江苏省盐城市时杨中学高中数学必修5《23等比数列的前项和(二)》导学案

1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前项和公式；复习2：等比数列的通项公式. n a = = .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：等比数列的前n 项和与通项关系 问题：等比数列的前n 项和 n S =1231n n a a a a a -+++++ ， 1n S -=1231n a a a a -++++ （n ≥2），∴ 1n n S S --= ， 当n ＝1时，1S = .反思：等比数列前n 项和n S 与通项n a 的关系是什么？※ 典型例题例1. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ， 2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比.变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S . ※ 动手试试练1. 等比数列{}n a 中，301013S S =，1030140S S +=，求20S . 练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n 项和S n . 三、当堂检测1. 等比数列{}n a 中，33S =，69S =，则9S =（ ）. A. 21 B. 12 C. 18 D. 242. 在等比数列中，14a =，q ＝2，使4000n S >的最小n 值是（ ）. A. 11 B. 10 C. 12 D. 93. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”.如(1101)2表示二进制的数， 将它转换成十进制的形式是32101212021213⨯+⨯+⨯+⨯=，那么将二进制数A. 922-B. 821-C. 822-D. 721-4. 在等比数列中，11a =，512n a =-，341n S =-，则q ＝ ，n ＝ .5. 等比数列的前n 项和12nn s =-，求通项n a .6. 设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n，…的前n 项和；。

《等比数列的前n 项和（二）》导学案
【学习目标】
1、进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；
2、了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。

【问题情境】
1、等比数列求和公式：________________________________ _____________________________________________________
2、数学思想方法：错位相减，分组合并.
3、S n 为等比数列的前n 项和, 0≠n S ，则232,,(k k k k k S S S S S k --∈N ﹡
)是否
为等比数列？
4、求和：2
3
1
1n a a a a
-++++⋯+.
【我的疑问】
备 注
【自主探究】
例1 某厂去年的产值记为１，计划在今后五年内每年的产值比上年增长%10，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为多少？
例2 求和：
231111232222
()()...()n n +⨯+⨯++⨯
备 注
【课堂检测】
1、若等比数列{a n }中，13+=n
n m S ，则实数m ＝
2、等比数列中，S 10= 10，S 20= 30，则S 30= .
3、等比数列{a n }共2n 项，和为－240，奇数项和比偶数项和大80，则公比q = .
4、求和132)12(7531--+++++=n n x n x x x S Λ
【回标反馈】
备 注
第3页共4页
【巩固练习】
伴你学第44页6~10题： 6、 解：
7、 解：
8、 解：
9、 解：
10、解：
备 注
第4页共4页。

2019-2020学年高中数学《等比数列》（二）导学案 新人教版必修5一．自学准备与知识导学： 1．判断：（1）已知)02(1≠≥⋅=-q n q a a n n ，，则{}n a 成等比数列． （ ） （2）已知)0(≠⋅=cq q c a n n ，则{}n a 成等比数列．（ ） （3）已知cba222 ，，成等比数列，则c b a ，，成等差数列． （ ） （4）已知c b a lg lg lg ，，成等差数列，则c b a ，，成等比数列．（ ）二．学习交流与问题研讨：已知等比数列{}n a 的通项公式是nn a 23⨯=，求首项1a 和公比q ，并画出该数列的图像．已知n a a a a ，，，， 321是公比为q 的等比数列，新数列121a a a a n n ，，，， -也是等比数列吗？练习：已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，（1）依次取出数列{}n a 中的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗? 如果是，它的首项和公比是多少?（2）数列{}n ca （其中常数0≠c ）是等比数列吗? 如果是，它的首项和公比是多少?已知}{n a ，}{n b 是项数相同的等比数列, 求证}{n n b a ⋅是等比数列．小结：证明等比数列的方法．如图，是一个边长为1的正三角形，将每边三等份，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…试求第n 个图形的边长和周长．例1 例2 例3 例4 （1） （2） （3）三．练习检测与拓展延伸：1．公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，求该等比数列的公比．2．在等比数列{}n a 中，（1）9125a a a ⋅=是否成立？7325a a a ⋅=是否成立？)2(222>⋅=+-n a a a n n n 是否成立？总结一般结论： 3．若b G a ，，成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项． （1）45和80的等比中项为 ；（2）已知两个数9+k 和k -6的等比中项是k 2，则=k ． 四．课后反思或经验总结：等比数列的概念及性质、通项公式的应用，等比中项概念.。

2.3.3 等比数列的前n 项和（2）教学目标：1．掌握等比数列前n 项和公式．2．综合运用等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式解决相关的问题．教学重点：进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式的理解、推导及应用．教学难点：灵活应用相关知识解决有关问题．教学方法：采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．教学过程一、复习引入：1．等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 2．数学思想方法：错位相减，分类讨论．二、学生活动求和：2311n a a a a-++++⋯+． 三、建构教学1．等比数列通项a n 与前n 项和S n 的关系？{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A .2．S n 为等比数列的前n 项和, 0≠n S ，则232,,(k k k k k S S S S S k --∈N ﹡)是等比数列． 注意：①公比q 的各种取值情况的讨论，②不要忽视等比数列的各项都不为0的前提条件．3． 在等比数列中，若项数为2n (n ∈N ﹡)， S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和，则=奇偶S S ．四、数学运用1．例题讲解．例1 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若21,,++n n n S S S 成等差数列，求q 的值．例2 等差数列{a n }中a 1=1， d =2，依次抽取这个数列的第1，3，32，…，3n -1项组成数列{b n }，求数列{b n }的通项和前n 项和S n ．例3 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)？分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比数列，总产量则为等比数列的前n 项和．2．练习．①若等比数列{a n }中，,13+=n n m S 则实数m ＝ ；②等比数列中，S 10= 10，S 20= 30，则S 30= ；③等比数列中S n = 48，S 2n = 60，则S 3n = ；④等比数列{a n }共2n 项,其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q = ．五、要点归纳与方法小结1．{a n }是等比数列B Aq S n n +=⇔其中0,1,0=+≠≠B A q A ．2．S n （0n S ≠）为等比数列的前n 项和，则232232,,(,,0n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ----都不为）一定是等比数列． 3．在等比数列中,若项数为2n （n ∈N ﹡），S 偶与S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则q S S =奇偶．六、课外作业课本P62习题6，7，9，10，11，13题．。

主备人： 袁彩伟 编号： 62016-2017版 高中数学必修五 等比数列（6） 第6课时预 习 案课题：等比数列(6 )学习目标：能解决等比数列的一些简单的综合问题（求数列的通项公式）；学习重、难点：进一步掌握等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，并能解决相关问题。

预习任务：弄懂下列概念，完成相应问题。

1、等比数列{}n a 的通项公式为 ；中项公式为 ；2、等比数列的性质 ；（下标和定理）3、等比数列{}n a 的前n 项和公式： n S = = ；4、在等比数列{}n a 中，已知3q =，3133S =，则n a = ；n S = ； 5、在等比数列{}n a 中，2136,630a a a =+=，则n a = ；n S = ；6、在等比数列{}n a 中，141,42a a ==，则数列{}2n a 的前5项和为 ； 则数列{}2n a 的前n 项和为 ； 7、在等比数列{}n a 中，141,42a a ==，则12233445a a a a a a a a +++= ； 12231n n a a a a a a ++++= ；8、在等比数列{}n a 中，141,4,2a a ==-则126a a a ++= ； 9、在等比数列{}n a 中，12341,1,2a a a a +=+=则78910a a a a +++= ； 10、在数列{}n a 中，已知11a =，121,n n a a +=+则11a += ；21a += ； 31a += ；41a += ；则1(1)ni i a =+∑= ；n a = ；11、数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，113n n a S +=，则1a = ；2a = ；3a = ； 4a = ；5a = ； 则n a = ；则242n a a a +++= ；探 究 案探究一：● 在数列{}n a 中，已知11a =，111,2n n a a +=+， （1）求证：{}2n a -的通项公式； （2）求数列{}n a 的通项公式；变式：若数列{}n a 满足113,23,n n a a a +==+求数列{}n a 的通项公式；探究二：● 已知数列{}n a 是等差数列，26a =，518a =；数列{}n b 的前n 项和是n T ， 且112n n T b +=，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证{}n b 是等比数列；变式：已知{}n a 满足：12213311,,222n n n a a a a a ++===- （1）记1,n n n d a a +=-求证：数列{}n d 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；主备人： 袁彩伟 编号： 62016-2017版 高中数学必修五 等比数列（6）作业 第6课时1、已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +-=，则数列{}n a 的通项公式为 ；2、已知数列{}n a 满足：11a =，1n n a a n +-=，计算：2a = ；3a = ； 4a = ；则{}n a 通项公式为 ；3、已知数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n ++=，则数列{}n a 的通项公式为 ；4、数列{}n a 的前n 和为n s ，若22n s n n =+，则数列{}n a 的通项公式为 。

引入新课一、复习等比数列的前n 项和公式：1．等比数列的求和公式：当1≠q 时， ① 或 ②；当q=1时，2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法：“错位相减”二、练习：1.等比数列｛a n ｝的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是2.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，则数列{}n a 的公比=q ．3等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和为 。

4.在公比为整数的等比数列｛a n ｝中，已知a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么a 5＋a 6＋a 7＋a 8等于5.设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n = 。

例题剖析例1.设}{n a 是等比数列，求证：232,,n n n n n S S S S S --成等比数列．(注意：等差数列的类似性质)类题训练：⑴在等比数列}{n a 中，若1049S =，20112S =，则30S = ．⑵在等比数列}{n a 中，若24=S ，68=S ，求20191817a a a a +++的值例2．(1)已知数列{a n }的前n 项和b a S n n +=（0a ≠，1），若{a n }是等比数列，则1b -=；反之亦然。

(2)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，231n n S =•-，求n a 。

1q ⇒≠时n S 的另一种形式：n n S k q k =•- 例3.设数列{}n a 为 ,,,4,3,2,1132-n nx x x x ，求此数列前n 项的和．。

一、相关复习复习1：等比数列的前n 项和公式. 当时，＝当q =1时，复习2：等比数列的通项公式.= .二、新课导学 ◆ 典型例题例1 数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（a ≠0，a ≠1），试证明数列{}n a 是等比数列.变式：已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且142n n S a +=+， 11a =，设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 是等比数列.例2 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，求证：n S ，2n n S S -，32n n S S -也成等比.变式：在等比数列中，已知248,60n n S S ==，求3n S .练2. 求数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，…的前n 项和S n .例3 设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和；例4已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足)1(+-=n n n a S a S （a 为常数，且0,1a a ≠≠）．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n n a S a b ⋅+=2，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；◆ 动手试试练1 等比数列的前n 项和12nn s =-，求通项n a .练2化简：*32,N n a a a a n ∈+⋅⋅⋅+++三、学习小结1. 等比数列的前n 项和与通项关系；2. 等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ，则数列n S ，2n n S S -，32n n S S -也成为等比数列.◆ 当堂检测1.已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ）(A)(C) 6 (D)2在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q≠.若12345m a a a a a a =，则m=（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）124设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a 的值为_______________。

第二章 数列2．3 等比数列（第2课时）15 **学习目标**1．了解等比数列的性质，会用性质解决等比数列的简单问题； 2．能进一步根据等比数列的定义判断或证明一个数列为等比数列． **要点精讲**1．等比数列的性质（1）在等比数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅．注意：m n m n a a a +⋅≠．（2）在等比数列{}n a 中，211n n n a a a +-⋅=；2n k n k n a a a +-⋅=(,,)n k n n k N *-+∈． （3）在等比数列{}n a 中，2112321n n n a a a a a --⋅⋅⋅=，12321()nn n n a a a a a a +⋅⋅⋅=．（4）在等比数列{}n a 中，2,,,,,m m k m k m nk a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅也成等比数列，公比为kq ． 2．数列{}n a 为等比数列的证明方法． （1）定义法：若1nn a a -=常数对任意的整数1n >成立，则数列{}n a 为等比数列； （2）中项法：若211n n n a a a +-⋅=对任意的整数1n >成立，则数列{}n a 为等比数列； （3）通项公式法：若an bn a k m +=⋅(0)k ≠，则数列{}n a 为等比数列．**范例分析**例1．（1）已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，求35a a +； （2）已知{}n a 是等比数列，公比0q <，3734a a +=，4664a a =，求n a ．例2．三个实数6,3,1-排成一行，在6和3之间插入两个实数，3和1-之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个、后三个分别成等差数列，且插入的三个数本身依次成等比数列，那么所插入的这三个数的和可能是：①74；②3；③194；④7．其中正确的序号是 ．例3．在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．例4．已知等比数列{}n a 中，164a =，公比1q ≠，234,,a a a 又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，问：从第几项起0n S <？**规律总结**1．若数列{}n a 是等比数列，则数列{}n ka (0)k ≠是等比数列；2．若数列{}n a 是等比数列，且对任意n N *∈，0n a >，则数列{log }a n a 是等差数列，公差是log a d ；若数列{}n a 是等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列，公差是log a d ；3．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}n ak (0)k >是等比数列，公比是dk ； 4．若数列{}n a 是等比数列，则数列{}k n a ()k R ∈是等比数列，公比是kq ；5．若数列{}n a 、{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b ⋅、{}nna b 是等比数列．**基础训练** 一、选择题1．等比数列{}n a 中，0n a >，344a a =，则2126log log a a +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．某单位某年12月份产量是同年1月份产值的m 倍，那么该单位此年的月平均增长率是（ ）A ．11m B ．12m C ．1 D ．1 3．公比不为1的等比数列{}n a 中，33234122a a a a ⋅⋅⋅⋅=，若8k a =，则k 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．94．若,,a b c 是互不相等的实数，且,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，则::a b c 等于 （ ）A (2):1:4- B 1:2:3 C 2:3:4 D (1):1:3- 5．等比数列{}n a 中，910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于（ ）A ．89a bB ．(a b )9C ．910a bD ．(ab )10二、填空题6．已知()f x 是一次函数，()01f =，且()()()1,2,5f f f 成等比数列，则(3)f =_______．7．数列{}n a 是等比数列，下列四个命题：①2{}na 、2{}n a 都是等比数列；②{ln }n a 都是等差数列；③1{}na 、{||}n a 都是等比数列；④{}n ka 、{}n a k +(0)k ≠都是等比数列．正确的命题是 ．8．若方程052=+-m x x 与0102=+-n x x 的四个实数根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则:n m 的值为________。

一、有关复习复习 1：等比数列的前n项和公式.当时，＝当 q=1 时，复习 2：等比数列的通项公式=二、新课导学◆ 典型例题例 1 数列{ a n}的前 n 项和S n ..a n 1 （a≠0，a≠1），试证明数列{ a n}是等比数列.变式：已知数列 { a n } 的前n项和 S n，且 S n 1 4a n 2 ， a1 1 ，设 b n a n 1 2a n，求证：数列 { b n } 是等比数列.例 2等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别是n ， 2 n， 3 n，求证：n ，SSS S S2 n S n， S3n S2n也成等比.变式：在等比数列中，已知S n48, S2 n60 ，求 S3n .2. 求数列 1， 1+2，1+2+22，1+2+22+23，⋯的前 n 和 S n .例 3 a 常数，求数列a， 2a2， 3a3，⋯， na n，⋯的前 n 和；例4已知数列{ an}的前n 和S n足Sna (Snan1)（a常数，且a 0, a 1）．（Ⅰ）求a n的通公式；（Ⅱ）设bnan2Snan，若数列{b n}为等比数列，求 a 的值；◆ 着手试一试n练 1 等比数列的前 n 项和 s n 21 ，求通项a n .练 2 化简： a a 2 a 3 a n , n N *三、学习小结1. 等比数列的前 n 项和与通项关系；2. 等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别是 S n ， S 2n ， S 3n ，则数列 S n ， S 2 n S n ， S 3n S 2 n 也成为等比数列 .◆ 当堂检测1.已知各项均为正数的等比数列 { a n} ，a 1 a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则 a 4a 5a 6 =（ ）(A)52(B) 7 (C) 6(D)4 22 在等比数列a n中，a11，公比q 1a m a1a2a3a4a5，则 m=（）.若（A）9（B）10（C）11（D）124 设等比数列 { a n } 的公比q 2 ，前n项和为S n，则S4的值为_______________。