2021年全国统一高考数学试卷(天津卷)

天津市2021年高考[数学]考试真题与答案解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，()A B C ⋂⋃=A. B. C. D. {}0{0,1,3,5}{0,1,2,4}{0,2,3,4}【参考答案】C2. 已知，则“”是“”的（ ）a ∈R 6a >236a >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件【参考答案】A3. 函数的图像大致为（）2ln ||2x y x =+A. B.C. D.【参考答案】B4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分分数据，将所得个评分数据分400400为组：、、、，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间8[)66,70[)70,74 []94,98内的影视作品数量是（）[)82,86A. B. C. D. 20406480【参考答案】D 5. 设，则a ，b ，c 的大小关系为（）0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===A. B. C. D. a b c <<c a b<<b c a<<a c b<<【参考答案】D6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的323π高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）1:3A. B. C. D. 3π4π9π12π【参考答案】B 7. 若，则（ ）2510a b ==11a b +=A. B. C. 1D. 1-lg 77log 10【参考答案】C8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准22221(0,0)x y a b a b-=>>22(0)y px p =>线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若．则双曲线的离|CD AB =心率为（ ）A.B.C. 2D. 39. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞则a 的取值范围是（）A. B. 95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D. 9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【参考答案】A二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 是虚数单位，复数_____________．i 92i2i+=+【参考答案】4i-【解】.()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-11. 在的展开式中，的系数是__________．6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6x 【参考答案】160【解】的展开式的通项为，6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()636184166122rrr r r r r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭令，解得，1846r -=3r =所以的系数是.6x 3362160C =12. 轴交于点，与圆相切于点，则____________．y A ()2211x y +-=B AB =【解】设直线的方程为，则点，AB y b =+()0,A b 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，AB ()2211x y +-=()0,1C 1则，解得或，所以，112b -=1b =-3b =2AC =因为.1BC =13. 若，则的最小值为____________．0 , 0a b >>21a b ab ++【参考答案】【解】，0 , 0a b >>212a b b a b b b ∴++≥+=+≥=当且仅当且，即21a a b =2b b=a b ==所以的最小值为21a b ab ++14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙5615猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【参考答案】①.②.232027【解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；564253⨯=则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15. 在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，且交AB 于点DE AB ⊥E ．且交AC 于点F ,则的值为____________；的最小值为//DF AB |2|BE DF + ()DE DF DA +⋅____________．【参考答案】①. 1②.1120【解】设，，为边长为1的等边三角形，，BE x =10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ，为边长为的等边三角形，，//DF AB DFC ∴ 12x -DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-= ，|2|1BE DF +∴=2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅，222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭所以当时，的最小值为.310x =()DE DF DA +⋅ 1120三、解答题本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16. 在，角所对的边分别为，已知，．ABC ,,A B C ,,a b c sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值；（II ）求的值；cos C （III ）求的值．sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭【参考答案】（I ）；（II ）（III【解】（I ）因为，sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =；b = 2ac ∴==（II ）由余弦定理可得；2223cos 24a b c C ab +-===（III ），，3cos 4C =sin C ∴==，，3sin 22sin cos 24C C C ∴===291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=所以.sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1182=-⨯=17. 如图，在棱长为2的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中1111ABCD A B C D -点．（I ）求证：平面；1//D F 11A EC （II ）求直线与平面所成角的正弦值．1AC 11A EC （III ）求二面角的正弦值．11A A C E --【参考答案】（I ）证明见解析；（IIIII ）.13【解】（I ）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，A 1,,AB AD AA ,,x y z 则,,,,,,，()0,0,0A ()10,0,2A ()2,0,0B ()2,2,0C ()0,2,0D ()12,2,2C ()10,2,2D 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以，，()2,1,0E ()1,2,0F 所以,,,()11,0,2D F =- ()112,2,0A C = ()12,1,2A E =-设平面的一个法向量为，11A EC ()111,,m x y z =则，令，则，11111111202202m x y m x y A A E z C ⎧⋅+=⎪⎨⋅+-=⎩=⎪= 12x =()2,2,1m =- 因为，所以，1220m D F =⋅-= 1m D F ⊥ 因为平面，所以平面；1D F ⊄11A EC 1//D F 11A EC（II ）由（1）得，，()12,2,2AC =设直线与平面所成角为，1AC 11A EC θ则111sin cos ,m A C AC m m C A θ⋅====⋅（III ）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，11AAC ()2,2,0DB =-则，cos ,DB m DB m DB m ⋅===⋅所以二面角.11A A C E --13=18. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且()222210x y a b a b+=>>F B BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交l M y N N BF x 轴于点．若，求直线的方程．P //MP BF l 【参考答案】（1）；（2）.2215x y +=0x y -=【解】（1）易知点、，故(),0F c ()0,Bb BF a ===因为椭圆的离心率为，故，，c e a ==2c =1b ==因此，椭圆的方程为；2215x y +=（2）设点为椭圆上一点，()00,M x y 2215x y +=先证明直线的方程为，MN 0015x xy y +=联立，消去并整理得，，00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 220020x x x x -+=2200440x x ∆=-=因此，椭圆在点处的切线方程为.2215x y +=()00,M x y 0015x x y y +=在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，MN 0x =01y y =00y >010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭直线的斜率为，所以，直线的方程为，BF 12BFb kc =-=-PN 012y x y =+在直线的方程中，令，可得，即点，PN 0y =012x y =-01,02P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为，则，即，整理可得，//MP BF MPBF k k =2000002112122y y x y x y ==-++()20050x y +=所以，，因为，，故，，005x y =-222000615x y y +==00y ∴>0y=0x =所以，直线的方程为，即.l 1x y +=0x y -=19. 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，{}n a {}n b．1324,48b b b =-=（I ）求和的通项公式；{}n a {}n b （II ）记，2*1,n n nc b b n N =+∈（i ）证明是等比数列；{}22n n c c -（ii）证明)*nk n N =<∈【参考答案】（I ），；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.21,n a n n N *=-∈4,n n N b n *=∈【解】（I ）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n a 所以，所以，12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=11a =所以；()12121,n n n n N a a *=+-=-∈设等比数列的公比为，{}n b (),0q q >所以，解得（负值舍去），()221321484q b b b q q b q ==-=--4q =所以；114,n n n b q n N b -*==∈（II ）（i ）由题意，，221441n n n n n b c b =++=所以，22224211442444n n nn n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以，且，220nn c c ≠-212222124424n n n n n nc c c c +++⋅==⋅--所以数列是等比数列；{}22n n c c -（ii ）由题意知，，()()22122222121414242222n n n n n n nn n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-=所以，112nn k k k k -==<设，10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑则，123112322222n nn T =+++⋅⋅⋅+两式相减得，21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--所以，1242n n n T -+=-所以1112422nn k n k k k n --==+⎫=-<⎪⎭20. 已知，函数．0a >()xf x ax xe =-（I ）求曲线在点处的切线方程：()y f x =(0,(0))f （II ）证明存在唯一的极值点()f x （III ）若存在a ，使得对任意成立，求实数b 的取值范围．()f x a b ≤+x ∈R 【参考答案】（I ）；（II ）证明见解析；（III ）(1),(0)y a x a =->[),e -+∞【解】（I ），则，()(1)x f x a x e =-+'(0)1f a '=-又，则切线方程为；(0)0f =(1),(0)y a x a =->（II ）令，则，()(1)0x f x a x e =-+='(1)x a x e =+令，则，()(1)x g x x e =+()(2)xg x x e =+'当时，，单调递减；当时，，单调递增，(,2)x ∈-∞-()0g x '<()g x (2,)x ∈-+∞()0g x '>()g x 当时，，，当时，，画出大致图像如下：x →-∞()0g x <()10g -=x →+∞()0g x >()g x所以当时，与仅有一个交点，令，则，且0a >y a =()y g x =()g m a =1m >-，()()0f m a g m '=-=当时，，则，单调递增，(,)x m ∈-∞()a g x >()0f x '>()f x 当时，，则，单调递减，(),x m ∈+∞()a g x <()0f x '<()f x 为的极大值点，故存在唯一的极值点；x m =()f x ()f x （III ）由（II ）知，此时，max ()()f x f m =)1(1,m a m e m +>-=所以，()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-令，()2()1,(1)x h x x x e x =-->-若存在a ，使得对任意成立，等价于存在，使得，即()f x a b ≤+x ∈R (1,)x ∈-+∞()h x b ≤，min ()b h x ≥，，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-1x >-当时，，单调递减，当时，，单调递增，(1,1)x ∈-()0h x '<()h x (1,)x ∈+∞()0h x '>()h x 所以，故，min ()(1)h x h e ==-b e ≥-所以实数b 的取值范围.[),e -+∞。

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学文（天津卷）_年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷 (选择题共50分)注意事项:1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名.准考号.科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号答在试卷上的无效参考公式:如果事件A.B互斥,那么球的体积公式如果事件A.B相互独立,那么其中R表示球的半径__61501;柱体(棱柱.圆柱)的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率V柱体__61501;Sh是P,那么n次独立重复试验中恰好发其中S表示柱体的底面积,生k次的概率h表示柱体的高一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的(1)设集合N}的真子集的个数是( )(A) 16 (B)8; (C)7 (D)4(2)已知,则( )(A) 2b_gt;2a_gt;2c; (B) 2a_gt;2b_gt;2c; (C)2c_gt;2b_gt;2a (D)2c_gt;2a_gt;2b(3)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为( )(A) (B) (C) (D)(4)将直线2___61485;y__61483;l__61501;0沿_轴向左平移1个单位,所得直线与圆_2__61483;y2__61483;2___61485;4y__61501;0相切,则实数l的值为(A) __61485;3或7 (B) __61485;2或8 (C)0或10 (D)1或11(5)设为平面,为直线,则的一个充分条件是( )(A) (B)(C) (D)(6)设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为( )(A) (B) (C) (D)(7)给出下列三个命题:①若,则;②若正整数和满足,则;③设为圆上任一点,圆以为圆心且半径为1.当时,圆与圆相切其中假命题的个数为( )(A) 0 (B)1 (C)2 (D)3(8)函数y__61501;A(sinw___61483;j)(w_gt;0,,__Icirc;R)的部分图象如图所示,则函数表达式为 ( )(A)(B)(C)(D)(9)若函数在区间内恒有f(_)_gt;0,则f(_)的单调递增区间为( )(A) (B)(C) (0,__61483;_yen;) (D)(10)设f(_)是定义在R上以6为周期的函数,f(_)在(0,3)内单调递增,且y__61501;f(_)的图象关于直线___61501;3对称,则下面正确的结论是( )(A) f(1.5)_lt;f(3.5)_lt;f(6.5) (B)f(3.5)_lt;f(1.5)_lt;f(6.5)(C) f(6.5)_lt;f(3.5)_lt;f(1.5) (D)f(3.5)_lt;f(6.5)_lt;f(1.5)第Ⅱ卷 (非选择题共100分)注意事项:1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上(11)二项式的展开式中常数项为__________(用数字作答)．(12)已知,,与的夹角为,以,为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为__________(13) 如图,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．(14)在数列{an}中,a1__61501;1,a2__61501;2,且N_)则S10__61501;__________(15)设函数,则函数的定义域为__________(16)在三角形的每条边上各取三个分点(如图)以这9个分点为顶点可画出若干个三角形若从中任意抽取一个三角形,则其三个顶点分别落在原三角形的三条不同边上的概率为__________(用数字作答)三.解答题:本大题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)已知,,求sina及(18)(本小题满分12分)若公比为c的等比数列的首项且满足(n__61501;3,4,…) (Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求数列的前n项和(19)(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱中,,侧面与底面ABC所成的二面角为,E.F分别是棱的中点(Ⅰ)求与底面ABC所成的角(Ⅱ)证明∥平面(Ⅲ)求经过四点的球的体积(20)(本小题满分12)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔如图所示,塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC,塔高BC__61501;80(米),山高OB__61501;220(米),OA__61501;200(米),图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上,与水平地面的夹角为a,t试问,此人距山崖的水平地面多高时,观看塔的视角_ETH;BPC最大(不计此人的身高)?(21)(本小题满分14分)已知m_Icirc;R,设P:和是方程的两个实根,不等式对任意实数_Icirc;[-1,1]恒成立;Q:函数在(－_yen;,+_yen;)上有极值求使P正确且Q正确的m的取值范围(22)(本小题满分14分)抛物线C的方程为,过抛物线C上一点P(_0,y0)(_0_sup1;0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(_1,y1).B(_2,y2)两点(P.A.B三点互不相同),且满足(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足,证明线段PM的中点在y轴上(Ⅲ)当__61501;1时,若点P的坐标为(1,__61485;1),求_ETH;PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围_年高考文科数学天津卷试题及答案参考答案一.选择题(每小题5分,共50分)题号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)答案CABADCBADB二.填空题(每小题4分,共24分)(11)210; (12); (13); (14)35;(15)(__61485;2,__61485;1)_Egrave;(1,2); (16)．三.解答题(共76分,以下各题为累计得分,其他解法请相应给分)(17)解法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得,即①由题设条件,应用二倍角余弦公式得故②由①和②式得,因此,,由两角和的正切公式解法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得,解得,即由可得由于,且,故a在第二象限于是,从而以下同解法一(18)解:(Ⅰ)解:由题设,当时,,,由题设条件可得,因此,即解得c＝1或(Ⅱ)解:由(Ⅰ),需要分两种情况讨论,当c＝1时,数列是一个常数列,即 (n_Icirc;N_)这时,数列的前n项和当时,数列是一个公比为的等比数列,即 (n_Icirc;N_) 这时,数列的前n项和①①式两边同乘,得②①式减去②式,得所以(n_Icirc;N_)(19)解:(Ⅰ)过作平面,垂足为．连结,并延长交于,于是为与底面所成的角．∵,∴为的平分线．又∵,∴,且为的中点．因此,由三垂线定理．∵,且,∴．于是为二面角的平面角,即．由于四边形为平行四边形,得．(Ⅱ)证明:设与的交点为,则点为的中点．连结．在平行四边形中,因为的中点,故．而平面,平面,所以平面．(Ⅲ)连结．在和中,由于,,,则≌,故．由已知得．又∵平面,∴为的外心．设所求球的球心为,则,且球心与中点的连线．在中,．故所求球的半径,球的体积．(20)解:如图所示,建立平面直角坐标系,则,,．直线的方程为,即．设点的坐标为,则()由经过两点的直线的斜率公式,．由直线到直线的角的公式得()要使达到最大,只须达到最小．由均值不等式．当且仅当时上式取等号．故当时最大．这时,点的纵坐标为．由此实际问题知,,所以最大时,最大．故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角最大．(21)解:(Ⅰ)由题设和是方程的两个实根,得+＝且＝－2,所以,当_Icirc;[-1,1]时,的最大值为9,即_pound;3由题意,不等式对任意实数_Icirc;[__61485;1,1]恒成立的m的解集等于不等式的解集由此不等式得①或②不等式①的解为不等式②的解为或因为,对或或时,P是正确的(Ⅱ)对函数求导令,即此一元二次不等式的判别式若D＝0,则有两个相等的实根,且的符号如下:(－_yen;,)(,+_yen;)++因为,f()不是函数f()的极值若D_gt;0,则有两个不相等的实根和 (_lt;),且的符号如下:_(－_yen;,)(,)(,+_yen;)__61483;+__61485;－+因此,函数f()在＝处取得极大值,在＝处取得极小值综上所述,当且仅当D_gt;0时,函数f()在(－_yen;,+_yen;)上有极值由得或,因为,当或时,Q是正确得综上,使P正确且Q正确时,实数m的取值范围为(-_yen;,1)_Egrave;(22)解:(Ⅰ)由抛物线的方程()得,焦点坐标为,准线方程为．(Ⅱ)证明:设直线的方程为,直线的方程为．①②点和点的坐标是方程组的解．将②式代入①式得,于是,故③④⑤又点和点的坐标是方程组的解．将⑤式代入④式得．于是,故．由已知得,,则．⑥设点的坐标为,由,则．将③式和⑥式代入上式得,即．所以线段的中点在轴上．(Ⅲ)因为点在抛物线上,所以,抛物线方程为．由③式知,代入得．将代入⑥式得,代入得．因此,直线.分别与抛物线的交点.的坐标为,．于是,,．因为钝角且..三点互不相同,故必有．求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足,故当时,;当时,．即。

1版+微信 ⎨ ⎩⎩ ⎩ 普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：第Ⅰ卷1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式:如果事件 A , B 互斥, 那么 P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B )棱柱的体积公式 V = Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. 如果事件 A , B 相互独立, 那么 P ( AB ) = P ( A )P (B )球的体积公式V = 4πR 3. 3其中 R 表示球的半径一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则 A ⋂ B =(A) (-∞, 2] 【答案】D(B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 【解析】因为 A = {x -2 ≤ x ≤ 2},所以 A B = {x -2 ≤ x ≤ 1}，选 D.⎧3x + y - 6 ≥ 0, (2) 设变量 x , y 满足约束条件 ⎪x - y - 2 ≤ 0, ⎪ y - 3 ≤ 0, 则目标函数 z = y - 2x的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 【答案】A【解析】由 z = y - 2x 得 y = 2x + z 。

【高三】天津市2021年高考数学文科试卷2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学本试卷分第ⅰ卷（）和第ⅱ卷(非)两部分,共150分.考试用时120分钟.第ⅰ卷1至2页,第ⅱ卷3至5页.在答题前，考生必须在答题卡上填写自己的姓名和录取证号码，并将考试条形码粘贴在指定位置答题时，考生必须回答？试卷上的答案写在答题纸上，考试结束后无效，请将试卷和答题纸一起退回祝各位考生考试顺利!第一卷注意事项：1.选择每个小问题的答案后，用铅笔涂黑答题卡上相应问题的答案标签（如果需要更改），用橡皮擦擦干净，然后选择？其他答案标签2.本卷共8小题,每小题5分,共40分.参考公式：如果事件a,b互斥,那么棱镜v=sh的体积公式，其中s表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.如果事件a和B相互独立，则球的体积公式其中R是球的半径一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）如果集合a={x∈ Rx≤ 2} ，B={x∈ Rx≤ 1} 那么(a)(b)[1,2](c)[－2,2](d)[－2,1]（2）让变量X和y满足约束条件，则目标函数z=y-2x的最小值为(a)－7(b)－4（c） 1（d）2(3)右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为（a） 7（b）6(c)5(d)4（4）如果设置了，则“”是“”的(a)充分而不必要条件（b）必要条件和不足条件(c)充要条件（d）既不是充分条件，也不是必要条件(5)已知过点p(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则（a）（b）1(c)2(d)（6）区间上函数的最小值为(a)(b)（c）（d）0(7)已知函数是定义在r上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是（a）（b）(c)(d)（8）如果满足实数a和B，则设置函数，然后(a)(b)（c）（d）2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学第ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12个子主题，总分110分二．题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.（9） I是一个虚单位复数（3+I）（1-2i）=(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.（11）如果抛物线的拟线性通过双曲线的焦点，且双曲线的偏心率为2，则双曲线方程为(12)在平行四边形abcd中,ad=1,,e为cd的中点.若,则ab的长为.（13）如图所示，在与圆AB//DC相连的梯形ABCD中，穿过点a的圆的切线和CB的延长线在点E相交。

2021年天津高考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、已知集合A={x∣√(x−1)<√3x∈N}，则集合A中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析：首先解不等式√(x−1)<√3，由于平方函数在[0+∞)上是单调递增的，可以对两边平方得到x−1<3，即x<4。

考虑到x是自然数，所以x的取值范围是{123}。

因此，集合A中元素的个数为3。

答案：C2、若复数z满足(1+i)z=2i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数¯z为()A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i解析：已知(1+i)z=2i，要求出z，我们可以将等式两边同时除以(1+i)。

为了消去分母中的虚数部分，我们可以同时乘以(1-i)，即共轭复数。

这样，我们有：z=(2i)/(1+i)=(2i(1-i))/((1+i)(1-i))=(2i-2)/2=-1+i。

因此，z的共轭复数¯z为-1-i。

答案：D3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7=10，则S8的值为()B.35C.40D.56解析：在等差数列{an}中，由等差数列的性质知，任意两项的和等于它们中间项的两倍，即a2+a7=2a5。

给定a2+a7=10，则2a5=10，得a5=5。

前8项和S8可以用等差数列的求和公式表示为：S8=8/2*(a1+a8)。

由于a8=a5+3d且a2=a5-3d（其中d为公差），我们可以用a5来表示a1和a8：a1=a5-4da8=a5+3d。

因此，S8=4*(a5-4d+a5+3d)=4*(2a5-d)。

但由于a2+a7=2a5，d在此情况下抵消，所以S8=4*2a5=8*5=40。

答案：C4、已知函数f(x)=√(4-x^2)/(x-1)，则函数的定义域为()A.[-22]B.(-21)∪(12]C.[-21)∪(12]D.(-∞-2]∪[2+∞)解析：函数f(x)有两部分需要考虑：分子中的√(4-x^2)和分母中的(x-1)。

2021年天津市高考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4} 2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．805．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7108．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i是虚数单位，复数＝．11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是．12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为；（+）•的最小值为．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C﹣）的值．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．19．（15分）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．2021年天津市高考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4}【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．故选：C．2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，故选：B．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．80【解答】解：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，故选：D．5．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b【解答】解：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，∵＞log0.5＝1，∴b＞1，∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：D．6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π【解答】解：如图，设球O的半径为R，由题意，，可得R＝2，则球O的直径为4，∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝．∴这两个圆锥的体积之和为V＝．故选：B．7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710【解答】解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD与x轴分别交于M，N，由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，由题意可得：＝c，即p＝2c，可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，可得：|y|＝，所以|CN|＝，所以可得＝•，可得c＝b，所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，故选：A．9．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）【解答】解：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点又∵二次方程最多有两个零点，∴f（x）＝cos（2πx﹣2πa）至少有四个根，∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），∴令f（x）＝0，即k∈Z，∴，又∵x∈（0，+∞），∴，即，①当x＜a时，﹣5≤﹣4，f（x）有4个零点，即，﹣6≤﹣5，f（x）有5个零点，即，﹣7≤﹣6，f（x）有6个零点，即，②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，综合①②可得，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则需满足：或或，解得a∈（2，]∪（，]．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i是虚数单位，复数＝4﹣i．【解答】解：复数＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i．11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是160．【解答】解：（2x3+）6的展开式的通项公式为T r+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣r x18﹣4r，令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23＝160．故答案为：160．12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．【解答】解：假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，如图所示，由圆C的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|•cot∠BAC＝，故答案为：．13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为2．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号，∴++b的最小值为2，故答案为：2．14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．【解答】解：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．故答案为：，．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为1；（+）•的最小值为．【解答】解：如图，设BE＝x，∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，∴（2+）2＝4+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，则|2+|＝1，∵（+）•＝（+）•（+）＝+•＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1＝5+，x∈（0，），∴（+）•的最小值为．故答案为：1，．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，sin A：sin B：sin C＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．（2）△ABC中，由余弦定理可得cos C＝＝＝．（3）由（2）可得sin C＝＝，∴sin2C＝2sin C cos C＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，sin（2C﹣）＝sin2C cos﹣cos2C sin＝．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），故，设平面A1EC1的法向量为，则，即，令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故，又F（1，2，0），D1（0，2，2），所以，则，又D1F⊄平面A1EC，故D1F∥平面A1EC1；（2）解：由（1）可知，，则＝＝，故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，，设平面AA1C1的法向量为，则，即，令a＝1，则b＝﹣1，故，所以＝＝，故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．【解答】解：（1）因为离心率e＝，|BF|＝，所以，解得a＝，c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设M（x0，y0），则切线MN的方程为+y0y＝1，令x＝0，得y N＝，因为PN⊥BF，所以k PN•k BF＝﹣1，所以k PN•（﹣）＝﹣1，解得k NP＝2，设P（x1，0），则k NP＝＝2，即x1＝﹣，因为MP∥BF，所以k MP＝k BF，所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，所以x0＝﹣2y0﹣，又因为+y02＝1，所以+++y02＝1，解得y0＝±，因为y N＞0，所以y0＞0，所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，所以+y＝1，即x﹣y+＝0．19．（15分）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．【解答】证明：（1）由数列{a n}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；由数列{b n}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），所以b n＝4n，n∈N*；（2）（i）证明：因为a n＝2n﹣1，b n＝4n，所以c n＝b2n+＝42n+，则c n2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝＝2•4n，所以，又，所以数列{c n2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；（ii）证明：设＝，考虑，则p n＜q n，所以q k＝++...+，则，两式相减可得，＝＝，所以，则＜＜2，故＜2．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．【解答】（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）e x，所以f'（0）＝a﹣1，而f（0）＝0，所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）e x＝0，则a＝（x+1）e x，令g（x）＝（x+1）e x，则g'（x）＝（x+2）e x，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，作出图象所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）e m，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）e m﹣m﹣me m﹣（1+m）e m＝（m2﹣m﹣1）e m （m＞﹣1），令h（x）＝（x2﹣x﹣1）e x（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，而h'（x）＝（x2+x﹣2）e x＝（x﹣1）（x+2）e x，（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．。

2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共9题；共45分）1.设集合A={−1,0,1}，A={1,3,5}，A={0,2,4}，则(A∩A)∪A=（）A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}2.已知A∈A，则“A>6”是“A2>36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数A=ln|A|/A2+2的图像大致为（）A。

B。

C。

D.4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（）A。

20 B。

40 C。

64 D。

805.设A=log2 0.3，A=log1 0.4，A=0.4，则a，b，c的大小关系为（）A.A<A<AB.A<A<AC.A<A<AD.A<A<A6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3AB.4AC.9AD.12A7.若2A=5A=10，则A+A=（）A。

-1 B.lg7 C。

1 D.log7 1088.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则9.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则这两个圆锥的底面半径之比为（）解析】【解答】解：对于奇函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称；而f(x)的值域为[-2,2]，所以-f(x)的值域也为[-2,2]，即f(-x)的值域也为[-2,2]；又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称；综上所述，f(x)的图象关于原点和y轴对称，故选B.分析】根据奇偶函数的定义和图象的对称性求解即可.4.【答案】B考点】函数的连续性，导数的定义解析】【解答】解：由题意得f(x)在x=0处连续，所以f(0-)=f(0+)=a；又因为f'(x)=2ax，所以f'(0)=0；又因为f''(x)=2a，所以f''(0)=2a>0；由导数定义可知，f(x)在x=0处取得极小值，故选B.分析】根据函数连续性、导数的定义和二阶导数的符号判断极值类型求解即可.5.【答案】D考点】向量共面的判定，向量的叉积解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC共面，所以向量AD叉乘向量BC的模长为0，即|(a+b)×c|=0；展开得：|a×c+b×c|=0；又因为a×c和b×c平行，所以a×c和b×c的线性组合为0向量；即存在实数k，使得ka×c+kb×c=0；又因为a和c不共线，所以k≠0，故a和b共线，即AB//AC，故选D.分析】根据向量共面的判定和向量的叉积求解即可.6.【答案】C考点】平面向量的模长，向量的投影解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC垂直，所以向量AD在向量BC上的投影为0，即AD·BC=0；展开得：(a+b)·(b-c)=0；即a·b-b·b+a·c-b·c=0；又因为|a|=2，所以a·a=4，所以a·b=2；又因为|b|=1，所以b·b=1，所以b·c=1；代入得2-1+a·c-1=0，即a·c=0；又因为a和c不共线，所以a和c垂直，故选C.分析】根据向量的模长和投影的定义，以及向量垂直的判定求解即可.7.【答案】D考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，则有a1+a8=2(a1+7d)=64，解得a1=5，d=3；设等比数列的首项为b1，则有b2/b1=b3/b2=2，解得b1=4，q=√2；所以an=5+3(n-1)和bn=4*√2^(n-1)；又因为c1=b1^2+b1=20，=b^2n+bn=18*2^(n-1)+4*√2^(n-1)；展开得：cn=2^(n-1)(18+4*√2)=2^(n-1)(9+2*√2)^2-5*2^(n-1)，故选D.分析】根据等差数列和等比数列的通项公式，以及通项公式的性质求解即可.8.【答案】B考点】三角函数的定义，三角函数的图象解析】【解答】解：由题意得sinx>0，cosx<0，tanx<0；又因为tanx=sinx/cosx，所以sinx和cosx的符号相反；故x在第二象限，故选B.分析】根据三角函数的定义和图象，以及符号的判断求解即可.9.【答案】A考点】平面向量的模长，向量的夹角解析】【解答】解：设向量OA=a，向量OB=b，则有|a|=|b|=1，且a·b=0；又因为角AOB=60°，所以cos60°=(a·b)/(|a||b|)=0.5；代入得：a·b=0.5；又因为a·b=0，所以a·a+b·b=1+1=2；展开得：2+2a·b=2，即a·b=-0.5；代入得：a·a=1.5，b·b=0.5；所以|a+b|=√(a·a+b·b+2a·b)=√3，故选A.分析】根据平面向量的模长和夹角的定义，以及余弦定理求解即可.10.【答案】D考点】圆锥曲线的定义，椭圆的性质解析】【解答】解：由题意得右焦点为F，离心率为2√5，且|BF|=√5；又因为椭圆的离心率为c/a，所以c=2√5a；又因为椭圆的上顶点为B，所以b=√(a^2-c^2)=√(a^2-20a)；又因为|BF|=√5，所以a^2+c^2=5，代入得：5a^2=25，即a^2=5；代入得：c=2√5，b=√5，所以椭圆的方程为：x^2/5+y^2/4=1，故选D.分析】根据椭圆的定义和性质，以及离心率的定义和计算求解即可.解：函数$f(-x)=\frac{(-x)^2+2}{(-x)^2+2}=1$，即$f(x)=f(-x)$，所以$f(x)$是偶函数，排除选项A和C。

22 2 - = > > 5 0.5 ⎪⎝⎭ ⎩普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷 1 至 2 页， 5.已知抛物线 y 2= 4x 的焦点为 F ，准线为l ，若l 与双曲线 x a 2y 2 b 21 (a 0, b 0) 的两条渐近线分别交于点 A第Ⅱ卷 3-5 页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

和点 B ，且| AB |= 4 | OF |（ O 为原点），则双曲线的离心率为 祝各位考生考试顺利！A. B. C. 2D.注意事项：第Ⅰ卷6.已知 a = log 2 ， b = log 0.2 ， c = 0.50.2，则 a , b , c 的大小关系为1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案A. a < c < bB. a < b < cC. b < c < aD. c < a < b标号。

7.已知函数 f (x ) = A sin(ωx +ϕ)( A > 0,ω> 0,|ϕ|< π) 是奇函数，将 y = f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

⎛ π⎫ ⎛ 3π⎫来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 g (x ).若 g (x )的最小正周期为 2π ，且 g 4 ⎪ = ， 则 f 8 ⎪ =参考公式：· 如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( A B ) = P ( A ) + P (B ) . · 如果事件 A 、 B 相互独立，那么 P ( AB ) = P ( A )P (B ) .A. -2B. -C. ⎧x 2 - 2ax + 2a ,x 1,D. 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭· 圆柱的体积公式V = Sh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高. 8.已知 a ∈ R ，设函数 f (x ) = ⎨ ⎩x - a ln x ,x > 1, 若关于 x 的不等式 f (x ) 0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为· 棱锥的体积公式V = 1Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高.3A. [0,1]B. [0, 2]C. [0, e ]第Ⅱ卷D. [1, e ]一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.1.设集合 A = {-1,1, 2, 3, 5}, B = {2, 3, 4}, C = {x∈ R |1 x < 3} ，则( A C ) B =9. i 是虚数单位，则的值为 .A. {2}B. {2, 3}⎧x + y - 2 ≤ 0,C. {-1, 2, 3}D. {1, 2, 3, 4}⎛1 ⎫8⎪x - y + 2 ≥ 0, 2.设变量 x , y 满足约束条件则目标函数 z = -4x + y 的最大值为 10. 2x - 8x 3 ⎪ 是展开式中的常数项为.⎨⎪ ⎪⎩ y -1, -1,11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，A.2B.3C.5D.63.设 x ∈ R ，则“ x 2- 5x < 0 ”是“ | x -1|< 1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.⎧x = 2 + 2 cos θ,12.设 a ∈ R ，直线 ax - y + 2 = 0 和圆 ⎨y = 1+ 2 s in θ （θ为参数）相切，则 a 的值为 .(x +1)(2 y +1)4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 A.5B.8C.24D.2913.设 x > 0, y > 0, x + 2 y = 5 ，则 的最小值为 .14. 在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC , AB = 2 3,AD = 5, ∠A = 30︒ ， 点 E 在线段 CB 的延长线上， 且AE = BE ，则 BD ⋅ AE = .352 5 - i 1+ i2 5 xyx 2513 6 4 2 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）在△ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知b + c = 2a ， 3c sin B = 4a sin C .（Ⅰ）求cos B 的值；若| ON |=| OF | （ O 为原点），且OP ⊥ MN ，求直线 PB 的斜率.19.（本小题满分 14 分）设{a n }是等差数列， {b n }是等比数列.已知 a 1 = 4,b 1 = 6 ，b 2 = 2a 2 - 2,b 3 = 2a 3 + 4 . （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；⎛π⎫ （Ⅱ）求sin 2B + ⎪ 的值.⎝⎭ （Ⅱ）设数列{c }满足c = 1, c ⎧1, 2k < n < 2k +1 , = ⎨ 其中 k ∈ N *. n 1 n b , n = 2k ,⎩ k16.（本小题满分 13 分）2 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 3.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同（i ）求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式； 2n学每天到校情况相互独立.（ii ）求∑ a i c i(n ∈ N ).*（Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率. i =120.（本小题满分 14 分）设函数 f (x ) = e xcos x ,g (x ) 为 f (x )的导函数.17.（本小题满分 13 分）如图， AE ⊥ 平面 ABCD ， CF ∥ AE , AD ∥BC ，AD ⊥ AB , AB = AD = 1,AE = BC = 2 . （Ⅰ）求 f (x )的单调区间；⎡π π⎤⎛ π ⎫ （Ⅱ）当 x ∈ ⎢ , ⎥ 时，证明 f (x ) + g (x ) - x ⎪ 0 ；（Ⅰ）求证： BF ∥平面 ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；⎣ 4 2 ⎦⎝ 2 ⎭⎛π π⎫ （Ⅲ）若二面角 E - BD - F 的余弦值为 1 3，求线段CF 的长.（ Ⅲ ） 设πx n 为 函 数 u (x ) = f (x ) -1e -2n π在 区 间 2m + , 2m π+ ⎪ ⎝⎭ 内 的 零 点 ， 其 中 n ∈ N ， 证 明2n π+ 2 - x n < sin x .- cos x 02019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A18.（本小题满分 13 分）7.A8.C二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分.x2y 2π 3设椭圆+ a2 b2= 1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为 4，离心率为.59. 10. 2811.412.413. 4 14. -1（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上.三.解答题15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余315 33 5 +74 - 2 h 3 2 + 4 h24 ⎧⎪n ⋅CE n ⎝ ⎭ ⎧⎪m ⋅ 3 8 2 4 1 20 弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分 13 分. bc题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分.（ Ⅰ ） 解： 在 △ABC 中， 由正弦定理sin B =， 得 b sin C = c sin B ， 又由 3c sin B = 4a sin C ， 得sin C依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 AB ，A D ，A E 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐标系（如 3b sin C = 4a sin C ， 即 3b = 4a . 又 因 为 b + c = 2a ， 得到 b = a 3 ， c = 2a 3. 由 余 弦 定 理 可 得 图），可得 A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), C (1, 2, 0), D (0,1, 0) ， E (0, 0, 2) .设CF = h (h >>0) ，则 F (1, 2, h ). cos B = a 2 + c 2 - b 2 = 2 a 2 + 4 a 2 - 16 a 29 9 2 ⋅ a ⋅ 2 a3= - 1 . 4 （Ⅰ）证明：依题意， AB = (1, 0, 0) 是平面 ADE 的法向量，又 BF = (0, 2, h ) ，可得 BF ⋅ AB = 0 ，又因为直线 BF ⊄ 平面 ADE ，所以 BF ∥平面 ADE .（ Ⅱ ） 解 ： 由 （ Ⅰ ） 可 得 sin B = = 15 4 ， 从 而 sin 2B = 2 s in B cos B = - 15 ， 8（Ⅱ）解：依题意， BD = (-1,1, 0), BE = (-1, 0, 2), BD = 0, CE = (-1, -2, 2) .⎧-x + y = 0,7设 n = (x , y , z ) 为平面 BDE 的法向量，则 ⎨ 即 ⎨-x + 2z = 0, 不妨令 z = 1，cos 2B = cos 2 B - sin 2 B = - ，故8⎪⎩n ⋅ BE = 0, ⎩ ⎛ π⎫ π π 7 1 可得 n = (2, 2,1) .因此有cos CE , n ⋅ 4 = = - . sin 2B + 6 ⎪ = sin 2B cos 6 + cos 2B sin 6 = -16.⨯ - ⨯ = - ， 8 2 8 2 16| C E || n | 9所以，直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 4.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.9BD = 0,⎧-x + y = 0, 2（Ⅲ）解：设 m = (x , y , z ) 为平面 BDF 的法向量，则 ⎨m⋅ 即⎨2 y + hz = 0, （Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 ，故3⎩⎪ BF = 0, ⎩ ⎛ 2 ⎫⎛ 2 ⎫k ⎛ 1 ⎫3-k不妨令 y = 1，可得 m = ⎛1,1, - 2 ⎫ .X ~ B 3, ，从而P ( X = k ) = C k , k = 0,1, 2, 3 . h ⎪ 3 ⎪ 3 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ 所以，随机变量 X 的分布列为⎝ ⎭ ⎝ ⎭由题意，有 cos 〈m , n 〉 = | m ⋅ n | == 1 ，解得h = 8 .经检验，符合题意.随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = 3⨯= 2 . 3（ Ⅱ ） 解 ： 设 乙 同 学 上 学 期 间 的 三 天 中 7 ： 30 之 前 到 校 的 天 数 为 Y ， 则⎛ 2 ⎫ ， 且所以，线段CF 的长为 | m || n | 37 8 .7Y ~ B 3, ⎪⎝ ⎭M = {X = 3,Y = 1} {X = 2,Y = 0} .由题意知事件{X = 3,Y = 1} 与{X = 2,Y = 0} 互斥，且事件{X = 3}与{Y = 1}，事件{X = 2}与{Y = 0}均相互独立，从而由（Ⅰ）知P (M ) = P ({X = 3,Y = 1} {X = 2,Y = 0}) = P ( X = 3,Y = 1) + P ( X = 2,Y = 0)= P ( X = 3)P (Y = 1) + P ( X = 2)P (Y = 0) = ⨯ + ⨯ = .27 9 9 27 24317.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问1 - cos2 B X 0 123P1 272 9 4 98 2718.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()() P A B P A P B ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B ．•球的体积公式313V R ，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh ，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题目，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合 1,0,11,3,5,0,2,4A B C ，，则()A B C （）A.0 B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}【答案】C 【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】∵ 1,0,11,3,5,0,2,4A B C ，，1A B ， ()0,1,2,4A B C .故选：C.2.已知a R ，则“6a ”是“236a ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a ，则236a ，故充分性成立；若236a ，则6a 或6a ，推不出6a ，故必要性不成立；所以“6a ”是“236a ”的充分不必要条件.故选：A.3.函数2ln ||2x y x的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当 0,1 x 时， 0f x ，排除D ，即可得解.【详解】设 2ln ||2x y f x x ，则函数 f x 的定义域为0x x ，关于原点对称，又2ln ||2x f x f x x，所以函数 f x 为偶函数，排除AC ；当 0,1 x 时，2ln ||0,10x x ，所以 0f x ，排除D.故选：B.4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组： 66,70、 70,74、 、 94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间 82,86内的影视作品数量是（）A.20B.40C.64D.80【答案】D 【解析】【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间 82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间 82,86内的影视作品数量为4000.05480 .故选：D.5.设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b cB.c a bC.b c aD.a c b【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解.【详解】22log 0.3log 10 ∵，0a ，122225log 0.4log 0.4log log 212∵，1b ，0.3000.40.41 ∵，01c ，a c b .故选：D.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3B.4C.9D.12【答案】B 【解析】【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD，设球的半径为R ，则343233R，可得2R ，所以，44AB AD BD BD ，所以，1BD ，3AD ，CD AB ∵，则90CAD ACD BCD ACD ，所以，CAD BCD ，又因为ADC BDC ，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CDCD BD，CD ，因此，这两个圆锥的体积之和为 21134433CD AD BD .故选：B.7.若2510a b ，则11a b（）A.1 B.lg 7C.1D.7log 10【答案】C 【解析】【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求.【详解】∵2510a b ，25log 10,log 10a b ，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b .故选：C.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b的右焦点与抛物线22(0)y px p 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D两点，若||CD AB ．则双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】A 【解析】【分析】设公共焦点为 ,0c ，进而可得准线为x c ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c ，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b与抛物线22(0)y px p 的公共焦点为 ,0c ，则抛物线22(0)y px p 的准线为x c ，令x c ，则22221c y a b ，解得2b y a ，所以22bAB a,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a ，所以2bcCD a，所以22bc a a，即c ，所以222212a c b c ，所以双曲线的离心率ce a故选：A.9.设a R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a，若()f x 在区间(0,) 内恰有6个零点，则a 的取值范围是（）A.95112,,424B.5711,2,424C.9112,,344D.11 ,2,3447【答案】A 【解析】【分析】由 222150x a x a 最多有2个根，可得 cos 220x a 至少有4个根，分别讨论当x a 和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】 222150x a x a ∵最多有2个根，所以 cos 220x a 至少有4个根，由22,2x a k k Z可得1,24k x a k Z ，由1024k a a 可得11222a k ，（1）x a 时，当15242a 时， f x 有4个零点，即7944a ；当16252a ， f x 有5个零点，即91144a ；当17262a ， f x 有6个零点，即111344a ；（2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a ，22Δ4(1)4582a a a ，当2a 时， ， f x 无零点；当2a 时，0 ， f x 有1个零点；当2a 时，令22()2(1)5250f a a a a a a ，则522a ，此时 f x 有2个零点；所以若52a时， f x 有1个零点.综上，要使()f x 在区间(0,) 内恰有6个零点，则应满足7944522a a或91144522a a a 或或1113442a a ，则可解得a 的取值范围是95112,,424.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a 和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题目，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数92i2i_____________．【答案】4i 【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5 .故答案为：4i .11.在6312x x的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160【解析】【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出.【详解】6312x x的展开式的通项为636184166122rrrr r r r T C x C x x，令1846r ，解得3r ，所以6x 的系数是3362160C .故答案为：160.12.的直线与y 轴交于点A ，与圆 2211x y 相切于点B ，则AB ____________．【答案】【解析】【分析】设直线AB方程为y b，则点 0,A b ，利用直线AB 与圆2211x y 相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB 的方程为y b，则点 0,A b ，由于直线AB 与圆 2211x y 相切，且圆心为 0,1C ，半径为1，则112b ，解得1b 或3b ，所以2AC ，因为1BC ，故AB .13.若0 , 0a b ，则21a b a b 的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】∵0 , 0a b ，212a b b a b b b当且仅当21a a b 且2b b，即a b所以21a b ab的最小值为.故答案为：14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①.23②.2027【解析】【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C .故答案为：23；2027.15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB 且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF的值为____________；()DE DF DA的最小值为____________．【答案】①.1②.1120【解析】【分析】设BE x ，由222(2)44BE DF BE BE DF DF 可求出；将()DE DF DA化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x ，10,2x，ABC ∵ 为边长为1的等边三角形，DE AB ，30,2,,12BDE BD x DE DC x ，∵//DF AB ，DFC 为边长为12x 的等边三角形，DE DF ，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ，|2|1BE DF，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA ∵ 222311)(12)(1)53151020x x x x x，所以当310x时，()DE DF DA 的最小值为1120.故答案为：1；1120.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16.在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B Cb ．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C的值．【答案】（I ）（II ）（III ）116【解析】【分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c ，即可求出；（II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为sin :sin :sin 2A B C ，由正弦定理可得::2a b c ，b ∵2a c ；（II ）由余弦定理可得2223cos24a b c C ab ；（III ）3cos 4C ∵，7sin 4C ，3sin 22sin cos 2448C C C ，291cos 22cos 121168C C ，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C111828216.17.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角正弦值．（III ）求二面角11A A C E 的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）9；（III ）13【解析】【分析】（I ）建立空间直角坐标系，求出1D F 及平面11A EC 的一个法向量m ，证明1m D F ，即可得证；（II ）求出1AC ，由1sin cos ,A m C 运算即可得解；（III ）求得平面11AA C 的一个法向量DB ，由cos ,DB m DB m DB m结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 0,0,0A , 10,0,2A , 2,0,0B , 2,2,0C , 0,2,0D , 12,2,2C , 10,2,2D ，因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以 2,1,0E ， 1,2,0F ，所以 11,0,2D F , 112,2,0A C , 12,1,2A E,设平面11A EC 的一个法向量为 111,,m x y z ，则11111111202202m x y m x y A A E z C ，令12x ，则 2,2,1m ，因为1220m D F ，所以1m D F ，因为1D F 平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；（II ）由（1）得， 12,2,2AC ，设直线1AC 与平面11A EC 所成角为 ，则111sin cos ,9m A C AC m m C A ；（III ）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为 2,2,0DB ，则22cos ,3DB m DB m DB m ，所以二面角11A A C E的正弦值为13 .18.已知椭圆 222210x y a b a b的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为5，且BF （1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y ；（2）0x y .【解析】【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点 00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x x y y ，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k ，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）易知点 ,0F c 、 0,B b ，故BF a因为椭圆的离心率为5c e a ，故2c ，1b ，因此，椭圆的方程为2215x y ；（2）设点 00,M x y 为椭圆2215x y 上一点，先证明直线MN 的方程为0015x x y y ，联立00221515x x y y x y ，消去y 并整理得220020x x x x ，2200440x x ，因此，椭圆2215x y 在点 00,M x y 处的切线方程为0015x x y y.在直线MN 的方程中，令0x ，可得01y y ，由题意可知00y ，即点010,N y，直线BF 的斜率为12BF b k c ，所以，直线PN 的方程为012y x y ，在直线PN 方程中，令0y ，可得012x y ，即点01,02P y ，因为//MP BF ，则MP BF k k ，即20000002112122y y x y x y ，整理可得 20050x y ，所以，005x y ，因为222000615x y y ，00y ，故066y ，0566x ，所以，直线l的方程为166x y，即0x y .【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m 与椭圆方程联立，由0 进行求解；（2）椭圆22221x y a b在其上一点 00,x y 的切线方程为00221x x y y a b ，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b 与椭圆22221x y a b相切.19.已知 n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b ．（I ）求 n a 和 n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N ，（i ）证明22n n c c 是等比数列；（ii）证明 *n k n N 【答案】（I ）21,n a n n N ，4,n n N b n ；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得 n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224n n n c c ，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c，进而可得112n n k k k k ，结合错位相减法即可得证.【详解】（I ）因为 n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ，所以11a ，所以 12121,n n n n N a a ；设等比数列 n b 的公比为 ,0q q ，所以 221321484q b b b q q b q ，解得4q （负值舍去），所以114,n n n b q n N b ；（II ）（i ）由题意，221441n n n n n b c b ，所以22224211442444n n n n n nn c c ，所以220n n c c ，且212222124424n n n n n n c c c c ，所以数列22n n c c 是等比数列；（ii ）由题意知， 22122222121414242222n nn n n n n n n a n n c c a ，12n n ，所以112n n k k k k ，设10121112322222n n k n k k n T ，则123112322222n n n T ，两式相减得21111111122121222222212n n n n n n n n n T ，所以1242n n n T，所以1112422n n k n k k n.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为n k 由错位相减法即可得证.20.已知0a ，函数()x f x ax xe ．（I ）求曲线()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b 对任意x R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】（I ）(1),(0)y a x a ；（II ）证明见解析；（III ）,e【解析】【分析】（I ）求出 f x 在0x 处的导数，即切线斜率，求出 0f ，即可求出切线方程；（II ）令 0f x ，可得(1)x a x e ，则可化为证明y a 与 y g x 仅有一个交点，利用导数求出 g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令 2()1,(1)xh x x x e x ，题目等价于存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x ，利用导数即可求出 h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e ，则(0)1f a ，又(0)0f ，则切线方程为(1),(0)y a x a ；（II ）令()(1)0x f x a x e ，则(1)x a x e ，令()(1)x g x x e ，则()(2)x g x x e ，当(,2)x 时，()0g x ， g x 单调递减；当(2,)x 时，()0g x ， g x 单调递增，当x 时， 0g x ， 10g ，当x 时， 0g x ，画出 g x 大致图像如下：所以当0a 时，y a 与 y g x 仅有一个交点，令 g m a ，则1m ，且()()0f m a g m ，当(,)x m 时，()a g x ，则()0f x ， f x 单调递增，当 ,x m 时，()a g x ，则()0f x ， f x 单调递减，x m 为 f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m ，此时)1(1,m a m e m ，所以 2max {()}()1(1),m f x a f m a m m e m ，令 2()1,(1)xh x x x e x ，若存在a ，使得()f x a b 对任意x R 成立，等价于存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x ， 2()2(1)(2)x x h x x x e x x e ，1x ，当(1,1)x 时，()0h x ， h x 单调递减，当(1,)x 时，()0h x ， h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ，故b e ，所以实数b 的取值范围 ,e .【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a 与 y g x 仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ，使得()h x b ，即min ()b h x .祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2021年高考天津市数学试题含答案解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、综合题（共1题）1、已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．二、解答题（共4题）1、已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．2、已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．3、如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．4、在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．三、填空题（共6题）1、如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．2、已知，且，则的最小值为_________．3、已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．4、已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．5、在的展开式中，的系数是_________．6、是虚数单位，复数_________．四、选择题（共9题）1、已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.2、已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③3、设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.4、设，则的大小关系为（）A. B. C. D.5、若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.6、从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 367、函数的图象大致为（）A B.C. D.8、设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9、设全集，集合，则（）A. B. C. D.============参考答案============一、综合题1、（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即.(ii) 依题意，.从而可得，整理可得：，令，解得.当x变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由，得.对任意的，且，令，则. ①令.当x>1时，，由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，，所以. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，故③由①②③可得.所以，当时，任意的，且，有.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．二、解答题1、（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.2、（Ⅰ）；（Ⅱ），或．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，，由，得，又由，得，所以，椭圆的方程为；（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，，消去，可得，解得或. 将代入，得，所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为，所以，直线的斜率为，又因为，所以，整理得，解得或.所以，直线的方程为或.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.3、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、. （Ⅰ）依题意，，，从而，所以；（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．，．所以，二面角的正弦值为；（Ⅲ）依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.4、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.三、填空题1、 (1). (2).【解析】【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.2、 4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题.3、 (1). (2).【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.4、 5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．【详解】因为圆心到直线的距离，由可得，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．5、 10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．6、【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.四、选择题1、 D【解析】【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.2、 B【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.3、 D【解析】【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为a>0,b>0，解得．故选：．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．4、 D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.5、 C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6、 B【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，则区间内零件的个数为：.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.7、 A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8、 A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.9、 C【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.。

2021年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A===-∈，则A B=（A）{1}（B）{4}（C）{1,3}（D）{1,4}2．设变量x，y满足约束条件20,{2360,3290.x yx yx y-+≥+-≥+-≤则目标函数25z x y=+的最小值为（）A．4-B．6C．10D．173．在ABC中，若3,120AB BC C==∠=，则AC=（）A．1B．2 C．3D．4 4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为A．2B．4C．6D．85．设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为,q 则“0q <”是“对任意的正整数212,n n n a a -+<0”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线222=14x y b-（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为A ．223=144x y -B ．224=143x y -C ．22=144x y -D ．22=1412x y -7．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ） A ．58-B ．18C ．14D ．1188．已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)ax a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a>0,且a≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程│f（x ）│=2-x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34} （D ）[13，23）{34}二、填空题9．已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a ，则ab的值为_______. 10．281()x x-的展开式中x 7的系数为__________.（用数字作答）11．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.12．如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE=2AE=2，BD=ED ，则线段CE 的长为__________.13．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a -1|）＞f （2-），则a 的取值范围是______.14．设抛物线22,2x pt y pt⎧=⎨=⎩ （t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点A作l 的垂线，垂足为B ．设C （72p,0），AF 与BC 相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为32p 的值为_________.三、解答题15．已知函数()f x =4tan xsin （2x π-）cos （3x π-）-3（Ⅰ）求f （x ）的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f （x ）在区间[,44ππ-]上的单调性. 16．某小组共10人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF）平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2.（））求证：EG）平面ADF ； （））求二面角O−EF−C 的正弦值； （））设H 为线段AF 上的点，且AH=23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 18．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的n ∈N ∗，b n 是a n 和a n+1的等比中项.（））设c n =b n+12−b n 2,n ∈N ∗,求证：数列{c n }是等差数列；（））设a 1=d,T n =∑(−1)k 2n k=1b k 2,n∈N ∗,求证：∑1T knk=1<12d 2.19．设椭圆2221(3x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，已知113||||||e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围. 20．设函数3()(1)f x x ax b =---，x）R ，其中a,b）R. （））求f （x ）的单调区间；（））若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3； （））设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14.参考答案1．D 【解析】试题分析：{14710}{14}B =A B =，，，，，，选D.【考点】集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难度系数较小.对于此类问题：一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误；二要明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏. 2．B 【详解】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6，选B. 考点：线性规划 3．A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A. 4．B 【解析】试题分析：依次循环：8,2;2,3;4,4,S n S n S n ======结束循环，输出4S =，选B. 【考点】循环结构的程序框图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构，其次要重视循环起始条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5．C 【解析】试题分析：由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C. 【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：）定义法：直接判断“若p 则q”、“若q 则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p）q”为真，则p 是q 的充分条件．）等价法：利用p）q 与非q）非p ，q）p 与非p）非q ，p）q 与非q）非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．）集合法：若A）B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 6．D 【解析】试题分析：根据对称性，不妨设(,)A x y 在第一象限，则，）221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ）若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1（AB ＜0）．）若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ（λ≠0）． 7．B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，）11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，）25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 8．C 【解析】试题分析：由()f x 在R 上单调递减可知34013313401a a a a -≥⎧⎪≥⇒≤≤⎨⎪<<⎩，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知32,a ≤，1233a ≤≤，又34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的取值范围是123[,]{}334，故选C. 【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 9．2 【解析】试题分析：由(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，可得1{10b a b +=-=，所以21a b =⎧⎨=⎩，2a b=，故答案为2． 【考点】复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()(,,,)a bi c di ac bd ad bc i a b c d R ++=-++∈，22()()(,,,)a bi ac bd bc ad ia b c d R c di c d +++-=∈++，. 其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b a bi -.10．56- 【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，得3r =， 所以展开式中7x 的系数为．故答案为56-．【考点】二项式定理【名师点睛】）求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项．）有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解． 11．2 【解析】试题分析：由三视图知四棱锥高为3，底面平行四边形的一边长为2，其对应的高为1，因此所求四棱锥的体积1(21)323V =⨯⨯⨯=．故答案为2． 【考点】三视图、几何体的体积【名师点睛】①解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．②三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 12．3【解析】试题分析：设CE x =，则由相交弦定理得DE CE AE BE ⋅=⋅，2DE x=， 又BD DE =，所以1AC AE ==，因为AB圆的是直径，所以BC ==，AD = 在圆中，BCEDAE ∆∆，则BC EC AD AE =1x=，解得x =【考点】相交弦定理【名师点睛】1．解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路:（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理时要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 13．13(,)22【详解】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式1(2)(a f f ->可化为1(2)a f f ->，则12a -<112a -<，解得1322a <<．14 【解析】试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=， 又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||A y =，由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CFEA AF==，所以262CEFCEAS S ==92ACFAECCFESSS=+=所以132p ⨯=p = 【考点】抛物线定义【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理．2．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋2p；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 15．（Ⅰ）{|,}2x x k k π≠+π∈Z ，π；（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式将函数化为基本三角函数：()=2sin 23f x x π-（），再根据正弦函数的性质求定义域、最小正周期；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，研究函数f （x ）在区间[,44ππ-]上单调性.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为,2x x k k ⎧π⎫≠+π∈⎨⎬⎩⎭Z . ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 21cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π-=-（）.所以, ()f x 的最小正周期2.2T π==π （Ⅱ）令2,3z x π=-函数2sin y z =的单调递增区间是2,2,.22k k k ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z由222232k x k πππ-+π≤-≤+π,得5,.1212k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z 设5,,,441212A B x k x k k ππ⎧ππ⎫⎡⎤=-=-+π≤≤+π∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭Z ，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.【考点】三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系式、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、辅助角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，开方时正负取舍是解题正确的保证. 对于三角函数来说，常常是先化为y ＝Asin （ωx＋φ）＋k 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式． 16．（Ⅰ）13；（Ⅱ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：210C ，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：112343C C C +，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量的可能取值为012，，，再分别求出对应概率，列出分布列，最后根据公式计算数学期望.试题解析：解：（Ⅰ）由已知，有()112343210C C C 1,C 3P A +==所以，事件A 发生的概率为13.（Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.()222334210C C C 0C P X ++==415=， ()11113334210C C C C 71C 15P X +===， ()1134210C C 42C 15P X ===.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()4740121151515E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点】概率、随机变量的分布列与数学期望 【名师点睛】求均值、方差的方法：1．已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义（公式）求解； 2．已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；3．如能分析所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），可直接利用它们的均值、方差公式求解．17．（））详见解析；（）；（）. 【详解】试题分析：（））利用空间向量证明线面平行，关键是求出平面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证；（））利用空间向量求二面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值；（））利用空间向量求线面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值.试题解析：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以,,AD BA OF 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)O ，()1,1,0,(1,1,0),(1,1,0),(11,0),(1,1,2),(0,0,2),(1,0,0)A B C D E F G -------，.（））证明：依题意，()(2,0,0),1,1,2AD AF ==-.设()1,,n x y z =为平面ADF 的法向量，则110{0n AD n AF ⋅=⋅=，即20{20x x y z =-+=. 不妨设1z =，可得()102,1n =,，又()0,1,2EG =-，可得10EG n ⋅=， 又因为直线EG ADF ⊄平面，所以//EG ADF 平面. （））解：易证，()1,1,0OA =-为平面OEF 的一个法向量. 依题意，()()1,1,0,1,1,2EF CF ==-.设()2,,n x y z =为平面CEF 的法向量，则220{0n EF n CF ⋅=⋅=，即0{20x y x y z +=-++=. 不妨设1x =，可得()21,1,1n =-.因此有222cos ,OA n OA n OA n ⋅==-⋅23sin ,OA n =， 所以，二面角O EF C -- （））解：由23AH HF =，得25AH AF =. 因为，所以2224,,5555AH AF ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，进而有334,,555H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284,,555BH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此2227cos ,BH n BH n BH n ⋅==-⋅. 所以，直线BH 和平面CEF 21. 【考点】利用空间向量解决立体几何问题18．（））详见解析（））详见解析 【解析】试题分析：（））先根据等比中项定义得：b n 2=a n a n+1，从而c n =b n+12−b n 2=a n+1a n+2−a n a n+1=2da n+1，因此根据等差数列定义可证：c n+1−c n =2d 2;（）） 证明数列不等式一般以算代证,先利用分组求和化简T n ，再利用裂项相消法求和，易得结论.试题解析：（））证明：由题意得b n 2=a n a n+1，有c n =b n+12−b n 2=a n+1a n+2−a n a n+1=2da n+1，因此c n+1−c n =2d(a n+2−a n+1)=2d 2，所以{c n }是等差数列.（））证明：T n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n 2)=2d(a 2+a 4+⋯+a 2n )=2d ⋅n(a 2+a 2n )=2d 2n(n +1),所以∑1T knk=1=12d 2∑1k(k+1)=12d 2∑(1k −1k+1)nk=1nk=1=12d 2⋅(1−1n+1)<12d 2.【考点】等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 【名师点睛】利用分组转化法求和的常见类型：（1）若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和． （2）通项公式为a n ＝{b n ,n 为奇数c n ,n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．19．(1) 椭圆方程为22143x y +=;(2) 直线l的斜率的取值范围为6(,[,)-∞+∞.【解析】试题分析：（））求椭圆标准方程，只需确a 的值，由113e OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用222a c b -=，可解得a 的值；（））先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔MA MO =，即M 再OA 的中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H ，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.试题解析：（））解：设(c,0)F ，由113e OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （））解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由（））知，，设，有FH (1,)H y =-，2229412(,)4343k kBF k k -=++.由，得0BF HF ⋅=，所以222124904343Hky k k k -+=++，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在MAO 中，，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值范围为.【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围； （5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20．（））详见解析；（））详见解析；（））详见解析. 【解析】试题分析：（））先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（））由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（））实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a a f f -的大小即可，可分三种情况研究：）3a ≥；）334a ≤<；）304a <<. 试题解析：（））解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得31a x =+，或31ax =-. 当变化时，，的变化情况如下表：所以的单调递减区间为33(1,1)a a-+，单调递增区间为3(,1)a -∞-，3(1,)a++∞. （））证明：因为存在极值点，所以由（））知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（））知，存在唯一实数1x 满足，且，因此，所以. （））证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论： （1）当时，33102133a a-≤<≤+，由（））知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max (2),(0)max 12,1M f f a b b==----，所以.（2）当时，233323101121a a a a-≤<-<+<≤+，由（））和（））知，233(0)(1)(1)a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)a a f f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a af f +-，因此max (1,(1max ,M f f a b a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=-=--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，23230112a a<-<+<，由（））和（））知，(0)(1(1f f f <-=+，(2)(1(1f f f >+=， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤： （1）确定函数f （x ）的定义域（定义域优先）； （2）求导函数f ′（x ）；（3）在函数f （x ）的定义域内求不等式f ′（x ）＞0或f ′（x ）＜0的解集；（4）由f ′（x ）＞0（f ′（x ）＜0）的解集确定函数f （x ）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f （x ）在（a ，b ）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。

【高三】天津市2021年高考数学理科试卷2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷(非)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案?写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选?其他答案标号.2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:?如果事件A, B互斥, 那么?棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高.?如果事件A, B相互独立, 那么?球的体积公式其中R表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x∈R x≤2}, A = {x∈R x≤1}, 则(A) (B) [1,2](C) [2,2](D) [－2,1](2) 设变量x, y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为(A) －7(B) －4(C) 1(D) 2(3) 右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x的值为1, 则输出S的值为(A) 64(B) 73(C) 512(D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的 , 则其体积缩小到原来的 ;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆相切.其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①②(C) ②③(D) ②③(5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为 , 则p =(A) 1(B) (C) 2(D) 3(6) 在△ABC中, 则 =(A) (B) (C) (D)(7) 函数的零点个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8) 已知函数 . 设关于x的不等式的解集为A, 若 , 则实数a的取值范围是(A) (B)(C) (D)2021年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二．题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a, b∈R, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = .(10) 的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为 , 圆心为C, 点P的极坐标为 , 则CP = .(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若 , 则AB的长为 .(13) 如图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC. 过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F. 若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为 .(14) 设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值.三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数 .(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;(Ⅱ) 求f(x)在区间上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 , 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F, 离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若 , 求k的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为 , 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.(Ⅰ) 求数列的通项公式;(Ⅱ) 设 , 求数列的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数 .(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使 .感谢您的阅读，祝您生活愉快。

数学天津2021高考真题2021年高考数学天津卷真题回顾2021年高考数学天津卷难度适中，试卷涵盖了高中数学知识的各个方面，考查了学生的综合运用能力和解决问题的能力。

下面我们就来具体回顾一下2021年高考数学天津卷的试题。

第一部分选择题1.已知函数\(f(x)=(x+a)(x+b)\)，其中\(a,b\)为常数，若函数\(f(x)\)的图像过点\((0,2)\)，则\(a,b\)的取值范围是（）。

A.\(a<0,b<0\)B.\(a>0,b>0\)C.\(a+b>0\)D.\(a>0,b<0\)解析：由题意可得\(f(0)=2=(0+a)(0+b)=ab\)，结合已知的四个选项，可以得出答案为选项D。

\(\Rightarrow D\)2.设数列\((a_n)\)的第一项为1，公差为1，\(S_n\)表示数列前\(n\)项的和。

已知当\(n=1\)时，\(a_n=2\)，则数列\((a_n)\)的通项公式为（）。

A.\(n-1\)B.\(n+1\)C.\(n\)D.\(n^2\)解析：根据题意，可以得出\(a_n=a_1+(n-1)\cdot 1=1+n-1=n\)，所以数列\((a_n)\)的通项公式为\(a_n=n\)。

\(\Rightarrow C\)3.设函数\(f(x)=\sin(\omega x+\alpha)\)，其中\(\omega>0,\alpha\in(0,\pi)\)，若函数\(y=f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的图像恰好上升一次，且在点\((0,1)\)处的切线斜率为1，则\(\omega,\alpha\)的关系是（）。

A.\(\omega=\frac{3}{2}, \alpha=\frac{\pi}{3}\)B.\(\omega=2,\alpha=\frac{\pi}{6}\)C.\(\omega=1, \alpha=\frac{\pi}{4}\)D.\(\omega=\frac{1}{2},\alpha=\frac{\pi}{2}\)解析：由题意可得斜率为1的切线方程为\(y=x+1\)，代入函数\(y=f(x)\)并对其求导，得\(\omega \cos(\omega x+\alpha)=1\)。