2017-2018版高中数学第三章概率3.3几何概型学案苏教版必修3

内容：3．3 几何概型教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：P（A）=dD的测度的测度；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；（4）会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题．2、过程与方法：（1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。

教学重点：几何概型的概念、公式及应用；教学难点：利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用到概率的实际应用中．教学过程：一、问题情境1．取一根长度为３ｍ的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于１ｍ的概率有多大？2．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为１２２ｃｍ，靶心直径为１２．２ｃｍ．运动员在７０ｍ外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？3．两个人约定在8：00至9：00之间到某地点约会，规定先到的人等十分钟后离开，问两人能见面的概率是多大？二、建构数学从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样。

一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．在几何区域Ｄ中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域内”为事件Ａ，则事件Ａ发生的概率：Ｐ（Ａ）＝dD的测度的测度．这里要求Ｄ的测度不为０，其中“测度”的意义依Ｄ确定，当Ｄ分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．三、数学运用1．例题例1 取一个边长为２ａ的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．思考：由此例可知，豆子落入圆内的概率()4P A π=，我们可用Ｅｘｃｅｌ来模拟撒豆子的试验，以此来估计圆周率，请你设计出相关算法。

第3章 概率一、随机事件及概率1．随机现象在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果．2．事件的分类(1)必然事件：在一定条件下，必然发生的事件；(2)不可能事件：在一定条件下，肯定不发生的事件；(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，常用大写字母表示随机事件，简称为事件．3．随机事件的概率(1)随机事件的概率：如果随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，当试验的次数n 很大时，我们可以将事件A 发生的频率m n 作为事件A 发生的概率的近似值，即P (A )≈m n.(2)概率的性质：①有界性：对任意事件A ，有0≤P (A )≤1.②规范性：若Ω、∅分别代表必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝1；P (∅)＝0.二、古典概型1．基本事件在一次试验中可能出现的每一个基本结果．2．等可能事件若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．3．古典概型(1)特点：有限性，等可能性．(2)概率的计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n ；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n .即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数. 三、几何概型(1)特点：无限性，等可能性．(2)概率的计算公式：在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度. 这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．四、基本事件1．互斥事件(1)定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件．如果事件A 1，A 2，…，A n 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥．(2)规定：设A ，B 为互斥事件，若事件A 、B 至少有一个发生，我们把这个事件记作A ＋B .2．互斥事件的概率加法公式(1)若事件A 、B 互斥，那么事件A ＋B 发生的概率等于事件A 、B 分别发生的概率的和即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．(2)若事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥．则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．3．对立事件(1)定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件A 的对立事件记为A .(2)性质：P (A )＋P (A )＝1，P (A )＝1－P (A )．(考试时间：90分钟 试卷总分：120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列事件属于必然事件的有________．①长为2，2，4的三条线段，组成等腰三角形②电话在响一声时就被接到③实数的平方为正数④全等三角形面积相等解析：①2＋2＝4，不能组成三角形，为不可能事件；②为随机事件；③中0的平方为0，为随机事件；④为必然事件．答案：④2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是__________． 解析：共出现4种结果其两正面向上只有1种，故P ＝14. 答案：143．在坐标平面内，已知点集M ＝{(x ，y )|x ∈N ，且x ≤3，y ∈N ，且y ≤3)}，在M 中任取一点，则这个点在x 轴上方的概率是________．解析：集合M 中共有16个点，其中在x 轴上方的有12个，故所求概率为1216＝34. 答案：344．某人随机地将标注为A ，B ，C 的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放一个小球，全部放完．则标注为B 的小球放入编号为奇数的盒子中的概率等于________．解析：随机地将标注为A ，B ，C 的三个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中共有6种情况，而将标注为B 的小球放入编号为奇数的盒子中有B ，A ，C ；B ，C ，A ；A ，C ，B ；C ，A ，B ，共4种情况，因此所求概率等于23.答案：235．已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________．解析：以上事件为互斥事件，故命中6环以下(含6环)的概率为1－0.5－0.2－0.1＝0.2.答案：0.26．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________． 解析：出现奇数点或2点的概率为P ＝12＋16＝23. 答案：237．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为________．解析：所有基本事件为：123，132，213，231，312，321共6个．其中“从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册”包含2个基本事件，故P ＝26＝13. 答案：138．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5，5]，那么任意x 0∈[－5，5]使f (x 0)≤0的概率为________． 解析：f (x )＝x 2－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ∈[－5，5]，区间长度为10， ∵f (x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122－94≤0， ∴－1≤x 0≤2，区间长度为3，∴概率为310. 答案：3109．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成平局的概率为________．解析：甲不输为两个事件的和事件，其一为甲获胜(事件A )，其二为甲获平局(事件B )，并且两事件是互斥事件．∵P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，∴P (B )＝P (A ＋B )－P (A )＝90%－40%＝50%.答案：50%10．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为6的概率是________．解析：掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的事件为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，故所得的点数之和为6的概率是P ＝536.答案：53611．从分别写有ABCDE 的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母顺序恰好相邻的概率为________．解析：随机抽取两张可能性有 AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，BA ，CA ，DA ，EA ，CB ，DB ，EB ，DC ，EC ，ED ，共20种．卡片字母相邻：AB ，BA ，BC ，CB ，CD ，DC ，DE ，ED 共8种．∴概率为820＝25. 答案：2512．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为2 cm 的一枚铁片抛到此纸板上，使铁片整体随机落在纸板内，则铁片落下后把小圆全部覆盖的概率为________．解析：铁片整体随机落在纸板内的测度D ＝πR 2＝64π；而铁片落下后把小圆全部覆盖的测度d ＝πr 2＝π，所以所求的概率P ＝d D ＝π64π＝164.答案：16413．(安徽高考改编)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．解析：由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910. 答案：91014．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________．解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A 包含(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，即事件A由4个基本事件组成，因而，P (A )＝46＝23. 答案：23二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)除了电视节目中的游戏外，我们平时也会遇到很多和概率有关的游戏问题，且看下面的游戏：如图所示，从“开始”处出发，每次掷出两颗骰子，两颗骰子点数之和即为要走的格数．(1)在第一轮到达“车站”的概率是多少？(2)假设你想要在第一轮到电信大楼、杭州日报或体育馆，则概率是多少？解：(1)第一轮要到“车站”，则必须掷出的点数之和为5，而用2颗骰子掷出5会有4种结果，假定一颗骰子为红色，另一颗骰子为蓝色，则有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)4种组合，而抛掷两颗骰子共有36种可能结果，所以第一轮到达“车站”的概率为436＝19. (2)需要掷出的点数之和为6或8或9，而要得出这3种结果共有下列14种组合：(5，1)，(4，2)，(3，3)，(2，4)，(1，5)，(6，2)，(5，3)，(4，4)，(3，5)，(2，6)，(6，3)，(5，4)，(4，5)，(3，6)，所以到达这一区域的概率为1436＝718. 16．(辽宁高考)(本小题满分12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：(1)将4道甲类题依次编号为1，2，3，4；2道乙类题依次编号为5，6，任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，所以P (A )＝615＝25. (2)基本事件同(1)．用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个，所以P (B )＝815. 17．(本小题满分12分)某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解：(1)设事件“电话响第k 声时被接”为A k (k ∈N )，那么事件A k 彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1＋A 2＋A 3＋A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A ；根据对立事件的概率公式，得P (A )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.18．(本小题满分14分)一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5.(1)从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回，求取出的两个球上编号之积为奇数的概率；(2)若在袋中再放入其他5个相同的球，测量球的弹性，经检测，这10个球的弹性得分如下：8.7，9.1，8.3，9.6，9.4，8.7，9.7，9.3，9.2，8.0，把这10个球的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件B ，Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)…}，共包含20个基本事件；其中B ＝{(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，5)，(5，1)，(5，3)}，包含6个基本事件，则P (B )＝620＝310.(2)样本平均数为x ＝110(8.7＋9.1＋8.3＋9.6＋9.4＋8.7＋9.7＋9.3＋9.2＋8.0)＝9， 设B 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则包含{8.7，9.1，9.4，8.7，9.3，9.2}6个基本事件，所以P (B )＝610＝35.。

3.3 几何概型学习目标 1.了解几何概型与古典概型的区别；2.了解几何概型的定义及其特点；3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一 几何概型的概念思考 往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？梳理 (1)几何概型的定义：设D 是一个可度量的区域(例如________、__________、____________等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会________；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的________________________．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(________、________、________等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型． (2)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有__________________． ②每个基本事件出现的可能性________． 知识点二 几何概型的概率公式思考 既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A 所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？梳理 几何概型的概率公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度.知识点三 用模拟方法估计概率 1．随机数的产生(1)计算器上产生(0,1)的随机数的函数是______函数．(2)Excel 软件产生[0,1]区间上的随机数的函数为“____________”． (3)[a ，b ]上随机数的产生利用计算器或计算机产生[0,1]上的随机数x ＝RAND ，然后利用伸缩和平移交换，x ＝______________就可以得到[a ，b ]内的随机数，试验的结果是[a ，b ]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的．2．用模拟方法估计概率的步骤：(1)把实际问题中事件A及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围．(2)用计算机(或计算器)产生指定范围内的随机数．(3)统计试验的结果，代入几何概型概率公式估得概率．利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题．类型一几何概型的概念例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型．(1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．求甲获胜的概率．反思与感悟判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性．当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由：(1)某月某日，某个市区降雨的概率；(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．类型二几何概型的计算命题角度1 与长度有关的几何概型例2 某公共汽车站，每隔15分钟有一辆车发出，并且发出前在车站停靠3分钟，求乘客到站候车时间大于10分钟的概率． 引申探究1．本例中在题设条件不变的情况下，求候车时间不超过10分钟的概率． 2．本例中在题设条件不变的情况下，求乘客到达车站立即上车的概率．反思与感悟 若一次试验中所有可能的结果和某个事件A 包含的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、时间区间长、距离、路程等，那么需要先求出各自相应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式求出事件A 发生的概率．跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率．命题角度2 与面积有关的几何概型例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求： (1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率．反思与感悟 如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解．跟踪训练3 欧阳修《卖油翁》中写到，(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌沥之，自钱孔入而钱不湿．若铜线是直径为3 cm 的圆，中间有一个边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落入孔中的概率是________． 命题角度3 与体积有关的几何概型例4 三棱锥D —ABC 的体积为V ，在其内部任取一点P ，求三棱锥P —ABC 的体积小于13V 的概率．反思与感悟如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A)＝构成事件A的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.解决此类问题的关键是注意几何概型的条件，分清所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为______．1．下列概率模型：①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；②从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；③在一个边长为4 cm的正方形ABCD内取一点P，求点P离正方形的中心小于1 cm的概率．其中，是几何概型的为________．2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为________．3．两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，灯与两端距离都大于2 m的概率为________．4．在装有5升纯净水的容器中不小心混入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是________．1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积等有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解．答案精析问题导学知识点一思考出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．梳理线段平面图形立体图形都一样某个指定区域d中的点长度面积体积梳理(1)无限多个(2)相等知识点二思考由定义知，事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成正比，故可用区域的测度代替基本事件数．知识点三1．(1)RAND (2)RAND ( )(3)x1*(b-a)+a题型探究例1 解(1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．跟踪训练1 解(1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．例2 解如图所示，设相邻两班车的发车时刻为T1，T2，T1T2＝15.设T0T2＝3，TT0＝10，记“乘客到站候车时间大于10分钟”为事件A.则当乘客到站时刻t落到T1T上时，事件A发生．因为T1T＝15－3－10＝2，T1T2＝15，所以P(A)＝T1TT1T2＝2 15.引申探究1．解由原题解析图可知，当t落在TT2上时，候车时间不超过10分钟，故所求概率P＝TT2T1T2＝13 15 .2．解 由原题解析图可知，当t 落在T 0T 2上时，乘客立即上车， 故所求概率P ＝T 0T 2T 1T 2＝315＝15. 跟踪训练2 解 记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的．圆心在线段CD (不含点C 、D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度＝2a －2r 2a ＝a －ra.例3 解 如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)，S 正方形ABCD ＝4.(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝12.(2)设E (0，1)，F (1，0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝72，所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFES 正方形ABCD＝724＝78. (3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π， 所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O S 正方形ABCD ＝4－π4.跟踪训练349π解析 ∵S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝9π4(cm 2)， ∴P ＝S 正方形S 圆＝49π. 例4 解 如图，设三棱锥D —ABC 的底面ABC 的面积为S ，高为h ， 则V D —ABC ＝13Sh ＝V .设平面EFG 是距底面ABC 的距离为13h 的平面，则点P 落在平面EFG 与平面ABC 之间时，可以保证三棱锥P —ABC 的体积小于13V .由于三棱锥D —EFG 的底面EFG 的面积为49S ，高为23h ，因此V D —EFG ＝13×49S ·23h ＝827V ，因此所求概率P ＝V －827VV＝1927. 跟踪训练4233π解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.当堂训练 1．①③解析 ①是，因为区间[－10，10]和[－1，1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；②不是，因为区间[－10，10]内的整数只有21个，不满足无限性；③是，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点被取到的可能性相同(等可能性)． 2.12解析 向△ABC 内部投一点的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等属于几何概型．设点落在△ABD 内为事件M ，则P (M )＝△ABD 的面积△ABC 的面积＝12.3.13解析 记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A ，则P (A )＝26＝13.4.15。

3.3 几何概型（2）教学目标：1．了解几何概型的基本概念、特点和意义；2．了解测度的简单含义；3．了解几何概型的概率计算公式；4．能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题．教学重点：测度的简单含义，即：线的测度就是其长度，平面图形的测度就是其面积，立体图形的测度就是其体积等．教学难点：如何确定事件的测度（是长度还是面积、体积等）．教学方法：谈话、启发式．教学过程：一、知识回顾1．复习与长度有关的几何概型．有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段不小于3米的概率有多大？二、学生活动从每一个位置剪断都是一个基本事件,基本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.三、建构数学古典概型与几何概型的对比.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型的概率公式.积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( 四、数学运用1．例题.与面积(或体积)有关的几何概型例1 在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?解：取出10mL 麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则.1001为含有麦锈病种子的概率:答1001100010所有种子的体积取出种子的体积P(A)===变式训练：1.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1 cm 的小 圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在正方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上,可获 1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解 (1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内,所以概率为.8132979222=- 探究提高：几何概型的概率计算公式中的“测度”,既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.与角度有关的几何概型例2 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．解：在AB 上截取AC ′＝AC ，故AM ＜AC 的概率等于AM ＜AC ′的概率．记事件A 为“AM 小于AC ”， A C B C ’222)(=='==ACAC AB C A AB AC A P 答：AM ＜AC 的概率等于22． 思考：在等腰直角三角形ABC 中，过点C 在∠C 内作射线CM ，交AB 于M ，求AM 小于AC 的概率．此时的测度是作角是均匀的，就成了角的比较了． P （A ）＝43283'==∠∠ππACB ACC D d 例3 课本的例4．可化为几何概型的概率问题例4 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面, 并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去. 求两人能会面的概率.思维启迪：在平面直角坐标系内用x 轴表示甲到达 约会地点的时间,y 轴表示乙到达约会地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x ,y )就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由|x －y |≤15所对应的图中阴影部分表示.以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x －y |≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x ，y )的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．由几何概型的概率公式得： .167600302526003604560)(222=-=-==S S A P A 所以，两人能会面的概率是.167 2．练习.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达A CB MC’是等可能的.（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中 的任何一条船不需要等待码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.解 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ,则0≤x ＜24，0≤y ＜24且y －x ≥4或y －x ≤－4.作出区域⎪⎩⎪⎨⎧-<->-<≤<≤44,240,240x y x y y x 或设“两船无需等待码头空出”为事件A ,.362524242020212)(=⨯⨯⨯⨯=A P 则 （2）当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x －y ≥2或y －x ≥4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ,画出区域 .2882215764422424222221202021)(.24,240,240==⨯⨯⨯+⨯⨯=⎪⎩⎪⎨⎧>->-<≤<≤B P y x x y y x 或五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；2．把基本事件转化为与之对应的区域D ；3．把随机事件A 转化为与之对应的区域d ；4．利用几何概型概率公式计算．。

第37课时7.3.3几何概型学习要求1、增强几何概型在解决实际问题中的应用意识．2、将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．【课堂互动】自学评价1.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D =的测度的测度．2.与几何概型有关的实际问题：长度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。

【精典范例】例1 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？ 【分析】病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率． 【解】取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则101()1000100P A ===取出的种子体积所有种子的体积答：所求概率为1100．例 2 如图，60AOB ∠=，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ， 试求：（１）AOC ∆为钝角三角形的概率； （２）AOC ∆为锐角三角形的概率．【解】如图，由平面几何知识： 当AD OB ⊥时，1OD =；当OA AE ⊥时，4OE =，1BE =．（１）当且仅当点C 在线段OD 或BE 上时，AOC ∆为钝角三角形记＂AOC ∆为钝角三角形＂为事件M ，则11()0.45OD EB P M OB ++===即AOC ∆为钝角三角形的概率为0.4．（２）当且仅当点C 在线段DE 上时，AOC ∆为锐角三角，记＂A O C ∆为锐角三角＂为事件N ，则3()0.65DE P N OB === 即AOC ∆为锐角三角形的概率为0.6．例3 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.【解】44636222ππ-=⋅-=P例 4 利用随机模拟方法计算曲线1y x=，1x =，2x =和0y =所围成的图形的面积．【分析】在直角坐标系中画出正方形（1x =，2x =，0y =，1y =所围成的部分），用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值． 【解】（１）利用计算器或计算机产生两组0到1区间上的随机数，1a RAND =，b RAND =；（２）进行平移变换：11a a =+；（其中,a b 分别为随机点的横坐标和纵坐标）（３）数出落在阴影内的点数1N ，用几何概型公式计算阴影部分的面积．例如，做1000次试验，即1000N =，模拟得到1689N =， 所以10.6891S N N≈=，即0.689S ≈． 【说明】模拟计算的步骤： （１）构造图形（作图）； （２）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率mn； （３）利用()m d P A n D ≈=的测度的测度算出相应的量．追踪训练1、如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为45，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（ A ）A．18B．14C．12D．342、在区间[0,10]中任意取一个数，则它与2之和大于10的概率是_____1/5___________3、两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．解：记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则21 ()63P A==．。

3.3.1 几何概型[提出问题]每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准①，②或③区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元．问题1：这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？提示：与标注①的小扇形个数多少(面积大小)有关．问题2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等．问题3：如何计算该顾客获得100元购物券的概率？提示：用标注①的扇形面积除以圆的面积．[导入新知]1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．3．几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积.试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积[化解疑难]理解几何概型应关注三点(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关；(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但不是不可能事件；(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．与长度有关的几何概型 [例1] (1)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．(2)某汽车站每隔15 min 有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min 的概率．[解析] (1)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，|x |≤1的概率P ＝23.(2)设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，则线段T 1T 2的长度为15，设T 是线段T 1T 2上的点，且T 1T ＝5，T 2T ＝10，如图所示．记“等车时间超过10 min”为事件A ，则当乘客到达车站的时刻t 落在线段T 1T 上(不含端点)时，事件A 发生．∴P (A )＝T 1T 的长度T 1T 2的长度＝515＝13，即该乘客等车时间超过10 min 的概率是13.[答案] (1)23[类题通法]1．几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)； (2)把基本事件转化为与之对应的区域D ； (3)把所求随机事件A 转化为与之对应的区域I ； (4)利用概率公式计算．2．与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.[活学活用]1．(重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．解析：设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个负根分别为x 1，x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－43p －2≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋5－25＝23. 答案：232．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒．当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25.(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115.(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35，或P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝35.与面积有关的几何概型[例2] (1)他应当选择的游戏盘为( )(2)四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π8[解析] (1)根据几何概型的面积比，选项A 中的游戏盘中奖概率为38，选项B 中游戏盘的中奖概率为13，选项C 中游戏盘的中奖概率为2r 2－πr 22r 2＝4－π4，选项D 中游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，故A 游戏盘的中奖概率最大．(2)如图所示，长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.[答案] (1)A (2)B [类题通法]1．与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果所构成的区域面积.2．解与面积相关的几何概型问题的三个关键点 (1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率． [活学活用]1．(福建高考改编)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上. 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14.答案：142．在平面直角坐标系xOy 中，设M 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M 中随机投一点，则所投的点落入E 中的概率是________．解析：如图，区域M 表示边长为4的正方形ABCD 的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π16与角度有关的几何概率[例3] CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．[解] 如图，在AB 上取AC ′＝AC ，连接CC ′， 则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.设D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫在∠ACB 内部任意作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC ，则所有可能结果的区域角度为90°，事件D的区域角度为67.5°，∴P (D )＝67.5°90°＝34.[类题通法]与角度有关的几何概型概率的求法(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.(2)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的．[活学活用]在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A.16 B ．23 C.13D ．160解析：选A 如图，∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60°360°＝16.与体积有关的几何概型 [例4] (1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A.6π B ．32π C.3πD ．233π(2)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是________．[解析] (1)由题意可得正方体的体积为V 1＝1.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R ＝32.球的体积V 2＝43πR 3＝32π.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P ＝V 1V 2＝132π＝233π. (2)设正方体的棱长为2.正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的内切球O 的半径是其棱长的一半，其体积为V 1＝43π×13＝4π3.则点M 在球O 内的概率是4π323＝π6.[答案] (1)D (2)π6[类题通法]与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果所构成的区域体积.[活学活用]有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 的距离大于1的概率．解：圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积． 以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×4π3×13＝2π3，则构成事件A “点P 到点O 的距离大于1”的区域体积为2π－2π3＝4π3， 由几何概型的概率公式得P (A )＝4π32π＝23.3.几何概型中的交汇性问题[典例] 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．[解题指导] 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0”有实根． 则Δ＝4a 2－4b 2≥0，即a 2≥b 2. 又∵a ≥0，b ≥0. ∴a ≥b .试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2}，而构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，即如图所示的阴影部分．所以P (A )＝3×2－12×223×2＝23.[多维探究]几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题者的一个重要着眼点，本题是以方程的根为依托考查了与面积有关的几何概型的求法，另外，几何概型还常与集合、解析几何等问题相交汇命题，出现在试卷中．[角度一] 几何概型与集合的交汇问题 已知集合M ＝{}x ，y |x ＋y ≤8，x ≥0，y ≥0，N ＝{}x ，y|x －3y ≥0，x ≤6，y ≥0，若向区域M 随机投一点，则点P 落入区域N 的概率为( )A.13B．12C.38D．316解析：选D 根据题设中集合的意义，在平面直角坐标系中分别画出区域M和N，可分别计算区域M和N的面积，进而求解．将集合M和N所表示的区域在直角坐标系中画出，如图，则区域M的面积S＝12×8×8＝32，区域N的面积S′＝12×6×2＝6，所以点P落入区域N的概率为P＝632＝316.[角度二] 几何概型与解析几何的交汇问题已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)求圆C的圆心到直线l的距离；(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝2542＋32＝5.(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为π3.故所求概率为P＝π32π＝16.[随堂即时演练]1．下列概率模型中，几何概型的个数为( )①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率； ④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①不是几何概型，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；②是几何概型，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；③不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；④是几何概型，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性．2.如图所示，在一个边长为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为a 3与a2，高为b .向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为( )A.112 B ．14 C.512D ．712解析：选C S 矩形＝ab ，S 梯形＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋12a b ＝512ab .故所投的点在梯形内部的概率为P ＝S 梯形S 矩形＝512abab ＝512.3．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________． 解析：由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根， ∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14，又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14.答案：144．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005.答案：0.0055．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率．解：设正三角形ABC 的边长为4，其面积为4 3.分别以A ，B ，C 为圆心，1为半径在△ABC 中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43－3×12×π3×12＝43－π2，故所求概率P ＝43－π243＝1－324π.[课时达标检测]一、选择题1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边长作正方形，这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为( )A.3681 B ．1236 C.1281D ．14答案：D2．(全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310解析：选B 如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.3．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么满足f (x 0)≤0，x 0∈[－5,5]的x 0取值的概率为( )A.310B ．35 C.15 D ．110答案：A4．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，即称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.827B．127C.2627D．1527答案：B5．如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它的长度小于或等于半径的概率为( )A.12B．32C.13D．14答案：C二、填空题6．设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)＝________.解析：如图所示，△DPQ为圆内接正三角形，当C点位于劣弧PQ上时，弦DC＞PD，∴P(A)＝13.答案：137．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为________．解析：点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率：P＝18×43πa3a3＝16π.答案：16π8．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|<2的概率为________．解析：如图，设E，F分别为边AB，CD的中点，则满足|PH|<2的点P在△AEH，扇形HEF及△DFH内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为14π22＋12×1×1×22×2＝π8＋14.答案：π8＋14三、解答题9．已知点M(x，y)满足|x|≤1，|y|≤1.求点M落在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的内部的概率．解：如图所示，区域Ω为图中的正方形，正方形的面积为4，且阴影部分是四分之一圆，其面积为14π，则点M落在圆(x－1)2＋(y －1)2＝1的内部的概率为14π4＝π16.10．小朋友做投毽子游戏，首先在地上画出如图所示的框图，其中AG＝HR＝DR＝12GH，CP ＝DP＝AE＝2CQ.其游戏规则是：将毽子投入阴影部分为胜，否则为输．求某小朋友投毽子获胜的概率．解：观察图形可看出阴影部分面积占总面积的一半，投入阴影部分的概率只与阴影部分的面积和总面积有关，故所求事件(记为事件A )的概率为P (A )＝12.11．如图，已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝8，M ，N ，P 是将半圆圆周四等分的三个分点．(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； (2)在半圆内任取一点S ，求△SAB 的面积大于82的概率．解：(1)从A ，B ，M ，N ，P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：△ABM ，△ABN ，△ABP ，△AMN ，△AMP ，△ANP ，△BMN ，△BMP ，△BNP ，△MNP ，其中是直角三角形的只有△ABM ，△ABN ，△ABP 3个，所以组成直角三角形的概率为310.(2)连接MP ，取线段MP 的中点D ， 则OD ⊥MP ，易求得OD ＝22，当S 点在线段MP 上时，S △ABS ＝12×22×8＝82，所以只有当S 点落在阴影部分时，△SAB 的面积才能大于82，而S 阴影＝S 扇形MOP －S △OMP ＝12×π2×42－12×42＝4π－8， 所以由几何概型的概率公式得△SAB 的面积大于82的概率为4π－88π＝π－22π.。

3.3 几何概型何概型的概率.1．几何概型设D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D 内随机地取一点，区域D 内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A 的发生可以视为恰好取到区域D 内的某个指定区域d 中的点．这时，事件A 发生的概率与d 的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d 的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．预习交流1几何概型的概率计算与构成事件的区域形状、位置有关吗？提示：几何概型的概率只与它的测度(长度、面积、体积等)有关，而与构成事件的区域形状、位置无关．2．几何概型的计算公式及特点(1)几何概型的特点：①在每次试验中，不同的试验结果有无穷多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；②每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．(2)几何概型的概率计算公式：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为P (A )＝d 的测度D的测度(d ⊆D )．预习交流2(1)在区间[－1,1]上随机取一个数x ，x 2≤14的概率为__________．(2)如图的矩形，长为2米，宽为1米．在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗．据此可以估计出图中阴影部分的面积为__________．(3)如图所示，有两个转盘，甲、乙两人玩转盘游戏时规定：当指针指向B 区域时，甲获胜；否则，乙获胜．在两种情形下甲获胜的概率分别为__________．提示：(1)12 (2)2325 (3)12，35一、长度型几何概型一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看见下列两种情况的概率各是多少？(1)红灯； (2)黄灯． 思路分析：解答本题的关键是将基本事件的全部及事件A 所包含的基本事件转化为相应区间的长度．解：到达路口的每一时刻都是一个基本事件，且是等可能的，基本事件有无穷多个，所以这是几何概型问题．总的时间长度为30＋5＋40＝75秒，设看到红灯为事件A ，看到黄灯为事件B ，(1)出现红灯的概率为：P (A )＝构成事件A 的时间长度总的时间长度＝3075＝25.(2)出现黄灯的概率为：P (B )＝构成事件B 的时间长度总的时间长度＝575＝115.1．两根电线杆相距100 m ，若电线遭受雷击，且雷击点距电线杆距离为10 m 之内时，电线杆上的输电设备将受损，则遭受雷击时设备受损的概率为__________．答案：15解析：距电线杆10 m 的线段有两处，左右各一段，遭受电击的线段长为20 m ．故所求概率为20100＝15.2．一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，求某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率．解：如图所示，△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，则△ABC 的周长为3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A ，则()++3+2+11++122DE FG MN P A BC CA AB ===.3．取一根长度为3 m 的树干，把它锯成两段，那么锯得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解：从每一个位置锯断都是一个基本事件，锯断位置可以是长度为3 m 的树干上的任意一点，基本事件有无限多个，是几何概型问题．如图所示，记“锯得两段树干长都不小于1 m”为事件A ，把树干三等分，于是当锯断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于树干长的13，于是事件A 发生的概率P (A )＝构成事件A 的树干长度总的树干长度＝13.(1)几何概型概率计算的基本步骤是：①判断是否为几何概型．尤其要注意判断等可能性；②计算所有基本事件的“测度”与事件A 所包含的基本事件对应的区域的“测度”(如长度、面积、体积、角度等)；③代入几何概型的概率计算公式进行计算．(2)在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d .在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．二、面积型几何概型取一个边长为2a 的正方形及其内切圆、外接圆，随机向外接圆内丢一粒豆子，求豆子落入图内4个白色区域的概率．思路分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入外接圆内任一点都是机会均等的，于是豆子落入图内4个白色区域的概率应等于4个白色区域的面积和与外接圆面积的比．解：记“豆子落入4个白色区域”为事件A ，则由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入外接圆内任一点都是机会均等的，于是豆子落入图内4个白色区域的概率应等于4个白色区域的面积和与外接圆面积的比．即P (A )＝4个白色区域的面积和外接圆的面积＝正方形的面积－内切圆的面积外接圆的面积＝4a 2－πa 2π(2a )2＝4－π2π.1．如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架蕴藏着石油．假如某投资公司在此海域里随意选定一点钻探，则钻到石油的概率是__________．答案：11 250解析：由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率等于贮藏石油的海域面积与整个海域面积之比，即P ＝4050 000＝11 250.2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为__________．答案：π16解析：D 区域：2,2x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩形成面积为42的正方形区域，E 区域：x 2+y 2≤1形成面积为π的圆形区域．如图所示．记P (A )为事件“落入E 中”的概率，则P (A )=π16. 3．如图，矩形花园ABCD 中，AB 为4米，BC 为6米，一只小鸟任意落下，则小鸟落在阴影区的概率是多少？解：矩形面积为：4×6=24(米2)，阴影部分面积为：12×4×6=12(米2)，P (小鸟落在阴影区)=121=242. (1)几何概型要求每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的测度(长度、面积、体积)为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件．如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件．(2)解与面积有关的几何概型问题的关键是：①根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题； ②找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．三、体积型几何概型已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，求使得V P －ABC＜12V S －ABC 的概率． 思路分析：解答本题时可先找出满足条件的点P 的位置，再用几何概型求概率．解：∵V P －ABC =13S △ABC ·h ， V S －ABC =13S △ABC ·3，∴当32h <时， V P －ABC ＜12V S －ABC ， 即点P 的位置应该在中截面的下方(不妨设中截面为面A′B′C′)，据比例的性质可知31128S A B C S ABC V V -'''-⎛⎫== ⎪⎝⎭，根据几何概型的概率计算公式，所以所求概率为78S ABC S A B C S ABC V V V --'''--=.1．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，求使四棱锥M －ABCD的体积小于16的概率为__________．答案：12解析：如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. 设M －ABCD 的高为h ，则13×S ABCD ×h ＜16， 又S ABCD =1，∴h ＜12，即点M 在正方体的下半部分， ∴所求概率1122V P V ==正方体正方体.2．有一杯1升的水，其中漂浮有1个被核污染的微生物，用一个小杯从这杯水中随意取出0.1升，求这一小杯水中含有这个微生物的概率．解：总的基本事件为杯中水的体积，事件A 包含的基本事件为取出水的体积，所以小杯水中含有这个微生物的概率为P (A )＝构成事件A 的水的体积总的水的体积＝0.11＝110.3．如图，在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM ＜AC 的概率．解：在AB 上取AC ′=AC ， 则∠ACC ′=180452︒-︒=67.5°. 设A ={在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，AM ＜AC }． 则所有可能结果的区域角度为90°，事件A 的区域角度为67.5°，∴P (A )=67.53=904. (1)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，常以角度的大小作为区域度量来计算概率．(2)如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，那么我们就要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出构成事件A 的区域体积及试验的全部结果构成的区域体积．(3)解决此类问题的关键是事件A 在区域角度、区域体积内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的，从而可以用几何概型的概率公式求解．1．(2012湖北高考改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是__________．答案：1－2π解析：设OA =OB ＝2R ，连接AB ，如图所示，由对称性可得，阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积，S 阴影＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝πR 2，故所求的概率是(π－2)R 2πR2＝1－2π.2．面积为S 的△ABC 中，D 是BC 的中点，向△ABC 内部投一点，那么点落在△ABD 内的概率为__________．答案：123．在边长为2的正方体内任取一点，则该点在正方体的内切球内的概率为__________．答案：π6解析：记“该点落入内切球内”的事件为A ，则P (A )＝内切球体积正方体体积＝4π3·1323＝π6. 4．在长为4米的绳子上任取一点剪开，则使两段绳子的长度一段大于3米，一段小于1米的概率是__________．答案：12解析：如图，显然当剪断点在AB 或CD 上时满足条件“一段大于3米，一段小于1米”，∴P (“一段大于3米，一段小于1米”)＝AB ＋CD AD ＝24＝12.5．在区间(0,3)内随机地取一个数，则这个数大于2的概率为多少？ 解：几何区域D 为区间长度，所以这个数大于2的概率为大于2的区间长度与总区间长度之比，即P ＝3－23＝13.。

3.3 几何概型庖丁巧解牛知识·巧学一、几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.深化升华 只有每个事件发生的概率与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例时，这样的概率模型才为几何概率模型.二、几何概型的特征几何概型具有如下两个特征：(1)进行一次试验相当于向一个几何体G 中取一点.(2)对G 内任意子集，事件“点取自g”的概率与g 的测度(长度、面积或体积)成正比，而与g 在G 中的位置、形状无关.如果试验中的随机事件A 可用G 中的一个区域g 表示（组成事件A 的所有可能结果与g 中的所有点一一对应），那么事件A 的概率规定为：P(A)=的测度的测度G g . 例如，正方形内有一个内切圆，向正方形内随机地撒一粒芝麻的试验就是几何概型，记事件“芝麻落在圆内”为A ，则P(A)=4π=正方形的面积圆的面积. 联想发散 对于几何概型，随机事件A 的概率P(A)与表示它的区域g 的测度（长度、面积或体积）成正比，而与区域g 的位置和形状无关；只要表示两个事件的区域有相同的测度（长度、面积或体积），不管它们的位置和形状如何，这两个事件的概率一定相等.三、几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件出现的可能性相等.（3）几何概型同古典概型一样也是一种等可能概型.辨析比较 几何概型与古典概型的区别：几何概型的基本事件总数有无限多个，古典概型的基本事件总数有有限个.四、几何概型的计算公式几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P （A ）=的测度的区域试验的全部结果所构成的测度的区域构成事件D d A . 公式中的“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因为区域中每一点被取到的机会都一样（等可能性），某个事件发生的概率才与构成该事件区域的“测度”成比例.误区警示 当试验的全部结果所构成的区域面积一定时，事件A 的概率只与构成事件A 的区域面积有关，而与A 的位置和形状无关.五、利用几何概型求概率需注意哪些方面（1）几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型；如与速度、温度变化有关的物理问题,与长度、面积、体积有关的实际生产、生活问题.（2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目；（3）公式为P(A)=),(),(体积面积长度试验结果所构成的区域体积面积的区域长度构成事件A ； （4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.典题·热题知识点 几何概型概率计算例1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？思路分析：包含两个间谍谈话录音的部分在30到40 s 之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在0到30 s 之间时全部被擦掉，即在0到40 s 之间即0到32 min 之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30 min 之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关，符合几何概型的条件. 解：记A={按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 发生就是在0到32min 之间的时间段内按错键.P （A ）=4513032. 误区警示 此题有两个难点：一是等可能性的判断；二是事件A 对应的区域是0到32 min 的时间段，而不是21 min 到32 min 的时间段. 例2 甲乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一人3天以后方可离开，若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会面的概率为_________.思路分析：这是会面问题，将问题转化为几何概型求解.设甲乙两人分别在第x,y 天到达某地，则0≤x≤10,0≤y≤10，两人会面的条件是|x-y|≤3.图3-3-2如图3-3-2所示，区域Ω是边长为10的正方形，图中介于两直线x-y=±3之间阴影表示事件A ：“此二人会面”问题可以理解为求出现在图中阴影部分的概率.于是μΩ=10×10=100.μA =102-(10-3)2=51.故所求概率为P(A)=10051=ΩμμA 答案：10051 深化升华 把两个时间分别用x,y 两个坐标表示，构成平面内的点(x,y)，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概率.例3 如图3-3-3，在等腰RT△ABC 中，在斜边AB 上取一点M ，求AM 的长小于AC 的概率.图3-3-3思路分析：此题是“长度比”型的概率求法.点M 随机地落在线段AB 上，线段AB 为试验所有结果构成的区域D ，当点M 位于图中线段AC′上时，AM ＜AC ，线段AC 即为构成事件的区域d.方法一:在AB 上截取AC′=AC，于是 P(AM<AC)=P(AM<AC′)=22=='AB AC AB C A , 即AM 的长小于AC 的长的概率为22. 方法二:视射线CM 在∠ACB 内是等可能分布的，在AB 上取AC′=AC，则∠ACC′= 245180︒-︒=67.5° . 故所求的概率为43905.67=. 误区警示 背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的.问题·探究思想方法探究问题 我们已经学习了两种计算事件发生概率的方法：(1)通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率；(2)用古典概型的公式来计算概率.可以求解很多的随机事件概率，为什么还要学习几何概型？探究过程：通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率，这是一种近似估计,需通过大量重复试验，具有局限性.另外，用古典概型的公式来计算概率，仅适用基本事件为有限个的情况.而对于基本事件为无限个的，每个基本事件又是等可能的情况，我们无从下手. 探究结论：所以有必要学习几何概型.。

3.3 几何概型 1整体设计教材分析这部分是新增加的内容.几何概型是另一类等可能性概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率，这一点与古典概型是一致的.本节的教学需要一些实物模型为教具，如教科书中的长度3米的绳子模型、例1中的随机撒豆子的模型等.教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果.在这个过程中，要让学生体会结果的随机性与规律性，体会随着试验次数的增加，结果的精度会越来越高. 随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动.第一个课时主要讲授几何概型的特点及其概率计算公式和运用几何概型解决求某一个事件的概率的例题教学；第二课时主要是通过例题教学及用计算机随机模拟试验（运用Excel 软件），以及课堂练习加强学生对几何概型的巩固.几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.教材中例1的教学可以分解为如下步骤：（1）把问题抽象成几何概型.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，则落在某个区域的豆子数只与这个区域的面积大小有关（近似成正比），而与区域的位置和形状无关，这符合几何概型的条件，可以看成几何概型.（2）利用几何概型求概率的公式，得到P(豆子落入圆内)=正方形的面积圆的面积. （3）启发引导学生探究圆周率π的近似值，用多种方式来模拟.三维目标1.通过解决具体问题的实例去感受几何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判断方法.2.理解几何概型的意义、特点，会用公式计算几何概率.3.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯.4.学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的能力.重点难点教学重点:1.体会随机模拟中的统计思想.2.用样本估计总体.3.理解几何概型的定义、特点、会用公式计算几何概率.教学难点:1.等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.2.把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）根据下述试验，回答问题：一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T 表示所切两段绳子都不短于1米的事件，试问事件T 发生的概率.设计思路二：（情境导入）根据下列游戏，回答相应问题：游戏规则如下：由边长为1米的四方板构成靶子，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块（如图）.由游戏者向板中投镖，事件A 表示投中阴影部分为成功.试问投中阴影部分即事件A 发生的概率.推进新课新知探究我们先来解决“导入”中设计思路一中的问题.分析：类似于古典概型，我们希望先找到基本事件组，即找到其中每一个基本事件.注意到每一个基本事件都与唯一一个断点一一对应，故设计思路一中的实验所对应的基本事件组中的基本事件就与线段AB 上的点一一对应.若把离绳AB 首尾两端1的点记作M 、N ，则显然事件T 所对应的基本事件所对应的点在线段MN 上.由于在古典概型中事件T 的概率为T 包含的基本事件个数/总的基本事件个数，但这两个数字（T 包含的基本事件个数、总的基本事件个数）在引例1中是无法找到的，不过用线段MN 的长除以线段AB 的长表示事件T 的概率似乎也是合理的.线段AB 长5，线段AM 、BN 长为1，则线段MN 长为3解：P （T ）=3/5.此结果用第一节的统计的方法来验证是正确的.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model ）一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率 P(A)=的测度的测度D d . 这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.类似于设计思路一的解释，完全可以把设计思路二中的实验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起，即事件组中的每一个基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应，则事件A 所包含的基本事件就与阴影正方形中的点一一对应，这样我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积表示事件A 的概率是合理的.这一点我们完全可以用设计思路一的方法验证其正确性.解：P （A ）=（1/2）2/12=1/4.在某些情况中，可把实验中基本事件组中的每一个基本实验与某一个几何区域D 中的点一一对应起来，这个区域可以是一段曲线（一维区域），或一个平面区域（二维区域）.这样在实验中某一事件A ，就可与几何区域D 中的子区域d 表示了，如下图：试验：从D 中随机地取一点；事件发生：所取的点属于d ；事件未发生：所取的点不属于d.这样事件A 的概率如何计算呢？在设计思路一中，P(A)=子区域d 的长度/区域D 的长度=3/5.在设计思路二中，P(A)=子区域d 的面积/区域D 的面积=1/4.从上面的分析可以看到，对于一个随机试验，如果我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点.这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型（geometric probability model ）一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率 P(A)= 的测度的测度D d . 这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.通过对以上两个设计思路的分析，我们看到事件A 的概率用子区域d 的大小与几何区域D 大小的比值来表示是合理的.当子区域d 和几何区域D 是一维区域时，它们的大小用它们的长度来表示；当子区域d 和几何区域D 是二维区域时，它们的大小用它们的面积来表示；当子区域d 和几何区域D 是三维区域时，它们的大小用它们的体积来表示.为定义统一，若几何区域的大小我们称为这个区域的“测度”，则P(A)=子区域d 的测度/区域D 的测度.由于几何区域d 是几何区域D 的子集，于是我们有0≤d 的测度≤D 的测度，在不等式两侧同时除以D 的测度（一般假定其为正数）则有的测度的测度的测度的测度的测度D D D d D ≤≤0， 即0≤P≤1，这个不等式表明几何概型的概率在0和1之间. 注意到当p(A)＝0时，d 的测度一定为0（一个点的长度是0，一条曲线的面积是0），且当p(A)=1时，d 的测度必须等于D 的测度.几何概型的基本特点是：（1）在每一次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限个；（2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.从几何概型具有的特点来看，几何概型与古典概型的区别在于，几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.应用示例思路1例1 判断下列试验中事件A 发生的概率是古典概型，还是几何概型.（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）如图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.分析：本题考查的是几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性.而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关.解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中指针指向B 区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型.点评：区别某一个问题是属于古典概型还是属于几何概型，要注意抓住它们的特点：几何概型是无限多个等可能事件的情形，而古典概型中的等可能事件只是有限个.例2 在一个量杯中装有1升的水，其中含有一个细菌，现在用一个小杯子从中取出0.1升的水，求这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率.分析：细菌在量杯的水中的分布可以看成是随机的，因此符合几何概型的特点，所以可以运用几何概型概率的解法来求解.解：细菌在水中的分布看成是随机的，符合几何概型的特点，从这个量杯中取出的0.1升水看成区域d ，所有的1升水看成区域D ，记事件A 为“小杯子所取出的水中含有这个细菌”，则P(A)=11.0=所有水的体积取出的水的体积=0.1. 答：这个小杯子所取出的水中含有这个细菌的概率为0.1.点评：在本题中，“测度”是体积；基本事件（这个细菌可以生存在这1升水的任何区域）有无限多个，同时因为是随机分布的，即基本事件是等可能的，所以符合几何概型的特点，因此，选择几何概型的计算方法计算概率.例3 将正方形ABCD 等分成九个小正方形，并用红、黄、蓝三种颜色涂成如图所示的图案，向正方形ABCD 内随机投点，分别求下列事件的概率.(1)点落在红色区域；(2)点落在红色或蓝色区域；(3)点落在黄色或蓝色区域.分析：因为投点时是随机的，而且点落在正方形是随机分布的，因此，符合几何概型的特点，所以，用几何概型计算概率的方法来解.解： (1)记事件A 为“点落在红色区域”，假设正方形ABCD 的面积为9个单位，则 P(A)=94=的面积正方形红色区域面积ABCD . (2)记事件B 为“点落在红色或蓝色区域”，同样假设正方形ABCD 的面积为9个单位，则P(B)=32924=+=的面积正方形积之和红色区域与蓝色区域面ABCD . (3)记事件C 为“点落在黄色或蓝色区域”，同样假设正方形ABCD 的面积为9个单位，则P(C)=95923=+=的面积正方形积之和黄色区域与蓝色区域面ABCD . 点评：在本题中，计算概率时所涉及的“测度”是正方形的面积，因此，准确判断几何图形的面积是解决“测度”是几何图形的面积的几何概型问题的关键.例4 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面，可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？分析：由于甲、乙两人是随机出现在约会地点，而且在每一时刻出现是等可能的，因此用几何概型来解.解：为（9+x ）小时，乙到的时间为（9＋y ）小时，则0≤x≤1,0≤y≤1.点（x,y ）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形，以（0,0），（1,0），（0,1），（1,1）为顶点（如图）.由于两人都只能停留5分钟即121小时，所以在|x －y|≤121时，两人才能会面.由于|x －y|≤121是两条平行直线x －y=121,y －x=121之间的带状区域，正方形在这两个带状区域是两个三角形，其面积之和为(1－121)×(1－121)=(1211)2，从而带形区域在这个正方形内的面积为1－(1211)2=14423，因此所求的概率为14423114423=.点评：本题将时间看成是“测度”，因此，建立适当的“测度”是解决本题的关键.思路2例1 有一段长为10米的木棍，现要将其截成两段，要求每一段都不小于3米，则符合要求的截法的概率是多大？分析：由于要求每一段都不小于3米，也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截，这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.解：记两段木棍都不小于3米为事件A ，则P(A)=52103310=--. 点评：本题中“测度”为长度.例2 飞镖随机地投掷在如图所示的靶子上，(1)在每一个靶子中，飞镖投到区域A 、B 、C 的概率分别为多少？(2)在靶子1中，分别投中区域A 或B 的概率是多少？(3)在靶子2中，飞镖没有投中区域C 的概率是多少？(假设每一次投掷都没有脱靶)（靶子1是正三角形，三角形内的三条线段是三角形的顶点与重心的连线；靶子2中水平线是圆的直径，竖直的线段是垂直于直径的半径）分析： 由于飞镖投中的位置是随机的，因此，投中的结果有无数个，而飞镖投中任何位置的可能性相等，因此，本题符合几何概型的特点，所以运用几何概型的概率计算方法来求解.解：(1)在靶子1中分别记“飞镖投到区域A 、B 、C”为事件A 、B 、C ，设正三角形的面积为S ，则三个小三角形的面积（也就是区域A 、B 、C 的面积）都是正三角形面积的31，即每个小三角形的面积都是3S ，所以，P(A)=P(B)=P(C)=313==S S正三角形的面积小正方形的面积. 在靶子2中分别记“飞镖投到区域A 、B 、C”为事件A 1、B 1、C 1，设圆的面积为S 1，则区域A 的面积为21S ，区域B 、C 的面积为41S ，因此，P(A 1)=21，P(B 1)=P(C 1)= 41.(2)记事件D 为“在靶子1中，分别投中区域A 或B”，所以，P(D)=32=正三角形的面积的面积之和与区域B A . (3)记事件E 为“在靶子2中，飞镖没有投中区域C”，则有P(E)=43=圆的面积的面积之和与区域B A . 点评：在本题的飞镖的投掷中，因为是随机投掷，且没有脱靶，因此，符合几何概型的特点，所以用几何概型来计算有关的概率.在本题中的“测度”是面积.例3 如图，正方形ABCD 内接于半圆，现向半圆内随机投一点，求该点落在正方形内的概率.分析：由于点是随机投入半圆中，因此，符合几何概型的特点，考虑用几何概型的概率计算方法来求解.解：设半圆的半径为R ，正方形ABCD 的边长为x ，由平面几何知识可知：x 2=(R －2x )(R+2x )，得x 2=54R 2. 记该点“落入正方形内”为事件A ，则P(A)=ππ58222==R x 半圆的面积正方形的面积≈0.51. 点评：根据实际问题的背景，本题符合几何概型的特点，本题的“测度”是面积. 例 4 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率.分析：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.解：记事件A“等待的时间不多于10分钟”,我们所关心的事件A 恰好是到站等车的时刻位于［50,60］这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)=61605060=-，即此人等车时间不多于10分钟的概率为61. 点评：在本题中，到站等车的时刻X 是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，因此符合几何概型的特点，所以用几何概型概率的计算方法来求解.知能训练1.在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）A.0.5B.0.4C.0.004D.不能确定2.平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r<a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.3.某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定:顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止时，指针正好对准红、黄或绿的区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券（转盘等分成20份）.甲顾客购物120元，他获得购物券的概率是多少？他得到100元、50元、20元的购物券的概率分别是多少？4.（丈夫与妻子相遇问题）一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在下午4：00到5：00之间在某一街角相会，他们约好当其中一个先到后一定要等另一人15分钟.若另一人仍不到则离去.试问这对夫妇能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内.解答：1.C （提示：由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比2500=0.004）2.把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A ，为了确定硬币的位置，由硬币中心O 向靠得最近的平行线引垂线OM ，垂足为M ，如图所示，这样线段OM 长度（记作OM ）的取值范围就是［o,a ］，只有当r ＜OM≤a 时硬币不与平行线相碰，所以所求事件A 的概率就是P （A ）=a r a a a r -=的长度的长度],0[],(.3.甲顾客购物的钱数在100元到200元之间，可以获得一次转动转盘的机会，转盘一共等分了20份，其中1份红色、2份黄色、4份绿色，这符合几何概型的条件，因此对于顾客来说：P （获得购物券）=20720421=++； P （获得100元购物券）=201； P （获得50元购物券）=101202=；P （获得20元购物券）=51204=.4. 设x 和y 为下午4：00以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间（以分钟计数），则他们所有可能的到达时间都可由有序数对（x ，y ）来表示,这里0＜x ＜60，0＜y<60，基本事件组所对应的几何区域即为边长为60的正方形区域（如下图），为使得两夫妇相遇，他们的到达时间必须在相距15分钟的间隔之内，用数学符号表示即为绝对值不等式｜x-y ｜＜15（例如当妻子比丈夫晚到14分钟时，他们是可以相遇的，这时，只需注意到x-y ＝－14，即给出|x-y|＝14，不等式满足），而基本事件组所对应的几何区域中｜x-y ｜＜15的图形构成事件r 发生的区域，事件r 的阴影部分和R 的区域如图所示.因此P(r)=1673600157536002025360060245245602222==-=--.点评：依据实际问题，建立相应的数学模型，将问题转化为几何概型问题是关键所在.课堂小结通过这几节课的学习，已经有三种方法来求随机事件发生的概率了.这三种方法分别是一、通过做试验的方法得到随机事件发生的频率，以此来近似估计随机事件的概率；二、用古典概型的公式来计算随机事件发生的概率；三、用几何概型的公式来计算随机事件发生的概率.用古典概型的公式或几何概型的公式来计算事件发生的概率时，首先应该判断该试验是否符合古典概型或几何概型的特征，然后再解题.具体地说，如果一个试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用古典概型的公式来计算事件发生的概率.如果一个试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无数个；（2）每个基本事件在每一次试验中出现的可能性相等，那么我们就可以用几何概型的公式来计算事件发生的概率.第一种方法通过做试验的方法得到事件发生的频率，以此来近似估计概率.这种方法对计算任何随机事件发生的概率的题型都适用.但是，这种方法求出来的是随机事件发生的频率，而不是概率，只是用频率来估计概率.几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分，向L 上任意投一点，若投中线段l 上的点的数目与该段的长度成比例，而与线段l 在线段L 上的相对位置无关，则点投中线段l 的概率为P=的长度的长度L l ；（2）设平面图形s 是平面图形S 的一部分，向图形S 上任意投一点，若投中图形s 上的数目与该图形的面积成比例，而与图形s 在图形S 上的相对位置无关，则点投中图形s 的概率为 P=的长度的长度S s ； （3）设空间几何体v 是空间几何体V 的一部分，向几何体V 上任意投一点，若投中几何体v 上的数目与该几何体的体积成比例，而与几何体v 在几何体V 上的相对位置无关，则点投中几何体v 的概率为 P=的长度的长度V v . 作业课本习题3.3 1、2、3.设计感想由于几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，因此，在引出几何概型之后，将几何概型的特点与古典概型的特点进行比较，总结它们的相同地方和不同的地方.两者都是等可能事件，所不同的是，古典概型的基本事件的个数是有限的，而几何概型的基本事件的个数是无限的，两者的区别必须讲清楚.另外，在几何概型的概率计算公式中的“测度”，可以是线段的长度，图形的面积，几何体的体积等等，还有一些是可以转化为上述量的具体问题，要会转化.。