第四章集中趋势的测量

64+70+L 78+75 3089 + X= = =77.23 40 40
（三）、加权算术平均数 ）、加权算术平均数(Weighted 加权算术平均数 arithmetic mean) 当数据资料比较多， 当数据资料比较多，且已编制成变量数列的 情况下，就要计算加权算术平均数， 情况下，就要计算加权算术平均数，以反映 总体中各总体单位某一数量的情况。 总体中各总体单位某一数量的情况。
公式为： 公式为： X=(X1f1+X2f2+…+Xnfn)/(f1+f2+…+fn)=∑X ifi/∑fi 其中： 为权数 为权数， 其中：f为权数，即变量在总体中出现的次 数。
由于变量数列可分为单项数列（单项分组） 由于变量数列可分为单项数列（单项分组）和组距 数列（组距分组）， 数列（组距分组）， 计算加权算术平均值的方法也有两种： 计算加权算术平均值的方法也有两种： ①由单项分组资料求算术平均值 计算公式为： 计算公式为： X = ∑Xifi / ∑fi 例如： 例如：P48 例2 ②由组距分组资料求算术平均值 计算公式为： 计算公式为： X = ∑Xmid*f /∑f 其中： 表示各组组中值， 表示每组次数。 其中：Xmid表示各组组中值，f表示每组次数。 表示各组组中值 表示每组次数 注意：组中值是假定值（近似值），与实际有差距， ），与实际有差距 注意：组中值是假定值（近似值），与实际有差距， 但误差很小。 但误差很小。
二、作用 1、反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水 、 说明社会现象在一定历史条件下的共同性质。 平，说明社会现象在一定历史条件下的共同性质。 如用家庭户平均人数说明家庭结构的一般性质。 如用家庭户平均人数说明家庭结构的一般性质。 2、便于比较同类现象在不同单位间的发展水平， 、便于比较同类现象在不同单位间的发展水平， 对社会现象的特征能够从数量方面在空间上进行比 如不同省份家庭户平均人数不同， 较。如不同省份家庭户平均人数不同，说明不同省 份家庭观念不同。 份家庭观念不同。 3、对社会现象的特征能够从数量方面在时间上进 、 行比较， 行比较，能够比较同类现象在不同时期的发展变化 趋势或规律。 趋势或规律。 4、分析社会现象之间的相互依存关系。如生活水 、分析社会现象之间的相互依存关系。 平的高低与家庭人口数的多少成反方向变化。 平的高低与家庭人口数的多少成反方向变化。
[例3.5] 某公司所属 个企业资金利润率分组 例 某公司所属10个企业资金利润率分组 资料如表3.4，要求计算该公司10个企业的平 资料如表 ，要求计算该公司 个企业的平 均利润率。 均利润率。 表3.4 某公司所属10个企业资金利润率分 某公司所属 个企业资金利润率分 组资料
该例子的平均对象是各企业的资金利润率， 该例子的平均对象是各企业的资金利润率， 表中的企业数虽然是次数或频数， 表中的企业数虽然是次数或频数，但却不是 合适的权数。要正确计算公司10个企业的平 合适的权数。要正确计算公司 个企业的平 均资金利润率，因为资金利润率=利润总额 利润总额/ 均资金利润率，因为资金利润率 利润总额 资金总额， 资金总额，所以计算平均资金利润率需要以 资金总额为权数，才能符合该指标的性质。 资金总额为权数，才能符合该指标的性质。 因此，该公司10个企业的平均利润率为 个企业的平均利润率为： 因此，该公司 个企业的平均利润率为：
根据分组整理的数据计算算术平均数， 根据分组整理的数据计算算术平均数，就要 以各组变量值出现的次数或频数为权数计算 加权的算术平均数。设原始数据被分成组， 加权的算术平均数。设原始数据被分成组， 各组的变量值为…， 各组的变量值为 ，各组变量值的次数或频 数分别为…，则加权的算术平均数为： 数分别为 ，则加权的算术平均数为：
第二节 平均数 一、算术平均数 ）、定义 算术平均数(Arithmetic mean)也称为均值 定义： （一）、定义：算术平均数 也称为均值 (Mean)，是全部数据算术平均的结果。算术平均法是计算 ，是全部数据算术平均的结果。 平均指标最基本、最常用的方法。计算公式为： 平均指标最基本、最常用的方法。计算公式为： 算术平均数 = 总体标志总量 /总体单位总量 总体单位总量 = （X1+X2+X3+……+Xn ）/N = ∑Xi/N 其中： 为连加符号 为连加符号； 为总体单位数 为总体单位数。 其中：∑为连加符号； N为总体单位数。
第四章 集中趋势测量法
本章主要内容： 本章主要内容：
集中趋势的测定方法（ 集中趋势的测定方法（重、难点） 难点） 平均数、中位数、众数的比较（重点） 平均数、中位数、众数的比较（重点）
第一节 集中趋势的含义及作用
一、集中趋势的含义 指一组数据向某一个典型值或代表值集中的情况。 指一组数据向某一个典型值或代表值集中的情况。如 大部分学生是女生” 平均年龄为24 24岁 “大部分学生是女生”、“平均年龄为24岁”等。主 要形式有：平均数、中位数、众数。 要形式有：平均数、中位数、众数。 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度。 一组数据向其中心值靠拢的倾向和程度。 测度集中趋势就是寻找数据一般水平的代表值或中心 值。 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值。 不同类型的数据用不同的集中趋势测度值。 低层次数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数 反过来， 据，反过来，高层次数据的集中趋势测度值并不适用 于低层次的测量数据。 于低层次的测量数据。 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势， 选用哪一个测度值来反映数据的集中趋势，要根据所 掌握的数据的类型来确定。 掌握的数据的类型来确定。
k
x =
x1 f1 + x 2 f 2 + L + x k f k = f1 + f 2 + L + f k
∑
i=1 k
xi fi fi
∑
i=1
[例3.4] 根据例 提供的 名同学的统计学 例 根据例3.3提供的 提供的40名同学的统计学 成绩原始资料分组整理如表3.1—3，根据此 成绩原始资料分组整理如表 ， 表资料计算平均成绩。 表资料计算平均成绩。 40名同学统计学成绩汇总表 表3. 3 名同学统计学成绩汇总表
很多社会经济现象， 很多社会经济现象，总体标志总量常常是总体单位 变量值的算术总和。例如， 变量值的算术总和。例如，工人工资总额是总体中 每个工人工资的总和， 每个工人工资的总和，某地区小麦总产量是所有耕 地小麦产量的总和。 地小麦产量的总和。在总体标志总量和总体单位总 x − bar 量的基础上，就可以计算平均指标。 量的基础上，就可以计算平均指标。 算术平均数在统计学中具有重要的地位， 算术平均数在统计学中具有重要的地位，是集中趋 势的最主要度量值，通常用（ 表示。 势的最主要度量值，通常用（读作 x − bar）表示。根 x 据所掌握数据形式的不同， 据所掌握数据形式的不同，算术平均数有简单算术 平均数和加权算术平均数。 平均数和加权算术平均数。
根据（ 根据（3.12）式得 ）
K
x
=
∑
x
i = 1 K
i
f
i
i
=
∑
f
3 0 6 0 4 0
= 7 6 .5
i = 1
根据（3.12）式计算的平均成绩是76.5分， 根据（ ）式计算的平均成绩是 分 而与根据（ 而与根据（3.11）式计算的平均成绩 ）式计算的平均成绩77.23分 分 相比，相差0.73分，显然 相比，相差 分 显然77.23分是准确的平 分是准确的平 均成绩，因为（ 均成绩，因为（3.11）式所用的是原始数据 ） 的全部信息。 的全部信息。而（3. 12）式是用各组的组中 ） 值代表各组的实际数据， 值代表各组的实际数据，使用代表值时是假 定各组数据在各组中是均匀分布的， 定各组数据在各组中是均匀分布的，但实际 情况与这一假定会有一定的偏差， 情况与这一假定会有一定的偏差，使得利用 分组资料计算的平均数与实际的平均值会产 生误差，它是实际平均值的近似值。 生误差，它是实际平均值的近似值。
i
当我们掌握的权数不是各组变量值出现的频数， 当我们掌握的权数不是各组变量值出现的频数， 而是频率时，可直接根据（ 而是频率时，可直接根据（4.3.3）式计算算术 ） 平均数。 平均数。
K
x
=
∑
x
i = 1 K
i
f f
i
i
=
K
∑
x
f
i K
i
∑
i = 1
i = 1
∑
f
i = 1
i
如例3. ， 如例 2，根据各组的频数计算的频率分别 为：0.05、0.2、0.4、0.25、0.1，各组频率 、 、 、 、 ， 之和为1，则用频率计算的加权算术平均数为： 之和为 ，则用频率计算的加权算术平均数为：
（二）简单算术平均数(Simple arithmetic 简单算术平均数 mean) 未经分组整理的原始数据， 未经分组整理的原始数据，其算术平均数的 计算就是直接将一组数据的各个数值相加除 以数值个数。设统计数据为…， 以数值个数。设统计数据为 ，则算术平均 数的计算公式为： 数的计算公式为：
n
K
x=
∑x f
i =1 K
i i
∑fБайду номын сангаас
i =1
5%× 40 +10%×80 +15%×140 31 = = =11.9% 40 + 80 +140 260
i
（四）算数平均数的数学性质 算术平均数在统计学中具有重要的地位， 算术平均数在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析 和统计推断的基础。从统计思想上看， 和统计推断的基础。从统计思想上看，算术平均数是一组数 据的重心所在， 据的重心所在，它是消除了一些随机因素影响后或者数据误 差相互抵消后的必然性的结果。例如每年分季度的观测数据， 差相互抵消后的必然性的结果。例如每年分季度的观测数据， 各年同季的数据由于受一些偶然性随机因素的影响， 各年同季的数据由于受一些偶然性随机因素的影响，其数值 表现出一定的差异性，但将各年同季的数据加以平均， 表现出一定的差异性，但将各年同季的数据加以平均，计算 的算术平均数，就消除了一些随机因素的影响， 的算术平均数，就消除了一些随机因素的影响，反映出季节 变动必然性的数量特征。再如，对同一事物进行多次测量， 变动必然性的数量特征。再如，对同一事物进行多次测量， 由于测量误差所致，或者其它因素的偶然影响， 由于测量误差所致，或者其它因素的偶然影响，使得测量结 果不一致，但利用算术平均数作为其代表值， 果不一致，但利用算术平均数作为其代表值，则可以使误差 相互抵消，反映出事物固有的数量特征。另外， 相互抵消，反映出事物固有的数量特征。另外，算术平均数 具有下面一些重要的数学性质， 具有下面一些重要的数学性质，这些数学性质在实际中有着 广泛的应用，同时也体现了算术平均数的统计思想。 广泛的应用，同时也体现了算术平均数的统计思想。