专题复习(三)——参数方程

参数方程知识点整理参数方程是数学中一种常用的表示曲线形状的方法。

参数方程的形式为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y分别是曲线上的点的横纵坐标，t为参数。

参数方程通常用于描述一些复杂的曲线，如圆、椭圆、双曲线等，它可以方便地描述出曲线上每一个点的位置。

下面结合一些具体的例子来整理参数方程的相关知识点。

1.直线的参数方程：当直线的斜率为k，截距为b时，可以通过参数方程表示为：x=ty=kt+b其中t为参数，t可以取任意实数。

2.圆的参数方程：一个圆可以通过参数方程表示为：x=R*cos(t)y=R*sin(t)其中R为圆的半径，t为参数，t的取值范围可以是[0,2π]。

3.椭圆的参数方程：一个椭圆可以通过参数方程表示为：x=a*cos(t)y=b*sin(t)其中a和b分别是椭圆的长轴长度和短轴长度，t为参数，t的取值范围可以是[0,2π]。

4.双曲线的参数方程：一个双曲线可以通过参数方程表示为：x=a*cosh(t)y=b*sinh(t)其中a和b分别是双曲线的参数，cosh(t)和sinh(t)分别表示双曲函数的余弦和正弦函数。

5.抛物线的参数方程：一个抛物线可以通过参数方程表示为：x=ty=at^2+bt+c其中a、b和c为抛物线的参数，t为参数，t可以取任意实数。

6.参数方程与命题方程的转化：有时候我们已经知道了一条曲线的命题方程，想要求出其参数方程。

这时可以通过代入一些特定的参数值，利用参数方程的定义解出x和y的值，从而得到参数方程。

例如，已知一条直线的命题方程为y=2x+3，我们可以任选一个参数值t，假设t=1，那么根据直线的参数方程可以得到：x=1y=2*1+3=5所以参数方程可以表示为：x=ty=2t+3参数方程在几何图形的研究中有着广泛的应用。

通过参数方程，我们可以方便地描述出复杂曲线的形状和特性，比如曲线的弧长、曲率、切线等。

参数方程能够将复杂的问题转化为简单的曲线方程的解析表达式，进而进行更深入的研究和分析。

高考数学知识点参数方程高考数学知识点：参数方程数学在高考中占据着重要的地位，其中一个重要的知识点就是参数方程。

参数方程是描述物体运动以及数学曲线的一种有效方式。

本文将从基本概念开始，逐步深入探讨参数方程的相关内容。

一、什么是参数方程？参数方程是一种使用参数表示变量关系的表达方式。

在平面直角坐标系中，我们通常使用 x 和 y 坐标轴来表示一个点的位置。

但在有些情况下，一个点的位置需要通过另外的变量来确定。

例如，我们可以使用时间作为参数来描述物体的运动轨迹。

二、参数方程的表示方法通常，参数方程可以用以下形式表示：x = f(t)y = g(t)其中，f(t) 和 g(t) 是关于参数 t 的函数。

通过不同的 t 值，我们可以得到一组点 (x, y) 的坐标。

三、平面曲线的参数方程1. 点的轨迹考虑一个点 P(x, y)，沿着一条轨迹运动。

如果我们能够找到一个参数 t，能够唯一确定点的位置，那么我们可以使用参数方程来描述点的轨迹。

2. 直线的参数方程对于直线，我们可以使用参数方程表示。

例如，一条直线的参数方程可以写作：x = at + by = ct + d其中 a、b、c、d 是常数。

3. 圆的参数方程对于一个圆，我们可以使用参数方程表示。

以原点 O 为圆心，半径为 r 的圆的参数方程可以写作：x = r*cos(t)y = r*sin(t)其中，t 是参数，范围在[0, 2π]。

四、参数方程的应用1. 物体运动在物理学中，参数方程常常用于描述物体的运动轨迹。

例如，一个抛体运动的轨迹可以使用参数方程来表示。

2. 曲线绘制在计算机图形学中，参数方程可以用于生成各种复杂的曲线。

通过调整参数的取值，我们可以绘制出各种形状的曲线，如椭圆、双曲线等。

3. 函数的参数化有些函数无法用解析式直接表示，但可以通过参数方程来表示。

例如，钟摆的运动可以通过一个参数方程来描述。

五、参数方程的优点和不足1. 灵活性参数方程具有很大的灵活性，可以描述出各种复杂的曲线。

参数方程知识点参数方程是用参数来表示平面曲线或者空间曲线的方程。

参数方程中的变量称为参数，通过改变参数的值来得到曲线上不同点的坐标。

参数方程在数学、物理等领域都有广泛的应用。

参数方程的基本形式为：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是平面上的坐标，t是参数。

函数f(t)和g(t)表示x和y坐标与参数t之间的关系，可以是多项式函数、三角函数、指数函数等。

参数方程的优点是可以描述一些复杂的曲线，例如圆、椭圆、螺旋线等。

而直角坐标方程通常难以表示这些曲线。

具体地，参数方程可以应用在以下几个方面。

1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，常见的参数方程有圆的参数方程、椭圆的参数方程、双曲线的参数方程等。

例如，圆的参数方程为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)其中，r为圆的半径，t为参数，取值范围是0到2π。

2. 空间曲线的参数方程对于空间曲线，参数方程可以用来描述空间中的曲线、曲面等。

例如，螺旋线的参数方程可以表示为：x=r*cos(t)y=r*sin(t)z=k*t其中，r为螺旋线的半径，k为螺旋线的高度，t为参数，取值范围是0到2π。

3. 曲线的方程和轨迹通过参数方程，可以求解曲线的方程和轨迹。

例如，通过给定曲线上的两个点，可以得到曲线的方程，然后可以推导出曲线的形状和性质。

另外，通过变换参数的取值范围，可以得到不同参数方程的曲线，从而得到曲线的轨迹。

4. 曲线的长度和曲率通过参数方程，可以计算曲线的长度和曲率等。

曲线的长度可以通过参数方程的导数来计算，即：L=∫√(dx/dt)²+(dy/dt)²dt其中，L为曲线的长度，dx/dt和dy/dt为参数方程对应的导数。

曲线的曲率可以通过曲线的参数方程和导数来计算，即：k=|d²y/dx²| / (1+(dy/dx)²)^(3/2)其中，k为曲线的曲率，dy/dx和d²y/dx²为参数方程对应的导数。

数学参数方程知识点总结1.参数的定义：在参数方程中，通常使用一个或多个参数来表示变量。

参数的取值范围可以是实数集，也可以是一个有限的区间。

2.参数方程表示的几何对象：参数方程可以描述各种几何对象，包括曲线、曲面、体积等。

常见的参数方程表示几何对象的经典例子有圆的参数方程、直线的参数方程以及曲面的参数方程等。

3.曲线的参数方程：曲线的参数方程通常写为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y是曲线上的点的坐标，而t是参数。

通过改变参数t的取值，我们可以得到曲线上的不同点。

参数方程可以用来描述各种曲线，例如直线、抛物线、椭圆、双曲线等。

4.曲面的参数方程：曲面的参数方程通常写为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中x、y和z是曲面上的点的坐标，而u和v是参数。

通过改变参数u和v的取值，我们可以得到曲面上的不同点。

参数方程可以用来描述各种曲面，例如球面、柱面、锥面等。

5.参数方程的优点：相比于直角坐标方程，参数方程具有一些独特的优势。

它可以更好地描述曲线和曲面的特征，如曲率、切线以及曲面上的法向量等。

此外，参数方程可以更好地描述复杂的几何变换，例如旋转、平移和缩放等。

6.参数方程的应用：参数方程在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

在数学中，它可以用来研究曲线和曲面的性质，解析几何和微积分等。

在物理中，参数方程可以用来描述粒子的运动轨迹、电磁场的分布等。

在工程中，参数方程可以用来设计曲线和曲面，生成图形模型等。

7.曲线的特征：通过参数方程，我们可以轻松地计算曲线的长度、曲率、切线方程等。

对于二次曲线，可以通过参数方程推导出焦点、直径、抛物线的方程等。

这些特征可以帮助我们更好地理解曲线的性质和几何意义。

8.曲面的特征：通过参数方程，我们可以计算曲面的方程、法向量、切平面等特征。

这些特征可以帮助我们更好地理解曲面的性质，如曲面的形状、曲率等。

9.曲线和曲面的相交：通过参数方程，我们可以确定曲线和曲面的交点。

高三数学参数方程知识点数学是一门抽象而又具有普适性的学科，它的应用广泛，对于高三学生来说，数学的学习变得更加重要和密集。

本文将着重介绍高三数学中的参数方程知识点，帮助学生全面理解并有效记忆这一概念。

一、参数方程的定义与特点参数方程是指用一个参数表示所有的自变量和因变量之间的函数关系。

通常用t作为参数，表示自变量的取值范围。

在参数方程中，将自变量和因变量用参数表示，使得函数的自变量和因变量之间的关系更为灵活。

二、参数方程的表示方法参数方程的表示方法有多种形式，常见的有向量表示法和分量表示法。

1. 向量表示法在向量表示法中，自变量和因变量都用向量表示。

例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可表示为：P(t) = (x(t), y(t))其中，x(t)和y(t)分别表示点P的x坐标和y坐标，t为参数。

2. 分量表示法在分量表示法中，将自变量和因变量都分别表示为关于参数t的函数。

例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数，t为参数。

三、参数方程应用领域参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在曲线的研究中起到重要作用。

下面分别介绍参数方程在平面曲线和空间曲线中的应用。

1. 平面曲线参数方程在平面曲线中的应用非常广泛，常见的曲线方程如圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以用参数方程表示。

通过参数方程，可以对曲线的形状和性质进行更深入的研究。

例如，对于圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = a*sin(t)其中，a为半径，t为参数。

通过改变参数t的取值范围，可以绘制出一条圆的完整轨迹。

2. 空间曲线参数方程在空间曲线的研究中也起到重要作用，例如，直线、曲线、螺旋线等都可以通过参数方程来表示。

通过参数方程，可以描述物体在空间中的运动轨迹，从而研究物体的运动方式和变化规律。

四、参数方程的解法当给定一个参数方程时，我们需要求解参数方程对应的曲线方程或图形。

高三参数方程知识点高三学生在学习数学的过程中，会接触到各种不同的知识点和概念。

其中，参数方程是高三数学学习中的一个重要内容。

本文将详细介绍高三参数方程的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握该知识。

一、参数方程的概念参数方程是指以一个或多个参数表示的函数关系，其中参数的取值范围可以是任意的。

一般来说，参数方程可以将曲线或曲面上的点表示为参数的函数。

二、参数方程的表示方法1. 一元一次方程组参数方程最简单的形式是一元一次方程组。

例如，对于平面上的曲线，可以用两个一元一次方程来表示。

常见的一元一次方程组形式为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。

2. 二元一次方程组在三维空间中，参数方程可以用二元一次方程组表示。

形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y和z是曲面上的点的坐标，u和v是参数。

三、参数方程的应用参数方程在几何图形的描述和计算中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 曲线的参数方程参数方程可以描述各种曲线，如直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等。

通过参数方程，我们可以很方便地计算曲线上的点的坐标，进而绘制曲线。

2. 曲线的长度和曲率参数方程在计算曲线的长度和曲率时非常有用。

通过确定参数的取值范围，并计算相邻点的距离，我们可以求得曲线的长度。

此外，通过求导数和二阶导数，我们还可以计算曲线的曲率和曲率半径等重要指标。

3. 曲面的参数方程参数方程可以用于描述各种曲面，如球面、圆柱、圆锥和双曲面等。

通过参数方程，我们可以计算曲面上的点的坐标，进而绘制出复杂的三维图形。

四、参数方程的特点和优势参数方程具有一些独特的特点和优势，使其在数学领域得到广泛应用：1. 灵活性：参数方程中的参数可以取任意实数值，因此可以描述各种不同的几何图形。

2. 简洁性：用参数方程表示几何图形时，通常可以用更简洁的形式表示，较少出现复杂的运算和方程。

高考参数方程知识点归纳高考数学中的参数方程作为一个重要的知识点，是考查学生对于坐标系、直线方程和解析几何的基本理解和应用能力的一种方式。

参数方程是通过引入参数的方式来描述一条曲线或者曲面的方程，它与直角坐标系有着密切的联系，可以方便地表达出不同形状和特征的图形。

在这篇文章中，我们将对高考中常见的参数方程知识点进行归纳和总结。

1. 参数方程的基本概念和应用参数方程是一种用参数的形式来表示曲线或者曲面上的点的方程，它通常以参数的形式给出，通过改变参数的取值范围，可以得到不同位置的点，从而形成一条曲线或者曲面。

在解析几何中，参数方程可以用来描述直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等各种不同形状的曲线。

2. 参数方程与直线的关系直线可以通过参数方程的形式来表示，这种表示方式可以使得直线的方程更加简洁和直观。

一般而言，一条直线在参数方程中可以表示为x=at+b，y=ct+d，其中a、b、c、d 是常数。

通过给定不同的参数值，我们可以得到直线上的不同点，从而构成整条直线。

3. 参数方程与曲线的关系参数方程在描述曲线时可以给出曲线上每个点的坐标，从而实现对曲线形状的准确描述。

例如，给定一个参数方程 x=f(t)，y=g(t)，通过给定不同的参数 t 值，我们可以获得曲线上的不同点的坐标。

参数方程不仅可以表达直线，还可以表达各种曲线，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。

4. 参数方程的转换和应用有时候，我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程转换为参数方程。

对于参数方程转换为直角坐标方程，我们可以通过将参数方程中的参数表示用 x、y 表示，然后通过联立方程求解得到直角坐标方程。

而对于直角坐标方程转换为参数方程，我们可以通过引入参数来对直角坐标进行参数化，从而得到参数方程。

5. 参数方程与面积的计算通过参数方程，我们还可以计算曲线所围成的面积。

对于曲线上的两个相邻点 P 和 Q，我们可以用线段 PQ 所围成的面积近似代替曲线围成的面积，并且随着线段 PQ 的长度逐渐缩小，所得到的近似值也会越来越接近实际面积。

参数方程总结知识点一、参数方程的概念参数方程是指用参数表示平面曲线、空间曲面上各点的坐标的方程，一个平面曲线或者空间曲面可以由一对参数方程来表示。

通常情况下，参数方程是形如x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)的方程，其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数。

参数t可以是实数也可以是整数。

二、参数方程的性质1. 参数方程的表示形式：参数方程有两种常用的表示形式，一种是向量形式，另一种是分量形式。

向量形式的参数方程可以表示为：r(t)=<x(t), y(t), z(t)>其中r(t)是位置向量，t是参数，x(t)、y(t)、z(t)分别是位置向量在x轴、y轴、z轴上的分量。

分量形式的参数方程可以表示为：x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)、g(t)、h(t)分别是曲线上某一点的坐标在x轴、y轴、z轴上的分量。

2. 参数方程的图形：参数方程描述的曲线或者曲面通常是比较复杂的几何图形，参数方程的图形特点不容易直接观察出来。

但是我们可以利用参数方程来绘制曲线或者曲面的图形，可以通过不同的参数值来确定曲线或者曲面上的一系列点，然后将这些点用线段或者曲线段连接起来，就可以得到参数曲线的图形。

3. 参数方程的应用：参数方程在物理、工程等领域有着广泛的应用，比如用来描述物体在空间中的运动轨迹、描述流体在空间中的运动状态等。

参数方程还可以用来求解一些复杂的几何问题，比如求参数曲线的长、面积等。

三、参数方程的运算参数方程的运算包括参数曲线的求导、求积分等。

参数方程的求导和求积分与普通的函数求导和求积分类似，只是要注意求导和求积分的对象是参数t，而不是变量x、y、z。

四、参数方程的方程组一条平面曲线或者空间曲面通常可以由多个参数方程组成，这些参数方程之间存在一定的关系，我们可以利用参数方程的方程组来求解曲线或者曲面上的一些特殊点。

五、参数曲线的方程与直角坐标系之间的转换参数曲线的方程与直角坐标系之间可以相互转换，通过参数曲线的方程，我们可以求解其在直角坐标系中的方程，通过直角坐标系中的方程，我们也可以求解其在参数方程中的方程。

千里之行，始于足下。

参数方程的知识点总结参数方程是表示曲线或曲面的一种方法，它以一或多个变量作为参数来描述曲线或曲面上的点的位置。

参数方程有广泛的应用，包括几何、物理、工程等领域。

下面是对参数方程的知识点的总结。

1. 参数方程的基本概念：参数方程是用参数表示自变量与函数值之间关系的方程。

对于平面上的曲线，一般使用参数t来表示点的位置。

对于三维空间中的曲线或曲面，一般使用参数u和v来表示点的位置。

参数方程中的参数范围可以是实数集，也可以是一个有限区间，取决于具体的问题。

2. 参数方程与直角坐标系的转换：参数方程可以通过参数与直角坐标系中的点坐标之间的关系来进行转换。

对于二维平面上的参数方程，通过改变参数t，可以得到一系列点的坐标。

对于三维空间中的参数方程，通过改变参数u和v，可以得到一系列点的坐标。

3. 参数方程表示的曲线的性质：参数方程可以用来描述曲线的形状、方向等性质。

曲线的方向可以通过参数的变化来决定，当参数递增时，曲线的方向也随之递增。

曲线上任意一点的切线斜率可以通过参数方程对应点处导数计算得到。

4. 参数方程的举例：参数方程可以表示各种各样的曲线和曲面，例如直线、圆等。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

对于直线，通常可以使用参数方程表示为x = at + b，y = ct + d。

对于圆，可以使用参数方程表示为x = r * cos(t)，y = r * sin(t)。

5. 参数方程在几何中的应用：参数方程可以用来表示平面上的曲线、曲面等几何图形。

参数方程可以用来计算曲线的弧长、曲面的面积等几何量。

参数方程可以用来求解曲线与直线或曲线与曲线之间的交点。

6. 参数方程在物理中的应用：参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。

参数方程可以用来描述物体的速度、加速度等物理量。

参数方程可以用来求解物体在空间中的位置、速度和加速度等问题。

7. 参数方程在工程中的应用：参数方程可以用来描述工程中的曲线和曲面，例如机械零件的形状等。

千里之行，始于足下。

参数方程知识点总结
参数方程是指将一个曲线或者曲面的坐标用参数表示的方式。

参数方程常用于描述复杂的曲线和曲面，同时也可以方便地进行计算和分析。

以下是参数方程的一些基本知识点总结：
1. 参数方程的定义：参数方程是一组函数，用参数表示曲线或曲面上的坐标点，通常用向量形式表示。

例如，对于二维曲线，可以表示为 x = f(t), y = g(t)，其中 t 是参数，x 和 y 是曲线上的点的坐标。

2. 参数化空间曲线：参数化空间曲线是指通过参数方程定义的曲线。

通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线上的不同点。

3. 参数方程的参数选择：参数的选择通常可以根据具体的问题和需求进行灵活选择。

常见的参数选择可以是距离、时间、角度等。

不同参数选择可能会产生不同的参数方程，因此要根据具体问题确定合适的参数。

4. 参数方程和函数方程的关系：参数方程和函数方程是可以相互转化的。

对于简单的函数方程，可以化简为参数方程；而对于参数方程，可以将其通过消元等方法转化为函数方程。

5. 参数方程的图像表示：参数方程可以通过计算不同参数下的坐标点来绘制曲线或曲面的图像。

常见的绘图方法包括使用计算机软件、手工绘图等。

6. 参数方程的应用：参数方程在计算几何、物理学、工程学等领域有广泛的应用。

例如，参数方程可以用于描述曲线的弧长、速度、加速度等性质，并进行相关计算和分析。

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锲而不舍，金石可镂。

总而言之，参数方程是一种描述曲线或曲面的坐标表示方法，具有灵活性和计算简便性，并在不同领域中起到重要的应用作用。

千里之行，始于足下。

参数方程学问点总结参数方程是描述曲线的一种方法，它使用一个参数变量来表示曲线上的点的位置。

参数方程广泛应用于数学、物理、工程等领域，对于描述简单的几何外形以及曲线运动具有很大的优势。

本文将对参数方程的基本概念、性质、应用以及参数方程与直角坐标系的转化等方面进行总结。

一、参数方程的基本概念参数方程是一种将自变量$t$与变量$x$、$y$相关联的函数表示曲线上点的位置的方法。

设函数$x=f(t)$和$y=g(t)$在区间$I$上有定义，其中$f$和$g$是定义在$I$上的连续函数。

那么由$x=f(t)$和$y=g(t)$确定的点$(x,y)$称为参数方程的一个解。

曲线的参数方程通常表示为 $(x=f(t), y=g(t)), t\\in I$。

二、参数方程与直角坐标系的关系参数方程经常与直角坐标系的方程相关，通过转化可在两者之间进行切换。

设直角坐标系中的方程为$y=f(x)$，通过将$x$和$y$分别表示为$t$的函数，可以得到参数方程。

由于参数方程存在多种表示形式，因此通过不同的参数方程也可以得到相同的直角坐标系的方程。

三、参数方程的性质1. 参数方程是表示曲线上任意一点的方法，因此可以用参数方程来描述简单的几何外形，如椭圆、双曲线等。

2. 参数方程具有较强的机敏性，可以通过对参数的变化来描述曲线的不同性质，如曲线的方向、速度、加速度等。

3. 参数方程能够表示曲线上的无穷多个点，因此对于描述曲线上的点的分布、密度等性质具有很大的优势。

四、参数方程的图形表示与分类第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

1. 参数方程的图形可以通过给定参数的取值范围来确定。

可以通过转变参数的取值范围来对曲线进行缩放、平移等操作。

2. 参数方程可以通过给定参数的函数表达式来确定曲线的外形。

例如，当$x(t) = a\\cos(t)$，$y(t) = b\\sin(t)$时，参数方程描述了一个椭圆外形的曲线。

高三关于参数方程的知识点参数方程是解决平面几何问题中一种常见的数学工具，它通过引入参数变量来描述曲线的运动轨迹或者点的位置。

在高三数学学习中，参数方程是一个重要的知识点，下面将详细介绍参数方程相关的内容。

一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数变量表示出曲线上每个点的坐标，常见的参数变量有t、θ等。

一条曲线的参数方程一般为：x = f(t)，y =g(t)，其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数。

通过给定不同的参数值，就可以确定曲线上的各个点的坐标。

二、平面曲线的参数方程表示1. 直线的参数方程直线的参数方程常常选择一个点作为起点，然后给出直线的方向向量，并以参数t确定直线上其他点的位置。

设直线过点P(x₁,y₁)，方向向量为v(a, b)，则直线的参数方程可以表示为：x = x₁+ at， y = y₁ + bt，其中t为参数。

2. 圆的参数方程对于圆，其参数方程可以通过将x和y表示为两个函数的关系得到。

设圆的圆心为(h, k)，半径为r，则圆的参数方程可以表示为：x = h + rcos(t)， y = k + rsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程与圆类似，只是在计算x和y的时候引入了椭圆的长轴和短轴。

设椭圆的中心为(h, k)，半长轴长为a，半短轴长为b，则椭圆的参数方程可以表示为：x = h + acos(t)，y = k + bsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。

4. 抛物线的参数方程抛物线的参数方程可以通过将x表示为关于y的函数得到。

常见的抛物线方程为y = ax² + bx + c，通过解这个方程得到x与y之间的关系，可以得到抛物线的参数方程。

三、参数方程在几何问题中的应用参数方程在解决几何问题中具有广泛的应用，例如曲线的切线和曲率、曲线的长度、曲线的弧长等。

1. 曲线的切线和曲率通过参数方程，可以求出曲线上任一点处的切线方程和曲率。

高考参数方程知识点讲解高考数学中，参数方程是一个比较重要的知识点。

参数方程是一种以参数形式表示的函数，通过引入一个或多个参数，可以更灵活地描述图形在坐标平面上的运动轨迹。

接下来，我们将对参数方程的相关知识点进行讲解。

1. 参数方程的概念及表示方式在解析几何中，参数方程是用参数表示一个集合点的位置所满足的运算关系。

一般来说，参数方程通过引入独立变量（或称为参数），从而将平面上的点与参数之间建立起一种对应关系。

参数方程的标准形式可以写作：x = f(t)，y = g(t)，其中x和y是平面上的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。

2. 参数方程的图形表示参数方程可以用于描述一条曲线在平面上的运动轨迹。

以二维平面为例，我们可以通过改变参数t的取值范围，使得曲线上的点在平面上运动。

通过适当地选择参数的取值范围，可以得到曲线的各个特点，例如曲线的形状、方向等。

3. 参数方程与直角坐标方程的转换在解题时，有时我们需要将参数方程转换为直角坐标方程，或者将直角坐标方程表示为参数方程。

这种转换可以帮助我们更好地理解和分析问题。

将直角坐标方程转换为参数方程时，我们可以通过引入适当的参数，将曲线上的点与参数建立起一一对应的关系，从而得到参数方程的表示式。

相反地，将参数方程转换为直角坐标方程时，我们需要通过消元法或代数运算将参数方程表示为关于x和y的等式。

这样，在直角坐标系下，我们可以得到曲线的方程。

4. 参数方程的应用参数方程在物理学、力学等领域有着广泛的应用。

通过引入参数，我们可以更好地描述和分析运动过程中物体的位置、速度、加速度等物理量。

在几何学中，参数方程可以用于描述曲线的性质和形状。

例如，通过引入角度参数，我们可以得到单位圆的参数方程，进而分析圆的性质。

参数方程也可以用于描述曲线的运动轨迹、曲率等特征。

此外，参数方程还可以用于解决几何题。

在解题过程中，我们可以通过构造合适的参数方程，将问题转化为方程组求解或参数边界求解等数学问题。

参数方程大题知识点总结一、概念1、参数方程的定义参数方程是用参数表示的两个变量的关系式。

当x和y都用自变量t表示时，称其为参数方程。

一般地，设x=f(t)，y=g(t)，称(f(t)，g(t))为参数方程。

2、参数的取值范围参数t的取值范围通常是一段区间[a，b]。

当参数t在[a，b]上变动时，对应的点(x，y)也在相应的区域内运动。

二、性质1、参数方程的可导性如果f(t)和g(t)都在区间(a，b)内可导，那么曲线y=f(t)，y=g(t)也是可导的。

曲线的切线方向由dy/dt和dx/dt来确定。

2、参数方程的周期性如果f(t)和g(t)都是以T为周期的周期函数，那么曲线上的各点沿曲线运动的轨迹形状是不变的，只是在任一周期内移动位置。

三、图形表示1、参数曲线的方程由参数方程得出的曲线称为参数曲线。

通常来说，参数曲线可以通过参数t的取值范围得到曲线的轨迹。

2、参数曲线的特点根据参数t的不同取值，曲线上的点的位置会不断变化。

通过改变参数t的取值范围和步长，可以描绘出曲线的特点和形状。

四、常见参数曲线1、抛物线当参数方程为x=t，y=t²时，得到抛物线y=x²，为t的二次函数。

参数取值范围可以控制抛物线的开口方向和大小。

2、圆当参数方程为x=cos(t)，y=sin(t)时，得到一个以坐标原点为中心的单位圆。

通过改变参数t的取值范围，可以获得不同半径的圆。

3、双曲线当参数方程为x=cosh(t)，y=sinh(t)时，得到双曲线。

参数的取值范围决定了双曲线的形状。

五、参数方程与直角坐标系方程的转化1、从参数到直角坐标系当已知参数方程x=f(t)，y=g(t)时，可以将参数t表示成x的函数或y的函数，从而得到用直角坐标系方程表示的函数。

2、从直角坐标系到参数方程当已知直角坐标系方程y=f(x)时，可以通过反函数的方法得到参数方程x=t，y=f(t)。

3、从直角坐标系到参数方程组当已知直角坐标系方程组F(x，y)=0时，可以通过参数形式的显式参数方程给出直角坐标系方程组的参数方程组。

高考参数方程知识点总结高中数学中，参数方程是重要的知识点之一。

它可以帮助我们更好地理解和描述各种曲线，以及解决与曲线相关的问题。

在高考中，参数方程也是经常会涉及到的考点之一。

本文将对高考中常考的参数方程知识点进行总结。

一、参数方程的定义参数方程是一种用参数表示自变量和因变量关系的方程。

通常用t来表示参数，在平面直角坐标系中，参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中x和y分别是平面上某点的横坐标和纵坐标，f(t)和g(t)是关于t的函数。

二、参数方程的图像通过参数方程可以绘制出曲线的图像。

对于一条曲线上的任意一点，它的坐标可以由参数方程来表示。

通过改变参数t的取值范围，我们可以绘制出完整的曲线图像。

例如，在参数方程x=2cost，y=sint中，我们可以将t的取值范围设定为0到2π。

当t=0时，点的坐标为(2cos0, sin0)=(2, 0)，当t=π/2时，点的坐标为(2cos(π/2), sin(π/2))=(0, 1)，以此类推。

连接这些点，我们就可以得到一条完整的曲线。

三、常见的参数方程曲线1. 抛物线抛物线是一种常见的参数方程曲线。

通常用参数方程x=t，y=t^2来表示。

通过改变t的取值范围，我们可以绘制出抛物线的多个点，从而得到抛物线的图像。

2. 圆圆也可以用参数方程来表示。

常用的参数方程为x=rcost，y=rsint。

其中r表示圆的半径，t的取值范围可以是0到2π。

通过改变r的值，我们可以绘制出不同大小的圆。

3. 椭圆椭圆是另一种常见的参数方程曲线。

通常用参数方程x=acos(t)，y=bsin(t)来表示。

其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的长度，t的取值范围可以是0到2π。

通过改变a和b的值，我们可以绘制出不同形状的椭圆。

四、参数方程的应用参数方程不仅能够描述各种曲线，还可以解决与曲线相关的问题。

1. 曲线的切线和法线通过参数方程，我们可以求出曲线上任意一点的切线和法线方程。

参数方程知识点参数方程是解决数学问题的一种常见方法，它可以将曲线的坐标表示为一个或多个参数的函数。

参数方程在几何学、物理学和工程学等领域被广泛应用，它为我们研究和描述复杂的曲线提供了一种便捷的方式。

在本文中，我们将探讨参数方程的相关知识点。

一、参数方程的基本概念参数方程是用参数的形式给出曲线上的点的坐标。

通常，参数方程可以表示为x = f(t)和y = g(t)的形式，其中t是参数，x和y是与t相关的函数。

通过改变参数t的值，可以得到曲线上不同的点，从而描绘出完整的图形。

二、参数方程的应用1. 曲线的轨迹在几何学中，参数方程常用于描述曲线的轨迹。

例如，当我们考虑一个运动物体的轨迹时，可以用参数方程来描述其位置随时间的变化情况。

这种方法特别适用于复杂的曲线，如椭圆、双曲线和抛物线。

2. 曲线的长度参数方程还可以用于计算曲线的长度。

通过将曲线分成若干小段，并使用勾股定理计算每一段的长度，然后将它们相加，我们可以得到整个曲线的长度。

这在计算弯曲管道或其他曲线形状的长度时十分有用。

3. 参数方程的变换参数方程的另一个重要应用是进行坐标变换。

在平面几何学中，我们常常需要将坐标系从直角坐标系转换为极坐标系或其他坐标系。

通过使用参数方程，我们可以轻松地进行这种坐标变换，便于进一步分析和计算。

三、参数曲面的方程除了参数方程用于描述曲线外，我们还可以将其推广到参数曲面的方程。

与参数方程类似，参数曲面的表示形式为x = f(u, v)、y = g(u, v)和z = h(u, v)，其中u和v是两个参数。

通过改变u和v的值，我们可以得到曲面上不同的点，描绘出整个曲面的形状。

参数曲面的方程在三维几何学、计算机图形学和工程学中具有广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，我们可以用参数曲面方程来描述三维模型的形状，从而实现真实感觉的渲染和动画效果。

四、参数方程的求解与性质在使用参数方程解决问题时，我们常常需要求解参数方程的一些性质，如曲线的对称性、拐点和渐近线等。

数学参数方程知识点总结参数方程是描述曲线的一种方式，它使用参数来表示曲线上的点的位置。

在数学中，参数方程被广泛应用于描述曲线、曲面以及其他几何图形。

本文将对数学参数方程的相关知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一内容。

一、参数方程的基本概念。

参数方程是由参数 t 的函数组成的向量函数，通常用 (x(t), y(t)) 表示。

其中 x(t) 和 y(t) 分别是关于参数 t 的函数，描述了曲线上点的位置随参数 t 变化的轨迹。

参数方程可以描述直线、圆、椭圆、双曲线等各种曲线。

二、参数方程与直角坐标系的关系。

参数方程描述的曲线通常是在平面直角坐标系中的曲线，通过参数 t 的取值，我们可以得到曲线上的点的坐标 (x, y)。

参数方程和直角坐标系的转换可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。

三、参数方程的应用。

1. 参数方程在物理学中的应用。

在物理学中，参数方程被广泛应用于描述物体的运动轨迹。

例如，抛体运动、圆周运动等都可以通过参数方程进行描述，这对于研究物体的运动规律具有重要意义。

2. 参数方程在工程学中的应用。

在工程学中，参数方程也有着重要的应用价值。

例如，在计算机图形学中，参数方程可以描述曲线和曲面的形状，用于建模和渲染。

在机械设计中，参数方程也可以描述各种复杂的曲线轨迹，用于设计和制造。

四、参数方程的性质和特点。

1. 参数方程可以描述一些直角坐标系下无法简单表示的曲线，如椭圆、双曲线等。

2. 参数方程可以描述一些复杂的曲线轨迹，如螺旋线、阿基米德螺线等。

3. 参数方程可以方便地描述曲线上的点的运动规律，对于研究曲线的性质和特点有着重要的意义。

五、参数方程的求解和应用技巧。

1. 求解参数方程通常需要用到代数、几何、微积分等知识，需要灵活运用各种数学方法进行分析和计算。

2. 在应用参数方程进行实际问题求解时，需要根据具体情况选择合适的参数化方法，灵活运用参数方程的性质和特点进行分析和推导。

千里之行，始于足下。

参数方程的知识点总结参数方程是一种表示曲线或曲面的方式，它将自变量的取值映射到曲线或曲面上的点。

参数方程常用于描述参数曲线、参数曲面、曲线的切线、曲线的长度、曲线的弧长、曲线的曲率等问题。

以下是关于参数方程的一些常见知识点总结：1. 参数方程的定义：参数方程由一组参数化变量和一个或多个关于这些参数的方程组成。

通常用参数t表示自变量。

2. 参数曲线：参数曲线是一个由参数方程描述的曲线。

比如，平面曲线可以用参数方程x = f(t)和y = g(t)来表示。

3. 参数曲面：参数曲面是一个由参数方程描述的曲面。

比如，三维空间中的曲线可以用参数方程x = f(u,v)、y = g(u,v)和z = h(u,v)来表示。

4. 曲线的切线：曲线上的切线可以通过求其参数方程的导数来得到。

对于参数方程x = f(t)和y = g(t)，切向量的方向向量为(dx/dt, dy/dt)。

5. 曲线长度和曲面面积：参数方程可以用来计算曲线的长度和曲面的面积。

对于一个参数曲线或曲面，其长度和面积可以通过积分来计算。

6. 曲线的弧长：曲线的弧长可以通过参数方程求出。

弧长等于参数t在给定区间上的变化范围所对应的曲线长度。

7. 曲线的曲率：曲线的曲率可以通过参数方程求出。

曲率是切向量的大小与曲线长度的比值，用来描述曲线的弯曲程度。

第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

8. 曲线的重参数化：重参数化是指用一个新的参数来表示原来的参数方程，常用于简化计算或改变曲线的参数表示方式。

9. 参数方程的应用：参数方程广泛应用于数学、物理、工程等领域。

例如，在物理学中，参数方程可以用来描述粒子在空间中的运动轨迹。

在计算机图形学中，参数方程可以用来表示曲线、曲面和三维模型。

总之，参数方程是一种强大的工具，可以用来描述各种曲线和曲面的性质和行为。

了解参数方程的知识点可以帮助我们更好地理解和应用这种表示方式。

高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t +中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（ ） A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解： ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x A.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21)C.双曲线的一支，这支过(-1，21) D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21) 解：由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=21x 2(x ＞0). ∴应选B. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=21代入，得y=21∴应选C.例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==ty t x B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=tt 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211x t tg ==，即x 2y=1，故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cos θ=ρ2=OPOB ，得ρcos θ=2，∴应选B.例10 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ把ρ=22y x + ρcos θ=x ，代入上式，得222y x +=2x-5. 平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线. ∴应选D.例11 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲 线：①θ=6π和sin θ=21；②θ=6π和tg θ=33，③ρ2-9=0和ρ= 3；④⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M ，N 两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2πD.关于极轴对称5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211 D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 215231 7.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是( )A.)(12222a xb y a x ≠=+B.)(12222a x b y a x -≠=+ C.)(12222a x by a x ≠=-D.)(12222a x by a x -≠=- 8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1,-3π),r=2 9.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方 程为( )A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21± C.y-1=)2(2+±xD.y+1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A. 3πB.32πC.3π或32π D.3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M ，N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是( )A ．θθρsin cos 23-=B ．θθρcos cos 23-=C ．θθρsin 2cos 3-=D ．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=ty t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时 ，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左 半部分交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在?并说明理由 .(2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ，B 为椭圆2222by a x +=1，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l ∶812y x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且 满足│OQ │·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x ≤21);18.抛 物线；19.135°,|32t| (三)20.(5154,558)；21.;332 22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab ，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。

参数方程[考试要求] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎨⎧ x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2.(1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、教材习题衍生1．曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．] 2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)D [将直线方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16，整理，得t 2－8t ＋12＝0，则t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4，故其中点坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－ 3.]3．曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为________．y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1) [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)．]4．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则a ＝________. 3 [直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)，则3－a ＝0，∴a ＝3.]考点一 参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解． 1．将下列参数方程化为普通方程． (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)； (3)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t 21＋t 2，y ＝4－2t 21＋t 2(t 为参数)．[解] (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1tt 2－12＝1，∴x 2＋y 2＝1.∵t 2－1≥0，∴t ≥1或t ≤－1. 又x ＝1t ，∴x ≠0. 当t ≥1时，0＜x ≤1； 当t ≤－1时，－1≤x ＜0， ∴所求普通方程为x 2＋y 2＝1， 其中⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，0≤y ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＜0，－1＜y ≤0.(2)∵y ＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x －2，∴y ＝－2x ＋4，∴2x ＋y －4＝0.∵0≤sin 2θ≤1，∴0≤x －2≤1，∴2≤x ≤3，∴所求的普通方程为2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． (3)因为x ＝2t 21＋t2， y ＝4－2t 21＋t 2＝4(1＋t 2)－6t 21＋t 2＝4－3×2t 21＋t 2＝4－3x .又x ＝2t 21＋t2＝2(1＋t 2)－21＋t2＝2－21＋t2∈[0,2)，所以所求的普通方程为3x ＋y －4＝0(x ∈[0,2))．2．(2020·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos k t ，y ＝sin k t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0.(1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．[解] (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是圆心为坐标原点，半径为1的圆．(2)当k ＝4时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 4 t ，y ＝sin 4 t ，消去参数t 得C 1的普通方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.点评：将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围．考点二 参数方程的应用1.直线的参数方程中t 的几何意义经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，其中t 的几何意义是：|t |表示以点P 0(x 0，y 0)为起点，P (x ，y )为终点的有向线段P 0P →的长度，即|t |＝|P 0P →|.当t ＞0时，P 0P →的方向向上；当t ＜0时，P 0P →的方向向下；当t ＝0时，点P 与点P 0重合．2．直线的参数方程中t 的应用经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上的两点，对应的参数分别为t A ，t B ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t M ，则有(1)t M ＝t A ＋t B2；(2)|AB |＝|t A －t B |＝(t A ＋t B )2－4t A t B ；(3)|P A |·|PB |＝|t A |·|t B |；(4)|PM |＝|t M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t A ＋t B 2；(5)若定点P 是线段AB 的中点，则t A ＋t B ＝0；(6)|P A |＋|PB |＝|t A |＋|t B |.,解决此类题的关键如下：①统一，将曲线的方程统一为直角坐标系下的方程或者极坐标系下的方程； ②联立，联立直线的参数方程和曲线的普通方程； ③求值，根据t 的几何意义求解．[典例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t 1＋t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.①求C 和l 的直角坐标方程； ②求C 上的点到l 距离的最小值．(2)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．①求α的取值范围；②求AB 中点P 的轨迹的参数方程．[解] (1)①因为－1<1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2()1＋t 22＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.②由①可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.(2)①⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.②l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α为参数，π4＜α＜3π4. 点评：(1)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题；(2)椭圆的参数方程实质是三角代换求点到直线距离的最大值，一般利用曲线的参数方程及点到直线的距离公式把距离最值转化为三角函数求最大值．[跟进训练]1．(2020·广州市调研检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋1m y ＝m －1m(m 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρsin θ－ρcos θ－3＝0.(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知点P (0,1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|P A |＋1|PB |的值．[解](1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋1my ＝m －1m，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＝m 2＋1m 2＋2y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1m 2＝m 2＋1m 2－2，所以x 2－y 2＝4.所以曲线C 的普通方程为x 2－y 2＝4. 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以3y －x －3＝0.所以直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋3＝0. (2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0x 2－y 2＝4，不妨取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(1－11)2，3－112，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3(1＋11)2，3＋112. 因为点P (0,1)，所以|P A |＝11－1，|PB |＝11＋1. 所以1|P A |＋1|PB |＝111－1＋111＋1＝115.法二：因为点P (0,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32ty ＝1＋12t (t为参数)，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ，y ＝1＋12t代入x 2－y 2＝4，得t 2－2t －10＝0，Δ＝(－2)2－4×1×(－10)＝44＞0， 所以t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝－10＜0. 因为|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|， 所以1|P A |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝4＋4010＝115，所以1|P A |＋1|PB |＝115.2．(2020·江西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝4＋3cos αy ＝3sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos βy ＝t sin β(t 为参数，0≤β＜π)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|OA |－|OB |＝25，求β. [解] (1)由曲线C 的参数方程可得普通方程为(x －4)2＋y 2＝9， 即x 2＋y 2－8x ＋7＝0，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋7＝0. (2)由直线l 的参数方程可得直线l 的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R )，因为直线l与曲线C 相交于A ，B 两点，所以设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－8ρcos θ＋7＝0θ＝β，可得ρ2－8ρcos β＋7＝0，因为Δ＝64cos 2β－28＞0，所以cos 2β＞716，ρ1＋ρ2＝8cos β，ρ1ρ2＝7， 所以|OA |－|OB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝64cos 2β－28＝25，解得cos β＝±32，所以β＝π6或5π6.考点三 极坐标、参数方程的综合应用处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[典例2] (1)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α≤π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.①求C 2与C 3交点的直角坐标；②若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求AB 的最大值． (2)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .①写出C 的普通方程；②以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sinθ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)①曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.②曲线C 1的极坐标为方程θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α≤π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)， 所以AB ＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，AB 取得最大值，最大值为4. (2)①消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2)，消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)，所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．②C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110. 代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.点评：(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标方程，然后求解；(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断；(3)求参数方程与极坐标综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．[跟进训练]1．(2020·郑州市第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中 ，已知曲线E 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos αy ＝3sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线E 的极坐标方程；(2)若直线l 交曲线E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值，并求出这个定值．[解] (1)将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入曲线E 的参数方程，得⎩⎨⎧1＝a cos α32＝3sin α，解得a 2＝4，所以曲线E 的普通方程为x 24＋y 23＝1， 极坐标方程为ρ2⎝ ⎛⎭⎪⎫14cos 2θ＋13sin 2θ＝1.(2)不妨设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，ρ1＞0，ρ2＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧14ρ21cos 2θ＋13ρ21sin 2θ＝114ρ22cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＋13ρ22sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1ρ21＝14cos 2θ＋13sin 2θ1ρ22＝14sin 2θ＋13cos 2θ，1ρ21＋1ρ22＝14＋13＝712，即1|OA |2＋1|OB |2＝712，为定值． 2．(2020·长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －3y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－my ＝m 3k(m 为参数)．设直线l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1.(1)求出曲线C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝32，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值．[解] (1)分别消去l 1，l 2的参数方程中的参数，得l 1，l 2的普通方程为 l 1：y ＝k (x ＋3)， l 2：y ＝13k (3－x )，两式相乘消去k 可得x 23＋y 2＝1，因为k ≠0，所以y ≠0，所以曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1(y ≠0)． (2)因为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝32，所以ρsin θ＋ρcos θ＝6，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －6＝0.结合(1)知曲线C 1与直线C 2无公共点．曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数，α≠k π，k ∈Z )，所以曲线C 1上的点Q (3cos α，sin α)到直线x ＋y －6＝0的距离 d ＝|3cos α＋sin α－6|2＝|2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－6|2，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－1时，d 取得最大值，为4 2.。