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§3-3 非周期信号的频谱分析讲解

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信号与系统第三章

信号与系统第三章

a0 ∞ fT ( t ) = + ∑ 2 n=1
Fne jnΩt + F− ne − jnΩt ) (
jnΩt
=
n =−∞
∑
∞
Fn e
F0
a0 2
an + jbn = 2 ∗ = Fn
第
指数形式的傅立叶级数(2) 指数形式的傅立叶级数(2)
1. 傅里叶系数
a − jbn 1 Fn = n = 2 T T
ε =0
2
∫
t2 t1
f (t ) d t = ∑ C 2 K j j
2 j =1
∞
(Parseval 公式 公式)
第
§3.2
周期信号的频谱分析
-----傅里叶级数 傅里叶级数
5 页
一、三角形式的傅立叶级数 二、周期信号的频谱 三、指数形式的傅立叶级数 周期信号的功率——Parseval等式 Parseval等式 四、周期信号的功率 Parseval 五、函数对称性与频谱特性
bn ϕn = −arctg an an = An cos (ϕn ) , bn = − An sin (ϕn )
A0 a0 = 2 2
An = an 2 + bn 2
第
二、周期信号的频谱
概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 An~ω：幅度谱； ：幅度谱； 例1： ：
在正交函数集 满足： 满足：
1
之外， {ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,L,ϕ ( t )} 之外，不存在 ϕ ( t ) ≠ 0
2 n
∫
t2 t1

非正弦周期信号的频谱

非正弦周期信号的频谱

频谱分析在通信、电力、自动控制等领域 都有广泛的应用，其分析结果可以为相关 领域的发展提供支持和指导。
02
非正弦周期信号的基本概念
非正弦周期信号的定义
01
非正弦周期信号是指在一个周期 内，信号的波形不是正弦波形的 周期信号。
02
与正弦周期信号相比，非正弦周 期信号的波形更加复杂，包含多 种频率成分。
05
非正弦周期信号频谱分析的应 用
在通信领域的应用
调制与解调
在通信系统中，非正弦周期信号 常被用作调制信号，通过频谱分 析可以了解信号的频率成分，进
而实现信号的调制与解调。
信道特性分析
通过分析信道对非正弦周期信号的 频谱影响，可以评估信道的传输特 性，为信道均衡和信号恢复提供依 据。
干扰识别与抑制
高精度算法
02
发展更高精度的频谱分析算法，以应对复杂和微弱信号的挑战，
提高分析的灵敏度和分辨率。
多域联合分析
03
结合时域、频域和其他变换域的分析方法，提供更全面、深入
的信号特征提取和理解。
对未来技术的展望
实时分析技术
开发能够实时处理和分析非正弦周期信号的技术，以满足实时监 测和控制的需求。
自适应分析技术
频谱的奇对称性
如果非正弦周期信号的波形具有奇对称性（即波形关于原 点对称），则其频谱具有奇对称性。在这种情况下，正负 频率分量的幅度相等，相位相同。
频谱的非对称性
对于不具有偶对称性或奇对称性的非正弦周期信号，其频 谱可能呈现出非对称性。这意味着正负频率分量的幅度和 相位关系可能不遵循简单的对称规律。
在通信系统中，干扰信号往往具有 特定的频谱特征。通过频谱分析， 可以识别干扰信号并采取相应的抑 制措施。

非周期信号频谱分析---三

非周期信号频谱分析---三

即在时域乘以因子
e
j0t
导致频谱产生平移。
⊙卷积特性
F[ x(t )] X ( j )
F[ x(t ) y(t )]
，F [
y( t )] Y ( j )
X ( j ) Y ( j )
证明： 令
z (t ) x(t ) y (t )

x( ) y (t )d
主瓣将变“矮”变胖，若
变成近似水平的带宽。
0，则主瓣
Aτ
π
-4π
τ
-2π
τ
0 2π
τ
4π
τ
-6π -4π
τ
τ
-2π
τ
0 2π
τ
4π
τ
6π
τ
2）将周期矩形脉冲的频谱
An
2A n A sa ( ) sa (n0 ) n T0 T0 2
A 与单个脉冲频谱 X ( j ) 2作比较： sa( )
dt
1 x(kt )e k 1 j X( ) k k

j
kt k
dkt
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是 信号分析中最常用的一种手段。
案例：在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析， 确定最大频率分量，然后根据 机床转速和传动链，找出故障 齿轮。
j ( )
X ( j ) Re（ω）、Im(ω）分别为 的实部和虚部。 为幅值。 X ( j) . ( ) Re（ω） -ω为实频函数（实频曲线） Im(ω）-- ω为虚频函数（虚频曲线）

非周期信号及其频谱

非周期信号及其频谱

但若各正（余）弦信号的频率比不是有理数，例如 x(t)= sinω0t+sin2πω0t，各正（余）弦信号间找不到公共的周期，它们在合成 后不可能经过某一周期重复，所以合成后不可能是一个周期信号。但 是这样的一种信号在频域表达上却是离散频谱，这种信号称为准周期 信号。在工程技术领域内，不同的相互独立振源对某对象的激振而形 成的振动往往是属于这一类的信号。
1.2 傅里叶变换与非周期信号的频谱
在式
x(t)
x(t
)e
j2ft
dt
e
j2ft
df
括号里的积分中，t是积分变
量，因此积分的结果是一个以频率f为自变量的函数，记作
X ( f ) x(t)e j2ftdt
此式称为函数 x(t) 的傅里叶变换（FT）。傅里叶变换是把时域函数
x(t) 变换为频域函数 X(f)的桥梁，其功能与式
单乘积。
（3） δ 函数的频谱
将 δ 函数进行傅里叶变换，即可得到其频谱函数，即
( f )
(t)e j2ftdt e0
(t)dt 1
可根见据，傅时里域叶的变脉换冲的信对号称具性有、无时限移宽性广和的频频移谱性，等而，且可各得频到率下上列的傅信里叶
号变强换度对都: 相等。在信号的检测中，一般爆发电火花的地方（如雷电、火
(t )
0
t0 t0
(t)dt
0 s (t)dt 1
s (t)
O t
(a)
(t)
(1)
Ot
(b)
在工程上，常将 δ 函数用一个高度等于1的有向线段来表示，如下 图所示，这个线段的高度表示 δ 函数的积分，亦称 δ 函数的强度（并非 幅度值）。用这种方法表示的 δ 函数称为单位脉冲函数。

非周期信号与频谱-傅立叶变换

非周期信号与频谱-傅立叶变换

( ) ~
幅度谱和相位谱都是频率 ω 的连续函数，在形状上与相应的周期信号 频谱包络线相同。 非周期信号的频谱有两个特点：密度谱、连续谱 。
信号与系统
傅立叶变换
由信号的频谱 因为
F ( ) 重建非周期信号 f (t ) 的表示式

F ( jn 0 ) jn 0t F ( jn 0 ) f T (t ) e 0 e jn 0t T 2 n n
2
t
0
1
0

信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
B 10a
同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比。
A
f ( t ) e at u ( t )
F ( )
( )

2
1/ a
0
2

0
a
t
10a
0
b
10a


c
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（3）双边指数信号
傅立变换为
f (t ) e

a t
,a0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
1 2 ( ) ，即直流信号的频谱是原 点的冲激函数是很直观的，因为直流信号只包含 0 的频率成分，而
从频谱的角度理解傅立叶变换对
不含其它频率成分，同时，因为傅立叶变换得到的频谱是一种密度谱，
所以直流信号在
0
f t
处的谱密度是无穷大。
F
信号与系统
3.3 非周期信号的频谱－ 傅立叶变换
信号与系统
一、从傅立叶级数到傅立叶变换
对周期信号 f T (t ) ，如果令 T 趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的 间隔才重复出现，周期信号因此变为非周期信号，即当 T 时，有

非周期信号的频谱

非周期信号的频谱

jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞

周期和非周期信号的频谱分析

周期和非周期信号的频谱分析

1 引言人们之间的交流是通过消息的传播来实现的，信号则是消息的表现形式，消息是信号的具体内容。

信号与系统研究的是对信号在时间域和频率域进行分析、处理和变换，在时间域里通过零输入响应和零状态响应以及阶跃响应和冲激响应了解输入和输出之间的关系。

通过傅里叶变换找到了时间域转换到频率域的方法，对于周期性信号可以通过傅里叶级数进行分解展开成无数多的正弦余弦信号，也可以将这些信号通过叠加还原回原信号。

由于傅里叶变换要求信号必须收敛，大多信号不收敛。

因此，由傅里叶变换又引出了拉普拉斯变换，从而通过引入衰减因子将大多的信号都能进行时间域到频率域的转换。

对于离散信号则采用Z变换进行处理。

本课程设计利用Labview软件对信号进行模拟处理、分析和变换，从而对信号进一步了解。

本课程设计主要是通过对周期信号的研究和分析，掌握信号的频谱分析方法，理解信号有时域转换到频域的原理及方法，尤其对于周期信号可进行傅里叶级数分解，理解傅里叶级数的系数的求解方法。

本课程设计通过对周期性三角波的分解和叠加从而对周期性信号的分解和叠加进一步的理解。

2 虚拟仪器开发软件LabVIEW8.6入门2.1 LabVIEW8.6介绍LabVIEW（Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench）是一种用图标代替文本行创建应用程序的图形化编程语言。

传统文本编程语言根据语句和指令的先后顺序决定程序执行顺序，而LabVIEW 则采用数据流编程方式，程序框图中节点之间的数据流向决定了程序的执行顺序。

它用图标表示函数，用连线表示数据流向。

LabVIEW程序被称为VI（Virtual Instrument），即虚拟仪器。

LabVIEW的核心概念就是“软件即是仪器”，即虚拟仪器的概念。

LabVIEW还包含了大量的工具与函数用于数据采集、分析、显示与存储等。

LabVIEW在测试、测量和自动化等领域具有最大的优势，因为LabVIEW提供了大量的工具与函数用于数据采集、分析、显示和存储。

§3.3 非周期信号的频谱---傅立叶变换

§3.3 非周期信号的频谱---傅立叶变换

信号与系统
2. 周期信号的平均功率和功率谱 T
周期信号的平均功率为 P 1 2 f (t) 2 dt
T T
T2
T
根据傅立叶级数展开有 P
1 T
2 T
f 2 (t)dt
1 T
2 T
f
(t) Fne jnt0 dt
n
2
2
T
n
F n
1 T
2 T
f (t)e-jn0tdt
F nF n
根据前面的傅立叶系数公式知道：
an 是 n 的偶函数， bn 是 n 的奇函数。
An 是 n 的偶函数， n 是 n 的奇函数。
信号与系统
周期信号 f (t) ，周期为T
，角频率
0
2f
0
2
T
该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。
f (t) Fne jnt0
n
T
其中
1
Fn T
2
f (t)e -jnt0 dt,
dt
2(w
w
)0
信号与系统
（6）常数函数（直流信号） f (t) = A
直流信号不满足绝对可积条件，可采用取极限的方法导出其傅立叶变换
。当矩形脉冲宽度 τ →∞ 时，矩形脉冲便趋于直流信号，因此直流信号的
傅立叶变换为矩形脉冲信号在 τ→∞ 时的傅立叶变换。
而矩形脉冲的傅立叶变换为
sin( )
F () A
变换的物理含义。对信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分
析具有同样含义，所谓求信号的频谱和求信号的傅立叶变换是
一回事。
信号与系统
非周期信号的频谱
F ( ) 一般为复函数，可以写为 F () F()e j() F () ~ 曲线称为非周期信号的幅度频谱

非周期信号的频谱

非周期信号的频谱

3.3.2 常用非周期信号的傅立叶变换
• 直流信号1可表示为： P110例3.4-6
f (t) 1 t
F( j)
1
e
jt
dt
（直接积分无法进行）
由傅立叶逆变换的定义式有： (t) 1
1
e
jt
d
令：t
2 () 1 1 e jt dt
2
冲激信号是偶函数： () () 1 1 e jt dt
F( j) F( j) e j() a() jb()
| F( j) | a2() b2()
() arctg b() a()
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F( j) F( j) () ()
a( j) a( j) b() b()
3.3.1 傅立叶变换
• 关于连续谱的说明 具有离散频谱的信号，其能量集中在一些谐波分量中。
具有连续频谱的信号，其能量分布在所有的频率中， 每一频率分量包含的能量则为无穷小量。
• 几个重要结论：
当 f (t) 是实函数时：
3.3.1 傅立叶变换
(1) 若 f(t)为t的偶函数，即 f(t) = f(-t)，
则 f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的实函数， 且为ω的偶函数。
(2) 若f(t)为t的奇函数，即 f(-t) = -f(t)， 则f(t)的频谱函数 F(jω) 为ω的虚函数，且为ω的奇函数。
2
f (t) Fne jn1t
T
n
Fn T
2 T
f (t)e jn1t dt
2
周期信号趋于非周期信号。
• 当 T 时： 谱线无限密集，1 d
幅度 Fn 趋于无穷小， n1
令：F

非周期信号的频谱分析

非周期信号的频谱分析

lim T
1 T
f (t)e jt dt
2
傅里叶变换：
F
(
j)
lim
T
TCn
f (t)e jt dt
物理意义: F(j)是单位频率所具有的信号频谱，
称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。
4
二、周期和非周期信号频谱函数的区别
（1）周期信号的频谱为离散频谱， 非周期信号的频谱为连续频谱。
狄里赫莱条件是充分不必要条件
8
例 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱函数。
解： 非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为
f
(t
)
A， 0，
| t | t / 2 | t | t / 2
由傅里叶正变换定义式，可得
F ( j)
f (t)e jt dt
t
2t
A e jt dt
2
At Sa(t )
2π
T , 记 n0 = , 0 = 2p/T = d,
f
(t)
1 2π
F ( j)e jt d
物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为， 复振幅为[F(j)/2p]d 的虚指数信号ej t的线性组合。
6
傅立叶正变换： 傅立叶反变换：
符号表示ห้องสมุดไป่ตู้ 或
F( j) f (t)e jt dt
f
(t)
16
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号 f (t)
直流信号及其频谱
1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。

非周期信号的频谱分析傅里叶变换.

非周期信号的频谱分析傅里叶变换.

（1）信号绝对可积，即
x(t) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最
小值。
（3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，
而且在这些点都必须是有限值。
自从在傅里叶变换中引入冲激函数后，使原先许多不
满足绝对可积条件的信号、周期信号等也可能进行傅里
叶变换。
6
2.3.2 典型非周期信号的频谱
当a < 1 ，τ 增大，相当于信号在时域中被扩展，其 频谱将压缩，低频分量相对增加。
由此可见,要压缩信号的持续时间,则不得不以展宽频 带作代价,所以无线电通信中,通信速度与占用频带宽度是 矛盾的。
22
5、时移特征
若 F[ x(t)] = X() = |X()|e j()
则
F[ x(t t0)] = X()e j t0 = |X()|e j[() t0]
/2 0 /2
t
Sa(ct)
1
/c
0
t
X()
1
0
X()
2 0
X()
2/
0
X()
/c
c 0 c
19
4、尺度变换特性
若 F [ x(t)] = X()
则 F[x(at)] 1 X
a a
证明：
F[x(at)] x(at)e j tdt
令u = at, 当a > 0
F[x(at)] 1
证明：
F[x(t t0 )]
x(t
t0
)e
j
t dt
e j t0
x(t
t0 )e j
(tt0 )d(t
t0 )
= X() e j t0
信号在时间轴上右移t0，在频域上其频谱将乘以因子 ej t0 。这意味着信号在时域中延时，将不改变信号的幅 度谱，仅使相位谱产生一个与频率成线性关系的相移。

信号分析基础(非周期信号频域分析)

信号分析基础(非周期信号频域分析)
1 jwt x x ( t) ( t) e dt ejwt dw 2

频谱函数（相当于原来的Cn）为：
x (t ) 1 X ( ) e j t d 2 x ( t ) e j t dt X ( )
非周期信号的频谱 5.傅立叶变换的主要性质
(1).奇偶虚实性
X( jf) x(t)ej2ftdt

x(t)cos 2 f tdt j x(t)sin 2 f tdt



R e X( jf) jI mX( jf)
a.若x(t)是实函数，则X(jƒ)是复函数； b.若x(t)为实偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实偶函数，即 X(jƒ)= ReX(jƒ)； c.若x(t)为实奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚奇函数，即 X(jƒ)＝-j ImX(jƒ)； d.若x(t)为虚偶函数，则ImX(jƒ)=0，而X(jƒ)是虚偶函数； e.若x(t)为虚奇函数，则ReX(jƒ)=0，而X(jƒ)是实奇函数。
1 j n t 0 C x ( t ) e dt n T 2
频谱图： Cn
2 π 2 π
T 2 T 2
0
N为偶数
N为奇数
n
2 7π
-7ω 0
2 5π
-5ω 0
2 3π
2 3π
2 5π
2 7π
-3ω 0
-ω 0
0ω
0
3ω 0
5ω 0
7ω 0
ω
非周期信号的频谱
矩形脉冲函数的频谱
S (t)
单 位 面 积 ＝ 1
lim S t) ( t) (

§32非周期信号的频谱分析

§32非周期信号的频谱分析

（一）．矩形脉冲信号
f t
E j t 2 e F Ee d t j 2 2

2 j t
E
t
2 0
2
E e . 2
j 2
e 2j
j 2
E
sin

2
2
E S a 2
F
E
F

F 0
0


1 tg 相位频谱：
0 , , ,


0 2 2
0 2
2

（三）．直流信号

四．傅里叶变换存在的条件
td t 有限值 ( 充分条件 ) f

即 f t 绝对可积
所有能量信号均满足此条件。
当引 入 函数的概念 变 后 换 ， 的 允 函
型大大扩展了。
五.典型非周期信号的频谱
•矩形脉冲 •单边指数信号 •直流信号 •符号函数 •升余弦脉冲信号
频谱图
j 2 2 2 sgn t j e2 j
F ( )
2 2 2 F
2
O

2
是偶函数 F
2 /2 , 1 tg 0 /2 ,
f( t) F ( n ) e 1
n j n t 1
除以 ，再乘以 1 1
F T F ( n ) lim 1 1
T 1
F ( n ) j n t 1 1 f ( t ) e 1

非周期信号的频谱分析傅里叶变换.

非周期信号的频谱分析傅里叶变换.

X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1
Re() = δ()
Im() = –1/
X() = Re() + jIm()
= δ() – j1/
= δ() +1/ e j – /2
阶跃信号的频谱在存在一个冲激，因为含有直流分量， 此外，它不是纯直流信号，在t = 0处有跳变，所以频谱 中还出现其它高频分量。
15
2.3.3 傅里叶变换的性质 １、奇偶性
若x(t)为实函数，则有幅频|X()|为偶函数，相频()
零。 由于频谱幅度趋于0，因此仍采用原来的幅度频谱的
概念将产生困难。事实上，由于频谱已转变为连续谱， 因此说明频谱上某一点频率上的幅度有多少是不行的。
研究频谱密度的变化，即单位频带上频谱幅度的大小，
以X(n1) /1来表示，也是的函数，且与原来幅度谱具
有相似的图形。
T1 ，1 0，X(n1) 0，但X(n1) /1却相对 稳定，将趋于稳定的极限值，这个 的函数称为频谱密
T1增大频谱的谱线变密，谱线变短。
1
x(t) E
0
T1
t
x(t)

§3-3 非周期信号的频谱分析

§3-3 非周期信号的频谱分析

x(t)
E
T

2
2
T
t
x(t)
E
T

2
2
T
t
x(t)
E

2
2
t
TA k E
0 1
2

k1
TA k E
0 1
2

k1
TA k E
0
2


对应的傅里叶级数展开式
x(t)

Ak e jk1t
k

TAk e jk1t
我们将X(jΩ)表示非周期信号的频谱，即是傅里叶正变 换

X ( j) x(t)e jt dt
式
x(t)
1

X ( j)e jt d
2
即是傅里叶反变换。上两式称作傅里叶变换对，常表示为
x(t) FT X ( j) ℱ x(t)
x(t) ℱ -1 X ( j)
k
1 T
1 2
TAk e jk1t
k

2 T
当T→∞的时候，
lim x(t)
T
1 2
TAk e
k
jk1t

2 T
lim
T
1 2
TAk e
k
jk1t
1

1

X ( j)e jt d
2
T
E
T

2
2
T
t
0 1
2

k1
x(t)
E
T

2
2

非周期信号的频谱分析

非周期信号的频谱分析

非周期信号的频谱分析一、实验目的1)掌握用MATLAB 编程，分析门信号的频谱；2)掌握用MATLAB 编程，分析冲击信号的频谱；3)掌握用MATLAB 编程，分析直流信号的频谱；4)掌握用MATLAB 编程，分析阶跃信号的频谱；5)掌握用MATLAB 编程，分析单边信号的频谱；二、实验原理常见的非周期信号有：1、门信号门信号的傅里叶变换对为：12sin()22()()202t g t F j Sa t ττωτωτωττω⎧<⎪⎪⎛⎫=⇔==⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎪⎩它的幅度频谱和相位频谱分别为 ()2F j Sa ωτωτ⎛⎫= ⎪⎝⎭0sin()02()sin(02ωτϕωωτπ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩2、冲激信号冲激信号的傅里叶变换对为()1t δ⇔3、直流信号直流信号的傅里叶变换为12()πδω⇔4、阶跃信号阶跃信号的傅里叶变换为111()sgn()()22u t t j πδωω=+⇔+5、单边指数信号单边指数信号的傅里叶变换对为01()00ate tf t j t αω-⎧≥=⇔⎨+<⎩幅度频谱和相位频谱分别为()F j ω=()arctan(a ωϕω=-三、涉及的MATLAB函数1、fourier函数2、ifourier函数四、实验内容与方法1、验证性试验1)门信号的傅里叶变换MATLAB程序：Clear all;syms t wut=sym('heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5)');subplot(2,1,1);ezplot(ut)hold onaxis([-1 1 0 1.1]);plot([-0.5 -0.5],[0,1]);plot([0.5 0.5],[0,1]);Fw=fourier(ut,t,w);FFP=abs(Fw);subplot(2,1,2);ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);程序运行结果图2)冲激信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms t wut1=sym('heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5)');subplot(2,1,1);ezplot(ut1);title('脉宽为1的矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 1.1]);plot([-0.5 -0.5],[0 1]);plot([0.5 0.5],[0 1]);Fw=fourier(ut1,t,w);FFw=abs(Fw);subplot(2,1,2);ezplot(FFw,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1的矩形脉冲信号的幅度频谱')hold onpauseut2=10*sym('heaviside(t+0.05)-heaviside(t-0.05)'); subplot(2,1,1);ezplot(ut2);title('脉宽为1、0.1矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 11]);plot([-0.05 -0.05],[0 10]);plot([0.05 0.05],[0 10]);Fw2=fourier(ut2,t,w);FFw2=abs(Fw2);subplot(2,1,2);ezplot(FFw2,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1、0.1的矩形脉冲信号的幅度频谱')hold onpauseut3=100*sym('heaviside(t+0.005)-heaviside(t-0.005)'); subplot(2,1,1);ezplot(ut3);title('脉宽为1、0.1和0.01矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 110]);plot([-0.005 -0.005],[0 100]);plot([0.005 0.005],[0 100]);Fw3=fourier(ut3,t,w);FFw3=abs(Fw3);subplot(2,1,2);ezplot(FFw3,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1、0.1和0.01的矩形脉冲信号的幅度频谱') hold onpause程序运行结果图3)直流信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear all;display('Please input the value of a')a=input('a=');syms tf=exp(-a*abs(t));subplot(1,2,1)ezplot(f);axis([-2*pi 2*pi 0 1]);ylabel('时域波形');F=fourier(f);subplot(1,2,2)ezplot(abs(F));axis([-3 3 0 2/a])程序运行结果图a=0.1时：a=0.01时：a=0.001时：a=0.0001时：4)阶跃信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms w;xw=1/(j*w);ezplot(abs(imag(xw)));axis([-3 3 -1.5*pi 1.5*pi]);hold ony=0:0.01:pi;plot(0,y);hold ony=-pi:pi;plot(0,y);hold ontitle('阶跃信号频谱');xlabel('\omega');axis([-pi pi -6 6]);x=-pi:0.001:pi;plot(x,0)hold ony=-6:0.01:6;plot(0,y);hold on程序运行结果图5)单边指数信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-2*t)*sym('heaviside(t)'); Fw=fourier(f);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-1 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));xlabel('幅度频谱');im=imag(Fw);re=real(Fw);phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图2、程序设计实验确定下列信号的傅里叶变换的数学表达式1)的傅里叶变换2()()1t f t e U t -=+1()2()2F j j ωπδωω=++MATLAB 程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-2*t)*sym('heaviside(t)')+1;Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-1 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图2)的傅里叶变换2()(1)()t f t e U t G t -=-+12sin ()1j e F j j ωωωωω--=++MATLAB 程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-1*t)*sym('heaviside(t-1)')+heaviside(t+1)-heaviside(t-1);Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-2.5 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图3)的傅里叶变换()2()(4)f t U t t δ=+-41()2(())j j F j e e j ωωωπδωω--=++MATLAB 程序：clear all syms t v w phase im ref=2*sym('heaviside(t-1)')+dirac(t-4);Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f)axis([-1 6 0 1.5]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱')；程序运行结果图。

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§3-3 非周期信号的频谱---傅里叶变换
一、非周期信号频谱的定义---傅里叶变换
由第一节我们知道，周期信号的频谱由其傅里叶系数 表示。其傅里叶系数
1 A k T
T 2 jk1t jk x ( t ) e dt A e k
T 2
据此，可以作出信号的频谱图。一周期性矩形波及其频谱 图如下：
于是，将傅里叶级数分析式两边统乘T
TA k
jk1t x ( t ) e dt
T 2
T 2
取T→∞的极限
lim
T
TA k lim
T T 2
x(t )e
T 2
jk1t

dt

jt x ( t ) e dt X ( j)
应该是一确定的函数。

lim
T
我们将X(jΩ)表示非周期信号的频谱，即是傅里叶正变 换
X ( j)
jt x ( t ) e dt

式
1 jt x(t ) X ( j ) e d 2

即是傅里叶反变换。上两式称作傅里叶变换对，常表示为
FT x(t ) X ( j) ℱ x (t )
x(t ) ℱ -1 X ( j)
二、傅里叶变换的收敛问题
得到傅里叶变换的过程，隐含着其存在的充分条件与 傅里叶级数一样：必须满足狄利赫里条件，即参加变换的 函数在任一有限区间内， ⑴ 只有有限个一类间断点；
⑵ 只有有限个极值点，或称有限次振荡；
而且在整个时间上要
⑶ 绝对可积



x(t ) dt
x(t )
E T
2 2
E T
Ak
T
t
0
1
2
k1
x(t )
E T
2 2
E T
A k
T
t
0
1
2
k1
上例中，若周期T增大，
x(t )
E T
2 2
A k
E T
T
t
0 1
Hale Waihona Puke 2 k1对应的频谱图中谱线变密（Ω1=2π/T变小），谱线的长度 变小。设想当T→∞，各谱线间的间隔Ω1→d Ω，频谱的自 变量kΩ1由离散变量变成连续变量：Ω，谱线的长度均趋 于无穷小，但各谱线的相对大小关系是不变的，即此时谱 线的长度与1/T是同阶无穷小。
x(t )
E T
2 2
E
TA k
T
t
0
1
2
k1
x(t )
E T
2 2
E
TA k
T
t
0 1
2
k1
x(t )
E
2 2
E
TA k
t
0
2

对应的傅里叶级数展开式
x(t ) e jk1t A k

k
k
e jk1t T A k

1 1 jk1t 2 TAk e T 2 k T
当T→∞的时候，
x(t ) lim
T
1 jk1t 2 TAk e 2 k T 1 jk1t 1 jt T A e X ( j ) e d k 1 2 k 2
在我们今后的学习中同学们会看到，当允许频域中出 现冲激信号δ(Ω)时，以上绝对可积的条件不是必须的。于 是，许多不满足以上条件的信号，甚至于周期信号都可以 有它们的傅里叶变换。这给信号与系统的分析带来了很大 的方便。