配位化学第三章线性代数及群论基础

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y
z′
a a a 31
32
33
z
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恒等操作：
x′
100
x
y′ =
20 1
y
z′
0
z
30 0
1
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σ(x2) :
x′
y′ = z′
100 2 0 -1
0 30 0
1
x
x
y = -y
z
z
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同理可得 i:
-1 0 0
i
0 -1 0
0 0 -1
z = By
(41)
其中B是变换（4）的矩阵，而z是由z1 , z2
… , zp所组成的p行单列矩阵，或p维列向
量。连续施行线性变换（2）与（4）的结
果——变换（21’）与（41）的乘积是以BA
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为其矩阵的线性变换 z=(BA)x
这样，我们用矩阵等式表示法重新证明了线 性变换的性质。
结论：线性变换可以用矩形等式表示，连续施行 线性变换可以用矩阵乘积表示
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第二节 群论基础
一 . 对称操作 1. 对称性、对称操作和对称元素 对称性：经过一种操作不改变其中任何两点间 的距离，而能够复原的性质。 对称操作：使物体作一种运动，完成这种运动 之后，物体的每一点与物体原始取向时的等价点
Y2=a21x1+a22x2+……+a2nxn
(2)
……
Ym=am1x1+am2x2+……+amnxn
称为把变量X 1，X2…Xn换位新变量Y 1，Y2…Ym的线性变 换，其中aij（i =1,2…m; j = 1,2…n)是数。
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5Hale Waihona Puke 把线性变换（2）的系数aij按原有的相对位置 排成一个表就得一个m行n列的矩阵，称为线性变 换（2）的矩阵。
例如：
12 A=
23 4
是一个二级矩阵，
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而行列式
12 23 4 之值等于-2，可以说矩阵A的行列式为-2，记作∣A∣=-2.
线性变换和它的矩阵是密切关联着的。它们之间存在一 一对应的关系。有线性变换（2）的系数唯一的确定一个m 行n列的矩阵A，反之，给定了一个m行n列的矩阵A，就有 唯一的一个以A为它的矩阵的线性变换（2）。
1. 封闭性：A∈G , B∈G 则 AB=C∈G 2. 可结合性：A(BC)=(AB)C , AB=BA
3. 单位元素E存在：E∈G , A∈G EA=AE=A 4. 有逆元素存在：A∈G , 则有A-1 ∈G , AA-1=E
§ 3、线性代数及群论基础
§3.1. 线性代数基础选讲 §3.2. 群论基础 §3.3. 群论应用举例
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§3.1. 线性代数基础选讲
什么是线性代数？
线性（linear），指量与量之间按比例、成直 线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常 数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不 成直线的关系，一阶导数不为常数。
C2(∏)
-1 0 0 0 -1 0
0 0 -1
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化学上常常以原子轨道作为基，当原子轨道的 下标与坐标变量相同时，有共同的对称性。
在四面体场中，x2+y2+z2 s轨道，在平面三 角形(△3h) , x2+y2 s轨道。
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二.群的定义
若干个固定元素的全体，在数学上称为集合， 用符号G {a, b, …}表示。若集合具有下面四条性质 时，则称G构成一个群。
i=1
j=1
j=1 i=1
因此，如果第一个线性变换中新变量的个数等于
第二个线性变换中旧变量的个数，那么连续实行这
两个线性变换的结果（简称两个线性变换的乘积）
还是一个线性变换。如果用C=（Ckj）pxn代表线性 变换（2）与（4）的乘积变换的矩阵，
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那么C元素Ckj就是在Zk的表示式（5）中xi的 系数：
Z2 = 2y1 - y3 + 4y4
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解：把它们的矩阵相乘，得到：
5 -1 3 1 2 0 -1 4
-1 3 0 -2 1 1 3 0 -2 41 2
10 15 -5 =
11 11 10
10
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因此所求线性变换为
Z1=10x1+15x2-5x3 Z2=11x1+10x2+10x3
（或可能是同样的点）相重合。 对称元素：执行对称操作时所依赖的几何要素
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常见的对称操作和对称元素有：
旋转 反映 反演 恒等操作
旋转轴 对称面 对称中心 恒等元素
Cn σ(σh σv) i
E
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2. 对称操作的矩阵表示
OP(x,y,z)
OP′ (x′,y′,z′)
i=1
它的对应矩阵是
(k=1, 2…, p) (4’)
b11 b12 … b1m
B=
b21 b22 … b2m ………………
bp1 bp2 ……bpm
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把（2）中Y 1，Y2…Ym的表示式代入（4’）得到
m
n
nm
Zk=∑bki (∑ aijxj)= ∑(∑ bkiaij)xj (5)
通常用A代表矩阵（3），也可以把矩阵（3）记 作（aij）或（aij）m×n 或 A m×n ，特别如果 m = n， 则称（3）为n级方阵或n级矩阵。
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必须指出
从矩阵与行列式的记号外表来看，它们是很 类似的，但它们是两个完全不同的概念。一般的 说行列式是一个数量，只是为了方便，才把它写 成正方阵列外加两条垂直线的形状，至于阵列， 一般的说，它既不是数也不是一个函数，而是有 某些元素所排成的矩形阵列本身。
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例1.
0 -3 1 21 5 -4 0 -2
3
8
-2 =
14
2
-16
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例2.求出连续施行线性变换
Y1 = -x1+3x2 Y2 = -2x1+ x2+ x3 Y3 = 3x1 - 2x3 Y4 = 4x1+ x2+ 2x3
的结果
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Z1 = 5y1 - y2 + 3y3 + y4 与
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二.矩阵的乘法
当在线性变换（2）之后施行线性变换即连续 施行两个线性变换：
Z1=b11y1+b12y2+……+b1mym
Z2=b21y1+b22y2+……+b2mym ……………
Zp=bp1y1+bp2y2+……+bpmym
（4）
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m
或 ZK= ∑bkiyi
x′= ρ cos(Ф′＋Ф) = ρ (cosФ′cosФ－sinФ′ sinФ) = cosФ′x－ sinФ′ y
y′= ρ sin(Ф′＋Ф) = ρ(sinФ′cosФ ＋ cosФ′ sinФ) = sinФ′x ＋ cosФ′y
z′= z
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用矩阵表示为：
x′
cosФ′ -sinФ′ 0
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的乘积BA。
41 0
5 -1 1 3
62 0 1
71 3 4
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解：因为矩阵B是二行四列的，矩阵A是四 行三列的，所以乘积BA有意义，它是二行 三列的矩阵。其乘积：BA=C=（cij）2×3的 元素，据公式（6）有：
C11=b11a11+b12a21+b13a31+b14a41 =1x4+0x(-1)+3x2+(-1)x1=9
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C12=b11a12+b12a22+b13a32+b14a42 =1x1+0x1+3x0+(-1)x3 =-2
C13=b11a13+b12a23+b13a33+b14a43 =1x0+0x3+3x1+(-1)x4=-1
C21=...............................=9 C22=...............................=9 C23=...............................=11
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1.线性变换和线性变换的矩阵
在解析几何中，如图1把向量OP=(x，y)变为另一个向量
OP’=(x’，y’)或把点P (x，y)变为另一个点P’ (x’，y’)，即在
平面上绕原点O做角度α的旋转变换，此时新变量(x’，y’)与
旧变量的关系为：
X’=X cos a + Y sin a (1)
x′= a11x + a12y + a13z y′= a11x + a12y + a13z z′= a11x + a12y + a13z
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x
z
θγ
Oφo
P'（x'， y ' ，z ' ） P（x，y，z）