下载文档原格式
2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3-2.1.4 平面与平面之间的位置关系优化练习新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3-2.1.4 平面与平面之间的位置关系优化练习新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.3-2.1.4 平面与平面之间的位置关系优化练习新人教A版必修2的全部内容。
2.1。
3—2。
1。
4 平面与平面之间的位置关系［课时作业]［A组基础巩固］1．如果直线l在平面α外，那么直线l与平面α（）A．没有公共点B．至多有一个公共点C．至少有一个公共点D．有且只有一个公共点解析：当直线l与平面α平行时，没有公共点；当直线l与平面α相交时，有且只有一个公共点．答案：B2．下列说法中，正确的是( )①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行；②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行;③过平面外两点不能作平面与已知平面平行；④若一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何平面都与已知平面平行．A．①③ B．②④C．①②D．②③④解析：①②正确；③中，两点所在直线与平面平行时可以；④中，经过这条直线的平面与已知平面可能相交．答案：C3．如果两条直线a∥b,且a∥平面α，那么b和平面α的位置关系是( ）A．相交B．b∥αC．b⊂αD．b∥α或b⊂α解析：当直线b⊄α时，b∥α；b⊂α也有可能成立．答案:D4．若直线a⊄α，则下列结论中成立的个数是( )(1）α内的所有直线与a异面；(2）α内的直线与a都相交；（3）α内存在唯一的直线与a平行;(4)α内不存在与a平行的直线．A．0 B．1 C．2 D．3解析：∵直线a⊄α，∴a∥α或a∩α＝A。
2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质学业分层测评（含解析）新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质学业分层测评（含解析）新人教A版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质学业分层测评（含解析）新人教A版必修2的全部内容。
第二章点、直线、平面之间的位置关系(建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β,则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β,则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α,m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中,m，n可能为异面直线；C中,m 应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．【答案】D3．已知平面α、β和直线m、l,则下列命题中正确的是（)A．若α⊥β，α∩β＝m,l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m,l⊂α，l⊥m,则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α,则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m,l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.【答案】D4．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD 与CC1( )A．平行B．共面C．垂直D．不垂直【解析】如图所示，在四边形ABCD中,∵AB＝BC,AD＝CD.∴BD⊥AC。
2.3。
4 平面与平面垂直的性质A级基础巩固一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是（）A．垂直于同一条直线的两直线平行B．平行于同一条直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：A项中垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确．答案：D2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（) A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β,β⊥α,则m⊥αC．若m⊥β,n⊥β，n⊥α则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析：对于A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故A错误;对于B，若m∥β,β⊥α则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交,故B错误;对于C,若m⊥β,n ⊥β，则m∥n，又n⊥α，则m⊥α,故C正确；对于D,若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故D错误．答案：C3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( ）A．a∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C 都有可能．答案：D4．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是（)A．相交B．平行C．异面D．相交或平行解析:由线面垂直的性质可得．答案：B5．在正方体ABCD。
A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（）A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：如图所示，连接AC,BD,因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A,所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE。
答案:B二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED 是平行四边形，所以EF＝AD＝6。
![[配套k12学习]安徽省宿松县2016_2017学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面教案新人教A版必](https://img.taocdn.com/s1/m/0fdcf2ac71fe910ef12df8e6.png)
2.1.1 平面
图1
长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成
图2 图3
）在一个希腊字母α、β、γ
图4 图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：
在直线a上（或直线
6 图
7 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.
如图（图7）.
图8
图10
学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价
图11
根据下列条件，画出图形.
∩平面β=l，直线AB⊂α，AB∥l，E∈AB，直线
图12
图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：
根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来
图13
图14
b=A,∴直线a和直线b确定平面设为。
2.1.1 平面1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、教学共线、共面问题.目标3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.教学重、三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.难点教学多媒体课件准备观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；教学过每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、程平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.图4 图5③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A在直线a上（或直线a经A∈a过点A）元素点A在直线a外（或直线a不A a经过点A）与集合间点A在平面α内（或平面αA∈α的关经过点A）系点A在平面α外（或平面αAα不经过点A）④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,则aα.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）. 问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3 种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据应用示例例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l;(2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，Fl;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，C a.答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,bα.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用.名称作用公理1 判定直线在平面内的依据公理2 确定一个平面的依据公理3 两平面相交的依据3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题.课本习题2.1 A组5、6.板书设计教学反思。
第二章点、直线、平面之间的位置关系②本章的主要内容：1.刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形、进行逻辑推理的基础.公理4是判断空间直线之间平行关系的一个依据.2.空间图形问题经常转化为平面问题.“确定平面”是将空间问题转化为平面问题的重要条件，而这种转化又是空间图形中解决部分问题的重要思想方法.这种转化最基本的依据就是四个公理.3.本章的核心是空间中点、直线、平面之间的位置关系.从知识结构上看,在平面基本性质的基础上,由易到难的顺序研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.我们利用直线与直线的位置关系研究直线与平面的位置关系,利用直线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系.反过来,由平面与平面的位置关系可进一步掌握直线与平面的位置关系,由直线与平面、平面与平面的位置关系又可进一步确定直线与直线的位置关系.这种方法,是我们研究与解决空间直线、平面位置关系的重要方法.4.“平行”和“垂直”是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中两种最重要的位置关系.应用示例例1 如图1,在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4,点D 是AB的中点，图1（1）求证：AC⊥BC 1； （2）求证：AC 1∥平面CDB 1；（3）求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值.（1）证明：直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5， ∴AC⊥BC.∵C 1C⊥AC,∴AC⊥平面CDB. ∴AC⊥BC 1.（2）证明：如图1,设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ， ∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴DE∥AC 1.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1∥平面CDB 1.（3）解:∵DE∥AC 1，∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角. 在△CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB 1=22， ∵△CED 为等腰三角形， ∴cos∠CED=522. ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为522. 例2 如图2，在三棱锥P —ABC 中，AB⊥BC，AB=BC=kPA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP⊥底面ABC.图3证明：∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE. ∵二面角DABE 为直二面角，且CB⊥AB， ∴CB⊥平面ABE.∴CB⊥AE.∴AE⊥平面BCE. 拓展提升如图4,在Rt△AOB 中,∠OAB=6π,斜边AB=4.Rt△AOC 可以通过Rt△AOB 以直线AO 为轴旋转得到,且二面角BAOC 是直二面角.动点D 在斜边AB 上.图4(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)当D 为AB 的中点时,求异面直线AO 与CD 所成角的大小; (3)求CD 与平面AOB 所成角的最大值. (1)证明：由题意,CO⊥AO,BO⊥AO, ∴∠BOC 是二面角BAOC 的平面角. 又∵二面角BAOC 是直二面角, ∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O, ∴CO⊥平面AOB. 又CO ⊂平面COD, ∴平面COD⊥平面AOB.(2)解:作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO, ∴∠CDE 是异面直线AO 与CD 所成的角.。
2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学目标1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系.2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换.3.培养学生全面思考问题的能力.教学重、难点平面与平面的相交和平行.教学准备多媒体课件教学过程复习1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.2.直线与平面的位置关系：①直线在平面内——有无数个公共点,②直线与平面相交——有且只有一个公共点,③直线与平面平行——没有公共点.导入新课观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？图1提出问题①什么叫做两个平面平行？②两个平面平行的画法.③回忆两个平面相交的依据.④什么叫做两个平面相交?⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义.问题②怎样体现两个平面平行的特点.问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.问题④回忆公理三.问题⑤鼓励学生自我训练.讨论结果：①两个平面平行——没有公共点.②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.图2 图3③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l.④两个平面相交——有一条公共直线.⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图4.图4应用示例例1 已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.图5例2 如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.图6变式训练α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是( )A.α、β都平行于直线l、mB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥βD.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β分析：如图7,分别是A、B、C的反例.图7答案：D点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.课堂小结。
2.3.4 平面与平面垂直的性质
教学
目标
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想象能力.
2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力.
3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想.
教学
重、
难点
教学重点:平面与平面垂直的性质定理.
教学难点:平面与平面性质定理的应用.
教学
准备
多媒体课件
教学过
程
复习
（1）面面垂直的定义.
如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.
（2）面面垂直的判定定理.
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
两个平面垂直的判定定理符号表述为：⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
⊥
α
β
AB
AB
α⊥β.
两个平面垂直的判定定理图形表述为：
图1
如图2，长方体ABCD—A′B′C′D′中，平面A′ADD′与平面ABCD垂直,
直线A′A垂直于其交线AD.平面A′ADD′内的直线A′A与平面ABCD垂
直吗？
图2
提出问题
①如图3,若α⊥β,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,AB∩CD=B.
请同学们讨论直线AB与平面β的位置关系.
图3
②用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.
③设平面α⊥平面β,点P∈α,P∈a,a⊥β,请同学们讨论直线a与平面α的关系.
④分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.
⑤总结应用面面垂直的性质定理的口诀.
活动:问题①引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β的关系. 问题②引导学生进行语言转换.
问题③引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面α的关系.
问题④引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.
问题⑤引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.
讨论结果：①通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面β垂直,如图3.
②两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.
两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.
图4
两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：⇒
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊥
=
⋂
⊂
⊥
B
CD
AB
CD
AB
CD
AB
β
α
α
β
α
AB⊥β.
两个平面垂直的性质定理证明过程如下：
图5
如图5，已知α⊥β,α∩β=a,AB⊂α，AB⊥a于B.
求证：AB⊥β.
证明：在平面β内作BE⊥CD垂足为B,则∠ABE就是二面角αCDβ的平面角.
由α⊥β,可知AB⊥BE.又AB⊥CD，BE与CD是β内两条相交直线,∴AB⊥β.
③问题③也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：
求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.
如图6,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.求证：a⊂α.
图6
证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，
∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a,
∵经过一点只能有一条直线与平面β垂直,∴直线a应与直线b重合.那么a⊂α.
利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上.
④我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化
的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理.
⑤应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.
应用示例
例1 如图7，已知α⊥β，a⊥β,a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系.
图7
解:在α内作垂直于α与β交线的垂线b,
∵α⊥β,∴b⊥β.∵a⊥β,∴a∥b.∵a⊄α,∴a∥α.
变式训练
如图8,已知平面α交平面β于直线a.α、β同垂直于平面γ，又同平行于直线b.求证：(1)a⊥γ；(2)b⊥γ.
图8 图9
证明：如图9,
(1)设α∩γ=AB，β∩γ=AC.在γ内任取一点P并在γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC.
∵γ⊥α，∴PM⊥α.而a⊂α，∴PM⊥a.
同理,PN⊥a.又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ.
(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2.∵b∥α，∴b∥a1.同理,b∥a2. ∵a1、a2同过Q且平行于b，∴a1、a2重合.
又a 1⊂α，a 2⊂β，∴a 1、a 2都是α、β的交线，即都重合于a. ∵b∥a 1，∴b∥a.而a⊥γ，∴b⊥γ.
点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.
例2 如图10，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD.
图10 图11
（1）证明侧面PAB⊥侧面PBC ；
（2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角；
（3）求直线AB 与平面PCD 的距离.
（1）证明：在矩形ABCD 中，BC⊥AB, 又∵面PAB⊥底面ABCD,侧面PAB∩底面ABCD=AB,∴BC⊥侧面PAB. 又∵BC ⊂侧面PBC,∴侧面PAB⊥侧面PBC.
（2）解：如图11,取AB 中点E ，连接PE 、CE,又∵△PAB 是等边三角形,∴PE⊥AB.
又∵侧面PAB⊥底面ABCD ，∴PE⊥面ABCD.
∴∠PCE 为侧棱PC 与底面ABCD 所成角.
PE=2
3BA=3,CE=22BC BE +=3, 在Rt△PEC 中，∠PCE=45°为所求.
（3）解：在矩形ABCD 中，AB∥CD,
∵CD ⊂侧面PCD ，AB ⊄侧面PCD ，∴AB∥侧面PCD.
取CD 中点F ，连接EF 、PF ，则EF⊥AB.
又∵PE⊥AB,∴AB⊥平面PEF.又∵AB∥CD,
∴CD⊥平面PEF.∴平面PCD⊥平面PEF.
作EG⊥PF，垂足为G ，则EG⊥平面PCD.
在Rt△PEF 中，EG=
5
30=•PF EC PE 为所求. 变式训练
如图12，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成60°角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC.求平面AB 1C 1与底面ABC 所成二面角的大小.
图12
活动:请同学考虑面BB 1C 1C⊥面ABC 及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.
解：∵面ABC∥面A 1B 1C 1，则面BB 1C 1C∩面ABC=BC,
面BB 1C 1C∩面A 1B 1C 1=B 1C 1,∴BC∥B 1C 1，则B 1C 1∥面ABC.
设所求两面交线为AE ，即二面角的棱为AE,
则B 1C 1∥AE，即BC∥AE.
过C 1作C 1D⊥BC 于D ，∵面BB 1C 1C⊥面ABC,
∴C 1D⊥面ABC ，C 1D⊥BC.
又∠C 1CD=60°,CC 1=a,故CD=2
a ,即D 为BC 的中点. 又△ABC 是等边三角形,∴BC⊥AD.
那么有BC⊥面DAC 1,即AE⊥面DAC 1.
故AE⊥AD，AE⊥AC 1,∠C 1AD 就是所求二面角的平面角.
∵C 1D=23a ，AD=2
3a ，C 1D⊥AD,故∠C 1AD=45°. 点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.
课堂小结
知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直。
