高一数学寒假作业(人教A版必修四)平面向量的基本定理及其坐标表示word版含解析

2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示（一）导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ,可分解为使物体沿斜面下滑的力F 1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F 2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v ,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a=λ1e1+λ2e2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量ｉ、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x 、y,使得a =x ｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y)②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a 与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.（三）应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b 212121+=+=AB 21=b +21a .21312131-+=-+-+=-==a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量与HF ,实为用a 与b 表示向量与HF . 变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作=-2.5e 1,=3e 2.(2)作OACB.故OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j , ∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3); c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标. 变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,=i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =-=(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j , 又∵A 、B 、D 三点共线,∴向量与共线.因此存在实数υ,使得=υ, 即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j . ∵i 与j 是两个不共线的向量, 故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例 3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示.活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a解:∵,NM +=+=∴由AM 32++=0,得=++++3)(2)(0. ∴323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线, 由平行向量基本定理,设,,μλ== ∴=+++μλ3230. ∴(λ+2)+(3+3μ)=0. 由于和NM 不共线, ∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ∴.=-=∴2=+==2a .点评:这里选取,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决. 变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△ABC 中,AD 为△ABC 边上的中线且AE=2EC,求GEBGGD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值.解:设μλ==GEBGGD AG , ∵BD =,即AD -AB =-AD , ∴=21(+). 又∵AG =λGD =λ(-AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC .① 又∵BG =μGE ,即AG -=μ(-AG ),∴(1+μ)=+μ,=μμμ+++111 又=32,∴=μ+11+)1(32μμ+.② 比较①②,∵AB 、AC 不共线,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果. 变式训练过△OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设=h ,k =,试证:311=+kh 解:设=a ,=b ,OG 交AB 于D,则=21(+)=21(a +b )(图略). ∴=32=31(a +b ),-==31(a +b )-k b =31a +331k-b ,-==h a -k b .∵P 、G 、Q 三点共线,∴λ=.∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k khk =+⇒-=-,∴kh 11+=3.（四）知能训练1.已知G 为△ABC 的重心,设AB =a ,=b ,试用a 、b 表示向量.2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答: 1.如图9,AG =32, 而=+=+=21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==(21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义.2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0).∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或∴x=-1.点评:先将向量用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.（五）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.（六）作业。

2018年高二数学寒假作业（人教A版必修4）平面向量基本定理及坐标表示(时间：40分钟)一、选择题1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝( )A．(5,7) B．(5,9)C．(3,7) D．(3,9)2．若向量BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，则BC→等于( )A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)3．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，则2a－b＝( ) A．(4,0) B．(0,4)C．(4，－8) D．(－4,8)4．已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则mn等于( )A．－12B.12C．－2 D．25．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则P点的坐标为( )A ．(－8,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，32D ．(8，－1)6．(2015·福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb 。

若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C.53D.327．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH→＝( ) A.25a －45b B.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b8．已知OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1二、填空题9．已知A (－3,0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________。

2．3.1 平面向量基本定理1．了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量． 2．掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝__________，其中不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组______．(1)这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e 1＋λ2e 2，且λ1＝λ2＝0.(2)对于固定的e 1，e 2(向量e 1与e 2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组． 【做一做1】 在平面四边形MNPQ 中，下列一定可以作为该平面的一组基底的是( ) A.MN →与MP → B.MN →与QP → C.MQ →与PN → D.QN →与NQ → 2．向量的夹角(1)定义：两个非零向量a 和b ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 和b 的夹角(如图所示)，范围是____________．当θ＝0°时，向量a 和b ______；当θ＝180°时，向量a 和b ______.(2)垂直：如果向量a 和b 的夹角是______，我们就说向量a 与b 垂直，记作__________．【做一做2】 在等边三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角等于( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°答案：1．不共线 λ1e 1＋λ2e 2 基底【做一做1】 A 由于QN →∥NQ →，则不能作为基底，所以选项D 不能作为基底；当四边形MNPQ是平行四边形时，MN→∥QP→，MQ→∥PN→，所以选项B和C都不能作为基底；很明显→与MP→不共线，则可以作为基底，故选A.MN2．(1)0°≤θ≤180°同向反向(2)90°a⊥b【做一做2】C延长AB到D，使AB＝BD，如图所示，则AB→与BC→的夹角等于∠CBD.又∠ABC＝60°，则∠CBD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，所以AB→与BC→的夹角等于120°.1．理解平面向量基本定理剖析：(1)e1，e2是同一平面内的两个不共线向量．(2)对给定的向量a，实数λ1，λ2存在且唯一．实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的．(3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．一旦选定一组基底，则给定向量按照基底的分解是唯一的．(4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合．(5)零向量与任意向量共线，故不能作为基底中的向量．2．理解向量的夹角剖析：(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直，因此不讨论与零向量有关的夹角问题．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是CA→与AB→的夹角，∠BAD才是CA→与AB→的夹角．(3)特别地，a 与b 的夹角为θ，λ1a 与λ2b (λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0=180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0=θ.题型一 判断向量的基底【例1】 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中不．能作为平面内所有向量的一组基底的是________．(写出所有满足条件的序号)反思：根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线，则它们可作为一组基底；若共线，则它们不可能作为一组基底．题型二 作两向量线性运算的结果【例2】 如图所示，已知基向量a ，b ，求作向量3a －2b .分析：分别作出向量3a 和－2b ，再用平行四边形法则作出它们的和．反思：已知向量a ，b ，求作λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )的步骤：(1)作OA →＝λ1a ，OB →＝λ2b ；(2)作OACB ，OC →就是求作的向量．题型三 用基底表示向量【例3】 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示DC →，BC →，MN →.分析：由于DC ∥AB ，则DC →∥a ，DC →＝λa ；构造三角形和平行四边形，利用向量加法、减法的运算法则来解决．反思：用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决．题型四 易错辨析易错点 分不清向量的起点和终点【例4】 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝60°，则AC →与CB →的夹角θ＝__________.错解：∵∠ACB 是AC →与CB →的夹角，∴θ＝60°.错因分析：错解中，误认为∠ACB 是AC →与CB →的夹角，其实不然，∠ACB 是CB →与CA →的夹角，AC →与CB →的起点不同，则∠ACB 不是其夹角．反思：当且仅当a 与b 的起点相同，且a ＝OA →，b ＝OB →时，∠AOB 才是向量a 与b 的夹角．答案：【例1】 ③ ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2可作为一组基底；②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1可作为一组基底；③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不可作为一组基底；④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2可作为一组基底． 【例2】 作法：(1)如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝3a ，OB →＝－2b .(2)作OACB .OC →就是求作的向量．【例3】 解：如图所示，连接CN ，则四边形ANCD 是平行四边形．则DC →＝AN →＝12AB →＝12a ，BC →＝NC →－NB →＝AD →－＝b －12a ，MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD →＝－AD →－12⎝⎛⎭⎫－12AB →＝14a －b . 【例4】 正解：如图所示，延长AC 到D ，使AC ＝CD ，则AC →＝CD →，∠BCD 是AC →与CB →的夹角．由于∠BCD ＋∠ACB ＝180°，∠ACB ＝60°， 则∠BCD ＝180°－60°＝120°， 即θ＝120°.1．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB ，AC 表示AD ＝__________.2．a 与b 是一组基底，且p ＝a ＋m b ，q ＝m a ＋2b ，且p 与q 不能组成一组基底，则实数m ＝________.3．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM ＝__________.4．已知e 1与e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝λe 1＋e 2，且a 与b 是一组基底，则实数λ的取值范围是________．5．已知基向量a 和b ，如图所示，求作向量2a －b .答案：1.3144AB AC + ∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD ＝14BC ＝1()4AC AB -，∴AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋1()4AC AB -＝3144AB AC +.2． 由于p 与q 不能组成一组基底， 则p ∥q ，∴存在实数λ使p ＝λq ，∴有a ＋m b ＝λ(m a ＋2b )，即a ＋m b ＝λm a ＋2λb ，∴1,2,m m λλ=⎧⎨=⎩解得m ＝.3．b ＋12a AM ＝AD ＋DM ＝AD ＋12DC ＝AD ＋12AB ＝b ＋12a . 4.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当a ∥b 时，设a ＝m b ，则有e 1＋2e 2＝m (λe 1＋e 2)，即e 1＋2e 2＝mλe 1＋m e 2，∴1,2,m m λ=⎧⎨=⎩解得λ＝12，即当λ＝12时，a ∥b .又a 与b 是一组基底， ∴a 与b 不共线，∴λ≠12. 5．作法：(1)如图所示，任取一点O ，作OA ＝2a ，OB ＝－b .(2)作平行四边形OACB ，OC 就是求作的向量．。

寒假作业〔15〕平面向量的概念1、以下说法不正确的选项是( )A.零向量是没有方向的向量B.零向量的方向是任意的C.零向量与任一向量共线D.零向量只能与零向量相等2、以下命题中正确的选项是( )A.温度是向量B.速度、加速度是向量C.单位向量相等D.假设||||a b =,那么a 和b 相等3、以下说法正确的选项是( )①假设向量,a b 共线,向量,b c 共线,那么a 与c 也共线;②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点;③向量a 与b 不共线,那么a 与b 都是非零向量;④假设a b =,b c =,那么a c =.A.1B.2C.3D.44、设0a 为单位向量,a 为平面内的某个非零向量,给出以下说法:①0||a a a =;②假设a 与0a 平行,那么0||a a a =;③假设a 与0a 平行且||1a =,那么0a a =. 其中不正确的说法的个数是( )A.0B.1C.2D.35、有以下说法:①两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同;②假设非零向量AB 与CD 是共线向量,那么,,,A B C D 四点共线;③假设非零向量a 与b 共线,那么a b =;④假设a b =,那么||||a b =.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.36、以下四个命题正确的选项是( )A.两个单位向量一定相等B.假设a 与b 不共线,那么a 与b 都是非零向量C.共线的单位向量必相等D.两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同7、以下命题中不正确的选项是( )A.向量AB 与向量BA 的长度相等B.任何一个非零向量都可以平行移动C.假设//a b ,且0b ≠,那么0a ≠D.两个有共同起点且共线的向量,其终点不一定相同8、把平面上所有单位向量的起点平移到同一点P ,这些向量的终点构成的几何图形为( )A.正方形B.圆C.正三角形D.菱形9、以下命题中，正确的个数是〔 〕①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③假设,a b 满足||||a b >且a 与b 同向，那么a b >；④假设两个向量相等，那么它们的起点和终点分别重合；⑤假设//a b ，//b c ，那么//a c ．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10、给出以下命题:①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等;②向量a 与向量b 平行,那么a 与b 的方向相同或相反;③两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同;④两个有公共终点的向量,一定是共线向量;⑤向量AB 与向量CD 是共线向量,那么点A ,B ,C ,D 必在同一条直线上.⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段.其中假命题的个数为( )A.2B.3C.4D.511、以下命题正确的有__________.(填序号)①向量AB 与向量BA 的长度相等、方向相反;②a 与b 平行,那么a 与b 的方向相同或相反;③两个相等向量的起点相同,那么其终点必相同;④AB 与CD 是共线向量,那么,,,A B C D 四点共线.12、以下命题中正确的选项是_______.①单位向量都相等；②任一向量与它的相反向量不相等；③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB DC；④模为0是一个向量方向不确定的充要条件.13、有以下命题:(1)单位向量一定相等;(2)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;(3)相等的非零向量,假设起点不同,那么终点一定不同;(4)方向相反的两个单位向量互为相反向量;(5)起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆.其中正确的命题的个数为__________个.14、如图 ,某人想要从点A出发绕阴影局部走一圈 ,他可按图中提供的向量行走 ,那么这些向量排列的顺序为__________.(提示:注意数形结合)答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：零向量的长度为0,方向是任意的,零向量与任一向量是共线的.应选A.2答案及解析：答案：B解析：温度只有大小,没有方向,不是矢量,A 错误,速度有大小和方向,应该是向量,加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值.由于速度是矢量,速度的变化既可能有大小上的变化,同时也可能有方向上的变化,因此速度的变化量应该是一个既有大小又有方向的一个量,即是一个矢量.时间的变化,只有大小,是一个标量.因此加速度是一个矢量,也就是向量,B 正确;向量既有大小也有方向,单位向量都是长度为1的向量,但方向可能不同,C 错误;||||a b =,但a 与b 的方向不一定相同,那么a 与b 不一定相等,D 错误.3答案及解析：答案：B解析：由于零向量与任意向量都共线,故当b 为零向量时,,a c 不一定共线,所以①不正确;两个相等的非零向量可以在同一直线上,故②不正确;向量a 与b 不共线,那么a 与b 都是非零向量,否那么不妨设a 为零向量,那么a 与b 共线,与a 与b 不共线矛盾,故③正确;a b =,那么a 与b 的长度相等且方向相同,b c =,那么,b c 的长度相等且方向相同,所以,a c 的长度相等且方向相同,故a c =,④正确.4答案及解析：答案：D解析：向量是既有大小又有方向的量,a 与0||a a 的模相等,但方向不一定相同,故①说法错误;假设a 与0a 平行,那么a 与0a 同向或反向,反向时,有0||a a a =-,故②③说法错误.综上所述,不正确的说法的个数是3.5答案及解析：答案：B、、、四点不共线,解析：①显然时错误的;在平行四边形ABCD中,AB与CD共线,但A B C D②错误;两个非零向量共线,说明这两个向量方向相同或相反,而两个非零向量相等,说明这两个向量大小相等,方向相同,因而共线向量不一定是相等向量,但相等向量却一定是共线向量,③错误;向量相等,即大小相等、方向相同,④正确.6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：C解析：向量AB与向量BA的长度相等,方向相反,A正确;任意一个非零向量都可以平行移动,B 正确;假设//b≠,那么a可能为零向量,C错误;两个有共同起点且共线的向量,方向a b且0相反时,中点可以不相同,D正确.8答案及解析：答案：B解析：因为单位向量的模都是单位长度,所以同起点时,终点构成单位圆.9答案及解析：答案：A解析：对于①，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；对于④，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；对于⑤，0b c，那么a与c不一定平行．b=时，//a b，//综上，以上正确的命题个数是0．应选A．10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：①③解析：①正确;②可能存在a或b其中之一为0,由0方向具有任意性,知②错误;③正确;共线的两个向量可能不在同一直线上,故④错误.12答案及解析：答案：③④解析：①不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同.②不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.③正确，④正确.13答案及解析：答案：3解析：(1)不正确,因为忽略方向;(2)方向相同,模相等的向量是相等向量,与起点无关,故(2)正确.(3)、(4)正确;(5)不正确,轨迹是个球面.14答案及解析：答案：a,e,d,c,b解析：此题借助有一定实际背景的问题,帮助我们体会向量的大小、方向,向量可以平移.用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性,为以后学习向量提供了几何方法,这也表达了数形结合的数学思想.应该注意的是有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.。

第一课时 平面向量基本定理教学要求：了解平面向量基本定理；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程：一、新课准备：1.复习向量加法.减法及其几何意义.2.运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa+λb 3.向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲授新课： 1. 问题的提出①给定平面的任意两个向量1e ，2e ，作出12123,e e e e -+.②对于平面上两个不共线向量1e ，2e ，是不是平面上的所有向量都可以表示为λ11e +λ22e .？ 2.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . （讨论指出：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2） 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解，(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量） 3.例1：已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .（教师板演→学生反复画图）练习：已知向量1e ，2e 求作向量41e -3.52e .（学生板演→教师修订→学生修正）4.出示例2：如图ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b表示，，和5..思考：已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.6.小结：平面向量基本定理 三.巩固练习1. 已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .2. 已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).3. 已知如图ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点， 求证：OA +OB +OC +OD =4OE4.如图，不共线=t (t ∈R)用，表示.5.作业：课本P111 练习 （2）第二课时 2.3.2～2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学要求：理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算. 教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：. 一、复习准备：1.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e2.向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.3.提问：如何进行力的分解？ 二、讲授新课：1. 教学平面向量的坐标表示①如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i .j 作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi y j =+…○1我们把),(y x 叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)a x y =…○2其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x . (特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)=)②出示例2：如图（略）分别用基底I ,j 表示向量...a b c d 并求出它们的坐标.2. 教学平面向量的坐标运算①若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --= 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.②若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. =-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)③若(,)a x y =和实数λ，则(,)a x y λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i .j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即(,)a x y λλλ=④例4：已知a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.练习：已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 4)， C(4， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.2. 小结：平面向量的坐标表示 ；平面向量的坐标运算 三.练习1. 若M(3， -2) ，N(-5， -1) 且 21=MN，求P 点的坐标.2. 已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标.3. 已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形. 4．课本P111 练习 2 . 3第三课时 2.3.4 平面向量共线的坐标表示教学要求：掌握平面向量的坐标运算；会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 教学过程： 一、复习准备：1.提问：平面向量的坐标表示及运算.2.思考：如何用坐标表示两个共线向量？ 二、讲授新课：1. 教学平面向量共线的坐标表示：①设a =(x 1， y 1) ，b =(x 2， y 2)，其中b ≠a .由a =λb 得， (x 1， y 1) =λ(x 2， y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ 消去λ，x 1y 2-x 2y 1=0 这时向量ab 共线.（注：消去λ时不能两式相除；要注意什么；向量共线的有两种条件）②讲解例6：已知a =(4，2)，b =(6， y)，且a ∥b，求y.练习：已知a =(3，6)，b =(x ， 4)，且a ∥b，求x.( 学生板演→教师修订→小结公式应用)③讲解例7：已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系. （教师画图→师生探究→教师板演→探究：当12p p pp ⇒时，求p 点坐标. ）练习：已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？④思考：设点P 是线段P 1P 2上的一点， P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).（1）当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标.（教师分析→教师画图→学生板演） ⑤小结：平面向量共线的坐标表示 二.练习①.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .②.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = .③.若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，求x .④.小结：1．平面向量共线的坐标表. 2.向量共线条件的适用类型. 五．作业1.课本P111 （5）（6）（7）.2.已知点A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,1),试判断AB 与CD 的位置关系，并给出证明.3.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为多少？4.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为多少?5.作业：P111 (1).。

平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。

平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。

一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。

2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。

设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。

二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。

设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。

在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。

根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。

对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。

设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。

平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。

高一数学寒假作业（17）平面向量的基本定理及坐标表示（含解析）新人教A 版1、下列各组向量中,可以作为基底的是( )A. ()()120,0,2,1e e ==-B. ()()124,6,6,9e e ==C. ()()122,5,6,4e e =-=-D. ()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 2、设向量()()1,3,2,4a b =-=-,若表示向量4,32,a b a c -的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 为( )A. ()1,1-B. (1,1)-C. (4,6?)-D. ()4,6-3、已知平面向量(1,2),(2,),a b m ==-,且//a b ,则23a b += ( )A.(-5,-10)B.(-4,-8)C.(-3,-6)D.(-2,-4)4、已知,,A B C 三点在一条直线上,且()()3,6,5,2A B --,若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为( )A.-13B.9C.-9D.135、若(3,4)AB =,A 点的坐标为()2,1--,则B 点的坐标为( )A. ()1,3B. (5,5)C. (1,5)D.6、已知两点()()2,1,3,1A B -,与AB 平行且方向相反的向量a 可能是( )A. ()1,2a =-B. ()9,3a =C. (1,2)a =-D. 4(),8a =--7、向量()()(),12,4,5,10,PA k PB PC k ===,若,,A B C 三点共线,则k 的值为() A.-2 B.11 C.-2或11 D.2或-118、设平面向量()()1,2,2,a b y ==,若//a b ,则2a b += ( )A.B. C. 4D. 5 9、已知平面向量(3,4)a =,1,2b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,若a b ,则实数x 为( )A. 23- B. 23 C. 38D. 38-10、已知单位向量12,e e 的夹角为3π,122a e e →→→=-,则a 在1e →方向上的投影为( )A. 12- B. 12C. 32-D. 3211、已知向量()()()2,1,1,,1,2a b m c =-=-=-,若()a b c +,则m =__________.12、已知向量()2,3,a b a =-,向量b 的起点为()1,2A ,终点B 在坐标轴上,则点B 的坐标为__________13、已知()()1,1,,1,2,2a b x u a b v a b ===+=-,若u v ,则x =__________14、已经向量(4,3)AB =,(3,1)AD =--,点(1,2)A --.1.求线段BD 的中点M 的坐标;2.若点()2,P y 满足()PB BD R λλ=∈,求y 和λ的值.15、已知(1,1)A 、(3,1)B -、(,)C a b .1.若A 、B 、C 三点共线,求a 、b 的关系式,2.若2AC AB =,求点C 的坐标.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：因为零向量与任意向量共线,故A 错误.对于B, ()()1222,3,32,3e e ==,所以12e e =,即1e 与2e 共线.对于D, 1244e e ==,所以1e 与2e 共线2答案及解析：答案：D解析：由题知()44,12a =-()()()3232,421,38,18b a -=---=-()432a b a c +-=-,所以()()4,128,18c -+-=-,所以()4,6c =-3答案及解析：答案：B解析：因为//a b ,所以122m =-, 所以4m =-,所以()2,4b =--.又()22,4a =,()36,12b =--,所以()234,8a b +=--.4答案及解析：答案：C解析：设C 点坐标为()6,y ,则()()8,8,3,6AB AC y =-=+,因为,,A B C 三点共线,所以3688y +=-,所以9y =-.5答案及解析：答案：A解析：设(),B x y ,则有()()()()()2,12,13,4AB x y x y =----=++=,所以解得所以()1,3B6答案及解析：答案：D解析：∵(1,2)AB =, ()()4,841,24a AB ∴=--=-=-,∴D 正确答案：C解析：()()(),124,54,7BA PA PB k k =-=-=-,()()(),1210,10,12,CA PA PC k k k k =-=-=--因为,,A B C 三点共线,所以BA CA ,所以()()()4127100k k k ----=, 整理得29220k k --=,解得2k =-或11.8答案及解析：答案：B解析：由题意得1220y ⨯-⨯=,解得4y =,则()24,8a b +=,所以2248a b +=+=故选B.9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：D解析：11答案及解析：答案：-1解析：()()21,11,1a b m m +=--+=-,由()a b c +,得()()12110m ⨯--⨯-=,即1m =-.答案：70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：由b a ,可设()2,3.b a λλλ==-设(),, B x y 则()1,2AB x y b =--=.由21123232x x y y λλλλ-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=-=+⎩⎩① 又B 点在坐标轴上,则120λ-=或320λ+=,12λ∴=或2,3λ=-代入①式得 B 点坐标为70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭13答案及解析：答案：1解析： ∵()1,1,(,1)a b x ==,∴()()21,3,2,1u x v x =+=-()()2113201u v x x x ⇒+⋅-⋅-=⇒=.14答案及解析：答案：1.设M 的坐标为,由(4,3)AB =,点(1,2)A --,得B 点坐标(3,1).又由(3,1)AD =--,点(1,2)A --,得D 坐标为(4,3)--. ∴34122x -==-,1312y -==-, ∴M 点的坐标为1(,1)2-- 2.由第1问知B 点的坐标为(3,1),D 点的坐标为(4,3)--,∴(1,1)PB y =-,(7,4)BD =--,由PB BD λ=,得(1,1)(7,4)y λ-=-- ∴17{14y λλ=--=- ∴17λ=-,37y =. 解析：15答案及解析：答案：1.若A 、B 、C 三点共线,则AB 与AC 共线.(3,1)(1,1)(2,2)AB =--=-,(1,1)AC a b =--,∴2(1)(2)(1)0b a ----=.∴2a b +=.2.若2AC AB =,则(1,1)(4,4)a b --=-,∴14{14a b -=-=-,∴5{3a b ==- ∴点C 的坐标为(5,3)-.解析：。

1.2112面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a 、OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．如果a 与b 的夹角是90°，我们就说a 与b 垂直，记作a ⊥b .一、选择题1．下列各组向量中，一定能作为基底的是( ) A ．a ＝0，b ≠0B ．a ＝3e ，b ＝－3e (e ≠0)C ．a ＝2e 1－e 2，b ＝e 1＋2e 2(e 1，e 2不共线)D ．a ＝4e 1＋4e 2，b ＝－2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线) 答案：C解析：由平面向量基本定理知，a ，b 不共线，∴选C.2．设a ，b 是不共线的两个非零向量，已知AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A ，B ，D 三点共线，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1 答案：D解析：BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，AB →＝2a ＋p b ，由A ，B ，D 三点共线，知存在实数λ，使2a ＋p b ＝2λa －λb .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝2p ＝－λ，∴p ＝－1.3．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝e 1，DC →＝e 2，则OC →＝( ) A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1) 答案：A解析：因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC →＝e 1，DC →＝e 2，所以OC →＝12(BC →＋DC →)＝12(e 1＋e 2)，故选A. 4．已知非零向量OA →，OB →不共线，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若P A →＝λAB →(λ∈R )，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0答案：A解析：由P A →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →.又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λy ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点)，则AP →＝( )A ．λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)B ．λ(AB →＋BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22C ．λ(AB →－AD →)，λ∈(0,1)D ．λ(AB →－BC →)，λ∈⎝⎛⎭⎫0，22答案：A解析：如图所示，AC →＝AB →＋AD →.又点P 在AC 上，∴AP →与AC →同向，且|AP →|<|AC →|，故AP →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)．6．若点O 是▱ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，且AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1等于( )A.AO →B.CO →C.BO →D.DO → 答案：C解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(BC →－AB →)＝12(AD →－AB →)＝12BD →＝BO →. 二、填空题7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝________.答案：－2或13解析：由题设，知k 22＝1－5k 23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.8．已知e 1，e 2是两个不共线向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.答案：－12解析：因为a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，所以存在唯一的μ，使2e 1－e 2＝μ(e 1＋λe 2)＝μe 1＋μλe 2，所以μ＝2，μλ＝－1，故λ＝－12.9．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →，则x y＝________.答案：12解析：∵PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB →－yAD →＝λ(CE→－CB →)＝λ⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λy ＝－λ，则x y ＝12. 三、解答题 10.如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，试用a ，b 表示MN →.解：由AN →＝3NC →，知N 为AC 的四等分点． MN →＝MC →＋CN → ＝12AD →－14AC → ＝12AD →－14(AB →＋AD →) ＝－14AB →＋14AD →＝－14a ＋14b .11．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2，若存在实数λ和μ，使d ＝λ a ＋μb 与c 共线，那么实数λ和μ应该是什么关系？解：∵d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，若d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．12．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案：43解析：选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝(12λ＋μ)AB →＋(λ＋12μ)AD →，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.13.如图，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .求证：B 、E 、F 三点共线．证明：如图所示，延长AD 到G ，使AG →＝2AD →，连接BG 、CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )AE →＝23AD →＝13(a ＋b )AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )．又BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．所以BE →＝23BF →，又因为BE →与BF →有公共点B ，所以B 、E 、F 三点共线．。

1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么a ∥b . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么下列说法正确的是________(填序号)． ①若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0；②空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)； ③对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内；④对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对． 答案 ①2．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 答案 0解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝⎛⎭⎫－23＝0. 3．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．4．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2 θ＝0， ∴2sin θcos θ－cos 2 θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 (1)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.(2)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 答案 (1)45 (2)311解析 (1)因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝45.(2)设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.思维升华 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(1)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________.(用e 1，e 2表示)(2)如图，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为________．答案 (1)－23e 1＋512e 2 (2)13解析 (1)如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.(2)易知AG →＝13AB →＋13AC →，MN →＝－xAB →＋yAC →，故MG →＝⎝⎛⎭⎫13－x AB →＋13AC →.由于MG →与MN →共线，所以⎝⎛⎭⎫13－x y ＝－13x ， 即xy ＝13(x ＋y )，因此xy x ＋y ＝13.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝________. (2)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为__________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫－133，－43 (2)⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为__________．(2)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝________.答案 (1)(5,14) (2)(－6,21)解析 (1)设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)．由AB →＝3a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14.(2)BC →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 (1)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________.(2)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________． 答案 (1)(－4，－8) (2)(2,4)解析 (1)由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ， 得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)． (2)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)． 命题点2 利用向量共线求参数例4 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． 答案 －54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5， ∴a ＝－54.命题点3 求交点坐标例5 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)． 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)． 方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)．思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB →与AC →共线．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________．答案3＋222解析 由题意得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λ(b ＋2)，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2， 所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (14分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思维点拨 可以建立平面直角坐标系，将向量坐标化，求出点A ，B 的坐标，用三角函数表示出点C 的坐标，最后转化为三角函数求最值． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[11分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[14分]温馨提醒 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了解析法(坐标法)解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．[方法与技巧]1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．根据向量共线可以证明点共线；利用两向量共线也可以求点的坐标或参数值． [失误与防范]1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是________． 答案 ①③解析 ①中AD →，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．2．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝________.答案 (－1,2)解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)． 3．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝________. 答案 12a －32b解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝________. 答案 12解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________．答案 3解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn＝3. 6．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.答案 2解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.7．已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________．答案 (－2，－4)解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)， 从而CD →＝(－2，－4)．8．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________． 答案 m ≠54解析 由题意得AB →＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB →，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54. 9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．10．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线．(1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →，∴AM →与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．在△ABC 中，点P 是AB 上的一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案 34解析 ∵CP →＝23CA →＋13CB →， ∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →.∴2AP →＝PB →，因此P 为AB 的一个三等分点．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC → (0<x <1)． ∵CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →. ∵CP →＝CA →－P A →＝－AC →＋13AB →， 且CM →＝tCP →(0<t <1)，∴x 2AB →＋⎝⎛⎭⎫x 2－1AC →＝t ⎝⎛⎭⎫－AC →＋13AB →. ∴x 2＝t 3且x 2－1＝－t ，解得t ＝34. 12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为________．答案 －12解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12. 13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________．答案 16解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为OP ＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.14．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.答案 3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连结AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．∴AM →＝23AD →. 又AD →＝12(AB →＋AC →)， ∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．。

第二章第三节平面向量的基本定理及坐标表示第二课时整体设计教学分析1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a ＝λb ，那么a 与b 共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的． 三维目标1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．3．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识． 重点难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解． 课时安排1课时教学过程导入新课思路1.向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联．那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系．关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA →＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所唯一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样我们就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？ 推进新课新知探究 提出问题①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，你能得出a ＋b ，a －b ，λa 的坐标表示吗？②如图1，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)的P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤．可得：图1a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j )＋(x 2i ＋y 2j )＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， 即a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 同理a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．又λa ＝λ(x 1i ＋y 1j )＝λx 1i ＋λy 1j .∴λa ＝(λx 1，λy 1)．教师和学生一起总结，把上述结论用文字叙述分别为：两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系：将向量AB →平移，使得点A 与坐标原点O 重合，则平移后的B 点位置就是P 点．向量AB →的坐标与以原点为始点，点P 为终点的向量坐标是相同的，这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．学生通过平移也可以发现：向量AB →的模与向量OP →的模是相等的． 由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式： |AB →|＝|OP →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生，只要善于开动脑筋，勇于创新，展开思维的翅膀，就一定能获得意想不到的收获．讨论结果：①能． ②AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标． 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量？②若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，那么11x y ＝22x y是向量a 、b 共线的什么条件？活动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系．此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb .如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2.消去λ后得x 1y 2－x 2y 1＝0. 这就是说，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时向量a 、b (b ≠0)共线．又我们知道x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1y 2＝x 2y 1是等价的，但这与y 1x 1＝y 2x 2是不等价的．因为当x 1＝x 2＝0时，x 1y 2－x 2y 1＝0成立，但y 1x 1与y 2x 2均无意义．因此y 1x 1＝y 2x 2是向量a 、b 共线的充分不必要条件．由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用，让学生仔细体会这点．讨论结果：①x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 、b (b ≠0)共线． ②充分不必要条件． 提出问题a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a ＝λb ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动：教师引导推证：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠a ，由a ＝λb ，(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，消去λ，得x 1y 2－x 2y 1＝0.讨论结果：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. 教师应向学生特别提醒感悟：(1)消去λ时不能两式相除，∵y 1、y 2有可能为0，而b ≠0， ∴x 2、y 2中至少有一个不为0.(2)充要条件不能写成y 1x 1＝y 2x 2(∵x 1、x 2有可能为0)．(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λb ，x 1y 2－x 2y 1＝0.应用示例思路1例1已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标．活动：本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算，再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论．若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标，那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化．可由学生自己完成．解：a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)； a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)；3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．变式训练已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：D，试求顶点D 的坐标．图2活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种方法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量OD →的坐标，进而得到点D 的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标．解：方法一：如图2，设顶点D 的坐标为(x ，y )． ∵AB →＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，DC →＝(3－x,4－y )． 由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝3－x ，2＝4－y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. ∴顶点D 的坐标为(2,2)．方法二：如图2，由向量加法的平行四边形法则，可知BD →＝BA →＋AD →＝BA →＋BC →＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)， 而OD →＝OB →＋BD →＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)， ∴顶点D 的坐标为(2,2)．图31时，仿例2得：D 1＝(2,2)B 时，仿例2得：D 2＝(4,6)ACB 时，仿例2得：D 3＝(－(1,3)，C (2,5)，试判断A 、B 活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点，观察图形，我们猜想A 、B 、C 三点共线．下面给出证明．∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)， 又2×6－3×4＝0， ∴AB →∥AC →，且直线AB 、直线AC 有公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线．点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向.例1设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． (1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，求点P 的坐标；(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标．活动：教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当P 1PPP 2＝λ时，点P 的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有的学生可能提出如下推理方法：设P (x ，y )，由P 1P →＝λPP 2→，知(x －x 1，y －y 1)＝λ(x 2－x ，y 2－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧x －x 1＝λ(x 2－x )y －y 1＝λ(y 2－y )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx21＋λ，y ＝y 1＋λy21＋λ.这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．解：(1)如图4，由向量的线性运算可知图4OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以点P 的坐标是(x 1＋x 22，y 1＋y 22)．(2)如图5，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即P 1P PP 2＝12或P 1PPP 2＝2.如果P 1P PP 2＝12(图5(1))，那么图5OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→ ＝(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)，即点P 的坐标是(2x 1＋x 23，2y 1＋y 23)．同理，如果P 1PPP 2＝2(图5(2))，那么点P 的坐标是(x 1＋2x 23，y 1＋2y 23)．点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.例2已知点A (1,2)，B (4,5)，O 为坐标原点，OP ＝OA ＋tAB .若点P 在第二象限，求实数t 的取值范围．活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上去板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．解：由已知AB →＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)． ∴OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(3t ＋1,3t ＋2)．若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧3t ＋1<03t ＋2>0⇒－23<t <－13.故t 的取值范围是(－23，－13)．点评：此题通过向量的坐标运算，将点P 的坐标用t 表示，由点P 在第二象限可得到一个关于t 的不等式组，这个不等式组的解集就是t 的取值范围．知能训练课本本节练习． 解答：1．(1)a ＋b ＝(3,6)，a －b ＝(－7,2)；(2)a ＋b ＝(1,11)，a －b ＝(7，－5)； (3)a ＋b ＝(0,0)，a －b ＝(4,6)；(4)a ＋b ＝(3,4)，a －b ＝(3，－4)． 2．－2a ＋4b ＝(－6，－8)，4a ＋3b ＝(12,5)．3．(1)AB →＝(3,4)，BA →＝(－3，－4)；(2)AB →＝(9，－1)，BA →＝(－9,1)； (3)AB →＝(0,2)，BA →＝(0，－2)；(4)AB →＝(5,0)，BA →＝(－5,0)． 4．AB ∥CD .证明：AB →＝(1，－1)，CD →＝(1，－1)，所以AB →＝CD →.所以AB ∥CD .点评：本题有两个要求：一是判断，二是证明．通过作图发现规律，提出猜想，然后再证明结论是一个让学生经历数学化的过程．5．(1)(3,2)；(2)(1,4)；(3)(4，－5)．6．(103，1)或(143，－1)．7．解：设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，且|AP →|＝32|PB →|，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝3x －12，2y －6＝3y ＋9.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15)．点评：本题希望通过向量方法求解，培养学生应用向量的意识． 课堂小结1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础．作业课本习题2.3 A 组5、6.设计感想1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等．3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法：根据已知条件直接找到使P 1P →＝λPP 2→的实数λ的值．例1已知点A (－2，－3)，点B (4,1)，延长AB 到P ，使|AP →|＝3|PB →|，求点P 的坐标．解：因为点在AB 的延长线上，P 为AB →的外分点，所以AP →＝λPB →，λ<0，又根据|AP →|＝3|PB →|，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3)．(2)公式法：依据定比分点坐标公式． x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ，结合已知条件求解λ.例2已知两点P 1(3,2)，P 2(－8,3)，求点P (12，y )分P 1P 2→所成的比λ及y 的值．解：由线段的定比分点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧12＝3＋λ(－8)1＋λ，y ＝2＋λ×31＋λ，解得⎩⎨⎧λ＝517，y ＝4922.二、备用习题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(－1,2)，则－3a －2b 等于( ) A ．(7,1) B ．(－7，－1) C ．(－7,1) D ．(7，－1) 答案：B2．已知A (1,1)，B (－1,0)，C (0,1)，D (x ，y )，若AB →和CD →是相反向量，则D 点的坐标是( ) A ．(－2,0) B ．(2,2)C ．(2,0)D ．(－2，－2) 答案：B3．若点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)共线，则使AB →＝λBC →的实数λ的值为( ) A ．1 B ．－2 C ．0 D ．2 答案：D4．若A (2,3)，B (x,4)，C (3，y )，且AB →＝2AC →，则x ＝________，y ＝________.答案：4 725．已知ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)，则CO →的坐标(O 为对角线的交点)为________．答案：(－12，－4)6．向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？答案：解：∵OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )， ∴AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)． ∵AB →∥BC →，∴(4－k )(k －5)＋7×6＝0. ∴k 2－9k －22＝0. 解得k ＝11或k ＝－2.7．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试问：当λ为何值时，点P 在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P 在第三象限内？答案：解：∵AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)， ∴AB →＋λAC →＝(3＋5λ，1＋7λ)，而AP →＝AB →＋λAC →(已知)， ∴OP →＝OA →＋AP →＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)．(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ⇒λ＝12；(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<04＋7λ<0⇒λ∈(－∞，－1)．。

．平面向量基本定理如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ，λ，使＝λ＋λ，其中不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[破疑点]()这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即＝λ＋λ，且λ＝λ＝.()于对固定的、(向量与不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．．向量的夹角()定义：两个非零向量和，且＝，＝，则∠＝θ叫做向量和的夹角(如图所示)，范围是°≤θ≤°.当θ＝°时，向量和同向；当θ＝°时，向量和反向．()垂直：如果向量和的夹角是°，我们就说向量与垂直，记作⊥.自主预习阅读教材－回答下列问题．．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．．平面向量的坐标表示()基底：在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底．()坐标：对于平面内的一个向量，有且只有一对实数，，使得＝＋，我们把有序实数对(，)叫做向量的坐标，记作＝(，)，其中叫做向量在轴上的坐标，叫做向量在轴上的坐标．()坐标表示：＝(，)就叫做向量的坐标表示．()特殊向量的坐标：＝()，＝()，＝()．．向量与坐标的关系设＝＋，则向量的坐标(，)就是终点的坐标；反过来，终点的坐标就是向量的坐标(，)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．[破疑点]向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同．．平面向量的坐标运算设向量＝(，)，＝(，)，λ∈)，则有下表：。

§2.3.4平面向量共线的坐标表示教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标,判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、j 作为基底.任作一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ,使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标,记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,特别地,)0,1(=i ,)1,0(=j ,)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,b a -),(2121y y x x --=,),(y x a λλλ=.若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0设a =(x 1, y 1) ,b =(x 2, y 2) 其中b ≠a .由a =λb 得, (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ消去λ,x 1y 2-x 2y 1=0探究：（1）消去λ时不能两式相除,∵y 1, y 2有可能为0,∵b ≠∴x 2, y 2中至少有一个不为0（2）充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1, x 2有可能为0 (3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b ≠)01221=-=⇔y x y x λ三、讲解范例： 例1已知a =(4,2),b =(6, y),且a ∥b ,求y.例2已知A(-1, -1),B(1,3),C(2,5),试判断A,B,C 三点之间的位置关系.例3设点P 是线段P 1P 2上的一点, P 1、P 2的坐标分别是(x 1,y 1),(x 2,y 2).(1) 当点P 是线段P 1P 2的中点时,求点P 的坐标；(2) 当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点P 的坐标.例4若向量a =(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同,求x解：∵a =(-1,x)与b =(-x, 2)共线∴(-1)×2- x •(-x )=0∴x=±2∵a 与b 方向相同∴x=2例5已知A(-1, -1),B(1,3),C(1,5) ,D(2,7) ,向量AB 与平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？ 解：∵AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) ,CD =(2-1,7-5)=(1,2)又∵2×2-4×1=0 ∴∥CD 又∵=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2, 4),2×4-2×6≠0 ∴与不平行 ∴A,B,C 不共线∴AB 与CD 不重合∴AB ∥CD四、课堂练习：1.若a =(2,3),b =(4,-1+y ),且a ∥b ,则y =（ ）A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ,-1),B (1,3),C (2,5)三点共线,则x 的值为（ ）A.-3B.-1C.1D.33.若=i+2j, DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线,则x、y的值可能分别为（）A.1,2B.2,2C.3,2D.2,44.已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y=.5.已知a=(1,2),b=(x,1),若a+2b与2a-b平行,则x的值为.6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5,7),B(3,x),C(2,3),D(4,x),则x=.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3,1），B （－1,3），若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为 （ ）A 、3ｘ＋2ｙ－11＝0B 、（x-1）2+（y-2）2=5C 、2ｘ－ｙ＝0D 、ｘ＋2ｙ－5＝02、若向量a ＝（x+3，x 2－3x －4）与AB 相等，已知A （1，2）和B （3，2），则x 的值为 A 、－1B 、－1或4C 、4D 、1或－43、已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个顶点的坐标是（ ）A 、（1，5）或（5，5）B 、（1，5）或（－3，－5）C 、（5，－5）或（－3，－5）D 、（1，5）或（5，－5）或（－3，－5）4、设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且j i OA 24+=， j i OB 43+=，则△OAB 的面积等于（ ）A 、15B 、10C 、7.5D 、55、己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( )A 、(－2,11)B 、()3,34C 、(32,3) D 、(2,－7)6、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（－3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是。

（ ）A 、（－1，8）B ，（－5，2）C 、（1l ，6）D 、（5，2）7、已知O 为原点，A ，B 点的坐标分别为（a ，0），（0，a ），其中常数a ＞0，点P 在线段AB 上,且AP ＝t AB （0≤t≤1），则OA ·OP 的最大值为 （ ）A 、aB 、2aC 、3aD 、a 2 8、已知a =(2,3) , b =(4-,7) ,则a 在b 上的投影值为（ ）A 、13B 、513 C 、565 D 、65二、填空题 9、已知点A （－1，5），若向量AB 与向量a ＝（2，3）同向，且AB ＝3a ，则点B 的坐标为10、平面上三个点，分别为A （2，－5），B （3，4），C （－1，－3），D 为线段BC 的中点，则向量DA 的坐标为三、解答题11、已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，||43OA =60xOA ∠=，求向量OA 的坐标、12、已知点A （－1，2），B （2，8）及13AC AB =，13DA BA =-，求点C 、D 和CD 的坐标。

典题精讲例1如图2-3-2，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM=c，AN=d，试用c、d表示AB和AD.图2-3-2思路分析：本题要求用c、d表示和，所以可以将c、d看作基底，也就变成了用基底表示和两个向量.解：设=a，=b，则由M、N分别为DC、BC的中点,得=21b,DM=21a.从△ABN和△ADM中可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,21,21cabdba解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=),2(32),2(32dcbcda即AB=32(2d-c)，AD=32(2c-d).绿色通道：从解答本题的过程来看，策略性较强：(1)为使问题表达简单，采用代换=a，=b；(2)为使问题降低难度，采用正难则反策略，即直接用c、d表示、困难，反过来改用、表示c、d，然后将和看成是未知量，利用方程组的知识解得和. 变式训练如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列叙述中错误的有（）①λe1+μ e2（λ、μ∈R）可以表示平面α内的所有向量②对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μ e2的实数λ、μ有无数多对③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1+μ1e2=λ（λ2e1+μ2e2）④若实数λ、μ使λe1+μ e2=0，则λ=μ=0A.①②B.②③C.③④D.②思路解析：由平面向量基本定理可知命题①④为真命题，而命题②是假命题.当λ1e1+μ1e2=λ（λ2e1+μ2e2），当λ1=λ2=μ1=μ2时，对任意实数λ，均有λ1e1+μ1e2=λ（λ2e1+μ2e2）.因此，命题③也是假命题.答案：B例2已知平面内三个点A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),求AB,AC,AB+AC,2AB+21AC.思路分析：本题用到向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算等知识，代入相应的公式运算即可.解：∵A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),∴AB =(7-1,0+2)=(6,2),AC =(-5-1,6+2)=(-6,8),AB +AC =(6-6,2+8)=(0,10).2AB +21AC =2(6,2)+21(-6,8)=(12,4)+(-3,4)=(9,8). 绿色通道：本题涉及向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算，均需正确掌握其运算法则.变式训练 已知ABCD 中，A(-1，0)，B(3，0)，C(1，-5)，则D 的坐标为( )A.(-3，-5)B.(-3，5)C.(5，-5)D.(-2，5) 思路解析：设D(x,y)，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC .又∵=(4,0)，=(1-x,-5-y)，∴1-x=4且-5-y=0.∴x=-3,y=-5.答案：A例3用坐标法证明++=0. 思路分析：本题没有给出向量的坐标，需要将各向量的坐标设出来，然后进行向量运算. 证明：设A(a 1,a 2)、B(b 1,b 2)、C(c 1,c 2),则AB =(b 1-a 1,b 2-a 2),BC =(c 1-b 1,c 2-b 2),CA =(a 1-c 1,a 2-c 2).∴++=(b 1-a 1,b 2-a 2)+(c 1-b 1,c 2-b 2)+(a 1-c 1,a 2-c 2)=（b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1,b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2）=(0，0)=0.∴++=0.绿色通道：这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无需考虑三个点A 、B 、C 是否共线.同时，对这个结论的更一般的形式，即n 个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：11433221A A A A A A A A A A n n n +++++- =0.变式训练求证：113221A A A A A A A A n n n ++++- =0.思路分析：这个证明过程完全是n 个点坐标的计算，无需考虑点A 1、A 2、…、A n 是共线还是不共线的位置关系. 证明：设A 1(x 1,y 1),A 2(x 2,y 2),A 3(x 3,y 3),…A n (x n ,y n )，则21A A =(x 2-x 1,y 2-y 1)，32A A =(x 3-x 2,y 3-y 2),…，1A A n =(x 1-x n ,y 1-y n ),∴113221A A A A A A A A n n n ++++-=(x 2-x 1,y 2-y 1)+(x 3-x 2,y 3-y 2)+…+(x 1-x n ,y 1-y n )=(x 2-x 1+x 3-x 2+…+x 1-x n ,y 2-y 1+y 3-y 2+…+y 1-y n )=(0,0).∴113221A A A A A A A A n n n ++++- =0.例4（2006湖南高考卷，文10）如图2-3-3，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP =x OA +y OB ，则实数对（x,y ）可以是（ ）图2-3-3A.(41,43)B.(-32,32)C.(-41,43)D.(57,51-) 思路分析：据平面向量基本定理和平行四边形法则对各选项进行验证。