1＋sin2x 2＝45. 11.【解析】(1)f(x)＝12sin2x ＋3cos 2x ＝12sin2x ＋32(1＋cos2x) ＝12sin2x ＋32cos2x ＋32＝sin(2x ＋π3)＋32. 故f(x)的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)依题意g(x)＝f(x －π4)＋32＝sin [2(x －π4)＋π3]＋32＋32＝sin(2x －π6)＋ 3. 当x ∈[0，π4]时，2x －π6∈[－π6，π3]，g(x)在此区间上为增函数，所以g(x)在[0，π4]上的最大值为g(π4)＝33. 【探究创新】【解题指南】(1)先求出f ′(x)，代入F(x)进行三角恒等变换得到F(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B 的形式，求其性质；(2)根据f(x)＝2f ′(x)求出tanx 的值，化简所求的式子后代入.【解析】(1)∵f ′(x)＝cosx －sinx ，∴F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x).＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x ＋cos2x＝1＋2sin(2x ＋π4) ∴函数F(x)的值域为[1－2，1＋ 2 ]，∴最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)∵f(x)＝2f ′(x)，即sinx ＋cosx ＝2cosx －2sinx ，∴cosx ＝3sinx ，∴tanx ＝13， ∴1＋sin 2x cos 2x －sinxcosx＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sinxcosx＝2tan 2x ＋11－tanx ＝11923＝116.。

- 1 - "【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 阶段滚动检测(三)理 新人教B 版 "第一～六章（120分钟 150分）第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)已知集合A ＝{x|x≥3}，B ＝{x|(x －2)(x －4)<0}，则A∩B＝( )(A){x|x<2} (B){x|3≤x<4}(C){x|3≤x≤4} (D){x|x>4}2.(滚动单独考查)已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋xi(其中i 为虚数单位)，若复数a b∈R，则实数x 的值为( ) (A)－6(B)6 (C)83 (D)－833.(滚动单独考查)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x＝2”是“a ∥b ”的( )(A)充分但不必要条件(B)必要但不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.(滚动交汇考查)下列有关命题的说法正确的是( )(A)命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x≠1”(B)“x＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件(C)命题“∃x∈R，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x 2＋x ＋1<0”(D)命题“若x ＝y ，则sinx ＝siny”的逆否命题为真命题5.(2012·济宁模拟)已知函数f(x)是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f(a 1)＋f(a 3)＋f(a 5)的值( )(A)恒为正数(B)恒为负数。

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滚动评估检测(四)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x | y=l og2x},B={x|-2≤x≤2},则A∩B=( )A.[1,2]B.(0,2]C.[-2,2]D.(-∞,2]【解析】选B.A={x|y=l og2x}=(0,+∞),所以A∩B=(0,2].2.如图是我国古代数学家赵爽创制的勾股圆方图,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角θ=,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内(阴影部分)的概率是 ( )A.1-B.C.1-D.【解析】选A.大正方形的边长为2,总面积为4,而阴影区域的边长为-1,面积为4-2,故飞镖落在阴影区域的概率为=1-.3.已知i是虚数单位,则z=(3-2i)i2 018所对应的点位于复平面内的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.因为z=(3-2i)i2 018=-3+2i,故对应的点位于第二象限.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a7+a17=25-S23,则a12等于( )A.-1B.-C.1D.【解析】选C.因为等差数列{a n}的前n项和为S n,a7+a17=25-S23,所以a1+6d+a1+16d=25-,整理得a1+11d=1,所以a12=a1+11d=1.5.执行如图所示的程序框图,则输出的S= ( )A.258B.642C.780D.1 538【解析】选B.根据题意可知该循环体运行情况如下:第1次:k=1<6,S=1×21, k=2,第2次:k=2<6,S=1×21+2×22, k=3,第3次:k=3<6,S=1×21+2×22+3×23, k=4,第4次:k=4<6,S=1×21+2×22+3×23+4×24, k=5,第5次:k=5<6,S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25, k=6,第6次:k=6=6,S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26, k=7.结束运算输出结果S=1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26=2+8+24+64+160+384=642.6.的展开式中,x2y4的系数是( )A.30B.-30C.60D.-60【解析】选C.T k+1=(-2y)k=(-2)k x6-k y k,由题意,k=4,所以x2y4的系数为(-2)4=60.7.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是( )A.πB.6πC.πD.π【解析】选C.由三视图知几何体是由上半部分为半圆锥,下半部分为半圆柱组成的几何体,根据图中数据可知圆柱与圆锥的底面圆半径为2,圆锥的高为2,圆柱的高为1,所以几何体的体积V=V半圆锥+V半圆柱=××π×22×2+×π×22×1=.8.已知数列{a n}的首项a1=1,前n项和为S n,且满足2a n+1+S n=2,则满足<<的n的最大值是( )A.8B.9C.10D.11【解析】选B.当n=1 时,2a2+S1=2,得a2=,当n≥2 时,有2a n+S n-1=2,两式相减得a n+1=a n ,再考虑到a2=a1,所以数列{a n}是等比数列,故有S n=2-2·,因此原不等式化为<<,化简得<<,得n=4,5,6,7,8,9 ,所以n的最大值为9.9.(2018·榆林模拟)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=cos ,则下列说法正确的是( )A.把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2B.把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2C.把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2D.把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2【解析】选B.根据曲线C1:y=sin x,C2:y=cos =sin ,把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,可得y=sin 的图象,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2:y=sin的图象.10.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则+= ( )A. B.1 C.2 D.4【解析】选A.由抛物线y2=8x可得焦点F(2,0),因此直线y=k(x-2)过焦点.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则|FP|=x1+=x1+2,|FQ|=x2+2.联立化为k2x2-(8+4k2)x+4k2=0(k≠0).因为Δ>0,所以x1+x2=,x1x2=4.所以+=+===.11.函数f(x)=l n x-x2的大致图象是 ( )【解析】选A.因为f(x)=l n x-x2,其定义域为(0,+∞),所以f′(x)=-x=,由f′(x)>0得,0<x<2;由f′(x)<0得,x>2,所以f(x)=l n x-x2在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,所以x=2时,f(x)取到极大值.又f(2)=l n 2->0,所以函数f(x)=l n x-x2的图象的点(2,f(2))在x轴上方,可排除B,C,D.12.定义:分子为1且分母为正整数的分数为单位分数,我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和.如:1=++,1=+++,1=++++,以此类推,可得:1=++++++++++++,其中a<b,a,b∈N*,设1≤x≤a,1≤y≤b,则的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为2=1×2,6=2×3,12=3×4,30=5×6,42=6×7,56=7×8,72=8×9,90=9×10,110=10×11,132=11×12,156=12×13,因为1=++++++++++++,结合裂项相消法可得+==,所以a=13,b=20,则=1+,因为1≤x≤13,1≤y≤20,所以y=1,x=13时,的最小值为.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-2b|=2,则a与b的夹角为________. 【解析】设a与b的夹角为θ,因为|a|=2,|b|=1,|a-2b|=2,所以|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4|a|·|b|cos θ=4+4-4×2×1×cos θ=12,即cos θ=-,因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.答案:120°14.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-2x+y的最大值是________.【解析】不等式组对应的平面区域如图:由z=-2x+y得y=2x+z,平移直线y=2x+z,则由图象可知当直线y=2x+z经过点B 时,直线y=2x+z的截距最大,此时z最大,由,解得B(-2,1),此时z=5.答案:515.已知双曲线-=1(a>0,b>0)上存在点P,满足P到y轴和到x轴的距离比为,则双曲线离心率的取值范围是________.【解析】设P(x,y),由题意可得,|x|=|y|,即有x2=3y2,即y2=x2,所以-=1,所以1≥a2,因为点在双曲线外,所以->0,所以3b2>a2,所以e==>=.答案:16.正四面体A-BCD的所有棱长均为12,球O是其外接球,M,N分别是△ABC与△ACD的重心,则球O截直线MN所得的弦长为________.【解析】正四面体A-BCD可补全为棱长为6的正方体,所以球O是正方体的外接球,其半径R=×6=3,设正四面体的高为h,则h==4,故OM=ON=h=,又MN=BD=4,所以O到直线MN的距离为=,因此球O截直线MN所得的弦长为2=4.答案:4三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin 2A=cos 2A,且角A为锐角.(1)求三角形内角A的大小.(2)若a=5,b=8,求c的值.【解析】(1)由题意,sin 2A=cos 2A,即tan 2A=.所以2A=或者2A=,因为角A为锐角,所以A=.(2)由(1)可知A=,a=5,b=8;由余弦定理,2bccos A=c2+b2-a2,可得:c2-8c+39=0,解得c=4+3或者4-3.18.(12分)如图,几何体EFABCD中,四边形CDEF为边长为1的正方形,ABCD为直角梯形,AB∥CD,CD⊥BC,BC=1,AB=2,∠BCF=90°.(1)求证:BD⊥AE.(2)求二面角B-AE-D的大小.【解析】(1)由题意得,BC⊥DC,CF⊥BC,因为四边形CDEF为正方形,所以CF⊥CD,又CD∩BC=C,所以FC⊥平面ABCD,因为DE∥CF,所以DE⊥平面ABCD,所以DE⊥DB,又因为四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,CD⊥BC,BC=1,AB=2,所以AD=,BD=,因为AD2+BD2=AB2,所以BD⊥AD,由AD∩DE=D,所以BD⊥平面ADE,所以BD⊥AE.(2)由(1)知CD,CB,CF所在直线相互垂直,故以C为原点,CD,CB,CF所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,可得C(0,0,0),F(0,0,1),B(0,1,0),E(1,0,1),D(1,0,0),A(2,1,0),所以=(1,-1,1),=(2,0,0),由(1)知平面AED的一个法向量为=(1,-1,0),设平面EBA的法向量为n=(x,y,z),由得令z=1,则n=(0,1,1),设二面角B-AE-D的大小为θ,则cos θ===,因为θ∈[0,π),所以θ=,即二面角B-AE-D的大小为.19.(12分)随机抽取某中学高三年级甲、乙两班各10名同学,测量出他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图,其中甲班有一个数据被污损.(1)若已知甲班同学身高平均数为170 cm,求污损处的数据.(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学,求身高为176 cm的同学被抽中的概率.【解析】(1)设甲班的未知数据为a,由=(158+162+163+168+168+170+171+a+179+182)=170,解得a=179,所以污损处的数据是9.(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”为事件A,从乙班10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学有:{181,173},{181,176},{181,178},{181,179},{179,173},{179,176},{179,178},{1 78,173},{178,176},{176,173},共10个基本事件,而事件A有{181,176},{179,176},{178,176},{176,173},共4个基本事件,所以P(A)==.即身高为176 cm的同学被抽中的概率为.20.(12分)已知动点P是圆G:+y2=32上的任意一点,点P与点A(,0)所连线段的垂直平分线和GP相交于点Q.(1)求点Q的轨迹C的方程.(2)过坐标原点O的直线l交轨迹C于点E,F,直线EF与坐标轴不重合.M是轨迹C上的一点,若△EFM的面积是4,试问直线EF,OM的斜率之积是否为定值,若是,求出此定值,否则,说明理由.【解析】(1)由题意,|QP|=|QA|,又因为|GQ|+|QP|=|GP|=4,所以|GQ|+|QA|=4>|GA|,所以点Q的轨迹是以G,A为焦点的椭圆,其中a=2,c=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=k1x,联立得(4+1)x2=8,所以|EF|=·,设OM所在直线方程为y=k2x,联立椭圆方程得M,或M,,点M到直线EF的距离d=.S△EFM=×|EF|×d==4,所以4-8k1k2+4=16+4+4+1,即16+8k1k2+1=0,解得k1k2=-,所以直线EF,OM的斜率之积为定值-.21.(12分)已知函数f(x)=x2e-ax,其中a>0.(e是自然对数的底数,e=2.718 28…)(1)求f(x)的单调区间.(2)求f(x)在[1,2]上的最大值.【解析】(1)f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x),令f′(x)>0,因为e-ax>0,所以-ax2+2x>0,解得0<x<.所以f(x)在(-∞,0)和内是减函数,在内是增函数.(2)①当0<<1,即a>2时,f(x)在(1,2)内是减函数.所以在[1,2]上f(x)max=f(1)=e-a;②当1≤≤2,即1≤a≤2时,f(x)在内是增函数,在内是减函数.所以在[1,2]上f(x)max=f=4a-2e-2;③当>2,即0<a<1时,f(x)在(1,2)上是增函数.所以在[1,2]上f(x)max=f(2)=4e-2a. 综上所述,当0<a<1时,f(x)在[1,2]上的最大值为4e-2a;当1≤a≤2时,f(x)在[1,2]上的最大值为4a-2e-2;当a>2时,f(x)在[1,2]上的最大值为e-a.(请在第22～23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)22.(10分)(坐标系与参数方程)已知直线l的参数方程为: (t 为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ-2cos θ.(1)求曲线C的参数方程.(2)当α=时,求直线l与曲线C交点的极坐标.【解析】(1)由ρ=2sin θ-2cos θ,可得ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y-2x,标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2,曲线C的极坐标方程化为参数方程为(φ为参数).(2)当α=时,直线l的方程为化成普通方程为y=x+2,由解得或所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(k∈Z)或(2,π+2kπ)(k∈Z).23.(10分)(不等式选讲)设函数f(x)=|x-4|,g(x)=|2x+1|.(1)解不等式f(x)<g(x).(2)若2f(x)+g(x)>ax对任意的实数x恒成立,求a的取值范围 .【解析】(1)f(x)<g(x)等价于(x-4)2<(2x+1)2,所以x2+4x-5>0,所以x<-5或x>1,所以不等式的解集为{x|x<-5或x>1}.(2)令H(x)=2f(x)+g(x)=G(x)=ax,2f(x)+g(x)>ax对任意的实数x恒成立,即H(x)的图象恒在直线G(x)=ax 的上方,故直线G(x)=ax的斜率a满足-4≤a<,即a的取值范围为.关闭Word文档返回原板块。

单元评估检测（四）（第四章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知平面向量a 、b 共线，则下列结论中不正确的个数为( )①a 、b 方向相同②a 、b 两向量中至少有一个为0③∃λ∈R，使b ＝λ a④∃λ1，λ2∈R，且λ21＋λ22≠0，λ1a ＋λ2b ＝0 (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.(2012·某某模拟)已知复数z 1＝1－2i ，则复数z 2＝z 1＋1z 1－1的虚部是( ) (A)i (B)－i (C)1 (D)－13.已知AB ·AC ＝0，|AB |＝3，|AC |＝2，则|BC |＝( ) (A)5 (B) 5 (C)13 (D)134.已知向量m ，n 满足m ＝(2,0)，n ＝(32，32).在△ABC 中，AB ＝2m ＋2n ，AC ＝2m －6n ，D 为BC 边的中点，则|AD |等于( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)85.已知复数z ＝a ＋i 1－i＋i(a∈R)，若z∈R，则a ＝( ) (A)3 (B)－3 (C)1 (D)－16.已知|a |＝2|b |，且|b |≠0，关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )(A)－π6 (B)－π3 (C)π3 (D)2π37.(易错题)已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj 且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值X 围是( )(A)(－∞，－2)∪(－2，12) (B)[12，＋∞) (C)(－2，23)∪(23，＋∞) (D)(－∞，12)8.已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB |∶|BC |＝( ) (A)1∶3 (B)3∶1 (C)1∶2 (D)2∶19.若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝0，则△ABC 的形状为( )(A)正三角形 (B)直角三角形(C)等腰三角形 (D)斜三角形10.(2012·潍坊模拟)设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0②|a |－|b |≤|a －b |③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2中，是真命题的有( )(A)①② (B)②③ (C)④ (D)②④11.(2012·某某模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb (λ，μ∈R)，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )(A)λ＋μ＝2 (B)λ－μ＝1(C)λμ＝－1 (D)λμ＝112.(预测题)如图，△ABC 中，AD ＝DB ，AE ＝EC ，CD 与BE 交于F ，设AB ＝a ，AC ＝b ，AF ＝x a ＋y b ，则(x ，y)为( )(A)(12，12) (B)(23，23) (C)(13，13) (D)(23，12) 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2011·某某高考改编)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4).若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝.14.(2012·某某模拟)已知复数z ＝1－3i 3＋i，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于. 15.已知平面上有三点A(1，－a)，B(2，a 2)，C(3，a 3)共线，则实数a ＝.16.(2012·某某模拟)设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f ，满足对任意x∈D，均有f(x)＝λx(λ∈R 且λ≠0).若|a |＝|b |且a ，b 不共线，则[f(a )－f(b )]·(a ＋b )＝.若A(1,2)，B(3,6)，C(4,8)，且f(AB )＝CB ，则λ＝.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)已知AD 是△ABC 的高，若A(1,0)，B(0,1)，C(－1，－1)，试求向量AD 的坐标.18.(12分)设存在复数z 同时满足下列条件：(1)复数z 在复平面内的对应点位于第二象限；(2)z·z ＋2iz ＝8＋ai(a∈R).试求a 的取值X 围.19.(12分)(2012·某某模拟)如图，在△ABC 中，AB ·AC ＝0，|AB |＝8，|AC |＝6，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点.(1)求AD ·CB 的值.(2)判断AE ·CB 的值是否为一个常数，并说明理由.20.(12分)(易错题)在平面直角坐标系xOy 中，点P(12，cos 2θ)在角α的终边上，点Q(sin 2θ，－1)在角β 的终边上，且OP ·OQ ＝－12. (1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值.21.(12分)(2012·某某模拟)已知向量a ＝(cos 32x ，sin 32x)，b ＝(cos x 2，sin x 2)，c ＝(3，－1)，其中x∈R， (1)当a ·b ＝12时，求x 值的集合； (2)设函数f(x)＝(a －c )2，求f(x)的最小正周期及其单调增区间.22.(14分)已知双曲线x 2－y 2＝2的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A ，B 两点，点C 的坐标是(1,0).(1)证明：CA ·CB 为常数；(2)若动点M 满足CM ＝CA ＋CB ＋CO (其中O 为坐标原点)，求点M 的轨迹方程.答案解析1.【解析】选C.若a 、b 均为非零向量， 则由a ∥b 知a 、b 方向相同或相反，故①②不正确；若a ＝0，b ≠0，则不存在实数λ使b ＝λa ，故③不正确；若a 、b 均为零向量，则④正确，若a ≠0，则由两向量共线知，存在λ≠0，使b ＝λa 即λa －b ＝0，则④正确，综上，只有④正确，故选C.2.【解析】选C.∵z 1＝1－2i ，∴z 2＝z 1＋1z 1－1＝1－2i ＋11－2i －1＝2－2i －2i ＝1－i －i＝(1－i)i －i ·i ＝i －i 21＝i ＋11＝1＋i ， ∴z 2的虚部是1.3.【解析】选D.∵AB ·AC ＝0，∴AB ⊥AC ，|BC |＝13，故选D.4.【解题指南】由D 为BC 边的中点可得AD ＝12(AB ＋AC )，再用m 、n 表示AD 即可. 【解析】选A.∵D 为BC 边的中点，∴AD ＝12(AB ＋AC )＝12(2m ＋2n ＋2m －6n )＝2m －2n ＝2(2,0)－2(32，32)＝(1，－3)， ∴|AD |＝2.5.【解析】选B.∵z ＝(a ＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＋i ＝(a －1)＋(a ＋1)i 2＋i＝a －12＋a ＋32i ， ∵z ∈R ，∴a ＋32＝0， ∴a ＝－3.6.【解析】选D.设向量a 与b 的夹角为θ，由方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等的实根可得Δ＝|a |2＋4a ·b＝0，即4|b |2＋8|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12， 则向量a 与b 的夹角为2π3. 7.【解题指南】设a 、b 的夹角为θ，由θ为锐角可得0＜cos θ＝a ·b |a||b|＜1，进而可求出λ的取值X 围.【解析】选A.∵|a |＝ 5.同理可求|b |＝1＋λ2，又a ·b ＝(i －2 j )·(i ＋λj )＝i 2＋(λ－2)i ·j －2λj 2＝1－2λ，设a 、b 的夹角为θ，则0°＜θ＜90°，cos θ＝a ·b |a||b|＝1－2λ5·1＋λ2， 由0＜cos θ＜1得λ＜－2或－2＜λ＜12. 【误区警示】θ为锐角⇒0＜cos θ＜1，易忽略cos θ＜1而误选D.8.【解题指南】把目标向量AB 、BC 用已知向量OA 、OB 、OC 表示是解题的关键.【解析】选D.因为OB ＝13OA ＋23OC ，所以OB －OC ＝13OA －13OC ，得CB ＝13CA ， 又OB －OA ＝－23OA ＋23OC ，得AB ＝23AC ， 所以|AB |∶|BC |＝23∶13＝2∶1，故选D. 9.【解析】选C.∵(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝0，∴CB ·(OB －OA ＋OC －OA )＝0，即CB ·(AB ＋AC )＝0，设D 为BC 的中点，∴CB ·2AD ＝0，∴△ABC 为等腰三角形.10.【解析】选D.∵c ，b 是不共线的向量，a ·b 与c ·a 都是实数，∴(a ·b )c －(c ·a )b ≠0， ∴①错误；又∵|a －b |而当|a |－|b |＞0时，|a |－|b |而2|a ||b |≥2|a ||b |cos 〈a ，b 〉，∴②正确.又∵[(b ·c )a －(c ·a )b ]·c ＝(b ·c )a ·c－(c ·a )b ·c ＝(b ·c )(a ·c )－(c ·a )(b ·c )＝0，∴③不正确.又∵(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9a 2－6a ·b ＋6b ·a －4b 2＝9a 2－4b 2＝9|a |2－4|b |2，∴④正确.11.【解析】选D.由题意得必存在m(m ≠0)使AB ＝m ·AC ，即λa ＋b ＝m(a ＋μb )，得λ＝m,1＝m μ，∴λμ＝1.12.【解题指南】利用B 、F 、E 三点共线，D 、F 、C 三点共线是解答本题的关键，而用两种形式表示向量AF 是求x ，y 的桥梁.【解析】选C.AB ＝a ，AC ＝b ，得BE ＝12b －a ，DC ＝b －12a .因为B ，F ，E 三点共线，令BF ＝t BE ，则AF ＝AB ＋t BE ＝(1－t)a ＋12tb .因为D ，F ，C 三点共线，令DF ＝s DC ，则AF ＝AD ＋s DC ＝12(1－s)a ＋s b .根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－t ＝12－12s s ＝12t ，解得t ＝23，s ＝13，得x ＝13，y ＝13，即(x ，y)为(13，13)，故选C. 13.【解析】a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c 得，4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12. 答案：1214.【解析】∵z ＝－i 2－3i 3＋i ＝－i(i ＋3)3＋i ＝－i ，∴z ＝i ，∴|z |＝1.答案：115.【解析】∵AB ＝(1，a 2＋a)，BC ＝(1，a 3－a 2)， 又∵A 、B 、C 三点共线，∴AB ∥BC ，∴1×(a 3－a 2)－(a 2＋a)×1＝0，即a 3－2a 2－a ＝0，∴a ＝0或a ＝1± 2.答案：0或1± 216.【解析】由已知f(a )＝λa ，f(b )＝λb ，又|a |＝|b |，∴[f(a )－f(b )]·(a ＋b )＝λ(a －b )·(a ＋b )＝λ(|a |2－|b |2)＝0.∵AB ＝(2,4)，CB ＝(－1，－2)，f(AB )＝CB ，∴λ(2,4)＝(－1，－2)得λ＝－12. 答案：0 －12 17.【解析】设BD ＝λBC ，又BC ＝(－1，－2)，则BD ＝(－λ，－2λ)，∴AD ＝AB ＋BD ＝(－1,1)＋(－λ，－2λ)＝(－1－λ，1－2λ)，由AD ⊥BC ，得AD ·BC ＝0，即(1＋λ)＋2(2λ－1)＝0，解得λ＝15， ∴AD ＝(－65，35). 18.【解析】设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由(1)得x ＜0，y ＞0.由(2)得x 2＋y 2＋2i(x ＋yi)＝8＋ai ，即x 2＋y 2－2y ＋2xi ＝8＋ai.由复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝8 ①2x ＝a ②由①得x 2＝－(y －1)2＋9，又y ＞0，∴x 2≤9，又x ＜0，∴－3≤x ＜0，∴－6≤a ＜0.即a 的取值X 围为[－6,0).19.【解析】方法一：(1)由已知可得 AD ＝12(AB ＋AC )，CB ＝AB －AC ，∴AD ·CB ＝12(AB ＋AC )·(AB －AC ) ＝12(AB 2－AC 2)＝12(64－36)＝14. (2)AE ·CB 的值为一个常数.理由如下：∵l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，∴DE ·CB ＝0，故AE ·CB ＝(AD ＋DE )·CB ＝AD ·CB ＋DE ·CB ＝AD ·CB ＝14(常数).方法二：(1)以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，l 所在直线为y 轴建立直角坐标系，可求A(75，245)，此时AD ＝(－75，－245)，CB ＝(－10,0). AD ·CB ＝－75×(－10)＋(－245)×0＝14.(2)设E 点坐标为(0，y)(y ≠0)，此时AE ＝(－75，y －245)，此时AE ·CB ＝－75×(－10)＋(y －245)×0＝14(常数). 20.【解析】(1)∵OP ·OQ ＝12sin 2θ－cos 2θ＝－12， ∴cos 2θ＝23，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝13. (2)sin α＝cos 2θ14＋cos 4θ＝2314＋49＝45， cos α＝1214＋cos 4θ＝1214＋49＝35. 同理sin β＝－1sin 4θ＋1，cos β＝sin 2θsin 4θ＋1， 又∵sin 2θ＝1－cos 2θ＝13， ∴sin β＝－31010，cos β＝1010. ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×1010＋35×(－31010)＝－1010. 21.【解析】(1)∵a ·b ＝cos 3x 2·cos x 2－sin 3x 2sin x 2＝cos2x ＝12， ∴2x ＝2k π±π3，x ＝k π±π6(k ∈Z)， ∴x 的集合是{x|x ＝k π±π6(k ∈Z)}. (2)∵a －c ＝(cos 3x 2－3，sin 3x 2＋1)， ∴f(x)＝(cos 3x 2－3)2＋(sin 3x 2＋1)2＝2＋3－23cos 3x 2＋2sin 3x 2＝5＋4(12sin 3x 2－32cos 3x 2)＝5＋4sin(3x 2－π3). ①最小正周期T ＝2π32＝43π； ②2k π－π2≤3x 2－π3≤2k π＋π2，即2k π－π6≤3x 2≤2k π＋5π6， 43k π－π9≤x ≤43k π＋59π(k ∈Z)， ∴f(x)的单调增区间是[43k π－π9，43k π＋5π9](k ∈Z).22.【解析】由条件，知F(2,0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，(1)当AB 与x 轴垂直时， 可知点A ，B 的坐标分别为(2，2)，(2，－2)， 此时CA ·CB ＝(1，2)·(1，－2)＝－1.当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是y ＝k(x －2)(k ≠±1)， 代入x 2－y 2＝2，有(1－k 2)x 2＋4k 2x －(4k 2＋2)＝0.则x 1，x 2是上述方程的两个实根，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－1，x 1x 2＝4k 2＋2k 2－1. 于是CA ·CB ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋1)(x 1＋x 2)＋4k 2＋1＝(k 2＋1)(4k 2＋2)k 2－1－4k 2(2k 2＋1)k 2－1＋4k 2＋1 ＝(－4k 2－2)＋4k 2＋1＝－1.综上所述，CA ·CB 为常数－1.(2)设M(x ，y)，则CM ＝(x －1，y)，CA ＝(x 1－1，y 1)，CB ＝(x 2－1，y 2)， CO ＝(－1,0).由CM ＝CA ＋CB ＋CO ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝x 1＋x 2－3y ＝y 1＋y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝x ＋2y 1＋y 2＝y .于是线段AB 的中点坐标为(x ＋22，y 2). 当AB 不与x 轴垂直时，y 1－y 2x 1－x 2＝y 2x ＋22－2＝y x －2， 即y 1－y 2＝y x －2(x 1－x 2). 又因为A ，B 两点在双曲线上，所以x 21－y 21＝2，x 22－y 22＝2，两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，即(x 1－x 2)(x ＋2)＝(y 1－y 2)y.将y 1－y 2＝y x －2(x 1－x 2)代入上式，化简得x 2－y 2＝4.word当AB与x轴垂直时，x1＝x2＝2，求得M(2,0)，也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是x2－y2＝4.【方法技巧】求动点轨迹方程的技巧和方法(1)直接法：若动点的运动规律是简单的等量关系，可根据已知(或可求)的等量关系直接列出方程.(2)待定系数法：如果由已知条件可知曲线的种类及方程的具体形式，一般可用待定系数法.(3)代入法(或称相关点法)：有时动点P所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点P′的运动而运动，称之为相关点，若相关点P′满足的条件简单、明确(或P′的轨迹方程已知)，就可以用动点P的坐标表示出相关点P′的坐标，再用条件把相关点满足的轨迹方程表示出来(或将相关点坐标代入已知轨迹方程)就可得所求动点的轨迹方程的方法.(4)几何法：利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程.(5)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标间的关系，可选择一个(有时已给出)与所求动点的坐标x，y都相关的参数，并用这个参数把x，y表示出来，然后再消去参数的方法.- 11 - / 11。

【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学阶段滚动检测（三）理新人教A版（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动交汇考查)已知集合A={x|x2-4x-5>0},集合B={x|4-x2>0},则A∩B=( )(A){x|-2<x<1} (B){x|-2<x<-1}(C){x|-5<x<1} (D){x|-5<x<-1}2.(滚动单独考查)已知复数2a izi-=在复平面内对应的点在一、三象限的角平分线上,则实数a= ( )(A)-(B)(C)1 (D)-1 3.(滚动单独考查)已知正项数列{a n }中,a 1=1,a 2=2, 2a n 2=a n+12+a n-12 (n ≥2),则a 6等于( )(A)16 (B)8 (C)2 (D)44.(滚动单独考查)已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数,当x>0时f(x)=4x -mx,且f(2)=2f(-1),则实数m的值等于 ( )(A)0 (B)6 (C)4 (D)25.(滚动交汇考查)已知平面向量a =(1,x),b =(2,y),且a ⊥b ,则|a +b |的最小值等于 ( )(A)1(B) (C) (D)3 6.设函数f(x)=x 2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是 ( )(A)f(m+1)≥0(B)f(m+1)≤0 (C)f(m+1)>0 (D)f(m+1)<07.(滚动交汇考查)已知命题p:∀x ∈R,函数()2x 33f x cos sin x 222=+≤，则 ( ) (A)p 是假命题;﹁p:∃x 0∈R,()2000x 33f x cos sin x 222=+≤ (B)p 是假命题﹁p:∃x 0∈R,()2000x 33f x cos sin x 222=+> (C)p 是真命题;﹁p:∃x 0∈R,()2000x 33f x cos sin x 222=+≤ (D)p 是真命题;﹁p:∃x 0∈R,()2000x 33f x cos sin x 222=+> 8.已知x,y 满足x 3y 70x 1y 1+-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，，，则z=|y-x|的最大值为 ( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49. (滚动单独考查)如图所示为函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, ≤φ≤π)的部分图象,其中A,B 两点之间的距离为5,那么f(-1)= ( )()()()()A 3B 3C 2D 2--10.(2013·梅州模拟)已知命题p:∃a,b ∈(0,+∞),当a+b=1时,113,a b+=命题q:∀x ∈R,x 2-x+1≥0恒成立,则下列命题是假命题的是 ( ) (A)﹁p 或﹁q (B)﹁p 且﹁q(C)﹁p 或q (D)﹁p 且q11.(滚动单独考查)若*n 122n S sin sin sin (n N )S S 777πππ=++⋯+∈⋯，则在，，，S 100中， 正数的个数是( )(A)16 (B)72 (C)86 (D)10012．(滚动交汇考查)已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5 ，若存在两项a m ,a n 使得m n 1a a 4a =，则14m n+的最小值为( ) ()()()()23A 4B C 9D 32二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.(2013·石家庄模拟)若不等式2x>x 2+a 对于一切x ∈[-2,3]恒成立,则实数a 的取值范围是 .14.(滚动单独考查)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,AB=2 ,BD=22 ,AD=2,则△ADC 的面积S △ADC = .15.已知区域D 是由不等式组x 2y 0x 3y 0-≥⎧⎨+≥⎩，所确定的，则圆x 2+y 2=4在区域D 内的弧长等于_______.16.(滚动交汇考查)对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1=0，s,t 是互不相等的正整数，则有(s-1)a t -(t-1)a s =0”.类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是_________.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)(滚动交汇考查)已知集合A={x ∈R||x+2|≥3}.集合B={x|(x+3m)(x-2)<0}.(1)若()⊆B,求实数m 的取值范围.(2)若()∩B=(-1,n),求实数m,n 的值.18.(12分)已知数列()()1111,1335572n 12n 1⋯⨯⨯⨯-+，，，，其前n 项和为S n . (1)求出S 1,S 2,S 3,S 4.(2)猜想前n 项和S n 并证明.19.(12分)(滚动交汇考查)已知向量p =(x,1),q =(x+a,b)(a,b ∈R).(1)若当a=0时，关于x 的不等式|p+q |≥4对x ∈［-3,1］恒成立，求实数b 的取值范围.(2)令f(x)=p·q ，且f(x)的最小值为0，当关于x 的不等式f(x)<c 的解集为(k-3,k+3)时，求实数c 的值.20.(12分)某企业计划2013年度进行一系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3-x 与t+1成反比例，当年促销费用t=0万元时，年销量是1万件，已知2013年产品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件产品需再投入32万元的生产费用，若将每件产品售价定为其生产成本的150%与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完.(1)将2013年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数.(2)该企业2013年的促销费投入多少万元时，企业年利润最大？(注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用)21.(13分)(滚动交汇考查)已知函数()()a x 1f x ln x .x 1-=-+ (1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围.(2)利用(1)的结论比较m 2(1)m n ln m n 1n -+与(m,n 为正实数，m>n)的大小. 22.(13分)(滚动交汇考查)已知函数f(x)=x-1-ln(x+m)在x=1处取得极小值.(1)求f(x)的单调区间.(2)若对任意的x ∈［1,+∞)，不等式f(x)≤a(x-1)2恒成立，求实数a 的取值范围.答案解析1.【解析】选B.由已知得A={x|x 2-4x-5>0}={x|x>5或x<-1},B={x|4-x 2>0}={x|-2<x<2},所以A ∩B={x|-2<x<-1}.2.【解析】选B.由于z=Error! Digit expected.=-1-2ai,因此复数z 对应的点是(-1,-2a),而它在一、三象限的角平分线上,必有-2a=-1,故a=.3.【解析】选 D. 由2a n2=a n+12+a n-12知，数列{a n2}是等差数列，且公差d=a22-a12=22-12=3，所以a62=a12+(6-1)d=1+15=16.又{a n}为正项数列，所以a6=4.4.【解析】选B.由于f(2)=42-2m=16-2m,f(-1)=-f(1)=-(4-m)=m-4,所以依题意得16-2m=2(m-4),解得m=6,故选B.5.【思路点拨】由两个向量垂直的条件得到x,y满足的关系式,再将|a+b|用x,y表示,用基本不等式求解. 【解析】选D.由a⊥b可得1×2+xy=0,即xy=-2,于是|a+b|=()22223x y x y52xy5 3.=++=++≥+=【方法技巧】应用不等式的前提条件一般地,涉及两个变量的代数式求最值时,都可考虑运用基本不等式,但要注意基本不等式成立的条件,由x2+y2≥2xy可知x2+y2≥2|xy|也是成立的.6.【解析】选C.因为函数f(x)图象的对称轴是x=-1 2,f(0)=a>0,所以由f(m)<0得-1<m<0,于是m+1>0,故f(m+1)>f(0)>0.7.【解析】选D.由于f(x)=cos2+sinx=Error! Digit expected.+sinx =sin(x+)+,因此当x∈R时,sin(x+)+≤,故p是真命题,则﹁p:∃x0∈R,f(x0)=cos2+sinx0>.8.【解析】选C.作出可行域如图阴影区域.可知A(1,2),B(4,1),由z=|y-x|=(1)当z=y-x时,目标函数过A(1,2)时,z max=2-1=1.(2)当z=x-y时,目标函数过B(4,1)时,z max=4-1=3.由(1)(2)可得,z max=3,故选C.9.【解析】选C.如图,由已知可得BC=4,而AB=5,所以AC=3,即·Error! Digit expected.=3,解得ω=,于是f(x)=2sin(x+φ).又因为函数图象经过点(0,1),代入得2sin φ=1,而≤φ≤π,故φ=856π,因此f(x)=2sin(x+Error! Digit expected.),故f(-1)=2.10.【解析】选B.当a,b ∈(0,+∞),且a+b=1时,()1111b a a b ()2a b a b a b +=++=++≥4≠3,所以命题p 为假命题.因为Δ=-3<0,所以x 2-x+1≥0恒成立,因此命题q 是真命题,所以﹁p 且﹁q 是假命题.11.【思路点拨】分析当n 取前面几个较小的数值时S n 的符号，再结合正弦函数的周期性，由归纳推理得到S n 的取值规律，从而得出结论. 【解析】选C.由于n y sin 7π=的周期为2147π=π，因此只需求出S 1,S 2,S 3，…，S 14的值即可. 1231314S sin0,72S sin sin 0,7723S sin sin sin 0,7772313S sin sin sin sin 0,77772314S sin sin sin sin 0,7777π=>ππ=+>πππ=++>⋯ππππ=+++⋯+=ππππ=+++⋯+=，因此在S 1,S 2,S 3，…，S 14中只有2项等于0，其余12项都是正数.故在S 1,S 2,S 3，…，S 100中，一共有100-7×2=86个正数.12.【思路点拨】求出数列{a n }的公比，由等比数列的性质得到m,n 的关系式，再利用常值代换，运用基本不等式求最值.【解析】选D.设{a n }的公比为q ，则有a 5q 2=a 5q+2a 5，即q 2-q-2=0，解得q=2(q=-1舍去）. m n 1a a 4a =可得2222m n 113a a 16a (a q )a ===，所以m+n=6.于是()141141n 4m 3m n ()(5)m n 6m n 6m n 2+=++=++≥，当且仅当n 4m m n =,即m=2,n=4时，14m n+取最小值3.2 13.【解析】不等式2x>x 2+a 可化为a<-x 2+2x,函数g(x)=-x 2+2x 在区间[-2,3]上的最小值为g(-2)=-8,故实数a 的取值范围是(-∞,-8). 答案:(-∞,-8)14.【解析】由已知可得 cos ∠ADB=22222225222222+-==-⨯⨯ 于是∠ADB=135°,因此∠ADC=45°, 故S △ADC =AD·DCsin∠ADC=×2×22 ×sin45°=2.答案:215.【思路点拨】关键是求出平面区域被圆截得的弧所对应的圆心角的弧度数，可以根据边界直线的斜率得到倾斜角，再求出圆心角的大小.【解析】画出可行域如图，依题意可知，111123tan AOx tan BOx tan AOB 1AOB .11234123+π∠=∠=∠==∠=-⨯，，于是，因此 又圆的半径等于2，所以弧长l =2.42ππ⨯=答案:2π16.【解析】从等差数列到等比数列的类比.等差数列中+，-，×，÷类比到等比数列经常是×，÷，（）n，n（）， 0类比1.故若{b n }是等比数列，b 1=1，s ，t 是互不相等的正整数，则s 1t 1s 1t 1t 1s 1t 1s 1b b q 1.b b q ------==（）（）答案:若{b n }是等比数列，b 1=1，s ，t 是互不相等的正整数，则有s 1t t 1sb 1b --=17.【解析】由|x+2|≥3,得x+2≥3或x+2≤-3,即x ≥1或x ≤-5,所以集合A={x|x ≥1或x ≤-5},故RA =(-5,1).(1)由RA =(-5,1),(R A )⊆B 知必有B=(-3m,2),且-3m ≤-5,解得m ≥5,故实数m 的取值范围为[5,+∞).(2)因为(RA )∩B=(-1,n),所以-1是方程(x+3m)(x-2)=0的根,因此代入得3(1-3m)=0,所以m=Error! Cannot insert return character.. 此时不等式(x+1)(x-2)<0的解为-1<x<2, 所以(RA )∩B=(-1,1),即n=1.18.【解析】(1)由已知得:123411S ;133112S ;133551113S ;133557711114S .133557799==⨯=+=⨯⨯=++=⨯⨯⨯=+++=⨯⨯⨯⨯(2)由(1)可归纳猜想得S n =证明:∵Error! Digit expected.()()n 111(),22n 12n 11111S 1335572n 12n 111111111(1)()()2323522n 12n 1111111(1)23352n 12n 11112n n (1).22n 122n 12n 1=--+∴=+++⋯+⨯⨯⨯-+=-+-+⋯+--+=-+-+⋯+--+=-=⨯=+++ 19.【解析】(1)当a=0时,p +q =(2x,1+b), 所以|p+q |≥4,即Error! Digit expected.()224x 1b ++≥4,因此4x 2+(b+1)2≥16,所以(b+1)2≥16-4x 2.令h(x)=16-4x 2,由于x ∈[-3,1], 所以h(x)在[-3,1]上的最大值为16,因此(b+1)2≥16,故b ≥3或b ≤-5,故实数b 的取值范围为(-∞,-5]∪[3,+∞).(2)f(x)=p ·q =x 2+ax+b,由于f(x)的最小值为0,所以a 2-4b=0,即b=. 所以不等式f(x)<c,即x 2+ax+<c, 即(x+)2<c, 故a a c x c .22-<< 因为不等式f(x)<c 的解集为(k-3,k+3)，所以a a (c )(c )2c 6c 9.22--===，解得 【变式备选】已知函数f(x)=mx 2-mx-1.(1)若对于x ∈R,f(x)<0恒成立,求实数m 的取值范围.(2)若对于x ∈[1,3],f(x)<5-m 恒成立,求实数m 的取值范围. 【解析】(1)由题意可得m=0或⇒m=0或-4<m<0 ⇒-4<m ≤0,故m 的取值范围为(-4,0].(2)∵f(x)<-m+5⇒m(x 2-x+1)<6,又x 2-x+1>0恒成立,∴m<Error! Digit expected.对于x ∈[1,3]恒成立, 记g(x)=Error! Digit expected.,x ∈[1,3],记h(x)=x 2-x+1,则h(x)在[1,3]上为增函数, 从而g(x)在[1,3]上为减函数, ∴g(x)min =g(3)=C ,∴m<C .所以m 的取值范围为(-∞,C ). 20.【解析】（1）由题意：k3x ,t 1-=+ 将t=0,x=1代入得k=2，2x 3.t 1∴=-+ 当年生产x （万件）时，年生产成本=299t 3532x 332(3)3.t 1t 1++=-+=++ 当销售x(万件)时，年销售收入=99t 351150%t.t 12+⨯++ 由题意，生产x 万件产品正好销完，∴年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,即()2t 98t 35y (t 0).2t 1-++=≥+()()2t 98t 352y 2t 1t 13250()2t 1501642,-++=++=-++≤-=当且仅当t 132,t 7,2t 1+==+即时y max =42, ∴当促销费投入7万元时，企业年利润最大.21.【解析】(1)f'(x)=()()()()()()()22222a x 1a x 11x x 1x 12ax x x 1x 22a x 1.x x 1+---++-=++-+=+因为f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,所以f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即x 2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立.当x ∈(0,+∞)时,由x 2+(2-2a)x+1≥0, 得2a-2≤x+Error! Digit expected..设g(x)=x+Error! Digit expected.,x ∈(0,+∞), 则g(x)=x+Error! Digit expected.≥2=2.所以当且仅当x=Error! Digit expected., 即x=1时,g(x)有最小值2, 所以2a-2≤2,所以a ≤2. 即a 的取值范围为(-∞,2]. (2)构造函数:设h(x)=lnx-Error! Digit expected.,由(1)知h(x)在(1,+∞)上是单调递增函数.又>1, 所以h()>h(1)=0,即ln -Error! Digit expected.m 2(1)n m 1n -+>0成立,从而ln >Error! Digit expected..22.【解析】（1）()1f x 1.x m '=-+由于函数f(x)在x=1处取得极小值，所以f ′(1)=0，即1101m -=+，因此m=0. 于是()1x 1f x 1.x x-'=-=由f ′(x)>0得x>1；由f ′(x)<0得0<x<1，故函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)，单调递减区间是(0,1). （2）由（1）知f(x)=x-1-ln x.若a ≤0，取x=2，则f(x)=1-ln 2>0不满足f(x)≤a(x-1)2，因此必有a>0.不等式f(x)≤a(x-1)2，即为x-1-ln x ≤a(x-1)2，所以a(x-1)2-x+1+ln x ≥0在x ∈［1,+∞)上恒成立.令g(x)=a(x-1)2-x+1+ln x,则g ′(x)=2a(x-1)-1+1x=22ax 2ax x 1x --+()12a(x )x 12a .x --= ①当111a 2a 2≤≥即时，当x>1时，有g ′(x)>0恒成立，即g(x)在［1,+∞)上单调递增， g(x)在［1,+∞)上的最小值为g(1)=0，故g(x)≥0在x ∈［1,+∞)上恒成立，②方法一:当1110a 2a 2><<即时， 由()()12a(x )x 112a g x 01x x 2a --'=<<<可得，即函数g(x)在1(1,)2a 上单调递减，又g(1)=0，所以当x ∈(1,12a)时，g(x)<0，因此g(x)≥0在x ∈［1,+∞)上不能恒成立.综上，实数a 的取值范围是1.2+∞［，） 方法二:当112a >即10a 2<<时，函数g(x)在1(1,)2a 上单调递减，在1(,)2a+∞上单调递增， 因此g(x)在1x 2a=取得极小值，亦即最小值，最小值为 ()()22211h a g()a ln(2a)2a 4a11(2a 1)h a 104a a 4a ==-+--'=+-=>，而，所以h(a)在1(0,)2上单调递增. 又1h()02=，所以当10a 2<<时，g(x)在［1,+∞)上的最小值h(a)<0， 故不满足g(x)≥0在［1,+∞)上恒成立. 综上，实数a 的取值范围是［12,+∞). 【方法技巧】求解不等式恒成立的方法求解不等式恒成立问题时，一种方法是分离参数求最值，另一种方法是转化为研究函数的最值.例如，本题中，要使不等式f(x)≤a(x-1)2恒成立，只需使g(x)=a(x-1)2-f(x)的最小值大于或等于0即可.。

温"【全程复习方略】（山东专用）高中数学 阶段滚动检测(六)理 新人教B 版 "第一～十一章 （120分钟 150分） 第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动单独考查)设全集U ＝R ，集合A ＝{x|2x(x －2)<1}，B ＝{x|y ＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()(A){x|x≥1} (B){x|x≤1} (C){x|0<x≤1}(D){x|1≤x<2}2.(滚动单独考查)(·济南模拟)设复数z满足1＋2iz ＝i ，则z 等于( )(A)－2＋i (B)－2－i (C)2－i(D)2＋i3.(滚动交汇考查)下列说法错误的是( )(A)命题：“已知f(x)是R 上的增函数，若a ＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”的逆否命题为真命题 (B)“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件 (C)若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题(D)命题p ：“∃x∈R，使得x 2＋x ＋1＜0”，则⌝p ：“∀x∈R，均有x 2＋x ＋1≥0”4.(滚动单独考查)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x≥0x 2＋4x ＋3，x<0，则方程f(x)＝2的实数根的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.(滚动单独考查)设f ：x→|x|是集合A 到集合B 的映射，若A ＝{－2,0,2}，则A∩B 等于( ) (A){0} (B){2}(C){0,2}(D){－2,0}6.(滚动单独考查)一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是( )(A)73(B)143(C)7(D)147.(滚动单独考查)给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称.则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )(A)y ＝sin(x 2＋π6)(B)y ＝sin(2x ＋π6)(C)y ＝sin|x|(D)y ＝sin(2x －π6)8.(滚动交汇考查)设0<a<2,0<b<1，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e>5的概率是( ) (A)15(B)16(C)17(D)189.(滚动单独考查)(·福州模拟)若过点A(0，－1)的直线l 与曲线x 2＋(y －3)2＝12有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)[π6，5π6](B)[π3，2π3](C)[0，π6]∪[5π6，＋∞)(D)[0，π3]∪[2π3，＋∞)10.(滚动单独考查)(·合肥模拟)已知|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC＝30°，设OC ＝m OA ＋n OB (m ，n∈R)，则mn 等于( )(A)13(B)3(C)33(D) 311.(滚动单独考查)如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x≥1，目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，那么实数k 的值为( ) (A)2(B)－2(C)15(D)不存在12.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝9x －m·3x＋m ＋1对x∈(0，＋∞)的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( ) (A)2－22<m<2＋2 2 (B)m<2 (C)m<2＋2 2(D)m ≥2＋2 2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.(滚动单独考查)已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若11f(x)dx 2f(a)-=成立，则a ＝ .14.(·成都模拟)在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)2 012的展开式中x 3的系数等于 .15.已知x ，y 之间的一组数据如下表：x 2 3 4 5 6 y34689对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x ＋1、②y＝2x －1、③y＝85x －25、④y＝32x ，则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是 (填序号). 16.下面给出一个“直角三角形数阵”：14 12，14 34，38，316 …满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i≥j，i ，j∈N *)，则a 83＝ .三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)(滚动交汇考查)(·长沙模拟)已知a ＝(cosx ＋sinx ，sinx)，b ＝(cosx －sinx,2cosx)，设f(x)＝a ·b . (1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设三角形ABC 的三个角A 、B 、C 所对边分别是a ，b ，c ，且满足A ＝π3，f(B)＝1，3a ＋2b ＝10，求边c.18.(12分)(滚动单独考查)已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，M 、 N 分别为棱BE 、AD 的中点，AB ＝1，AD ＝2， (1)证明：直线AM∥平面NEC ；(2)求二面角N —CE —D 的余弦值. 19.(12分)(·大连模拟)某商场进 行促销活动，到商场购物消费满100元 就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘) 一次进行抽奖，满200元转两次，以此 类推(奖金累加)；转盘的指针落在A 区 域中一等奖，奖10元，落在B 、C 区域中二等奖，奖5元，落在其他区域则不中奖，一位顾客一次购物消费268元.(1)求该顾客中一等奖的概率；(2)记ξ为该顾客所得的奖金数，求其分布列； (3)求数学期望E(ξ)(精确到0.01).20.(12分)(滚动单独考查)已知数列{b n }满足b n ＋1＝12b n ＋14，且b 1＝72，T n 为{b n }的前n 项和.(1)求证：数列{b n －12}是等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)如果对任意n∈N ＋，不等式12k12＋n －2T n≥2n－7恒成立，求实数k 的取值范围.21.(12分)(滚动单独考查)已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心和C 2的顶点均为原点O ，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 －2 4 2 y－2 3－422(1)求C 1、C 2的标准方程；(2)请问是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M 、N ，且满足OM ⊥ON ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.22.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)＝e x＋2x 2－ax.(1)函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点，求a 的取值范围.(2)若a ＝3，当x≥12时，关于x 的不等式f(x)≥52x 2＋(b －3)x ＋1恒成立，试求实数b 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由2x(x －2)＜1得x(x －2)＜0，故集合A ＝{x|0＜x ＜2}，由1－x ＞0得x ＜1，故B ＝{x|x ＜1}，所以A ∩B ＝{x|0＜x ＜1}，所以A(A ∩B)＝{x|1≤x ＜2}，即图中阴影部分表示的集合为{x|1≤x ＜2}.2.【解析】选C.∵1＋2i z ＝i ，∴z ＝1＋2i i ＝1i ＋2＝2－i.3.【解析】选C.A 中∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b. 又函数f(x)是R 上的增函数，∴f(a)≥f(－b)，① 同理可得，f(b)≥f(－a)，②由①＋②，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题为真命题. 又原命题与其逆否命题是等价命题， ∴逆否命题为真.B 中若x>1，则|x|>1成立；若|x|>1，则x>1或x<－1，故B 正确. 若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题， 所以C 错误，D 正确. 4.【解析】选D.令31－x＝2，∴1－x ＝log 32.∴x ＝1－log 32.又∵log 32<log 33＝1，∴x ＝1－log 32>0.∴这个实根符合题意.令x 2＋4x ＋3＝2，则x 2＋4x ＋1＝0.解得两根x 1＝－2－3，x 2＝－2＋3，x 1和x 2均小于0，符合题意. 5.【解析】选C.根据题意可得B ＝{0,2}，则A ∩B ＝{0,2}.故选C.6.【解题指南】三视图复原几何体是四棱台，一条侧棱垂直底面，底面是正方形，根据三视图数据，求出几何体的体积.【解析】选B.三视图复原几何体是四棱台，底面是边长为2的正方形，一条侧棱长为2，并且垂直底面，上底面是正方形，边长为1.它的体积是：13×2×(22＋12＋4×1)＝143.故选B.7.【解题指南】由题知周期易验证，再根据正弦函数与余弦函数在对称轴处取得最值，验证性质②即可. 【解析】选D.∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.对于选项D ，又2×π3－π6＝π2，所以x ＝π3为对称轴.8.【解析】选D.由e>5得c 2a 2>5，即a 2＋b2a 2>5，∴b>2a ，在直角坐标系aOb 内作出符合题意的区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为12×1×12＝14，图中矩形的面积为2，∴由几何概型概率公式计算得所求的概率为18.9.【解析】选A.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，符合题意，此时倾斜角为π2，当直线l 的斜率存在时，设过点A(0，－1)的直线l 方程为： y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0，当直线l 与圆相切时，有|k ×0－3－1|k 2＋1＝23，k ＝±33，数形结合，得直线l 的倾斜角的取值范围是[π6，π2)∪(π2，56π]，综上得直线l 的倾斜角的取值范围是[π6，56π].10.【解析】选B.|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0， ∴OA ⊥OB ，且∠OBA ＝30°， 又∵∠AOC ＝30°，∴OC ⊥AB ， ∴(m OA ＋n OB )·(OB －OA )＝0， ∴－m OA 2＋n OB 2＝0，∴3n －m ＝0，则m ＝3n ，∴mn＝3.11.【解析】选A.⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1所表示的平面区域如图，由直线方程联立方程组易得A(1，225)，B(1,1)，C(5,2)，由于3x ＋5y －25＝0在y 轴上的截距为5，故目标函数z ＝kx ＋y 的斜率－k<－35，即k>35.将k ＝2代入，过B 的截距z ＝2×1＋1＝3，过C 的截距z ＝2×5＋2＝12，符合题意，故k ＝2，故应选A.12.【解题指南】令t ＝3x，转化为关于t 的二次函数的图象恒在t 轴的上方处理.或分离参数m ，利用最值处理恒成立问题.【解析】选C.方法一：令t ＝3x，则问题转化为函数f(t)＝t 2－mt ＋m ＋1对t ∈(1，＋∞)的图象恒在自变量t 轴的上方，即Δ＝(－m)2－4(m ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0m2<11－m ＋1＋m>0，解得m<2＋2 2.方法二：令t ＝3x，问题转化为m<t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)，即m 比函数y ＝t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)的最小值还小，又y ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2t －1＋2≥2(t －1)2t －1＋2＝2＋22， 所以m<2＋2 2.【方法技巧】不等式恒成立的三种解法(1)转化为求函数的最值.若函数f(x)在区间I 上有最大值和最小值.则不等式f(x)>a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min >a.不等式f(x)≥a 在区间I 上恒成立⇔f(x)min ≥a. 不等式f(x)<a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max <a.不等式f(x)≤a 在区间I 上恒成立⇔f(x)max ≤a. (2)分离变量——在同一个等式或不等式中，将主元和辅元分离(常用的运算技巧). (3)数形结合——凡是能与六种基本函数联系起来的相关问题，都可考虑该法. 13.【解析】121(3x 2x 1)dx ⎰-++＝(x 3＋x 2＋x) 11|－＝4，所以2(3a 2＋2a ＋1)＝4，即3a 2＋2a －1＝0，解得a ＝－1或a ＝13.答案：－1或1314.【解析】含x 3的系数为33334345 2 012 2 013C C C C C .⋅⋅⋅＋＋＋＋＝答案：42013C15.【解析】由题意知x ＝4，y ＝6，∴5iii=125ii=1(x x)(y y)8b==5(x x)∑∑--- ∴a ＝y －b x ＝－25，∴y ＝85x －25，∴选③.答案：③16.【解题指南】先根据第1列成等差数列求出第8行第1个数，再根据第8行成等比数列求出a 83.【解析】由题意知，a 83位于第8行第3列，且第1列的公差等于14，每一行的公比都等于12.由等差数列的通项公式知，第8行第1个数为14＋(8－1)×14＝2，a 83＝2×(12)2＝12.答案：12【变式备选】把正整数按下表排列：(1)求200在表中的位置(在第几行第几列)；(2)试求从上到下的第m 行，从左至右的第n 列上的数( 其中m ≥n )； (3)求主对角线上的数列：1、3、7、13、21、…的通项公式 .【解析】把表中的各数按下列方式分组：(1)，( 2，3，4 )，(5，6，7，8，9 )，…，(1)由于第n 组含有2n －1个数，所以第n 组最后一个数是1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.因为不等式n 2≥200的最小整数解为n ＝15 ，这就是说，200在第15组中，由于142＝196 ，所以第15组中的第一个数是197，这样200就是第15组中的第4个数，所以200在表中从上至下的第4行，从左至右的第15列上.(2)因为m ≥n ，所以第m 行上的数从左至右排成的数列是以 －1为公差的等差数列，这个数列的首项是第m 行的第1个数，即分组数列的第m 组最后一个数为1＋3＋5＋…＋(2m －1)＝m 2.即从上至下的第m 行，从左至右的第n 列的数为a mn ＝m 2＋(n －1)(－1)＝m 2－n ＋1.(3)设主对角线上的数列为{a n }，则易知a n 为表中从上至下的第n 行，从左至右的第n 列的数，故a n ＝a nn ＝n 2＋(n －1)(－1)＝n 2－n ＋1.17.【解析】(1)∵f(x)＝a ·b ＝(cosx ＋sinx)·(cosx －sinx)＋sinx ·2cosx ＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx ＝cos2x ＋sin2x ＝2(22cos2x ＋22sin2x)＝2(sin π4cos2x ＋cos π4sin2x)＝2sin(2x ＋π4).由f(x)递增得－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z)，即－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z.∴f(x)的单调递增区间是[－3π8＋k π，π8＋k π]，k ∈Z.(2)由f(B)＝1⇒sin(2B ＋π4)＝22及0<B<π得B ＝π4，设a sinA ＝b sinB ＝csinC＝k ， 则3ksin π3＋2ksin π4＝10⇒52k ＝10⇒k ＝4.所以c ＝ksinC ＝4sin(A ＋B)＝4(sin π3cos π4＋cos π3sin π4)＝6＋ 2.18.【解析】以N 为坐标原点，NE ，ND 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间右手直角坐标系，所以A(0，－1,0)，B(0，－1,1)，D(0,1,0)，N(0,0,0)，E(3，0,0)，C(0,1,1)，M(32，－12，12). (1)设平面NEC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 因为NC ＝(0,1,1)，NE ＝(3，0,0)， 所以n ·NC ＝y ＋1＝0，n ·NE ＝3x ＝0；所以n ＝(0，－1,1)，因为AM ＝(32，12，12)，n ·AM ＝0， 所以n ⊥AM ， 因为AM ⊄平面NEC ， 所以直线AM ∥平面NEC.(2)设平面DEC 的一个法向量为m ＝(1，y ，z)， 因为DC ＝(0,0,1)，DE ＝(3，－1,0)， 所以m ·DC ＝z ＝0，m ·DE ＝3－y ＝0； 所以m ＝(1，3，0).cos 〈n ，m 〉＝||||n m n m ＝－32×2＝－64.因为二面角N —CE —D 的大小为锐角， 所以二面角N —CE —D 的余弦值为64. 19.【解析】(1)设事件A 表示该顾客中一等奖，则P(A)＝112×112＋2×112×1112＝23144所以该顾客中一等奖的概率是23144.(2)ξ的可能取值为20,15,10,5,0， P(ξ＝20)＝112×112＝1144，P(ξ＝15)＝2×112×212＝136，P(ξ＝10)＝212×212＋2×112×912＝1172，P(ξ＝5)＝2×212×912＝14，P(ξ＝0)＝912×912＝916，所以ξ的分布列为ξ 20 15 10 5 0 P1144136117214916(3)数学期望E(ξ)＝20×1144＋15×136＋10×1172＋5×14≈3.33.20.【解析】(1)对任意n ∈N ＋，都有 b n ＋1＝12b n ＋14，所以b n ＋1－12＝12(b n －12)，则{b n －12}成等比数列，首项为b 1－12＝3，公比为12.所以b n －12＝3×(12)n －1，b n ＝3×(12)n －1＋12.(2)因为b n ＝3×(12)n －1＋12，所以T n ＝3(1＋12＋122＋…＋12n －1)＋n 2＝3(1－12n )1－12＋n 2＝6(1－12n )＋n2，对任意n ∈N ＋不等式12k 12＋n －2T n ≥2n －7恒成立，等价于k ≥2n －72n 对任意n ∈N ＋恒成立.设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝2(n ＋1)－72n ＋1－2n －72n ＝9－2n2n ＋1， 当n ≥5，c n ＋1<c n ，{c n }为单调递减数列，当1≤n<5，c n ＋1>c n ，{c n }为单调递增数列，116＝c 4<c 5＝332，所以，n ＝5时，c n 取得最大值332.所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N ＋恒成立，则k ≥332.21.【解题指南】(1)先设出抛物线方程，代入已知点检验，求出C 2的方程，再利用待定系数法求出椭圆的方程； (2)设直线l 的方程为x －1＝my ，再根据OM ⊥ON 构造含有m 的方程，最后转化为方程解的问题. 【解析】(1)设抛物线C 2：y 2＝2px(p ≠0)，则有y 2x ＝2p(x ≠0)，据此验证4个点知(3，－23)、(4，－4)在抛物线上，易求C 2的标准方程为y 2＝4x ，设C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)，把点(－2,0)，(2，22)代入得： ⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝12a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，∴C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在这样的直线l ，过抛物线焦点F(1,0)，设直线l 的方程为x －1＝my ，两交点坐标为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝myx 24＋y 2＝1消去x ，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0， ∴y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，① x 1x 2＝(1＋my 1)(1＋my 2)＝1＋m(y 1＋y 2)＋m 2y 1y 2，②由OM ⊥ON ，得OM ·ON ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0(*) 将①②代入(*)式，得4－4m 2m 2＋4＋－3m 2＋4＝0，解得m ＝±12.所以假设成立，即存在直线l 满足条件，且l 的方程为y ＝2x －2或y ＝－2x ＋2.22.【解题指南】(1)函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点，即方程f ′(x)＝0在区间[0,1]上存在唯一的根；(2)分离参数b ，利用最值处理恒成立. 【解析】(1)f ′(x)＝e x＋4x －a ， ∵f ′(0)＝1－a ，f ′(1)＝e ＋4－a ，又∵函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点， ∴f ′(0)·f ′(1)<0，∴1<a<e ＋4. (2)由f(x)≥52x 2＋(b －3)x ＋1，得e x ＋2x 2－3x ≥52x 2＋(b －3)x ＋1，即bx ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴b ≤e x－12x 2－1x ，令g(x)＝e x－12x 2－1x ，则g ′(x)＝e x(x －1)－12x 2＋1x2. 令φ(x)＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x)＝x(e x－1).∵x ≥12，∴φ′(x)>0，∴φ(x)在[12，＋ ∞)上单调递增，∴φ(x)≥φ(12)＝78－12e>0，因此g ′(x)>0，故g(x)在[12，＋∞)上单调递增，则g(x)≥g(12)＝121e 1812--＝2e －94， ∴b 的取值范围是b ≤2e －94.。

单元评估检测（一）（第一章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·日照模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|－2≤x<0}，B ＝{x|2x －1<14}，则ðR (A∩B)＝( ) (A)(－∞，－2)∪[－1，＋∞) (B)(－∞，－2]∪(－1，＋∞) (C)(－∞，＋∞) (D)(－2，＋∞)2.(2012·德州模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,5}，则下列式子一定成立的是( )(A)ðU B ⊆ðU A (B)(ðU A)∪(ðU B)＝U(C)A∩ðU B ＝∅(D)B∩ðU A ＝∅3.已知全集U ＝R ，则正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x|x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )4.命题“若，则b∈B”的否命题是( )(A)若a ∉A ，则b ∉B (B)若a∈A，则b ∉B (C)若b∈B，则a ∉A(D)若b ∉B ，则a∈A5.(2012·沈阳模拟)下列命题错误的是( )(A)对于命题p ：∃x∈R，使得x 2＋x ＋1＜0，则﹁p 为：∀x∈R，均有x 2＋x ＋1≥0(B)命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2－3x ＋2≠0” (C)若p∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 (D)“x＞2”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件6.下列说法中，正确的是( )(A)命题“若am 2＜bm 2，则a ＜b”的逆命题是真命题(B)命题“∃x∈R，x 2－x ＞0”的否定是：“∀x∈R，x 2－x≤0”(C)命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 (D)已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件 7.(2012·威海模拟)命题p ：“∀x∈R，x 2>0”，则( ) (A)p 是假命题；﹁p ：∃x∈R，x 2<0 (B)p 是假命题；﹁p ：∃x∈R，x 2≤0 (C)p 是真命题；﹁p ：∀x∈R，x 2<0 (D)p 是真命题；﹁p ：∀x∈R，x 2≤08.已知命题p ：∃x∈R，有sinx ＋cosx ＝32；命题q ：∀x∈(0，π2)，有x ＞sinx ；则下列命题是真命题的是( ) (A)p∧q(B)p∨(﹁q) (C)p∧(﹁q)(D)(﹁p)∧q9.(2012·西安模拟)已知集合M ＝{x|x 2－2x≤0}，N ＝{x|3＋x 1－x ≤0}，U＝R ，则图中阴影部分表示的集合是( ) (A)(－∞，0)∪(1，＋∞) (B)(－∞，－3]∪(2，＋∞) (C)(－∞，－3)∪(2，＋∞) (D)(－∞，0]∪[2，＋∞)10.(2012·东营模拟)设x 是实数，则“x>0”是“|x|>0”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件11.已知a ＞0，设p ：存在a∈R，使函数y ＝a x是R 上的单调递减函数；q ：存在a∈R，使函数g(x)＝lg(2ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，如果“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则a 的取值范围是( ) (A)(12，1)(B)(12，＋∞)(C)(0，12]∪[1，＋∞) (D)(0，12)12.设集合A ＝{x|x(x －1)<0}，B ＝{x|0<x<3}，那么“x∈A”是“x∈B”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上) 13.若“∃x∈R，使x 2－2ax ＋2＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是 .14.(2012·合肥模拟)设集合U ＝{1,3a ＋5，a 2＋1}，A ＝{1，a ＋1}，且ðU A ＝{5}，则a ＝ . 15.原命题：“设a ，b ，c∈R，若ac 2＞bc 2，则a ＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有 个. 16.已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x)＞0，若﹁p 是﹁q 的充分条件，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(12分)(2012·汕头模拟)已知集合A ＝{x|2－a≤x≤2＋a}，B ＝{x|x 2－5x ＋4≥0}， (1)当a ＝3时，求A∩B，A∪(ðU B)； (2)若A∩B＝∅，求实数a 的取值范围.18.(12分)已知集合A ＝{x|－4＜x ＜－2}，B ＝{x|－m －1＜x ＜m －1，m>0}，求分别满足下列条件的m 的取值范围. (1)A ⊆B ； (2)A∩B＝∅.19.(12分)(2012·荆州模拟)已知命题p ：“存在a∈R，使函数f(x)＝ax 2－4x(a ＞0)在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a∈R，使∀x∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”.若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围.20.(12分)已知p ：－2≤x≤10，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m＞0).若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.21.(12分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.22.(14分)(易错题)已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立； 命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求a 的取值范围.答案解析1.【解析】选A.B ＝(－∞，－1)，A ∩B ＝[－2，－1)， ∴ðR (A ∩B)＝(－∞，－2)∪[－1，＋∞).2.【解析】选D. ðU A ＝{2,4,6}，ðU B ＝{1,2,4,6,7}，B ＝{3,5}，∴B ∩(ðU A)＝∅.3.【解析】选B.由N ＝{x|x 2＋x ＝0}，得N ＝{－1,0}， 则NM.故选B.4.【解析】选B.命题“若p ，则q ”的否命题为“若﹁p ，则﹁q ”，故该命题的否命题为“若a ∈A ，则b ∉B ”.5.【解析】选C.因为p ∧q 假，至少有一个假即可.所以C 错误.6.【解析】选B.由存在性命题的否定是全称命题知选项B 正确.7.【解析】选B.∵当x ＝0时，x 2>0不成立，故p 是假命题，p 是一个全称命题，它的否定是一个存在性命题，故选B.8.【解析】选D.∵sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)≤2，∴命题p 是假命题，令f(x )＝x －sinx ，则f ′(x)＝1－cosx ＞0， ∴f(x)在(0，π2)上是增函数，∴f(x)＞f(0)＝0，即x ＞sinx ，故命题q 是真命题. ∴(﹁p)∧q 是真命题.9.【解析】选B.M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{x|x ≤－3或x ＞1}， 故ðU M ∩N ＝{x|x ≤－3或x>2}，∴阴影部分表示的集合为{x|x ≤－3或x ＞2}.10.【解析】选A.∵若x>0，必有|x|>0，反之不成立，故选A. 11.【解析】选A.由题意知p ：0＜a ＜1，q ：0＜a ≤12，因为“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，所以p 、q 一真一假. 当p 真q 假时，得12＜a ＜1，当p 假q 真时，a 的值不存在，综上知12＜a ＜1.12.【解析】选A.A ＝{x|x(x －1)<0}＝{x|0<x<1}， x ∈A 则一定有x ∈B ， x ∈B 则不一定有x ∈A ，∴x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件.13.【解析】若∃x ∈R ，使x 2－2ax ＋2＜0是假命题， ∴∀x ∈R ，使x 2－2ax ＋2≥0是真命题， ∴Δ＝(－2a)2－8≤0得－2≤a ≤ 2. 答案：[－2，2]14.【解析】由ðU A ＝{5}知5∈U 且5∉A ，若3a ＋5＝5，则a ＝0，不合题意. 若a 2＋1＝5，则a ＝2或a ＝－2， 当a ＝2时，A ＝{1,3}，不合题意.当a ＝－2时，A ＝{1，－1}，符合题意，故a ＝－2. 答案：－215.【解析】∵“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”是真命题， ∴逆否命题是真命题.又逆命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”是假命题， ∴原命题的否命题也是假命题. 答案：116.【解析】p ：－4＜x －a ＜4⇔a －4＜x ＜a ＋4， q ：(x －2)(3－x)＞0⇔2＜x ＜3，又﹁p 是﹁q 的充分条件，即﹁p ⇒﹁q ，等价于q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.答案：[－1,6]【误区警示】解答本题时易弄错p 、q 的关系，导致答案错误，求解时，也可先求出﹁p 、﹁q ，再根据其关系求a 的取值范围.17.【解析】(1)当a ＝3时，A ＝{x|－1≤x ≤5}， B ＝{x|x 2－5x ＋4≥0}＝{x|x ≤1或x ≥4}，ðU B ＝{x|1＜x ＜4}，A ∩B ＝{x|－1≤x ≤1或4≤x ≤5}， A ∪(ðU B)＝{x|－1≤x ≤5}.(2)当a ＜0时，A ＝∅，显然A ∩B ＝∅， 当a ≥0时，A ≠∅，A ＝{x|2－a ≤x ≤2＋a}， B ＝{x|x 2－5x ＋4≥0}＝{x|x ≤1或x ≥4}. 由A ∩B ＝∅，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞12＋a ＜4，解得0≤a ＜1.故实数a 的取值范围是(－∞，1).18.【解析】(1)如图可知，A ⊆B ⇒⎩⎪⎨⎪⎧－m －1≤－4m －1≥－2⇒m ≥3，∴m 的取值范围为[3，＋∞).(2)如图可知，A ∩B ＝∅⇒－m －1≥－2⇒m ≤1，即0<m ≤1， ∴m 的取值范围为(0,1].19.【解题指南】先确定p 真，q 真的条件，再确定p ∧q 真的条件.【解析】p 为真：当a ＞0时，只需对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，∴0＜a ≤1，q 为真：命题等价于：方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实根. Δ＝[16(a －1)]2－4×16＜0，∴12＜a ＜32，∵命题“p ∧q ”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ≤112＜a ＜32，∴12＜a ≤1.20.【解析】∵p ：－2≤x ≤10， ∴﹁p ：A ＝{x|x ＞10或x ＜－2}.由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)， 解得1－m ≤x ≤1＋m(m ＞0)，∴﹁q ：B ＝{x|x ＞1＋m 或x ＜1－m}(m ＞0). 由﹁p 是﹁q 的必要不充分条件可知：B A.∴⎩⎪⎨⎪⎧m>01－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞01－m ＜－21＋m ≥10，解得m ≥9.∴满足条件的m 的取值范围为m ≥9.【方法技巧】条件、结论为否定形式的命题的求解策略 (1)直接求出条件与结论，再根据它们的关系求解.(2)先写出命题的逆否命题，再根据它们的关系求解.如果p 是q 的充分不必要条件，那么﹁p 是﹁q 的必要不充分条件；同理，如果p 是q 的必要不充分条件，那么﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，如果p 是q 的充要条件，那么﹁p 是﹁q 的充要条件. 21.【证明】(1)充分性：∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，且3m ＞0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根. (2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＝3m ＞0.∴0＜m ＜13.综合(1)(2)可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.22.【解题指南】根据已知先得出命题p ，再通过讨论a 得到命题q ，最后根据p 真q 假，得a 的取值范围. 【解析】∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根， ∴x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝m 2＋8， ∴当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3，由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立，可得：a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1，∴命题p为真命题时a≥6或a≤－1，若不等式ax2＋2x－1>0有解，则①当a>0时，显然有解，②当a＝0时，ax2＋2x－1>0有解，③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，所以不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.又∵命题q是假命题，∴a≤－1，故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为a≤－1.。