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公路机动车底盘：乘用车悬挂系统的非线性响应分析车辆悬挂系统是乘用车底盘的重要组成部分，它对于车辆的行驶稳定性、舒适性以及操控性能起着重要的作用。
在实际行驶过程中，乘用车底盘所受到的复杂道路激励会引发非线性响应，因此对悬挂系统的非线性响应进行分析和研究具有重要意义。
乘用车悬挂系统的非线性响应主要是指在道路激励下，悬挂系统的动态行为发生的非线性变化。
通常情况下，悬挂系统的非线性响应包括悬挂刚度非线性、磁滞阻尼非线性、摩擦阻尼非线性以及传动系统非线性等。
首先，悬挂刚度非线性是乘用车悬挂系统中常见的一种非线性响应。
悬挂系统的刚度通常可分为线性和非线性两种情况。
当悬挂系统的刚度随着车辆偏载、车速、路面不平度等因素的变化而发生时，就出现了悬挂刚度的非线性响应。
这种非线性响应会导致乘用车在通过不同道路条件时产生不同的悬挂变形和响应。
其次，磁滞阻尼非线性也是乘用车悬挂系统中一种常见的非线性响应。
磁滞阻尼器在运动过程中会受到不同的速度和位移变化引起的力的作用，从而产生磁滞阻尼力。
这种阻尼力的大小和方向都与速度和位移的变化相关，因此磁滞阻尼器的响应是非线性的。
当乘用车经过复杂路况时，磁滞阻尼非线性会对车辆的悬挂系统产生显著影响。
除了悬挂刚度非线性和磁滞阻尼非线性外，乘用车悬挂系统还会受到摩擦阻尼非线性的影响。
摩擦阻尼非线性通常是由摩擦器件（如轮胎与路面之间的摩擦）产生的。
在高频道路激励下，摩擦阻尼非线性会对车辆的悬挂系统产生显著影响，引发车辆的抖动和不稳定性。
最后，乘用车悬挂系统中的传动系统也可能产生非线性响应。
传动系统非线性主要体现在传动轴的弯曲、轴承的摩擦和间隙等因素上。
这些非线性因素会对乘用车底盘的行驶稳定性产生重要的影响。
针对悬挂系统的非线性响应，研究人员通过实验和理论分析方法进行相关研究。
研究中，可以通过加装传感器等实验手段，采集车辆在不同路况下的响应数据，并进行模拟和仿真分析。
另外，建立悬挂系统的数学模型，结合动力学方程和控制算法，可以对非线性响应进行理论分析和预测。
《偏磨状态盘式制动器摩擦振动非线性动力学分析》一、引言盘式制动器是现代机械系统中常见的关键部件，其性能的稳定性和可靠性直接关系到整个系统的安全性和稳定性。
然而，在实际使用过程中，由于各种因素的影响，盘式制动器常常会出现偏磨状态，导致摩擦振动问题。
这种非线性的摩擦振动现象不仅会降低制动器的使用寿命，还可能引发严重的安全事故。
因此，对偏磨状态下的盘式制动器摩擦振动非线性动力学进行分析具有重要的理论意义和实际应用价值。
二、偏磨状态下的盘式制动器偏磨状态下的盘式制动器主要表现为制动盘与制动块之间的不均匀磨损。
这种不均匀磨损往往是由于制动系统的不对称性、制动过程中的热效应、制动材料的硬度差异等因素引起的。
偏磨状态下的盘式制动器在工作过程中会产生复杂的摩擦振动现象，这涉及到多物理场耦合、非线性动力学等多个领域的知识。
三、摩擦振动的非线性动力学分析对于偏磨状态下的盘式制动器摩擦振动非线性动力学分析，主要从以下几个方面进行：1. 建模与分析方法的建立：根据盘式制动器的结构特点和工作原理，建立合理的数学模型。
这个模型应能够反映制动过程中各部件的相互作用以及摩擦振动的产生机制。
同时，采用合适的分析方法，如有限元法、多尺度法等，对模型进行求解和分析。
2. 摩擦振动的产生机制：分析偏磨状态下盘式制动器摩擦振动的产生机制。
这包括研究制动过程中各部件的应力分布、热效应、材料磨损等因素对摩擦振动的影响。
通过深入分析这些因素，可以更好地理解摩擦振动的产生原因和变化规律。
3. 非线性动力学特性的研究：研究偏磨状态下盘式制动器的非线性动力学特性。
这包括分析系统的稳定性、分岔、混沌等动力学行为。
通过这些研究，可以揭示系统在不同条件下的运动规律和响应特性。
4. 实验验证与结果分析：通过实验对理论分析结果进行验证。
这包括设计合理的实验方案、制备实验装置、进行实验测试等。
通过对比实验结果和理论分析结果，可以评估理论分析的准确性，并进一步优化模型和分析方法。
干摩擦振子的动力学干摩擦振子是一种具有特殊运动特性的振动系统。
它的动力学主要受到干摩擦力的影响，因此被称为干摩擦振子。
本文将从干摩擦振子的定义、动力学方程、振动特性等方面进行介绍和分析。
干摩擦振子是指一个在平面上运动的物体，其运动受到干摩擦力的作用。
干摩擦力是指两个物体在接触面上相对滑动时产生的摩擦力，与速度方向相反。
在干摩擦振子中，摩擦力的大小与速度成正比，且不超过静摩擦力的最大值。
干摩擦振子的动力学方程可以通过运动学原理和牛顿第二定律推导得到。
假设干摩擦振子的质量为m，位移为x，速度为v，摩擦系数为μ，则动力学方程可以写作：m·a = -k·x - μ·m·g·sgn(v)其中，a为加速度，k为振子的恢复力系数，g为重力加速度，sgn(v)为v的符号函数，用来表示速度的正负方向。
这个动力学方程描述了干摩擦振子在运动过程中受到的力的平衡关系。
其中，恢复力项k·x表示振子的回复性，与振子偏离平衡位置的位移成正比；摩擦力项-μ·m·g·sgn(v)则表示干摩擦力的作用，其大小与速度成正比，方向与速度相反。
这两个力的叠加决定了振子的运动状态。
干摩擦振子的振动特性与振动系统的参数有关。
对于给定的质量m 和振子长度L，恢复力系数k和摩擦系数μ将决定振子的振动频率和阻尼特性。
当摩擦系数为零时，振子将无阻尼地以自然频率振动；当摩擦系数增加时，振子的振动将逐渐减弱，最终停止在平衡位置上。
干摩擦振子还存在一种特殊的振动现象，称为滞回现象。
滞回现象是指当振子受到周期性外力驱动时，其位移-时间曲线不再是单调的正弦波形，而是出现了一种非线性的现象。
这是因为干摩擦力的作用导致了振子在周期性外力驱动下的不稳定性，使得振子的振幅和相位与驱动力的幅值和频率有关。
干摩擦振子的动力学研究不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
非线性振动系统的动力学模拟和分析一、引言非线性振动系统是实际工程中经常遇到的一种振动模式，其动力学行为与线性振动系统有很大不同。
为了解决实际问题，需要对非线性振动系统进行深入研究，进一步分析其动力学行为。
本文将着重介绍非线性振动系统的动力学模拟和分析方法，并结合具体实例进行讲解。
二、基本概念1. 非线性振动系统非线性振动系统是指其运动方程中含有非线性项的振动系统。
其动力学行为与线性振动系统有很大不同，例如出现分岔、混沌等现象。
2. 动力学模拟动力学模拟是通过计算机模拟的方法研究动力学系统的行为。
它可以帮助我们深入理解非线性系统的物理现象，预测系统的行为以及设计系统的参数。
三、非线性振动系统动力学模拟方法1. 常微分方程方法其基本思路是通过建立非线性振动系统的运动方程，并运用数值分析方法进行求解。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程，可以将其展开为泰勒级数的形式，如下：$$f(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$$将运动方程离散化后，可以利用数值分析方法，如欧拉法、隐式欧拉法等，进行求解。
2. 辛普森法辛普森法是一种常用的非线性振动系统动力学模拟方法。
其基本思路是利用曲面的形状来逼近曲线，进而求解非线性振动系统的运动方程。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程。
将运动方程离散化后，可以利用辛普森法进行求解。
3. 傅里叶级数方法其基本思路是将一个非线性振动系统的运动方程分解为一系列线性微分方程的和，进而用傅里叶变换的方法求解。
假设非线性振动系统的运动方程为：$$\frac{d^2x}{dt^2}+f(x)=0$$其中，$x$为系统的位移，$f(x)$为非线性运动方程。
将运动方程展开为傅里叶级数的形式后，可以用傅里叶变换求解。
Journal of Mechanical Strength2023,45(5):1065-1071DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.05.008∗20211024收到初稿,20211209收到修改稿㊂甘肃省科技计划项目(20JR5RA424)资助㊂∗∗马㊀硕,男,1996年生,河南虞城人,汉族,兰州交通大学硕士研究生,研究方向为非线性动力学㊂∗∗∗朱喜锋(通信作者),男,1980年生,河南虞城人,汉族,兰州交通大学副教授,硕士研究生导师,主要研究方向为非线性动力学㊂含干摩擦及非线性约束碰撞系统的动力学特性∗DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A COLLISION SYSTEM WITHDRY FRICTION AND NONLINEAR CONSTRAINTS马㊀硕∗∗1㊀朱喜锋∗∗∗1,2㊀王剑锋3(1.兰州交通大学机电工程学院,兰州730070)(2.甘肃省轨道交通装备系统动力学与可靠性重点实验室,兰州730070)(3.包头铁道职业技术学院铁道机车车辆系,包头014060)MA Shuo 1㊀ZHU XiFeng 1,2㊀WANG JianFeng 3(1.School of Mechanical Engineering ,Lanzhou Jiaotong University ,Lanzhou 730070,China )(2.Key Laboratory of System Dynamics and Reliability of Rail Transport Equipment of Gansu Province ,Lanzhou 730070,China )(3.Department of Railway Locomotive and Car ,Baotou Railway Vocational and Technical College ,Baotou 014060,China )摘要㊀研究了一类单自由度含干摩擦及非线性约束机械碰撞振动系统,通过四阶变步长Runge-Kutta 数值算法,分析了该机械振动系统在低频激励下产生的p /1周期运动的动力学特性及其转迁规律,采用多参数协同仿真的方法分析了系统参数对该振动模型动力学特性的影响,揭示了Grazing 分岔和Saddle-node 在p /1周期运动中的频率迟滞特性以及共存吸引子的范围㊂最后,结合胞映射法研究了多态共存区内不同吸引子及吸引域的分布情况及其转迁规律㊂研究结果表明,随着激振频率的减小,Grazing 分岔会使p /1周期运动的碰撞次数逐步增加直至发生颤碰运动,而且由于相邻周期运动的不可逆性,在迟滞域内改变不同的初值会得到不同的周期运动共存㊂关键词㊀颤碰㊀非线性约束㊀分岔㊀吸引子共存㊀多参数协同中图分类号㊀O322㊀㊀㊀㊀Abstract ㊀A type of single-degree-of-freedom mechanical impact vibration system with dry friction and nonlinear constraintsis studied.Through the fourth-order variable step Runge-Kutta numerical algorithm,the dynamics of the mechanical vibrationsystem generated by the low-frequency excitation of the p /1periodic motion are analyzed.The effect of system parameters on the dynamic characteristics of the vibration model is analyzed by the method of multi-parameter co-simulation,and the frequencyhysteresis characteristics of Grazing bifurcation and Saddle-node in p /1periodic motion are revealed.And the range of coexistence attractors.Finally,combined with the cell mapping method,the distribution of different attractors and attractingdomains in the polymorphic coexistence area and their transition laws are studied.The research results show that the Grazingbifurcation with the decrease of the excitation frequency,the number of collisions of the p /1periodic motion will graduallyincrease until the flutter motion occurs,and due to the irreversibility of adjacent periodic motion,changing different initial values in the hysteresis domain will result in different periodic motions coexisting.Key words ㊀Chattering-impact motion ;Non-linear constraints ;Bifurcation ;Attractors coexistence ;Multi-parameter coordinationCorresponding author :ZHU XiFeng ,E-mail :zhuxf @ ,Tel :+86-931-4938043,Fax :+86-931-4938043The project supported by the Science and Technology Plan of Gansu Province (No.20JR5RA424).Manuscript received 20211024,in revised form 20211209.0㊀引言㊀㊀在实际生产中,许多工业机械设备和精密仪器都会存在间隙㊂而由于间隙与零部件之间摩擦的存在,在机械设备的使用过程中,设备㊁零部件间会发生碰撞㊀1066㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀振动,对机械设备造成伤害,进而影响机械设备的正常使用㊂王同慧等[1]结合数值仿真及Poincar 映射方法研究了在含有干摩擦㊁间隙和刚性约束情况下的碰撞振动系统的动力学特性㊂朱喜锋等[2]在胞映射法的基础上提出了多参数协同仿真的方法,研究了两自由度在弹性约束下碰撞振动系统的动力学特性㊂侍玉青等[3]建立了带有间隙-刚性约束及弹性约束的振动系统,通过多目标㊁多参数协同仿真分析研究了迟滞域与舌形域的形成和分布特征,以及舌形域内亚谐冲击运动的模式类型和规律特征,分析了基本周期冲击振动向非完整和完整颤冲击振动的转迁过程㊂李得洋等[4]通过胞映射法并结合Lyapunov指数分析了一类单自由度含干摩擦和间隙碰撞振动系统相邻周期的非光滑分岔的转迁规律㊂丁杰等[5]通过胞映射法研究了单自由度碰撞振动系统在双侧存在不同约束情况下的周期运动和转迁规律㊂吕小红等[6]以两自由度含间隙碰撞振动系统为研究对象,揭示了奇异点的二重擦边和倍化-鞍结余维二分岔特征㊂卢绪祥等[7]建立了含对称间隙结构的碰撞振动动力学模型,基于广义Hertz接触理论,采用四㊁五阶Runge-Kutta法研究了该模型的非线性振动特性㊂吴丹等[8]建立了一类含干摩擦对称间隙的弹性碰撞振动系统的动力学模型,分析并推导了系统运动中黏着㊁滑动和碰撞运动的衔接关系及判断条件,并结合Lyapunov指数分析了该系统的稳定性㊂李国芳等[9]通过双参数域的方式研究了一类驱动系统的平均速度分布图,并得到了系统参数的最佳范围㊂徐伟等[10]介绍了与非线性随机动力学研究密切相关的几类胞映射方法的研究和进展,简述了胞映射方法在随机动力学中的应用情况,重点介绍了随机响应㊁分岔㊁离出和碰撞振动系统,并给出了胞映射方法面临的挑战,以及未来研究可能的发展方向㊂王世俊等[11]建立了含多刚性约束的两自由度碰撞振动系统的力学模型,通过多目标㊁多参数协同仿真,在多参数平面得到了系统周期运动的模式类型和分布区域,分析了舌状转迁域内亚谐碰撞振动的类型和形成机制㊂尹凤伟等[12]建立了两自由度含间隙碰撞振动系统,通过多参数协同仿真方法研究了该系统在低频区内多种周期振动模式类型的转迁特征㊂丁旺才等[13-14]建立了单自由度含间隙和干摩擦的碰撞振动系统的动力学模型,并利用半解析㊁数值模拟等方法给出了判定系统黏滑碰撞准则,并分析了其非线性动力学行为㊂目前,国内外学者对于同时含有干摩擦和非线性约束的碰撞振动系统的颤碰运动及转迁规律的研究较少㊂本文建立单自由度含非线性约束和干摩擦的动力学模型,通过Poincarè映射方法及胞映射法,分析了该碰撞振动系统各周期运动的转迁规律,以及吸引子共存现象㊂1 力学模型及微分运动方程㊀㊀本文建立了一类单自由度含非线性约束和干摩擦的碰撞振动系统的动力学模型,如图1所示,质量为M 的物块放置在速度恒为V0的传送带上,物块由刚度为K的线性弹簧和阻尼系数为C的线性阻尼连接,作用在该物块上的简谐激振力为P sin(ΩT+τ),其所受摩擦力为F u㊂当激振力振幅较小时,系统是只含有干摩擦的机械振子㊂当激振力振幅逐渐增大,使X等于B 时,物块M与固定在右侧的非线性约束发生碰撞㊂随着位移的不断增大,连杆的夹角不断变化,其恢复力也会随之变化,会使该碰撞振动系统出现丰富的力学特性㊂同时,由于摩擦力的存在,在物块运输过程中,可能出现物块黏滞于传送带上,并且随着传送带一起运动的情况,即除摩擦力以外的合力小于最大静摩擦力㊂当合力大于最大静摩擦力时,物块又会由黏滞运动变为在传送带上的纯滑动,这一现象是由于干摩擦引起的非光滑特性,也会出现丰富的力学特性㊂图1㊀单自由度动力学模型Fig.1㊀Single degree of freedom dynamic model如图2所示,该约束为一个刚度系数为K0的弹簧嵌入一个菱形的连杆机构,对于菱形的四连杆机构,由四根相同的刚性杆ab㊁bc㊁cd㊁da组成,假设本文中连杆机构的质量忽略不计㊂当物块M与约束未发生碰撞时,见图2(a);当物块M与约束发生碰撞时,见图2(b);此时,弹簧K0所受力为F s=2(L sinθ-L sinθ0)K0=2(L2-(Z0-ΔZ2)2-L sinθ0)K0(1)式中,L为杆长;θ0为连杆机构未发生碰撞时的角度; Z0为未碰撞时连杆机构的水平宽度;L s为刚度系数为K0的弹簧的初始长度㊂根据从连杆机构的几何关系和力平衡条件可得到,物块在接触时受到的恢复力F a为F a=F s cosθsinθ=2(L sinθ-L sinθ0)K0cosθsinθ(2)㊀㊀由力学分析可得该碰撞模型的动力学方程为MX㊆+CX㊃+KX+F(X)+Fu=P sin(ΩT+τ)㊀X<B(3)㊀第45卷第5期马㊀硕等:含干摩擦及非线性约束碰撞系统的动力学特性1067㊀㊀图2㊀非线性约束图Fig.2㊀Non-linear constraints diagram 其中,F u=μMg X㊃>V[-μMg,μMg]X㊃=V0-μMg X㊃<V0ìîíïïïïïï(4)图3㊀三维平面系统分岔图Fig.3㊀Three-dimensional planar system bifurcation diagram㊀㊀为了使该模型在分析时更具一般性,引入下列无量纲量:T t =MK,X x=P K,ω=ΩM K,ξ=C2MK,V0 v0=PMK,f u=μMg P,b=KB P,f(x)=F(X)P(5)㊀㊀得其无量纲方程为x㊆+2ξx㊃+x+f f+f(x)=sin(ωt+τ)㊀x<b(6)其中,f f=f u x㊃>v0[-f u,f u]x㊃=v0-fux㊃<v0ìîíïïïïï(7)f(x)=μk1-μk0Δl s/tanθx>δ0xɤδìîíïïïï(8)㊀㊀用q=p/n表示系统的亚谐运动与周期,p=1,2, 表达碰撞次数,n=1,2, 表达周期数,同时选择物块碰撞前瞬间状态量建立Poincarè映射,σp={(x,x㊃,t)ɪR2T,x=b,x㊃>0},Poincarè映射可以表示为X(i+1)=f[v,X(i)](9)式中,XɪR2;vɪR m是实参数;X(i)=(x(i),x㊃(i),τ(i))T;X(i+1)=(x(i+1),x㊃(i+1),τ(i+1))T㊂2 低频下碰撞系统的动力学特性㊀㊀如图3所示,当碰撞系统基准参数改变时,该碰撞系统的力学特性也会随着改变㊂图3(a)为参数域为(ω,ξ)的平面系统分岔图,可知随着阻尼比ξ的增大,激振频率增大,其力学特性由复杂趋向于单一㊂图3(b)为参数域为(ω,δ)的平面系统分岔图,可知力学特性在小间隙下较为丰富㊂选取参数b=0.05,f u=0.1,ξ=0.05,θ0=π/4,l= 2,v0=0.1,通过数值计算可得到分岔图,如图4所示㊂其中,横坐标为激振频率ω,纵坐标x㊃为物块M碰撞前的速度,G p/n表示从p/n运动进入下一个运动窗口的擦边分岔㊂选择激振频率ω作为分岔参数㊂由图5可知,当ω在(0.814,0.9096)时为1/1周期运动,随着ω减小至0.81367时发生擦边分岔㊂见图5(a),物块的碰撞运动由1/1周期运动变为2/1周期运动,ω继续减小,2/1运动会经历倍化㊁逆倍化分岔出现4/2周期运动,当ω=0.56643时碰撞块再次发生擦边分岔,2/1周期运动变为3/1周期运动㊂见图5(b),ω继续减小,3/1周期运动在ω=0.469782时发生擦边分岔进入4/1运动㊂见图5(c),ω减至0.4252570时4/1周期运动发生擦边分岔,变为5/1周期运动㊂见图5(d),随着ω继续减小,由5/1运动擦边进入6/1运动㊂见图5(e),再由6/1运动擦边进入7/1运动㊂见图5(f),最后变为颤碰运动㊂可知,随着频率的减小,p/1运动通过擦边分岔产生(p+1)/1周期运动,当碰撞次数增大到一定次数之后将产生Chatting-impact现象,随着ω减小,系统由㊀1068㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀图4㊀分岔图Fig.4㊀Bifurcationdiagrams图5㊀擦边运动图Fig.5㊀Grazing contact diagrams1/1周期运动至颤碰运动转迁规律如图4所示㊂其中,p ~/1表示颤碰运动,GBif 表示Grazing 分岔㊂ωˌ:p ~/1GBif ѳ GBif ѳ(p +1)/1GBif ѳp /1GBifѳGBifѳ3/1GBifѳ2/1GBifѳ1/13 迟滞域及吸引子共存研究㊀㊀在不改变上述基本参数的情况下,以激振频率ω作为分岔图参数,对其进行增减求解,如图6所示㊂其中,红色实线代表激振频率ω减小时的分岔图;蓝色实线代表激振频率ω增大时的分岔图;S p /n 表示随着ω增加,p /n 周期运动碰撞次数p 减少一次,产生(p -1)/n 周期运动的Saddle-node 分岔㊂图6㊀频率迟滞图Fig.6㊀Frequency hysteresis diagram由图6可以观察到,激振频率ω减小和激振频率ω增大时,发生Grazing 分岔和Saddle-node 分岔的激㊀第45卷第5期马㊀硕等:含干摩擦及非线性约束碰撞系统的动力学特性1069㊀㊀振频率ω不同且Saddle-node分岔的激振频率比Grazing分岔大,由于分岔点的位置不同导致了相邻周期运动的不可逆,因此在p/1运动和(p-1)/1运动之间会产生迟滞域,如图7所示,其中FH p/1表示产生相应周期运动的迟滞域㊂由图7可知,在以激振频率ω为参数的频率迟滞域内存在多个吸引子共存的现象㊂图8给出了在FH p/1迟滞域内,当确定激振频率时,改变不同的初始值,会得到(p+1)/1运动和p/1运动的相图,当ω=0.4701时,改变初始值,会得到3/1和4/1周期运动,见图8(a),其中虚线代表3/1周期运动,实线代表4/1周期运动㊂当ω=0.4258时,改变初始值,会得到4/1和5/1周期运动,见图8(b)㊂图7㊀频率迟滞域局部图Fig.7㊀Enlarged view of frequency hysteresisdomain图8㊀共存吸引子相图Fig.8㊀Phase diagrams of coexistence attractors㊀㊀为了进一步研究周期共存区内不同吸引子和吸引域的分布情况,根据胞映射法选取初态域O=x1,x㊃1()|{-2<x1<1,-1<x㊃1<1}并将其划为400ˑ400个状态胞,如图9所示㊂该图表示3/1周期运动与4/1周期运动的演化过程,两种周期运动分别由不同的颜色表示,可以看出当ω=0.46975时系统主要为4/1周期运动㊂随着激振频率的增大,即当ω=0.46984,ω=0.46995,ω=0.47013,ω=0.4704,ω=0.47052时,3/1周期运动的比例会逐渐增大即3/1周期运动的稳定性在此激振频率的区域内会逐渐大于4/1周期运动,如图9所示㊂图10为系统不同激振频率ω所对应的不同周期运动的系统吸引域分布图㊂其中,图10(a)为ω=0.42557时系统的吸引域分布图,可以看出4/1周期运动所占初态域的面积小于5/1周期运动,故5/1周期运动的稳定性大于4/1周期运动;图10(b)为ω=0.402437时系统的吸引域分布图,其中5/1周期运动嵌套于6/1周期运动之间,且5/1周期运动的稳定性小于6/1周期运动;图10(c)为ω=0.3882时系统的吸引域分布图,其中6/1周期运动通过擦边分岔变为7/1周期运动并在此初态域内共存,且7/1周期运动所占初态域的面积大于6/1周期运动,可知在此激振频率下7/1周期运动的稳定性要高于6/1周期运动㊂4 结论㊀㊀本文建立了一类单自由度含干摩擦和非线性约束的碰撞振动模型,研究了以激振频率为参数情况下该模型的运动状态及动力学特性,得出结论如下:1)随着激振频率的减小,该碰撞振动系统的运动会发生Grazing分岔,导致系统碰撞次数p增加,使p/1运动转化为(p+1)/1运动,同时随着激振频率的增加,该系统会发生Saddle-node分岔,使碰撞次数p减少,㊀1070㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀图9㊀3/1与4/1周期运动吸引域分布图Fig.9㊀3/1and 4/1periodic motion attraction distribution map ofarea图10㊀吸引域分布图Fig.10㊀Distribution map of attraction area使(p +1)/1运动变为p /1运动㊂2)改变系统的基准参数会使系统的力学特性发生改变,随着阻尼比ξ的增大,系统的力学特性会由复杂变得单一,同理该碰撞系统在小间隙下力学特性较为丰富㊂3)Grazing 分岔和Saddle-node 分岔之间会存在一个频率迟滞域,由于相邻周期转迁运动的不可逆性,相邻周期运动之间会产生吸引子共存现象㊂4)随着激振频率的减小,部分p /1运动发生Grazing 分岔进入(p +1)/1运动;当激振频率足够小时会产生颤碰运动,且由于干摩擦的存在,该碰撞系统的某些p /1运动窗口会产生摩擦黏滞的现象,使系统产生黏-滑-碰运动等动力学行为㊂参考文献(References )[1]㊀王同慧,朱喜锋.含干摩擦振动系统的共存吸引子与亚谐碰撞运动研究[J].兰州交通大学学报,2019,38(2):121-125.WANG TongHui,ZHU XiFeng.Research on coexisting attractorsand subharmonic collision motions of dry frictional vibration system[J].Journal of Lanzhou Jiaotong University,2019,38(2):121-125(In Chinese).[2]㊀朱喜锋,罗冠炜.两自由度含间隙弹性碰撞系统的颤碰运动分析[J].振动与冲击,2015,34(15):195-200.ZHU XiFeng,LUO GuanWei.Vibration motion analysis of a two-degree-of-freedom elastic collision system with gaps[J].Journal ofVibration and Shock,2015,34(15):195-200(In Chinese).[3]㊀侍玉青,杜三山,尹凤伟,等.带有双侧刚性约束的两自由度振动系统的动力学分析[J].振动与冲击,2019,38(14):37-47.SHI YuQing,DU SanShan,YIN FengWei,et al.Dynamic analysis of a two-degree-of-freedom vibration system with bilateral 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single-degree-of-freedom impact vibration system withclearance and dry friction[J].Journal of Vibration and Shock,2008(7):102-105(In Chinese).。
机械系统动力学模型的非线性分析方法一、引言机械系统动力学模型的非线性分析方法是研究机械系统中复杂非线性行为的重要手段。
在实际工程中，机械系统往往存在着多种非线性现象，如摩擦、接触、间隙、变刚度等，这些非线性行为对系统的稳定性和动态响应产生重要影响。
因此，研究机械系统的非线性特性对于工程设计及系统优化具有重要意义。
二、基础理论机械系统动力学模型的非线性分析方法建立在基础理论的基础上。
其中，最基本的理论是非线性动力学理论，包括非线性振动理论、混沌理论等。
非线性振动理论研究了机械系统在非线性激励下出现的振动现象，而混沌理论则研究了非线性系统中存在的混沌现象。
三、非线性摩擦模型摩擦是机械系统中常见的非线性现象，对系统的运动性能和能量传递产生显著影响。
研究摩擦现象的非线性分析方法包括多种摩擦模型，如Coulomb摩擦模型、Dahl摩擦模型等。
这些模型可以定量描述摩擦力与相对运动速度之间的关系，并应用于动力学分析中。
四、非线性接触力模型在机械系统中，接触是一种常见的非线性现象，对系统运动和力学行为具有重要影响。
非线性接触力模型包括Hertz接触模型、Köhler接触模型等，可用于描述接触区域的应力分布、接触刚度等参数，进而分析系统的振动特性和接触行为。
五、非线性间隙模型间隙是机械系统中一种常见的非线性现象，广泛存在于传动系统、液压系统等领域。
非线性间隙模型用于描述机械系统中间隙对动力学响应的影响，常用的模型包括Hunt-Crossley模型、Berg模型等。
这些模型可以描述间隙位置、间隙力与系统响应之间的关系，为系统动力学行为的分析提供基础。
六、非线性变刚度模型变刚度是机械系统中的一种常见非线性现象，常见于弹性元件或柔性结构。
非线性变刚度模型可用于描述刚度随位移或载荷变化而发生变化的情况，如软弹簧、受压弯曲杆件等。
基于变刚度模型的非线性分析方法可以研究系统的振动特性和稳定性。
七、非线性分析方法在机械系统动力学模型的非线性分析中，常用的方法包括数值模拟方法、摄动法、变分法等。
惯性力惯性系:相对于地球静止或作匀速直线运动的物体非惯性系:相对地面惯性系做加速运动的物体平动加速系:相对于惯性系作变速直线运动,但是本身没有转动的物体.例如:在平直轨道上加速运动的火车转动参考系:相对惯性系转动的物体.例如:转盘在水平面匀速转动惯性力：指当物体加速时，惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该物体为坐标原点，看起来就彷佛有一股方向相反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。
因为惯性力实际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因此惯性力又称为假想力。
当系统存在一加速度a时，则惯性力的大小遵从公式：F=-ma例如，当公车煞车时，车上的人因为惯性而向前倾，在车上的人看来彷佛有一股力量将他们向前推，即为惯性力。
然而只有作用在公车的煞车以及轮胎上的摩擦力使公车减速，实际上并不存在将乘客往前推的力，这只是惯性在不同坐标系统下的现象注意：惯性力和离心力一样，是没有施力物体的，所以从力的要素来看，是不存在这样的力的。
那么为什么要有这样一个概念呢？简单一点讲是为了满足牛顿运动定律在非惯性系中的数学表达形式不变而引入的。
所谓非惯性系，简单一点将就是做变速运动的参考系。
所以说到底，所谓惯性力和离心力就是在一个加速运动的参考系中观察到的物体惯性的表达形式，是为了计算方便而人为引入的一个概念。
ANSYS中的动力学分析1动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和阻尼起重要作用时的结构或构件动力学特性的技术。
2“动力学特性”可能指的是下面的一种或几种类型-振动特性：结构振动方式和振动频率-随时间变化载荷的效应（例如：对结构位移和应力的效应）-周期（振动）或随机载荷的效应3动力学分析类型-模态分析：确定结构的振动特性-瞬态动力学分析：计算结构对时间变化载荷的响应-谐响应分析：确定结构对稳态简谐载荷的响应-谱分析：确定结构对地震载荷的响应-随机振动分析：确定结构对随机震动的影响动力学基本概念和术语包括：通用运动方程；求解方法；建模要考虑的因素；质量矩阵；阻尼1 通用运动方程其中：[M]=结构质量矩阵[C]=结构阻尼矩阵[K]=结构刚度矩阵{F}=随时间变化的载荷函数{u}=节点位移矢量{u}=节点速度矢量{u}=节点加速度矢量-模态分析：设定F(t)=0，而矩阵[C]通常被忽略-谐响应分析：假设F(t)和u(t)都是谐函数，如X*sin(ωt)，其中X是振幅，ω是单位为弧度/秒的频率-瞬态动力学分析：方程保持上述的形式2 求解方法-模态叠加法：确定结构的固有频率和模态，乘以正则化坐标，然后加起来用以计算位移解。
车辆悬挂系统的非线性特性分析与控制车辆悬挂系统是车辆运动学和动力学性能的重要组成部分。
传统的线性控制方法针对车辆悬挂系统往往难以满足实际的控制需求，因为悬挂系统具有显著的非线性特性。
因此，本文将对车辆悬挂系统的非线性特性进行分析，并提出相应的控制方法。
一、非线性特性的表现形式车辆悬挂系统的非线性特性主要表现在以下几个方面：1. 阻尼特性的非线性：车辆悬挂系统的阻尼特性随着行程变化呈非线性变化。
在小行程范围内，阻尼力随位移的增加呈线性变化；但在大位移范围内，阻尼力的增加速度减缓，呈非线性变化。
2. 弹簧刚度的非线性：车辆悬挂系统的弹簧刚度也随行程的变化而变化。
在小行程范围内，弹簧刚度随位移的增加基本保持不变；但在大行程范围内，弹簧刚度随位移的增加逐渐减小，呈非线性变化。
3. 悬挂系统的干摩擦力：车辆悬挂系统中存在着干摩擦力，其大小与悬挂行程的方向变化有关。
干摩擦力会导致悬挂系统的非对称性和非线性特性，进而影响车辆的稳定性和悬挂系统的控制效果。
二、非线性特性的影响车辆悬挂系统的非线性特性对车辆的运动稳定性和乘坐舒适性都具有重要影响。
1. 运动稳定性：非线性特性可能引起悬挂系统在行驶过程中出现跳动、抖动等现象，进而影响车辆的稳定性和行驶安全性。
2. 乘坐舒适性：非线性特性使得悬挂系统难以在不同行程范围内提供恰当的减震效果，从而影响乘坐的舒适性和悬挂系统的振动控制效果。
三、非线性特性的控制方法针对车辆悬挂系统的非线性特性，可以采用以下几种控制方法：1. 非线性控制器设计：基于非线性特性的具体表现形式，设计适应于车辆悬挂系统的非线性控制器。
可以采用神经网络、滑模控制等方法来提高悬挂系统的控制性能。
2. 自适应控制：通过在线辨识悬挂系统的非线性特性参数，并实时调整控制策略，使得控制器具有较强的适应性和鲁棒性。
3. 模糊控制：利用模糊逻辑来处理悬挂系统中存在的不确定性，设计模糊控制器来实现对非线性特性的控制。
第23卷 第2期岩石力学与工程学报 23(2)：252～2552004年1月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Jan.，20042002年5月27日收到初稿，2002年8月20日收到修改稿。
作者 邱泽华 简介：男， 43岁，1982年毕业于北京大学地质系地震地质专业，现为博士研究生、副研究员，主要从事地球动力学、地震、地壳构造用力矩模型解释摩擦试验加载过程中的非线性变化邱泽华 张宝红(中国地震局地壳应力研究所 北京 100085)摘要 应用考虑力矩的弹簧-滑块-平面模型，对摩擦试验加载过程中的非线性变化进行了分析。
结果表明，当加载过程进行到一定程度时，因力矩的作用而出现的剪应力分布的调整，将造成滑动发生前的力-位移曲线的非线性变化。
关键词 岩石力学，地震，摩擦试验，力矩，非线性变化分类号 TU 458+.3，P315.75 文献标识码 A 文章编号 1000-6915(2004)02-0252-04THEORETIC STUDIES ON NONLINEARITY IN LOADING PROCESS OFFRICTIONAL EXPERIMENTS WITH MOMENT CONSIDEREDQiu Zehua ，Zhang Baohong(Institute of Crustal Dynamics ，China Seismological Bureau ， Beijing 100085 China )Abstract The nonlinearity in loading process of frictional tests is discussed by using 3D spring-rider-flat model with moment considered. Due to the moment of driving force ，the normal stress on the flat does not distribute uniformly ，which induces nonuniform distribution of frictional resistance by assuming friction coefficient is constant. The whole loading process actually consists of two stages. (1) Before the shear stress reaches the resistance ，the rider does neither slide nor deform and the force-displacement curve is linear. (2) After the shear stress ，because of the moment ，reaches the resistance firstly at the end where the driving force acts ，the rider deforms before it slides as a whole. The deformation of the rider will lead to redistribution of the shear stress on the flat and the nonlinear curve of force-displacement should be considered. Since no damage happens to the flat ，this mechanism can repeatedly produce such nonlinear phenomenon. Key words rock mechanics ，earthquake ，frictional test ，moment ，nonlinear1 引 言断层摩擦滑动(粘滑)被普遍认为是地震的成因，因而，岩石摩擦试验受到地震学者们的高度重 视[1]。
摩擦对机械系统动力学特性的影响分析摩擦是机械系统中一个不可忽视的现象，它会对系统的动力学特性产生重要影响。
在本文中，我们将探讨摩擦对机械系统动力学的影响分析，从摩擦的本质、对系统运动的阻碍、动力学特性的变化等方面进行论述。
首先，摩擦的本质。
摩擦是由于接触面间存在相互作用力而产生的现象，它可以分为干摩擦和润滑摩擦两种形式。
干摩擦是指在无润滑剂的情况下，接触面之间产生的摩擦力；而润滑摩擦则是在润滑剂的作用下，接触面之间产生的摩擦力。
摩擦力可以阻碍系统运动，并对动力学特性产生显著影响。
摩擦对机械系统运动的阻碍。
摩擦力的产生会对机械系统的运动产生阻碍，使系统受到摩擦力的作用而难以自由地运动。
摩擦力的大小与接触面的材料、形状、粗糙度等有关，当接触面材料不同、摩擦面粗糙度增加时，摩擦力的大小会增加。
这种阻碍作用在一些工程设计中需要考虑，例如自行车刹车的设计，就需要通过调整刹车鼓和刹车片之间的接触面粗糙度来实现刹车效果的控制。
摩擦对动力学特性的变化。
摩擦对机械系统的动力学特性具有显著的影响。
首先，摩擦力会改变系统的平衡位置和稳定性。
在受摩擦力作用下，系统在达到平衡时会出现一个平衡位置偏移，因为摩擦力对系统的力学平衡产生了影响。
其次，摩擦力还会改变系统的振动特性。
摩擦力会消耗系统的能量，导致振动的阻尼增加，振幅逐渐减小，振动周期变长。
这在许多工程应用中需要考虑，例如减震器中的摩擦阻尼器的设计。
摩擦对机械系统的能量损耗。
摩擦力会对机械系统产生能量的损耗。
摩擦力会将系统的机械能转化为热能，使得系统的能量逐渐损耗掉。
这种能量损耗对系统的动力学特性产生重要影响，如减少系统的输出功率、增加系统的热损失等。
因此，在一些要求高效能的机械系统实际应用中，对摩擦力的减小和控制是非常关键的。
总之，摩擦是机械系统中常见的现象之一，它会对系统的动力学特性产生重要影响。
摩擦力的产生会对系统运动产生阻碍，并改变系统的平衡位置、振动特性和能量损耗等。
第24卷 第6期摩擦学学报V o l24, N o6 2004年11月TRIBOLOGY N o v,2004伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析方海容,丁旺才,孙启国(兰州交通大学系统分析与集成研究所,甘肃兰州 730070)摘要:对分段线性阻尼和干摩擦共同作用下的车辆悬挂系统进行了非线性动力学分析研究,阐述了判定系统周期运动稳定性的理论方法;利用数值模拟方法分析了具有不同阻尼参数组合的系统对简谐激励的振动响应,并分析了由干摩擦引起的粘-滑振动行为.结果表明:提高摩擦力对抑制响应有利,但车辆系统在低速下运行时会出现复杂的粘-滑振动,轮轨之间产生较大的瞬时刚性冲击;而通过增加轮对与侧架的弹性悬挂可以有效减弱这种瞬时刚性冲击.关键词:车辆;干摩擦;分段线性阻尼;稳定性;粘-滑振动;非线性动力学分析中图分类号:U270.1;T H117.2文献标识码:A文章编号:1004-0595(2004)06-0545-05 随着列车运行速度的提高,对机车车辆的运动稳定性、运行平稳性及曲线性能提出了更高要求.车辆的动力学性能主要取决于悬挂参数.研究表明,若能控制车辆系统中悬挂参数随位移或速度呈非线性变化关系,则有利于改善车辆的振动性能.Pun等[1]采用增量谐波平衡法分析了两自由度分段线性吸振器的动力性能,True等[2,3]利用现代非线性理论研究了车辆动力学中的混沌现象,并进行了数值模拟.已有的分段线性非光滑系统动力学研究大部分涉及刚度和阻尼随位移而变化的情况,而针对干摩擦阻尼和粘性阻尼随速度方向产生变化的非线性模型的研究较少[4～6].为此,本文作者以简化的铁道车辆垂向减振系统作为研究对象[7],在考虑钢轨波磨导致的车辆周期性激励的基础上[8,9],探讨了干摩擦和粘性阻尼随速度发生变化的分段线性振动系统的周期运动稳定性、分叉以及由干摩擦导致的粘-滑振动(stick-slip vibration)[10,11].1 力学模型和运动方程将车辆简化为某一单轴车,假定该车以等速v运行于直线轨道,且轨道的高低不平顺Y为简谐函数.系统仅由车体、轮对和一系悬挂所组成.一系悬挂包含弹簧、液压减振器和干摩擦减振器,液压减振器的阻尼系数C随速度的方向而改变.相应的力学模型如图1所示.该模型也适用于汽车系统,相当于取汽 F ig1 T he mechanical model o f the vehicle图1 车辆非线性振动力学模型车的1/4作为研究对象.系统运动微分方程为:MX+C(X-Y)+K(X-Y)+F sign(X-Y)=0.(1)C=C1,X-Y>0,C2,X-Y<0.(2)式中:Y=h sin( T+ ),h为线路不平顺的幅值; = 2v/l,l为线路波长.令x=X-Y,则式(1)变换为: Mx+Cx+K x+F sign(x)=Mh 2sin( T+ ).(3)式中:x=d x/d T.设!= M/K,t=T K/M,∀= C/(2K M),y=K x/(Mh 2),f=F/(Mh 2),则可将式(3)转化为如下的无量纲形式:y+2∀y+y+f sig n(y)=sin(!t+ ).(4)式中:y=d y/d t,且:基金项目:国家自然科学基金资助项目(10072051);甘肃省自然科学基金资助项目(ZS031-B25-009-G);铁道部专项基金资助项目(JZ0002076).收稿日期:2003-12-23;修回日期:2004-03-01/联系人孙启国,e-m ail:sunqiguo2002@.作者简介:孙启国,男,1963年生,博士,教授,目前主要从事润滑理论、转子动力学和车辆动力学研究.∀=∀1=C 1/2K M ,y >0,∀2=C 2/2K M ,y <0.(5)速度方向变化时,阻尼系数的大小和干摩擦力的作用方向发生变化,从而导致系统力学特性表现为非线性.但在速度方向发生变化的两相邻临界速度0点的一段时间间隔内,式(4)为线性方程,故该系统为分段线性系统.假定t i -1和t 对应于2个相邻速度0点,称为第i 个阶段,则在该时间段里运动方程为:y i +2∀i y i +y i +f i =sin(!t +i ).(6)式中:t =t -t i -1,t i -1≤t ≤t i ,y i (t )=y (t ),i = +!t i -1(M od2 ),∀i =∀1或∀2.在0≤t ≤t i -t i -1时间段以内式(6)的方程解已知.当振子运动为非粘着运动时,则:y i (t )=e -∀i t (a i sin #i t +b i cos #i t )+A i sin(!t + i )+ B i cos (!t +i )-f i .(7)式中:#i =1-∀2i ,f i =±f ,且:A i =(1-!2)/[(1-!2)2+(2∀i !)2],B i =-2∀i !/[(1-!2)2+(2∀i !)2].另一方面,当振子在0≤t ≤t i -t i -1时间段内处于粘着状态时(此时速度一直为0),通过式(6)可以确定相应的摩擦力:f i =-y i +sin (!t +i ),!f i !≤f .(8)我们对所研究的动力系统的稳定周期运动最感兴趣.对于通常的n -k -p周期运动(n 为激励的周期数,k 为时间段总数,包括粘着和非粘着阶段,p 为粘着段数,即停顿次数),典型的时间-速度关系曲线示于图2,t k =2n /!.F ig 2 A n ex ample of periodic mot ion o f the vibr ato r图2 振子周期运动示意图在式(7)中,未知量a i 、b i 、每个时间段的通过时刻t i 及相位i 角可以通过匹配的周期与边界条件来确定.假定系统有周期解,有任意数量的阶段,则应该关注的重点在于确定周期解的稳定性,为此首先要探求合适的分析方法,然后得到相应的分岔解,以便于研究系统参数变化时解的形式及其特性的变化.2 系统的周期运动稳定性与分叉在分析周期运动的整体稳定性之前,我们分别分析非粘着和粘着运动时的情况.假定在非粘着(non-sticking )状态时运动的初始条件如下:y i (0)=y i ,y i (0)=0.(9)将式(9)代入式(7)可得:a i =[∀i (y i +f i )+(-A i ∀i +B i !)sin i -(A i !+B i ∀i )cos i ]/#i .(10a )b i =yi +f i -A i sin i -B i cos i .(10b )设y i 、 i 分别有扰动∃y i 、∃ i ,且为微小量.扰动解为:y ~i (t )=e -∀i t (a ~i sin #i t +b ~i cos #i t )+A i sin(!t + i +∃ i )+B i cos (!t + i +∃ i )-fi .(11)满足条件:y ~i (0)=y i +∃y i ,y ~・(0)=0.(12)进行微分处理后得到以下关系式:a ~i =a i + a i y i ∃y i + a i i ∃ i .b ~i =b i + b i y i ∃y i + b i i∃ i .将式(10)分别对y i 、 i 求偏导可得:a i y i =∀i #i ≡U i ,b iy i =1, a i i =1#i[(-A i ∀i +B i !)co s i +(A i !+B i ∀i )sin i ]≡V i . b ii=-A i cos i +B i sin i ≡W i .(13)这样一来,在下一个时间段[t i ,t i +1]内,令∃%i =∃ i +1-∃ i ,则扰动解满足以下条件:y ~i +1(0)=y ~i (t ~ic )=yi +1+∃y i +1.(14a)y ~・i +1(0)=y ~・i (t ~ic )=0.(14b)对式(14a)进行泰勒展开,并略去二次项和高次项,可得:u i 1∃%i +u i 2∃t i +u i 3∃ i =∃t i +1.(15)式中:u i 1=1!e i [-(a i ∀i +b i #i )s i +(a i #i -b i ∀i )c i ]+A i cos (!t ic +i )-B i sin (!t ic + i )=!y i (t ic )=0,u i 2=e i (c i +s i U i ),u i 3=e i (s i V i +c i W i ),s i =sin #i t ic ,c i =cos #i t ic ,e i =e-∀i t ic .同样地,对式(14b)进行相似处理后可得:546摩 擦 学 学 报第24卷 u i 4∃%i +u i 5∃y i +u i 6∃ i =0.(16)式中:u i 4=1![∀i (p i b i -q i a i )-#i (p i a i +q i b i )]-A i !sin (!t ic +i )-B i !cos (!t ic + i )=y i (t )ic ≡&i ,u i 5=q i U i -p i ,u i 6=q i V i -p i W i ,p i =e i (s i #i +c i ∀i ),q i =e i (c i #i -s i ∀i ).由式(15和16)可确定在第i 阶段始末扰动的关系:∃y i +1∃ i +1=P i ∃yi ∃i .(17)P iu i 2u i 3-u i 5/u i 41-u i 6/u i 4.(18)利用类似的方法可以求得系统在某粘着阶段的始末扰动关系,在式(19)中yi =y i +1=sin (!t ic + i )-f i ..(19)引入小的时间和位移扰动后,其解满足以下关系式:∃y i +1=∃y i .(20a )y i +1+∃y i +1=sin (!t ic +i +∃ i +1)-f i .(20b )对式(20b )进行泰勒展开,取一阶项∃y i +1=cos (!t ic + i )∃i +1,再联立式(19)求解可得:∃y i =±1-(y i +f i )2∃i +1.(21)式(21)的正负号取决于相位角所在的象限,由式(20a)与式(21)可得到同式(18)形式相似的表达式:P i =10±1/1-(y i +f i )20.(22)根据以上分析,如果运动在一个周期内有k 个分段解,则在一个周期内,末段的误差与初始误差的关系为:∋k +1=∃y k +1∃ k +1=(∃y k∃ k.(23)式中:(≡P k +1……P 1采用同样的分析方法可以确定一个经过m ×n 周期激振力的n 周期解的误差关系为∋mk =(m∋0.周期解渐近稳定的条件是矩阵(的特征值小于1.只要当矩阵(有一个特征值大于1时,则周期解不稳定.从上述分析可知,矩阵(的所有元素都是系统参数的已知函数.因此,系统参数变化将导致矩阵(的特征值变化.假设)是矩阵(的特征值中模最大的一个,当)=1时,可能会出现鞍结分岔、叉式分岔、超临界分岔;当)=-1时,出现周期倍化分岔;当)是模为1的复数时,出现Hopf 分岔.!)!=1时相应的系统参数确定了系统的稳定范围,并可提供在分岔值附近出现的运动类型的信息.3 数值模拟我们首先分析最简单的周期1-2运动.取定一组参数∀1、∀2、f .边界条件为:y 1(0)=y 1(t 1c )=y 2(0)=y 2(t 2c )=0,y 1(0)=y 2(t 2c ),y 1(t 1c )=y 2(0).(24)且:!t 1c +!t 2c =2 .由式(24)可以得到6个方程,当给定!时可解出6个未知数a 1、b 1、a 2、b 2、 1和 2,同时求出时间段t 1c 和t 2c .将这些值代入式(23),通过计算(的特征值来判定周期运动的稳定性.数值分析结果表明,当干摩擦无量纲值f 较小、无量纲频率!(对应于实际的激励频率与无阻尼固有频率之比)较大时,系统总是出现稳定的1-2周期运动;当f 较大、!较小时,系统可能产生周期1-3-1运动或周期1-4-2运动,这就是所谓的粘-滑振动(stick-slip v ibration).图3示出了不同阻尼组合∀1、∀2对应的幅频响应 Fig 3 Respo nse diag ra ms fo r differ entda mping combinations图3 不同分段阻尼对应的幅频响应曲线,除一条粗线外,其它4条曲线对应的干摩擦无量纲值f =0.01.当∀1=∀2时,若忽略干摩擦则系统为线性的,系统对激励的响应较清晰.由图3可以看出,∀1=0.1、∀2=0.4这一组阻尼对系统在简谐激励下的振动响应相对较好,但对来自路面的瞬态冲击或随机激励的非线性系统响应还值得进一步研究.干摩擦对系统运动的影响比较复杂,由图3中所示的粗实曲线可知,当f 较大时,系统对简谐激励下的振动响应受到明显抑制,而选用较好的阻尼组合可大幅降低系统的振动.图4(a ～c )分别示出了取不同参数值时系统的复杂周期运动,每组图包括速度、位移时间历程和相图.图4(a)表明系统在一个周期内出547第6期方海容等: 伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析(a)∀1=0.05,∀2=0.1,f =0.1,!=0.18,periodic 1-4-2motion(b)∀1=0.05,∀2=0.1,f =0.2,!=0.45,per iodic 1-3-1mo tion(c)∀1=0.1,∀2=0.1,f =0.35,!=0.15,per io dic 1-8-4motionF ig 4 I nfluence o f dr y fr ictio n on the periodic motion图4 干摩擦对系统周期运动的影响现2次停顿;图4(b )表明随着!增大系统运动转变为每周期1次停顿,随!继续增大时,系统运动将无停顿;图4(c)表明当f 较大、!较小时,系统运动每周期出现4次停顿.4 结论a. 增大摩擦力有利于抑制我国货车转向架用干摩擦减振器的振动响应;但车辆在低速下运行时出现粘-滑振动,产生类似卡滞的现象,轮轨之间产生较大的瞬时刚性冲击;为此应增加轮对与侧架的弹性悬挂.b. 干摩擦阻尼在共振点附近对激励产生振动响应的衰减效果不佳.c. 当粘性阻尼因子∀1和∀2都为正值时,车辆系统处于稳定的周期运动状态,随着频率!的增大,振幅减小.参考文献:[1]Pun D,L iu Y B.On the des ign of the piecew ise linear vibration abs orber[J ].Nonlinear Dynamics,2000,22:393-413.[2] T rue H.Chaos in railroad vehicle dynamics [J ].Rail Trans -portation ASM E,1994,37-48.[3] M ejaard J P,Pater A D.Railw ay vehicle systems dynam icsan d ch aotic vib rations [J ].In t J Nonlinear M echan ics ,1989,24:1-17.[4]Natsiavas S.Stability of piecewis e lin ear os cillators with -viscous and dry friction damping [J ].J ournal of S ou nd and Vibration ,1998,217(3):507-522.[5] Wiercigroch M.A note on th e s w itch function for the stick -slip phenomenon[J].Jour nal of Sound and Vibration,1994,175:700-704.[6] S haw S W ,Holm es P J.A per iodically forced piecew is e linearos cillator [J].Journal of S ou nd and Vibr ation,1983,90(1):700-704.[7]Gilles pie T D.Fundamentals of vehicle dynamics [M ].548摩 擦 学 学 报第24卷Warren dale ,PA :S ociety of Automotive Engineer s ,1992.[8] 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ise linear viscous and dry fr iction dam ping was studied .T he theo retical metho d on the stability analysis of a system in periodic m otion w as presented.And num er ical simulatio n w as perfo rmed to investig ate the r esponses o f the vehicle suspension system to harmo nically ex cited vibration w ith respect to different com binatio ns of the damping param eters .T he stick -slip vibrations induced by dr y friction w ere analyzed in detail as w ell .As the results ,it w as favo rable to decreasing the respo nses amplitude of the system to v ibration by increasing the friction fo rce.How ev er ,the com plicated stick-slip vibration took place at a small velocity ,w hich led to a severe instantaneous stiff im pact lo ad betw een the w heel and rail.It w as sug gested to decrease such an instantaneous stiff im pact load by supplem enting elastic suspensio n betw een the w heelset and side frame .Key words :vehicle;dr y friction;piecew ise linear damping ;stability ;stick-slip vibration;no n-linear dynamic analysisAuthor :SU N Qi -guo ,male ,bo rn in 1963,Ph .D .,Professor ,e -mail :sunqiguo 2002@y aho o .co m .cn549第6期方海容等: 伴随变阻尼作用的干摩擦下的车辆系统非线性动力学分析。
