上海青浦一中2017-2018学年高二下期中学业质量调研测试数学试卷

2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为．4．（3分）若复数z=，则|z|=5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．814．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为2．【分析】复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．【解答】解：复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．∴复数1+2i的虚部为2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数虚部的概念．虽然概念简单，但实际训练中，往往望文生义，错误的答为bi．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于13【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】解：关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），k ∈R．则a﹣3i也是此方程的一个根．∴a+3i+a﹣3i=﹣4，（a+3i）（a﹣3i）=k，解得a=﹣2．k=4+9=13．故答案为：13．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为60°．【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．4．（3分）若复数z=，则|z|=【分析】复数代数形式的乘除运算法则求出z=﹣1﹣i，由此能求出|z|．【解答】解：∵复数z=======﹣1﹣i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为2【分析】由曲线方程可知：曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧），从而根据曲线y=与直线x=m有且只有一个公共点，可求实数m的值．【解答】解：由题意，曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧）与直线L：y=m（L∥x轴）有且只有一个公共点∴m=2故答案为：2．【点评】本题以圆为载体，考查直线与圆的位置关系，关键是利用圆的特殊性．6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z 1，再由其虚部为0求得t值．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=t+4i，∴z 1=（3+4i）（t﹣4i）=（3t+16）+（4t﹣12）i，由z 1是实数，得4t﹣12=0，即t=3．故答案为：3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是2【分析】直接利用复数模的公式列式，再由三角函数最值的求法得答案．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴|z﹣i|=|cosθ+（sinθ﹣1）i|==．∴当sinθ=﹣1时，|z﹣i|的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查复数的模，考查三角函数最值的求法，是基础题．8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为【分析】求得双曲线的标准方程，则求得焦点和顶点坐标，即可求得a和c，则b2=a2﹣c2，即可求得椭圆的标准方程．【解答】解：双曲线=1可得双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为（，0），（，0），顶点坐标为（3，0），（﹣3，0），由题意设椭圆的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），顶点坐标为（，0），（，0），则a=2，c=3，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：，故答案为：，【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查双曲线的简单几何性质，属于基础题．9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）．【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，即可得到结论．．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，∵A（3，2），∴P点的纵坐标y=2，此时由y2=2x得x=，即P（2，2），故答案为：（2，2）【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用，利用抛物线的定义是解决本题的关键．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为50【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．【解答】解：根据题意双曲线=1，双曲线图象如图：|AF2|﹣|AF1|=2a=16 ①|BF2|﹣|BF1|=2a=16 ②而|AB|=9，①+②得：|AF2|+|BF2|=41，∴周长为50．故答案为：50．【点评】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为（x﹣5）2+y2=16．【分析】求出椭圆的右焦点得到圆心，再求出双曲线的渐近线，由圆心到渐近线的距离得到圆的半径，由此可以得到圆的方程．【解答】解：∵c2=169﹣144=25，∴椭圆的右焦点为F（5，0），∴所求圆的圆心坐标是（5，0）．∵双曲线的渐近线方程是，由点到直线的距离公式可知（5，0）到的距离=4，∴所求圆的半径为4．故所求圆的方程是（x﹣5）2+y2=16．答案：（x﹣5）2+y2=16．【点评】求出圆的圆心和半径，就得到圆的方程．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是[1，]【分析】化简|PA|=m|PB|，通过距离公式以及基本不等式转化求解最值即可．【解答】解：设P（，y），由题意可得m2====1+，1≤m2≤1+=3，∴1≤m≤，当且仅当y2=2时，m取得最大值，y=0时，m取得最小值，则m的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用，运用基本不等式求出m2≤3，是解题的关键．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．14．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆【分析】分情况讨论，可得当P不在直线F1F2上时或在直线F1F2上且在F1、F2两点之外时，都有|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；只有点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，符合题意．由此得到本题答案．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=5，且|F1F2|=5∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|①当点P不在直线F1F2上时，根据三角形两边之和大于第三边，得|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；②当点P在直线F1F2上时，若点P在F1、F2两点之外时，可得|PF1|+|PF2|＞5，得到|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；若点P在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|，符合题意．综上所述，得点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间或与F1、F2重合，故点P的轨迹是线段F1F2．故选：B．【点评】本题给出动点P满足的条件，求P点的轨迹，着重考查了动点轨迹的求法和椭圆的定义等知识，属于基本知识的考查．15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不确定【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．【解答】解：椭圆得∴c1=，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线：有则半焦距c2=∴则实数m=±1故选：C．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆双曲线的标准方程．在求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意．16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb【分析】求出双曲线的渐近线，结合直线的斜率求出直线的倾斜角即可得到结论．【解答】解：双曲线的标准方程为x2﹣=1（b＞1），则渐近线方程为y=±bx，直线的倾斜角为α，由y=bx得渐近线的斜率b=tanα，cosα=，则α=arctanb，b＞1，，双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，θ=π﹣2arctanb．也可以是：2arctan；也可以是arccos．双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为：2arctanb．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的夹角问题，求出双曲线的渐近线是解决本题的关键．比较基础．三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入|z|2+（z+）i=1﹣i，由复数相等的条件列式求解．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则由|z|2+（z+）i=1﹣i，得：a2+b2+2ai=1﹣i，∴，即或．故z=﹣或．【点评】本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．【分析】根据题意，设出双曲线的方程为﹣x2=t，将点（1，1）的坐标代入方程，计算可得t的值，将方程变形即可得答案．【解答】解：根据题意，要求双曲线的渐近线为y=±x，设其方程为﹣x2=t，又由双曲线经过点（1，1），则﹣1=t，则t=﹣，则双曲线的方程为﹣x2=﹣，即2x2﹣y2=1．则双曲线的方程为2x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，关键是由双曲线的渐近线方程设出其方程．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．【分析】根据题意，分析可得抛物线的开口向上或向左，据此分2种情况讨论，分析设出抛物线的方程，将M的坐标代入计算可得p的值，综合2种情况即可得答案．【解答】解：根据题意，要求抛物线经过点M（﹣2，4），则该抛物线开口向上或向左，若抛物线开口向左，设其方程为y2=﹣2px，又由其经过点M（﹣2，4），则有16=（﹣2）×p×（﹣2），解可得p=4，此时抛物线的方程为y2=﹣8x，若抛物线开口向上，设其方程为x2=2py，又由其经过点M（﹣2，4），则有（﹣2）2=2p×4，解可得p=，此时抛物线的方程为x2=y，综合可得：抛物线的方程为x2=y或y2=﹣8x．【点评】本题考查抛物线的标准方程，关键是依据点M的坐标，分析抛物线开口的方向，设出其方程．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．【分析】椭圆的焦点F1（﹣2，0）、F2（2，0），焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），c=2 ，a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，即可求得椭圆的方程；将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，根据中点坐标公式即可求得线段AB的中点坐标．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．【分析】（1）方程表示圆时：分母相等且为正；表示双曲线时：分母异号，列出方程或不等式求解即可．（2）点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，推出m关于t的表达式，利用基本不等式求解表达式的范围，然后推出m的范围．【解答】解：（1）因为方程表示圆时，4﹣t=t﹣2＞0，解得t=3，此时，此方程表示圆．因为方程表示双曲线时，（4﹣t）（t﹣2）＜0，即t＜2或t＞4，所以当t＜2或t ＞4时，此方程表示双曲线．（2）点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，方程≠1，即m2≠（4﹣t）•（）=，当t＞2时，≥3+2，当t＜2时，≤3﹣2．可得m∈（3﹣2，3+2）．【点评】（1）本小题主要考查圆锥曲线的共同特征，圆、双曲线的方程特征是解题的关键，属于基础题；（2）本小题考查函数与方程思想的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。

100.580.560.540.5图1青浦区2017学年九年级第二次学业质量调研测试数学试卷 2018.4（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂] 1．下列实数中，有理数是（ ▲ ） （A ；（B ）2.1；（C ）π；（D ）135．2．下列方程有实数根的是（ ▲ ）（A ）4+2=0x ； （B 1-； （C ）2+21=0x x -；（D ）111x x x =--． 3．已知反比例函数1y x=，下列结论正确的是（ ▲ ） （A ）图像经过点（-1，1）；（B ）图像在第一、三象限；（C ）y 随着x 的增大而减小； （D ）当1x >时，1y <． 4．用配方法解方程241=0x x -+，配方后所得的方程是（ ▲ ）（A ）2(2)=3x -； （B ）2(+2)=3x ； （C ）2(2)=3x --；（D ）2(+2)=3x -． 5． “a 是实数，20a ≥”这一事件是（ ▲ ）（A ）不可能事件； （B ）不确定事件； （C ）随机事件； （D ）必然事件． 6． 某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图1所示，成绩的中位数落在（ ▲ ）（A ）50.5~60.5分； （B ）60.5~70.5分； （C ）70.5~80.5分； （D ）80.5~90.5分．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7．计算：32()=a a ÷- ▲ ． 8．因式分解：24=a a - ▲ ． 9．函数y 的定义域是 ▲ ．010．不等式组1020.x x +≥⎧⎨->⎩，的整数解是 ▲ ．11．关于x 的方程=2(1)ax x a +≠的解是 ▲ ． 12．抛物线2(3)+1y x =-的顶点坐标是 ▲ ．13．掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为合数的概率是 ▲ ．14．如果点1P （2，1y ）、2P （3，2y ）在抛物线2+2y x x =-上，那么1y ▲ 2y ．（填“>”、 “<”或 “=”）15．如图2，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 在边AD 上，且AF ︰FD=2︰1，如果AB a =，BC b =，那么EF = ▲ ．16．如图3，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P 、P '所在的直线都经过同一点O ，且有(0)OP k OP k '=⋅≠，那么我们把这样的两个多边形叫位似多边形，点O 叫做位似中心．已知ABC ∆与A B C '''∆是关于点O 的位似三角形，3OA OA '=，则ABC ∆与A B C '''∆的周长之比是 ▲ ．17．如图4，在△ABC 中，BC=7，AC=，tan 1C =，点P 为AB 边上一动点（点P 不与点B 重合），以点P 为圆心，PB 为半径画圆，如果点C 在圆外，那么PB 的取值范围是 ▲ ．18．已知，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9， BC =12，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且CD ︰CE =3︰4．将△CDE 绕点D 顺时针旋转，当点C 落在线段DE 上的点F 处时，BF恰好是∠ABC 的平分线，此时线段CD 的长是 ▲ ．图3A BCDE F 图 2图4POP'三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．(本题满分10分)计算：1012152(3)2-+--+（）．20．(本题满分10分)先化简，再求值：25+3222x x x x ⎛⎫--÷⎪++⎝⎭（），其中x =．21. (本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=3，BC =4，∠ABC 的平分线交边AC 于点D ，延长BD 至点E ，且BD=2DE ，联结AE ． （1）求线段CD 的长； （2）求△ADE 的面积.22．（本题满分10分）如图6，海中有一个小岛A ，该岛四周11海里范围内有暗礁．有一货轮在海面上由西向正东方向航行，到达B 处时它在小岛南偏西60°的方向上，再往正东方向行驶10海里后恰好到达小岛南偏西45°方向上的点C 处．问：如果货轮继续向正东方向航行，是否会有触礁的危险？（参考数据：1.411.73≈）23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，MFDA东AB C图6D C BA图5且DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处． （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标． ．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9-1，已知扇形MON，∠MON =90，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC =BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA = x ，∠COM 的正切值为y ． （1）如图9-2，当AB ⊥OM 时，求证：AM =AC ； （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.青浦区2017学年九年级第二次学业质量调研测试评分参考一、选择题：1．B；2．C；3．B；4．A；5．D；6．C．二、填空题：7．a；8．()4-a a；9．3≥-x；10．101、、-；11．21-a；12．（3，1）；13．13；14．>；15．2132-b a；16．1︰3；17．358<<PB；18．6．三、解答题：19．解：原式212-+．································································（8分）=1． ·············································································（2分）20．解：原式=()2245223--+⨯++x xx x，·····························································（5分）=()()()233223+-+⨯++x x xx x， ·······················································（1分）=33-+xx.··················································································（1分）当=x2.············································（3分）21．解：（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H． ···············································（1分）∵BD平分∠ABC，∠C=90°，∴DH = DC=x， ········································································（1分）则AD=3-x．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5. ··········································（1分）O MNDCBA图9-1O MNDCBA图9-2NMO备用图∵sin ∠==HD BCBAC AD AB， ∴435=-x x ，·········································································· （1分） ∴43=x . ················································································ （1分）（2）1141052233=⋅=⨯⨯=ABD S AB DH . ············································· （1分）∵BD=2DE ， ∴2==ABD ADES BDSDE， ································································ （3分） ∴1015323=⨯=ADES. ······························································· （1分） 22．解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ． ······················································ （1分）由题意，得∠BAH =60°，∠CAH =45°，BC =10． ···································· （1分） 设AH =x ，则CH =x ． ······································································· （1分） 在Rt △ABH 中，∵tan ∠=BH BAH AH ，∴10tan 60+︒=xx， ······································· （3分）10=+x，解得513.65=≈x ， ······································ （2分）∵13.65>11， ················································································ （1分）∴货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险． ································· （1分） 答：货轮继续向正东方向航行，不会有触礁的危险．23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ， ············································· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ，································ （1分） ∴AE //DC ， ·········································································· （1分）∴=FM AMMD MC． ··································································· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ··················································· （1分） ∴=FM DM MD MB， ··································································· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ·········································· （1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ········································································ （1分） ∴3==DF BF a ． ·································································· （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ··················································· （1分） ∴=AF EF ， ········································································· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ··················································· （1分）24．解：（1）∵顶点C 在直线2x =上，∴22=-=bx a，∴4=-b a ． ··············· （1分） 将A （3，0）代入23y ax bx =++，得933=0++a b ， ·················· （1分） 解得1=a ，4=-b ． ································································ （1分） ∴抛物线的解析式为243=-+y x x ． ·········································· （1分） （2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵243=-+y x x =()221=--x ，∴C （2，1-）． ························· （1分）∵1==CM MA ，∴∠MAC =45°，∴∠ODA =45°， ∴3==OD OA ． ···································································· （1分） ∵抛物线243=-+y x x 与y 轴交于点B ，∴B （0，3），∴6=BD ． ········································································ （1分） ∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积， ∴12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDEBCDSSBD CN ． ························ （1分）（3）联结CE .∵四边形BCDE 是平行四边形，∴点O 是对角线CE 与BD 的交点，即 OE OC ==（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作1CF CE ⊥，交x 轴于点1F ，设点1F a （,0），在1Rt OCF 中，22211=OF OC CF +， 即 22(2)5a a =-+，解得 52a =，∴点152F （,0） ································ （1分） 同理，得点252F （-,0） ······································································ （1分） （ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧分别交x 轴于点3F 、4F ，可得34=OF OF OC ==3F ）、4F （） ····· （2分） 综上所述：满足条件的点有152F （,0），252F （-,0），3F ）），4F （）． 25．解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°． ·························· （1分）∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ． ······················ （1分） ∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△ABM ， ·································································· （1分） ∴AC =AM ． ············································································ （1分）（2）过点D 作DE //AB ，交OM 于点E ． ·············································· （1分）∵OB ＝OM ，OD ⊥BM ，∴BD ＝DM ． ··········································· （1分） ∵DE //AB ，∴=MD MEDM AE，∴AE ＝EM ， ∵OM，∴AE＝)12x ． ··············································· （1分） ∵DE //AB ，∴2==OA OC DMOE OD OD ， ···························································· （1分） ∴2=DM OA OD OE，∴=y（0<≤x ···················································· （2分）（3）（i ） 当OA =OC 时， ∵111222===DM BM OC x ， 在Rt △ODM中，==OD ∵=DM y OD，1=x2=x，或2=x （舍）．（2分） （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ，∵∠ACO >∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO >∠AOC ， ∴此种情况不存在． ·································································· （1分）（ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO=α，∵∠CAO >∠M ，∠M =90α︒-，∴α>90α︒-，∴α>45︒， ∴290α∠=>︒BOA ，∵90∠≤︒BOA ，∴此种情况不存在． ········ （1分）。

2017～2018学年第二学期高二年级期中考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数ii+310对应的点的坐标为( A )A ．)3,1(B ．)1,3(C ．)3,1(-D ．)1,3(-2.已知随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，若15.0)6()2(=>=<ξξP P ，则=<≤)42(ξP （ B ）A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 3.设)(x f 在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数)('x f 的图象可能是（ B ）4.用反证法证明命题：“若0)1)(1)(1(>---c b a ，则c b a ,,中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是( B )A ．假设c b a ,,都大于1B ．假设c b a ,,都不大于1C ．假设c b a ,,至多有一个大于1D ．假设c b a ,,至多有两个大于15.用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，从)(*N k k n ∈=到1+=k n 时，等式左边应添加的式子是( B )A ．222)1(k k +- B ．22)1(k k ++ C ．2)1(+k D.]1)1(2)[1(312+++k k6.3名志愿者完成4项工作，每人至少1项，每项由1人完成，则不同的安排方式共有（ D ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 7.在62)12(xx -的展开式中，含7x 的项的系数是（ D ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．2408.函数xe xf x2)(=的导函数是（ C ）A ．xe xf 2'2)(= B ．x e x f x 2'2)(= C ．22')12()(x e x x f x -= D ．22')1()(x e x x f x -=9.已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处的极值为10，则数对),(b a 为（ C ）A ．)3,3(-B ．)4,11(-C ．)11,4(-D ．)3,3(-或)11,4(-10.若等差数列}{n a 公差为d ，前n 项和为n S ，则数列}{n S n 为等差数列，公差为2d.类似，若各项均为正数的等比数列}{n b 公比为q ，前n 项积为n T ，则等比数列}{n n T 公比为( C )A.2q B ．2q C.q D.n q 11.将3颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率=)|(B A P ( C )A.21691 B.185 C.9160 D.2112.定义在R 上的偶函数)(x f 的导函数为)('x f ，若对任意实数x ，都有2)()(2'<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ B ）A ．}1|{±≠x xB ．),1()1,(+∞--∞C ．)1,1(-D ．)1,0()0,1( - 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设),(~p n B ξ，若有4)(,12)(==ξξD E ，则=p 2/3 14.若函数32)1(21)(2'+--=x x f x f ，则=-)1('f -1 15.如图所示，阴影部分的面积是 32/316.已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表，)(x f 的导函数)('x f y =的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题：②函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③当21<<a 时，函数a x f y -=)(有4个零点；④如果当],1[t x -∈时，)(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0． 其中所有正确命题是 ①③④ （写出正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分10分）设复数i m m m m z )23()32(22+++--=，试求实数m 的取值，使得 （1）z 是纯虚数； （2）z 对应的点位于复平面的第二象限． 解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0分5302303222 =∴⎪⎩⎪⎨⎧≠++=--m m m m m （2）当复数对应的点在第二象限时，分103102303222<<-∴⎪⎩⎪⎨⎧>++<--m m m m m 18.（本小题满分12分) 在数列}{n a 中，已知)(13,2*11N n a a a a n nn ∈+==+（1）计算432,,a a a 的值，并猜想出}{n a 的通项公式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想． 解：（1）72123213112=+⨯=+=a a a ,19213,132********=+==+=a a a a a a于是猜想出分5562-=n a n （2）①当1=n 时，显然成立；②假设当)(*N k k n ∈=时，猜想成立，即562-=k a k 则当1+=k n 时，5)1(6216215623562131-+=+=+-⨯-=+=+k k k k a a a k k k ， 即当1+=k n 时猜想也成立． 综合①②可知对于一切分12562,*-=∈n a N n n 19.（本小题满分12分)“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热点，为检测其质量，从一生产流水线上抽取20件该产品，其中合格产品有15件，不合格的产品有5件.（1）现从这20件产品中任意抽取2件，记不合格的产品数为X ，求X 的分布列及数学期望； （2）用频率估计概率，现从流水线中任意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的分布列及数学期望． 解：（1）随机变量X 的可能取值为0,1,23821)0(22021505===C C C X P ，3815)1(22011515===C C C X P ， 191)2(22001525===C C C X P , 所以随机变量X 的分布列为：分62192381380 =⨯+⨯+⨯=∴EX（2）合格机器人的件数可能是0,1,2,3，相应的不合格机器人的件数为3,2,1,0.所以ξ的可能取值为1,3，有题意知：1122213331319(1)()()()()444416P C C ξ==+=，3333331317(3)()()()()444416P C C ξ==+= 所以随机变量ξ的分布列为：分128163161)( =⨯+⨯=∴ξE 20.（本小题满分12分)编号为5,4,3,2,1的五位学生随意入座编号为5,4,3,2,1的五个座位，每位学生坐一个座位．设与座位编号相同的学生人数是X .(1)试求恰好有3个学生与座位编号相同的概率)3(=X P ； (2)求随机变量X 的分布列及均值．解：(1)恰好有3个学生与座位编号相同，这时另两个学生与座位编号不同，所以分412112010)3(5525 ====A C X P(2)随机变量X 的一切可能值为0,1,2,3,4,5. 且121)3(,00)4(,120112011)5(5555=========X P A X P A X P ； 83120459)1(,61120202)2(55155525========A C X P A C X P301112044)]5()4()3()2()1([1)0(===+=+=+=+=-==X P X P X P X P X P X P 随机变量X 的分布列为故分1211205041236281300)( =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E 21.（本小题满分12分)已知函数)(ln )(R a x ax x f ∈+=（1）若2=a ，求曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间；（3）设22)(2+-=x x x g ，若对任意),0(1+∞∈x ，均存在]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f <，求a 的取值范围． 解：（1）2),0(1)('=>+=a x x a x f )0(12)('>+=∴x xx f ， 3)1('=∴f ， 3=∴k又切点)2,1(，所以切线方程为)1(32-=-x y ，即：013=--y x 故曲线)(x f y =在1=x 处切线的切线方程为分4013 =--y x（2）)0(11)('>+=+=x xax x a x f ①当0≥a 时，0)('>x f ，所以)(x f 的单调递增区间为分6),0( +∞②当0<a 时，由0)('=x f ，得ax 1-= 在区间)1,0(a -上0)('>x f ，在区间),1(+∞-a上，0)('<x f . 所以，函数)(x f 的单调递增区间为)1,0(a -，单调递减区间为分8),1( +∞-a（3）由已知，转化为]1,0[,1)1()(,)()(2max max ∈+-=<x x x g x g x f ，2)(max =∴x g 由（2）知，当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在23)(33>+=ae e f ，故不符合题意．）当0<a 时，)(x f 在)1,0(a -上单调递增，在),1(+∞-a上单调递减， 故)(x f 的极大值即为最大值，)ln(1)1()(max a af x f ---=-=， 所以2)ln(1<---a ，解得31e a -< 综上：分1213 ea -< 22.（本小题满分12分) 已知函数2()ln(1)f x ax x =++ （1）当14a =-时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()f x 在区间[1)+∞，上为减函数，求实数a 的取值范围 （3）当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）)1()1(2)1)(2(1121)('->+-+-=++-=x x x x x x x f 令0)('>x f 得11<<-x ，令0)('<x f 得1>x .)(x f ∴在)1,1(-上是增函数，在),1(+∞上是减函数. 2ln 41)1()(+-==∴f x f 极大值，)(x f 无极小值分4（2）因为函数)(x f 在区间[1)+∞，上为减函数， 所以0112)('≤++=x ax x f 对任意的),1[+∞∈x 恒成立， 即)1(21+-≤x x a 对任意的),1[+∞∈x 恒成立，4121)211(2121)21(21)1(2122-=-+-≥-+-=+-x x x分841-≤∴a（3）因为当[0)x ∈+∞，时，不等式()f x x ≤恒成立， 即0)1ln(2≤-++x x ax 恒成立，令)0()1ln()(2≥-++=x x x ax x g ， 转化为0)(max ≤x g 即可.1)]12(2[1112)('+-+=-++=x a ax x x ax x g 当0=a 时，1)('+-=x x x g ，0>x ，0)('<∴x g 即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 当0>a 时，令0)('=x g 得，0=x 或121-=ax 若0121≤-a 即21≥a 时，),0(+∞∈x 有0)('>x g ， 则)(x g 在),0[+∞上单调递增，0)0()(=≥g x g ，不满足题设； 若0121>-a 即210<<a 时，)121,0(-∈a x 有0)('<x g ，),121(+∞-∈ax 有0)('>x g ， 则)(x g 在)121,0(-a 上单调递减，在),121(+∞-a上单调递增，无最大值，不满足题设； 当0<a 时，0>x ，0)('<∴x g即)(x g 在),0[+∞上单调递减，故0)0()(=≤g x g 成立. 综上：实数a 的取值范围为分12]0,( -∞。

2017—2018学年度第二学期教学质量检查高二理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.13.0 14.31015.1216. 3三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．解：（Ⅰ）因为()1+z i m i =-∴1122m m z i -+=-， ————1分∴z 的共轭复数i m m z 2121++-=，∴ z 在复平面内对应的点是11,22m m -+⎛⎫⎪⎝⎭， ————3分依题意117022m m -++-=————4分 ∴7m =————5分 （Ⅱ）∵1z ≤，∴2211122m m -+⎛⎫⎛⎫+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，————8分 ∴11m -≤≤.————10分18. 解: （Ⅰ）依题意得22⨯列联表为————2分————4分所以，在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为观众的满意程度与所在地区有关系.————5分（Ⅱ）从A 地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为23P = ————6分 随机抽取3人， X 的可能取值为0,1,2,3，2~(3,)3X B————8分()3110327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，()2132162133279P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22321124233279P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()3283327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭ ————10分∴X 的分布列为2323)(=⨯=X E————12分19.解：（Ⅰ）2dy c x=+更适宜作销量y 关于单价x 的回归方程类型. ————2分（Ⅱ）设21x w =，则dw c y += 由最小二乘法求系数公式可得：1011021()()16.2200.81()iii ii w w y y d w w ∧==--===-∑∑ ————4分ˆ20.6200.785ˆc y d w=-⨯-==，————6分 所以所求回归方程为2205y x =+.————8分（Ⅲ）设销售额为z ，则)0(,205>+==x xx xy z ————9分25205≥+==xx xy z ，即0452≥+-x x ， 解得10≤<x 或4≥x ————11分 当单价x 范围为10≤<x 或4≥x 时，该商品的销售额不小于25————12分20.解：（1）()123'2++=bx ax x f————1分由已知，()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=0132331'01231'b a f b a f————4分解得：1-=a ，1=b————5分此时()()()113123'2-+-=++-=x x x x x f 则13x <-或1x >时，()0'<x f ，；131<<-x 时，()0'>x f ， 即()x f 在1(,)3-∞-上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛-131，上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，符合题意————7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡--311，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-131，上单调递增，在(]21，上单调递减。

2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。

2017-2018学年度第二学期期中考试高二数学试题（理）一、选择题（每题5分，共60分）1．设复数z满足11zz-+=2i,则z =A．35-45-B．35-+45i C．35+45i D．3545-i2.已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为A.2B.3C.5D.7 3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB→与AC→夹角为()A．30° B．45° C．60° D．90°4.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是( )A.5B.3或8C.3或5D.20 5．中心在原点，焦点在x轴上,若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.x281＋y272＝1 B.x281＋y29＝1 C.x281＋y245＝1 D.x281＋y236＝16．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n－1个式子为( )A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n D．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋17．已知函数 的导函数 图象如图所示,则函数 有 A．两个极大值,一个极小值 B．两个极大值,无极小值 C．一个极大值,一个极小值 D．一个极大值,两个极小值 8．设a ≠0，a ∈R，则抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，12aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，14a9.三角形的面积为S=(a+b+c)·r,其中a,b,c为三角形的边长,r为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为 ( ) A.V=abcB.V=ShC.V= (S 1+S 2+S 3+S 4)· r(S 1,S 2,S 3,S 4分别为四面体的四个面的面积,r为四面体内切球的半径)D.V=(ab+bc+ac)·h(h为四面体的高)10．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－3，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)11．若直线与抛物线 相交于 ， 两点，则 等于 A ．B ．C ．D ．12．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知()20d f x x ⎰＝8，则()202d f x x x ⎡⎤-⎣⎦⎰＝______14．若双曲线11622=-m x y 的离心率2=e ，则=m ______________．15．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示____________________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个． ③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________． 三、解答题（17题10分，18—22每题12分）17．( 本小题满分10分)（1）已知斜率为1的直线l 过椭圆1422=+y x 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长。

2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为．4．（3分）若复数z=，则|z|=5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．814．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为2．【考点】A1：虚数单位i、复数．【解答】解：复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．∴复数1+2i的虚部为2．故答案为：2．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于13【考点】&S：实系数多项式虚根成对定理．【解答】解：关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），k ∈R．则a﹣3i也是此方程的一个根．∴a+3i+a﹣3i=﹣4，（a+3i）（a﹣3i）=k，解得a=﹣2．k=4+9=13．故答案为：13．3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为60°．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．4．（3分）若复数z=，则|z|=【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵复数z=======﹣1﹣i，∴|z|==．故答案为：．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为2【考点】KE：曲线与方程．【解答】解：由题意，曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧）与直线L：y=m（L∥x轴）有且只有一个公共点∴m=2故答案为：2．6．（3分）已知复数z 1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于3【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=t+4i，∴z 1=（3+4i）（t﹣4i）=（3t+16）+（4t﹣12）i，由z 1是实数，得4t﹣12=0，即t=3．故答案为：3．7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是2【考点】A8：复数的模．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴|z﹣i|=|cosθ+（sinθ﹣1）i|==．∴当sinθ=﹣1时，|z﹣i|的最大值是2．故答案为：2．8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为【考点】KI：圆锥曲线的综合．【解答】解：双曲线=1可得双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为（，0），（，0），顶点坐标为（3，0），（﹣3，0），由题意设椭圆的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），顶点坐标为（，0），（，0），则a=2，c=3，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：，故答案为：，9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，∵A（3，2），∴P点的纵坐标y=2，此时由y2=2x得x=，即P（2，2），故答案为：（2，2）10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为50【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：根据题意双曲线=1，双曲线图象如图：|AF2|﹣|AF1|=2a=16 ①|BF2|﹣|BF1|=2a=16 ②而|AB|=9，①+②得：|AF2|+|BF2|=41，∴周长为50．故答案为：50．11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为（x﹣5）2+y2=16．【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．【解答】解：∵c2=169﹣144=25，∴椭圆的右焦点为F（5，0），∴所求圆的圆心坐标是（5，0）．∵双曲线的渐近线方程是，由点到直线的距离公式可知（5，0）到的距离=4，∴所求圆的半径为4．故所求圆的方程是（x﹣5）2+y2=16．答案：（x﹣5）2+y2=16．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是[1，]【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：设P（，y），由题意可得m2====1+，1≤m2≤1+=3，∴1≤m≤，当且仅当y2=2时，m取得最大值，y=0时，m取得最小值，则m的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．8【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选：C．14．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=5，且|F1F2|=5∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|①当点P不在直线F1F2上时，根据三角形两边之和大于第三边，得|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；②当点P在直线F1F2上时，若点P在F1、F2两点之外时，可得|PF1|+|PF2|＞5，得到|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；若点P在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|，符合题意．综上所述，得点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间或与F1、F2重合，故点P的轨迹是线段F1F2．故选：B．15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质．【解答】解：椭圆得∴c1=，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线：有则半焦距c2=∴则实数m=±1故选：C．16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccos B．2arctanC．π﹣2arctanb D．2arctanb【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：双曲线的标准方程为x2﹣=1（b＞1），则渐近线方程为y=±bx，直线的倾斜角为α，由y=bx得渐近线的斜率b=tanα，cosα=，则α=arctanb，b＞1，，双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，θ=π﹣2arctanb．也可以是：2arctan；也可以是arccos．双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为：2arctanb．故选：D．三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．【考点】A8：复数的模．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则由|z|2+（z+）i=1﹣i，得：a2+b2+2ai=1﹣i，∴，即或．故z=﹣或．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：根据题意，要求双曲线的渐近线为y=±x，设其方程为﹣x2=t，又由双曲线经过点（1，1），则﹣1=t，则t=﹣，则双曲线的方程为﹣x2=﹣，即2x2﹣y2=1．则双曲线的方程为2x2﹣y2=1．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：根据题意，要求抛物线经过点M（﹣2，4），则该抛物线开口向上或向左，若抛物线开口向左，设其方程为y2=﹣2px，又由其经过点M（﹣2，4），则有16=（﹣2）×p×（﹣2），解可得p=4，此时抛物线的方程为y2=﹣8x，若抛物线开口向上，设其方程为x2=2py，又由其经过点M（﹣2，4），则有（﹣2）2=2p×4，解可得p=，此时抛物线的方程为x2=y，综合可得：抛物线的方程为x2=y或y2=﹣8x．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，焦点在x轴上，设椭圆C的方程为：（a＞b＞0），a=3，b2=a2﹣c2=9﹣8=1，∴椭圆C的方程为：；由，消y整理得：10x2+36x+27=0，由△=362﹣4×10×27=216＞0，∴直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），中点E（x0，y0），则x1+x2=﹣，由中点坐标公式可知：x0==﹣，y0=x0+2=，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．【考点】K4：椭圆的性质；KC：双曲线的性质；KE：曲线与方程．【解答】解：（1）因为方程表示圆时，4﹣t=t﹣2＞0，解得t=3，此时，此方程表示圆．因为方程表示双曲线时，（4﹣t）（t﹣2）＜0，即t＜2或t＞4，所以当t＜2或t ＞4时，此方程表示双曲线．（2）点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，方程≠1，即m2≠（4﹣t）•（）=，当t＞2时，≥3+2，当t＜2时，≤3﹣2．可得m∈（3﹣2，3+2）．。

2017学年第二学期高二期中考试数 学考生须知：1. 全卷分试卷和答卷. 试卷2页，答卷 2页，共 4页. 考试时间120分钟，满分150分.2. 本卷的答案必须做在答卷的相应位置上，做在试卷上无效；选择题用答题卡的，把答案用2B 铅笔填涂在答题卡上.3. 请用钢笔或圆珠笔将班级、序号、姓名、座位号分别填写在答卷的相应位置上. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设()log (0a f x x a =>且1a ≠），若()12 2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( ▲ ) A ．2 B ．2- C ．12-D ．122．已知()3sin 5πα+=，α为第三象限角，则tan α=( ▲ ) A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 3．已知平面向量()1,2a = ，()//a b b +，则b 可以是( ▲ )A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()2,1D ．()1,24．下列求导运算正确的是( ▲ ) A ．3211)1(xx x -='+B ．(2)2ln 2x x '=C ．2(sin )2cos x x x x '=D ．1(ln 2)2x x'=5．已知集合{}2|430A x x x =++≤，{}2|0B x x ax =-≤.若B A ⊆，则实数a 的取值范围是( ▲ )A ．33≤≤-aB ．0≥aC ．3-≤aD ．3-<a6．在R 上的可导函数)(x f 的图象如图所示，则关于x 的不等式0)(<'x f x 的解集是( ▲ )A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-C ．)2,1()1,2( --D ．),2()2,(+∞--∞7．若函数21()f x x ax x =++在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是( ▲ ) A ．[]1,0- B ．[)1,-+∞ C ．[]1,3-D ．[)3,+∞8．已知三棱台111ABC A B C -的底面是锐角三角形，则存在过点A 的平面( ▲ )A ．与直线BC 和直线11AB 都平行 B ．与直线BC 和直线11A B 都垂直C ．与直线BC 平行且与直线11A B 垂直D ．与直线BC 和直线11A B 所成的角相等9．设F 是双曲线:C ()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若3AF BF =，则C 的离心率是( ▲ )A B CD ．210.设函数()()22()2ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，存在()00,x ∈+∞，使得04()5f x ≤成立，则实数a 的值是 ( ▲ ) A ．12 B ．1 C ．15 D ．25二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12、13、14小题每空3分，第15、16、17小题每空4分，共36分.）11.设集合{}{}|1,|2,S x x T x x =<=≤则S T = ▲ ；R T C S = ▲ .（R 表示实数集）12. 已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≤时，()23f x x x a =++，则a = ▲ ；当[]13x ∈，时，()f x 的取值范围是 ▲ .13. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30A =︒，3a =，2c =，则si n C = ▲ ，b = ▲ .14.已知直线20x y +-=与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，P 是抛物线的弧AOB 上的动点，当ABP ∆的面积最大时，点P 的坐标是 ▲ ，此时ABP ∆的面积是 ▲ .15.已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()()3f f x =的零点的个数是 ▲ .16. 已知a 、b 是平面内的两个单位向量，若()c a b a b -+≤- ，则c的最大值是▲ .17. 已知函数xxx a x f +-+=11ln 2)(，其中0>a .若()f x 有极值，则它的所有极值之和为 ▲ .三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=+-()0ω>的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.19.已知函数1)(23+++=bx ax x x f 在1-=x 处有极值2. （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）当[]t x ,1-∈时，设)(x f 的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面DABCD .12PA PB AB BC AD ====，G 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：//CG 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CA 与平面PAD 所成角的正弦值.21.已知椭圆22:13x C y +=，点P 是直线3x =上的动点，过点P 作椭圆的切线PA ，切点为A ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若切线PA 的斜率为1，求点A 的坐标；（Ⅱ）求AOP ∆的面积的最小值，并求出此时PA 的斜率.22.已知函数()2xf x e x =--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x >时，不等式()()1x k x f x '+>-恒成立，求整数k 的最大值.2017学年第二学期高二期中考试数学答案一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12、13、14小题每空3分，第15、16、17小题每空4分，共36分）11.(],2-∞；[]1,2 12. 0；90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦13.1314.()1,2-；15. 416. 17. 0三、解答题(本大题共5题：其中第18题14分，第19、20、21、22题各15分，共74分)18.已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=+-()0ω>的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω，并求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 解：（Ⅰ）∵1()2cos 222f x x x ωω=- …………………………2分 ()sin 26f x x πω⎛⎫∴=-⎪⎝⎭………………………………………2分,1T πω=∴= ……………………………………………………2分()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 3222262k x k πππππ∴+≤-≤+ ∴函数()f x 的单调递减区间为()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦………………2分（Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦………………………………2分 ∴()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦…………………………………………………4分 19.已知函数1)(23+++=bx ax x x f 在1-=x 处有极值2. （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）当[]t x ,1-∈时，设)(x f 的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式.解: （Ⅰ）()b ax x x f ++='232 ……………………………………………………2分()()⎩⎨⎧=-=-'2101f f⎩⎨⎧=+-+-=+-∴211023b a b a ,⎩⎨⎧-==∴11b a …………………………………………3分此时()()()1131232+-=-+='x x x x x f ，所以1-=x 是极大值点1)(23+-+=∴x x x x f ……………………………………………………2分 （Ⅱ）)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31上递增…………………………2分 若311<<-t ，则()1)()(23min +-+===t t t t f x f t g ……………………2分 若31≥t ，则272231)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f t g ……………………………………………2分 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-+-+=31,2722311,1)(23t t t t t t g ………………………………………………2分20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD .12PA PB AB BC AD ====，G 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：//CG 平面PAB ；（Ⅱ）求直线CA 与平面PAD 所成角的正弦值. 解：（Ⅰ）取AD 的中点M ，则//GM PA ，所以//GM 平面PAB …………2分//CM AB ，//CM ∴平面PAB …………2分所以平面//CGM 平面PAB ……………1分CG ⊂ 平面CGM//CG ∴平面PAB . …………………………2分（Ⅱ）BC AB ⊥ ,侧面PAB ⊥底面ABCD BC ∴⊥平面PAB …………………………2分 B C P B ∴⊥ 设112PA PB AB BC AD =====，则PC CD ==CG PD ∴⊥ ……………………………………………………1分 BC ⊥ 平面PAB ，BC ∴⊥平面CGM BC CG ∴⊥，CG AD ∴⊥ CG ∴⊥平面PADCAG ∴∠即为所求角…………………………3分PDCG ∴=CA =sin CAG ∴∠=∴直线CA 与平面PAD…………………………2分 21.已知椭圆22:13x C y +=，点P 是直线3x =上的动点，过点P 作椭圆的切线PA ，切点为A ，O 为坐标原点. （Ⅰ）若切线PA 的斜率为1，求点A 的坐标；D（Ⅱ）求AOP ∆的面积的最小值，并求出此时PA 的斜率.解：（Ⅰ）设切线PA ：y x m =+2233y x m x y =+⎧⎨+=⎩得到2246330x mx m ++-=………2分 0∆=，得到24m =，所以2m =±……………2分 所以31,22A ⎛⎫-⎪⎝⎭或31,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭…………………2分 （Ⅱ）设切线PA ：y kx m =+2233y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得到222(13)6330k x kmx m +++-=…………………………2分0∆=，得到2213m k =+………………………………………1分23313A km kx k m--∴==+……………………………………………1分132AOP A S m x ∆∴=-133322k m m k m =⋅+=+…………………………2分 令m k t +=，则m t k =-，代入2213m k =+，得到222210k tk t ++-=0∆≥，得到223t ≥，所以t ≥ 所以()min 2AOP S ∆=2分此时6k =±.……………………………………………………1分 另解：设()00,A x y ，则00:13PA x xl y y +=……………………1分 所以0013,x P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭………………………………………………2分 0000001311322AOP x x S x y y y ∆--∴=⋅-=…………………………2分设直线3x =与y 轴的交点为M ，则112AOP AMS k ∆∴=，当AM 与椭圆相切时，AM k 最大，即AOP ∆的面积最小所以()3,0P ，此时1,A ⎛ ⎝⎭，所以6k =± …………2分∴()min AOP S ∆=2分 22.已知函数()2x f x e x =--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x >时，不等式()()1x k x f x '+>-恒成立，求整数k 的最大值. 解：（Ⅰ）()1xf x e '=-………………………………………………2分令()0f x '>，则0x >所以，()f x 在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增. ……………2分（Ⅱ）()()11xx k x e +>--令()()()11xg x x k e x =--++，则()min 0g x >…………………………………2分()()1xg x x k e'=-+………………………………………………1分 ①若1k ≤，则()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上递增，所以()()01g x g >=1k ∴≤成立………………………………………………………2分 ②若1k >，则()g x 在区间()0,1k -上递减，在()1,k -+∞上递增所以()()1min 110k g x g k e k -=-=-++>………………………………………2分即110k ek ---<()2x f x e x =-- 在区间()0,+∞上单调递增令1()1k h k ek -=--，则()h k 在()1,+∞上单调递增…………………………2分2(2)30,(3)40h e h e =-<=->，所以函数()h k 的零点()2,3∈∴整数k 的最大值是2………………………………………………2分。

上海市青浦一中高二数学下学期期中试题（含解析）一：选择题。

1.直线与平面所成角的范围______．【答案】0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 由直线与平面所成角的定义可得.【详解】解：根据直线与平面所成角的定义可得直线与平面所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【点睛】本题考查直线和平面所成的角基本概念.2.已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-，则a b +=____．【解析】【分析】 利用空间向量的坐标运算法则求出a b +，由此能求出结果. 【详解】解：∵(1,4,2),(2,1,3)ab =-=- ∴()=1,3,5a b +-- ∴()1a b +=-=【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.3.已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =，平面α的一个法向量(,3,5)n m =-，且//l α，则m =____【答案】1-【解析】【分析】由题意可得，根据线面平行可得d n ⊥，则=0d n ，进而得到4950m +-=，解得即可.【详解】解：由题意可得d n ⊥，则4950m +-=解得1m =-【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为___． 【答案】2π 【解析】【分析】由题意可得，AD ⊥平面11ABB A ，从而得到1AD A B ⊥，即可得到答案.【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，∵AD ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A∴1AD A B ⊥∴异面直线1A B 与AD 所成的角的大小为2π 故答案为：2π. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，线面垂直的性质定理.5.已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为_．【答案】50π【解析】【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解：设底面的半径为r ，则sin 3010=5r =⨯∴该圆锥的侧面积510=50S ππ=⨯⨯故答案为：50π【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.6.二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β，则a 与b 所成角的大小是____【答案】60【解析】【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l αβ--为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60，异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴故答案为：60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.7.下列四个结论中假命题的序号是_____．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若直线a ，b 是异面直线，则与a ，b 都相交的两条直线是异面直线．【答案】①④【解析】【分析】根据空间中线面的位置关系的判定和性质或举反例即可判断.【详解】解：对于①，若l α⊥，则α内任意两条直线都与l 垂直，显然命题①是假命题； 对于②，由平行公理可知命题②是真命题；对于③，将直线a 平移到b 的位置，由于b c ⊥，故而a c ⊥，故命题③是真命题； 对于④，在直线a 上取P 点，在直线b 上取点A ，B ，则PA ，PB 都与a ，b 相交，显然PA ，PB 相交，故命题④是假命题.故答案为：①④【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系和性质，熟练掌握直线与平面之间的位置关系是解决此题的关键.8.互不重合的三个平面可以把空间分成_____个部分【答案】4、6、7、8【解析】分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；五种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分； 若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧面的关系)，则可将空间分为7部分； 若三个平面两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙面的关系)，则可将空间分为8部分；故互不重合的三个平面可以把空间分成4、6、7、8个部分.【点睛】本题以平面分空间的分类讨论为载体，考查了空间中平面与平面之间的位置关系，考查了学生的空间想象能力.9.已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____.【答案】1【解析】【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ．【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3， ∴EO∥CD，且EO 1CD 12==，FO∥AB，且FO 1AB 2==1， ∴∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角， ∴πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=， 当∠EOF π3=时，△EOF 是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF 3∠=时，EF ==故答案为：1．【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题10.设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45，且两地所在纬度圈上的弧长为24R，则A、B之间的球面距离是_____（结果用含有R的代数式表示）【答案】3Rπ【解析】【分析】由题意可得：北纬45圈的半径是22R，并且得到AB R=，所以A、B两地所在的球心角为60︒，即可得出答案.【详解】解：由题意可得：北纬452∵在北纬45圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于24R∴过A、B两点的小圆的圆心角为90，即AB R=∴A、B两地所在的球心角为60︒∴A、B两地间的球面距离为3Rπ故答案为：3R π. 【点睛】本题考查球面距离及相关计算，解决此类问题的关键是熟练掌握球面距离以及解三角形的有关知识，考查学生的计算能力与想象能力.11.已知三棱锥P -ABC ，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且12PA PB PC ===，，D 为面ABC 上的动点，则PD 的最小值为___． 【答案】23【解析】【分析】根据题意利用等体积法计算P 点到平面ABC 的距离，即为PD 的最小值.【详解】解：∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且1PA PB ==，=2PC∴AB AC BC ===∴C 点到AB 的距离为2∴ABC ∆的面积为1322设点P 到平面ABC 的距离为h ，则11131123232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ ∴23h = 即PD 的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了点、线、面间的距离计算，考查了等体积法.12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为_______。