排列与组合二项式定理

排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。

排列组合二项式定理知识要点【考点梳理】一、考试内容1.分类计数原理与分步计数原理。

2.排列、排列数公式。

3.组合、组合数公式。

4.组合数的两个性质。

5.二项式定理，二项式展开的性质。

二、考试要求1.掌握分类计数原理及分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它解决一些简单的问题。

3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。

三、考点简析1.排列、组合、二项式知识相互关系表2.两个基本原理（1）分类计数原理中的分类。

（2）分步计数原理中的分步。

正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3.排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系m n A =)!(!m n n -=n ·(n-1)…(n-m+1) （3）全排列列：n n A =n!（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=7204.组合（1）组合的定义，排列与组合的区别（2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n （3）组合数的性质①C n m =C n n-m②r n r n r n C C C 11+-=+ ③rC n r =n ·C n-1r-1④C n0+C n1+…+C n n=2n⑤C n0-C n1+…+(-1)n C n n=0即C n0+C n2+C n4+…=C n1+C n3+…=2n-15.二项式定理（1）二项式展开公式(a+b)n=C n0a n+C n1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是T k+1=C n k a n-k b k6.二项式的应用（1）求某些多项式系数的和。

（2）证明一些简单的组合恒等式。

排列组合和二项式定理1．会根据两个原理解决有关分配决策的问题〔要正确区分分类和分步〕(1) 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有〔〕A. 15种B. 8种C. 53种D. 35种(2) 四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，那么不同的分配方案有_______种．(3) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有〔〕A. 1260种B. 2025种C. 2520种D. 5040种2．会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题〔1〕不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，那么不同的排法种数共有〔〕A．12种 B．20种 C．24种 D．48种〔2〕5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为〔〕A．48 B．54 C．60 D．66〔3〕用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有个.〔用数字作答〕3.会求某些元素按指定顺序排列的问题〔1〕七个人排成一行，那么甲在乙左边〔不一定相邻〕的不同排法数有_________种．〔2〕某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.〔用数字作答〕〔3〕今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_______种不同的方法〔用数字作答〕.4.会解与平均分组和非平均分组有关的问题〔1〕从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，那么不同的取法共有〔〕A. 140种B. 84种C. 70种D. 35种〔2〕将9个人〔含甲、乙〕平均分成三组，甲、乙分在同一组，那么不同分组方法的种数为〔〕A ．70B ．140C ．280D ．8405.会解其它有限制条件的排列组合问题 (要注意使用最常用、最本原的方法------列举法)〔1〕在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( ) A. 36个B. 24个C. 18个D. 6个〔2〕电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，那么共有 种不同的播放方式〔结果用数值表示〕.〔3〕以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是〔 〕A ．34CB ．1387C C C ．1387C C -6 D ．4812C -〔4〕同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张贺年卡不同的分配方式有〔 〕A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种〔5〕设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，那么这样投放的方法总数为 ( )A. 20B. 30C. 60D. 120〔6〕用六种不同颜色，给图中A 、B 、C 、D 、四块区域涂色，允许同一种颜色涂不同区域，但相邻区域不能涂同一种颜色，共有________种不同的涂法.6.会将所给的二项式展开或合并(1)计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x ＝___________.(2)设*∈N n ,那么=++++-12321666n n n n n n C C C C _____________.7.会求二项式的展开式的指定项〔要注意区分“第n 项〞、“第n 项的系数〞、“第n 项的二项式系数〞等概念的不同;会灵活运用二项式系数的性质解题〕(1)假设2)nx8项，那么展开式中含1x的项是〔 〕 A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项(2)假设()521x -展开式中的第2项小于第1项，且第2项不小于第3项，那么实数x 的取值范围是〔 〕A. x >101-B. 101-<x ≤0C. 41-≤x <101-D. 41-≤x 0≤(3) 设k =1,2,3,4,5, 那么(x +2)5的展开式中kx 的系数不可能是( C)A . 10B . 40C . 50D . 80(4)在〔1＋x 〕＋〔1＋x 〕2＋……＋〔1＋x 〕6的展开式中，x 2项的系数是 .〔用数字作答〕.(5)5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等，那么cos θ＝_________．(6)843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .(7)10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 A. 0 B. 2 C. 4 D. 68.会求展开式的系数和，能正确使用赋值法解题 (1)如果3nx ⎛⎫- ⎝的展开式中各项系数之和为128，那么展开式中31x 的系数是〔 〕 A. 7 B. 7- C. 21 D. 21-(2)在〔x〕2006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x时，S 等于〔 〕A.2B.-23008C.23009D.-23009(3) 假设1021001210(2)x a a x a x a x -=++++，那么那么① 01210a a a a +++⋅⋅⋅+= ______________; ② 1210a a a ++⋅⋅⋅+=__________________; ③ 0123910a a a a a a -+-+-+=_____________;④ 8a =___________.。

二项式定理与组合数学组合数学是数学中一个重要的分支，它研究的是选择、排列和组合等离散对象的方法和性质。

在组合数学中，二项式定理是一个非常重要而广泛应用的定理。

本文将详细介绍二项式定理与组合数学的相关内容。

一、二项式定理的定义与表达式二项式定理是基于二项式的展开定理，它描述了一个二项式的幂(n + k)的展开式中，各项系数与幂的关系。

二项式定理的表达式如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也叫做二项系数。

它的计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1。

通过二项式定理，我们可以用更简洁的表达式来展开一个二项式，并且可以方便地计算出各项的系数。

二、二项式定理的应用二项式定理在代数、几何和概率等数学领域中都有广泛的应用。

1. 代数中的应用在代数中，二项式定理可以用于快速计算幂的展开式。

通过二项式定理，我们可以将(a + b)^n的展开式转化为多个二项式的形式，从而简化计算过程。

例如，计算(2x + y)^3的展开式，可以利用二项式定理，得到：(2x + y)^3 = C(3, 0) * (2x)^3 * y^0 + C(3, 1) * (2x)^2 * y^1 + C(3, 2) * (2x)^1 * y^2 + C(3, 3) * (2x)^0 * y^3= 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3通过二项式定理的应用，我们可以快速得到结果，避免了繁琐的计算过程。

2. 几何中的应用在几何中，二项式定理可以用于计算二项式系数与几何问题之间的关系。

例如，计算一个正方形的对角线上的顶点个数，可以利用组合数学中的二项式系数与几何问题的对应关系。

第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东方内部第十一章排列、组合和二项式定理1.排列数公式mAnn(n1)(n2)(nm1)n!n(mn)；Ann!n(n1)(n2)21。

(nm)!如①1！+2！+3！+…+n！（n4,nN某）的个位数字为；（答：3）②满足A8某6A8某2的某＝（答：8）组合数公式mAnn(n1)(nm1)n!0Cm(mn)；规定0!1，Cn1.Amm(m1)21m!nm!mnmnm如已知CnCm1An6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质①CnmCnnm；1②CnmCnm1Cnm1；kk1③kCn；nCn11④CrrCrr1Crr2CnrCnr；1⑤nn!(n1)!n!；n11⑥.(n1)!n!(n1)!2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）③从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同A的A顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形；（答：CB90）⑥用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有D种不同涂法；（答：480）⑦同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种；（答：9）⑧f是集合Ma,b,c到集合N1,0,1的映射，且f(a)f(b)f(c)，则不同的映射共有个；（答：7）3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。

二项式定理与组合数学在高中数学中，我们学习了很多数学定理和概念，其中二项式定理和组合数学是我们经常接触到的两个重要知识点。

本文将详细介绍二项式定理和组合数学，并探讨它们在数学领域中的应用。

一、二项式定理的表述二项式定理是一种展开表示二项式幂的公式，它通常用于展开(x + y)^n的形式。

根据二项式定理，我们可以得出以下等式：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + C(n,2) * x^(n-2) * y^2 + ... + C(n,n) * x^0 * y^n其中C(n,k)表示选择k个元素的组合数。

组合数的计算方法可以通过下面的公式得出：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)二、组合数学的概念组合数学是一门研究选择、排列和组合的数学学科。

在组合数学中，我们关注的是从给定集合中选择或排列对象的方式和数量。

组合数学中的基本概念包括排列、组合和二项式系数等。

排列指的是从给定的n个元素中选择k个元素，并按照一定的顺序进行排列的方式。

排列数可以通过下面的公式进行计算：P(n,k) = n! / (n-k)!组合指的是从给定的n个元素中选择k个元素，但不考虑元素的顺序。

组合数可以通过下面的公式进行计算：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)二项式系数即为二项式定理中的C(n,k)，它表示选择k个元素的组合数。

三、二项式定理与组合数学的应用1. 组合数学在概率论中的应用概率论是研究随机事件发生的可能性的一门学科，而组合数学在计算概率时发挥着重要作用。

例如，在排列组合中，我们可以用组合数计算从一副扑克牌中抽取一手牌的可能性。

2. 二项式定理在代数中的应用二项式定理在代数中常用于展开多项式，研究多项式的性质。

通过二项式定理，我们可以快速计算(x + y)^n的展开式。

这在代数运算中非常有用，特别是在多项式乘法、多项式函数的求导和积分等操作中。

第11讲排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学新东方内部第11讲排列、组合和二项式定理,概率(2021高考数学---新东方内部第一一章排列组合与二项式定理1.排列数公式成年男子n（n？1）（n？2）？（n？m？1）？Nn（m？n）；an？Nn（n？1）（n？2）？2.1.(n?m)!如①1！+2！+3！+…+n！（n?4,n?n*）的个位数字为；（答：3）②满足a8x?6a8x?2的x＝（答：8）组合数公式曼恩？（n？1）？？？（n？m？1）n！0c？M（m？n）；指定0！？1，中国？一amm?(m?1)???2?1m!?n?m?!mnmnm如已知cn?cm?1?an?6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质①cnmcnn？M1②cnm?cnm?1?cnm??1；kk？1.③kcn？ncn？1.1.④crr？crr？1.crr？r？cnr1.⑤NN（n？1）！？Nn11??⑥.(n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是：分类和添加（每种方法都可以独立完成这项任务，相互独立，每次都得到最终结果，只有一种方法可以完成这项任务），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序的安排，无序的组合如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）③ 从收集中？1,2,3? 和1,4,5,6? 如果将每个元素作为点的坐标，则它位于直角坐标系中中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤?a的一边ab上有4个点，另一边ac上有5个点，连同?a的一个顶点总共有10个点。

将这些点作为顶点可以形成三个三角形；（答复：cb90）⑥ 使用六种不同的颜色来分隔右图中的四个区域a、B、C和D，并且允许使用相同的颜色一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有d种不同涂法；（答：480）⑦ 同一个房间里的四个人每人写一张新年贺卡，然后每人拿一张别人寄来的新年贺卡。

排列组合教案第一部分基本内容一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数 （2）排列数公式：系mn A =)!(!m n n -=n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：nn A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别； （2）组合数公式：C n m=)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ；（3）组合数的性质 ①C n m=C nn-m；②rn r n r n C C C 11+-=+；③rC n r=n·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)nC n n=0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=C n 0a n+C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k+…+C n n b n； （2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k； 6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和； （2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

数学教案－排列、组合、二项式定理-基本原理一、引言本教案主要介绍数学中的排列、组合和二项式定理的基本原理。

通过学习，学生能够了解到排列、组合和二项式定理的概念、性质和应用，提高数学思维和解决实际问题的能力。

二、排列与组合2.1 排列排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列的方法数。

排列的计算公式为：其中，n为总元素个数，m为需要取出的元素个数，“！”表示阶乘运算。

2.2 组合组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行无序组合的方法数。

组合的计算公式为：其中，n为总元素个数，m为需要取出的元素个数，“！”表示阶乘运算。

2.3 示例例如，从数字1、2、3中取出2个数字进行排列，使用排列公式计算有：即有6种排列方法。

再例如，从数字1、2、3中取出2个数字进行组合，使用组合公式计算有：即有3种组合方法。

三、二项式定理3.1 基本概念二项式定理是指任意一个二项式的幂展开后各项系数的规律。

二项式定理的公式表达为：其中，a、b为任意实数，n为非负整数，C为组合的计算公式。

3.2 使用方法二项式定理可以应用于多个方面，如多项式展开、概率计算等。

在多项式展开中，可以通过二项式定理将一个多项式化简为一系列项的和。

3.3 示例例如，将二项式展开为更多项的和：即：通过二项式定理，我们可以快速求解幂次较高的多项式。

四、总结本教案主要介绍了数学中的排列、组合和二项式定理的基本原理。

排列和组合是数学中常见的计数方法，可以用于解决实际问题中的选择和排列情况；二项式定理则是多项式展开中的重要工具，可以化简复杂的多项式表达式。

通过对这些概念和公式的学习和应用，可以提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

希望通过本教案的学习，学生能够掌握排列、组合和二项式定理的基本原理，并能够应用于实际问题中，提升自己的数学能力。