几何概型导学案

3.3.1 几何概型（1）学习要求1、了解几何概型与古典概型的区别2、理解几何概型的定义及其特点3、会用几何概型的概率公式求几何概型的概率自学评价试验 1 取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？【分析】从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上（除两端点）的任意一点．因此,所有基本事件是有限个还是无限个？每个基本事件的发生是不是等可能的? 要使剪得两段的长都不小于1m应在哪个位置剪？试验2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？【分析】射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点．因此,所有基本事件是有限个还是无限个？每个基本事件的发生是不是等可能的? 什么情况下算是射中黄心？１．几何概型的定义：对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个区域D内随机地取一点,这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等.该区域中每一个点被取到的机会都一样;而一个随机事件A的发生则理解为恰好取到D区域内的某个指定区域d中的点. 这时，事件A发生的概率与d的测度（、、等）有关，与d的形状和位置无关。

满足这样条件的概率模型称为几何概型.２．几何概型的基本特点：（１）试验中所有基本事件是（２）每个基本事件出现是３．几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D中随机地取一点，把＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率P(A)=说明：（1）D的测度不为0；（2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是 , , .课堂探究例1、在区间[-1,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是多少？例2、取一个边长为2a 的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率？例3、在等腰直角△ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率？交流展示1、在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为多少？2、若[2,2],[2,2]x y ∈-∈-,则点(,)x y 在圆面222x y +≤内的概率是多少?3、某人午休醒来，发现表停了，他打开收音机想听整点报时，求他等待的时间短于10min 的概率？4、如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率是多少？5、在正方形ABCD 内随机取一点P ，求∠APB ＞ 90°的概率．若∠APB ＝90°呢？。

几何概型学习目标1、能举例说明什么是几何概型2、会求简单的几何概型的概率学习重点几何概型的定义及求解学习探究一、问题设计1、一只口袋内装有大小相同的10只球，其中7只白球，3只红球，从中摸出一只球,摸出的球是红球算中奖，问中奖的的概率是多少？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？2、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m 的概率有多大？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？3、如图，有一个由红绿蓝三色构成的彩色圆盘，向圆盘内随机抛掷一粒小纽扣（落在圆盘外的不算）.你猜想小纽扣落在红色区域内的概率是多少？这一问题是什么概型？它是怎么定义的？想一想：上述三个问题有何异同？二、学习探究1、几何概型的定义想一想：试类比古典概型的特征归纳总结几何概型的特征，并比较它们的异同.猜一猜：问题2、3的概率各是多少？2、几何概型概率三、典例解析例1：（1）x的取值是区间[1,4]中的整数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。

（2）x的取值是区间[1,4]中的实数，任取一个x的值，求“取得值大于2”的概率。

例2、取一个长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率。

变式1已知在一个边长为2的正方形中有一个椭圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，若落入椭圆的概率为0.3,求椭圆的面积．变式2有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积.(结果保留π）变式3一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽为20m 的长方形,求此海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率.四、巩固练习1、在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a ，则这个实数a >7的概率为 ;2、在一个5000km 2的海域里有面积达40 km 2的大陆架蕴藏着石油，在这个海域里随意选定一点钻探，钻出石油的概率为3、有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,则取出水中含有这个细菌的概率为___＿.五、学习小结1.几何概型的特征2.几何概型的定义3.几何概型的概率计算公式4.几何概型与古典概型的异同六、课后作业2 A。

几何概型
【学习目标】几何概型的概念与应用
【创设情境】转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，当转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率是多少呢？
【概念形成】
1、定义：事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的 （或 、 、 ）成正比，而与A 的 和 无关，满足以上条件的试验称为 。

2、在几何概型中，事件A 的概率定义为： 其中Ωμ表示区域 ，A μ表示子区域
【例题选讲】
例1、在500毫升的水中游一只草履虫，现从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。

例2、一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形。

求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率。

例3、平面上画了一些彼此相距为2a 的平行线，把一枚半径a r <的硬币任意投在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率。

【巩固提高】
1、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，试求这正方形的
面积介于362cm 与812cm 之间的概率。

2、向面积为S 的ABC ∆内投一点P ，求PBC ∆的面积小于2
S 的概率。

3、某人在家门前相距6m 的两棵树间系一条绳子，并在绳子上挂一个衣架，求衣架钩与两树的距离都大于2m 的概率。

4、设A 为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A 连接，求弦长不超过半径的概率。

5、向右图中所示的正方形内投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率。

§3.3.1 几何概型高二数学组:万志强学习目标1．了解几何概型的意义，会运用几何概型的概率计算公式，会求简单的几何概型事件的概率。

2．通过游戏、案例分析，学习运用几何概型的过程，初步体会几何概型的含义，体验几何概型与古典概型的联系与区别。

3．通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。

学习重难点重点：几何概型的特点，几何概型的识别，几何概型的概率公式。

难点：将现实问题转化为几何概型问题，从实际背景中找几何度量。

预习内容：一、复习回顾：古典概型（1）所有可能出现的基本事件只有 (有限性) （2）每个基本事件出现的可能性 （等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为 ，简称 . （3）那么事件A 的概率为 )(A P二、了解新知：（一）知识清单（预习教材P 135—P136 ，找出疑惑之处）1.探究:试验1正方形内有一个圆，随机向正方形内丢一粒石子，求石子落入圆内的概率.试验2有两个转盘，甲乙两人玩游戏。

规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜。

在两种情况下分别求甲获胜的概率？试验1 试验2问题1:这两个试验有两个共同特征，你能找出来吗？问题2:还能用古典概型的概率公式来求这两个试验的概率吗？问题3:这种新模型的概率与什么有关系？2.几何概型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为 ，简称为 。

3.在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P(A)=4.典型例题例1:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.变式1：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.例2:红外保护线长3米，只有在和两端距离均不小于1米的点接触时，红外线才不会报警，则灰太狼能够安全进羊村的概率是多少？变式2: 若羊村是个面积为10000平方米的矩形，而灰太狼在羊村内炸出的圆有100平方米，假设喜羊羊在羊村的每一点都是等可能的，那么，他炸到喜羊羊的概率是多少？当堂检测一个20立方米的海洋球池里混入了一颗水晶球，现从中取出0.5立方米，含有水晶球的概率是多少？学习反思:。

《 3.3.1几何概型》导学案编写人：范志颖审核人：范志颖审批人：袁辉【学法指导】1.认真阅读教科书，努力完成“基础导学”部分的内容；2.探究部分内容可借助资料，但是必须谈出自己的理解；不能独立解决的问题，用红笔做好标记；3.课堂上通过合作交流研讨，认真听取同学讲解及教师点拨，排除疑难；4.全力以赴，相信自己！用。

2、如何利用几何图形，把问题转化为几何概型问题。

学习难点正确判断几何概型并求出概率。

【学习过程】复习提问：1、古典概型的两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有____________.(2)每个基本事件出现的_____________________________.2、计算古典概型的公式：探究（一）1.一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；2.往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是有限的还是无限的。

那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?进行下面的探究问题１：下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？书房问题2:图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。

在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？（图见教材135页图3.3-1）问题3:甲获胜概率与区域的位置有关吗？与图形的大小有关吗?甲获胜可能性是由什么决定的？几何概型：定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_________________________成比例，则称这样的概率模型为______________概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型。

几何概型的公式:几何概型的特点a) 试验中所有可能出现的基本事件有______________b) 每个基本事件出现的__________________________古典概型与几何概型的区别相同：两者基本事件发生的可能性都是___________的；不同：__________概型要求基本事件有有限个，______________概型要求基本事件有无限多个。

3.3.1几何概型学习目标：1、理解几何概型的概念，掌握几何概型的概率公式2、理解几何概型的意义，加强与现实生活的联系学习重点：几何概型概念的理解和公式的应用学习难点：几何概型的应用预习案：1.几何概型：事件A是某一区域Ω的子区域，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。

满足以上条件的试验称为几何概型。

参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？（1）可能出现的结果有；（2）每个结果发生的2.几何概型的概率思考1：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？思考2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？思考3：在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？一般地，在几何概型中事件A 发生的概率计算公式：P (A )=探究案：1、 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形。

试求这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率。

2、 在圆心角为90︒的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30︒的概率。

构成事件A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）3、已知长方形S ABCD 边长为2，在正方形ABCD 内随机取一点P ， 则点P 满足︳PA ︱≤1的概率是4、水池的容积是20cm 3,水池里的水龙头A 和B 的水流速度都是1m 3/h ，它们一昼夜（0~24h ）内随即开启，则水池水不溢水的概率为5、在一边长为2的正六边形的纸片上，有一个半径为R 的半圆孔，随机向该纸片投掷一粒芝麻，若芝麻恰好从半圆孔穿过的概率为 63，则R=_________.6、如图，设一个质点等可能地落在xoy 面上的三角形区域D 内，D 是由直线x=0,y=0,x+y=2所围成的，设事件A 为“质点落在直线y=1”的下侧，求P (A )yx OB A D E F 22111D。

高中数学必修三3.3几何概型导学案3.3几何概型【学习目标】1．理解几何概型的定义，会用公式计算概率．2.掌握几何概型的概率公式：P（A）=【知识梳理】知识回顾：1.基本事件的两个特点：一是任何两个基本事件是的；二是任何事件（除不可能事件）都可以表示为.2.古典概型的两个重要特征：一是一次试验可能出现的结果只有；二是每种结果出现的可能性.3.在古典概型中，=.新知梳理：1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(）成比例，则称这样的概型为几何概型.2.几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有.（2）每个基本事件出现的可能性.3.几何概型的概率公式=.对点练习：1.在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）.（A）0.5（B）0.4（C）0.004(D)不能确定2.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在（g）范围内的概率是（）（A）0.62（B）0.38（C）0.02(D)0.683.在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为（）（A）（B）（C）(D)4.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为．【合作探究】典例精析例题1.取一根长3米的绳子，拉直后再任意位置剪断，那么剪得的两段的长都不少于1米的概率有多大？变式训练1.在半径为1的圆周上任取两点，连接两点成一条弦，求弦长超过此圆内接正三角形边长的概率.例题2.在圆内随机投点，求点与圆心间的距离变式训练2.在以为中心，边长为1的正方形内投点，求点与正方形的中心的距离小于的概率.例题3.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离均大于棱长的的概率.变式训练3.在棱长为3的正方体内任意取一点，求这个点到各面的距离小于棱长的的概率.【课堂小结】【当堂达标】1.一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间是5秒，绿灯亮的时间是45秒.当你走到路口时，恰好看到黄灯亮的概率是（）A.B.C.D.2.面积为的中，是的中点，向内部投一点，那么点落在内的概率是（）A.B.C.D.3.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为（）A.0.002B.0.004C.0.005D.0.008【课时作业】1．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy＝4的概率为（）．（A）（B）（C）(D)2．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（）．（A）（B）（C）(D)3．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．则求两人会面的概率为（A）（B）（C）(D)4．如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）．（A）（B）（C）(D)5．如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）．（A）（B）（C）(D)6．现有的蒸馏水，假定有一个细菌，现从中抽取，则抽到细菌的概率为（）．（A）（B）（C）(D)7．一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨至和下午至，则该船在一昼夜内可以进港的概率是（）．（A）（B）（C）(D)8．在区间中任意取一个数，则它与之和大于的概率是（）．（A）（B）（C）(D)9．若过正三角形的顶点任作一条直线，则与线段相交的概率为（）．（A）（B）（C）(D)10．平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r（A）（B）（C）(D)11．向面积为9的内任投一点,那么的面积小于3的概率为.12.在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是．13.在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？14.飞镖随机地掷在下面的靶子上．（1）在靶子1中，飞镖投到区域A、B、C的概率是多少？（2）在靶子1中，飞镖投在区域A或B中的概率是多少？在靶子2中，飞镖没有投在区域C中的概率是多少？15．一只海豚在水池中游弋，水池为长，宽的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过的概率．。

几何概型学习要求1、了解几何概型的概念及基本特点；2、熟练掌握几何概型的概率公式；3、正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算． 【课堂互动】自学评价试验１ 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？试验２ 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ．运动员在70m 外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？总结：1.几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等．2.几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D 的测度的测度．3.与几何概型有关的实际问题：长度问题、角度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。

【经典范例】例1（长度问题） 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边A B 上任取一点M ，求A M 小于A C 的概率．（＂测度＂为长度）例2（等候问题）某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．例3（面积问题）有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率．例4 （约会问题）两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率．例5（角度问题）过等边三角形ABC的顶点A在该三角形的内部做射线AD，则45∠<BAD的概率。

例6.（体积问题）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为当堂训练：1.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为 ( )A ．7.68B ．16.32C ．17.32D ．8.68 2．在区间[－π2π2]上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为( ) A.13B.2πC.12D.23 3.已知k ∈[－2,2]，则k 的值使得过A (1,1)可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －54k ＝0相切的概率等于( )A.12B.14C.34 D ．不确定4．向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________．5.已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω内随机投一点P ，则点P 落在区域A 内的概率为________6.一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.7.已知集合A ＝{x |－3<x <1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＋2x －3<0. (1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)在区间(－4,4)上任取一个实数x ，求“x ∈A ∩B ”的概率；(3)设(a ，b )为有序实数对，其中a 是从集合A 中任取的一个整数，b 是从集合B 中任取的一个整数，求“b －a ∈A ∪B ”的概率．8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．。