人教版数学高一学案几何概型
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3.3.1几何概型
1.了解几何概型与古典概型的区别.
2.理解几何概型的定义及其特点.
3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率.
知识点一几何概型的含义
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
2.几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
思考几何概型与古典概型有何区别?
答几何概型与古典概型的异同点
类型
异同
古典概型几何概型
不同点
一次试验的所有可能出现的
结果(基本事件)有有限个
一次试验的所有可能出现的
结果(基本事件)有无限多个相同点每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性大小相等
P(A)=
构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
思考计算几何概型的概率时,首先考虑的应该是什么?
答 首先考虑取点的区域,即要计算的区域的几何度量.
题型一 与长度有关的几何概型
例1 取一根长为3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大?
解 如图,记“剪得两段的长都不小于1m ”为事件A .
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段时,事件A 发生,因为中间一段的长度为1m ,所以事件A 发生的概率为P (A )=1
3
.
反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时,首先找到试验的全部结果构成的区域D ,这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段,然后找到事件A 发生对应的区域d ,在找区域d 的过程中,确定边界点是问题的关键,但边界点是否取到却不影响事件A 的概率. 跟踪训练1 某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 B
解析 如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中,而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时,才能保证他等车的时间不超过10分钟,根据几何概型得所求概率P =10+1040=12,故选B.
题型二 与面积有关的几何概型
例2 射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环,从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm ,靶心直径为12.2cm ,运动员在一定距离外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任意一点是等可能的,那么射中黄心的概率为多少? 解 如图,记“射中黄心”为事件B .
因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫
1
4×π×1222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为⎝
⎛
⎭
⎫
1
4×π×12.22cm2的黄心内时,事件B发生,
所以事件B发生的概率P(B)=
1
4×π×12.22
1
4×π×1222
=0.01.
反思与感悟解此类几何概型问题的关键:
(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题.
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的几何特征计算相关面积,套用公式从而求得随机事件的概率.
跟踪训练2一只海豚在水池中自由游弋,水池为长30m,宽20m的长方形,求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.
解如图所示,区域Ω是长30m、宽20m的长方形.
图中阴影部分表示事件A:“海豚嘴尖离岸边不超过2m”,问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.
由于区域Ω的面积为30×20=600(m2),阴影部分的面积为30×20-26×16=184(m2).
所以P(A)=
184
600=
23
75≈0.31.
即海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率约为0.31.
题型三与体积有关的几何概型
例3已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a,高为h,在正三棱锥内取点M,试求点M到底面的距离小于
h
2的概率.
解如图,分别在SA,SB,SC上取点A1,B1,C1,使A1,B1,C1分别为SA,SB,SC的中
点,则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时,点M 到底面的距离小于h
2
.
设△ABC 的面积为S ,由△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比为2,得△A 1B 1C 1的面积为S
4.
由题意,知区域D (三棱锥S -ABC )的体积为1
3Sh ,
区域d (三棱台ABC -A 1B 1C 1)的体积为13Sh -13·S 4·h 2=13Sh ·7
8.
所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P =7
8
.
反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量,我们要结合问题的背景,选择好观察角度,准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积.其概率的计算公式为P (A )=构成事件A 的区域体积
试验的全部结果构成的区域体积
.
跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,求蜜蜂“安全飞行”的概率. 解 依题意,在棱长为3的正方体内任意取一点,这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为:位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体.由几何概型的概率公式,可得满足题意的概率为P =1333=1
27.
题型四 与角度有关的几何概型
例4 如图,在平面直角坐标系内,射线OT 落在60°角的终边上,任作一条射线OA ,求射线OA 落在∠xOT 内的概率.
解 以O 为起点作射线OA 是随机的,因而射线OA 落在任何位置都是等可能的,落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关,符合几何概型的条件.