函数y=Asin(wx+φ)的图像 第1时

1.3.3函数()ϕω+=x sin A y 的图象（第一课时）教学目的：本节课是苏教版必修4第1章第3节第3课时；它是函数图象伸缩平移变换的典型例子，是初等数学一般函数图象变换的基础，是高考的热点、难点；它是在完成了本节的“正弦函数、余弦函数的图象和性质，五点作图法，图象的三种基本变换”等内容的教学之后进行的，主要揭示了由正弦曲线得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象的一种思维过程。

为了更好的解决这一问题，掌握每一种变换方式，我要求学生手绘四条函数图象，看似耗费时间，实则加深印象，从静态的图象中去体会伸长和缩短、平移等形变过程。

当然我也设计制作了教学课件，直观形象地展示形变过程作为总结。

化抽象为具体，由静到动，使学生真实体验“变”的过程。

同时结合我校数学活动室的多媒体网络教学环境，为学生构建自主探究与合作交流的平台。

最终利用由特殊到一般的化归思想，借助具体函数的结论归纳出一般函数的结论。

教学目的：1．分别通过对三角函数图象的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律．２．通过对函数()ϕω+=x sin A y(A>0，ω>0)的图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数的图象各种变换的内在联系３．培养学生观察问题和探索问题的能力. 教学重点：函数()ϕω+=x si n A y的图象的画法，该图象与函数y=sinx图象的关系，以及对各种变换内在联系的揭示．教学难点：各种变换内在联系的揭示，函数图象变换的本质，函数图象变换的一般方法． 教学过程： 一、情境创设：1．物理实例：简谐振动中，位移与时间的关系y = Asin(ωt+ϕ)( A>0，ω>0) 2．介绍其中几个量的物理意义A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；ωπ=2T 是往复振动一次所需的时间，称为振动的周期；πω==2T1f 是单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；ωt+ϕ称为相位，t=0时的相位ϕ称为初相.3.五点作图法 二、学生活动：用五点法作出下列每组函数的图象，并观察它们之间的关系： 三．建构数学： 一、平移变换：由y=cosx=sin(x+2π)知可以看作将y=sinx 的图象上各点向左平移2π个单位得到例1．画出函数y=sin(x+3π) (x ∈R)；y=sin(x -4π) (x ∈R)的简图x+3π2ππ23π 2πy1︒用平移法 注意讲清方向：“左加右减” 2︒也可用列表法, 然后用五点法作图 以y=sin(x+3π)为例规律:一般地，函数y ＝sin （x +φ）的图象，可以看做是将函数y ＝sin x 图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移∣φ∣个单位而得到的．注意．．:．先调整．．．x ．的系数为．．．．1． 思考:将函数y=sin(2x+3π)的图象向 平移个单位,可以得到函数y=sinx 的图象? 二. 周期变换：例2．画出函数y=sin2x ，x ∈R ；y=sin 21x ，x ∈R 的图象（简图）．解：∵函数y=sin2x 周期T=π ∴在[0, π]上作图令X=2x 则x=2X 从而sinX=sin2x列表：x-3π6π32π67π35πSin(x+3π) 01 0 -10 X=2x0 2ππ23π 2π x4π2π43ππO3π y=sin(x-π/4)y=sin(x+3π)函数y=sin 2x周期T=4π ∴在[0, 4π]上作图列表引导, 观察启发 与y=sinx 的图象作比较规律:般地，函数y ＝sin ωx （ω>0且ω≠1）的图象，可以看做是将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的．注意．．:． A ．和．φ．的值不影响周期．．．．．．．,．周期变换不改变．．．．．．．A ．和．φ．的值．．.． 思考:将函数y=sin(2x+3π)的图象上的每一个点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可以得到函数 的图象. 三. 振幅变换：例3 画出函数y=2sinx x ∈R ；y=21sinx x ∈R 的图象（简图）．sin2x 0 1 0 -1 0X=2x2ππ23π2π x0 π 2π 3π 4π sin 2x1-1xy O π 21 -34y=sinxy=sin 21xy=sin2xπ 2π4π解：由于周期T=2π ∴不妨在[0,2π]上作图， 列表：作图：引导,观察,启发：与y=sinx 的图象作比较，规律:一般地，函数y ＝Asin x （A>0且A ≠1）的图象，可以看做是将函数y ＝sin x 图象上所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．易知，函数函数y ＝Asin x 的值域为［－Ａ，Ａ］．注意: ω和φ的值不影响振幅,振幅变换不改变ω和φ的值. 四、y=Asin(ωx+φ)的图象的作法 例4（课本37页）若函数y=3sin(2x -3π) ,x ∈R 表示一个振动量:(1) 求这个振动的振幅,周期,初相;(2) 不用计算机和图形计算器,画出该函数的图象．x2ππ 23π2π sinx 0 1 0 -1 02sinx 020 -2 0 21sinx 021-21xy Oπ 212 --1 2-2 -1 2ππ y=2sinx y=sinxy=21sinx解：（五点法） 周期T=π,令X=2x -3π则x=6223ππ+=+x X列表作图3π2 6π71． “五点法”作图2． 利用正弦曲线作y=3sin(2x-3π)的图象3．小结图形变换过程（步骤）略两种方法殊途同归总结参数A ，ω，φ函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的影响．x 6π12π53π212π116π72x -3π2ππ 23π 2π 3sin(2x -3π) 03 0-3作y=sinx （长度为2π的某闭区间） 得y=sin(x+φ) 得y=sin ωx 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ) 得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R 上沿x 轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短 横坐标伸 长或缩短 沿x 轴平 移|ωϕ个单位纵坐标伸 长或缩短纵坐标伸 长或缩短xy O π 34-1 y=sin(x -3π)y=sin(2x -3π)y=3sin(2x -3π)6π（1）振幅变化，由A 的变化引起 （2）周期变化，由ω的变化引起 （3）相位变化，由ωϕ的变化引起（4）上下平行移动，由k 的变化引起 四.学生练习：课本第41页练习 1，2，3，4，5，6 备用:把函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32x cos yπ的图象向右平移3π个单位,所得到的图象的函数解析式为 ,再将图像上的所有点横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象解析式为 . 五.课时小结本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数y = Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0)的图象的画法．并通过改变各种变换的顺序而发现：平移变换应在周期变换之前，否则得到的函数图象不是函数y =Asin(wx+ϕ)的图象由y = sinx 图象的得到． 六.作业:课本45页7,8 同步导学练 第13课时。

函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象（一）一、教材分析本节是人教A 版数学第一册第5章第6节的内容，前一节“正弦函数的性质和图象”主要讲述了正弦函数图象的画法（五点法）、性质及应用。

本节课的主要内容是结合实例，了解)sin(φω+=x A y 的实际意义，会用五点法画出函数的图象，揭示参数φω，，A 变化时对函数)sin(φω+=x A y 图象的形状，位置的影响，讨论函数)sin(φω+=x A y 的图象与正弦函数的关系；通过引导学生对函数图象规律性的探索，让学生体会到从简单到复杂，从特殊到一般的化归思想；通过对参数的分类讨论，让学生深刻认识到图象变换与函数解析式变换的内在联系。

二、教学目标：1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的探究和动态演示让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。

2. 通过对函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。

3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。

三、教学重、难点：教学重点：函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像的画法和图像与函数y=sinx 图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示。

教学难点：各种变换内在联系的揭示。

四、教法学法采取各个击破，归纳整合为主线，自主探索、合作学习为主导，教师总结点评为辅助，充分发挥学生的动手能力的教学方法；多媒体辅助教学。

五、教学过程：（一）、新课引入：那么怎么画函数12sin()34y x π=-的图象？ （二）、尝试探究探究（一）：对 sin()y x ϕϕ=+对的图象的影响问题1：sin()3y x π=+函数周期是多少？你有什么办法画出该函数在一个周期内的图象？学生：用“五点法”作出函数 问题2：比较函数 sin()3y x π=+与sin y x = 的图象的形状和位置，你有什么发现？学生：函数sin()3y x π=+的图象，可以看作是把曲线sin y x =上所有的点向左平移3π个单位长度而得到的. 那么函数sin()3y x π=-的图象？学生：函数sin()3y x π=-的图象，可以看作是把曲线sin y x =上所有的点向右平移3π个单位长度而得到的.问题3：一般地，对任意的 (0)ϕϕ≠，函数 sin()y x ϕ=+ 的图象是由函数 sin y x = 的图象经过怎样的变换而得到的？ 归纳：函数sin()y x ϕ=+的图象，可以看作是把曲线sin y x =上所有的点向左(0ϕ>时）或向右0ϕ<（时）平移ϕ个单位长度而得到的.上述变换称为平移变换探究（二）：(0)sin y x ωωω>=对的图象的影响问题1：函数sin 2y x =周期是多少？如何用“五点法”画出该函数在一个周期内的图象？问题2：比较函数 sin 2y x =与sin y x = 的图象的形状和位置，你有什么发现？学生：函数 sin 2y x =的图象，可以看作是把sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）而得到的. 那么函数1sin()2y x =的图象？学生：函数 1sin()2y x =的图象，可以看作是把sin y x =的图象上所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）而得到的.问题３：一般地，对任意的 (0)ωω>，函数 sin y x ω=的图象是由函数sin y x =的图象经过怎样的变换而得到的？归纳：函数sin (0)y x ωω=>的图像可由函数y =sinx 的图像沿x 轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）．．．．．．．而得到的，称为周期变换。

函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象【学习目标】1、理解sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>函数中,,A ωϕ的涵义;2、能根据sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的部分图象求出其中的参数，并能简单应用;3、渗透数形结合思想，一题多解、一题多变思想. 【学习重点】三角函数的图形变换及相关题型的求解. 【学习难点】已知图形求参数，其中参数φ的求解. 一、自主学习1、若函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>表示一个振动量，则这个振动的振幅为 ， 周期为 ，初相为 ，频率为 ，相位为 ．2、“五点法”作图“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+由z 取 ， ， ， ， 来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.2、平移变换：由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin()y x b ϕ=++的图象？ ． 3、伸缩变换：（纵向伸缩）由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin (0)y A x A =>的图象？ ． 4、伸缩变换：（横向伸缩）由函数sin y x =的图象经怎样的变换可得到函数sin (0)y x ωω=> 的图象？ ． 5、函数sin y x =象到函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象变换.得到sin()y x ωϕ=+的图象得到sin()y x ϕ=+的图象画出sin y x =的图象得到sin()y A x ωϕ=+的图得到sin()y x ωϕ=+的图象得到sin y x ω=的图象画出sin y x =的图象得到sin()y A x ωϕ=+的图6、如何根据条件求函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的解析式？二、课前热身 1、函数2sin(3)7y x π=+的振幅是 ，相位是 ，初相是 ，周期是 ．2、为了得到函数R x x y ∈+=),3cos(的图象，只需把余弦曲线上所有的点向 （左或右）平行移动 个单位长度. 3、要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只要sin 2y x =的图象向 （左或右）平行移动个单位长度.4、把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位后，所得图象对应函数解析式为 .5、要得到函数sin()26x y π=-+的图象，可由sin()2xy =-的图象向 （左或右）平行移动 个单位长度.6、把函数sin y x =的图象上所有的点的纵坐标变为原来的13倍（横坐标不变）所得图象的解析式为 .7、将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，再把所得图象上各点横坐标变为原来的5倍，则最后所得图象的解析式为 .三、典型例题分析例1、作出函数3sin(2),3y x x R π=+∈的简图，说明它与sin y x =图象之间的关系.变式练习：已知函数13sin()24y x π=-（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明它由sin y x =图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数的对称轴、对称中心坐标。

1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φπ2π3π2 2πy ＝A sin(ωx ＋φ)0 A 0 －A3．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3+1，(1)求它的振幅、周期、初相，对称轴，对称中心，最值点，单调区间(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；考点一：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及变换1、将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π202．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位3.为把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)4.将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )A ．4B ．6C ．8D ．125．将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移π6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则φ的值是________．6.若函数y ＝f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y ＝21sin x 的图象，则有y ＝f (x )是( )A.y ＝21sin(2x ＋2π)＋1B.y ＝21sin(2x －2π)＋1C.y ＝21sin(2x －4π)＋1D.y ＝21sin(21x ＋4π)＋1考点二：求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式1. 如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像，由图中条件写出该函数的解析式．2．设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，直线x ＝π6是它的一条对称轴，则函数f (x )的解析式为( )3.函数)sin()(ϕω+=x x f （x ∈R ，ω＞0，0≤ϕ＜2)π的部分图象图， A ．ω＝4π,ϕ＝45π B ．ω＝4π,ϕ＝4π 1yC ．ω＝2π，ϕ＝4πD ．ω＝3π,ϕ＝6π4.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图像如图所示，求函数表达式．5.把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h (ω>0， 0<φ<π2)的图象如图所示，则f (x )＝( )A ．4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋2B ．－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋2C ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4D ．－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋47.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋28.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)上的最高点为(2，2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x 轴交于一点(6,0)，求函数解析式，并求函数在x ∈[－6,0]上的值域．考点三：三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像1.已知直线y ＝b (b ＜0)与曲线f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标成等比数列，则b 的值是________．2.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 ( )A.π2B.3π8C.π4D.π83.若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于 ( )A ．2或0B ．－2或2C ．0D ．－2或04．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．5.如图所示函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．6.方程2cos()14x π-=的解是 ．7.函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的 ( )8.设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9。