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第十八章 真空的恒定磁场一、基本要求1、确切理解磁感应强度的概念，明确磁感应强度的矢量性和迭加性；2、掌握毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律，并熟练地运用该定律来计算几何形状比较规则的载流导线所产生的磁场；3、掌握磁场的高斯定理和安培环路定理，并能熟练地运用安培环路定理来计算具有一定对称性分布的磁场的磁感应强度；4、掌握洛仑兹公式和安培定律，掌握计算洛仑兹力、安培力（或磁力矩）的方法。
二、基本概念和规律 1．磁感应强度磁场中某点的磁感应强度的大小定义为V q F B 0max / ，即在磁场中某点磁感应强度的大小等于运动试验电荷在该点所受的最大的力F max 与其所带电量q 0和速度的乘积之比值，的方向为置于该点的小磁针北极所指的方向。
应该指出：1）磁感应强度是描写磁场对运动电荷（或电流）施以作用力—磁场力的性质。
它是表征磁场本身性质的物理量。
既与在该点上的运动试验电荷所带的电量和速度无关，又与该点上有无运动试验电荷无关。
2）将磁感应强度和电场强度的定义进行比较，磁感应强度大小不能定义为运动试验电荷在磁场中所受的力与其所带电量和速度乘积之比值，否则的大小不确定；同样，磁感应强度的方向也不能定义为运动试验电荷所受磁场力的方向，不然，的方向亦不确定。
2、毕奥—萨伐尔—拉普拉定律真空中 304rId d ⨯=πμ 应该指出：1）注意电流元→l Id 、矢径→r 方向的规定，→B d 与→l Id 和→r 成右手定则关系。
2）当→l Id 与→r 之间的夹角为零或π，则dB =0，亦即在电流元→l Id 延长线上各点，电流元→l Id 并不产生磁场。
3）磁感应强度的迭加原理载流导线在磁场中某点产生的磁感应强度等于该载流导线上各电流元在该点所产生的磁感应强度的矢量和，即304rrl Id B d B L L⨯==⎰⎰πμ 4）运动电荷所产生的磁感应强度为304r q ⨯=πμ式中q 为运动电荷所带的电量，为其速度。
磁场1．一个半径为R 的圆线圈，共有N 匝，故在方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B 。
线圈可绕通过其水平直径的固定轴转动，一个质量为m 的物体用细线挂在线圈下部，如图。
当线圈通以电流I 后，最终能在某一位置处于平衡状态，这时线圈平面跟磁场夹角为θ，写出θ的计算式：取B=0.50特，R=10厘米，N=10匝，m=500克，I=1.0安，线圈本身重力忽略不计，求θ值。
2．图中L 是一根通电长直导线，导线中的电流为I ．一电阻为R 、每边长为2a 的导线方框，其中两条边与L 平行，可绕过其中心并与长直导线平行的轴线OO ’转动，轴线与长直导线相距b ，b ＞a ，初始时刻，导线框与直导线共面．现使线框以恒定的角速度ω转动，求线框中的感应电流的大小．不计导线框的自感．已知电流I 的长直导线在距导线r 处的磁感应强度大小为k rI，其中k 为常量．3．如图所示，有一个质量均匀分布的细圆环，半径为R ，质量为m ，均匀带着总电量为Q 的正电荷。
如果将此环平放在水平光滑桌面上，以角速度ω绕竖直中心轴旋转，桌面 附近存在着竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场，那么环上将有多大的张力？4．空间中有范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁力线水平指向前方，金属 圆盘质量为m ，半径为R ，厚度为d ，从静止开始下落；下落过程中，圆盘平面始终保持和水平磁力线平行。
试求圆盘最终达到的稳定加速度等于多少？5．磁感应强度为B 0的匀速磁场沿Z 方向，匀强电场E 0沿y 轴，一点电荷-q 放在坐标原点，由静止释放，试求：（1）电荷-q 在y 轴偏转的最大距离；（2）电荷-q 沿x 方向的平均速度和沿y 方向的平均加速度。
6．如图所示， M l M 2和 M 3 M 4都是由无限多根无限长的外表面绝缘的细直导线紧密排列成的导线排横截面，两导线排相交成120°，O O ’为其角平分线．每根细导线中都通有电流 I ，两导线排中电流的方向相反，其中M l M 2中电流的方向垂直纸面向里．导线排中单位长度上细导线的根数为λ．图中的矩形abcd 是用 N 型半导体材料做成的长直半导体片的横截面，（ab 《bc ），长直半导体片与导线排中的细导线平行，并在片中通有均匀电流I 0，电流方向垂直纸面向外．已知 ab 边与 O O ’垂直，bc ＝l ，该半导体材料内载流子密度为 n ，每个载流子所带电荷量的大小为 q ．求此半导体片的左右两个侧面之间的电势差．已知当细的无限长的直导线中通有电流 I 时，电流产生的磁场离直导线的距离为r 处的磁感应强度的大小为 rIk B =,式中k 为已知常量．7．设空间存在三个相互垂直的已知场：电场强度为E的匀强电场，磁感应强度为B的匀强磁场和重力加速度为g的重力场．一质量为m、电荷量为q的带正电的质点在此空间运动，已知在运动过程中，质点速度大小恒定不变．(i)试通过论证，说明此质点作何运动(不必求出运动的轨迹方程)．(ii) 若在某一时刻，电场和磁场突然全部消失，已知此后该质点在运动过程中的最小动能为其初始动能(即电场和磁场刚要消失时的动能)的一半，试求在电场、磁场刚要消失时刻该质点的速度在三个场方向的分量．8．图中坐标原点O (0, 0）处有一带电粒子源，向y≥0一侧沿Oxy平面内的各个不同方向发射带正电的粒子，粒子的速率都是v，质量均为m，电荷量均为q．有人设计了一方向垂直于Oxy平面，磁感应强度的大小为 B 的均匀磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x 轴正方向运动．试求出此边界线的方程，并画出此边界线的示意图．9．边长为L的正方形铜线框abcd可绕水平轴ab自由转动，一竖直向上的外力F作用在cd边的中点．整个线框置于方向竖直向上的均匀磁场中，磁感应强度大小随时间变化．已知该方形线框铜线的电导率（即电阻率的倒数）为σ，铜线的半径为r0，质量密度为ρ，重力加速度大小为g．（1）当框平面与水平面abef的夹角为θ时，求该方形线框所受的重力矩．（2）当框平面与水平面abef的夹角为θ时，框平面恰好处于平衡状态．求此时线框中cd边所受到的磁场B 的作用力的大小与外力的大小F 之间的关系式．（3）随着磁感应强度大小随时间的变化，可按照（2）中的关系式随时调整外力F 的大小以保持框平面与水平面abef 的夹角总为θ．在保持夹角θ不变的情形下，已知在某一时刻外力为零时，磁感应强度大小为B ；求此时磁感应强度随时间的变化率tB∆∆．10．空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，在此区域建立直角坐标系O-xyz ，如图所示，匀强电场沿x 方向，电场强度i E E 01=，匀强磁场沿z 方向，磁感应强度B 0=，E 0、B 0分别为已知常量，k i 、分别为x 方向和z 方向的单位矢量。
B 可编辑修改精选全文完整版高三物理竞赛辅导磁场与电磁感应第一讲 磁场主讲：孙琦一、毕奥——萨伐尔定律与磁力矩1．毕奥——萨伐尔定律如图所示，设ΔL 为导线的一段微元，其电流强度为I ，则在真空中距该“线微元”为r 的P 处，此通电线微元产生的磁感应强度为：θπμsin 420L r I B ∆=∆，式中θ为电流方向与r 之间的夹角，A m T /10470⋅⨯=-πμ，B ∆的方向可由右手定则得。
⑷细长密绕通电螺线管内的磁感应强度为:nI B 0μ=,n 是螺线管单位长度上线圈的匝数,此式表示的是匀强磁场2．磁力矩匀强磁场对通电线圈作用力的磁力矩的计算式为：θcos NBIS M = 式中的N 为线圈匝数，I 为线圈中通过的电流强度，θ为线圈平面与磁场方向所夹的角，S 为线圈的面积，而不管线圈是否是矩形，且磁力矩的大小与转轴的位置无关。
例1.如图所示，将均匀细导线做成的环上的任意两点A 和B 与固定电源相连接起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感应强度。
例2.一个质量均匀分布的细圆环，其半径为r ，质量为m ，令此环均匀带正电，总电量为Q 。
现将此环放在绝缘的光滑水平面上，如图所示，并处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下，当此环绕通过其中心的竖直轴以匀速度ω沿图示方向旋转时，试求环中的张力。
例3.两根互相平行的长直导线相距10cm ，其中一根通电的电流是10A ，另一根通电电流为20A ，方向如图。
试求在两导线平面内的P 、Q 、R 各点的磁感强度的大小和方向。
例4.如图所示，无限长竖直向上的导线中通有恒定电流0I ，已知由0I 产生磁场的公式是r I k B 0=，k 为恒量，r 是场点到0I 导线的距离。
边长为2L 的正方形线圈轴线OO ‘与导线平行。
某时刻该线圈的ab 边与导线相距2L ，且过导线与中心轴线OO ‘的平面与线圈平面垂直，已知线圈中通有电流I ，求此时线圈所受的磁力矩。
第十六讲 真空的磁场一、基本要求1、确切理解磁感应强度的概念，明确磁感应强度的矢量性和迭加性；2、掌握毕奥一萨伐尔一拉普拉斯定律，并熟练地运用该定律来计算几何形状比较规则的载流导线所产生的磁场；3、掌握磁场的高斯定理和安培环路定理，并能熟练地运用安培环路定理来计算具有一定对称性分布的磁场的磁感应强度；4、掌握洛仑兹公式和安培定律，掌握计算洛仑兹力、安培力（或磁力矩）的方法。
二、基本概念和规律1．磁感应强度 磁场中某点的磁感应强度的大小定义为V q F B 0max / ，即在磁场中某点磁感应强度的大小等于运动试验电荷在该点所受的最大的力F max 与其所带电量q 0和速度的乘积之比值，的方向为置于该点的小磁针北极所指的方向。
应该指出：1）磁感应强度是描写磁场对运动电荷（或电流）施以作用力—磁场力的性质。
它是表征磁场本身性质的物理量。
既与在该点上的运动试验电荷所带的电量和速度无关，又与该点上有无运动试验电荷无关。
2）将磁感应强度和电场强度的定义进行比较，磁感应强度大小不能定义为运动试验电荷在磁场中所受的力与其所带电量和速度乘积之比值，否则的大小不确定；同样，磁感应强度的方向也不能定义为运动试验电荷所受磁场力的方向，不然，的方向亦不确定。
2、毕奥—萨伐尔—拉普拉定律真空中 304rr l Id d ⨯=πμ 应该指出： 1）注意电流元→l Id 、矢径→r 方向的规定，→B d 与→l Id 和→r 成右手定则关系。
2）当→l Id 与→r 之间的夹角为零或π，则dB =0，亦即在电流元→l Id 延长线上各点，电流元→l Id 并不产生磁场。
3）磁感应强度的迭加原理载流导线在磁场中某点产生的磁感应强度等于该载流导线上各电流元在该点所产生的磁感应强度的矢量和，即 304rr l Id B d B L L ⨯==⎰⎰πμ 4）运动电荷所产生的磁感应强度为304r q ⨯=πμ 式中q 为运动电荷所带的电量，V 为其速度。
若运动电荷为正电荷，0>q ，的方向与⨯的方向相同；若运动电荷为负电荷，0<q ，的方向与⨯的方向相反；5）毕一萨一拉定律只在稳恒电流情况下成立。
它是根据大量实验事实进行理论分析的结果，不能从实验上直接加以证明，但由它所计算出的与实验测定相符合，从而间接证明了它的正确性。
它是电流产生磁场所遵循的基本规律，是稳恒磁场的理论基础。
3、稳恒磁场的基本性质1）磁场的高斯定理0·=⎰⎰s d B S即通过任意闭合曲面S 的磁通量等于零。
磁场的高斯定理说明磁场是无源场，磁感应线是闭合曲线。
2）安培环路定理在真空中 ∮L i I l d B ∑=0·μ 即磁感应强度沿任何闭合环路L 的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的0μ倍。
应该指出：a 、在环路定理∮L i I l d B ∑=0·μ中，环路L 上任一点的应是空间中所有电流在该点所产生的磁感应强度的矢量和，即它既包括环路L 内的电流，又包括环路L 外的电流共同产生的。
而i I ∑只包括穿过环路L 的电流。
即是说环路L 外的电流对有贡献，而对沿l 的环流无贡献。
b 、必须注意电流I 的正负规定。
当穿过环路L 的电流方向与环路l 的绕行方向服从右手定则时，I >0，反之I <0。
c 、安培环路定理只对稳恒电流产生的稳恒磁场才成立。
而对于有限长的载有稳恒电流的直导线不能用安培环路定理求磁感应强度，因稳恒电流一定是闭合的，而安培环路定理中的应是闭合电路中全部电流产生的。
d 、无论环路L 外面电流如何分布，只要环路L 内没有包围电流，或者所包围电流强度的代数和为零，则∮L 0·=l d B ，但应当注意，的环流为零，一般并不意味着环路L 上各点的都为零。
e 、安培环路定理说明磁场是非保守场，亦即是有旋场。
4、磁场对运动电荷、载流导线（或载流线圈）的作用1）磁场对运动电荷的作用 运动电荷在磁场中所受的力称为洛仑兹力，由洛仑兹公式计算q ⨯=式中q 为运动电荷所带的电量，V 是它的速度。
洛仑兹力与库仑力是不同的。
主要表现在：a 、洛仑兹力只作用于运动电荷，而库仑力既作用于运动电荷，又作用于静止电荷；b 、洛仑兹力总是垂直于运动电荷的速度，即V F ⊥，所以洛仑兹力只改变运动电荷速度的方向，而不改变其速度的大小，故洛仑兹力对运动电荷不作功。
而库仑力既可改变电荷速度的方向，又可改变其速度的大小，故库仑力对电荷要做功；c 、洛仑兹力与垂直，而库仑力与平行。
在均匀磁场中，带电粒子在洛仑兹力作用下作圆周运动的半径为qB mv R =v 是与相垂直的速度，带电粒子在均匀磁场中运动的回频共振频率mqB T πν21== 它与粒子的速率及回旋半径无关。
2）磁场对载流导线的作用电流元→l Id 在磁场中所受到的安培力→F d 由安培定律计算Id F d ⨯=→ 载流导线所受到的安培为B l Id F L ⨯=⎰→在稳恒电流情况下，载流导线在磁场中运动时，磁力所作的功为∆Φ=I A△Φ是闭合电流回路所包围面积内磁通量的增量。
磁场对载流平面线圈的作用载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩为M m ⨯=→式中NIS m =为载流平面线圈的磁矩。
I 是线圈中的电流强度，N 是线圈的匝数，S 为线圈每匝所包围的面积，的方向与电流I 的方向成右手定则关系。
上式表明，对于任意形状的载流平面线圈（或闭合电路）在均匀磁场中所受合力为零（不考虑线圈变形），但受到一个力矩，这力矩总是力图使这线圈的磁矩m 转到磁感应强度的方向，当m 与的夹角2πθ=时，线圈所受的力矩最大；当0=θ或π时，线圈所受的力矩为零。
当0=θ时，线圈处于稳定平衡状态；πθ=时，线圈处于非稳定平衡状态。
上式只对在同一平面上的任意形状的载流线圈在均匀磁场中成立。
三、解题方法本章的内容分两个方面：一是稳恒电流所产生的磁场；二是磁场对电流（或运动电荷）的作用。
虽然稳恒磁场与静电场的基本性质不同，但分析和处理问题的方法与静电场有很多相似之处。
1、求磁场分布的方法已知电流分布，求磁感应强度的方法有两种。
1）利用毕奥—萨伐尔—拉普拉斯定律和磁场的迭加原理求磁感应强度，即 304r r l Id B L ⨯=→⎰πμ 求 从原则上讲，在已知电流分布的情况下，可利用此种方法求任何载流导体所产生的磁场，因此，这是求的一种普遍方法。
这种方法还应包括利用已知的载流导体的磁感应强度公式和磁场的迭加原理求磁感应强度。
例如将无限长的载流导线弯成几何形状比较规则的各种形状的载流导线（由若干段直线和圆弧组成），在求其它们所产生的磁场时，就是利用载流导线和圆形电流在其圆心处的磁感应强度公式和磁场的迭加原理求。
2）利用安培环路定理求磁感应强度利用安培环路定理求磁感应强度与用静电场的高斯定理求电场强度的方法相类似，其步骤如下：a 、首先分析磁场分布的对称性，这是判断能否用安培环路定理求磁感应强度的关键。
只有当磁场分布具有一定的对称性时，才能用安培环路定理求，否则不能用。
这并不意味着安培环路定理对非对称性磁场不适用，而是用它求不出。
这是因为安培环路定理只是反映了稳恒磁场性质的一个侧面（有旋场），它对磁场性质的描述是不完全的，只有在磁场分布具有高度对称性的情形下，才能根据这种不完全的描述来确定磁场的分布，在一般情况下，应当配合反映磁场性质的另一个侧面（无源场）的高斯定理，才能充分描述稳恒磁场，并由它们确定普遍情形下稳恒磁场的分布。
b 、若能用安培环路定理，则选取适当的闭合环路（又称安培环路）通过拟求的场点，并规定安培环路的绕行方向。
选取安培环路的原则是使B 能从∮L l d B ·中积分号内提出来，以便能算出B ，通常选用的安培环路为圆周和矩形。
c 、分别计算所选取的安培环路的环流和安培环路所包围的电流的代数和，应用安培环路定理求出B ，并指出的方向。
2、磁场对电流、运动电荷的作用1）利用安培定律求磁场对载流导线的作用，即B l Id F L ⨯=⎰→其步骤如下：a 、根据问题的性质，选取适当的坐标系，首先求出在载流导线分布区域内的分布。
若题中已给出的分布，则此步骤求可省略。
b 、将载流导线分成无限多个电流元Id ，利用安培定律，写出某一电流元Id （所在位置不能选得特殊）所受的安培力Id d ⨯=，由右手定则确定d 的方向，然后根据所选择的坐标系将d 沿坐标轴进行正交分解，亦即将d 的矢量式用其分量式表示，以便把矢性函数的运算化成数性函数的运算。
c 、对电流元所受的安培力Fd 的诸分量分别积分，积分遍及整个载流导体。
注意：应根据所选取的坐标系，载流导线的几何形状，电流I 的方向，积分变量正确确定积分上、下限。
载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩，由M m ⨯=→求之，M 和与→成右手定则关系2）磁场对运动电荷的作用 利用络仑兹公式q F ⨯=→求磁场对运动电荷所作用的磁力。
3、常用例题公式1）载流直导线的磁场)(421θθπμCos Cos rI B O -= 式中r 为场点到直导线之垂直距离，1θ为始端电流元方向与其矢径方向之间的夹角。
2θ为末端电流的方向与其矢径方向之间的夹角，的方向由右手定则确定之。
若载流直导线为无限长，即πθθ==21,0，则有rI B O πμ2= 2）载流圆线圈轴线上的磁场23222)(2x R IR B O +=μ式中R 为圆线圈的半径，x 为轴线上的场点到圆线圈的圆心的距离。
当x = 0时，即在圆心处R I B O μ=3）载流长直螺线管内的磁场nI B O μ=式中n 为单位长度的线圈匝数4）载流螺绕环内的磁场当螺绕环横截面积很小时，环的平均周长为l ，则环内的磁感应强度nI I lN B O O μμ== 式中N 为螺绕环的总匝数四、解题示例例1，将一根载流导线弯成如图所示的形状，已知导线中的电流为I ，正方形的边长为a ，圆的半径为R ，求圆心O 点的磁感应强度。
解：利用载流直导线和载流圆线圈圆心处的磁感应强度公式和磁场迭加原理求圆心O 点的磁感应强度。
由于圆心O 点在载流直导线AC 之延长线上，所以载流直导线AC 在O 点产生的磁感应强度B 1=0。
载流圆弧CDE 在O 点产生的磁感应强度B 2是载流圆线圈中心磁感应强度R IO 2μ的43，即RI R IB O O 834322μμ=⨯= 2B 的方向由右手定则可得，垂直于纸面向外。
由于圆心O 点在载流直导线EF 延长线上，所以载流直导线EF 在O 点产生的磁感应强度B 3=0。
由载流直导线的磁感应强度公式可得载流直导线FG 在O 点产生的磁感应强度为：a I Cos Cos a I B O O πμπππμ82)432(44=-= 4B 的方向垂直于纸面向外，同理可得载流直导线GA 在O 点产生的磁感应强度为a I Cos Cos a I B O O πμπππμ82)24(45=-= 5的方向垂直于纸面向外，选取通过O 点垂直于纸面向外为正方向，由磁场的迭加原理得圆心O 点的磁感应强度为aI R I B B B B B B O O μμ28354321+=++++= 的方向垂直于纸面向外。
