人教版高中数学必修四《2.2.1向量加法运算及其几何意义》课件[2020年最新]

1．向量加法的定义 求两个向量 和的运算 ，叫做向量的加法． 2．向量加法的运算法则

已知非零向量 a、 在平面上任取一点 A， AB b， 作


向量 求和 的法 则
＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记 三角 作 a＋b ，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC . 形法 这种求两个向量和的方法，称为 则 向量加法的 三角形 法则． 对于零向量与任一向量 a 的和有 a＋0＝ 0＋a ＝ a









(2)作

BF ＝ AC ，则四边形 ABFC 为平行四边形，

∴CF 綊 AB，又 DC∥AB，
∴D，C，F 三点共线，且| DF |＝2| AB |＝2， ∴a－b＋c＝ AB － AD ＋ BF ＝ DB ＋ BF ＝ DF ， 且|a－b＋c|＝| DF |＝2.
| | 10 1 CD ∴cos α＝ ＝ ＝ ，
| AD | 20 2
∴α＝60° ，从而船与水流方向成 120° 的角． 故船行进的方向是与水流的方向成 120° 的角的方向．
[悟一法] 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转 化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单 应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判 断ABCD为平行四边形．因为要求方向，所以要转化为平



向 量 求 和 的 法 则
平 行 四 边 形 法 则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作▱OACB，则 以O为起
点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和．这种作两个向量 和的方法叫做两个向量加法的 平行四边形法则

a
c
bb
a
a+ b
a a+b
b
c
b+c
a+b+c
b+ a a
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7
b
四、向量加法的运算律
交换律：a+b=b+a 结合律：（ a+ b ） + c=a+ （ b+ c）
想一想
零向量和任一向量 a 的和是什么?
a+0=0+a=a
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8
五、课堂检测:
1.下列向量可以看作是哪些向量的和
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2
二、向量加法的三角形法则
已 知 向 量 a ,b , 求 作 向 量 a b
b a
作法（1）在平面内任取一点O ( 2 ) 作 O A a ,A B b
o
（ 3） O= Ba+b
A
这种作法叫做向量加法的三角形法则
B
点O的选取可以选择在哪些特殊位置？
位移的合成可以看 作向量加法三角形 法则的物理模型
第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
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1
一、复习回顾：
1.向量、平行向量的含义分别是什么？
向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的非零向量。
2.用什么表示向量，向量的大小和方向是如何反映的
向量的表示：
有向线段
向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。
任意向量a,b的加法是否也满足交换律与 结合律?
D
D
a
C a+b+c

C
则
尾 相
B C
接
）O
O
OC CB OB
OA OB OC
（
共
起
A
点 ）
1.两种方法做出的结果一样吗? 2.它们之间有联系吗?
向 量
任意给出两个向量a与b. 如何求a+ b.
加
法 的
a
b
法 则
三 角 形 法 则:
平行四边形法则:
B
C
bC
B
bA
O 实规际上定 a：三对： 角于a形两法个则不0作共出线的向0b图量形，O是这a平两行个四法a边则a形是法统则一作的
课堂小结
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
作业布置
作业：课本91页习题 2.2A组第4题 学案完成132页至133页
本节课到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
知识探究 根据图示填空
Ee D
(1)a b c
gf
d (2)(a b) d f
A
c bC (3)(a b d ) e g
例3:如图，一只船从 A点出发以2 3km /h的速度
向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速
度向
设用向量 AC表示船的速度,
C
D
用向量AB表示水流的速度.
船实际行驶的速度 AD是向量 AC
与向量AB的和向量
23
A2 B
解：在Rt△ABD中, AB = 2, BD = 2 3
深入探究
a
b
与
a
b的
大小关系如何？
深入探究
a b与
a
b

问题探究
实数的加法运算满足交换律，即对任意 a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那么向量的
加法也满足交换律吗？如何检验？
a
b
b a+b
a
向量加法满足交换律和结合律
(1)向量加法交换律：
ab ba
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
以上两个运算律可以推广到 任意多个向量.
小结
向量加 法
特例：共线向量
(1) 同向
a
b
(2)反向
a
b
A
B
C
B
CA
用平行四
边形法则求和向量的情况？
探究：
1 当a, b不共线时，
a b <ab< a b
2 当 a, b 同向时，
ab = a b
C
a+b b
A
a
B
a+b
Aa B
b
C
3 当 a, b 异向时，
ab = a b
a+b
C
A
B
结论： a b a b a b
问题探究
向量加 法
如图所示，计算下列各式
(1) (a+b)+c (2) a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
A
a
思考：实数的加法运算满足结合律，那 么向量的加法运算也满足结合律吗？
B
B
A

首
a
C
尾
相
ab
接
b
b
A
a
B
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
a b AB BC AC 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AB BC _A__C__
向量加法、减法运算及 其几何意义
2019/8/27
知识回顾
1. 向量与数量有何区别?
数量只有大小没有方向,如:长度,质量,面积等
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量向量?
1)用有向线段来表示,线段的长度表示线段的大小，箭头所
指方向表示向量的方向。
A
B
2）用字母来表示，或用表示向量的有向线段的起点和终
A
b
a
B
O
ab
三角形法则
思考1：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形
法 则是否还适用？如何作出两个向量的和？
a
a
b
（1）
A
B
C
ab
b
（2）
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b | 若a，b方向相反，则 | a b || a | | b（| 或 | b | | a |）
a b OA OB OC 这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则。
向量加法的平行四边形法则：
B
b
ab
C
起
点

１.化简
(1) A B C D BC _ _A_ D_ _ _ _ _
(2) M A BN A C C B __M__N____
(3) A B BD C A D C _ _ _0_ _ _ _ _
2、如图，一艘船从 A点出发以 2 3km /h 的速度向垂直于对
2.1.1向量加法运算及其 几何意义
本文由物理课中的位移以及力的合成导出向量加法问题 的提出的过程, 学生经历用三角形法则与平行四边形法则 进行向量求和的作图过程,不仅深刻理解了物理中的力、速 度的合成分解的作图方法体现出的数学的实用性,还感受到 了数学和物理的合作,从而感悟出一种合作精神,迁移到同 学们的学习和生活中,便能体会出团结协作尤为重要.感受 到数学问题来自于客观现实,感受到学好数学有利于解决实 际问题.
D
D
(a b) c
b
a (b c)
bc
A
a
C
A
ab
a
rr rr 交换律: a b b a
B
c
C
b
结合律: (a b) c a (b c)
根据图示填空:
(1)
r
a+
ur d
uuur
=____D__A______
rr
uuur
(2) c+ b=_____C_B______
22 52 = 29 5.4
因为 tanCAB 5 , 2
CAB 68o
A
B
答：船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流 速间的夹角为68°.
变式训练
船在静水 的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,则要使 船到对岸的路程最短，它应该朝那个方向前进？船的实际 速度是多少？

题型一 题型二 题型三
【变式训练3】 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行 驶,船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度的大小和船的 实际速度的大小.
解:如图,������������表示水流速度,������������表示船垂直于对岸的方向行驶的速 度,������������表示船实际航行的速度,∠AOC=30°,|������������|=5 km/h.
(2)������������ + ������������ + ������������ + ������������=(������������ + ������������)+(������������ + ������������)=������������ + ������������ = ������������ .
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1.通过位移、力的合成了解向量加法定义的由来. 2.掌握向量加法的定义,会用向量加法的三角形法则和平行四边 形法则作两个向量的和向量. 3.了解向量加法的交换律和结合律,会用它们进行向量计算,并初 步掌握向量加法的实际应用.
12
1.向量的加法 (1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和 仍然是一个向量. (2)三角形法则:如图甲所示,已知非零向量 a,b,在平面内任取一 点 A,作������������ =a, ������������ =b,则向量������������叫做向量a 与 b 的和,记作 a+b.这种 求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则.
A.3 B.4 C.7 D.5
答案:D
【做一做 1-3】 在边长为 1 的正方形 ABCD 中,|������������ + ������������ + ������������| 等于( )

(4) a b b a a，b反向且 a b
问题探究
运算律可以帮助我们有效地简化运算
探 问题究1：途你径 能说：出实数运算有哪些运算律吗？ 利 对于用不向 同运量算加它们法的法运则 算律作都图 相同研吗究 ？
验问证 题2方：法定的义获了得一：种可新同运桌算或,自前然后要交研流究合其作运 算律问题.请类比数的加法的运算律,思考向 选量取 的加优法秀是验否证也思有路运展算示律？有哪些运算律？
同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
问:协力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
E
O
F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产 生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的协力.
向量加法
向量加 法
例如:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
最大值，并指出a，b满足什么条件时? a b 取到最大值.
1、（1）
ab
书本84页课堂练习
（2）
b
b
ab b
a
（3） a b b
a
a
（4） a b
b
a
b
b
2、（1）
b
ab
ba
（2） b
a
ab
a
向向量量加加法法
课堂小结：
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法实际应用
问:协力F与力F1、F2有怎样的关系？
E
O
F1+F2=F
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线

①A→B＋D→F＝A→B＋B→C＝A→C. ②A→D＋F→C＝A→D＋D→B＝A→B. ③A→D＋B→C＋F→C＝A→D＋D→F＋F→C＝A→C.]
(2)[解] ①首先作向量O→A＝a，然后作向量A→B＝b，则向量O→B＝ a＋b.如图所示．
②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内 任取一点 O，作向量O→A＝a，再作向量A→B＝b，则得 向量O→B＝a＋b，然后作向量B→C＝c，则向量O→C＝(a ＋b)＋c＝a＋b＋c 即为所求．
20 [根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所 以小船实际速度大小为 10 32＋102＝20(km/h)．]
合作 探究 释疑 难
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
[探究问题] 1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什 么？ 提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．
3.能区分数的加法与向量的加法 2.通过向量的加法运算律，培养
的联系与区别．(易混点)
学生的数学运算素养.
自主 预习 探新 知
1．向量加法的定义 定义：求 两个向量和 的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量a，规定0+ a＝a＋0 ＝ a .
2．向量求和的法则
已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C
2.C→B＋A→D＋B→A等于( )
A.D→B C.C→D
B.C→A D.D→C
C [C→B＋A→D＋B→A＝C→B＋B→A＋A→D＝C→D.]
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，D→A＋D→C＝________. D→B [由平行四边形法则可知D→A＋D→C＝D→B.]

多边形法则:
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾 向量的终点的向量．
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
A1
An 1
A2
An
A3
A4
二、向量加法的运算律

D
B
a
D
b ba
(a b) c
b
a (b c)
c
A
ab
a
a b ab a b
何时取得等号?
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小.
1、不共线
a
2、共线
a
b
a+ b
b
o· a
a+ b
|a+ b|< |a|+ |b|
A
b
B
a b
a+ b
| a + b |= | a | + | b |
| a + b |= | a | - | b |
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度 (保留两个有效数字);
解:(1)
船实际航行速度
D
C
船速
A
水速 B
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角 表示,精确到度).
在Rt△ABC中, AB =2, BC =5
D
C
2
2
AC AB BC
22 52 = 29 5.4
(2) MA BN AC CB __M__N____
(3) AB BD C A DC ___0_____