函数单调性和最大(最小值)

函数的单调性与最大(小)值
函数的单调性是指函数的图像从某一点开始递增或者递减，而不发生变化。

最大值是指在函数定义域内，函数图像达到最高点时所对应的函数值，它和函数的单调性有关。

最小值是指在函数定义域内，函数图像达到最低点时所对应的函数值，它也和函数的单调性有关。

计算单调性和求函数最大(小)值的方法需要根据单调函数的特性来考虑：
对于在x=a点处连续可导的单调函数，有f'(a)>0时，f(x)在[a,+∞)上单调递增，f(a)为此区间内的极大值；
对于在x=a点处连续可导的单调函数，有f'(a) < 0时，f(x)在(-∞,a]上单调递减，f(a)为此区间的极小值。

另外，如果函数在整个定义域内单调，则可以通过比较函数的值来确定其最大/最小值。

函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。

2. 让学生了解函数的最大值和最小值的概念，掌握求函数最大值和最小值的方法。

3. 培养学生运用函数的单调性和最值解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数的单调性1.1 单调增函数和单调减函数的定义1.2 判断函数单调性的方法1.3 单调性在实际问题中的应用2. 函数的最大值和最小值2.1 最大值和最小值的定义2.2 求函数最大值和最小值的方法2.3 最大值和最小值在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的单调性的概念及判断方法，函数最大值和最小值的求法及应用。

2. 教学难点：函数单调性的判断方法，求函数最大值和最小值的方法。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数的单调性和最值的概念。

2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题体验函数单调性和最值的应用。

3. 采用小组讨论法，培养学生合作解决问题的能力。

五、教学准备1. 教学课件：函数单调性和最值的定义、判断方法和求法。

2. 教学案例：实际问题涉及函数单调性和最值的解答。

3. 练习题：针对本节课内容的练习题，巩固所学知识。

六、教学过程1. 导入：通过复习上一节课的内容，引导学生回顾函数的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2. 讲解：讲解函数的单调性，通过示例让学生理解单调增函数和单调减函数的定义，介绍判断函数单调性的方法。

3. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的单调性解决实际问题，体会函数单调性的重要性。

4. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍求函数最大值和最小值的方法。

5. 案例分析：分析实际问题，让学生运用函数的最值解决实际问题，体会函数最值的重要性。

6. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数的单调性和最值在实际问题中的应用。

七、课堂练习1. 判断下列函数的单调性：1. y = x^22. y = -x^23. y = 2x + 32. 求下列函数的最大值和最小值：1. y = x^2 4x + 52. y = -x^2 + 4x 53. 运用函数的单调性和最值解决实际问题。

函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性；（2）掌握利用导数研究函数的单调性，能够求解函数的单调区间；（3）了解函数的最大最小值的概念，能够利用导数求解函数的最大最小值。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生理解函数单调性的概念，培养学生的抽象思维能力；（2）利用导数研究函数的单调性，培养学生的逻辑推理能力；（3）通过实例引导学生掌握利用导数求解函数的最大最小值，提高学生的解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，激发学生学习函数的积极性；（2）培养学生克服困难的意志，提高学生解决问题的能力；（3）培养学生团队合作的精神，提高学生的沟通能力。

二、教学内容1. 函数单调性的概念；2. 利用导数研究函数的单调性；3. 函数的最大最小值的概念；4. 利用导数求解函数的最大最小值。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的判断；（2）利用导数研究函数的单调性；（3）利用导数求解函数的最大最小值。

2. 教学难点：（1）函数单调性的证明；（2）利用导数求解函数的最大最小值的过程。

四、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生理解函数单调性的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：讲解函数单调性的定义，引导学生掌握判断函数单调性的方法。

3. 实例分析：利用导数研究函数的单调性，让学生通过实例体会导数在研究函数单调性中的作用。

4. 方法讲解：讲解如何利用导数求解函数的最大最小值，让学生掌握求解方法。

5. 练习与讨论：布置练习题，让学生巩固所学知识，并通过讨论培养学生的团队合作精神。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容，整理笔记；2. 完成课后练习题，加深对函数单调性和最大最小值的理解；3. 准备下一节课的内容，提前预习。

六、教学评价1. 知识与技能：（1）学生能准确判断函数的单调性；（2）学生能利用导数研究函数的单调性；（3）学生能利用导数求解函数的最大最小值。

函数的单调性、奇偶性与最大(小)值1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．2．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．3．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．5．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(2)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( ) (3)(教材改编)函数f (x )＝1x 在其定义域上是减函数．( )(4)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( ) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1， ＋∞)．( ) (6)(教材改编)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (7)(2013·北京卷改编)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．( ) (8)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的最小值为0.( ) 3．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( )(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝－2.( )(6)(2014·鹰潭模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．( )4．对函数周期性的理解(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R 上是周期函数．()考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)(2013·高安中学模拟)求函数y＝log 13(x2－4x＋3)的单调区间．【训练1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考点二利用单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________．【训练2】(1)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．{－3}B．(－∞，3)C．(－∞，－3]D．[－3，＋∞)(2)(2014·贵溪模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]考点三利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．考点四函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x1＋x.(2)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【训练1】 (1)(2013·湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2， f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )． A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3考点五 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·江西九校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞)【训练2】 (2013·天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D ．(0,2]考点六 函数的单调性、奇偶性、周期性【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)【训练3】 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )． A ．有最小值无最大值 B ．有最大值无最小值 C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．(2013·玉山一中模拟)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2014·南昌模拟)已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c5．(2013·渭南模拟)下列函数中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )． A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2x6. (2013·咸阳二模)若函数f (x )＝sin x(x ＋a )2是奇函数，则a 的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．47. 函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )．A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题8．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．9．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.10．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 11. (2014·临川二中)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________. 12. 设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．14. f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．能力提升题组1．(2014·宜春模拟)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1| C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在 区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数3. (2013·吉安模拟)已知偶函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝( )．A ．1B ．－1C ．12D ．－123．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．。

第2节函数的单调性与最大(小)值考试要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间.2.函数的最值前提函数y＝f(x)的定义域为D条件(1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[常用结论与微点提醒]1.若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数.2.函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反.3.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数.( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)＜f (1)，故应说成单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x 1＜x 2，f (x 1)＜f (x 2)成立才可以.(4)若f (x )＝x ，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，但y ＝f (x )的单调递增区间是R . 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.(老教材必修1P37例1改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 12 B.y ＝2－x C.y ＝log 12xD.y ＝1x解析 函数y ＝x 12在(0，+∞)上是增函数，函数y ＝2－x ，y ＝log 12x ，y ＝1x 在(0，+∞)上均是减函数. 答案 A3.(新教材必修第一册P61例5改编)函数y ＝xx －1在区间[2，3]上的最大值是________.解析 函数y ＝x x －1＝1＋1x －1在[2，3]上递减，当x ＝2时，y ＝x x －1取得最大值22－1＝2.答案 24.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A.(－∞，－2) B.(－∞，1) C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)解析 由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数.要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间. ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞). 答案 D5.(2020·西安模拟)函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________.解析由条件知⎩⎨⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.答案 [－1，1)6.(2020·青岛二中月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________.解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2. 答案 2考点一 确定函数的单调性(区间)【例1】 (1)函数y ＝log 12(－x 2＋x ＋6)的单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 C.(－2，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2，3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝log 12t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝ －x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，故选A.答案 A(2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性. 解 法一 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增. 法二 f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图像不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图像法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】 (1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.解析由题意知g (x )＝⎩⎨⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g (x )的递减区间是[0，1). 答案 [0，1)(2)判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在x ∈[1，2]上的单调性.解 f (x )在[1，2]上单调递增，证明如下： 设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，2<x 1＋x 2<4. 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增. 考点二 求函数的最值【例2】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.4(2)(2020·九江一中月考)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________. 解析 (1)f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上是单调函数， 所以f (1)＋f (2)＝log a 2＋6， 则a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6， 即(a －2)(a ＋3)＝0，又a >0，所以a ＝2.(2)法一 在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )的图像，依题意，h (x )的图像如图所示的实线部分. 易知点A (2，1)为图像的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二 依题意，h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， 因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1. 答案 (1)C (2)1规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【训练2】 (1)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( ) A.2B.3C.4D.6(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________.解析 (1)画出函数M ＝{2x ，2x －3，6－x }的图像(如图)，由图可知，函数M 在A (2，4)处取得最小值22＝6－2＝4， 故M 的最小值为4.(2)当x ≤1时，f (x )＝x 2的最小值为0，当x >1时，f (x )＝x ＋6x －6≥26－6(当且仅当x ＝6时，取“＝”). 由于26－6<0，所以f (x )min ＝26－6. 答案 (1)C (2)26－6 考点三 函数单调性的应用 多维探究角度1 利用单调性比较大小【例3－1】 已知函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c解析 因为f (x )的图像关于直线x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减.又1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，即f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f (e)，故b >a >c . 答案 D角度2 求解函数不等式【例3－2】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0.则满足f (x ＋1)<f (2x )的x的取值范围是( ) A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图像如图所示，结合图像知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.答案 D角度3 求参数的值或取值范围【例3－3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π(2)如果函数f (x )＝⎩⎨⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________.解析 (1)∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数.所以⎩⎨⎧2－a >0，a >1，（2－a ）×1＋1≤a ，解得32≤a <2. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2规律方法 1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图像的升降，再结合图像求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.【训练3】 (1)(角度2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e －x ，x ≤0，－x 2－2x ＋1，x >0，若f (a －1)≥f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 (2)(角度1)(2019·全国Ⅲ卷)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－32)>f (2－23) B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－23)>f (2－32) C.f (2－32)>f (2－23)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D.f (2－23)>f (2－32)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314(3)(角度3)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A.(－1，0)∪(0，1)B.(－1，0)∪(0，1]C.(0，1)D.(0，1]解析 (1)作出函数f (x )的图像如图所示，知函数f (x )在R 上是减函数，由f (a －1)≥f (－a )，得a －1≤－a ， 解得a ≤12.(2)因为f (x )是定义域为R 的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＝f (－log 34)＝f (log 34).又因为log 34>1>2－23>2－32>0，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (log 34)< f (2－23)<f (2－32).即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314<f (2－23)<f (2－32).(3)因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1，2]上为减函数，所以由其图像得a ≤1.g (x )＝a x ＋1，g ′(x )＝－a（x ＋1）2，要使g (x )在[1，2]上为减函数，需g ′(x )<0在[1，2]上恒成立，故有－a <0，因此a >0.综上可知0<a ≤1. 答案 (1)A (2)C (3)DA 级 基础巩固一、选择题1.(2019·唐山调研)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A.是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B.是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C.是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D.是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析 f (－x )＝(－x )(e －x ＋e x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x － e －x )，当x >0时，e x －e －x >0，e x ＋e －x >0，所以f ′(x )>0.故f (x )在(0，＋∞)上是增函数. 答案 A2.(2020·合肥模拟)已知函数f (x )在R 上单调递减，且a ＝33.1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13π，c ＝ln 13，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( ) A.f (a )>f (b )>f (c ) B.f (b )>f (c )>f (a ) C.f (c )>f (a )>f (b )D.f (c )>f (b )>f (a )解析 因为a ＝33.1>30＝1，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13π<⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1，c ＝ln 13<ln 1＝0，所以c <b <a ，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (c )>f (b )>f (a ). 答案 D3.已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1)D.(－3，－1]解析 令g (x )＝－x 2－2x ＋3，由题意知g (x )>0，可得－3<x <1，故函数的定义域为{x |－3<x <1}.根据f (0)＝log a 3<0，可得0<a <1，又g (x )在定义域(－3，1)内的减区间是[－1，1)，∴f (x )的单调递增区间为[－1，1). 答案 C4.函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A.(1，2)B.(－1，2)C.[1，2)D.[－1，2)解析 函数y ＝2－x x ＋1＝3－（x ＋1）x ＋1＝3x ＋1－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f (2)＝0，所以n ＝2.根据题意，x ∈(m ，n ]时，y min ＝0. ∴m 的取值范围是[－1，2). 答案 D5.(2020·福州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋（4a －3）x ＋3a ，x <0，log a （x ＋1）＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 解析 由分段函数f (x )在R 上单调递减，可得0<a <1，根据二次函数图像及性质，可得－4a －32≥0，解得a ≤34，又由3a ≥log a (0＋1)＋1得3a ≥1，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34.答案 C 二、填空题6.函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间是________.解析 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x <0＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0，函数的大致图像如图所示.由图易知函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，127.设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________. 解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数， ∴⎩⎨⎧2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎨⎧2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1.答案 [1，＋∞)8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________. 解析 作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4. 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0). (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.(1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易得a ＝25. 10.已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论； (3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围. 解 (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1. (2)f (x )在R 上单调递增.证明如下：∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2·（2x 1－2x 2）（1＋2x 1）（1＋2x 2）， ∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 1－2x 2<0，2x 1＋1>0，2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在R 上单调递增.(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1. ∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)， 又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2. ∴x 的取值范围是(－∞，2).B 级 能力提升11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1，2)D.(－2，1)解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 答案 D12.(2020·皖东名校联盟联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋m ，x <e ，x －ln x ，x ≥e的值域是[e －1，＋∞)，其中e 是自然对数的底数，则实数m 的最小值是________. 解析 当x ≥e 时，(x －ln x )′＝1－1x >0，此时函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递增，值域是[e －1，＋∞).当x <e 时，y ＝－12x ＋m 是减函数，其值域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞.因此⎝ ⎛⎭⎪⎫－e 2＋m ，＋∞⊆[e －1，＋∞).于是－e 2＋m ≥e －1，解得m ≥3e2－1，故实数m 的最小值是3e2－1.答案 3e 2－113.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1. (1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0，3]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎨⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，解得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为{x |－2<x <－2或2<x <2}. (2)∵函数f (x )在(0，3]上是增函数， ∴f (x )在(0，3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0，3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1，1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1，1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1，1]， ∴需满足⎩⎨⎧g （－1）≥0，g （1）≥0，即⎩⎨⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).C 级 创新猜想14.(多填题)(2019·北京卷)设函数f (x )＝e x ＋a e －x (a 为常数).若f (x )为奇函数，则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是________. 解析 若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 即e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x )，即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0对任意的x 恒成立，所以a ＝－1.若函数f(x)＝e x＋a e－x是R上的增函数，则f′(x)＝e x－a e－x≥0恒成立，所以a≤e2x恒成立，则有a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].答案－1(－∞，0]。