北师大版九年级上册数学教案 4.2 平行线分线段成比例

4.2 平行线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）一、情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，∴根据平行线分线段成比例可得AB BC＝DE EF， 即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）A.AD DF ＝CE BCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BCD.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BC CE ，故A 选项不成立；由AD BC ＝AF BE 可知B 选项不成立；由CE DF ＝BC AD 可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全”. 探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在△ABC 中，点D ，E分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A.3B.4C.6D.8解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AE AC，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D. 易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BPCP ＝BD CE. 解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BDDF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，则BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AECE.∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BD CE. 方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.三、板书设计平行线分线段成比例⎩⎪⎨⎪⎧基本事实：两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他 两边相交，截得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.。

第四章 图形的相似4.2 平行线分线段成比例 教学设计一、教学目标1．探索并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推理．2．进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法．二、教学重点及难点重点：理解平行线分线段成比例的基本事实及其推论． 难点：成比例的线段中对应线段的确认．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源《复习成比例线段》动画五、教学过程【复习引入】上节课我们学习了成比例线段，那么请同学们回忆一下，什么是成比例线段？ 师生活动：教师出示问题，学生回忆，教师找学生代表回答． 答：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．本节课我们在成比例线段的基础上，继续探究平行线分线段中的成比例问题． 设计意图：通过复习为本节课的探究新知做好知识准备． 【探究新知】想一想 下图中，小方格的边长均为1，直线l 1∥l 2∥l 3，分别交直线m ，n 于格点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3．（1）计算1223A A A A 与1223B B B B ，1213A A A A 与1213B BB B ，2313A A A A 与2313B B B B 的值，你有什么发现？（2）将l 2向下平移到如下图的位置，直线m ，n 与l 2的交点分别为A 2，B 2，你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将l 2平移到其他位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导．解：（1）由题图可得A 1A 2=A 2A 3=A 1A 3，B 1B 2=B 2B 3，B 1B 3=所以122314A A A A ==，122314B B B B =，121315A A A A ==，121315B B B B ==，231345A A A A ==，231345B B B B ==． 发现：1223A A A A =1223B B B B ，1213A A A A =1213B BB B ，2313A A A A =2313B B B B ．（2）将l 2平移到如图的位置时，发现的结论仍然成立；将l 2平移到其他位置时，发现的结论也仍然成立．（3）由（1）（2）可以猜想出：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例．归纳 一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．设计意图：引导学生经历由特殊到一般的探索过程，得出平行线分线段成比例的基本事实．做一做 如图，直线a ∥b ∥c ，分别交直线m ，n 于点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3，过点A 1作直线n 的平行线，分别交直线b ，c 于点C 2，C 3（如下，右图所示）．如下，右图中有哪些成比例线段？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导． 解：12122323A A A C A A C C =，12122323A A B B A A B B =，12121313A A A C A A A C =，12121313A A B BA AB B =，13132323A AB B A A B B =，13132323A A AC A A C C =，12122323A C B B C C B B =，12121313A C B BA CB B =，13132323A CB BC C B B =． 教师引导学生归纳得出：推论 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．用几何语言表示如下：如图①②③所示，若DE ∥BC ，则有AD AE AB AC =，AD AE DB EC =，DB ECAB AC=．设计意图：通过作平行线构造三角形，将平行线分线段成比例的基本事实特殊化，从而得到它的一个推论．A BCDE ABCDED CBA ③②①【典例精析】例 如图，在△ABC 中，E ，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC ． （1）如果AE =7，EB =5，FC =4，那么AF 的长是多少？ （2）如果AB =10，AE =6，AF =5，那么FC 的长是多少？师生活动：教师出示例题，学生尝试完成，教师给出规范的解题过程． 解：（1）∵EF ∥BC ， ∴AE AFEB FC=． ∵AE =7，EB =5，FC =4， ∴742855AE FC AF EB ⨯===． （2）∵EF ∥BC ， ∴AE AF AB AC=． ∵AB =10，AE =6，AF =5，∴1052563AB AF AC AE ⨯===． ∴FC =AC -AF =2510533-=．设计意图：让学生进一步加深对平行线分线段成比例的基本事实的理解，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．【课堂练习】1．如图，l 1∥l 2∥l 3，下列说法中错误的是（ ）．A ．由AB =BC 可得FG =GH B ．由AB =BC 可得OB =OGC ．由CE =2CD 可得CA =2BC D ．由GH =12FH 可得CD =DE 2．如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB =3∶5，那么CF ∶CB 等于（ ）．A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶5 3．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，下列结论正确的是（ ）．A ．=AD DE DB BC B ．EF DE AB BC = C ．AE BF EC FC =D ．AB CEAD AC=4．如图，AB ∥CD ∥EF ，且AD =DF ，则BC =_________．5．在△ABC 中，AB =6，AC =9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD =2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在的直线于点E ，则CE 的长为__________．6．如图，AB ∥DC ，AE =DE ，EF ∥BC ，EF =12 cm ，则BC =_________cm ．7．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点E 是AC 的中点，EF ⊥BC 于点F ，若CF =1.2 cm ，那么BC =______cm ．8．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若34AD AE =，BD =2，试求EC 的值．师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 参考答案1．B ．2．A ．3．C ． 4．EC ． 5．6或12． 6．24． 7．4.8． 8．解：∵DE ∥BC ，∴34BD AD EC AE ==． 又∵BD =2，∴83EC =．设计意图：让学生巩固所学知识．六、课堂小结1．平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．2．平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.2 平行线分线段成比例1．平行线分线段成比例的基本事实2．平行线分线段成比例的基本事实的推论。

第四章图形的相似4.2 平行线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例的基本事实,会用平行线分线段成比例定理解决实际问题.2.掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力.掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论.平行线分线段成比例基本事实的灵活运用.回答下列问题.问题1:线段的比如何计算?问题2:线段AB,CD,EF,GH成比例是什么意思?问题3:教师展示绳子.(1)你能快速地将这根绳子分成相等的两根吗?(2)你能快速地将它分成长度比为1∶3的两根吗?(3)你能快速地将它分成长度比为2∶3的两根吗?这节课我们就来学习如何将绳子分成规定的比.·做一做在图4-2-1中,小方格的边长均为1,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于格点A1,A2,A3,B1,B2,B3.(1)计算A1A2A2A3与B1B2B2B3,A1A2A1A3与B1B2B1B3,A2A3A1A3与B2B3B1B3的值,你有什么发现?(2)将l2向下平移到如图4-2-2的位置,直线m,n与l2的交点分别为A2,B2,你在问题(1)中发现的结论还成立吗?如果将l2平移到其他位置呢?(3)在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗?(2)成立.无论将l2平移到什么位置,上述结论都成立.(3)成比例.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.·做一做如图4-2-3,直线a∥b∥c,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2,B3,过点A1作直线n的平行线,分别交直线b,c于点C2,C3(如图4-2-4).图4-2-4中有哪些成比例线段?平行线分线段成比例的推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.·例题讲解例1如图4-2-5,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上的点,且EF∥BC.(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?(2)如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少?解:(1)∵EF∥BC,∴AEEB=AFFC.∵AE=7,EB=5,FC=4,∴AF=AE·FCEB=7×45=285.(2)∵EF∥BC,∴AEAB=AFAC.∵AB=10,AE=6,AF=5,∴AC=AB·AFAE=10×56=253.∴FC=AC-AF=253-5=103.【巩固练习】教材随堂练习如图4-2-6,如果D,E,F分别在OA,OB,OC上,且DF∥AC,EF∥BC.求证:OD∶OA=OE∶OB.(学生总结,老师点评)本节课要掌握:1.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.(关键要能熟练地找出对应线段)2.平行线分线段成比例的推论:平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例.课本习题4.3。

4.2 平行线分线段成比例1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）一、情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量，AB ＝BC ＝CD ，AA 1∥BB 1∥CC 1∥DD 1，那么A 1B 1和B 1C 1相等吗？二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC分别交这三条直线于点A ，B ，C ，直线DF 分别交这三条直线于点D ，E ，F ，若AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，求BC 的长.解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，且AB ＝3，DE ＝72，EF ＝4，∴根据平行线分线段成比例可得AB BC＝DE EF， 即BC ＝EF DE ·AB ＝4 72 ×3＝247.方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中成立的是（ ）A.AD DF ＝CE BCB.AD BE ＝BC AFC.CE DF ＝AD BCD.AF DF ＝BE CE解析：由平分线分线段成比例可知AD DF ＝BC CE ，故A 选项不成立；由AD BC ＝AF BE可知B 选项不成立；由CE DF ＝BCAD 可知C 选项不成立；D 选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应，可简记为：“上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全”或“上上＝下下＝全全”. 探究点二：平行线分线段成比例的推论如图所示，在△ABC 中，点D ，E分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于（ ）A.3B.4C.6D.8解析：由DE ∥BC 可得AD AB ＝AEAC，即34＝6AC，∴AC ＝8.故选D. 易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.如图，在△ABC 的边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使得AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BPCP ＝BD CE. 解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP ：CP ，又含有BD ，故可考虑过点C 作PD 的平行线CF ，便可以构造出BP CP ＝BDDF，此时只需证得CE ＝DF 即可.证明：如图，过点C 作CF ∥PD 交AB 于点F ，则BP CP ＝BD DF ，AD DF ＝AECE.∵AD ＝AE ，∴DF ＝CE ，∴BP CP ＝BDCE .方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.三、板书设计平行线分线段成比例⎩⎪⎨⎪⎧基本事实：两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他 两边相交，截得的对应线段成比例通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程，发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.。

第四章图形的相似2．平行线分线段成比例一、学生知识状况分析学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。

从而认识了线段的比，成比例线段。

通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。

同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。

二、教学任务分析本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。

平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。

在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。

学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。

让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

教学目标：（一）知识目标理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。

（二）能力目标通过应用，培养识图能力和推理论证能力。

（三）情感与价值观目标（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。

（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。

教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．第一环节：复习设疑，引入新课内容：教师提问：（1）什么是成比例线段？（2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。

第四章图形的相似4.2 平行线分线段成比例一、教学目标1.探索并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论.2.会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题.3.进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.4.培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.二、教学重难点重点：理解并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论.难点：学会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计【情景引入】教师活动：展示常见的梯子图片，提出几何问题：如图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道AD，BE，CF互相平行，若AB=BC，你能猜想出什么结果呢？预设答案：DE=EF.教师活动：进一步说明这是一个常识性问题，肯定同学们的回答正确，进一步提出问题，如何对这一问题进行几何证明，引入本节课内【合作探究】教师活动：提出平行线分线段有关问题，让学生思考并通过计算完成下面几个题目：在下图中，小方格的边长均为1，直线l 1∥l 2∥l 3，分别交直线m ，n 于格点A 1， A 2，A 3，B 1，B 2，B 3.问题（1）：计算1223A A A A 与1223B B B B ，1213A AA A 与1213B B B B ，23231313A A B B A A B B 与的值，你有什么发现？教师活动：引导学生用勾股定理计算各条线段的长度再求比值.计算步骤如下： 先计算线段的长：222212*********A A A A =+==+=，， 222212231254845B B B B =+==+=，，1313525 5.A AB B ==，再计算比值：121223232151444245A A B B ,,A A B B ====121213132151555255A A B B ,,A A B B ====23231313424454555255A A B B ,.A A B B ====你发现了什么？232312121212232313131313A AB B A A B B A A B B ,,.A A B B A A B B A A B B === 问题（2）：将l 2向下平移到如图所示的位置，直线m ，n 与l 2的交点分别为A 2，B 2，你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将l 2平移到其他位置呢？预设答案：同样方法先计算各线段的长，12231332225 2.A A A A A A ===，， 12231335255 5.B B B B B B ===，，经计算232312121212232313131313A AB B A A B B A A B B ,,.A A B B A A B B A A B B ===第（1）小问结论仍然成立.问题（3）：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？教师活动：播放平行线位置变化时，截取线段长度的变化及对应比值变化情况的动画.指导学生注意观察对应线段的比值是否相等.预设答案：得出结论：截得的对应线段成比例.【归纳】教师活动：对上面三个题目内容进行抽象总结，归纳出平行线分线段成比例定理的内容.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：当l 1∥l 2∥l 3，则有： ABDE BC EF AB DEAC DF BC EF.AC DF AB BC DEEF，， 可以对应记忆为.上上上上下下左左，，下下全全全全右右【拓展】教师活动：讲解说明定理的内容，强调定理涉及的图形情况有多种，展示适用的图形情况：定理适用的几种基本图形【做一做】如图1，直线a ∥b ∥c ，分别交直线m ，n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 .过点A 1作直线n 的平行线，分别交直线b ，c 于点C 2，C 3(如图2 ），图2中有哪些成比例线段？了教师活动：提示两组平行线所夹的图形为平行四边形，平行四边形的对边对应相等.预设答案：依题意知，四边形A 1B 1B 2C 2、A 1B 1B 3C 3、C 2B 2B 3C 3均为平行四边形.故有：A 1C 2=B 1B 2、A 1C 3=B 1B 3、C 2C 3=B 2B 3，则：232312121212232313131313A A C C A A AC A A AC A A C C A A AC A A AC 、、、 【延伸】教师活动：将图2中的三角形标注出来并抽离，提出问题：将题目中的三角形单独拿出来，它反映了什么样的几何问题？预设答案： 1332233A A C A C A C 中，，则有： 232312121212232313131313A A C C A A AC A A AC A A C C A A AC A A AC 、、、 【归纳】教师活动：对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，给出平行线分线段成比例定理的推论.平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.符号语言：△ABC 中，MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ，则有：AM AN MB NC AM AN AB AC MB NC.AB AC、、【拓展】教师活动：提出问题：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例吗？将问题转换成几何问题展示：如图，已知△ABC ，MN ∥BC ，分别与△ABC 的两边BA 、CA 的延长线于点M 、N ，求证：AM AN.ABAC提示：做出辅助线，使用平行线分线段成比例定理.预设答案：证明：过A 点做MN 的平行线l ，由平行线分线段成比例定理可得：AMAN.ABAC【归纳】教师活动：对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，给出平行线分线段成比例定理的推论的第二种形式.平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的对应线段成比例.符号语言：MN ∥BC ，分别与△ABC 的两边BA 、CA 的延长线于点M 、N ，则有：AM AN.ABAC【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例：如图，在△ABC 中，E ，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC .（1）如果AE =7，EB =5，FC =4.那么AF 的长是多少？（2）如果AB =10，AE =6，AF =5.那么FC 的长是多少？教师分析：依题意知，EF ∥BC ，可以使用平行线分线段成比例定理的推论: （1）已知AE 、EB 、FC ，直接套用比例关系式可求出AF 的长.（2）已知AB 、AE 、AF ，可先求出AC 的长，再由AC 与AF 的差求出FC .展示完整解题过程： 解：（1）∵ EF //BC ， ∴.AE AFEB FC33教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，下列比例式错误的是（ ）A.AC BD CE DF =B.AC BDAE BF= C.CE DF AE BF = D.AE BDBF AC= 2.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，下列比例式成立的是（ ）A.AD CE DF BC = B. AD BCBE AF = C.AF BE DF CE = D. CE ADDF BC= 3.如图，BC ∥DE ，AB =15，AC =9，BD = 10，AE =______.4.如图，DE∥BC，AB=6，AC=9，AD=2则EC=______.答案：1.D2.C3.解：因为BC∥DE，由平行线分线段成比例定理的推论，得AB ACBD CE=，又AB=15，AC=9，BD = 10，解得：CE = 6.所以AE =AC+CE =15.4. 解：因为DE∥BC，由平行线分线段成比例定理的推论，得AB ADAC AE=，又AB=6，AC=9，AD=2，解得：AE = 3.所以EC =AC+AE =12.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第84、85页习题4.3第2、3题.。

4.2 平行线分线段成比例一、教学内容分析本节为北师大版九年级教材第四章《图形的相似》第2节，继探究了成比例线段、比例的性质及其简单应用后，本课以“特殊——一般——特殊”的探究方法，先引导学生借助方格纸，通过观察、计算，由特殊到一般地逐步归纳、猜想，进而明确“平行线分线段成比例”的基本事实，然后把这一基本事实特殊化（应用在三角形中）得到其推论，从而为后面证明相似三角形的判定定理作准备。

二、教学目标1、通过在方格纸上研究几种特殊情况，逐步归纳、猜想和明确“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”这一基本事实及其推论，体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法；2、通过将此基本事实应用在三角形中，得出推论，为后续学习做好准备。

三、学习者特征分析学生已掌握成比例线段的定义和比例的基本性质，但对比例的基本性质可能还不够熟练。

通过本节的学习，既是对新知识的探索，又是对上节内容的巩固和后面内容的准备。

四、教学重点及难点重点：探索和掌握基本事实及其推论难点：在复杂图形中找准平行线所截的成比例线段。

五、教学过程教学环节 设计意图一、旧知回顾1、以下四组线段，成比例的是（ ） A ．2cm ，3cm ，4cm ，6cmB ．2cm ，4cm ，6cm ，8cmC ．3cm ，4cm ，5cm ，6cmD ．4cm ，6cm ，6cm ，8cm D ．4cm ，6cm ，6cm ，8cm2、如果2x ＝3y ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝ 3、已知ab cc a b c b a +=+=+=k,则k=_______. 学生刚学完成比例线段和比例的性质，部分学生对其掌握还不够熟练，因此设计回顾环节，既可以复习旧知，又能帮助学生较快进入课堂状态。

二、知识引入1、如图，小方格边长都为1，平行线l1∥l2∥l3分别交直线m,n于格点A1，A2，A3，B1，B2，B3，计算各线段长，你有什么发现？2、将l2向下平移到如右图的位置，直线m,n与l2的交点分别为A2，B2，你在问题1中发现的结论还成立吗？如果将l2平移到其它位置呢？3、你有什么猜想？4、你认为应该怎样验证自己的猜想？教师说明：通过对这些特殊例子的探索，我们可以归纳出一个猜想：“两条直线被第三条直线所截，所得的对应线段成比例。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.2 平行线分线段成比例一. 教材分析《2023-2024学年北师大版九年级数学上册》第4.2节“平行线分线段成比例”主要介绍了平行线分线段成比例的性质。

通过这一节的学习，学生能够理解并掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。

本节内容是初中数学的重要知识点，对于学生来说具有较高的难度，需要通过大量的练习来巩固。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对于线段的比例也有一定的理解。

但是，将平行线与线段的比例联系起来，对于他们来说还有一定的难度。

因此，在教学过程中，需要通过具体的实例，引导学生理解并掌握平行线分线段成比例的性质。

三. 教学目标1.了解平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.提高学生的数学素养，使他们在数学学习上有所突破。

四. 教学重难点1.平行线分线段成比例的定理的理解和运用。

2.如何将平行线与线段的比例联系起来，形成系统性的认识。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过具体的实例，引导学生发现并总结平行线分线段成比例的定理。

同时，结合小组讨论和练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、实例等。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考平行线与线段的比例之间的关系。

例如，假设有一块土地，被两条平行线和一条横线分成四个部分，如何求出每个部分的面积比例。

2.呈现（10分钟）通过具体的实例，呈现平行线分线段成比例的定理。

引导学生发现并总结定理的内容。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。

4.2平行线分线段成比例◇教学目标◇【知识与技能】理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论.【过程与方法】探索并掌握基本事实‘两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例’及其推论.【情感、态度与价值观】进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.◇教学重难点◇【教学重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论.【教学难点】正确理解平行线分线段成比例定理.◇教学过程◇一、情境导入如图,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB∶BC与DE∶EF相等吗?任意平移l5,再度量AB,BC,DE,EF的长度,AB∶BC与DE∶EF相等吗?二、合作探究探究点1平行线分线段成比例定理典例1如图,直线l1∥l2∥l3,若AB=3,BC=4,则DEDF的值是()A.73B.37C.43D.47[解析]因为l1∥l2∥l3,且AB=3,BC=4,所以DEDF =ABAC=ABAB+BC=37.[答案] B如图,F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是()A.EDEA =DFABB.DEBC=EFFBC.BCDE =BFBED.BFBE=BCAE[答案] C探究点2平行线分线段成比例定理的推论典例2如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为()A.7.5B.10C.15D.20[解析]∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB =DEBC.∵BD=2AD,∴ADAB=13.∵DE=5,∴5BC=13,∴BC=15.[答案] C在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在AB上取一点E,使以A,D,E 三点为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为()A.16B.14C.16或14D.16或9[答案] D三、板书设计平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例定理2.平行线分线段成比例的推论◇教学反思◇通过本节课的学习,学生做到了以下几个方面:首先,探索并掌握基本定理“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”及其推论;其次,会应用该性质及其推论进行简单的推理计算并且进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.。

平行线分线段成比例定理【教学目标】知识与技能1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.使学生掌握三角形一边平行线的判定定理.过程与方法通过应用，培养识图能力和推理论证能力.情感、态度与价值观通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.【教学重难点】教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用．教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．【导学过程】【创设情景，引入新课】1. 什么是平行线等分线段定理？2.如图（1）中，AD∥BE∥CF,且AB=BC,则的比值是多少？【自主探究】三条距离不相等的平行线截两条直线会有什么结果?【课堂探究】由上面例题我们可以得到：1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例说明：（1）画出定理的各种基本图形，对照图形写出相应的结论。

（2）写出其它的对应线段成比例的情况。

对应线段成比例可用下面的语言形象表示：右全左全右上左上全上全上下上下上===,,等等。

（3）由下面的定理的基本图形（1）和（2）得出推论？那么32若==EFDE，,BCAB？那么43若==EFDE,，BCAB你能否利用所学过的相关知识进行说明？2．推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 定理的基本图形和结论：3.例例：如图：在△ABC 中E,F 分别是AB 和CD 上的两点且EF//BC,（1）如果AE=7，EB=5，FC=4那么AF 的长是多少？（2）如果AB=10,AE=6,AF=5那么BE 的长是多少？【当堂训练】（1）已知线段PQ ，在PQ 上求一点D ，使PD ：PQ=4：1；（2）已知线段PQ ，在PQ 上求一点D ，使PQ ：DQ=4：1 A 型基本图形 X 型基本图形（1） （4）（2） （3）。

平行线分线段成比例教学目标1.在理解的基础上掌握平行线分线段成比例和推论.2.会灵活应解决一定的问题.3.通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般.教学重点:平行线分线段成比例和推论的应用.教学难点:平行线分线段成比例定理的变式教学过程设计：活动一.创设情景,引入新课问题：1.一组等距离的平行线截直线a 所得的线段相等，那么在直线b 上所截的线段有什么关系呢？（请同学们观看课件中的验证过程）2.如果截的线段不相等呢？这就是我们今天要学习的内容：平行线分线段成比例. 活动二.分析探索,新知学习在下图中，小方格的边长均为1，直线l 1∥l 2∥l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3.（1）计算的值，你有什么发现？（2）将2l 向下平移到如下图的位置，直线m ,n 与2l 的交点分别为21,B A你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其它位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？12122323B B B B A A A A 与3.分组讨论，得出结论平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例观察上图我们容易发现下面结论成立.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等(或成比例).变式思考:1.如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段的比相等(或成比例)，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形三边对应成比例.活动三.拓展升华，知识应用例1：如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.（1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？（2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？解:(1) ∵EF ∥BC∴∵7，5，47428 ∴55AE AF EB FC AE EB FC AE FC AF EB ====⨯=== (2) ∵ EF ∥BC∴∵10，6，510525 ∴AC=632510 ∴533AE AF AB ACAB AE AF AB AF AE FC AC AF ====⨯===-=-= 活动四.知识反馈，课堂练习 1．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝23，DF ＝15，则DE ＝____________，EF ＝____________．【答案】6 92．如图，△ABC 中有菱形AMPN ，如果AM BM ＝12，那么BP BC＝_____________．【答案】233．如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ， 如果AB ＝6，BC ＝8，DF ＝21，求DE 的长．解：设DE 为x ，则EF ＝21－x ，∵AD ∥BE ∥CF ，∴AB BC ＝DE EF， 即68＝x 21－x. 解得x ＝9，经检验，x ＝9是原分式方程的解，∴DE ＝9活动五.知识升华，课堂小结今天我们学习了平行线分线段成比例，还有什么不明白的地方吗？活动六.知识反馈，布置作业习题.。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教学设计：4.2 平行线分线段成比例一. 教材分析平行线分线段成比例是北师大版九年级数学上册的教学内容，本节课主要通过探究平行线分线段成比例的定理，让学生理解并掌握平行线分线段成比例的性质及应用。

教材通过丰富的例题和练习，引导学生探究并发现平行线分线段成比例的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对图形的变换和推理已经有了初步的认识。

但是，对于平行线分线段成比例的定理，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过引导和激励，激发学生的学习兴趣和积极性。

三. 教学目标1.理解平行线分线段成比例的定理及证明过程。

2.能够运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：平行线分线段成比例的定理及证明过程。

2.教学难点：理解平行线分线段成比例的证明方法。

五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生观察、思考、讨论，让学生自主发现平行线分线段成比例的规律。

2.实例教学法：通过丰富的例题和练习，让学生理解和掌握平行线分线段成比例的定理。

3.问题解决法：引导学生运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题，培养学生的应用能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平行线分线段成比例的例题和练习。

2.教学素材：准备相关的例题和练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示实际问题，引导学生思考平行线分线段成比例的现象，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示平行线分线段成比例的例题，引导学生观察和分析，让学生自主发现平行线分线段成比例的规律。

3.操练（10分钟）教师给出相关的练习题，让学生独立完成，巩固对平行线分线段成比例的理解。

4.巩固（10分钟）教师通过课件讲解平行线分线段成比例的证明过程，让学生理解和掌握定理。